成都理工大学复变函数试题
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数复习题一(参考答案)
复习题一一、 判断题（正确打∨，错误打⨯，把判断结果填入下表）：1、若函数f (z )在0z 解析，则f (z )在0z 的某个邻域内可导。
（∨）2、若函数f (z )在0z 处解析，则f (z )在0z 满足C.-R.条件。
（ ∨）3、如果0z 是f (z )的可去奇点，则)(lim 0z f z z →不存在。
(⨯ )4、若函数f (z )在区域D 内解析，则)('z f 在区域D 内解析。
（∨ ）5、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展为幂级数。
（ ∨）6、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（∨ ）7、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某一条曲线上恒为常数，则f (z )在区域D 内恒等于常数。
（∨ ）8、若0z 是f (z )的m 阶零点，则0z 是)(1z f 的m 阶极点。
（∨ ） 9、如果函数f (z )在闭圆3||k ≤z ：上解析，且时当3|z |=，有)0(|)(|>≤m m z f ，则m z f ≤∈∀|)(|,k z 有。
（ ∨ ） 10、lim z z e →∞=∞。
（⨯ ）二、 单项选择题（将选择结果填入下表。
）1、方程| z + 3 | + | z + 1 | = 4所表示的图形是：（A ）双曲线； （B ）椭圆； （C ）直线； （D ）圆。
.)(()()()()()()()(2)(22轴上可导仅在；仅在原点可导；处处不可导；处处可微，那么设、x z f D z f C z f B z f A x i xy z f-=3、设c ：,1=-i z 则⎰=-C dz i z z2)(cos（A ）eiπ2 （B ）1sinh 2π （C ）0 （D ）i i cos.0)(;0)(;)(;)()(41232但发散，通项趋于通项不趋于条件收敛绝对收敛为级数、D C B A ne n in ∑∞=.)(;)(;)(;)()(353sin 二级极点一级极点可去奇点本性奇点是在点函数、D C B A z e zz =-三、填空题,2,1,0;23arctan ,311±±=+-=--=k k Argz i z ππ则设、 2、=-+22i i __543i +-__。
复变函数与积分变换试卷(13-14-1.A1)
1四川理工学院试卷（2013 至2014学年第 1学期）课程名称：复变函数与积分变换 命题教师：雷远明 适用班级：电科121,122班,自动化12（卓越）考试 （闭卷，2小时完成） 2013年1月 日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
试 题一、填空题（本大题共13个小题,每小题3分, 共39分）1．复数i z ⋅+-=22的三角形式=z , 指数形式=z .2．设复数i z +=1, 则=9z .3．方程02=+i z 的二个根分别是1z , 2z , 则=-21z z . 4．复对数()=-ie ln 2 .5．若复变函数()()()y x iv y x u z f ,,+=和()()()y x iv y x u z f ,,-=都在区域D 内 解析, 则 ()='z f .6．设C 为正向圆周1=z , 则积分=⎰dz zze C z cos .7．设C 为正向圆周1<=r z , 则积分()=+-+⎰dz z z z e C iz )1)(1(2cos 34 .8．函数z cos 在00=z 的Taylor 展开式为 . 9．函数()zz z f 312-=在圆环域+∞<<z 3内的Laurent 展开式为()=z f .10．0=z 是函数()()()zz z z ez sin 11cos 1352+--的 级极点.211．函数)(t f 的频谱函数()()()[]11-++=ωδωδπωF ，则=)(t f . 12．函数()11)(22+=s s s F 的Laplace 逆变换()[]=-s F L 1 . 13．若()[]()2132++=s s t f L , 则()=0f .二、设C :2=z , 正向; 函数()()()2213sin 4--=z z z izz f π.根据留数定理计算积分()⎰Cdz z f ,（本题13分）.3三、如果0z 分别是函数()z f ,()z g 的m 和n 级零点, 且n m >. 证明0z 是()()z f z g 的n m -级极点,（本题6分）. 求函数t t f 2sin 2)(π-=的Fourier 变换()[]t f F ,（本题8分）.4五、完成下列求函数()dt t et t f tt⎰-=02sin 的Laplace 变换()[]t f L 过程, （本题6分）.根据Laplace 变换的位移性质可知=-]sin [2t e L t ; 再应用Laplace 变换的积分性质有 =⋅⎰-]sin [02dt t eL tt;最后应用Laplace 变换的微分性质可得=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎰-dt t et L t t 02sin .六、求[]()22112--+=s s s s s F 的Laplace 逆变换,（本题8分）.5七、已知Fourier 变换[]βωββπ422--=eeF t , 对函数241)(t t et t f -⋅=,解答下列问题, （本大题有2个小题, 第(1)小题12分, 第(2)小题8分, 共20分）.(1) 求)(t f 的能量谱密度()ωS , （本小题12分）.6(2) 求)(t f 得相关函数)( R ,（本小题8分）.。
《复变函数》考试试题(八)参考答案
《复变函数》考试试题（八）参考答案一、判断题.1. ×2. ×3. ×4. √5. × 二、填空题.1. 1-2. ()π-3. 1()f z z z=+4. 0,∞5. i6. 2π7. 18. 221nπ-9.本性 10. π- 三、计算题.1.解：arg 2155z k ik w zeπ+= 0,1,2,3,k =1=- 得251k ieππ+-= 从而有2k =4114105102331(1)22(co s sin )44iw i e i i ππππ-+--=⋅=+=2.解：（1）2()1L n z f z z =-的各解析分支为2ln 2()1k z k f z z π+=-，(0,1,)k =± .1z =为0()f z 的可去奇点，为()k f z 的一阶极点(0,1,)k =± 。
0R e ((),1)0s f z = R e ((),1)ks f z k i π= (1,2,)k =±± （2）1100011R e R e !!znn n z z n e z ss zz n n ∞++===⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦∑ 3.计算下列积分 解：（1）72323221()12(1)(2)(1)(1)zf z z z z zz==-+-+1R e (,)1s f C -∞=-=-2()2[R e (,)]2z f z d z i s f i ππ==-∞=⎰（2）设2222222()()()()zzf z z a z a i z a i ==++-令22()()zz z a i ϕ=+， 32()()a iz z z a i ϕ'=+则23()2()1R e (,)1!(2)4a i a i s f a i i a i aϕ'===-I m 0()2R e (,)2z f z d z i s f a i aππ>==⎰2222()2x d x x a aπ+∞-∞=+⎰4.儒歇定理：设c 是一条围线，()f z 及()z ϕ满足条件： （1）它们在c 的内部均解析，且连续到c ； （2）在c 上，()()f z z ϕ>则f 与f ϕ+在c 的内部有同样多零点，即()10f z = 6()6g z z z =+有 ()()f z g z >由儒歇定理知66100z z ++=在1z <没有根。
复变函数考试卷试题及答案
应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1． 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。
（A ）单连通区域）单连通区域 （B ）多连通区域）多连通区域 （C ）开集非区域）开集非区域 （D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。
