7.2.4三角函数值在各象限的符号
各象限角的三角函数值的符号
( B) ( D)
sin 0 且cos 0 sin 0 且cos 0
3、在△ABC中，下列函数中可以是负值的是（ D ）
( A) sin A
( B) A BC (C ) cos tan 2 2
( D) tan A
二、填空题
25 1、计算： tan 3
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
(1) sin 280 (4)
25 sin 4
0
(2) cos473
0
742.3 ) (3) tan(
0
Hale Waihona Puke 38 ) (5) cos( 5
e
62 tan( ) 5
解 (1)因为280°就是第四象限角，所以
sin 280 < 0
0
(2)
(5)
cos473 0 (3)
0
tan(742.3 ) 0
o
x
x 第一象限：x 0, r 0, 故 为正值； r x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
高一数学-第七教时三角函数的值在各象限的符号 精品
第七教时三角函数的值在各象限的符号目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。
过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题 然后师生共同操作： 第一象限：0,0.>>y x ∴sin α>0,cos α>0,tan α>0,cot α>0,sec α>0,csc α>0 第二象限：0,0.><y x ∴sin α>0,cos α<0,tan α<0,cot α<0,sec α<0,csc α>0 第三象限：0,0.<<y x ∴sin α<0,cos α<0,tan α>0,cot α>0,sec α<0,csc α<0 第四象限：0,0.<>y x ∴sin α<0,cos α>0,tan α<0,cot α<0,sec α>0,csc α<0记忆法则：ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正1．由定义：sin(α+2k π)=sin α cos(α+2k π)=cos α tan(α+2k π)=tan α cot(α+2k π)=co α sec (α+2k π)=sec α csc (α+2k π)=csc α三、例一 （P18例三 略）例二 （P18例四）求证角θ为第三象限角的充分条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin ϑθ )2()1( 证：必要性：若θ是第三象限角，则必有sin θ<0,tan θ>0充分性：若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin θ<0 则θ角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴若tan θ>0，则角θ的终边可能位于第一或第三象限∵⑴ ⑵ 都成立 ∴θ角的终边只能位于第三象限∴角θ为第三象限角例三 （P19 例五 略）四、练习：1．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（B ） A ：锐角三角形 B ：钝角三角形 C ：直角三角形 D ：以上三种情况都可能2．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………（B ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<03．已知θ是第三象限角且02cos <ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ++<<+k k )(Z k ∈ ∴4322ππθππ+<<+k k )(Z k ∈ 则2ϑ是第二或第四象限角 又∵02cos <ϑ 则2ϑ是第二或第三象限角 ∴2ϑ必为第二象限角 4．已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？解： 由1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ ∴sin2θ>0∴2k π<2θ<2k π+π )(Z k ∈ ∴k π<θ<k π+2π ∴θ为第一或第三象限角五、小结：符号法则，诱导公式六、作业： 课本 P19 练习4,5,6P20-21习题4.3 6-10。
三角函数在各象限的符号
三角函数值在各象限的符号教学设计
1.(8分钟)判断下列角的各三角函数符号：（1）−235º；（2）480 º；（3） ；（4） ．
2．根据条件 且 ,确定 是第几象限的角.
