算法与数据结构课件——最短路径
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《最短路径算法》课件
《最短路径算法》PPT课 件
探索最短路径算法的奥秘，了解其在各领域中的应用，以及选择最佳算法的 依据，展望最短路径算法的未来。
最短路径算法简介
最短路径问题的定义和最短路径算法的广泛应用。
单源最短路径算法
1
贝尔曼-福德算法2 Nhomakorabea算法思想：通过利用松弛操作，逐步更新节 点之间的最短路径。
算法步骤：进行N-1次松弛操作，其中N为节 点数，再进行一次检查负权边。
电路板布线
通过最短路径算法规划电路板 上元件的布线路径，减小电路 的延迟，提高性能。
应用最短路径算法的问题探讨
1 负权边问题
2 负环问题
遇到边权值为负数的情况，部分最短路径算法需 要特殊处理。
当图中存在负权环时，部分最短路径算法无法得 到准确的最短路径。
最短路径算法总结
1 各种算法的优劣
不同最短路径算法在不同场景下有不同的优劣，需要根据具体情况进行选择。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V*E)，V 为节点数，E为边数。
迪杰斯特拉算法
算法思想：通过记录已知最短路径和待确认 节点，逐步更新最短路径。
算法步骤：从起点出发，不断更新最短路径， 直到所有节点都被确认为最短路径。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V^2)，V 为节点数。
多源最短路径算法
1
弗洛伊德算法
算法思想：通过动态规划，逐步更新节点间 的最短路径。
算法步骤：利用矩阵记录节点间最短路径， 逐步更新矩阵，得到所有节点的最短路径。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V^3)，V为 节点数。
最短路径算法的应用实例
地图导航
使用最短路径算法规划最佳行 驶路线，提供准确的导航指引。
网络路由
探索最短路径算法的奥秘，了解其在各领域中的应用，以及选择最佳算法的 依据，展望最短路径算法的未来。
最短路径算法简介
最短路径问题的定义和最短路径算法的广泛应用。
单源最短路径算法
1
贝尔曼-福德算法2 Nhomakorabea算法思想：通过利用松弛操作，逐步更新节 点之间的最短路径。
算法步骤：进行N-1次松弛操作，其中N为节 点数，再进行一次检查负权边。
电路板布线
通过最短路径算法规划电路板 上元件的布线路径，减小电路 的延迟，提高性能。
应用最短路径算法的问题探讨
1 负权边问题
2 负环问题
遇到边权值为负数的情况，部分最短路径算法需 要特殊处理。
当图中存在负权环时，部分最短路径算法无法得 到准确的最短路径。
最短路径算法总结
1 各种算法的优劣
不同最短路径算法在不同场景下有不同的优劣，需要根据具体情况进行选择。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V*E)，V 为节点数，E为边数。
迪杰斯特拉算法
算法思想：通过记录已知最短路径和待确认 节点，逐步更新最短路径。
算法步骤：从起点出发，不断更新最短路径， 直到所有节点都被确认为最短路径。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V^2)，V 为节点数。
多源最短路径算法
1
弗洛伊德算法
算法思想：通过动态规划，逐步更新节点间 的最短路径。
算法步骤：利用矩阵记录节点间最短路径， 逐步更新矩阵，得到所有节点的最短路径。
算法复杂度分析：时间复杂度为O(V^3)，V为 节点数。
最短路径算法的应用实例
地图导航
使用最短路径算法规划最佳行 驶路线，提供准确的导航指引。
网络路由
数据结构第7章图4最短路径ppt课件30页PPT
vj
v2
v4
v3
v5
s
{v0,v2} {v0 ,v2 ,v4} {v0 ,v2 ,v4 ,v3} {v0 ,v2 ,v4 ,v3 ,v5}
S之外的当前最 短路径之顶点
(v0,v2)+ (v2,v3)<(v0,v3)
与最小生成树的不同点：路径是累加的！
§7.6 最短路径
所有顶点对之间的最短路径(Floyd算法)
V2
3
V1
2
-4 7
V5
6
4
V3
8
-5 1
V4
D4
12345 1 0 3 -1 4 -4 2 3 0 -4 1 -1 37 4 0 5 3 4 2 -1 -5 0 -2 58 5 1 6 0
P4
12345 1 nil 1 4 2 1 2 4 nil 4 2 1 3 4 3 nil 2 1 4 4 3 4 nil 1 5 4 3 4 5 nil
V2
3
V1
2
-4 7
V5
6
4
V3
8
-5 1
V4
D1
12345 1 0 3 8 ∞ -4 2∞0∞1 7 3∞4 0∞∞ 4 2 5 -5 0 -2 5∞∞∞6 0
P1
12345 1 nil 1 1 nil 1 2 nil nil nil 2 2 3 nil 3 nil nil nil 4 4 1 4 nil 1 5 nil nil nil 5 nil
E ① F→A：
24
② F→B→A： 5＋18=23
5
6 18
9
12 15
③ F→B→C→A：5+7+9=21
数据结构：最短路径算法83页PPT
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
数据结构：最短路径算法
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
Байду номын сангаас 谢谢你的阅读