()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3． 下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。
()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（ ）。
()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5． 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（ ）。
()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。
2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。
复变函数试题库完整
《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z nz z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数期末考试试题
复变函数期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(z)在z=a处解析，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件？A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数？A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)（g(z)≠0）6. 以下哪个函数是调和函数？A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的导数？A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的积分？A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的柯西-黎曼方程为________。
复变函数试题及答案(最新整理)
A 在有限个点可导
C 在无穷多个点可导
2、使 z 2 z 2 成立的复数是（
A 不存在
B 唯一的
3、
z
2
cos z (1 z)2
dz
（
）
B 存在任意阶导数 D 存在有限个点不可导
） C 纯虚数
D 实数
A －i sin1 B i sin1 C －2i sin1 D 2i sin1
2 分
(1） f z及z在 z 1解析
(2） z 1上， f z 5z n 5
z e z 1 e z 1 e z 1 e 1 <5
4分
故在 z 1上 f z z ，由儒歇定理在 z 1内
N ( f z z, z 1) N ( f z, z 1) n
一、填空题（每小题 2 分）
Re s f (z) 5z 2
2
z0
(z 1)2 z0
2 分
Re s f (z) 5z 2
z 1
z
2 2 z2
z 1
z 1
5分
5z 2 dz = 2i(-2+2)=0
z 2 z(z 1)2
3 解： f z z 1
z 1
=
1
z
2 1
1 1
1 z
1
1 1 n z 1n
4、根式 3 i 的值之一是（ ）
A 3i 22
B 3i 22
5、
z
是
sin z z
的（
）
A 可去奇点 B 一阶极点
Ci C 一阶零点
D i D 本质奇点
6、函数
f
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、 求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、 证明题、(20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、 《复变函数》考试试题(一)参考答案一． 判断题1.×2.√ ３.√ ４.√ ５.√ 6.√ ７.×８.×９.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、 整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、 四、 证明题、1、 证明 设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、 消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、 所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、 所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、 于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、 所以()f z =2π、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 有界整函数必为常数、 ( )5、 如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、 若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、 函数e z 的周期为__________、7、 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、 函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、 三、 计算题、 (40分)1、 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、 在复平面上取上半虚轴作割线、 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、 证明题、 (20分)1、 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、 试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ ２.×３.√ ４.√ ５.×6.×７.×８.√ ９.×10.×、 二、 填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、 三、 计算题1、 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、 解 令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、 证明题、1、 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、 则0x y y x u v u v ====、 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相 同个数的根、 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、 因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、 判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、 若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、 若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、 若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、 函数e z的周期为_________、3、 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、 设1-=ze ,则___=z 、9、 若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、 计算题、 (40分)1、 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、 证明题、 (20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数复习考卷及其答案好!
