江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义.docx

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高中数学解析几何

高中数学解析几何

高中数学解析几何数学解析几何是高中数学的重要内容之一,它融合了代数和几何的知识,通过代数的方法解决几何问题。

本文将对高中数学解析几何的基本概念、常见解题方法以及应用进行探讨。

一、基本概念1. 坐标系在解析几何中,我们通常使用直角坐标系来描述平面上的点和曲线。

直角坐标系由x轴和y轴组成,它们的交点称为原点,用O表示。

x轴和y轴分别代表着水平和竖直方向的数轴。

2. 点和坐标平面上的点可以用坐标表示,通常用(x,y)表示。

其中,x代表点在x轴上的投影,y代表点在y轴上的投影。

例如,点A的坐标为(2,3),表示它在x轴上的坐标为2,在y轴上的坐标为3。

3. 斜率斜率是解析几何中的重要概念,用于描述直线的倾斜程度。

在直角坐标系中,直线的斜率可以通过两点间的坐标差来计算。

设直线上两点为A(x1,y1)和B(x2,y2),则直线的斜率k为:k = (y2 - y1) / (x2 - x1)二、常见解题方法1. 直线方程在解析几何中,求解直线的方程是一个常见的问题。

根据直线上的已知点和直线的斜率,我们可以利用点斜式、一般式等形式来表示直线方程。

- 点斜式:已知直线上一点A(x1,y1)和斜率k,直线的点斜式方程为:y - y1 = k(x - x1)- 一般式:已知直线的斜率k和截距b,直线的一般式方程为:y =kx + b2. 圆的方程另一个常见的解析几何问题是求解圆的方程。

圆可以通过已知圆心和半径来确定。

- 标准方程:已知圆心坐标为(h,k),半径为r,圆的标准方程为:(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^23. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种情况:相离、相切和相交。

我们可以利用直线和圆的方程判断它们的位置关系。

- 相离:当直线与圆没有交点时,它们被称为相离。

- 相切:当直线与圆有且只有一个交点时,它们被称为相切。

- 相交:当直线与圆有两个交点时,它们被称为相交。

三、应用解析几何在实际问题中有广泛的应用,下面举几个例子来说明:1. 距离计算通过解析几何的方法,我们可以计算平面上两点之间的距离。

解析几何的基本知识点总结

解析几何的基本知识点总结

解析几何的基本知识点总结解析几何是几何学的一个分支,它利用坐标系和代数方法研究几何问题。

通过对解析几何的基本知识点的总结,我们可以更好地理解和应用解析几何的方法。

本文将就解析几何的基本概念、坐标系、直线和曲线等知识点进行详细阐述。

一、基本概念1. 点:解析几何中的基本单位,用坐标表示,通常用大写字母表示,如点A(x₁, y₁)。

2. 线段:由两点确定的有限线段,在解析几何中用两点的坐标表示,如线段AB:AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。

3. 中点:线段的中点即为线段两端点的均值,设线段AB的中点为M,则M的坐标为[(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2]。

4. 斜率:表示直线斜率的概念,在解析几何中常用字母k表示,直线的斜率为k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。

5. 角度:两条直线之间的旋转角度,用度数或弧度表示。

二、坐标系1. 笛卡尔坐标系:由水平的x轴和垂直的y轴组成,交点为原点O(0,0)。

在这个坐标系下,点的位置可以用有序数对(x, y)表示。

2. 极坐标系:由原点O和极径、极角两个坐标轴组成,极径表示点到原点的距离,极角表示点与x轴正半轴的夹角。

三、直线与曲线1. 直线:由一次方程表示的线段,在解析几何中用方程的形式表示,如直线方程为y=kx+b。

2. 曲线:不是直线的线段,在解析几何中的表示较为复杂,可以通过方程、参数方程或极坐标方程表示,常见的曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等。

四、常见图形的解析几何表示1. 圆:圆心为(h, k),半径为r,其方程表示为(x-h)²+(y-k)²=r²。

2. 椭圆:椭圆的中心为(h, k),长轴为2a,短轴为2b,其方程表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。

3. 双曲线:双曲线的中心为(h, k),两支曲线的焦点分别为(f₁, k)和(-f₂, k),其方程表示为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1。

江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.1小题考法_解析几何中的基本问题达标训练含解析201905231179