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
数据结构：最短路径算法
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
Байду номын сангаас 谢谢你的阅读
数据结构最短路径PPT教学课件
• void Dijkstra(MGraph *G,int v1,int n)
•{
•
int D2[MVNum],p2[MVNum];
•
int v,i,w,min;
•
enum boolean S[MVNum];
•
for(v=1;v<=n;v++)
•
S[v]=FALSE;
•
D2[v]=G->arcs[v1][v];
for(j=1;j<=n:j++)G->arcs[i][j]=Maxint;
•
printf("输入%d条边的i、j及w:\n",e);
•
for(k=1;k<=e;k++){
•
scanf("%d,%d,%d",&i,&j&w);
•
G->arcs[i][j]=w;
•
}printf("有向图的存储结构建立完毕!\n");
•
S[v]=TRUE;
•
for(w=1;w<=n;w++)
•
if(!S[w]&&(D2[v]+G->arcs[v][w]<D2[w])){
•
D2[w]=D2[v]+G->arcs[v][w];
•
p2[w]=v;
•
}
•}
• printf("路径长度 路径\n");
2020/12/11
7
费洛伊德算法
• （3）费洛伊德算法：
• 费洛伊德算法的思想:首先考虑路径<Vi,V1>和<V1,Vj>是否存 在。如果存在，则比较路径<Vi,Vj>和<Vi,V1,Vj>的路径长度， 取长度较短者为当前所求的最短路径。然后考虑从Vi到Vj是否含 有顶点V2为中间顶点的路径<Vi，…，V2…,Vj>,若没有，则其 最短路径为之前所求，若有，则<Vi，…，V2…,Vj>可以分解为 <Vi,…V2>和<V2,…,Vj>,而其为前一次找到的中间顶点序号不 大于一的最短路径，将两者相加记为路径长度，比较该长度与前 一次的中间顶点序号不大于一的，取其最短的作为当前求的从Vi 到Vj的中间顶点长度不大于二的最短路径，直到选出不大于N的 最短路径为止。
最短路径问题的求解PPT精选文档
这种算法最关键的问题就是如何确定估价函数，估价函数越准，则能 越快找到答案。这种算法实现起来并不难，只不过难在找准估价函数，大 家可以自已找相关资料学习和思考。
.
3
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与
启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是：
.
2
最短路径问题的求解
二、 启发式搜索 在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展开的结点展开，
而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开 的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答 案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
.
12
最短路径问题的求解
八、Dijkstra算法（从一个顶点到其余各顶点的最短路径，单源最短路径） 例3、如下图，假设C1,C2,C3,C4,C5,C6是六座城市，他们之间的连线表示两 城市间有道路相通，连线旁的数字表示路程。请编写一程序，找出C1到Ci 的最短路径(2≤i≤6)，输出路径序列及最短路径的路程长度。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点， D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：
.
11
最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
.
3
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与
启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是：
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2
最短路径问题的求解
二、 启发式搜索 在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展开的结点展开，
而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开 的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答 案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
.
12
最短路径问题的求解
八、Dijkstra算法（从一个顶点到其余各顶点的最短路径，单源最短路径） 例3、如下图，假设C1,C2,C3,C4,C5,C6是六座城市，他们之间的连线表示两 城市间有道路相通，连线旁的数字表示路程。请编写一程序，找出C1到Ci 的最短路径(2≤i≤6)，输出路径序列及最短路径的路程长度。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点， D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：
.
