五年级奥数,行程问题,讲义
五年级奥数学第10讲行程问题
A.1/7
B.1/6
C.3/4 D.2/5
3．流水问题
我们知道,船顺水航行时,船一方面按自己本身 的速度即船速在水面上行进,同时整个水面又按 水的流动速度在前进,因此船顺水航行的实际速 度〔简称顺水速度就等于船速与水速的和,即
顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速－水速 可推知 船速=〔顺水速度+逆水速度÷2 水速=〔顺水速度－逆水速度÷2
所以,正确答案为C.
例2 甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背 向同时出发,8分钟后两人第三次相遇.已知甲每 秒钟比乙每秒钟多行0.1米,那么,两人第三次相 遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是
A.166米 B.176米 C.224米 D.234米
解析：此题为典型的速度和问题,为方便理解可 设甲的速度为X米/分,乙的速度为Y米/分,则依 题意可列方程 8X+8Y=400×3
例题2：小王从甲地到乙地,因有风,所以去时用 了2个小时,回来时用了3个小时.已知甲乙两地 的距离是60公里,求风速是多少？
A.5km/h B.10km/h C. 15km/h D. 20km/h
解析：此题可采用代入法.也可设小王的速度为 X,风速为Y,则可列如下方程：
X＋Y＝60÷2 X－Y＝60÷3 解得X＝25,Y＝5. 所以风速为5,答案为A.
1000÷〔120+80＝5〔分 500×5＝2500〔米 答：小狗共走了2500米.
例题：两列对开的列车相遇,第一列车的车速为 10米/秒,第二列车的车速为12.5米/秒,第二列车 上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6 秒,则第一列车的长度为多少米？
A.60米 B.75米 C.80米 D.135米
则甲乙两地相距：1.4*3-0.6=3.6千米〔？
小学奥数经典讲义五年级秋季 第十讲 行程(一) 提高班 教师版
第十讲 行程（一）在历年“小升初”与各类小学竞赛试卷中，我们不难发现，“行程问题” 的试题占应用题的比值是相当大的，所以，学好行程问题不但对应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足重轻的关键性作用而且也为I 、两个人的相遇和追及【例1】 （★★★）小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A 处相遇。
若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A 处相遇。
小红和小强的家相距多远？分析：因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。
由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）。
知识说明【前铺】甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。
两车分别从A ，B 两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B 地。
求A ，B 两地的距离。
分析：相遇后甲行驶了120340=⨯千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是260120=÷小时，则两地相距2002)6040(=⨯+千米。
【例2】 （★★★）甲乙两车分别从A 、B 两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B 地10千米，乙车距A 地80千米．问： A 、B 两地相距多少千米？分析：由4时两车相遇知，4时两车共行A ，B 间的一个单程．相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A ，B 两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。
【拓展】由上题老师可以在拓展出：甲车到达B 地时，乙车还要经过多少时间才能到达A 地？分析：因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行 70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米．行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．【前铺】小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。
五年级奥数,行程问题,讲义
由于乙先到B城，并当即折返，且距离B城12千米出与甲相遇，那么相遇时，可知乙比甲多行了2×12=24千米，而甲每小时比乙慢4千米，那么可求出他们行驶的时间为24÷4=6小时。又由题意可知相遇时甲只行小时，
综合式子：
〔60-12〕÷[〔12×2〕÷4]=8千米/小时
综合式子：
〔60+50〕×[35×2÷〔60-50〕]=770 千米
习题：
甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行65千米，当乙车到达两地中点处时，与甲车还相距60千米，那么A、B两地间的路程长多少千米？
例题二：
小华和小林分别同时从家和少年宫出发，相向而行。小华每分钟行120米，5分钟后小华已超过中点50米，这是他们两还相距30米，小林每分钟行多少米？
思路分析：