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解析几何中的基本问题A 组——抓牢中档小题1.若直线l 1:mx +y +8=0与l 2:4x +(m -5)y +2m =0垂直,则m =________. 解析:∵l 1⊥l 2,∴4m +(m -5)=0,∴m =1. 答案:12.已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,5)在圆C 上,且圆心到直线2x -y =0的距离为455,则圆C 的方程为____________.解析:因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,设C (a,0),且a >0,所以圆心到直线2x -y =0的距离d =2a5=455,解得a =2,所以圆C 的半径r =|CM |=22+52=3,所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=9.答案:(x -2)2+y 2=93.(2018·镇江期末)已知双曲线x 2a2-y 2=1的左焦点与抛物线y 2=-12x 的焦点重合,则双曲线的右准线方程为________.解析:因为抛物线的焦点为(-3,0),即为双曲线的左焦点,所以a 2=9-1=8,所以双曲线的右准线方程为x =83.答案:x =834.已知直线l 过点P (1,2)且与圆C :x 2+y 2=2相交于A ,B 两点,△ABC 的面积为1,则直线l 的方程为________.解析:当直线斜率存在时,设直线的方程为y =k (x -1)+2,即kx -y -k +2=0.因为S △ABC =12CA ·CB ·sin∠ACB =1,所以12×2×2×sin∠ACB =1,所以sin ∠ACB =1,即∠ACB =90°,所以圆心C 到直线AB 的距离为1,所以|-k +2|k 2+1=1,解得k =34,所以直线方程为3x -4y +5=0;当直线斜率不存在时,直线方程为x =1,经检验符合题意.综上所述,直线l 的方程为3x -4y +5=0或x =1.答案:3x -4y +5=0或x =15.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1,F 2,离心率为33,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点.若△AF 1B 的周长为4 3,则C 的方程为__________.解析:因为△AF 1B 的周长为43,所以|AF 1|+|AB |+|BF 1|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =43,所以a = 3.又因为椭圆的离心率e =c a =33,所以c =1,b 2=a 2-c 2=3-1=2,所以椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.答案:x 23+y 22=16.(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中,若圆(x -2)2+(y -2)2=1上存在点M ,使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx +y +3=0上,则实数k 的最小值为________.解析:圆(x -2)2+(y -2)2=1关于x 轴的对称圆的方程为(x -2)2+(y +2)2=1,由题意得,圆心(2,-2)到直线kx +y +3=0的距离d =|2k -2+3|k 2+1≤1,解得-43≤k ≤0,所以实数k 的最小值为-43.答案:-437.已知以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点M ,N ,椭圆的左焦点为F 1,且直线MF 1与此圆相切,则椭圆的离心率e =________.解析:因为圆的半径r =c ,在Rt △F 1F 2M 中,|F 1F 2|=2c ,|F 2M |=c ,|F 1M |=3c ,所以2a =|F 1M |+|F 2M |=(3+1)c ,离心率e =2c 2a =2c3c +c=3-1.答案:3-18.(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中,若直线ax +y -2=0与圆心为C 的圆(x -1)2+(y -a )2=16相交于A ,B 两点,且△ABC 为直角三角形,则实数a 的值是________.解析:由题意知△ABC 为等腰直角三角形,且AC =BC =4,AB =42, ∴圆心C 到直线ax +y -2=0的距离d =42-22=22,∴|a +a -2|a 2+1=22,解得a =-1. 答案:-19.(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2-6y +5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是________.解析:由圆x 2+y 2-6y +5=0,得圆的标准方程为x 2+(y -3)2=4,所以圆心C (0,3),半径r =2.因为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线bx ±ay =0与该圆没有公共点,则圆心到直线的距离应大于半径,即|b ×0±a ×3|b 2+a 2>2,即3a >2c ,即e =c a <32,又e >1,故双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32 10.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :x 2+(y -3)2=2,点A 是x 轴上的一个动点,AP ,AQ 分别切圆C 于P ,Q 两点,则线段PQ 长的取值范围是________.解析:设∠PCA =θ,所以PQ =22sin θ.又cos θ=2AC,AC ∈[3,+∞),所以cosθ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,23,所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,29,sin 2θ=1-cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79,1,所以sinθ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73,1,所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143,22. 答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143,22 11.(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C :x 2-y 2b2=1(b >0) 的两条渐近线与圆O :x 2+y 2=2的四个交点依次为A ,B ,C ,D .若矩形ABCD 的面积为b ,则b 的值为________.解析:由题意知,双曲线C 的渐近线方程为y =±bx ,如图所示,两条渐近线与圆O 的四个交点为A ,B ,C ,D.不妨设点B 的坐标为(m ,n ),则⎩⎪⎨⎪⎧n =bm ,m 2+n 2=2,解得m 2=2b 2+1,而矩形ABCD 的面积为2m ×2n =4mn =4bm 2=4b ×2b 2+1=b ,解得b =7.答案:712.(2018·苏锡常镇调研)已知直线l :x -y +2=0与x 轴交于点A ,点P 在直线l 上.圆C :(x -2)2+y 2=2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ,则点P 的横坐标的取值集合为________.解析:法一:由AB ⊥BP ,得点B 在以AP 为直径的圆D 上,所以圆D 与圆C 相切. 由题意得A (-2,0),C (2,0).若圆D 与圆C 外切,则DC -DA =2;若圆D 与圆C 内切,则DA -DC = 2.