11
最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
算法与数据结构课件——最短路径
50 10 60 edgeTo[3] = 0，反过来排列，
2 20 3
得到路径 0, 3, 2, 4，这就是源 点0到终点4的最短路径。
Dijkstra示例
顶点0 0 0
顶点1 -
顶点2 -
顶点3 -
顶点4 -
索引堆：
0
10 0 100
1 30 4
50 10
60
2 20 3
0
1
2
3
4
0
-
-
-
-
Dijkstra示例
短路径长度； ➢ ...... ➢ dist n-1 [u]为从源点s出发最多经过不构成负权值回路的n-1次relax到达终点u的
最短路径长度；
• 算法的最终目的是计算出dist n-1 [u]，为源点v到顶点u的最短 路径长度。
dist k [u]的计算
• 设已经求出 dist k-1 [u] , u = 0, 1, …, n-1，即从源点s经过最多 不构成负权值回路的k-1次relax到达终点u的最短路径的长度
点，该值为无穷大） ➢ distTo[v]是最短路径，当且仅当：对于任意一条v到w的边e，都满足：
distTo[w] ≤ distTo[v] + e.weight()
最短路径通用算法
• 算法SP(G， s)：
➢ distTo[s] 初始化为 0 ➢ 对于其他各个节点， distTo[v]初始化为无穷大 ➢ 重复如下操作：松驰G中的任意边，直到不存在有效边为止
➢ dist 1 [u]为从源点s到终点u的最多经过1次relax的最短路径长度，并有dist 1 [u] =adj[s][u]；
➢ dist 2 [u]为从源点s最多经过两次relax到达终点u的最短路径长度； ➢ dist 3 [u]为从源点s出发最多经过不构成负权值回路的三次relax到达终点u的最
数据结构16--最短路径
pre：0‥n；
end； var
/*前趋结点序号*/
adj：array[1‥n，1‥n] of real dist：array[1‥n] of path；
/*相邻矩阵*/ /*路径集合*/
计算单源最短路径的过程如下： fillchar(adj，sizeof(adj)，0)；/*建立相邻矩阵adj*/ for i←1 to n do for j←1 to n do if(i,j)∈E then adj[i，j+←wij else adj[i，j+←∞； for i←1 to n do /*路径集合初始化*/ {dist[i]．length←adj*v0，i]； if dist[i]．length<>∞ then dist[i]．pre←v0 else dist[i]．pre←0； }；/*for*/ adj[v0，v0+←1；/*源结点v0进入第一组*/
k源最短路问题
1、k源无权图：与其采用Dijkstra算 法(k*n2),不如采用宽度优先搜索(n2)。 初始时，所有源点入队列。 2、 k源有权图：将所有源点压缩成一 个源点，保持源点与非源点之间的连接 关系，采用Dijkstra算法(k*n2)计算
多源最短路问题
在一个加正权的有向图G ={V， E}中给出源s1，s2和s3，图中 边上的数值为边的权值，顶点后括号内的数值为到该点最短 路的长度。求源到其余所有点的最短路长度。与单源最短路 问题不同的是，本题中源是一个集合S中的所有点。而S到某 一个点p的最短距离等于S中所有点到p的最短距离的最小值
方法1：对每个源点执行一次Dijkstra算法。每执行一次 Dijkstra算法，需要计算时间O(ElgV)。如果有k个源点的话， 则需花费总时间O(k*ElgV)。 方法2：由于源点集合S中任何两点间的连边关系对答案都 没有影响，因此可以将S视为一个内外隔绝的“包裹”，舍 去包裹内的冗余信息，并将其“压缩”成为一个新的点PS， 并保留S中节点对外的连边情况作为压缩后节点PS的对外连边， 得到一张新图和一个单源最短路问题
《最短路径问题》课件
参考文献
• 算法导论 • 计算机算法设计与分析 • 图解算法
《最短路径问题》PPT课 件
# 最短路径问题PPT课件
介绍最短路径问题的定义和概念，以及为什么最短路径问题在实际生活中很 重要。 同时，探讨最短路径问题的基本性质。
最短路径的求解
1
暴力算法
枚举所有路径并找到最短路径，但随着
Dijkstra算法
2
节点增多，复杂度呈指数级上升。
介绍算法的原理和步骤，通过不断更新
距离表找到最短路径。
3
Floyd算法
介绍算法的原理和步骤，通过动态规划 计算最短路径。
最短路径问题的应用
铁路、公路、航空、航 海
路线规划在交通行业中的重 要性和应用。
互联网中的路由算法
讲解互联网通信中使用的最 短路径算法。
生命科学领域的基因测 序和蛋白质分析
如何利用最短路径问题的变种
任意两点之间的最短路径问题
探讨在图中找到任意两点之间的最短路径。
带负权边的最短路径问题
介绍具有负权边的图中求解最短路径问题的方法。
一般图的最短路径问题
分析在一般图中求解最短路径的挑战和方法。
更多变种问题的介绍
介绍其他类型的最短路径问题及其应用。
总结
总结最短路径问题的基本概念，分析各种算法的优缺点及适用范围。 同时，展望最短路径问题的未来发展方向。
第8章图第8讲-最短路径和Dijkstra算法PPT课件
第2组为其余未求出最短路径的顶点集合（用U表示）。
S
每一步求出v到U中一个 U=V-S
顶点u的最短路径，并将u
移动到S中。直到U为空。
u
v
3/21
狄克斯特拉算法的过程
（1）初始化：，S只包含源点即S={v}，v的最短路径为0。U包 含除v外的其他顶点，U中顶点i距离为边上的权值（若v与i有边<v， i>）或∞（若i不是v的出边邻接点）。
path[5]={0,2,3,5}。
？
所有n-1条最短路径可以用二维数组path[][]存储。
9/21
改进的方法是采用一维数组path来保存：
若从源点v j的最短路径如下：
v
…
a
…
