江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义.docx
高中数学解析几何
高中数学解析几何数学解析几何是高中数学的重要内容之一，它融合了代数和几何的知识，通过代数的方法解决几何问题。
本文将对高中数学解析几何的基本概念、常见解题方法以及应用进行探讨。
一、基本概念1. 坐标系在解析几何中，我们通常使用直角坐标系来描述平面上的点和曲线。
直角坐标系由x轴和y轴组成，它们的交点称为原点，用O表示。
x轴和y轴分别代表着水平和竖直方向的数轴。
2. 点和坐标平面上的点可以用坐标表示，通常用(x,y)表示。
其中，x代表点在x轴上的投影，y代表点在y轴上的投影。
例如，点A的坐标为(2,3)，表示它在x轴上的坐标为2，在y轴上的坐标为3。
3. 斜率斜率是解析几何中的重要概念，用于描述直线的倾斜程度。
在直角坐标系中，直线的斜率可以通过两点间的坐标差来计算。
设直线上两点为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的斜率k为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)二、常见解题方法1. 直线方程在解析几何中，求解直线的方程是一个常见的问题。
根据直线上的已知点和直线的斜率，我们可以利用点斜式、一般式等形式来表示直线方程。
- 点斜式：已知直线上一点A(x1,y1)和斜率k，直线的点斜式方程为：y - y1 = k(x - x1)- 一般式：已知直线的斜率k和截距b，直线的一般式方程为：y =kx + b2. 圆的方程另一个常见的解析几何问题是求解圆的方程。
圆可以通过已知圆心和半径来确定。
- 标准方程：已知圆心坐标为(h,k)，半径为r，圆的标准方程为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^23. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
我们可以利用直线和圆的方程判断它们的位置关系。
- 相离：当直线与圆没有交点时，它们被称为相离。
- 相切：当直线与圆有且只有一个交点时，它们被称为相切。
- 相交：当直线与圆有两个交点时，它们被称为相交。
三、应用解析几何在实际问题中有广泛的应用，下面举几个例子来说明：1. 距离计算通过解析几何的方法，我们可以计算平面上两点之间的距离。
解析几何的基本知识点总结
解析几何的基本知识点总结解析几何是几何学的一个分支，它利用坐标系和代数方法研究几何问题。
通过对解析几何的基本知识点的总结，我们可以更好地理解和应用解析几何的方法。
本文将就解析几何的基本概念、坐标系、直线和曲线等知识点进行详细阐述。
一、基本概念1. 点：解析几何中的基本单位，用坐标表示，通常用大写字母表示，如点A(x₁, y₁)。
2. 线段：由两点确定的有限线段，在解析几何中用两点的坐标表示，如线段AB：AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。
3. 中点：线段的中点即为线段两端点的均值，设线段AB的中点为M，则M的坐标为[(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2]。
4. 斜率：表示直线斜率的概念，在解析几何中常用字母k表示，直线的斜率为k＝(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
5. 角度：两条直线之间的旋转角度，用度数或弧度表示。
二、坐标系1. 笛卡尔坐标系：由水平的x轴和垂直的y轴组成，交点为原点O(0,0)。
在这个坐标系下，点的位置可以用有序数对(x, y)表示。
2. 极坐标系：由原点O和极径、极角两个坐标轴组成，极径表示点到原点的距离，极角表示点与x轴正半轴的夹角。
三、直线与曲线1. 直线：由一次方程表示的线段，在解析几何中用方程的形式表示，如直线方程为y=kx＋b。
2. 曲线：不是直线的线段，在解析几何中的表示较为复杂，可以通过方程、参数方程或极坐标方程表示，常见的曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
四、常见图形的解析几何表示1. 圆：圆心为(h, k)，半径为r，其方程表示为(x-h)²+(y-k)²=r²。
2. 椭圆：椭圆的中心为(h, k)，长轴为2a，短轴为2b，其方程表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
3. 双曲线：双曲线的中心为(h, k)，两支曲线的焦点分别为(f₁, k)和(-f₂, k)，其方程表示为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1。
江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.1小题考法_解析几何中的基本问题达标训练含解析201905231179
解析几何中的基本问题A 组——抓牢中档小题1．若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋52＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝93．(2018·镇江期末)已知双曲线x 2a2－y 2＝1的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点为(－3,0)，即为双曲线的左焦点，所以a 2＝9－1＝8，所以双曲线的右准线方程为x ＝83.答案：x ＝834．已知直线l 过点P (1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，即kx －y －k ＋2＝0.因为S △ABC ＝12CA ·CB ·sin∠ACB ＝1，所以12×2×2×sin∠ACB ＝1，所以sin ∠ACB ＝1，即∠ACB ＝90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为3x －4y ＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.答案：3x －4y ＋5＝0或x ＝15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为__________．解析：因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝16．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx ＋y ＋3＝0的距离d ＝|2k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值为－43.答案：－437．已知以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M ，N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e ＝________.解析：因为圆的半径r ＝c ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝c ，|F 1M |＝3c ，所以2a ＝|F 1M |＋|F 2M |＝(3＋1)c ，离心率e ＝2c 2a ＝2c3c ＋c＝3－1.答案：3－18．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且AC ＝BC ＝4，AB ＝42， ∴圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝42－22＝22，∴|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 答案：－19．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0，得圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝4，所以圆心C (0,3)，半径r ＝2.因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线bx ±ay ＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即|b ×0±a ×3|b 2＋a 2>2，即3a >2c ，即e ＝c a <32，又e >1，故双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________．解析：设∠PCA ＝θ，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC，AC ∈[3，＋∞)，所以cosθ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，所以sinθ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 11．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝2的四个交点依次为A ，B ，C ，D .若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为________．解析：由题意知，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bx ，如图所示，两条渐近线与圆O 的四个交点为A ，B ，C ，D.不妨设点B 的坐标为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝bm ，m 2＋n 2＝2，解得m 2＝2b 2＋1，而矩形ABCD 的面积为2m ×2n ＝4mn ＝4bm 2＝4b ×2b 2＋1＝b ，解得b ＝7.答案：712．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．解析：法一：由AB ⊥BP ，得点B 在以AP 为直径的圆D 上，所以圆D 与圆C 相切． 由题意得A (－2,0)，C (2,0)．若圆D 与圆C 外切，则DC －DA ＝2；若圆D 与圆C 内切，则DA －DC ＝ 2.所以圆心D 在以A ，C 为焦点的双曲线x 212－y 272＝1上，即14x 2－2y 2＝7.又点D在直线l 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，14x 2－2y 2＝7，得12x 2－8x －15＝0，解得x D ＝32或x D ＝－56.所以x P ＝2x D－x A ＝2x D ＋2＝5或x P ＝13.法二：由题意可得A (－2,0)，设P (a ，a ＋2)，则AP 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22，AP ＝a ＋2，故以AP 为直径的圆M 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a ＋222＝⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋2|22.由题意得圆C 与圆M 相切(内切和外切)，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋222＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2±|a ＋2|2，解得a ＝13或a ＝5.