所以圆心D 在以A ,C 为焦点的双曲线x 212-y 272=1上,即14x 2-2y 2=7.又点D在直线l 上,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +2,14x 2-2y 2=7,得12x 2-8x -15=0,解得x D =32或x D =-56.所以x P =2x D-x A =2x D +2=5或x P =13.法二:由题意可得A (-2,0),设P (a ,a +2),则AP 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫a -22,a +22,AP =a +2,故以AP 为直径的圆M 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x -a -222+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -a +222=⎝⎛⎭⎪⎫|a +2|22.由题意得圆C 与圆M 相切(内切和外切),故⎝ ⎛⎭⎪⎫a -22-22+⎝ ⎛⎭⎪⎫a +222=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2±|a +2|2,解得a =13或a =5.故点P 的横坐标的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13,5.答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫13,513.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于A ,B 两点.若△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积为ab ,则椭圆的离心率为________.解析:设直线x =m 与x 轴交于点H ,椭圆的右焦点为F 1,由椭圆的对称性可知△FAB 的周长为2(FA +AH )=2(2a -F 1A +AH ),因为F 1A ≥AH ,故当F 1A =AH 时,△FAB 的周长最大,此时直线AB 经过右焦点,从而点A ,B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a ,⎝⎛⎭⎪⎫c ,-b 2a ,所以△FAB 的面积为12·2c ·2b 2a ,由条件得12·2c ·2b 2a =ab ,即b 2+c 2=2bc ,b =c ,从而椭圆的离心率为e =22. 答案:2214.已知A ,B 是圆C 1:x 2+y 2=1上的动点,AB =3,P 是圆C 2:(x -3)2+(y -4)2=1上的动点,则|PA ―→+PB ―→|的取值范围为________.解析:因为A ,B 是圆C1:x 2+y 2=1上的动点,AB =3,所以线段AB 的中点H 在圆O :x 2+y 2=14上,且|PA ―→+PB ―→|=2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2:(x -3)2+(y -4)2=1上的动点,所以5-32≤|PH ―→|≤5+32,即72≤|PH ―→|≤132,所以7≤2|PH ―→|≤13,从而|PA ―→+PB ―→|的取值范围是[7,13]. 答案:[7,13]B 组——力争难度小题1.已知点P 是圆C :x 2+y 2+4x -6y -3=0上的一点,直线l :3x -4y -5=0.若点P 到直线l 的距离为2,则符合题意的点P 有________个.解析:由题意知圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -3)2=16,所以圆心(-2,3)到直线l的距离d =|-6-12-5|5=235∈(4,5),故满足题意的点P 有2个.答案:22.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点.若∠MAN =60°,则C 的离心率为________.解析:双曲线的右顶点为A (a,0),一条渐近线的方程为y =b ax ,即bx -ay =0,则圆心A 到此渐近线的距离d =|ba -a ×0|b 2+a 2=abc .又因为∠MAN =60°,圆的半径为b ,所以b ·sin 60°=ab c,即3b 2=ab c ,所以e =23=233. 答案:2333.(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中,若直线y =k (x -33)上存在一点P ,圆x 2+(y -1)2=1上存在一点Q ,满足OP ―→=3OQ ―→,则实数k 的最小值为________.解析:设点P (x ,y ),由OP ―→=3OQ ―→,可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3,y 3.又点Q 在圆x 2+(y -1)2=1上,可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32+⎝ ⎛⎭⎪⎫y3-12=1,即x 2+(y -3)2=9,所以点P 既在圆x 2+(y -3)2=9上,又在直线y =k (x -33)上,即直线与圆有交点,所以圆心到直线距离d =||-3-33k 1+k2≤3,解得-3≤k ≤0.答案:- 34.(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py (p >0)交于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为________.解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由抛物线的定义可知 |AF |=y 1+p 2,|BF |=y 2+p 2,|OF |=p2,由|AF |+|BF |=y 1+p 2+y 2+p2=y 1+y 2+p =4|OF |=2p ,得y 1+y 2=p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2-y 2b2=1,x 2=2py消去x ,得a 2y 2-2pb 2y +a 2b 2=0,所以y 1+y 2=2pb 2a 2,所以2pb2a2=p ,即b 2a 2=12,故b a =22, 所以双曲线的渐近线方程为y =±22x . 答案:y =±22x 5.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)恒过定点A (1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________.解析:由已知得1a 2+4b 2=1,因为准线方程为x =a 2c,所以椭圆的中心到准线的距离为d=a 2c ,即d 2=a 4c 2=a 4a 2-b 2=a 4a 2-4a 2a 2-1=a 4-a 2a 2-5=a 2-2+a 2-+20a 2-5=a 2-5+20a 2-5+9≥220+9=45+9=(5+2)2,当且仅当a 2=5+25时取等号.所以d ≥5+2,即d min =5+2.答案:5+26.已知圆C :(x -2)2+y 2=4,线段EF 在直线l :y =x +1上运动,点P 为线段EF 上任意一点,若圆C 上存在两点A ,B ,使得PA ―→·PB ―→≤0,则线段EF 长度的最大值是________.解析:过点C 作CH ⊥l 于H ,因为C 到l 的距离CH =32=322>2=r ,所以直线l 与圆C 相离,故点P 在圆C 外.因为PA ―→·PB ―→=|PA ―→||PB ―→|cos ∠APB ≤0,所以cos ∠APB ≤0,所以π2≤∠APB <π,圆C 上存在两点A ,B 使得∠APB ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2,π,由于点P 在圆C 外,故当PA ,PB 都与圆C 相切时,∠APB 最大,此时若∠APB =π2,则PC =2r =22,所以PH =PC 2-CH 2=22-⎝⎛⎭⎪⎫3222=142,由对称性可得EF max =2PH =14. 答案:14。

