高中数学必修5§1.1正弦定理第一课时精品导学案设计

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高中数学 1.1.1正弦定理导学案新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案

高中数学高一年级必修五第一章第1.1.1节：正弦定理导学案Ａ．学习目标让学生从已有的知识经验出发，通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同事通过三角函数，向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。

Ｂ．学习重点、难点重点：正弦定理的探索、证明及基本应用；难点：正弦定理应用中“已知两角和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。

Ｃ．学法指导通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力。

D ．知识链接本节内容安排在第一章正弦定理第一课时，是在学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。

E ．自主学习[提出问题]如图，在Rt △ABC 中，A ＝30°，斜边c ＝2，问题1：△ABC 的其他边和角为多少？提示：∠B ＝60°，∠C ＝90°，a ＝1，b ＝ 3.问题2：试计算a sin A ，b sin B ，csin C 的值，三者有何关系？提示：a sin A ＝2，b sin B ＝3sin 60°＝2，c sin C＝2，三者的值相等．问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？提示：是．如图sin A ＝a c ，∴a sin A ＝c .sin B ＝b c ，∴b sin B＝c . ∵sin C ＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . 问题4：在钝角△ABC 中，B ＝C ＝30°，b ＝3，试求其他边和角．提示：如图，△ACD 为直角三角形，∠C ＝30°AC ＝3，则AD ＝32，CD ＝32， BC ＝3.AB ＝3，∠BAC ＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足．问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗？提示：都成立．[导入新知]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C . 2．解三角形一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难]对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．F.合作探究已知两角及一边解三角形[例1] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由b sin B ＝asin A 得， b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°si n 45°＝46，由a sin A ＝c sin C得， c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．[类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]1．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6.已知两边及一边的对角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形．[解] ∵a sin A ＝c sin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.[类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]2．在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b . 解：由a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝π4或A ＝34π. 又∵c ＞a ，∴C ＞A ，∴只能取A ＝π4， ∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B sin C＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.判断三角形的形状[例3] 在△ABC 2A 2B 2C sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. ∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B .∴2sin B ·cos C ＝2sin 2 B ＝sin A ＝1.∴sin B ＝22.∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．[类题通法]1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用]3．在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状．解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B＝2R .(2R 为△ABC 外接圆直径) ∴sin B ＝sin A ·cos C .∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ，∴cos A sin C ＝0，∵A 、C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b ×sin A a ＝2×sin 60°23＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝30°，或B ＝150°.∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，∴B ＝150°不符合条件，应舍去，∴B ＝30°.[答案] 30°[易错防范]1．由sin B ＝12得B ＝30°，或150°，而忽视b ＝2＜a ＝23，从而易出错． 2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．[成功破障]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B, C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值.解：由正弦定理a sin A ＝b sin B得 sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32. 由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A .∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43，∴ac ＝23×43＝24.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°，∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3.∴ac ＝23×23＝12.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H ．达标检测一、选择题1．在△ABC 中，下列式子与sin A a的值相等的是( ) A.b cB.sin B sin AC.sin C cD.csin C 解析：选C 由正弦定理得asin A ＝c sin C ，所以sin A a ＝sin C c . 2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A 、B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，即a >b ，故A >B .3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( )A ．4 B.12 3 C ．4 3 D ．12解析：选D 若设120°角所对的边长为x ，则由正弦定理可得：x sin 120°＝46sin 45°，于是x ＝46·sin 120°sin 45°＝46×3222＝12，故选D.4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a ＝( ) A ．2 3B.2 2C. 3D. 2 解析：选D 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 所以sinB ＝2sin A ．∴b a ＝sin B sin A＝ 2. 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：选B 由正弦定理易知A ，C ，D 正确．对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2， ∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误.二、填空题6．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________.解析：由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，又a ＝14，b ＝76，B ＝60°， ∴sin A ＝a sin B b ＝14sin 60°76＝22，∵a ＜b ，∴A ＜B ， ∴A ＝45°，∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.答案：75°7．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3.答案：1∶1∶ 38．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.解析：由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin A BC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C )＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314. 答案：3314三、解答题9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．解：由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， sin A ＝32. 再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22×(32＋12)＝6＋24. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 10．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试数列△ABC 的形状．解：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A. 又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．。