故点P 的横坐标的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，5.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，513．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A ，B 两点．若△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为ab ，则椭圆的离心率为________．解析：设直线x ＝m 与x 轴交于点H ，椭圆的右焦点为F 1，由椭圆的对称性可知△FAB 的周长为2(FA ＋AH )＝2(2a －F 1A ＋AH )，因为F 1A ≥AH ，故当F 1A ＝AH 时，△FAB 的周长最大，此时直线AB 经过右焦点，从而点A ，B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以△FAB 的面积为12·2c ·2b 2a ，由条件得12·2c ·2b 2a ＝ab ，即b 2＋c 2＝2bc ，b ＝c ，从而椭圆的离心率为e ＝22. 答案：2214．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：因为A ，B 是圆C1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围是[7,13]． 答案：[7,13]B 组——力争难度小题1．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l的距离d ＝|－6－12－5|5＝235∈(4,5)，故满足题意的点P 有2个．答案：22．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：2333．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k (x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP ―→＝3OQ ―→，则实数k 的最小值为________．解析：设点P (x ，y )，由OP ―→＝3OQ ―→，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 3.又点Q 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y3－12＝1，即x 2＋(y －3)2＝9，所以点P 既在圆x 2＋(y －3)2＝9上，又在直线y ＝k (x －33)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d ＝||－3－33k 1＋k2≤3，解得－3≤k ≤0.答案：－ 34．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________.解析：由已知得1a 2＋4b 2＝1，因为准线方程为x ＝a 2c，所以椭圆的中心到准线的距离为d＝a 2c ，即d 2＝a 4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 4－a 2a 2－5＝a 2－2＋a 2－＋20a 2－5＝a 2－5＋20a 2－5＋9≥220＋9＝45＋9＝(5＋2)2，当且仅当a 2＝5＋25时取等号．所以d ≥5＋2，即d min ＝5＋2.答案：5＋26．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：过点C 作CH ⊥l 于H ，因为C 到l 的距离CH ＝32＝322>2＝r ，所以直线l 与圆C 相离，故点P 在圆C 外．因为PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→|cos ∠APB ≤0，所以cos ∠APB ≤0，所以π2≤∠APB <π，圆C 上存在两点A ，B 使得∠APB ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π，由于点P 在圆C 外，故当PA ，PB 都与圆C 相切时，∠APB 最大，此时若∠APB ＝π2，则PC ＝2r ＝22，所以PH ＝PC 2－CH 2＝22－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝142，由对称性可得EF max ＝2PH ＝14. 答案：14。
解析几何题型及解题方法
解析几何题型及解题方法
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
以下是一些常见的解析几何题型及其解题方法：
1. 求轨迹方程：给定一些条件，求动点的轨迹方程。
解题方法包括直接法、参数法、代入法等。
2. 判断位置关系：判断两条直线、两个圆、两条圆锥曲线等是否相交、相切、相离。
解题方法包括联立方程组消元法、判别式法、一元二次方程根的判别式法等。
3. 求弦长、面积、体积等：给定一个几何对象，求其长度、面积、体积等。
解题方法包括公式法、参数法、极坐标法等。
4. 求最值：给定一个几何对象，求其长度的最大值、最小值等。
解题方法包括导数法、不等式法、极坐标法等。
5. 证明不等式：通过几何图形证明不等式。
解题方法包括构造法、极坐标法、数形结合法等。
6. 探索性问题：通过观察、猜想、证明等方式探索几何对象的性质。
解题方法包括归纳法、反证法、构造法等。
以上是一些常见的解析几何题型及其解题方法，掌握这些方法可以帮助我们更好地解决解析几何问题。
同时，需要注意题目中的条件和限制，以及图形的位置和形状，以便更准确地解决问题。
解析几何解答题的答题策略和技巧
解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。
要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。
确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。
选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。
笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。
建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。
这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。
求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。
这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。
验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。
几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。
这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。
技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。
利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。
利用这些对称性可以简化问题。
使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。
保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。
复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。
特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。
圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。
双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。
抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。
椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。
通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。
记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。
解析几何基础知识
解析几何基础知识解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何问题，通过代数方法对几何问题进行分析和计算。
在学习解析几何的过程中，我们需要掌握一些基础知识，本文将对解析几何的基本概念和常见方法进行解析。
一、平面直角坐标系解析几何的基础是平面直角坐标系。
平面直角坐标系由两条数轴构成，分别是横轴x和纵轴y，它们相互垂直于平面，并在一个固定的点O相交，这个点O被称为坐标原点。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数(x, y)来表示，其中x称为横坐标，y称为纵坐标。
二、直线的方程在解析几何中，直线是研究的主要对象之一。
我们可以通过一些简单的方法来确定直线的方程。
1. 两点确定一条直线已知两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以利用这两点的坐标来确定直线的方程。
根据直线的性质，我们可以得到直线AB的斜率k的计算公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率k可以用来判断直线的方向和倾斜程度。
而直线的方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)其中，x和y是直线上的任意一点的坐标。
2. 斜率截距法当我们知道一条直线的斜率k和与y轴的截距b时，可以通过斜率截距法得到直线的方程。
直线的方程可以表示为：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
三、圆的方程圆是解析几何中常遇到的图形之一，它由平面中一点C(xc, yc)和半径r组成。
圆的方程可以通过这个点和半径来确定。
圆的方程可以表示为：(x - xc)² + (y - yc)² = r²其中，(x, y)是圆上的任意一点的坐标。
四、曲线的方程除了直线和圆，解析几何还研究了其他曲线的方程。
常见的曲线方程有抛物线、椭圆、双曲线等。
以抛物线为例，抛物线的方程可以表示为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数，确定了抛物线的形状。
五、向量的运算在解析几何中，向量是重要的研究对象之一。
高考数学解析几何专题讲义第3讲--抛物线的定义及其应用
MA MF 的最小值为
．
7．过抛物线 y2 x 焦点的直线与该抛物线交于 A 、 B 两点，若 AB 4 ，则弦 AB 的中点到直线 x 1 0 的距 2
离等于（ ）
A． 7 4
B． 9 4
C． 4
D．2