解析几何题型及解题方法

解析几何题型及解题方法

解析几何题型及解题方法
解析几何是数学中的一个重要分支,主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。

以下是一些常见的解析几何题型及其解题方法:
1. 求轨迹方程:给定一些条件,求动点的轨迹方程。

解题方法包括直接法、参数法、代入法等。

2. 判断位置关系:判断两条直线、两个圆、两条圆锥曲线等是否相交、相切、相离。

解题方法包括联立方程组消元法、判别式法、一元二次方程根的判别式法等。

3. 求弦长、面积、体积等:给定一个几何对象,求其长度、面积、体积等。

解题方法包括公式法、参数法、极坐标法等。

4. 求最值:给定一个几何对象,求其长度的最大值、最小值等。

解题方法包括导数法、不等式法、极坐标法等。

5. 证明不等式:通过几何图形证明不等式。

解题方法包括构造法、极坐标法、数形结合法等。

6. 探索性问题:通过观察、猜想、证明等方式探索几何对象的性质。

解题方法包括归纳法、反证法、构造法等。

以上是一些常见的解析几何题型及其解题方法,掌握这些方法可以帮助我们更好地解决解析几何问题。

同时,需要注意题目中的条件和限制,以及图形的位置和形状,以便更准确地解决问题。

解析几何解答题的答题策略和技巧

解析几何解答题的答题策略和技巧

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题,遵循以下策略和技巧至关重要:理解题意仔细阅读题目,并确保理解要求。

确定您需要找到的内容,例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息,选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系(直线坐标系)通常用于描述二维空间,而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中,以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中,运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题:如果可能,将复杂的问题分解成更简单的部分,以便更容易解答。

利用对称性:在某些情况下,图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器:图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理:使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解:在完成解决方案后,花时间复查您的工作,以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线:使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆:使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线:使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线:使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆:使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧,您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住,熟能生巧,因此定期练习和学习相关概念至关重要。