正弦定理(第一课时)教学设计

《正弦定理》（第一课时）教学设计点明课题本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第一章《解三角形》中的《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的内容，该节包括正弦定理的发现、证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是《正弦定理》的第一课时，主要包括正弦定理的发现、证明和简单的应用。

下面我从三个方面来说说对这节课的分析和设计：一、教学背景分析⎪⎩⎪⎨⎧教学目标分析学生现实分析教材地位分析.3.2.1二、教学展开分析⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧教学过程实施教学媒体选择教学策略与学法指导教学重点、难点分析.4.3.2.1三、教学结果分析一、教学背景分析1.教材地位分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。

《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。

正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。

通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。

2.学生现实分析(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：caA =sin cb A =cos①勾股定理： ②三角函数式，如：(2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：① ②大边对大角，小边对小角③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型3.教学目标分析知识目标： (1)正弦定理的发现(2)证明正弦定理的几何法和向量法 (3)正弦定理的简单应用能力目标：(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力(2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力情感目标：(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣 (2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思二、教学展开分析1.教学重点与难点分析教学重点是发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。

高中数学必修5新教学案：1.1.1正弦定理

必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1）（1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ，由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题：（1）；（2）．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（1）当A 为锐角（2）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ．（A ）有一个解（B ）有两个解（C ）无解（D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ．三、解答题8．在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【重点】理解正弦定理的及应用．【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ，由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题：（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（3）当A 为锐角（4）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数．解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ，所以此三角形只有一解．（2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（5）当A 为锐角（6）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解（B ）有两个解（C ）无解（D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8．在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。

人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理课程设计

人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理课程设计一、前言正弦定理是高中数学中重要的几何知识点之一，它可以应用于解决各种三角形问题。

本课程设计旨在通过引导学生的实践操作，加深对正弦定理的认识和理解，提高学生的数学运算能力和解决实际问题的能力。

二、教学目标1.理解正弦定理的含义和应用场景；2.掌握使用正弦定理求解三角形内角、外角、边长的方法；3.能够熟练应用正弦定理解决实际问题。

三、教学内容1.正弦定理的定义及三角形内角、外角、边长的关系；2.正弦定理的应用场景及解题方法；3.正弦定理在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 课前预习复习三角函数的相关知识点，如正弦函数和余弦函数的定义及其图像。

2. 导入新知通过讲解正弦定理的定义及应用场景，引导学生了解正弦定理的概念和使用方法。

3. 自主探究在学生独立完成本课程设计中的练习题后，引导学生思考如何应用正弦定理解决习题中的问题，并引导学生互相交流讨论解题思路。

4. 师生互动在学生完成课堂练习后，由教师出示一些课外实际问题，并通过师生互动的方式引导学生运用正弦定理解决问题，同时也可以与学生分享教师个人经历中的实际问题。

5. 作业布置布置相关练习题，并鼓励学生结合实际问题，进一步巩固所学内容。

五、教学资源1.《人教版高中数学必修5(B版)》教材；2.教师自编习题；3.课件及黑板。

六、评价标准1.能够独立使用正弦定理解决三角形问题；2.能够掌握使用正弦定理解决实际问题的方法；3.能够在课外适当运用所学知识。

七、教学反思通过课程设计，学生能够熟练掌握正弦定理的应用，并培养了运用数学工具解决实际问题的能力。

同时，通过师生互动的方式，让学生不仅仅局限于纸上解题，而是能够运用所学知识解决实际问题，让学生更好地体会到数学知识的实际应用。

高中数学 1.1.1正弦定理导学案导学案新人教A版必修5

【学习目标】1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形,培养学生应用能力. 2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用. 3．引导学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去.【重点】：正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用. 【难点】：正弦定理的推导及应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若A>B,则a b,反之，若a>b,则A B 。