8．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，则 1 1
【证明】如图，设抛物线的准线为 l ，过 A 、B 两点分别作 AC 、BD 垂直于 l ，垂足分别为 C 、D ．取 线段 AB 中点 M ，作 MH 垂直 l 于 H ．
由抛物线的定义有： AC AF ， BD BF ，所以 AB AC BD ．
∵ ABDC 是直角梯形， MH 1 AC BD 1 AB
以开口向右的抛物线为例，设抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F，准线为 l ，点 M x0, y0 为抛物线
C 上的动点．则有:
焦半径 MF
x0
p 2
；过焦点的弦
AB
长为
AB
xA xB p ．
（二）抛物线定义的应用
与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点 的距离与点到直线的距离的转化：
（2）如图，设 AFK ．
∵
AF
AA1
AK
p
AF
sin
p
，∴
AF
p 1 sin
，
又
BF
BB1
p
BF
sin
，∴
BF
p 1 sin
，
∴ 1 1 1 sin 1 sin 2 （定值）．
AF BF
p
pp
【变式训练】求证：以抛物线 y2 2 px p 0 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．
江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.3大题考法—椭圆达标训练
椭圆A 组——大题保分练1.如图，圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且MN ＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆T ：x 24＋y 28＝1相交于两点A ，B ，连结AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .解：(1)设圆C 的半径为r ，依题意得，圆心坐标为(r,2)． ∵MN ＝3，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22，∴r ＝52， ∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254.(2)证明：把y ＝0代入方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1,0)，N (4,0)．①当AB ⊥x 轴时，由椭圆对称性可知∠ANM ＝∠BNM .②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y28＝1消去y ，得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2k 2＋2，x 1x 2＝k 2－8k 2＋2.∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， ∴k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝k x 1－x 1－4＋k x 2－x 2－4＝k x 1－x 2－＋k x 2－x 1－x 1－x 2－.∵(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝k 2－k 2＋2－10k2k 2＋2＋8＝0， ∴k AN ＋k BN ＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 综上所述，∠ANM ＝∠BNM .2．(2018·高邮中学月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：(1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，从而有b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0,因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1， 得y 02·12k3＋4k 2－y 06－8k23＋4k2＝－1， 即(3＋4k 2)y 20－12ky 0＋(16k 2－12)＝0.(*)由AC ＝BC ，即AC 2＝BC 2，得4＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－12k 3＋4k 22，即4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 3＋4k 22－24k 3＋4k 2y 0， 即4(3＋4k 2)2＝(6－8k 2)2＋144k 2－24k (3＋4k 2)y 0， 所以k ＝0或y 0＝－2k3＋4k2，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k 4＋7k 2－9＝0，解得k ＝±34，此时直线l 的方程为y ＝±34(x ＋2)，综上，直线l 的方程为y ＝0,3x －4y ＋6＝0或3x ＋4y ＋6＝0.3．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP2＋1OQ 2的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2c －c ＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2， 所以1OP2＋1OQ 2＝1.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上，可知1OP2＋1OQ 2＝1.4．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N 的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2＋c 2(c 为半焦距)，直线l ：y ＝kx ＋m (k >0)与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点，分别设为A ，B .(1)求椭圆M 的方程和直线l 的方程； (2)试在圆N 上求一点P ，使PBPA＝2 2. 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.圆N 的方程为(x －1)2＋y 2＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 因为直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆M 只有一个公共点， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0得m 2＝3＋4k 2,② 由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆N 只有一个公共点， 得|k ＋m |1＋k2＝5，即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2，③将②代入③得km ＝1，④ 由②④且k >0，得k ＝12，m ＝2.所以直线l 的方程为y ＝12x ＋2.(2)将k ＝12，m ＝2代入①，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32. 又过切点B 的半径所在的直线l ′为y ＝－2x ＋2，所以得交点B (0,2)， 设P (x 0，y 0)，因为PBPA＝22， 则x 20＋y 0－2x 0＋2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－322＝8，化简得7x 20＋7y 20＋16x 0－20y 0＋22＝0，⑤又P (x 0，y 0)满足x 20＋y 20－2x 0＝4，⑥将⑤－7×⑥得3x 0－2y 0＋5＝0，即y 0＝3x 0＋52.⑦将⑦代入⑥得13x 20＋22x 0＋9＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝－913，所以P (－1,1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－913，1913.B 组——大题增分练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab .(1)若椭圆C 的离心率为63，求椭圆C 的方程； (2)若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线PF 2交y 轴于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆与点F 1的位置关系，并说明理由．解：由题意，得点A (a,0)，B (0，b )，直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0﹒ 由题设，得||ab a 2＋b2＝ab ，化简得a 2＋b 2＝1.①(1)因为e ＝c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，即a 2＝3b 2.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝34，b 2＝14，所以椭圆C 的方程为4x 23＋4y 2＝1.(2)点F 1在以PQ 为直径的圆上，理由如下：由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx ＋1消去y 得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，(*) 则Δ＝(2ka 2)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2－a 2b 2)＝0， 化简得1－b 2－a 2k 2＝0，所以k 2＝1－b2a2＝1，因为点P 在第二象限，所以k ＝1.把k ＝1代入方程(*)，得x 2＋2a 2x ＋a 4＝0， 解得x ＝－a 2，从而y ＝b 2，所以P (－a 2，b 2)﹒从而直线PF 2的方程为y －b 2＝b 2－a 2－c(x ＋a 2)，令x ＝0，得y ＝b 2c a 2＋c ，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2c a 2＋c ﹒从而F 1P ―→＝(－a 2＋c ，b 2)，F 1Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2c a 2＋c ，从而F 1P ―→·F 1Q ―→＝c (－a 2＋c )＋b 4c a 2＋c＝c －a 4＋b 4＋c 2a 2＋c ＝c []b 2－a 2b 2＋a 2＋c 2a 2＋c＝0，所以F 1P ―→·F 1Q ―→＝0.所以点F 1在以PQ 为直径的圆上．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2. (1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC 必过点Q .解：(1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 2x 20－4＝1－14x 2x 20－4＝－14.