复变函数复习考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. $e^z$B. $\frac{1}{z}$C. $\sqrt{z}$D. $\ln(z)$2. 复变函数在孤立奇点处的洛朗级数展开中，负幂项系数的含义是？（）A. 函数在该点的留数B. 函数在该点的导数C. 函数在该点的极限D. 函数在该点的幅角3. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是？（）A. 柯西黎曼方程成立B. 洛朗级数展开存在C. 原函数存在D. 哈尔迪惠特尼定理成立A. 柯西积分定理B. 奇点定理C. 留数定理5. 复变函数在孤立奇点处的留数等于？（）A. 奇点处的函数值B. 奇点处的导数C. 奇点处的极限D. 奇点处 Laurent 展开式中负幂项系数的和6. 复变函数的导数等于？（）A. 实部关于 x 的偏导数B. 虚部关于 y 的偏导数C. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的和D. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的差7. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是？（）A. D 为单连通区域B. D 为多连通区域C. D 为有界区域D. D 为无界区域8. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是？（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 无条件收敛D. 不能确定二、填空题（每题4分，共40分）1. 复变函数 $f(z) = e^z$ 在 $z=0$ 处的泰勒级数展开式为______。
2. 复变函数的导数 $f'(z)$ 满足______方程。
3. 若复变函数 $f(z)$ 在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径______。
4. 复变函数在孤立奇点处的留数等于该点______项系数的和。
5. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是______。
6. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是 D 为______区域。
7. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是______。
(完整版)复变函数测试题及答案
第一章 复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章 解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 （C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ； ２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 （A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。
复变函数复习考卷及其答案好!
复变函数复习考卷及其答案（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5题，每题4分，满分20分）1. 下列函数中，哪个是全纯函数？（）A. f(z) = zB. f(z) = |z|C. f(z) = z^2 + 1D. f(z) = ln|z|2. 复变函数f(z)在z=0处解析，则下列结论正确的是？（）A. f'(0) = 0B. f(0) = 0C. f(z)在z=0的某个邻域内可展开成幂级数D. f(z)在z=0的某个邻域内不可导3. 复变函数f(z)在区域D内解析，则下列说法正确的是？（）A. f(z)在D内必定有极值B. f(z)在D内必定有零点C. f(z)在D内必定满足柯西黎曼方程D. f(z)在D内必定是单调函数4. 复变函数f(z)在区域D内解析，且f'(z) ≠ 0，则f(z)在D 内？（）A. 必定有极值B. 必定是单调函数C. 必定是双值函数D. 必定是一一映射5. 下列级数中，哪个是收敛的？（）A. ∑(n=1 to ∞) z^n / nB. ∑(n=1 to ∞) (1/z)^nC. ∑(n=1 to ∞) sin(nz)D. ∑(n=1 to ∞) n^2 z^n二、填空题（共5题，每题4分，满分20分）1. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y) = x^2 y^2，v(x, y) = 2xy，则f'(z) = _______。
2. 若f(z) = e^z，则f'(z) = _______。
3. 复变函数f(z)在z=0处解析，且f(0) = 1，f'(0) = i，则f(z)在z=0处的泰勒展开式为 _______。
4. 复变函数f(z)在区域D内解析，且满足|f(z)| ≤ M，则f(z)在D内满足 _______。
5. 复变积分∮(C) (1/z) dz中，C为以原点为中心，半径为R的圆，则该积分的值为 _______。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -.6. 2k i π，()k z ∈.7. 0；8. i ±；9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)nn n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数复习考卷及其答案好!