2.三角形内角和定理是：。

勾股定理的内容是：Rt △ABC 中，若a,b 为直角边，c 为斜边，则。

3.三角形面积公式：。

Ⅱ.教材助读1. 在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则sinA= ,cosA= ,tanA= .2. 正弦定理：_________sin ==Aa，观察正弦定理的结构，它有什么特点？ 3. 正弦定理文字语言叙述为：。

4．一般地，把三角形的和它们的叫做三角形的元素。

已知三角形的求的过程叫做解三角形。

5．应用正弦定理解三角形可分为两类：（1）已知三角形的与一边，求其他的边和角；（2）已知三角形的与其中一边的对角，求其他的边和角。

【预习自测】1. 正弦定理适用的范围是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 在△ABC 中一定成立的等式是（）A ．asinA=bsinB B. acosA=bcosB C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA 3. 在△ABC 中，.___,30,10,105=︒==︒=b C c A 则 4．在△ABC 中，.____,30,8,4=︒===B A b a 则【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：利用构造三角形外接圆，证明正弦定理；正弦定理中的比值实际上是一个什么样的数？探究二：正弦定理有哪几种变式?探究三：证明C ab S ABC sin 21=∆，除此之外，你还有其他的结果吗？【归纳总结】1.正弦定理适用于三角形.2.可以证明 = = = =2R （R 为△ABC 的外接圆半径）.3.正弦定理的三个等式：，，，每个式子中有个量, 如果知道其中个可以求出（知三求一）.4.正弦定理可解决两类问题：（1） ; （2）。

高中数学必修五《正弦定理》精品导学案附课时作业

第一章解三角形§ 1．1．1 正弦定理【情形激趣】有一个旅行景点，为了吸引更多的旅客，想在景色区两座相邻的山之间搭建一条参观索道。

已知一座山顶 A 到山脚 C 的直线距离是 1500 米，在山脚 C 测得两座山顶之间的夹角是脚 C 与山顶 A 之间的夹角是 30 。

求需要建多长的索道？b5E2RGbCAP450，在另一座山顶B 测得山BA300451500C【学习过程】一、课前准备试验：固定 ABC 的边 CB 及思虑： C 的大小与它的对边明显，边 AB 的长度跟着其对角B ，使边 AC 绕着极点 C 转动． AB 的长度之间有如何的数目关系？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精准地表示出来？二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下边就第一来商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AC=b ，AB=c ，p1EanqFDPw依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc进而在直角三角形 ABC 中，ab c．sin A sin B sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD= a sin B b sin A ，则 a bsin A ，cb sin B 同理可得，sin C sin B 进而 a b csin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试推导.1.表达正弦定理的内容：2.正弦定理的变形①边化角： a = ， b = ， c = ；DXDiTa9E3d②角化边：sin ， sin ， sin C ； RTCrpUDGiT3.正弦定理的推论： a : b : c进而知正弦定理的基本作用为：①②一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作_______【沟通释疑】（二）合作商讨种类一已知两角及一边解三角形例 1. 在ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ，a42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm，解三角形．规律总结：种类二已知两边及此中一边的对角解三角形例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a2,求 b和 B, C ．变式：在ABC中， b3, B 60 , c1, 求a 和A, C ．规律总结：种类三判断三角形的形状例 3在ABC 中，已知a2tan B b 2 tan A ，试判断三角形的形状。