(2)设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －，x 2＋y 2＝4，消去y ，得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0，解得x P ＝k 21－1＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0， 解得x B ＝k 21－1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y Px P ＋65＝－4k 11＋k 21k 21－1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(3)设直线AC 的方程为y ＝k 2(x －2)， 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－k 21－16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1，因为k 2＝－y B－x B －2＝4k 11＋4k 21－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1，所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－k 21－16k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q . 3．(2018·扬州期末)已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若椭圆E 2：x 2ma 2＋y 2mb 2＝1(a >b >0，m >1)，则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”．(1)求经过点(2，1)，且与椭圆E 1：x 22＋y 2＝1“相似”的椭圆E 2的方程；(2)若椭圆E 1与椭圆E 2“相似”，且m ＝4，椭圆E 1的离心率为22，P 在椭圆E 2上，过P 的直线l 交椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ―→＝λAB ―→.①若B 的坐标为(0,2)，且λ＝2，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为－12，求实数λ的值．解：(1)设椭圆E 2的方程为x 22m ＋y 2m＝1，将点(2，1)代入得m ＝2，所以椭圆E 2的方程为x 24＋y 22＝1.(2)因为椭圆E 1的离心率为22，故a 2＝2b 2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2. 又椭圆E 2与椭圆E 1“相似”，且m ＝4，所以椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．①法一：(设线法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32.当直线l 斜率不存在时，B (0,2)，A (0，－2)，P (0,4)，不满足AP ―→＝2AB ―→，从而直线l 斜率存在，可设直线l ：y ＝kx ＋2，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＝0， 解得x 1＝－8k 1＋2k 2，x 2＝0，故y 1＝2－4k21＋2k2，y 2＝2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋2k 2，2－4k 21＋2k 2.又AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 2，2＋12k 21＋2k 2， 代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12k 21＋2k 22＝32， 即20k 4＋4k 2－3＝0，所以k ＝±3010，所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. 法二：(设点法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，E 2：x 2＋2y 2＝32.由A (x 1，y 1)，B (0,2)，AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点， 则P (－x 1,4－y 1)．代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝8，x 21＋－y 12＝32，解得y 1＝12，故x 1＝±302， 所以直线l 的斜率k ＝±3010， 所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. ②由题意得x 20＋2y 20＝8b 2，x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2，法一：(设点法)由直线OP ，OA 的斜率之积为－12，得y 0x 0·y 1x 1＝－12，即x 0x 1＋2y 0y 1＝0. 又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2，所以λ＝52.法二：(设线法) 不妨设点P 在第一象限，设直线OP ：y ＝kx (k >0)，代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2，解得x 0＝22b 1＋2k2，则y 0＝22bk 1＋2k2.直线OP ，OA 的斜率之积为－12，则直线OA ：y ＝－12k x ，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2，解得x 1＝－2bk 1＋2k2，则y 1＝b1＋2k2.又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－x 1λ，y 2＝y 0＋λ－y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋2(λ－1)22b 1＋2k2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2bk1＋2k 2＋2·22bk 1＋2k 2·b 1＋2k2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2， 即8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2， 所以λ＝52.4.(2018·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)， F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 因为圆O 的直径为F 1F 2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3， 所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0， 即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0消去y ，得 (4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0.因为x 0＞0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1.所以点P 的坐标为(2，1)．②因为△OAB 的面积为267， 所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20x 20－x 20＋y 20， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20x 20－24x 20＋y 202. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16x 20－2x 20＋12＝3249， 即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12， 因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y －22＝－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －102， 即y ＝－5x ＋3 2.。
江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.3大题考法—椭圆讲义(含解析)
第三讲 大题考法——椭圆[典例感悟][例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±＋k 21＋2k 2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k21＋2k 2，－k1＋2k 2， 且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝＋k 2x 2－x 12 ＝22＋k 21＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k ＋2k 2， 从而PC ＝k 2＋1＋k 2|k ＋2k2. 因为PC ＝2AB ， 所以k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2＝42＋k 21＋2k2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.[方法技巧]解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点(1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等．(2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理．[演练冲关]1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2c＝42， 解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)法一：(设点法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点． 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A (－2,0)． 设M (x 0，y 0)(－2<x 0<0)，则B (2x 0＋2,2y 0)．所以x 20＋y 20＝89，①。
高考数学复习解析几何的题型及方法
2019高考数学复习解析几何的题型及方法
作者：佚名
学问整合
高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题)，共计30分左右，考查的学问点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础学问。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要学问点，通过学问的重组与链接，使学问形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本学问和向量的基本方法，这一点值得强化。