v j最短路径中j的前一个顶点
u
j
则
v
…
a
…
？ u 一定是从源点v u的最短路径
反证法证明：
b
是v u的最短路径
v
k
j
考虑中间其他所有顶点k，通过 比较得到v j的最短路径
8/21
算法设计（解决2个问题）
如何存放最短路径长度：
用一维数组dist[j]存储！ 源点v默认， dist[j]表示源点 顶点j的最短路径长度。如 dist[2]=12表示源点 顶点2的最短路径长度为12。
如何存放最短路径：
从源点到其他顶点的最短路径有n-1条，一条最短路径用一 个一维数组表示，如从顶点0 5的最短路径为0、2、3、5， 表示为
v
…
a
…
u
j
而通过b的路径更短，则v → … a → … u → j不是最短路径
与假设矛盾，问题得到证明。
10
S
每一步求出v到U中一个 U=V-S
顶点u的最短路径，并将u
移动到S中。直到U为空。
u
v
3/21
狄克斯特拉算法的过程
（1）初始化：，S只包含源点即S={v}，v的最短路径为0。U包 含除v外的其他顶点，U中顶点i距离为边上的权值（若v与i有边<v， i>）或∞（若i不是v的出边邻接点）。
path[5]={0,2,3,5}。
？
所有n-1条最短路径可以用二维数组path[][]存储。
9/21
改进的方法是采用一维数组path来保存：
若从源点v j的最短路径如下：
v
…
a
…
v j最短路径中j的前一个顶点
u
j
则
v
…
a
…
？ u 一定是从源点v u的最短路径
反证法证明：
b
是v u的最短路径
v
k
j
考虑中间其他所有顶点k，通过 比较得到v j的最短路径
8/21
算法设计（解决2个问题）
如何存放最短路径长度：
用一维数组dist[j]存储！ 源点v默认， dist[j]表示源点 顶点j的最短路径长度。如 dist[2]=12表示源点 顶点2的最短路径长度为12。
如何存放最短路径：
从源点到其他顶点的最短路径有n-1条，一条最短路径用一 个一维数组表示，如从顶点0 5的最短路径为0、2、3、5， 表示为
v
…
a
…
u
j
而通过b的路径更短，则v → … a → … u → j不是最短路径
与假设矛盾，问题得到证明。
10
《最短路径问题》课件
A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
即AM+NB+MN的值最小.
M′ a M
b
N′
N
∙B
新知探究 跟踪训练
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行）， 现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何 选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的 长等于河宽； （2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作 MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置. A
点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此
时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.A∙ M
a
A′
b
N
∙B
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线 b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所 得路径AMNB是最短的.
A∙ M
《最短路径问题》
知识回顾
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找
一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与
直线l的交点.
A
C
l
B
1.两点一线型.
如图，点A，B是直线l同侧的两
B
点，在直线l上找一点C使得
A
AC+BC的值最小，这时先作点B
最短路径课件
供应链管理
通过优化物流路径，提高供应链整体运作效率， 增强企业竞争力。
06
总结与展望
本课程重点内容回顾
Dijkstra算法
Bellman-Ford算法
Floyd-Warshall算法
SPFA算法
详细介绍了Dijkstra算法的原 理、实现过程及应用场景。
分析了Bellman-Ford算法的 原理、实现步骤及解决负权边 问题的优势。
动态网络最短路径
研究动态网络中最短路径问题的求解方法， 适应网络拓扑结构和权重变化。
近似算法与启发式搜索
研究最短路径问题的近似算法和启发式搜索 方法，解决复杂网络中的计算难题。
学生自我评价报告
知识掌握情况
分析学生对最短路径算法原理、实现 及应用场景的掌握程度。
编程实践能力
评价学生在实现最短路径算法过程中 的编程实践能力及问题解决能力。
Floyd-Warshall算法实现步骤
初始化距离矩阵
根据图的邻接矩阵或邻接表初始化节点间的距离矩阵，对于无权图，相邻节点间距离为1 ，不相邻节点间距离为无穷大；对于带权图，相邻节点间距离为对应边的权重，不相邻节 点间距离为无穷大。
迭代更新距离矩阵
通过三重循环遍历所有节点组合(i,j,k)，比较节点i到j的路径与节点i到k再到j的路径长度， 若后者更短，则更新节点i到j的最短路径估计值。
离值不再更新。
检测负环
在迭代计算过程中，若某个节点 被更新次数超过节点数，则存在 负环，算法结束并返回错误信息
。
Bellman-Ford算法优缺点分析
优点
Bellman-Ford算法可以处理带有负权重的图，且能检测到负环的存在。算法实 现简单，易于理解。
通过优化物流路径，提高供应链整体运作效率， 增强企业竞争力。
06
总结与展望
本课程重点内容回顾
Dijkstra算法
Bellman-Ford算法