此题也是追及问题。要求两地间的距离，可以用甲车的速度乘以甲车行的时间求得。同样，用乙车的速度乘以乙车行的时间也能求得。甲车载途中应故障修车用了3小时，可以看成，一开始甲车因故“迟出发3小时〞根据甲车比乙车迟到1小时，想到这1小时乙车已休息而甲车还在行驶，也可以把这1小时放到行车的开始。那么，此题就转化成乙车出发两小时后，甲车才出发。两车同时到达目的地。这就不难想到，甲乙两车的路程差就是乙车先开出2小时所行的路程：35×2＝70〔千米〕
本讲我们主要学习行程问题中的相遇问题。相遇问题是两物体想向运动，公走一段路程可分为想向，相背，环形运动等相遇问题。
相遇问题有如下的关系式：
速度和×相遇时间=相遇路程
相遇路程÷相遇时间=速度和
相遇路程÷速度和=相遇时间
例题一：
甲、乙两辆货车分别从A、B两个城市想向开发，甲每小时行60千米，乙每小时行50千米，两车在距离两城中点35千米处相遇。那么A、B两城间的路程是多少千米？
五年级奥数基础班-第10讲行程入门之复杂行程问题
一、知识脉络：1．行程问题基础；2．多次相遇问题；3．多人相遇与追及。
二、知识讲解与相关例题：1．行程问题基础：⑴行程三要素的关系；⑵相遇问题基本关系；⑶追及问题基本关系。
2．多次相遇问题：关键：⑴速度不变时，每次相遇过程中有共同点；⑵整体思考和部分思考相结合。
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人第一次相遇的地点距离A地有90千米，相遇后两人继续朝对方的出发地走去，当他们分别到达对方出发地后立即反向而行，在距离B点20千米的地方两人第二次相遇，求A、B之间的距离。
小明和小华从A、B两地同时出发，相向而行，两人第一次相遇在距离A地70千米的地方，相遇后两人继续向着对方的出发点走去，到了对方的出发点后立即转头，反向而走，继而第二次相遇，照此方式继续走，第三次两人相遇在距离B点10千米的地方。
求A、B之间的距离。
小张和小李从图中圆形的直径两端的A、B两点同时出发，反向而走，第一次相遇在距离A 点100米的C点，相遇后，两人仍沿原方向继续走，第二次相遇在距离B点60米的D点，求这个圆的周长。
行程入门之复杂行程问题(★★)(★★★)(★★)3．多人相遇问题：关键：⑴注意隔离出两个对象之间的相遇与追及；⑵善用运动方程求出关键量。
学校组织军训，甲，乙，丙三人步行从学校到军训驻地。
甲、乙两人早晨6点一起从学校出发，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，丙上午8点才从学校出发，下午6点甲、丙同时到达军训驻地。
问：丙在何时追上乙？甲每分钟走60米，乙每分钟走70米，丙每分钟走80米。
甲、乙两人从A地，丙从B地同时出发相向而行，丙遇到乙3分钟后又遇到甲，A、B两地相距多少米？(★★) (★★★)。
五年级寒假奥数培优讲义——5-10-行程问题3-讲义-学生
第10讲行程问题【学习目标】1、掌握常见的几种行程问题模型；2、熟记常见模型的基本公式；3、会画线段图。
【知识梳理】1、相遇问题：①从两头往中间走；②从中间往两头走。
公式：总路程=速度和×相遇时间相遇时间=总路程÷速度和速度和=总路程÷相遇时间2、追及问题：①起点不同，终点相同（快追慢）；②起点相同，终点不同（快超慢）。
公式：距离差=速度差×追及时间追及时间=距离差÷速度差速度差=距离差÷追及时间3、火车过桥：①火车过桥；②火车过隧道。
公式：总路程＝桥长＋车长＝速度×时间4、流水行船问题：公式：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间顺水速度=船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2船速＝(顺水速度+逆水速度）÷25、环形行程问题：所有封闭路线问题都是环形问题。
（1）同向行驶就是追击问题：从同一地点出发，每追上一次就多跑一圈；（2）反向行驶就是相遇问题：从同一地点出发，每相遇一次合走一圈。
【典例精析】【例1】一辆卡车以每小时45千米的速度行驶，在其后2000米处，一辆轿车以每小时60千米的速度行驶，照此速度开下去，求在轿车追上卡车之前一分钟时，两车相距多少千米？【趁热打铁-1】春节期间，一名新手司机因错过高速出口而原地掉头逆行，行驶途中与一辆正常行驶的红色汽车相撞，已知新手司机的车速为每小时96km，红色汽车的车速为每小时120km，那么在他们相撞前一分钟，两车相距多少千米？【例2】甲乙两地相距840千米,两列火车分别从两地相对开出,4小时后相遇,快车每小时行125千米,慢车每小时行多少千米？【趁热打铁-2】客车和货车同时从相距550千米的甲乙两地相对开去,经过2.5小时两车相距200千米(未相遇)，已知货车每小时行60千米,客车每小时行多少千米？【例3】小轿车每时行60千米，比客车每时多行5千米,两车同时从A、B两地相向而行,在距中点20千米处相遇,求A、B两地的路程？【趁热打铁-3】快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出,快车每小时行40千米,经过3小时,快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。
五年级奥数行程问题
行程问题（一）邹玉芳例1：甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇。
东西两地相距多少千米？思路导航：两车在距中点32千米处相遇，由于甲车的速度大于乙车的速度，所以相遇时，甲车应行了全程的一半多32千米，乙车行了全程的一半少32千米，因此，两车相遇时，甲车比乙车共多行了32×2＝64（千米）。
两车同时出发，又相遇了，两车所行的时间是一样的，为什么甲车会比乙车多行64千米？因为甲车每小时比乙车多行56－48＝8（千米）。