解析几何基础知识

解析几何基础知识

解析几何基础知识解析几何是数学中的一个重要分支,它研究的是空间中的几何问题,通过代数方法对几何问题进行分析和计算。

在学习解析几何的过程中,我们需要掌握一些基础知识,本文将对解析几何的基本概念和常见方法进行解析。

一、平面直角坐标系解析几何的基础是平面直角坐标系。

平面直角坐标系由两条数轴构成,分别是横轴x和纵轴y,它们相互垂直于平面,并在一个固定的点O相交,这个点O被称为坐标原点。

在平面直角坐标系中,每个点都可以用一对有序实数(x, y)来表示,其中x称为横坐标,y称为纵坐标。

二、直线的方程在解析几何中,直线是研究的主要对象之一。

我们可以通过一些简单的方法来确定直线的方程。

1. 两点确定一条直线已知两点A(x1, y1)和B(x2, y2),我们可以利用这两点的坐标来确定直线的方程。

根据直线的性质,我们可以得到直线AB的斜率k的计算公式:k = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率k可以用来判断直线的方向和倾斜程度。

而直线的方程可以表示为:y - y1 = k(x - x1)其中,x和y是直线上的任意一点的坐标。

2. 斜率截距法当我们知道一条直线的斜率k和与y轴的截距b时,可以通过斜率截距法得到直线的方程。

直线的方程可以表示为:y = kx + b其中,k为斜率,b为截距。

三、圆的方程圆是解析几何中常遇到的图形之一,它由平面中一点C(xc, yc)和半径r组成。

圆的方程可以通过这个点和半径来确定。

圆的方程可以表示为:(x - xc)² + (y - yc)² = r²其中,(x, y)是圆上的任意一点的坐标。

四、曲线的方程除了直线和圆,解析几何还研究了其他曲线的方程。

常见的曲线方程有抛物线、椭圆、双曲线等。

以抛物线为例,抛物线的方程可以表示为:y = ax² + bx + c其中,a、b、c是常数,确定了抛物线的形状。

五、向量的运算在解析几何中,向量是重要的研究对象之一。

高考数学解析几何专题讲义第3讲--抛物线的定义及其应用

高考数学解析几何专题讲义第3讲--抛物线的定义及其应用
8
MA MF 的最小值为

7.过抛物线 y2 x 焦点的直线与该抛物线交于 A 、 B 两点,若 AB 4 ,则弦 AB 的中点到直线 x 1 0 的距 2
离等于( )
A. 7 4
B. 9 4
C. 4
D.2
8.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点,则 1 1
【证明】如图,设抛物线的准线为 l ,过 A 、B 两点分别作 AC 、BD 垂直于 l ,垂足分别为 C 、D .取 线段 AB 中点 M ,作 MH 垂直 l 于 H .
由抛物线的定义有: AC AF , BD BF ,所以 AB AC BD .
∵ ABDC 是直角梯形, MH 1 AC BD 1 AB
以开口向右的抛物线为例,设抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F,准线为 l ,点 M x0, y0 为抛物线
C 上的动点.则有:
焦半径 MF
x0
p 2
;过焦点的弦
AB
长为
AB
xA xB p .
(二)抛物线定义的应用
与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点 的距离与点到直线的距离的转化:
(2)如图,设 AFK .

AF
AA1
AK
p
AF
sin
p
,∴
AF
p 1 sin


BF
BB1
p
BF
sin
,∴
BF
p 1 sin

∴ 1 1 1 sin 1 sin 2 (定值).
AF BF
p
pp
【变式训练】求证:以抛物线 y2 2 px p 0 过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切.