Floyd-Warshall算法
SPFA算法
详细介绍了Dijkstra算法的原 理、实现过程及应用场景。
分析了Bellman-Ford算法的 原理、实现步骤及解决负权边 问题的优势。
动态网络最短路径
研究动态网络中最短路径问题的求解方法， 适应网络拓扑结构和权重变化。
近似算法与启发式搜索
研究最短路径问题的近似算法和启发式搜索 方法，解决复杂网络中的计算难题。
学生自我评价报告
知识掌握情况
分析学生对最短路径算法原理、实现 及应用场景的掌握程度。
编程实践能力
评价学生在实现最短路径算法过程中 的编程实践能力及问题解决能力。
Floyd-Warshall算法实现步骤
初始化距离矩阵
根据图的邻接矩阵或邻接表初始化节点间的距离矩阵，对于无权图，相邻节点间距离为1 ，不相邻节点间距离为无穷大；对于带权图，相邻节点间距离为对应边的权重，不相邻节 点间距离为无穷大。
迭代更新距离矩阵
通过三重循环遍历所有节点组合(i,j,k)，比较节点i到j的路径与节点i到k再到j的路径长度， 若后者更短，则更新节点i到j的最短路径估计值。
离值不再更新。
检测负环
在迭代计算过程中，若某个节点 被更新次数超过节点数，则存在 负环，算法结束并返回错误信息
。
Bellman-Ford算法优缺点分析
优点
Bellman-Ford算法可以处理带有负权重的图，且能检测到负环的存在。算法实 现简单，易于理解。
最短路径算法PPT课件
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来 扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点 的最短路径长度已知。
初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源 到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并 用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。 Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点 u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S 包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之 间的最短路径长度。
2取最6小值83
91∞
130
0
在说D（D（1D11[D从1[3）22）]1=][顶不[2中不3]]:点经从:，经从08过1顶过第顶到顶02点顶点1顶点行3点268到点到1和1：顶：顶j第或点仍点仍一顶2是3是的的列点DD距距0D是0[j[33到离2离]=不][（[顶2（3]变]=可点=可07∞6以的以；1；20：经，经过允过因86顶许顶为点点经11）） 过（（2顶2））点过过1顶顶是1点点没131：有：0D意D00[义[32]][的[11]]++DD00[[11]][[23]]==118++293==3170
计算过程
§ 例：考虑下图所示的带权有向图，求所有顶 点之间的最短距离。
1
2
1
89
2
3
6
(a)
1
V= 2
3
029
L= 8 0 6
91∞ 0
(b)
Di,jk：从顶点i（可以经过顶点1、顶点
2、……顶点k）到顶点j的距离。
D（ （2212[1））]8[1不过3]9:经 顶从1过 点顶顶2点：D点10到D=21：顶[1]点仍08[23是]+的20DD距11[[9621离]][[（33]]==也29D+可；16=以=8经08过顶20 点962）
初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源 到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并 用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。 Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点 u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S 包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之 间的最短路径长度。
2取最6小值83
91∞
130
0
在说D（D（1D11[D从1[3）22）]1=][顶不[2中不3]]:点经从:，经从08过1顶过第顶到顶02点顶点1顶点行3点268到点到1和1：顶：顶j第或点仍点仍一顶2是3是的的列点DD距距0D是0[j[33到离2离]=不][（[顶2（3]变]=可点=可07∞6以的以；1；20：经，经过允过因86顶许顶为点点经11）） 过（（2顶2））点过过1顶顶是1点点没131：有：0D意D00[义[32]][的[11]]++DD00[[11]][[23]]==118++293==3170
计算过程
§ 例：考虑下图所示的带权有向图，求所有顶 点之间的最短距离。
1
2
1
89
2
3
6
(a)
1
V= 2
3
029
L= 8 0 6
91∞ 0
(b)
Di,jk：从顶点i（可以经过顶点1、顶点
2、……顶点k）到顶点j的距离。
D（ （2212[1））]8[1不过3]9:经 顶从1过 点顶顶2点：D点10到D=21：顶[1]点仍08[23是]+的20DD距11[[9621离]][[（33]]==也29D+可；16=以=8经08过顶20 点962）
第17讲最短路径课件
indeg[i] - - ;
}
4
关键路径：
ve(源点) = 0； ve(k) = Max{ve(j) + dut(<j, k>)} (2<=k<=n, <j, k>属于所有以k为 终点的边的集合)