64÷8＝8（时），所以两车各行了8小时，求东西两地的路程只要用（56+48）×8＝832（千米）练习：1.甲、乙两汽车同时从两地出发，相向而行。
甲汽车每小时行50千米，乙汽车每小时行55千米，两车在距中点15千米相遇。
求两地之间的路程是多少千米？2、一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行60千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两城中点处时，与汽车还相距30千米，求A、B两城之间的距离？3、下午放学时，小红从学校回家，每分钟走100米，同时，妈发也从家里出发到学校去接小红，每分钟走120米，两人在距中点100米的地方相遇，小红家到学校有多少米？例2：快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米？思路导航：快车3小时行驶40×3＝120（千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲乙两地间路程的一半是120－25＝95（千米）。
此时，慢车行了95－25－7＝63（千米），因此慢车每小时行63÷3＝21（千米）练习：1、兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。
哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距 30米。
弟弟每分钟行多少米？2、汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地？3、学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学能植这批树苗的一半还多20棵。
苏教版五年级奥数 第1讲 行程问题(1)讲义
第20讲行程问题讲义专题简析行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。
行程问题的主要数量关系是:路程＝速度×时间。
知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。
例1、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇。
东、西两地相距多少千米?练习1.甲、乙两汽车同时从两地出发，相向而行。
甲汽车每小时行50千米，乙汽车每小时行55千米，两车在距中点15千米处相遇。
求两地之间的路程是多少千米?2.一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行60千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两城中点处时，与汽车还相距30千米。
求A、B两城之间的距离?3.下午放学时，小红从学校回家，每分钟走100米，同时，妈妈也从家里出发到学校去接小红，每分钟走120米，两人在距中点100米的地方相遇，小红家到学校有多少米?例2、快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米?练习1.兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。
哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。
弟弟每分钟行多少米?2.汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地?3.学校运来一批树苗，五(1)班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学能植这批树苗的一半还多20棵。
如果这批树苗全部给五(1)班的同学去植，平均每人植多少棵树?例3、甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。
中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。
求东、西两村相距多少千米?练习1.甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。
五年级奥数：行程问题
五年级奥数：行程问题(总14页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-行程问题（一）讨论有关物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题叫做行程应用题。
行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间如果用字母s表示路程，t表示时间，v表示速度，那么，上面的数量关系可用字母公式样表示为：s=vt。
行程问题内容丰富多彩、千变万化。
主要有一个物体的运动和两个或几物体的运动两大类。
两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。
这一讲我们学习一个物体运动的问题的一些简单的相遇问题。
例题与方法：例1．小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分。
如果他往返都坐车，全部行程需30分。
如果他往返都步行，需多少分？例2．甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。
汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。