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 复变函数中，下列哪个函数是全纯函数？A. f(z) = z^2 + 1B. f(z) = |z|C. f(z) = Re(z)D. f(z) = z + |z|2. 复变函数f(z)在z=a处解析的充分必要条件是？A. f(z)在z=a处可导B. f(z)在z=a处的导数存在C. f(z)在z=a处的极限存在D. f(z)在z=a处的 Laurent 级数展开收敛3. CauchyRiemann方程中，u和v分别表示什么？A. u表示实部，v表示虚部B. u表示虚部，v表示实部C. u表示模，v表示幅角D. u表示幅角，v表示模4. 复变函数f(z)的Taylor级数展开式中，系数an与下列哪个量有关？A. f(z)在z=0处的导数B. f(z)在z=0处的值C. f(z)在z=0处的n阶导数D. f(z)在z=0处的Laurent级数5. 复变函数积分中，下列哪种方法不能用来计算复变函数积分？A. 定积分B. 不定积分C. Cauchy积分公式D. 复合积分法二、判断题（每题1分，共5分）1. 复变函数的导数与实变函数的导数定义相同。
（）2. 复变函数的积分路径可以任意选取。
（）3. 复变函数的Taylor级数展开一定收敛。
（）4. 复变函数的Laurent级数展开中，负幂项表示奇点。
（）5. 复变函数在孤立奇点处的留数总是唯一确定的。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 复变函数f(z) = z^2的导数为______。
2. 复变函数f(z)在z=0处的Taylor级数展开为______。
3. Cauchy积分公式中，积分路径C必须围绕______。
4. 复变函数f(z)在z=a处的留数是______。
5. 复变函数f(z) = e^z的Laurent级数展开为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述复变函数的可导与解析的关系。
大学数学复变函数练习题及答案
大学数学复变函数练习题及答案1. 解析函数（1）求函数 $f(z)=|z|^2+z^3$ 的实部和虚部。
解：设 $z=x+yi$，其中 $x,y \in \mathbb{R}$，则有$f(z)=|z|^2+z^3=(x^2+y^2)+(x+yi)^3=(x^2+y^2)+(x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3))$则实部为$u(x,y)=x^3-3xy^2+x^2+y^2$，虚部为$v(x,y)=3x^2y-y^3$。
（2）求函数 $f(z)=xe^z$ 的实部和虚部。
解：设 $z=x+yi$，其中 $x,y \in \mathbb{R}$，则有$f(z)=xe^z=x(e^x \cos y + i e^x \sin y)$则实部为 $u(x,y)=x e^x \cos y$，虚部为 $v(x,y)=x e^x \sin y$。
2. 应用题（1）一个圆盘的温度分布表示为 $u(r,\theta)=r^2(1-\cos \theta)$其中 $r$ 表示距离圆心的半径，$\theta$ 表示与 $x$ 轴的夹角。
求圆盘表面的温度分布。
解：由题意可知，圆盘的温度分布是一个解析函数，且满足实部和虚部均为调和函数的条件。
而根据复变函数理论，解析函数的等温线一定是亚纯函数的对数螺旋线。
由此，圆盘表面的温度分布可以表示为$f(z)=|z|^2(1-\cos(\arg(z)))$，其中 $z=re^{i\theta}$。
（2）已知 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 为解析函数，其中 $u(x,y)$ 和$v(x,y)$ 均为连续可微函数。
试证明：当且仅当 $u_x=v_y$ 和 $u_y=-v_x$ 时，$f(z)$ 为调和函数。
证明：设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 为解析函数，则满足柯西-黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 和$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。
复变函数试题、答案
学年第二学期《复变函数》试卷 甲使用班级：电气、电子 闭卷 课程编号：答题时间： 120 分钟共 4 页第 1 页一、填空：（每空2分，共20分）1. z=-2+3i, Re (z)= -2 , Im (z)= 3 , |z| =13, Arg (z)= -arctan 3/2 +(2k+1)π 。
2. f(z) = 2x -3y + (sin x -3y )i 是否是解析函数？ 不是 。
3. ⎰ii dz z - 34 = 0 。
4. C 是正向单位圆周，⎰C dz z 2)cos( = 0 。
5. Ln(-1) = i （2k+1）π6.∑+∞=202n n nz 的收敛半径 = 1 。
7. C 是正向单位圆周，⎰C dz zz 2)cos( = 2πi 。
二、计算下列各题：（10分/小题，共70分）1．设函数f (z )=my 3+nx 2y+i (x 3+lxy 2)是全平面内的解析函数。
求l, m, n 的值。
解 u = my 3+nx 2y v=(x 3+lxy 2) （3分）由f (z ) 解析, 得 x y yx v u v u -== （4分）解得 n = l = -3 , m = 1 （3分）共 4 页第 2 页2. 求⎰=-+-5)3)(1(13z dz z z z 解 ⎰=-+-5)3)(1(13z dz z z z =⎰=+-+-5.01)3)(1(13z dz z z z +⎰=--+-5.03)3)(1(13z dz z z z （4分）=i 2π(1313-=--z z z +3113=+-z z z ) （4分）=i 6π （2分） （本题方法不唯一）3． 已知u (x,y ) = x 2 – y 2 -2xy , 求其共轭调和函数v (x,y )及解析函数f (z )= u (x,y ) +i v (x,y )。