答案：1．（1） , ， ；
（2） , ， ；
（3） , , ；
（4） , , ．
2． 是第二象限的角．
补充说明：利用三角函数的定义，可以求得0、 、 、 、 等几个象限界角的三角函数值。
符号记忆：
观看大屏幕
听讲
理解
记忆
概念的强化（利用课件演示、讲授，启发学生回答
实例
讲解
任务二：
例2（讲授，板书）判定下列各角的各三角函数符号：
（1）4327º；（2） ．
分析关键是判定角所在的象限
解（1）因为 ，所以，4327º角为第一象限角，故 ， ， ．（2）因为 ，所以， 角为第三象限角，故 ， ， ．
更新补充删减内容教学后记授课主要内容或板书设计三角函数值在各象限的符号根据画图结合三角函数定义分析讲解三角函数值在各象限内的符号并用彩笔板书例题板演
教学设计
课程名称：数学
课 题：三角函数值在各象限的符号
主讲教师：
日 期：
寿光市职业教育中心学校职场导学
教Hale Waihona Puke 设计课题三角函数值在各象限的符号
授课日期
2018.10
教学重点
与难点
重点：三角函数值在各象限的符号；
难点：根据所给条件判断角所在的象限。
教学方法
启发式+任务驱动+总结归纳。
教学资源
《数学》第二册、《数学学习指导与练习》、《数学教师教学用书》、
多媒体课件、学生工作页、任务书。
更新、补
充、删减
三角函数公式、图像大全
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h-------------------------------------------------------------------------------------------- 三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
7.2.4.三角函数在各象限的符号
思考：1、已知sin tan 0 确定是第几象限的角 2、已知cos与 tan异号 确定是第几象限的角
终边相同的角的同一三角函数值相等：
sin k 3600 sin 公式一cos k 3600 cos ,k Z
tan k 3600 tan
公式一的作用： 把求任意角的三角函数值转化为求
00到3600角的三角函数值。
例3、求下列三角函数的值：
1sin148002 cos 9
4
3
tan
11
6
特殊角的三角函数值表
角
00
三角函数
300 450
sin
1 0
2
2
2
cos
1
3
2
2
2
tan
0
3
1
3
cot
不存在 3
1
600 900
3
1
21Βιβλιοθήκη 023 不存在
3
0
3
特殊角的三角函数值表
角
1800
(6) 如果tan <0，则是___或是___象限的角；
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
cos
tan、cot
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1、确定下列三角函数值的符号：
1
cos
2500
2
sin
4
3 tan 6720 4 tan 11 3
例2 根据条件,判断 是第几象限角
(3) 如果tan ＞0，则是__或是___象限的角；
y
各象限角的三角函数值的正负号
2、余弦函数值cos x
r
第一象限：x 0, r 0,故 x 为正值； r
y
第二象限：x 0, r 00,故 x 为负值； o
x
r
第四象限：x 0, r 0,故 x 为正值； r
3、正切函数值 tan y
x
y
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
1、正弦函数值sin y
y
r
第一象限：y 0, r 0,故 y 为正值；
r
第二象限：y 0, r 0,故 y 为正值； o
x
r
第三象限：y 0, r 0,故 y 为负值； r
第四象限：y 0, r 0,故 y 为负值； r
角
00
三角函数
sin
0
cos
1
tan
0
300 450
1
2
2
2
3
2
2
2
3
1
3
600 900
3
1
2
1
0
2
3 不存在
特殊角的三角函数值表
角
1800
三角函数
2700
3600
sin
0
1
0
cos
1
0
1
tan
0 不存在 0
x
第一象限：x 0, y 0,故 y 为正值； x
y
第二象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
x
第三象限：x 0, y 0,故 y 为正值； o
x
x
第四象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
4)、余切函数值
7.2.4三角函数值在各象限的符号(单位圆)
sin y
x
+
0
y + x
0
y + x +
0 +
y + x -
正弦
余弦
正切
结论：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如限
cos
sin
+ +
+
+ －
－
－
－ +
－
+ －
cos
tan
你可以采用自己喜欢的方法记住它们
例题分析
x 叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα= x r r y y x 叫做角α的正切，记作tanα，即tanα= x
O
任意角三角函数的定义 sinα
cosα
tanα
2、设 α 的终边与单位圆交点为P(x,y)，那么
y sin = ____
1
y
P(x,y)
x cos = ____
y ( x 0) tan = ____ x
O
1
x
故：P(x,y)=P(cosα,sinα) 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位 圆交点的横坐标和纵坐标。
复习：
1、直角坐标系中四个象限内的点（x，y）的横坐标x、 纵坐标y的符号有何特点？
y
第二象限
X<0 ,y>0 0
第一象限
x>0 ,y>0
x
第四象限
第三象限
X<0 ,y<0
• 例7 确定下列三角函数值的符号
π 11 π （ 1 ） sin( )；（2） cos 250 ；（3） tan( 600 )；（4） cos 4 3
2、三角函数值在各象限的符号
y
x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
o
x
y 3 、正切函数值 tan x
y 第一象限：x 0, y 0, 故 为正值； x
三角函数值在各象 限的符号
复习旧知
任意角三角函数的定义：
在角α的终边上任取一点P(x,y),点P到原点的距离记作r，
有：r | OP |
x2 y 2 r 0
x r , tan α y x
那么我们定义
sin α
y r
, cos α
新课讲授
三角函数值在各象限内的符号：
y 第二象限：x 0, y 0, 故 为负值； x
y
y 第三象限：xБайду номын сангаас 0, y 0, 故 为正值； x
第四象限：x 0, y 0, 故 y 为负值； x
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
口诀：
cos
tan 、 cot
“一全正、二正弦、三正切、四余弦”
例题赏析
例1 、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
y 1 、正弦函数值 sin r
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r
y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
各象限角的三角函数值的符号
（4）当α为第四象限角时
cos 0
`
例1、确定下列三角函数值的符号：
(1) sin 280 (4)
2s473
0
(3) tan( 742.3 )
0
38 ) (5) cos( 5
e
62 tan( ) 5
解 (1)因为280°就是第四象限角，所以
3
0.（填“>”或“<”号） 三 象限的角.