如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原来的时速加快多少？例3．一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米。
1小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午6时两车相员。
甲、乙两站相距多少千米？例4．苏步青教授是我国著名的数学家。
一次出国访问，他在电车上碰到了一位外国数学家，这位外国数学家出了一道题目让苏步青做，题目是：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。
甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。
甲带着一只狗，狗每小时行10千米。
这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。
这只狗一共走了多少千米？苏步青略加思索，就把正确答案告诉了这位外国数学家。
小朋友们，你能解答这道题吗？例5．甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两辆汽车在距中点32千米处相遇。
东、西两地相距多少千米？练习与思考：1．小王、小李从相距50千米的两地相向而行，小王下午2时出发步行，每小时行千米。
小学奥数讲义5年级-9-经典行程问题选讲-难版
本讲主要是对行程问题的一些综合训练，需要对之前所学知识有所掌握，难度稍大，需要选择使用。
行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．知识梳理【例1】★（西城某中学坑班考题）龟兔进行10000米跑步比赛。
兔每分钟跑400米，龟每分钟跑80米，兔每跑5分钟歇25分钟，谁先到达终点？【解析】龟所用的时间是1000080125÷=（分钟），兔子跑的时间是1000040025÷=（分钟），歇了(2551)25100÷-⨯=（分钟），共用25100125+=（分钟）。
所用的时间相同，因此同时到达。
【小试牛刀】龟兔赛跑，全程6千米，兔子每小时跑15千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑，但兔子边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑2分钟后玩20分钟，再跑3分钟后玩20分钟……问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？【解析】乌龟不停的跑，所以乌龟跑完全程需要632÷=(小时)，即120分钟，由于兔子边跑边玩，120205123455=⨯++++++（），也就是兔子一共跑了12345520+++++=(分钟)，跑了2060155÷⨯=(千米)，即乌龟到达终点时，兔子刚刚跑了5千米，所以乌龟胜利了，领先兔子651-=(千米)【例2】★★甲、乙两人分别从相距 35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行 4 千米，但每行 30 分钟就休息 5 分钟；乙每小时行 12 千米，则经过________小时________分的时候两人相遇．【解析】经过 2 小时 15 分钟的时候，甲实际行了 2 小时，行了 4×2=8千米，乙则行了1122274⨯=千米，两人还相距 35.8－27－8=0.8千米，此时甲开始休息，乙再行 0.8÷12×60=4分钟就能与甲相遇．所以经过 2 小时 19 分的时候两人相遇．【小试牛刀】甲乙两人同时从A 地出发，以相同的速度向B 地前进。
五年级上册数学 火车行程问题 思维奥数讲义
五年级上册数学思维奥数讲义火车行程问题知识梳理1、车头上桥到车尾下桥：路程=火车长+桥长2、车尾上桥到车头下桥：路程=桥长-火车长3、火车与人相遇：路程和=火车长4、火车与人追及：路程差=火车长5、火车与火车相遇（车头相遇到车尾相离）：路程和=甲车长+乙车长6、火车与火车追及（快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头）：路程差=快车长+慢车长知识精讲小热身（1）甲乙两人相距50米，相向而行，速度分别为3米/秒和2米/秒，多久后两人相遇？（2）甲乙两人相距50米，同向而行，速度分别为3米/秒和2米/秒，多久后甲追上乙？典例1 （1）一列高铁长180米，每秒钟行驶60米，这列高铁通过一座300米长的大桥时，从车头开始上桥到车尾完全过桥需要多少时间？（2）一列高铁以每秒钟70米的速度行驶，通过一条400米长的隧道时，从车头开始进入隧道到车尾完全通过隧道共用时8秒钟，请问这列高铁车长多少米？变式1 （1）一列动车以每秒钟60米的速度通过一条长1000米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾完全通过隧道共用时20秒，请问这列动车的长度是多少米？（2）一列动车长150米，每秒钟行驶70米，这列动车通过一座200米长的大桥时，从车头开始上桥到车尾完全过桥需要多少时间？典例2 同一列动车完全通过（从车头进入到车尾离开）一条490米长的隧道需要10秒，完全通过一条370米长的大桥需要8秒，那么这列动车的速度是每秒钟多少米？车长多少米？变式2 同一列高铁完全通过（从车头进入到车尾离开）一条长800米的大桥需要14秒，完全通过一条长540米深的隧道时需要10秒钟，请问高铁的速度是多少米？车长多少米？典例3 某铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分，整列火车完全在桥上的时间为40秒。