1。
能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程动身推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能依据已知条件，娴熟地选择恰当的方程形式写出直线的方程，娴熟地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来探讨与直线有关的问题了。
2。
能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简洁的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题。
3．理解曲线的方程、方程的曲线的意义，了解解析几何的基本思想，驾驭求曲线的方程的方法。
2019年江苏高考数学试题答案解析
2019年高考江苏卷数学试题解析1.已知集合A ={－1,0,1,6}，{}|0,B x x x R =>∈，则A ∩B =_____.【答案】{1,6}.由题意利用交集的定义求解交集即可.【解析】由题知，{1,6}A B = .2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.【答案】2本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++ ，令20a -=得2a =.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【答案】5结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【解析】执行第一次，1,1422xS S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=；执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=；执行第三次，3,342x S S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442x S S x =+==≥成立，输出 5.S =4.函数y =【答案】[－1,7]由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7].5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.【答案】53由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】710先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=.7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【解析】由已知得222431b -=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.8.已知数列{a n }*()n ∈N 是等差数列，S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【答案】16由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=.9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【解析】当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线22gR r的距离最小.由2411y x '=-=-，得2(2)x =舍，32y =即切点2,32)Q ，则切点Q 到直线22gR r4=，故答案为：4．11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.【答案】(e,1)设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1e x x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e 12.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则AB AC的值是_____.3由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD.()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC = 即3,AB = 故3AB AC =.【迁移】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2.410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【迁移】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数.当(0,2]x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )=g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可.【解析】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x=在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，1=，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎪⎢⎪⎣⎭，.【迁移】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）33c =；（2）255.(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin(2B π+的值.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2ac b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A B a b=，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25 sin cos25B B⎛⎫+==⎪⎝⎭.【迁移】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【迁移】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,2E --.(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1)2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,2E --.【迁移】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.18.如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321解：解法一：⊥，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（1）过A作AE BD（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．【解析】解法一：⊥，垂足为E.（1）过A作AE BD由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-≤≤.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+，所以Q （4+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+（百米）.【迁移】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈，()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{－3,1,3}中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<≤=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.（1）由题意得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值；（2）由题意首先确定a ,b ,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得13x =．列表如下：x1(0,)3131(,1)3()g'x +0–()g x ↗极大值↘所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x =b 或23a bx +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(－∞,－3)－3(－3,1)1(1,+∞)+0–0+()f x ↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b x x ++==．列表如下：x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞+0–0+()f x ↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极大值()1M f x =．解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得13x =．列表如下：x1(0,)3131(,1)3()g'x +0–()g x ↗极大值↘所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．【迁移】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k qk q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有ln lnln1 k kqk k≤≤-．设f（x）=ln(1)x xx>，则21ln()xf'xx-=．令()0f'x=，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+∞) ()f'x+0–f（x）↗极大值↘因为ln2ln8ln9ln32663=<=，所以maxln3()(3)3f k f==．取q=k=1，2，3，4，5时，ln lnk qk≤，即kk q≤，经检验知1k q k-≤也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【迁移】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.【答案】（1）115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==.(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.