解 由f (z ) 解析, 得z i x y i y x iv u z f x x )1(2)22(22)(/+=----=+= （4分）所以C z i z f ++=2)1()( （5分） C 是任意纯虚数 （1分）（本题方法不唯一）共 4 页第 3 页4．求⎰=-+-322)1(12z dz z z z ． 解i6)12( i 2)1(1212322ππ='+-=-+-==⎰z z z z dz z z z （10分）5．求)2)(1(12--+z z z 在圆环1<|z |<2内的洛朗展开式解 1<|z |<2时12,11<<zz （3分）)2)(1(12--+z z z =∑∑∞=+∞=+-+-01011325n n n n n z z （7分）（本题有其他等价形式，不唯一）6．求11+-z z 在z 0 = 2点的泰勒展开式，并指出它的收敛半径．解 321132111-+-=+-z z z （3分）|z -2|<3时321132111-+-=+-z z z =∑∑∞=+∞=---=---1103)2(2)1(313)2()1(321n n nn n n nn z z （5分）收敛半径r=3 （2分）（本题有其他等价形式，不唯一）7．求dt tt e t ⎰∞+-0 22sin 。
成都理工大学复变函数试题
成都理工大学《复变函数》模拟考试试题（一）参考答案121i z +=，则=2010z i 。
2 三角形三个顶点复数为321,,z z z ，则重心处的复数是)(31321z z z ++。
3 函数2||z w =的奇点是 全体复数（任意复数） 。
4i e π+1= -e 。
5 |z|=1，化简zz 1-= 0 。
二 计算题(每题6分，共4题24分)6 求Ln(1+i 3) 的全体值。
解：原式=)31(2ln i iArg ++···················3分 =)32(2lnππ++k i ·····················3分7 求i i )1(+的全体值。
解：原式=)1(i iLn e +=))42(2(ln ππ++k i i e····························3分=)42(ππ+-k e2lni e=)42(ππ+-k e[2ln sin 2ln cos i +]·············3分8 计算⎰πsin zdz z 。
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2 i(2 k
)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 3
求 (1 i ) i 的全体值。
解：原式= =
e iLn (1 i )
4 ))
e e
i (ln 2 i ( 2 k
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分
5
成都理工大学 《复变函数》模拟考试试题（二）附参考答案
大 得 一． 题 分 判断题（每题 2 分，共 6 题，总分 12 分）
f ( z) 的奇点 g ( z)
(╳) ( √ )
一
二
三
四
总
分
1. 若 z 0 是 f ( z ) 和 g ( z ) 的一个奇点，则 z 0 也是 f ( z ) g ( z ) 和 2. 若函数 f ( z ) 点 z 0 解析， 则在该点连续。 3.
3 函数 w | z | 2 的奇点是 4
全体复数（任意复数） 。
。 1 5 |z|=1，化简 z = 0 。 z 二 计算题(每题 6 分，共 4 题 24 分) 6 求 Ln(1+ 3i ) 的全体值。
e 1 i =
-e
解：原式= ln 2 iArg (1 3i ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 = ln 7
n
z n 1 有 相 同 的 收 敛 半 径
z 1 是
(╳)
二．
填空题（每题 3 分，共 8 题，总分 24 分）
1. 设 z
1 3i ，则 Argz 2k 3 2
1 i
i
, z 2 3 i ，则 z1 z 2 的指数形式表示为 2e 2 1 2 2 3. 函数 w 将 z 平面上的曲线 ( x 1) ( y 1) 2 变为 w 平面上的曲线的方程 z
= =
( z a ) dz
C
2 i i = · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2a a 三 解答题(每题 6 分，共 4 题 24 分)
10
u(x,y)= y 3 3 x 2 y ，求函数 v(x,y)，使 u(x,y)+iv(x,y)是解析函数。
1 1 zi z
1 1 zi z
1 i n ( ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 i z n0 z 1 z 1 1 1 z 2 1 z n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ( ) · 2 n0 2
| 2i | 2, arg( 2i ) 。 伸缩率为 2，转动角
1 i 2e
的圆。 圆心是
i
4
，乘以(1+i)表示旋转 4 ，再以原点为基准向外膨胀为 2 倍
2 2 i ，膨胀到 1-i。半径从 1 膨胀到 2 。 2 2
最后图形是|w- (1-i)|<
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2。
cos z cos z
( √ )
4.