求火车的长度和速度。
变式3某条隧道长900米，现有一列100米长的火车从隧道中通过，测得火车从开始进入隧道到完全通过隧道共用20秒，则整列火车完全在隧道里的时间是多长？典例4 （1）一名行人沿着与铁路平行的公路散步，每秒走1米，迎面过来一列长120米的动车，已知动车每秒钟行驶59米，请问：从动车头与行人相遇到动车尾离开他共用了多长时间？（2）一人以每分钟60米的速度沿着与铁路平行的公路散步，一列长180米的动车从他身后开来，动车的速度是每秒钟61米，动车从他身边经过用了多长时间？变式4 （1）一人以每分钟60米的速度沿着与铁路平行的公路散步，一列长180米的动车从对面开来，从他身边经过用了3秒钟，动车的速度是每秒钟多少米？（2）小明在铁路旁边沿着与铁路方向平行的公路散步，他散步的速度是2米/秒，这时背后开来一列火车，从车头追上他到车尾离开他一共用了3秒，已知火车速度是42米/秒，请问：火车的车长多少米？典例5 （1）一列火车车长180米，每秒行驶40米，另一列火车长200米，每秒行驶36米，两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间？（2）甲火车长420米，每秒钟行驶30米，乙火车在甲火车后，长300米，每秒钟行驶42米，两车同向行驶，请问：乙车从追上甲车到完全超过共需要多长时间？变式5 （1）已知快车长240米，每秒钟行驶38米，慢车长360米，两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离共用时10秒，请问：慢车速度是多少？（2）已知快车长240米，每秒钟行驶66米，慢车长360米，两车同向而行，它们从快车追上到完全超越慢车共用时20秒，请问：慢车速度是多少？课后训练1、一列火车长200米，以每分钟500米的速度通过一座长1300米的大桥，从车头上桥到车尾离开桥需要多少分钟？2、一列高铁车长120米，通过一条长720米的大桥时，从车头开始上桥到车尾完全过桥需要14秒，这列高铁完全通过（从车头进入隧道到车尾离开隧道）一条长360米长的隧道时需要多少秒？3、一列高铁车长100米，通过一条长700米的大桥时，高铁完全在桥上（车尾上桥到车头离开桥）的时间是10秒钟，这列高铁的速度是多少？4、一人以每分钟60米的速度沿着与铁路平行的公路散步，一列动车从他身后开来，动车的速度是每秒钟61米，3秒钟后动车从他身边经过，请问这列动车长多少米？5、有两列火车，一列长360米，每秒行驶36米，另一列长240米，每秒行驶60米，两车同向而行，快车赶超慢车（从追上到完全超过）需要多少秒？6、甲火车每秒行驶50米，乙火车每秒行驶30米，两列火车相向而行时，它们从车头相遇到车尾相离要经过4秒，请问：如果两列火车同向行驶时，甲火车从追上乙火车到完全超过共需要多长时间？7、现在有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行驶18米，慢车每秒行驶10米，行驶12秒后快车超过慢车。
五年级奥数第六、七讲--行程问题
第六讲行程问题（二）知识要点：相遇问题两个物体由于相向运动而相遇。
解答此类问题的关键是求出两个运动物体的速度和。
基本关系式有:速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间相遇路程÷相遇时间＝速度和相遇路程：两个运动物体从两地同时相向运动所行的路程.例题精讲：【例1】一辆客车和一辆货车同时从A、B两城相对开出.客车的速度是62每小时千米,货车的速度是50千米每小时，经过4小时相遇，A、B两城相距多远？每小时62千米每小时50千米客车货车？千米小结：这是一道典型的相遇问题，还可以尝试直接套用相遇问题的公式：速度和×相遇时间=相遇路程进行解答。
【例2】解放军某部通讯兵在一次演习中，摩托车每小时行60千米，汽车每小时行40千米，汽车出发1.5小时后，摩托车沿同路去追赶汽车，需要几小时追上？小结：这是典型的求追及时间的问题：可根据公式速度差×追及时间=追及距离进行求解。
【例2】运动场的跑道400米，王芳和陈月两名运动员从起跑线同时出发,王芳每分钟跑390米,陈月每分钟跑310米,求多少分钟后王芳超过陈月一周？小结：本题是典型的环形跑道问题追及问题的综合。
基础巩固：1、小亚和小巧同时从自己家里走向学校。
小亚每分钟走65米,小巧每分钟走70米,经过4分钟两人在校门相遇,他们两家相距多少米？2、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车每小时行40千米，货车每小时行32千米，4小时后两车相遇，甲、乙两地相距多少千米?3、甲、乙两地相距288千米，客车和货车同时从甲、乙两地相向开出,客车每小时行40千米，货车每小时行32千米，几小时后两车相遇？4、一辆拖拉机要去拉货，每小时走30千米，出发30分钟后,家中有事派一辆小轿车50千米/小时的速度去追拖拉机，问小轿车用多少时间可以追上拖拉机？5、一条环形跑道长400米,甲骑自行车平均每分钟骑300米,乙跑步,平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发,经过多少分钟两人相遇？6、客车和货车同时从丙地开出,向相反方向开出，客车每小时行40千米，货车每小时行32千米，开出4小时后,两车相距多少千米？7、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行,环形公路的一周是360米。
小学数学5年级培优奥数讲义 第21讲 “三向”行程问题(教师版)
第21讲“三向”行程问题熟练掌握“路程和＝速度和×时间”这一公式并能利用其解决相向行程问题(相遇问题)、同向行程问题(追及问题)、背向行程问题(相离问题)。