【解析】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【迁移】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．22.在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.【答案】（2）2.(1)由题意，在OAB △中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【解析】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.【迁移】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．23.设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【答案】1{|1}3x x x <->或.由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【迁移】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.设2*012(1),4,nnn x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.【答案】（1）5n =；（2）-32.(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值.【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4nnnn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n+=02233445555555C C C C C C =+++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++012233445555555C C C C C C =-+-+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．【迁移】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.25.在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈ 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.【答案】（1）见解析；（2）见解析.(1)由题意首先确定X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解()P X n >的值，据此分类讨论①.b d =，②.0,1b d ==，③.0,2b d ==，④.1,2b d ==四种情况确定X 满足X n >的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定()P X n ≤的值.【解析】（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
江苏省2019高考数学二轮复习 专题三 解析几何 3.4 专题提能—“解析几何”专题提能课讲义(含解析)
第四讲 专题提能——“解析几何”专题提能课提能点 一防止思维定式，实现“移花接木”失误1因忽视方程的标准形式而失误[解析] y ＝2ax 2(a <0)可化为x 2＝12a y ，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18a .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18a[点评] 本题易错如下：由抛物线方程为y ＝2ax 2，知抛物线的对称轴为y 轴，2p ＝－2a ，所以p ＝－a ，p 2＝－a2，所以它的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2.求解此类问题的关键是：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程：y 2＝2px 、y 2＝－2px 、x 2＝2py 、x 2＝－2py ，对于抛物线方程有关的题目要首先将方程变为标准形式，然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p .在求焦参数时要注意p >0，标准方程中一次项系数的绝对值为2p ，求出p 后再研究抛物线的几何性质，结合图形去考虑.失误2因忽视圆方程本身的限制条件而失误范围是________________．[解析] 把圆的方程化为标准方程得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝16－34k 2，所以16－34k 2>0，解得－833<k <833.又点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆方程得，1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，即(k －2)(k ＋3)>0，解得k <－3或k >2.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833[点评] 本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D 2＋E 2－4F >0.本例应把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k 的关系式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k 的取值范围.失误3因忽视斜率不存在的情况而失分[例3] 已知过点(1,2)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦长AB ＝23，求直线l 的方程．[解] 当过点(1,2)的直线l 斜率不存在时，满足要求，所以方程x ＝1满足题意；当过点(1,2)的直线l 存在斜率时，记l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，由弦长为23可得圆心到直线的距离为1，则d ＝|2－k |1＋k2＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.所以所求直线l 的方程为x ＝1和3x －4y ＋5＝0.[点评] 本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况．给定弦长，一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一解．提能点 二灵活运用策略，尝试“借石攻玉”策略1利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题[例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2a 2＋2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率为________．[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2， C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，b 2.由F (c,0)，得FB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2.又∠BFC ＝90°，所以FB ―→·FC ―→＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B ⎝⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ， 又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋e ·32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －e ·32a 2＝(3a )2， 式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.[答案]63[点评] 本题中B ，C 两点是关于y 轴对称，对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助.策略2利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题[例2] 若双曲线a 2－b2＝1(a >0，b >0)右支上存在一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的取值范围为______________．[解析] 记双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，设点P 到右准线的距离为d ，则由题意得点P 到左焦点的距离为PF 1＝6d ，由于PF 1－PF 2＝2a ，所以PF 2＝6d －2a ，所以6d －2a d ＝c a ，所以d ＝2a 26a －c ，又因为d ≥a －a 2c，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 26a －c≥a －a 2c ，6a －c >0，解之得此双曲线的离心率e 的取值范围是(1,2]∪[3,6)． [答案] (1,2]∪[3,6)[点评] 一般地，根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题，主要是先利用几何条件建立关于a ，b ，c 的方程，再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解．提能点三系统数学思想，实现“触类旁通”函数方程思想——解决平面几何中的最值问题[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：|x |a ＋|y |b＝1(a >b >0)所围成的封闭图形的面积为42，曲线C 1上的点到原点O 的最短距离为223.以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2.(1)求椭圆C 2的标准方程；(2)设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．[解] (1) 由题意得⎩⎨⎧2ab ＝42，ab a 2＋b 2＝223.解得a 2＝8，b 2＝1.所以所求椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 2＝1.(2)法一：设M (x ，y )，则A (λy ，－λx )(λ∈R ，λ≠0)． 因为点A 在椭圆C 2上，所以λ2(y 2＋8x 2)＝8，即y 2＋8x 2＝8λ2.①又x 2＋8y 2＝8.②①＋②得x 2＋y 2＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ2.所以S △AMB ＝OM ·OA ＝|λ|(x 2＋y 2) ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫|λ|＋1|λ|≥169.