vl(汇点) = ve(汇点)； vl(j) = Min{vl(k) – dut(<j, k>)} (1<=j<=n-1, <j, k>属于所有以j为 起点的边的集合)
一、迪杰斯特拉算法 二、弗洛伊德算法
9
一、最短路径
1、从某个源点到其余各顶点的最短路径
问题提出
用带权的有向图表示一个交通运输网，图中： 顶点—表示城市 边—表示城市间的交通联系 权—表示此线路的长度或沿此线路运输所花的时间或费用等 问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径 中，各边上权值之和最小的一条路径——最短路径
3 修改dist和path
｝
0-A 1-B 2-C 3-D 4-E
dist ∞ 10 50 30 90
path -1
0
3
0
3
Tag V
V UNV V UNV
20
应用举例——最短路径
Dijkstra算法
10
A
30
100
B
50
C
10
20
E
D
60
U={A, B, D} A→B:(A, B)10 A→C:(A, D, C)50 A→D: (A, D)30 A→E: (A, D, E)90
10
一、最短路径
在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数 最少的路径。
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点，该值为无穷大） ➢ distTo[v]是最短路径，当且仅当：对于任意一条v到w的边e，都满足：
distTo[w] ≤ distTo[v] + e.weight()
最短路径通用算法
• 算法SP(G， s)：
➢ distTo[s] 初始化为 0 ➢ 对于其他各个节点， distTo[v]初始化为无穷大 ➢ 重复如下操作：松驰G中的任意边，直到不存在有效边为止
顶点0 0 0
顶点0 0 0
顶点0 0 0
顶点1 -
顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点2 -
顶点3 -
顶点2 60，50 1->2, 3->2
顶点3 30 0->3
顶点2 50 3->2
顶点3 30 0->3
顶点2 50 3->2
顶点2 50 3->2
算法与数据结构
最短路径
目录
最短路径介绍 Dijkstra算法 Bellman Ford算法
最短路径问题
• 最短路径问题：如果从图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终 点)的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的 权值总和达到最小。（有向带权图）
• 问题解法
➢ 边上权值非负情形的单源最短路径问题 （s -> 图上其他节点的最短路径）
10 0
1
30
50 2 20
100 10 4
60 3
➢distTo[0] = 0
➢distTo[1] = 10 ➢distTo[2] = 50 ➢distTo[3] = 30 ➢distTo[4] = 90
第1步是选择0节点，对它的所出边进行松弛 第2步是选择1节点，对它的所出边进行松弛 第3步是选择3节点，对它的所出边进行松弛 。。。
— Dijkstra算法
➢ 边上权值为任意值的单源最短路径问题
— Bellman Ford算法
➢ 所有顶点之间的最短路径 （动态规划O(n^3))
— Floyd算法
最短路径相关数据结构
• 目标：找出从s节点到其他所有节点的最短路径.
• 路径：s到所有节点的最短路径树(SPT)必定存在
• 可以用2个数组来表示SPT:
队列： 3, 4, 2
顶点0 0 0
队列： 4, 2
顶点0 0 0
队列： 2
顶点0 0 0
顶点1 -
顶点1 10 0->1 顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点2 顶点2
顶点2 60 1->2
顶点3 -
顶点3 30 0->3
顶点3 30 0->3
顶点2 60,50 1->2,3->2
• 实现：怎么样选择边来松驰？
➢ Dijkstra's algorithm (nonnegative weights) ➢ Bellman-Ford algorithm (no negative cycles)
目录
最短路径介绍 Dijkstra算法 Bellman Ford算法
Dijkstra算法
短路径长度； ➢ ...... ➢ dist n-1 [u]为从源点s出发最多经过不构成负权值回路的n-1次relax到达终点u的
最短路径长度；
• 算法的最终目的是计算出dist n-1 [u]，为源点v到顶点u的最短 路径长度。
dist k [u]的计算
• 设已经求出 dist k-1 [u] , u = 0, 1, …, n-1，即从源点s经过最多 不构成负权值回路的k-1次relax到达终点u的最短路径的长度
顶点3 30 0->3
顶点4 100,90 0->4,3->4
10 0 100
1 30 4
50 -10 60
23
20
队列： 4
顶点0 0 0
顶点1 10 0->1
顶点2 60,50 1->2,3->2
顶点3 30 0->3
顶点4 100,90,40 0->4,3->4,2->4
队列：
顶点0 0 0
顶点1 10 0->1
➢ dist 1 [u]为从源点s到终点u的最多经过1次relax的最短路径长度，并有dist 1 [u] =adj[s][u]；
➢ dist 2 [u]为从源点s最多经过两次relax到达终点u的最短路径长度； ➢ dist 3 [u]为从源点s出发最多经过不构成负权值回路的三次relax到达终点u的最
➢ distTo[s] 初始化为 0 ➢ 对于其他各个节点， distTo[v]初始化为无穷大 ➢ 重复V-1次：依次松驰G中的各条边
Bellman-Ford算法
10 0 100
边：
1 30
0->1
4
0->3
0->4