一、相向行程问题(相遇问题)甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝(甲的速度+乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即=tS V和和二、同向行程问题(追及问题)有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差(追及路程).如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间(追及时间)内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝(甲的速度-乙的速度)×追及时间＝速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=tS V差差例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为v甲和v乙，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米教学目标知识梳理三、背向行程问题(相离问题)相离问题：“两物体从同一地点出发，相背而行”， 注意对“速度和”的理解，注意时间的因素 图示：甲 出发点 乙A B关系式：相离距离=速度和×相背而行的时间.考点一：相向行程问题(相遇问题)例1、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。
苏教版五年级奥数 第1讲 行程问题(1)讲义
第20讲行程问题讲义专题简析行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。
行程问题的主要数量关系是:路程＝速度×时间。
知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。
例1、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇。
东、西两地相距多少千米?练习1.甲、乙两汽车同时从两地出发，相向而行。
甲汽车每小时行50千米，乙汽车每小时行55千米，两车在距中点15千米处相遇。
求两地之间的路程是多少千米?2.一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行60千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两城中点处时，与汽车还相距30千米。
求A、B两城之间的距离?3.下午放学时，小红从学校回家，每分钟走100米，同时，妈妈也从家里出发到学校去接小红，每分钟走120米，两人在距中点100米的地方相遇，小红家到学校有多少米?例2、快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米?练习1.兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。
哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。
弟弟每分钟行多少米?2.汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地?3.学校运来一批树苗，五(1)班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学能植这批树苗的一半还多20棵。
如果这批树苗全部给五(1)班的同学去植，平均每人植多少棵树?例3、甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。
中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。
求东、西两村相距多少千米?练习1.甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。
五年级奥数竞赛之行程问题
行程问题（一）研究有关物体运动的速度、距离、时间三者关系的应用题，叫做行程问题。
行程问题的基本数量关系是： 距离＝速度×时间无论多么复杂的行程问题，都要根据这个关系式进行分析、推理。
根据两个物体运动的状态大致可分为三种情况：（1）相向而行：距离＝速度和×相遇时间（2）相背而行：相背距离＝速度和×时间（3）同向而行：（速度慢的在前，快的在后）追及距离＝速度差×追及时间在环形跑道上，追及距离＝速度差×追及时间1、小明坐在火车的窗口位置，火车从大桥的南端驶向北端，小明测得共用时间80秒，爸爸问小明这座桥有多长，于是小明马上从铁路旁的一根电线杆计时，到第10根电线杆用时25秒。
根据路旁两根电线杆的间隔为50米，小明算出了大桥的长度。
那么，大桥的长为 米。
2、跑道一圈长400米，现在进行3000米赛跑，张明平均每秒跑5．8米，小林每分钟跑43圈。
当张明快到达终点时，小林又和他并肩相遇了，这时张明离终点 米3、A 、B 两地相距540千米。
甲、乙两车往返行驶于A 、B 两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。
设两辆车同时从A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中P 地。
那么，到两车第三次相遇为止，乙车共走了 千米。
4．A 、B 两地相距10千米，一个班学生45人，由A 地去B 地。
现有一辆马车，车速是人步行速度的3倍，马车每次可乘坐9人，在A 地先将第一批9名学生送往B 地，其余学生同时步行向B 地前进；车到B 地后，立即返回，在途中与步行学生相遇后，再接9名学生送往B 地，余下学生继续向B 地前进；……这样多次往返，当全体学生都到达B 地时，马车共行了 千米。