当且仅当λ＝±1，即k AB ＝±1时，(S △AMB )min ＝169.法二：假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线的方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 2＝1，y ＝kx ，得x 2A ＝81＋8k 2，y 2A ＝8k 21＋8k2，所以OA 2＝x 2A ＋y 2A ＝81＋8k 2＋8k 21＋8k 2＝81＋k 21＋8k 2，AB 2＝4OA 2＝321＋k 21＋8k2.又由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 2＝1，y ＝－1k x ，解得x 2M ＝8k 2k 2＋8，y 2M ＝8k 2＋8，所以OM 2＝81＋k 2k 2＋8.由于S 2△AMB＝14AB 2·OM 2＝14·321＋k 21＋8k2·81＋k2k 2＋8＝641＋k221＋8k 2k 2＋8≥641＋k 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8k 2＋k 2＋822＝641＋k228141＋k22＝25681， 当且仅当1＋8k 2＝k 2＋8时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169.当k ＝0时，S △AMB ＝12×42×1＝22>169；当k 不存在时，S △AMB ＝12×22×2＝22>169.综上所述，△AMB 面积的最小值为169.[点评] 第(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式：(1)以弦长为底，点到弦所在直线距离为高；(2)正弦定理；(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点，可以将面积进行分割．一般地，如果建立关于k 的函数，可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法；如果建立的关于(x ，y )的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数．提能点四强化一题多法，激活“解题思维”1．多角度几何条件求解离心率[例1] 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为e ，设A ，B 是椭圆上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上，设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤33，求椭圆离心率e 的取值范围． [解] 法一：设MN 交x 轴与点C ， ∵AF 的中点为M ，BF 中点为N ， ∴MN ∥AB ，FC ＝CO ＝12，∵A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点， ∴CM ＝CN ，∵原点O 在以线段MN 为直径的圆上， ∴CO ＝CM ＝CN ＝12.∴OA ＝OB ＝c ＝1.∵OA >b ，∴a 2＝b 2＋c 2<2c 2， ∴e ＝c a >22. 设A (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，x 2＋y 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝a 22－a 2，y 2＝1－2a 2＋a 4.∵0<k ≤33，∴0<1－2a 2＋a 4a 22－a 2≤13，解得1<a ≤62， ∴e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1，∴椭圆离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋y 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋k 2＝1，x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋k 2b 2＝1⇒1＋k 2＝1a 2＋k 2b2.∵e ＝1a ，∴a ＝1e ，b 2＝a 2－1＝1e2－1，∴1＋k 2＝e 2＋k 2e 21－e 2，∴k 2＝1－e 222e 2－1. ∵0<k 2≤13，∴0<1－e 222e 2－1≤13.解得63≤e <2，又e <1，∴63≤e <1， ∴椭圆离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. 法三：设∠BAF ＝α，则2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，∠BOF ＝2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6，∴α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π12，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，32，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，62，∴e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. ∴椭圆离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. [点评] 动直线可以通过联立方程建立k 与坐标的关系，再得出与e 的关系；也可以构建几何意义，利用几何图形得出关系；也可以转化为角，利用三角函数求解．2．多角度的求解直线过定点[例2] 过椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．[解] 法一：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN ：y ＝kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则Δ>0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.由AM ⊥AN ，得y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1， 即(k 2＋1)x 1x 2＋(km ＋2)(x 1＋x 2)＋m 2＋4＝0， (k 2＋1)4m 2－41＋4k 2＋(km ＋2)－8km 1＋4k2＋m 2＋4＝0，化简得5m 2－16km ＋12k 2＝0，∵k ≠0，∴5⎝ ⎛⎭⎪⎫m k 2－16m k＋12＝0，解得m k ＝65或mk＝2(舍去)，直线MN ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 法二：设直线AM ：y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，则直线AN ：y ＝－1k(x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，则－2x M ＝16k 2－41＋4k 2，∴x M ＝2－8k 21＋4k 2，y M ＝4k1＋4k2.所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，同理点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－84＋k 2，－4k 4＋k 2，所以k MN ＝4k 1＋4k 2＋4k4＋k 22－8k 21＋4k 2－2k 2－84＋k2＝5k41－k2，所以直线MN 的方程为y －4k1＋4k 2＝5k41－k2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2－8k 21＋4k 2， 令y ＝0，得x ＝2－8k 21＋4k 2－161－k 251＋4k 2＝－61＋4k251＋4k2＝－65，所以直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 法三：(考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题) 同法二知，x M ＝2－8k 21＋4k 2，x N ＝2k 2－84＋k 2，令2－8k 21＋4k 2＝2k 2－84＋k 2⇒k 2＝1，此时2－8k 21＋4k 2＝－65， ∴直线MN 过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.当k 2≠1，k CM ＝4k1＋4k 22－8k 21＋4k 2＋65＝5k41－k2，k CN ＝－4k 4＋k22k 2－84＋k 2＋65＝5k41－k2. ∴k CM ＝k CN ，∴M ，N ，C 三点共线，即直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. [点评] 直线过定点问题，可以设出直线方程y ＝kx ＋m ，得出k 与m 的关系，从而得到过定点；也可以直接用k 表示出新直线的方程，再求过定点；也可以先特殊得出定点，再用三点共线来论证一般情形．[课时达标训练]A 组——易错清零练1．过点P (2，－1)且倾斜角的正弦值为513的直线方程为________________________．解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sin α＝513，因为0≤α<π，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1213，所以tan α＝sin αcos α＝±512，则所求直线方程为y ＋1＝±512(x －2)，即5x －12y －22＝0或5x ＋12y ＋2＝0.答案：5x －12y －22＝0或5x ＋12y ＋2＝02．若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是________． 解析：因为短轴长为2，即b ＝1，所以a ＝2，则椭圆的中心到其准线的距离是433. 答案：4333．设双曲线的渐近线为y ＝±32x ，则其离心率为________．解析：由题意可得b a ＝32或b a ＝23，从而e ＝ca＝1＋b 2a 2＝132或133.答案：132或1334．若关于x 的方程 1－x 2＝a (x －1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝1－x 2的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y ＝a (x －1)＋1，它是过点A (1,1)的直线，由图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B 组——方法技巧练1．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4.答案：42.如图，设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1―→＝3F 1B ―→，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得251－b 29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.