2、三角函数值：cos490°<
3、若cosα<0且tanα>0，则角α是第
sin 0 sin 0
cos 0 cos 0 cos 0
tan 0 tan 0 tan 0 tan 0
cot 0 cot 0 cot 0 cot 0
（2）当α为第二象限角时 （3）当α为第三象限角时
1当为第一象限角时2当为第二象限角时观察下图当角分别为第一二三四象限角的符号变化情况sin3当为第三象限角时280sin473cos742tan25sin38cos62tan280sin473cos25sin38cos62tan解
观察下图A当角α分别为第一、二、三、四象限角 xp yp xp yp 时 sin 的符号 cot tan cos yp xp r r 变化情况 （1）当α为第一象限角时
sin 280 < 0
0
(2)
(5)
cos473 0 (3)
0
tan(742.3 ) 0
0
( 4)
38 cos( )0 5
25 sin 0 4
(6)
62 tan( )0 5
象限角的三角函数符号与轴线角的三角函数值
记忆要点：
符号部分：倒数关系要记准，这样六个三角函数第一象限全正，其余象限均为两正四负
数值部分：数轴所对分数分子代表该角正弦值、分母为余弦值、整个分数为正切值
（sin=0 cos=−1 tan=0 tan/2不存在）、按照倒数关系可得另三个函数值，熟练后只记sin0=0
应用：
五点法作图：正弦五个关键点分别是（0,0）（/2,1）（，0）（3/2，−1）（2,0）
余弦五个关键点分别是（0,1）（/2,0）（，−1）（3/2，0）（2,1）
正切定义域：/2、3/2的正切值不存在，说明求正切时角终边不能落在y轴，所以正切函数定义域为{x|x≠/2+k,k∈Z}。另三个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数定义域与之类似
三角函数在各象限的符号
不存在
公式一的作用：
把求任意角的三角函数值转化为求 00到3600角的三角函数值。
例3、求下列三角函数的值： 9 0 1 sin1480 2 cos 4 11 3 tan 6
特殊角的三角函数值表
0
例2 根据条件,判断 是第几象限角
(1)sin 0且 tan 0
(2) cos tan 0
终边相同的角的同一三角函数值相等：
sin k 3600 sin 0 公式一cos k 360 cos , k Z 0 tan k 360 tan
y 3 、正切函数值 tan x
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
cos
tan 、 cot
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
sincostancotyrxryxxy一三角函数在各象限的符号0xxyprxyry第二四象限k0x
三角函数在各象限 的符号
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
三角函数在各象限的正负值
三角函数在各象限的正负值三角函数是数学中的基本概念之一，它在各个象限中的正负值有着重要的意义和应用。
本文将从各个象限的角度出发，分析三角函数在不同象限中的正负值，并探讨这些正负值的含义和应用。
第一象限：在第一象限中，所有角的正弦值、余弦值和正切值都是正数。
这是因为在第一象限中，角的终边位于正半轴，与x轴和y 轴的夹角都是锐角。
正弦值表示角的纵坐标比例，余弦值表示角的横坐标比例，正切值表示角的纵坐标与横坐标的比例。
在实际应用中，第一象限的三角函数正值常常表示物体的上升、增长或正向运动等正面情况。
第二象限：在第二象限中，角的正弦值为正数，余弦值和正切值为负数。
这是因为在第二象限中，角的终边位于正半轴的上方，与x 轴和y轴的夹角都是钝角。
角的正弦值为正数表示角的纵坐标比例为正，即物体的上升或增长；角的余弦值和正切值为负数表示角的横坐标比例和纵坐标与横坐标的比例为负，即物体的横向移动或逆时针旋转。
第三象限：在第三象限中，角的正弦值、余弦值和正切值都是负数。
这是因为在第三象限中，角的终边位于负半轴，与x轴和y轴的夹角都是锐角。
角的正弦值表示角的纵坐标比例为负，即物体的下降或减小；角的余弦值和正切值表示角的横坐标比例和纵坐标与横坐标的比例为负，即物体的横向移动和逆时针旋转。
第四象限：在第四象限中，角的正弦值为负数，余弦值和正切值为正数。
这是因为在第四象限中，角的终边位于负半轴的上方，与x 轴和y轴的夹角都是钝角。
角的正弦值为负数表示角的纵坐标比例为负，即物体的下降或减小；角的余弦值和正切值为正数表示角的横坐标比例和纵坐标与横坐标的比例为正，即物体的横向移动或顺时针旋转。
三角函数在各个象限中的正负值具有不同的含义和应用。
正值表示正面情况，如上升、增长或正向运动；负值表示负面情况，如下降、减小或逆向运动。
在实际应用中，我们可以利用三角函数的正负值来描述和分析物体的运动轨迹、变化趋势等。
同时，我们还可以利用三角函数的正负值来解决各种实际问题，如建筑工程中的角度计算、天文学中的星体运动分析等。
高中数学三角函数的值在各象限的符号旧人教高中必修第一册(下)
三角函数的值在各象限的符号 目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。