江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.3大题考法—椭圆达标训练

江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.3大题考法—椭圆达标训练

椭圆A 组——大题保分练1.如图,圆C 与y 轴相切于点T (0,2),与x 轴正半轴相交于两点M ,N (点M 在点N 的左侧),且MN =3.(1)求圆C 的方程;(2)过点M 任作一条直线与椭圆T :x 24+y 28=1相交于两点A ,B ,连结AN ,BN ,求证:∠ANM =∠BNM .解:(1)设圆C 的半径为r ,依题意得,圆心坐标为(r,2). ∵MN =3,∴r =⎝ ⎛⎭⎪⎫322+22,∴r =52, ∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -522+(y -2)2=254.(2)证明:把y =0代入方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x -522+(y -2)2=254,解得x =1或x =4,即点M (1,0),N (4,0).①当AB ⊥x 轴时,由椭圆对称性可知∠ANM =∠BNM .②当AB 与x 轴不垂直时,可设直线AB 的方程为y =k (x -1),联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -,x 24+y28=1消去y ,得(k 2+2)x 2-2k 2x +k 2-8=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2k 2k 2+2,x 1x 2=k 2-8k 2+2.∵y 1=k (x 1-1),y 2=k (x 2-1), ∴k AN +k BN =y 1x 1-4+y 2x 2-4=k x 1-x 1-4+k x 2-x 2-4=k x 1-x 2-+k x 2-x 1-x 1-x 2-.∵(x 1-1)(x 2-4)+(x 2-1)(x 1-4)=2x 1x 2-5(x 1+x 2)+8=k 2-k 2+2-10k2k 2+2+8=0, ∴k AN +k BN =0,∴∠ANM =∠BNM . 综上所述,∠ANM =∠BNM .2.(2018·高邮中学月考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A (-2,0),离心率为12,过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ,点C 为y 轴上的一点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形,求直线l 的方程.解:(1)由题意可得:⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c a =12,即⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =1,从而有b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为y =k (x +2),代入x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-12=0,因为x =-2为该方程的一个根,解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6-8k 23+4k 2,12k 3+4k 2,设C (0,y 0),由k AC ·k BC =-1, 得y 02·12k3+4k 2-y 06-8k23+4k2=-1, 即(3+4k 2)y 20-12ky 0+(16k 2-12)=0.(*)由AC =BC ,即AC 2=BC 2,得4+y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫6-8k 23+4k 22+⎝⎛⎭⎪⎫y 0-12k 3+4k 22,即4=⎝ ⎛⎭⎪⎫6-8k 23+4k 22+⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 3+4k 22-24k 3+4k 2y 0, 即4(3+4k 2)2=(6-8k 2)2+144k 2-24k (3+4k 2)y 0, 所以k =0或y 0=-2k3+4k2,当k =0时,直线l 的方程为y =0,当y 0=-2k 3+4k 2时,代入(*)得16k 4+7k 2-9=0,解得k =±34,此时直线l 的方程为y =±34(x +2),综上,直线l 的方程为y =0,3x -4y +6=0或3x +4y +6=0.3.(2018·南通、泰州一调)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P 为椭圆上的一点,过点O 作OP 的垂线交直线y =2于点Q ,求1OP2+1OQ 2的值.解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a =22,a2c -c =1,b 2+c 2=a 2,解得⎩⎨⎧a =2,c =1,b =1.所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题意知OP 的斜率存在.当OP 的斜率为0时,OP =2,OQ =2, 所以1OP2+1OQ 2=1.当OP 的斜率不为0时,设直线OP 的方程为y =kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =kx ,得(2k 2+1)x 2=2,解得x 2=22k 2+1,所以y 2=2k 22k 2+1,所以OP 2=2k 2+22k 2+1.因为OP ⊥OQ ,所以直线OQ 的方程为y =-1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y =2,y =-1k x 得x =-2k ,所以OQ 2=2k 2+2.所以1OP 2+1OQ 2=2k 2+12k 2+2+12k 2+2=1.综上,可知1OP2+1OQ 2=1.4.已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N 的方程为(x -c )2+y 2=a 2+c 2(c 为半焦距),直线l :y =kx +m (k >0)与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点,分别设为A ,B .(1)求椭圆M 的方程和直线l 的方程; (2)试在圆N 上求一点P ,使PBPA=2 2. 解:(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a =12,a2c -c =3,解得a =2,c =1,所以b =3,所以椭圆M 的方程为x 24+y 23=1.圆N 的方程为(x -1)2+y 2=5,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =kx +m ,消去y ,得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-12=0,① 因为直线l :y =kx +m 与椭圆M 只有一个公共点, 所以Δ=64k 2m 2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=0得m 2=3+4k 2,② 由直线l :y =kx +m 与圆N 只有一个公共点, 得|k +m |1+k2=5,即k 2+2km +m 2=5+5k 2,③将②代入③得km =1,④ 由②④且k >0,得k =12,m =2.所以直线l 的方程为y =12x +2.(2)将k =12,m =2代入①,可得A ⎝⎛⎭⎪⎫-1,32. 又过切点B 的半径所在的直线l ′为y =-2x +2,所以得交点B (0,2), 设P (x 0,y 0),因为PBPA=22, 则x 20+y 0-2x 0+2+⎝⎛⎭⎪⎫y 0-322=8,化简得7x 20+7y 20+16x 0-20y 0+22=0,⑤又P (x 0,y 0)满足x 20+y 20-2x 0=4,⑥将⑤-7×⑥得3x 0-2y 0+5=0,即y 0=3x 0+52.⑦将⑦代入⑥得13x 20+22x 0+9=0, 解得x 0=-1或x 0=-913,所以P (-1,1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-913,1913.B 组——大题增分练1.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,右顶点、上顶点分别为A ,B ,原点O 到直线AB 的距离等于ab .(1)若椭圆C 的离心率为63,求椭圆C 的方程; (2)若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ,且P 在第二象限,直线PF 2交y 轴于点Q ,试判断以PQ 为直径的圆与点F 1的位置关系,并说明理由.解:由题意,得点A (a,0),B (0,b ),直线AB 的方程为x a +y b=1,即bx +ay -ab =0﹒ 由题设,得||ab a 2+b2=ab ,化简得a 2+b 2=1.①(1)因为e =c a =63,所以a 2-b 2a 2=23,即a 2=3b 2.②由①②,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=34,b 2=14,所以椭圆C 的方程为4x 23+4y 2=1.(2)点F 1在以PQ 为直径的圆上,理由如下:由题设,直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =kx +1,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1,y =kx +1消去y 得,(b 2+a 2k 2)x 2+2ka 2x +a 2-a 2b 2=0,(*) 则Δ=(2ka 2)2-4(b 2+a 2k 2)(a 2-a 2b 2)=0, 化简得1-b 2-a 2k 2=0,所以k 2=1-b2a2=1,因为点P 在第二象限,所以k =1.把k =1代入方程(*),得x 2+2a 2x +a 4=0, 解得x =-a 2,从而y =b 2,所以P (-a 2,b 2)﹒从而直线PF 2的方程为y -b 2=b 2-a 2-c(x +a 2),令x =0,得y =b 2c a 2+c ,所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,b 2c a 2+c ﹒从而F 1P ―→=(-a 2+c ,b 2),F 1Q ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2c a 2+c ,从而F 1P ―→·F 1Q ―→=c (-a 2+c )+b 4c a 2+c=c -a 4+b 4+c 2a 2+c =c []b 2-a 2b 2+a 2+c 2a 2+c=0,所以F 1P ―→·F 1Q ―→=0.所以点F 1在以PQ 为直径的圆上.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆O :x 2+y 2=4,椭圆C :x 24+y 2=1,A 为椭圆右顶点.过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ,C 两点,直线AB 与圆O 的另一交点为P ,直线PD 与圆O 的另一交点为Q ,其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-65,0.设直线AB ,AC 的斜率分别为k 1,k 2. (1)求k 1k 2的值;(2)记直线PQ ,BC 的斜率分别为k PQ ,k BC ,是否存在常数λ,使得k PQ =λk BC ?