人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理教学设计

人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理教学设计1. 教学内容和目标1.1 教学内容正弦定理是三角函数的重要概念之一，本次教学内容主要包括：1.正弦定理的概念及其推导过程2.正弦定理的应用实例：求三角形边长和角度3.正弦定理与勾股定理的综合应用1.2 教学目标通过本次课程的学习，学生应该能够：1.掌握正弦定理的概念及其推导过程2.能够运用正弦定理解决实际问题，如求三角形边长和角度3.能够理解正弦定理与勾股定理的联系，运用两者综合解决问题2. 教学过程及安排2.1 教学过程1.引入（5分钟）：通过简单的实例或图片来引导学生回忆三角形的基本概念、角度和边长的定义及勾股定理。

2.学习正弦定理（30分钟）：介绍正弦定理的概念，讲解其推导过程，并通过实例演示如何运用正弦定理求解三角形的边长和角度。

3.练习（20分钟）：提供一些练习题目，让学生在课堂上进行练习，观察学生练习情况，在学生练习完后进行讲解并指导学生，激发学生的学习兴趣和创造力。

4.综合应用（20分钟）：介绍正弦定理与勾股定理的联系，演示如何综合运用两者解决问题，通过实例让学生掌握综合应用的方法和技巧。

5.总结（5分钟）：对本节课所学的知识点进行总结归纳，提醒学生掌握基本概念、加强练习和思考，在人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理学习中取得更好的成绩。

2.2 安排1.教材：人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理。

2.时间：1课时（45分钟）。

3.教学方式：多媒体课件+讲解+练习+讨论。

3. 教学评估和反思3.1 教学评估1.学生练习题目解答情况，是否理解正弦定理的概念和应用方法。

2.课后作业的完成情况，能否熟练运用正弦定理解决问题。

3.学生的课堂参与度和表现情况。

3.2 教学反思1.本节课内容清晰，思路明确，符合学生的认知规律，但在举例操作过程中有一些练习较为复杂，需要老师提前做好示范。

2.在整个课堂过程中，讲师讲解清晰、运用多媒体较好，但应让学生更好地理解定理背后的设计思想，注重锻炼学生所获取的知识的应用能力。

苏教版高中必修五数学导学案：1.1 正弦定理1

授课方法自学引导类比教学辅源自手段多媒体专用教室
教
学
过
程
设
计
教
学
二次备课
一、引入新课
1.如右图，中的边角关系：
_______；
_______； _______；
边 _________ _________ _________．
2.在Rt 中，我们得到，对于任意三角形，这个结论还成立吗？
3.这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，若为直角，我们已经证明结论成立。如何证明为锐角、钝角时结论成立？
备课时间
2020年8月18日
上课时间
第周周月日
班级节次
课题
正弦定理1
总课时数
第节
教学目标
1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；
2. 通过对任意三角形的边长、角度关系的探索，培养自主学习、自主探索的能力；
教学重难点
正弦定理及其证明过程
教学参考
各省高考题教学与测试
例题剖析
例1.在中，已知，，，则 _________；
练习：
学案1,2,3
变式
教
学
过
程
设
计
教
学
二次备课
例2、在中，已知，，，则 _________；
三、课堂小结
1、正弦定理的证明及内容。
2．应用正弦定理解两类三角形问题。
学生练习：
学案：5,7
6,9板演，
课外作业
见学案
教学小结

1.1.1正弦定理导学案(必修五)

§1.1.1 正弦定理学习目标 1。

掌握正弦定理的内容； 2。

掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．(简:大角对大边)能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:当∆ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=，同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ )．A ．sin sin a A bB = B 。

cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4,b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于．[理解定理](1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2)sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C．（3)正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ．（4）一般地，把三角形的三个角A ，B,C 和它们的对边,,a b c 叫做。

新人教A版必修5高中数学1.1正弦定理和余弦定理学案

高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．学习重难点1. 重点：正、余弦定理内容2. 难点：已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时的讨论一、知识链接问题1：在解三角形时，已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．问题2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝252，b ＝502，解此三角形．二、试一试探究1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝502；② A ＝6π，a ＝5063，b ＝502；③ A ＝6π，a ＝50，b＝502.思考：解的个数情况为何会发生变化？探究2：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？ 2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 模仿练习例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b cA B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 22032ab C =，求角C ．三、总结提升 ※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．当堂检测1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a bb +的值=（）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状．课后作业1. 在∆ABC中，a xcm=，2b cm=，45B∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2221sin24a b cab C+-=，求角C．课后反思。