5、有一辆沿公路不停地往返于M 、N 两地之间的汽车。
老王从M 地沿这条公路步行向N 地，速度为每小时3．6千米，中途迎面遇到从N 地驶来的这辆汽车，经20分钟又遇到这辆汽车从后面折回，再过50分钟又迎面遇到这辆汽车，再过40分钟又遇到这辆车再折回。
【小学五年级奥数讲义】行程问题(四)
【小学五年级奥数讲义】行程问题（四）一、专题简析：通过前面对行程应用题的学习，同学们可以发现，行程问题大致分为以下三种情况：（1）相向而行：相遇时间 =距离÷速度和（2）相背而行：相背距离 =速度×时间（3）同向而行：追及时间 =追及距离÷速度差如果上述的几种情况交织在一起，组成的应用题将会丰富多彩、千变万化。
解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，把复杂的数量关系转化为简单的数量关系，把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。
二、精讲精练例 1 甲、乙两地相距 420 千米，一辆汽车从甲地开到乙地共用了 8 小时，途中，有一段路在整修路面，汽车行驶这段路时每小时只能行 20 千米，其余时间每小时行 60 千米。
整修路面的一段路长多少千米？1、一辆汽车从甲城到乙城共行驶395 千米，用了 5 小时。
途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。
已知汽车在高速公路上每小时行105 千米，在普通公路上每小时行55 千米。
汽车在高速公路上行驶了多少千米？2、小明家离体育馆2300 米，有一天，他以每分钟100 米的速度去体育馆看球赛。
出发几分钟后发现，如果以这样的速度走下去一定迟到，他马上改用每分钟 180 米的速度跑步前进，途中共用 15 分钟，准时到达了体育馆。
问：小明是在离体育馆多远的地方开始跑步的？例 2客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54 千米，货车每小时行 48 千米。
两车相遇后又以原速前进，到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行 21.6 千米。
甲、乙两站间的路程是多少千米？1、乙、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。
快车每小时行 80 千米，慢车每小时行45 千米。
两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210 千米。
求甲、乙两地间的路程。
2、甲、乙两地相距216 千米，客货两车同时从甲、乙两地相向而行。
小学数学5年级培优奥数讲义 第27讲 火车行程问题(学生版)
第27讲火车行程问题清楚理解火车行程问题中的等量关系；能够透过分析实际问题，提炼出等量关系；培养分析问题，解决实际问题，综合归纳整理的能力，以及理论联系实际的能力；一、基本公式路程=时间×速度时间=路程÷速度速度=路程÷时间二、火车行程问题有关火车过桥(隧道)、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，是一种行程问题。
在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。
如果遇到复杂的情况，可利用作图或演示的方法来帮助解题。
解答火车行程问题可记住以下几点：1、火车过桥(或隧道)所用的时间=[桥长(隧道长)＋火车车长]÷火车的速度；2、两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间=两火车车身长度和÷两车速度和；3、两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身长度和÷两车速度差。
考点一：求时间知识梳理典例分析学习目标例1、一列火车长150米，每秒钟行19米。
全车通过长800米的大桥，需要多少时间？例2、一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米的速度从对面走来，经过几秒钟后火车从小华身边通过？考点二：求隧道长例1、一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。
这条隧道长多少米？例2、一列火车长900米，从路旁的一棵大树旁通过用了1.5分钟，以同样的速度通过一座大桥用了3.5分钟。
求这座大桥的长度。
考点三：求车长例1、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。
求这列火车的速度是每秒多少米？车长多少米？例2、快车长210m，每秒钟行驶25m，慢车每秒钟行驶20m，连列车同方向行驶，从快车追上慢车到超过共用了80秒，求慢车的长度。
考点四：求车速例6、某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，客车长105米，每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米？例7、一支队伍1200米长，以每分钟80米的速度行进。
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由于乙先到B城，并当即折返，且距离B城12千米出与甲相遇，那么相遇时，可知乙比甲多行了2×12=24千米，而甲每小时比乙慢4千米，则可求出他们行驶的时间为24÷4=6小时。又由题意可知相遇时甲只行了60-12=48千米，那么甲的速递为48÷6=8千米/小时，