过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题 然后师生共同操作：1．第一象限：0,0.>>y x ∴sin α>0,cos α>0,tan α>0,cot α>0,sec α>0,csc α>0 第二象限：0,0.><y x ∴sin α>0,cos α<0,tan α<0,cot α<0,sec α<0,csc α>0 第三象限：0,0.<<y x ∴sin α<0,cos α<0,tan α>0,cot α>0,sec α<0,csc α<0 第四象限：0,0.<>y x ∴sin α<0,cos α>0,tan α<0,cot α<0,sec α>0,csc α<0 记忆法则：ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正 2．由定义：sin(α+2k π)=sin α cos(α+2k π)=cos α tan(α+2k π)=tan αcot(α+2k π)=co αsec(α+2k π)=sec α csc(α+2k π)=csc α三、例一求证角θ为第三象限角的充分条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin ϑθ )2()1( 证：必要性：若θ是第三象限角，则必有sin θ<0,tan θ>0充分性：若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin θ<0 则θ角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴 若tan θ>0，则角θ的终边可能位于第一或第三象限∵⑴ ⑵ 都成立 ∴θ角的终边只能位于第三象限∴角θ为第三象限角四、练习：1．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为…………（B ）A ：锐角三角形B ：钝角三角形C ：直角三角形D ：以上三种情况都可能2．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………………………（B ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<03．已知θ是第三象限角且02cos <ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ++<<+k k )(Z k ∈ ∴4322ππθππ+<<+k k )(Z k ∈ 则2ϑ是第二或第四象限角 又∵02cos<ϑ 则2ϑ是第二或第三象限角 ∴2ϑ必为第二象限角 4．已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？解： 由1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ ∴sin2θ>0∴2k π<2θ<2k π+π )(Z k ∈ ∴k π<θ<k π+2π∴ 为第一或第三象限角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y P(x，y) r
y
M
O
x
x
这三个对应法则都是以角 为自变量的函数，分别称为角 的正弦函数、余弦函数和正切函数．
度 00 900 1800 2700 3600 3 角 通过表格我们知道，三角函数 0 2 弧度 2 2 0 的值有正有负。 1 -1 0 0 sin -1 1 0 0 1 cos 0 不存在 不存在 0 0 tan 那么如何确定三角函数值在各 角
象限的符号呢？ 度 00 300
弧度
0
0 1 0
6
450
4
√2 2 √2 2
1
600
√3 2 1 2 √3
3
900
2
1 0 不存在
sin cos tan
1 2 √3 2 √3 3
由三角函数的定义可知，
si 的正弦值与其终边上点的纵坐标 y 同号； r x ， 故角 的余弦值与其终边上点的横坐标 x同号； r y x
13π 16π (1) sin ； (2) cos(－400 ) ； (3) tan ． 3 5 13π 13π π 解: (1)因为 4 π 是第一象限角，所以 sin ＞ 0. 3 3 3
(2) 因为－400 是第四象限角，所以 cos (－400 ) ＞ 0.
16 π 16 π 所以 tan (3) 因为 是第三象限角， 5 5
＞0.
巩固练习：确定下列各三角函数值的符号。
5π (1)sin ; 6
13π (2)cos( ); 7
(3) tan 650.
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦
，角
tan ＝
的正切值由x 与 y共同决定；
当 x 与 y 同号时，正切值为正，
当 x 与 y 异号时，正切值为负．
三角函数值在各象限的符号如下图所示：
y y y
+
o
+
x
sin
-
+
o
x
+
o
-
+
+
-
x
cos
tan
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦
例题：确定下列各三角函数值的符号：