新人教A版必修5高中数学第一章1.1.1正弦定理(一)导学案

1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C解析由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．解在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：。

高中数学必修5《正弦定理》教学设计

高中数学必修5《正弦定理》教学设计一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》第一节的主要内容。

它是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是“三角函数”和“平面向量”等知识在三角形中的具体运用，还是后续课程中解三角形的理论依据，是解决实际生活中许多测量问题的工具。

因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入证明并正确应用正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。

因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、学情分析因为授课班级是高一学生，只是在初中学习过解直角三角形的内容，还没有学过必修4中三角函数的基础知识和平面向量的有关内容。

《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。

因为没有三角函数、平面向量等知识的支撑，所以在定理的探究证明和应用这个环节会有很大的影响，所以本节课主要探究和证明正弦定理，只能进行简单的应用。

三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。

”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（指导教师和学习伙伴）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

这也是郭思乐教授的“生本”教育理念，本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

高中数学《1.1.1 正弦定理》教案新人教A版必修5

福建省长乐第一中学高中数学必修五《1.1.1 正弦定理》教案第一课时 1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =cb sin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. ② 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b c A B C==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C . 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D===，同理 sin b B =2R ，sin c C＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 ② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ） ④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a ，求sin sin sin a b c A B C ++++. 2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题.。

高中新课程数学(新课标人教a版)必修五1.1.1正弦定理复习导学案

第一章解三角形§1.1.1正弦定理授课时间第周星期第节课型新授课主备课人白美利学习目标1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究,发现正弦定理.2.能够利用向量方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的简单问题.重点难点重点:正弦定理的发现,证明及其简单应用. 难点:正弦定理的应用.学习过程与方法自主学习：问题1:在直角三角形中三角形的边与角之间有什么数量关系呢?__________________________________________________.问题2:在问题1中发现的关系式对一般的三角形是否成立呢?正弦定理:_________________________.精讲互动：例1某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图课本2-4),其一角一已破损.现测得如下数据:045,38.4,57.3,57.2====BcmBDcmCEcmBC.120,0=C为了复原,请计算出原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm)分析如图课本2-5所示,将CEBD,分别延长相交于一点A.在三角形ABC中,已知BC的长及角B与C,可以通过__________定理求ACAB,的长.例 2.台风中心位于市正东方向km300处,正以hkm/40的速度向西北方向移动,距台风中心km250范围内将会受到影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1h)?分析如图课本2-6所示,设该市在点A,台风中心从点B向西北方向移动,kmAB300=.在台风中心移动过程中,当该中心到点A的距离不大于km250时,该市受台风影响.达标训练：（1）.在ABC ∆中,15.0=a ,0085.75,4.103==B C .求c 的长.（2）.在ABC ∆中,045,2,4===C a c ,则A sin =______.（3）.在ABC ∆中,10,100,3000 a C A a ,求c b ,(结果精确到0.01).作业布置1. 在ABC ∆中,6,45,7500===c C B ，求a .2. 在ABC ∆中，已知040,28,20===A b a ，求B (精确到01)和c （保留两个有效数字）学习小结/教学反思。

必修五导学案1(正弦定理)