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由;(3)求证:直线AC 必过点Q .解:(1)设B (x 0,y 0),则C (-x 0,-y 0),x 204+y 20=1,因为A (2,0),所以k 1=y 0x 0-2,k 2=y 0x 0+2, 所以k 1k 2=y 0x 0-2·y 0x 0+2=y 2x 20-4=1-14x 2x 20-4=-14.(2)设直线AP 方程为y =k 1(x -2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k 1x -,x 2+y 2=4,消去y ,得(1+k 21)x 2-4k 21x +4(k 21-1)=0,解得x P =k 21-1+k 21,y P =k 1(x P -2)=-4k 11+k 21, 联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k 1x -2,x 24+y 2=1,消去y ,得(1+4k 21)x 2-16k 21x +4(4k 21-1)=0, 解得x B =k 21-1+4k 21,y B =k 1(x B -2)=-4k 11+4k 21,所以k BC =y B x B =-2k 14k 21-1,k PQ =y Px P +65=-4k 11+k 21k 21-1+k 21+65=-5k 14k 21-1, 所以k PQ =52k BC ,故存在常数λ=52,使得k PQ =52k BC .(3)设直线AC 的方程为y =k 2(x -2), 当直线PQ 与x 轴垂直时,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-65,-85,则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-65,85,所以k 1=-12,即B (0,1),C (0,-1),所以k 2=12,则k AQ =-85-65-2=12=k 2,所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时,设直线PQ 的方程为y =-5k 14k 21-1⎝ ⎛⎭⎪⎫x +65,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-5k 14k 21-1⎝ ⎛⎭⎪⎫x +65,x 2+y 2=4,解得x Q =-k 21-16k 21+1,y Q =16k 116k 21+1,因为k 2=-y B-x B -2=4k 11+4k 21-4k 211+4k 21-2=-14k 1,所以k AQ =16k 116k 21+1-k 21-16k 21+1-2=-14k 1=k 2,故直线AC 必过点Q . 3.(2018·扬州期末)已知椭圆E 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),若椭圆E 2:x 2ma 2+y 2mb 2=1(a >b >0,m >1),则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”.(1)求经过点(2,1),且与椭圆E 1:x 22+y 2=1“相似”的椭圆E 2的方程;(2)若椭圆E 1与椭圆E 2“相似”,且m =4,椭圆E 1的离心率为22,P 在椭圆E 2上,过P 的直线l 交椭圆E 1于A ,B 两点,且AP ―→=λAB ―→.①若B 的坐标为(0,2),且λ=2,求直线l 的方程; ②若直线OP ,OA 的斜率之积为-12,求实数λ的值.解:(1)设椭圆E 2的方程为x 22m +y 2m=1,将点(2,1)代入得m =2,所以椭圆E 2的方程为x 24+y 22=1.(2)因为椭圆E 1的离心率为22,故a 2=2b 2,所以椭圆E 1:x 2+2y 2=2b 2. 又椭圆E 2与椭圆E 1“相似”,且m =4,所以椭圆E 2:x 2+2y 2=8b 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0).①法一:(设线法)由题意得b =2,所以椭圆E 1:x 2+2y 2=8,椭圆E 2:x 2+2y 2=32.当直线l 斜率不存在时,B (0,2),A (0,-2),P (0,4),不满足AP ―→=2AB ―→,从而直线l 斜率存在,可设直线l :y =kx +2,代入椭圆E 1:x 2+2y 2=8得(1+2k 2)x 2+8kx =0, 解得x 1=-8k 1+2k 2,x 2=0,故y 1=2-4k21+2k2,y 2=2,所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-8k 1+2k 2,2-4k 21+2k 2.又AP ―→=2AB ―→,即B 为AP 中点,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1+2k 2,2+12k 21+2k 2, 代入椭圆E 2:x 2+2y 2=32,得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1+2k 22+2⎝ ⎛⎭⎪⎫2+12k 21+2k 22=32, 即20k 4+4k 2-3=0,所以k =±3010,所以直线l 的方程为y =±3010x +2. 法二:(设点法)由题意得b =2,所以椭圆E 1:x 2+2y 2=8,E 2:x 2+2y 2=32.由A (x 1,y 1),B (0,2),AP ―→=2AB ―→,即B 为AP 中点, 则P (-x 1,4-y 1).代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 21+2y 21=8,x 21+-y 12=32,解得y 1=12,故x 1=±302, 所以直线l 的斜率k =±3010, 所以直线l 的方程为y =±3010x +2. ②由题意得x 20+2y 20=8b 2,x 21+2y 21=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,法一:(设点法)由直线OP ,OA 的斜率之积为-12,得y 0x 0·y 1x 1=-12,即x 0x 1+2y 0y 1=0. 又AP ―→=λAB ―→,则(x 0-x 1,y 0-y 1)=λ(x 2-x 1,y 2-y 1),解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=x 0+λ-1x 1λ,y 2=y 0+λ-1y 1λ,所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0+λ-1x 1λ2+2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0+λ-1y 1λ2=2b 2,则x 20+2(λ-1)x 0x 1+(λ-1)2x 21+2y 20+4(λ-1)y 0y 1+2(λ-1)2y 21=2λ2b 2, (x 20+2y 20)+2(λ-1)(x 0x 1+2y 0y 1)+(λ-1)2(x 21+2y 21)=2λ2b 2,所以8b 2+(λ-1)2·2b 2=2λ2b 2,即4+(λ-1)2=λ2,所以λ=52.法二:(设线法) 不妨设点P 在第一象限,设直线OP :y =kx (k >0),代入椭圆E 2:x 2+2y 2=8b 2,解得x 0=22b 1+2k2,则y 0=22bk 1+2k2.直线OP ,OA 的斜率之积为-12,则直线OA :y =-12k x ,代入椭圆E 1:x 2+2y 2=2b 2,解得x 1=-2bk 1+2k2,则y 1=b1+2k2.又AP ―→=λAB ―→,则(x 0-x 1,y 0-y 1)=λ(x 2-x 1,y 2-y 1),解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=x 0+λ-x 1λ,y 2=y 0+λ-y 1λ,所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0+λ-x 1λ2+2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0+λ-y 1λ2=2b 2,则x 20+2(λ-1)x 0x 1+(λ-1)2x 21+2y 20+4(λ-1)y 0y 1+2(λ-1)2y 21=2λ2b 2, (x 20+2y 20)+2(λ-1)(x 0x 1+2y 0y 1)+(λ-1)2(x 21+2y 21)=2λ2b 2,所以8b 2+2(λ-1)22b 1+2k2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-2bk1+2k 2+2·22bk 1+2k 2·b 1+2k2+(λ-1)2·2b 2=2λ2b 2, 即8b 2+(λ-1)2·2b 2=2λ2b 2,即4+(λ-1)2=λ2, 所以λ=52.4.(2018·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点⎝⎛⎭⎪⎫3,12,焦点为F 1(-3,0), F 2(3,0),圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若△OAB 的面积为267,求直线l 的方程. 解:(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(-3,0),F 2(3,0),可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).又点⎝⎛⎭⎪⎫3,12在椭圆C 上,所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2+14b 2=1,a 2-b 2=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=4,b 2=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. 因为圆O 的直径为F 1F 2, 所以圆O 的方程为x 2+y 2=3.(2)①设直线l 与圆O 相切于点P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则x 20+y 20=3, 所以直线l 的方程为y =-x 0y 0(x -x 0)+y 0, 即y =-x 0y 0x +3y 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 2=1,y =-x 0y 0x +3y 0消去y ,得 (4x 20+y 20)x 2-24x 0x +36-4y 20=0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点, 所以Δ=(-24x 0)2-4(4x 20+y 20)·(36-4y 20)=48y 20(x 20-2)=0.因为x 0>0,y 0>0,所以x 0=2,y 0=1.所以点P 的坐标为(2,1).②因为△OAB 的面积为267, 所以12AB ·OP =267,从而AB =427. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由(*)得x 1,2=24x 0± 48y 20x 20-x 20+y 20, 所以AB 2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x 20y 20·48y 20x 20-24x 20+y 202. 因为x 20+y 20=3,所以AB 2=16x 20-2x 20+12=3249, 即2x 40-45x 20+100=0,解得x 20=52(x 20=20舍去),则y 20=12, 因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102,22. 所以直线l 的方程为y -22=-5⎝ ⎛⎭⎪⎫x -102, 即y =-5x +3 2.。