50 -10
60
1->2 2->4
23
3->2 3->4
20
顶点0 0 0
顶点0 0 0
顶点4 100 -
10 0 100
1 30 4
50 10
60
2 20 3
索引堆：
3 30
1
100
4
2 60
0
1
2
3
4
0
10
60
30
100
Dijkstra示例
顶点0 0 0
顶点1 10 -
顶点2 50 -
顶点3 30 -
顶点4 90 -
索引堆：
2
10 0 100
3
4
1 30 4
50 10
60
2 20 3
edgeTo[w]: s到w的已知最短路径上的最后一条边 重庆-成都 =》 西安-成都
• 如果边e = v→w 给出了一条经通过v到达w的更短路径
• 更新distTo[w]和edgeTo[w]
最短路径-最优性性质
• 对于有向带权图G, distTo[ ]表示s到各节点的路径，有：
➢ distTo[s] = 0 ➢ 对于其他各个节点， distTo[v]表示某条从s到v的路径长度（对于不可达的节
0
1
2
3
4
0
10
50
30
90
Dijkstra示例
顶点0 0 0
顶点1 10 -
顶点2 50 -
顶点3 30 -
顶点4 60 -
索引堆：
4
10 0 100
2
1 30 4
50 10
60
0
0
2 20 3
1
2
3
4
10
50
30
60
作业：基于数组、堆实现Dijkstra算法
Dijkstra示例
顶点0 0 0
顶点2 60,50 3->2
假设 S 是已求得的最短路径的终点的集合，则可证明：下 一条最短路径必然是从v0 出发，中间只经过 S 中的顶点便 可到达的那些顶点vx (vxV-S )的路径中的一条。
每次求得一条最短路径后, 其终点vk 加入集合S，然后对所 有的vi V-S，修改其 dist[i]值。
Dijkstra算法可描述如下：
① 初始化： S ← { v0 }; dist[j] ← Edge[0][j], j = 1, 2, …, n-1; // n为图中顶点个数
② 求出最短路径的长度： dist[k] ← min { dist[i] }, i V- S ; //s->k就是
最短距离 S ← S U { k };
③ 修改： dist[i] ← min{ dist[i], dist[k] + Edge[k][i] }, 对于每一个 i V- S ;
• 递推公式(求顶点u到源点s的最短路径)：
➢ dist 1 [u] = adj[s][u]； ➢ dist k [u] = min{ dist k-1 [u], min{ dist k-1 [j] + adj[j][u] } }, j=0,1,…,n-1,j≠u
Bellman-Ford算法
• 算法SP(G， s)：
④ 判断：若 S = V, 则算法结束，否则转 ②。
Dijkstra算法中各辅助数组的最终结果
序号 顶点 1 顶点 2
Dist
10
-,60,50
edgeTo
0
3
顶点 3 30 0
顶点 4 60 2
10 0 100 从表中读取源点0到终点v的最
1 30
4 短路径的方法 : 举顶点4为例 edgeTo[4] = 2 edgeTo[2] = 3
• Dijkstra算法求解从顶点v0出发到 其它各顶点最短路径。
• 按路径⻓度递增的次序产⻓最短路 径，该算法假设所有边的权都⻓ 于等于零。
边上权值非负情形的单源最短路径问题
问题的提法： 给定一个带权有向图D与源点 v，求从 v 到 D中其它顶点的最短路径。限定各边上的权值大于或等于 0。
为求得这些最短路径, Dijkstra提出按路径长度的递增次序 , 逐步产生最短路径的算法。首先求出长度最短的一条 最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依 次类推，直到从顶点v到其它各顶点的最短路径全部求出 为止。
顶点3 30 0->3
顶点3 30 0->3
顶点4 -
顶点4 100，50 0->4, 2->4
distTo[w] ≤ distTo[v] + e.weight()
最短路径通用算法
• 算法SP(G， s)：
➢ distTo[s] 初始化为 0 ➢ 对于其他各个节点， distTo[v]初始化为无穷大 ➢ 重复如下操作：松驰G中的任意边，直到不存在有效边为止
顶点0 0 0
顶点0 0 0
顶点0 0 0
顶点1 -
顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点2 -
顶点3 -
顶点2 60，50 1->2, 3->2
顶点3 30 0->3
顶点2 50 3->2
顶点3 30 0->3
顶点2 50 3->2
顶点2 50 3->2
算法与数据结构
最短路径
目录
最短路径介绍 Dijkstra算法 Bellman Ford算法
最短路径问题
• 最短路径问题：如果从图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终 点)的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的 权值总和达到最小。（有向带权图）
• 问题解法
➢ 边上权值非负情形的单源最短路径问题 （s -> 图上其他节点的最短路径）
10 0
1
30
50 2 20
100 10 4
60 3
➢distTo[0] = 0
➢distTo[1] = 10 ➢distTo[2] = 50 ➢distTo[3] = 30 ➢distTo[4] = 90
第1步是选择0节点，对它的所出边进行松弛 第2步是选择1节点，对它的所出边进行松弛 第3步是选择3节点，对它的所出边进行松弛 。。。
— Dijkstra算法
➢ 边上权值为任意值的单源最短路径问题
— Bellman Ford算法
➢ 所有顶点之间的最短路径 （动态规划O(n^3))
— Floyd算法
最短路径相关数据结构
• 目标：找出从s节点到其他所有节点的最短路径.