u x2 y2 ， v
y ，则 u vi 是解析函数 x y2
2
(╳)
5. 若 lim ( √ ) 6.
c n 1 存 在 ( ) ， 则 n c n ln( z 1) 的孤立奇点 z
cn z n 与
n 0
nc
n 0
四 计算题(每题 8 分，共 4 题 32 分) 14 计算 z dz ，L 是连接(0,0)与( ，0)的曲线 y sin x ，(0,0)为起点。
L
解：原式= ( x iy ) d ( x iy ) · · · · · · · · · · · · · ·定义 2 分
L
= xdx
2
解： lim
c n 1 2 .· · · · · · · · · · · · ·3 分 | 1 i | 2 ，半径 R= n c 2 n
圆心为 i 。 收敛域 | z i |
2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2
12 求映射 w z 2 在 z=i 处的伸缩率和转动角。 解： w' z 2 z ,
w' z (i ) 2i · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分
。 · · · · · · ·3 分 2 13 在映射 w=(1+i) z 下，z 平面上的图形 |z-i|<1 被映射成 w 平面上的 什么图形。 解：共轭表示以实轴为对称轴上下翻，映射为|z+i|<1· · · · ·3 分
L
ydy i
ydx i xdy ) · · · · ·展开 2 分
=
2 0 i sin xdx i xd sin x · · · · · · · · · · · · ·代路径 2 分 0 0 2
=
2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·分部积分 2 分 2
= z cos z | 0
0
cos zdz
· · · · · · · · · · · · ·3 分
= 9 计算
C 2
dz ， C： z a a 的正向。 z a2
1 2a
解： 原式=
1 2a 1
(z a
C
1
1 ) dz ，C 内只包围奇点 a, · · · ·3 分 za
2. 设 z1 是u v
12
1 （用 u,v 表示） 。 2
6
4.
Arc tan( 1) k lim z 1 ni n 1 ni
-1
4
5. 6.
1 3 1 3 i ，则 z 2009 i。 2 2 2 2
0 ，伸缩率是 ch1
2
7. 映射 w sin z 在 z=i 处转动角是 8. 函数 ln(1 z ) 的奇点是
2
z 1 z 1 1 ,0] lim z0 z 2 2 z 2z z 1 z 1 3 Re s[ 2 ,2] lim `· · · · · · · ·两个有限奇点的留数 2 分 z 2 z 2 z 2z 留数定理 2： z 1 z 1 z 1 Re s[ 2 , ] Re s[ 2 ,0] Re s[ 2 , 2] 1 · · · · ·2 分 z 2z z 2z z 2z 17 求将下半平面 Im(z)<0 映射成单位圆 |w-i|<2 的分式线性映射。
2
( 2 k
4
)
=
ei ln
1
=
e
( 2 k
4
)
[ cos ln
2 i sin ln 2 ]· · · · · · · · · · · · ·3 分
8 计算
0
z sin zdz 。
解：原式=
0
zd cos z
· · · · · · · · · · · ·3 分
e iz e iz e iz e iz · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 0· 2i 2
e i 2 z i · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 z k
3
15 把函数 f ( z ) 解：原式= 其中
1 在区域 1<|z|<2 展开成洛朗级数。 ( z 1)( z 2)
2
1 2i 1 1 2i 1 1 1 · · · ·拆项 2 分 10 z i 10 z i 5 z 2 1 1 i z 1 i ( ) n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 z n0 z
' ( y ）=0，所以 ' ( y ）=C。
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 v x3 3y 2 x C · 11 求级数
(1 i )
n0
n
( z i ) n 的收敛域。
所有纯虚数， （y 轴上除 0 以外的所有点）
三．
解答题（每题 6 分，共 8 题，总分 48 分）
2 2 2
1. 证明： | z1 z 2 | | z1 | | z 2 | 2 Re( z1 z 2 ) 解： 左边= ( z1 z 2 )( z1 z 2 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分
成都理工大学 《复变函数》模拟考试试题（一）参考答案
大 得 题 分
1 i 2