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专题三 解析几何[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)主要考查直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年、2018年)的位置关系、弦长问题、面积问题等;有时也考查直线与圆(如2016年),常与向量结合在一起命题.偶考点 直线的方程、圆的方程第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题 考点(一) 直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.[题组练透]1.已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称,则直线l 的方程为____________. 解析:由题意知直线l 与直线PQ 垂直,所以k l =-1k PQ=1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3),所以直线l 的方程为y -3=x -2,即x -y +1=0.答案:x -y +1=02.(2018·南通一模)已知圆C 过点(2,3),且与直线x -3y +3=0相切于点(0,3),则圆C 的方程为____________.解析:设圆心为(a ,b ), 则⎩⎨⎧b -3a·33=-1,a -22+()b -32=a 2+b -32,解得a =1,b =0,r =2.即所求圆的方程为(x -1)2+y 2=4. 答案:(x -1)2+y 2=43.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中,若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x ≤3,x -3y +3≥0x +3y +3≥0,表示的平面区域内,则面积最大的圆C 的标准方程为____________.解析:作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆.由对称性可知,圆C 的圆心在x 轴上,设半径为r ,则圆心C (3-r,0),且它与直线x -3y+3=0相切,所以|3-r +3|1+3=r ,解得r =2,所以面积最大的圆C 的标准方程为(x -1)2+y 2=4.答案:(x -1)2+y 2=4[方法技巧]1.求直线方程的两种方法 直接法 选用恰当的直线方程的形式,由题设条件直接求出方程中系数,写出结果 待定 系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有待定系数,再由题设条件构建方程,求出待定系数几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,从而求得圆的方程考点(二) 直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系,以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.[典例感悟][典例] (1)(2018·无锡期末)过圆x 2+y 2=16内一点P (-2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ,且AB =CD ,则四边形ACBD 的面积为________.(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-4,0),B (0,4),从直线AB 上一点P 向圆x 2+y 2=4引两条切线PC ,PD ,切点分别为C ,D.设线段CD 的中点为M ,则线段AM 长的最大值为________.[解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1,O 到CD 的距离为d 2,则由垂径定理可得d 21=r 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22,d 22=r 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22,由于AB =CD ,故d 1=d 2,且d 1=d 2=22OP =262,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22=r 2-d 21=16-132=192,得AB =38,从而四边形ACBD 的面积为S =12AB ×CD =12×38×38=19.(2)法一:(几何法) 因为直线AB 的方程为y =x +4,所以可设P (a ,a +4),C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),所以PC 的方程为x 1x +y 1y =4,PD 的方程为x 2x +y 2y =4,将P (a ,a +4)分别代入PC ,PD 的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧ax 1+a +4y 1=4,ax 2+a +4y 2=4,则直线CD 的方程为ax +(a +4)y =4,即a (x+y )=4-4y ,所以直线CD 过定点N (-1,1),又因为OM ⊥CD ,所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点).又因为以ON 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -122=12,所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫-4+122+⎝ ⎛⎭⎪⎫122+22=3 2. 法二:(参数法) 因为直线AB 的方程为y =x +4,所以可设P (a ,a +4),同法一可知直线CD 的方程为ax +(a +4)y =4,即a (x +y )=4-4y ,得a =4-4yx +y .又因为O ,P ,M 三点共线,所以ay -(a +4)x =0,得a =4x y -x .因为a =4-4y x +y =4x y -x ,所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -122=12(除去原点),所以AM 的最大值为⎝⎛⎭⎪⎫-4+122+⎝ ⎛⎭⎪⎫122+22=3 2. [答案] (1)19 (2)3 2[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.(2)解决直线与圆相关的最值问题:一是利用几何性质,如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值;二是建立函数或利用基本不等式求解.(3)对于直线与圆中的存在性问题,可以利用所给几何条件和等式,得出动点轨迹,转化为直线与圆、圆与圆的位置关系.[演练冲关]1.已知圆M :(x -1)2+(y -1)2=4,直线l :x +y -6=0,A 为直线l 上一点,若圆M 上存在两点B ,C ,使得∠BAC =60°,则点A 的横坐标的取值范围是________.解析:由题意知,直线l 与圆M 相离,所以点A 在圆M 外.设AP ,AQ 分别与圆M 相切于点P ,Q ,则∠PAQ ≥∠BAC =60°,从而∠MAQ ≥30°.因为MQ =2,所以MA ≤4.设A (x 0,6-x 0),则MA 2=(x 0-1)2+(6-x 0-1)2≤16,解得1≤x 0≤5.答案:[1,5]2.(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy 中,若圆C 1:x 2+(y -1)2=r 2(r >0)上存在点P ,且点P 关于直线x -y =0的对称点Q 在圆C 2:(x -2)2+(y -1)2=1上,则r 的取值范围是________.解析:设圆C 1上存在点P (x 0,y 0)满足题意,点P 关于直线x -y =0的对称点Q (y 0,x 0),则⎩⎪⎨⎪⎧x 20+y 0-12=r 2,y 0-22+x 0-12=1,故只需圆x 2+(y -1)2=r 2与圆(x -1)2+(y -2)2=1有交点即可,所以|r -1|≤1-02+2-12≤r +1,解得2-1≤r ≤2+1.答案:[2-1,2+1]3.在平面直角坐标系xOy 中,已知点P (3,0)在圆C :x 2+y 2-2mx -4y +m 2-28=0内,动直线AB 过点P 且交圆C 于A ,B 两点,若△ABC 的面积的最大值为16,则实数m 的取值范围为________.解析:圆C 的标准方程为(x -m )2+(y -2)2=32,圆心为C (m,2),半径为42,当△ABC 的面积的最大值为16时,∠ACB =90°,此时C 到AB 的距离为4,所以4≤CP <42,即16≤(m -3)2+(0-2)2<32,解得23≤|m -3|<27,即m ∈(3-27,3-23]∪[3+23,3+27).答案:(3-27,3-2 3 ]∪[3+23,3+27)4.(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 为圆C :(x +4)2+(y -a )2=16上的两个动点,且AB =211.若直线l :y =2x 上存在唯一的一个点P ,使得PA ―→+PB ―→=OC ―→,则实数a 的值为________.解析:法一:设AB 的中点为M (x 0,y 0),P (x ,y ),则由AB =211,得CM =16-11=5,即点M 的轨迹为(x 0+4)2+(y 0-a )2=5.又因为PA ―→+PB ―→=OC ―→,所以PM ―→=12OC ―→,即(x 0-x ,y 0-y )=⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,a 2,从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x -2,y 0=y +a 2,则动点P 的轨迹方程为(x +2)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -a 22=5,又因为直线l 上存在唯一的一个点P ,所以直线l 和动点P 的轨迹(圆)相切,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪-4-a 222+-12=5,解得a =2或a =-18.法二:由题意,圆心C 到直线AB 的距离d =16-11=5,则AB 中点M 的轨迹方程为(x +4)2+(y -a )2=5.由PA ―→+PB ―→=OC ―→,得2PM ―→=OC ―→,所以PM ―→∥OC ―→.如图,连结CM 并延长交l 于点N ,则CN =2CM =2 5.故问题转化为直线l 上存在唯一的一个点N ,使得CN=25,所以点C 到直线l 的距离为|2×-4-a |22+-12=25,解得a =2或a =-18. 答案:2或-18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质,在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.[题组练透]1.(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中,已知F 为抛物线y 2=8x 的焦点,则点F 到双曲线x 216-y 29=1的渐近线的距离为________.解析:抛物线的焦点F (2,0),双曲线的渐近线方程为y =±34x ,不妨取y =34x ,即3x-4y =0,所以焦点F 到渐近线的距离为|6|32+-42=65. 答案:652.(2018·苏北四市期中)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 1,B 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右、下、上顶点,F 是椭圆C 的右焦点.若B 2F ⊥AB 1,则椭圆C 的离心率是________.解析:由题意得,A (a,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b ),F (c,0),所以B 2F ―→=(c ,-b ),AB 1―→=(-a ,-b ),因为B 2F ⊥AB 1,所以B 2F ―→·AB 1―→=0,即b 2=ac ,所以c 2+ac -a 2=0,e 2+e -1=0,又椭圆的离心率e ∈(0,1),所以e =5-12. 答案:5-123.(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 23-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是________.解析:由题意得,双曲线的右准线x =32与两条渐近线y =±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1,F 2, 则F 1(-2,0),F 2(2,0), 故四边形F 1PF 2Q 的面积是12|F 1F 2|·|PQ |=12×4×3=2 3. 答案:2 34.(2018·常州期末)在平面直角坐标系xOy 中,设直线l :x +y +1=0与双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧,则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.解析:双曲线的渐近线分别为y =b a x ,y =-b a x ,依题意有-b a >-1,即b <a ,e =ca=c 2a 2=a 2+b 2a 2< 2.又因为e >1,所以e 的取值范围是(1,2). 答案:(1,2)[方法技巧]应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a ,b ,c ,e 各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c 和a 的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c ,a ,b 的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1.直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0; (2)重合⇔A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0; (3)相交⇔A 1B 2-A 2B 1≠0; (4)垂直⇔A 1A 2+B 1B 2=0. 2.直线与圆相交 (1)几何法由弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成直角三角形,计算弦长|AB |=2r 2-d 2. (2)代数法设直线y =kx +m 与圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0相交于点M ,N ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),将直线方程代入圆方程中,消去y 得关于x 的一元二次方程,求出x 1+x 2和x 1·x 2,则|MN |=1+k 2·x 1+x 22-4x 1·x 2.3.判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ,r (R >r )的关系来判断两圆位置关系.。

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