• 路径：s到所有节点的最短路径树(SPT)必定存在
• 可以用2个数组来表示SPT:
队列： 3, 4, 2
顶点0 0 0
队列： 4, 2
顶点0 0 0
队列： 2
顶点0 0 0
顶点1 -
顶点1 10 0->1 顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点1 10 0->1
顶点2 顶点2
顶点2 60 1->2
顶点3 -
顶点3 30 0->3
顶点3 30 0->3
顶点2 60,50 1->2,3->2
• 实现：怎么样选择边来松驰？
➢ Dijkstra's algorithm (nonnegative weights) ➢ Bellman-Ford algorithm (no negative cycles)
目录
最短路径介绍 Dijkstra算法 Bellman Ford算法
Dijkstra算法
短路径长度； ➢ ...... ➢ dist n-1 [u]为从源点s出发最多经过不构成负权值回路的n-1次relax到达终点u的
最短路径长度；
• 算法的最终目的是计算出dist n-1 [u]，为源点v到顶点u的最短 路径长度。
dist k [u]的计算
• 设已经求出 dist k-1 [u] , u = 0, 1, …, n-1，即从源点s经过最多 不构成负权值回路的k-1次relax到达终点u的最短路径的长度
顶点3 30 0->3
顶点4 100,90 0->4,3->4
10 0 100
1 30 4
50 -10 60
23
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队列： 4
顶点0 0 0
顶点1 10 0->1
顶点2 60,50 1->2,3->2
顶点3 30 0->3
顶点4 100,90,40 0->4,3->4,2->4
队列：
顶点0 0 0
顶点1 10 0->1
➢ dist 1 [u]为从源点s到终点u的最多经过1次relax的最短路径长度，并有dist 1 [u] =adj[s][u]；
➢ dist 2 [u]为从源点s最多经过两次relax到达终点u的最短路径长度； ➢ dist 3 [u]为从源点s出发最多经过不构成负权值回路的三次relax到达终点u的最
➢ distTo[s] 初始化为 0 ➢ 对于其他各个节点， distTo[v]初始化为无穷大 ➢ 重复V-1次：依次松驰G中的各条边
Bellman-Ford算法
10 0 100
边：
1 30
0->1
4
0->3
0->4
50 -10
60
1->2 2->4
23
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20
顶点0 0 0
顶点0 0 0
顶点4 100 -
10 0 100
1 30 4
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2 20 3
索引堆：
3 30
1
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4
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0
1
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Dijkstra示例
顶点0 0 0
顶点1 10 -
顶点2 50 -
顶点3 30 -
顶点4 90 -
索引堆：
2
10 0 100
3
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1 30 4
50 10
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2 20 3
edgeTo[w]: s到w的已知最短路径上的最后一条边 重庆-成都 =》 西安-成都
• 如果边e = v→w 给出了一条经通过v到达w的更短路径
• 更新distTo[w]和edgeTo[w]
最短路径-最优性性质
• 对于有向带权图G, distTo[ ]表示s到各节点的路径，有：
➢ distTo[s] = 0 ➢ 对于其他各个节点， distTo[v]表示某条从s到v的路径长度（对于不可达的节
0
1
2
3
4
0
10
50
30
90
Dijkstra示例
顶点0 0 0
顶点1 10 -
顶点2 50 -
顶点3 30 -
顶点4 60 -
索引堆：
4
10 0 100
2
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50 10
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2 20 3
1
2
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10
50
30
60
作业：基于数组、堆实现Dijkstra算法
Dijkstra示例
顶点0 0 0
顶点2 60,50 3->2
假设 S 是已求得的最短路径的终点的集合，则可证明：下 一条最短路径必然是从v0 出发，中间只经过 S 中的顶点便 可到达的那些顶点vx (vxV-S )的路径中的一条。
每次求得一条最短路径后, 其终点vk 加入集合S，然后对所 有的vi V-S，修改其 dist[i]值。
Dijkstra算法可描述如下：
① 初始化： S ← { v0 }; dist[j] ← Edge[0][j], j = 1, 2, …, n-1; // n为图中顶点个数
② 求出最短路径的长度： dist[k] ← min { dist[i] }, i V- S ; //s->k就是
最短距离 S ← S U { k };
③ 修改： dist[i] ← min{ dist[i], dist[k] + Edge[k][i] }, 对于每一个 i V- S ;
• 递推公式(求顶点u到源点s的最短路径)：
➢ dist 1 [u] = adj[s][u]； ➢ dist k [u] = min{ dist k-1 [u], min{ dist k-1 [j] + adj[j][u] } }, j=0,1,…,n-1,j≠u
Bellman-Ford算法
• 算法SP(G， s)：
④ 判断：若 S = V, 则算法结束，否则转 ②。
Dijkstra算法中各辅助数组的最终结果
序号 顶点 1 顶点 2
Dist
10
-,60,50
edgeTo
0
3
顶点 3 30 0
顶点 4 60 2
10 0 100 从表中读取源点0到终点v的最
1 30
4 短路径的方法 : 举顶点4为例 edgeTo[4] = 2 edgeTo[2] = 3
• Dijkstra算法求解从顶点v0出发到 其它各顶点最短路径。
• 按路径⻓度递增的次序产⻓最短路 径，该算法假设所有边的权都⻓ 于等于零。
边上权值非负情形的单源最短路径问题
问题的提法： 给定一个带权有向图D与源点 v，求从 v 到 D中其它顶点的最短路径。限定各边上的权值大于或等于 0。
为求得这些最短路径, Dijkstra提出按路径长度的递增次序 , 逐步产生最短路径的算法。首先求出长度最短的一条 最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依 次类推，直到从顶点v到其它各顶点的最短路径全部求出 为止。
顶点3 30 0->3
顶点3 30 0->3
顶点4 -
顶点4 100，50 0->4, 2->4