综合式子：
（60-12）÷[（12×2）÷4]=8千米/小时
例题五:
客车和货车早上8时分别从甲、乙两个城市同时出发相向而行，到上午10时两车相距120千米，两车继续行驶到下午1时，两车这时又相距120千米，那么甲、乙两城之前的路程是多少千米？
思路分析：
从上午10时到下午1时共经过了3个小时，在这3小时里，客车与货车由原来相距的120千米到相遇后有相遇120千米，两车共行驶了两个120千米，即240千米，那么两车的速度和为：120×2÷3=80千米，从早上8时到10时两车共行了2小时，则两城间的距离为：80×2+120=280千米
习题：
红星小学组织学生步行去郊游，步行的速度是每分钟60千米，队尾的
老师以每分150千米的速度赶到头排，然后立即返回共用了10分钟，求队
伍的长度？
时间分配及备注
家长签名：
去追赶面包车，多长时间能追上？
思路分析：
根据题意，小轿车出发时，面包车已经行驶了30分钟，这段路程就是小轿车要追赶的距离，而小轿车和面包车的速度都知道，可以求出速度差，追及距离除以速度差就可以求出多长时间能追上了。
习题：
姐姐步行的速度是每分75米，妹妹步行的速度为每分65米在妹妹出发20分钟后，姐姐出发沿同一条路线去追赶妹妹。问：多长时间能追上？
综合式子：
（60+50）×[35×2÷（60-50）]=770 千米
习题：
甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行65千米，当乙车达到两地中点处时，与甲车还相距60千米，那么A、B两地间的路程长多少千米？
例题二：
小华和小林分别同时从家和少年宫出发，相向而行。小华每分钟行120米，5分钟后小华已超过中点50米，这是他们两还相距30米，小林每分钟行多少米？
习题：
李明和张红同时从学校步行去李明家写作业，李明每分钟比张红多行20米，30分钟后李明到家，由于李明忘了拿作业，又立即返回学校，在离他家350米处碰到了张红，张红每分钟走多少米？
例题四：
一辆面包车的速度是每小时60千米，在面包车开出30分钟后，一辆小轿车以每小时84千米的速度从同一地点出发沿同行驶路线
大意是说：由一个土墙五尺厚，大小两只老鼠同时从土墙两侧沿一直线相对打洞。大鼠第一天打进一尺，以后每天的进度是前一天的2倍，小鼠也打进了一尺，以后每天的进度是前一天的一半，问：它们几天可以相逢？相逢时各打了多少？
人行走，车行驶，飞机、轮船航行都离不开速度、时间和路程的计算，这类问题在数学里称为行程问题。行程问题中最基本的数量关系式是：路程=速度×时间。
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象
授课教师
授课时间
授课题目
数学广角（追及问题）
课 型
使用教具
教学目标
行程问题公式在应用题中的运用
教学重点和难点
行程问题公式的换算。
参考教材
教学流程及授课详案
阅读与思考：
《九章算术》有这样一个问题：
今有恒厚五尺，两鼠对穿。大鼠穿一日，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问：何日相逢？各穿几何？
分析与解答：
由题意可知5分钟小华行了120×5=600米，且超过中点50米，则家到少年宫的一般是600-50=550米，此时他们两还差距30米，则5分钟后小林距离中点还有50+30=80米，那么小林5分钟只行了550-80=470米，则小林每分钟行470÷5=94米。
综合式子：
[120×5-50-（50+30）]÷5=94米
习题：
A、B两车同时从甲、乙两城相向开出，甲车每小时行60千米，经过3小时后，甲车乙驶过中点20千米，这么甲车与乙车还相距8千米，乙车每小时行多少千米？
例题三：
A、B两城相距60千米，甲、乙两车都骑自行车从A城出发，甲比乙每小时慢4千米，乙到B城当即折返，于B城12千米处与甲相遇，那么甲的速度是多少？
思路分析：
此题也是追及问题。要求两地间的距离，可以用甲车的速度乘以甲车行的时间求得。同样，用乙车的速度乘以乙车行的时间也能求得。甲车载途中应故障修车用了3小时，可以看成，一开始甲车因故“迟出发3小时”根据甲车比乙车迟到1小时，想到这1小时乙车已休息而甲车还在行驶，也可以把这1小时放到行车的开始。那么，本题就转化成乙车出发两小时后，甲车才出发。两车同时到达目的地。这就不难想到，甲乙两车的路程差就是乙车先开出2小时所行的路程：35×2＝70（千米）
本讲我们主要学习行程问题中的相遇问题。相遇问题是两物体想向运动，公走一段路程可分为想向，相背，环形运动等相遇问题。
相遇问题有如下的关系式：
速度和×相遇时间=相遇路程
相遇路程÷相遇时间=速度和
相遇路程÷速度和=相遇时间
例题一：
甲、乙两辆货车分别从A、B两个城市想向开发，甲每小时行60千米，乙每小时行50千米，两车在距离两城中点35千米处相遇。那么A、B两城间的路程是多少千米？
分析与解答：
两车在距离中点35千米处相遇，由于甲车速度较米，那么乙车此时行了全程的一半少35千米，则相遇时，甲车比乙车多行了35×2=70千米。而甲车每小时比乙车多行60-50=10千米，即可求出相遇时间为70÷10=7小时，即两车开出7小时后相遇，则全程为（60+50）×7=770千米。
综合式子：
120×2÷3×2+120=280千米
习题：
快、慢两车早上7时同时从A、B两城相向开出，中午12时两车还相距60千米，继续行驶到下午2时，两车又相距180千米，A、B两地相距多少千米？
例题六：
甲乙两车同时，同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，已车每小时行驶35千米。途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比已车迟1小时到达目的地，两地间的路程是多少千米？