4、已知在△ABC中，c=10，∠A=45°，∠C=30°，则b=___________.
【能力提升】可供学生课外做作业
1、已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2、在中， B=120 C=30 a=5 ,则此三角形的最大边长为
3、已知在中，AB=6，A=30 ，B= ,解此三角形。
作，根据三角函数的定义，
sinA=，sinB=
两式分别化得CD=和CD=即可得到=
化作比式得
=
同理可得
==
小结：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
典例分析：
例1、在中，，解三角形。
例2、在
例3、
注意：一般地，已知三角形的任意两边与其中一边的对角解三角形，有可能有两解或一解或无解。（有能力的学生可以试着将各种情形分类总结一下）
【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟满分：10分）分：
1、已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）。
A 8 B 4 C 4 -3 D 8 -8
2、在中，三个内角之比，那么等于
3、在△ABC中，若，，，则．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
2、一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作（solving triangles)。
【预习自测】
1、已知ΔABC中已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）。
A、3 B、2 C、 D、

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执笔人：姚东盐
审核人：祁正权
2009 年
9 月 1 日 1 课时
必修 5 §1.1
一、学习目标
正弦定理 (1)
第
1.理解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容； 3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。

二、学法指导 1.要注意定理的几种证法，自己能够发现通过探索、讨论研究，发现证明方法；2.体会向量是一种处理问题的工具三、课前预习 1. 在
ABC中，已知a, b 分别为A, B 所对的边，则
a  b  A ___ B  sin A ____sin B
2.正弦定理：在三角形中， ________________________________________________________ 即 ______ _______ _________ =_______( )
3.一般的，把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____. 4.正弦定理的证明方法有哪些? 四、课堂探究探索 1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在 Rt ABC 中，设 C  90 ，则 sinA=_______, sinB=________, sinC=_______ 即：探索 2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？探索 3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设 C 为最大角， C 若 C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论也．．成立？证法 1 若 C 为锐角（图（1）），过点 A 作 AD  BC 于．．
AD AD ， sin C  ，所以 c b b c c sin B  b sin C ，即  ．同理可得 sin B sin C a c a b c    ，所以． sin A sin C sin A sin B sin C 若 C 为钝角（图（2）），过点 A 作 AD  BC ，交 BC 的延长线于 D ，此．．
D ，此时有 sin B 
时也有 sin B 
AD AD ，且 sin C  sin(180  C )  ．同样可得 c b a b c   ．综上可知，结论成立． sin A sin B sin C

证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高 AD 、 BE 、 CF ，则 AD  c sin B ， BE  a sin C ， CF  b sin A ．所以
SABC 
每项
1 1 1 ab sin C  ac sin B  bc sin A ， 2 2 2
同除以
1 abc 2
即
得
：
a b c   ． sin A sin B sin C
探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在 ABC 中，有 BC  BA  AC ．设C 为最大角，过点 A 作 AD  BC 于 D （图（3）），于是 BC  AD  BA  AD  AC  AD ．设 AC 与 AD 的夹角为  ，则
0 | BA | | AD |  cos(90  B) | AC |  | AD | cos  ，其中，当 C 为锐角或直角时，   90  C ；当 C 为钝角时， b c   C  90 ．故可得 c sin B  b sin C  0 ，即  ．同理可得 sin B sin C a c  ．因此得证。

sin A sin C
五、数学应用题型 1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角例 1 已知在 ABC中，c  10, A  450 , C  300 , 求a, b和B
【随堂记录】：
题型 2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角例 2 在 ABC中，b  3, B  600 , c  1, 求a和A, C
【随堂记录】：

例 3 ABC中，c  6, A  450 , a  2, 求b和B, C
【随堂记录】：
六、巩固训练（一）当堂练习 1.在 ABC 中， B  1350 , C  150 , A  5 ,则此三角形的最大边长为_____
2.ABC中，A  60 , BC  3, AB  6, 则C  ____.
3.已知 ABC中 , a  4, b  4 3, A  30 ，则 B  ______. 4. 在ABC中，若A  60 , a  13, c  4, 则b  ______. 5. 在ABC中，若b  2c sin B, 则C  ______ （二）课后作业课课练第一课时
七、反思总结 1．用三种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．（3）外接圆法 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）_____________________________________________________ （2）_____________________________________________________．

。