答案：x 2＋32y 2＝13．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：法一：设椭圆的另一个焦点F 1(－c,0)，如图，连结QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M ，又题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ，O 为线段F 1F 的中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，F 1Q ＝2OM . 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝MF OM ＝bc，OF ＝c . 解得OM ＝c 2a ，MF ＝bc a ，故QF ＝2MF ＝2bc a ，QF 1＝2OM ＝2c2a.由椭圆的定义QF ＋QF 1＝2bc a ＋2c 2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝22. 法二：设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ ＝y 0x 0－c .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ y 02＝b c ·x 0＋c2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c 2c 2－a 2a 2，y 0＝2bc2a 2.又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 22c 2－a 22a 6＋4c4a 4＝1.令e ＝c a，则4e 6＋e 2＝1，故离心率e ＝22. 答案：224．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在一点M ，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________.解析：由题意，设点M 的横坐标为x ，根据焦半径公式得，a ＋ex ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －x ，x ＝2a2c －ae ＋2，有－a ≤2a2c －a e ＋2≤a ，不等式各边同除以a ，得－1≤2ac －1e ＋2≤1，则2e－1≤e ＋2，即e 2＋3e －2≥0，又0<e <1，所以17－32≤e <1，所以椭圆离心率的最小值为17－32. 答案：17－325．已知点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值． 解：圆x2＋y 2＝1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.则x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2θ＋2sin θcos θ＋3sin 2θ＝1＋cos 2θ2＋sin 2θ＋3×1－cos 2θ2＝2＋sin 2θ－cos 2θ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4， 则当2θ－π4＝2k π＋π2，即θ＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取得最大值，为2＋2；当2θ－π4＝2k π－π2，即θ＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取得最小值，为2－ 2.6.设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22，求该椭圆的标准方程．解：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322， 所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.C 组——创新应用练1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：133．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt △OMA 中，因为∠OMA ＝45°，故|OA |＝|OM |sin 45°＝22|OM |≤1，所以|OM |≤2，则x 20＋1≤2，解得－1≤x 1≤1. 答案：[－1,1]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为________．解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c.① 又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a2a ＋c .显然|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0，∴e 2＋2e －1>0，又0<e <1， ∴2－1<e <1. 答案：(2－1,1)5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．解：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l过定点(2，－1)．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A ，B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1)求证：A ，C ，T 三点共线；(2)如果BF ―→＝3FC ―→，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标．解：(1)证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，①则A (0，b )，B (0，－b )，T ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0， AT ：x a 2c ＋yb ＝1，②BF ：x c ＋y－b＝1，③联立②③，解得交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋a 2－c 22a 2＋c 22＝1.满足①式，则C 点在椭圆上，A ，C ，T 三点共线． (2)过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E (图略)，则△OBF ∽△ECF . ∵BF ―→＝3FC ―→，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，b 3，代入①得：⎝ ⎛⎭⎪⎫43c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32b2＝1，∴a 2＝2c 2，b 2＝c 2.设P (x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2， 此时C ⎝⎛⎭⎪⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC＝12·2c ·4c 3＝43c 2，直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0， 点P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c |5＝x 0＋2y 0－2c5， S △APC ＝12d ·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c3·c .只需求x 0＋2y 0的最大值．∵(x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2， ∴x 0＋2y 0≤6c ， 当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c . ∴四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23， ∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.。
江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义
专题三解析几何［江苏卷5年考情分析］［题组练透］1.已知点P（3,2）与点Q1,4）关于直线l对称，则直线l的方程为.解析：由题意知直线l与直线PC@直，所以k i=—；=1.又直线l经过PQ的中点（2,3）, k PQ所以直线l的方程为y—3=x—2,即x — y+ 1 = 0.答案：x-y+ 1=02.（2018 •南通一模）已知圆C过点（2 , J3）,且与直线x —5y+S：。
相切于点（0 ,\/3）, 则圆C的方程为.解析：设圆心为（a, b）,「子孚—1,则a 3a a-2 2+（b- m）2=a2+ b-V3 2,解得a= 1, b=0, r = 2.即所求圆的方程为（x—1）2+y2=4.答案：（x—1）2+y2 = 43.（2018 ・南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy中,，xW3,若动圆C上的点都在不等式组x x-^/3y + 3>0 ,表示的平面区域内，则面积最大的圆^x+^/3y + 3>0C的标准方程为 .解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆.由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r,则圆心Q3 —r, 0),且它与直线x —J3y+3=0相切，所以|3^J_3| = r,解得r = 2,所以面积最大的圆C的标准方程为(x—1)2+ V1T3y2= 4.答案：(x—1)2+y2 = 4［方法技巧］1.求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果待定先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题系数法设条件构建方程，求出待定系数2.圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系―主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.［典例感悟］［典例］(1)(2018 •无锡期末)过圆x2+y2= 16内一点P( —2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD 且AB= CD则四边形ACBD勺面积为.(2)(2018 •南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A( —4,0) , B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC PD切点分别为C, D.设线段CD的中点为M则线段AM长的最大值为.［解析］⑴设O到AB的距离为d1,0到CD的距离为d2,则由垂径定理可得d2= r2—明2,d2= r2—^2^2，由于AB= CD 故d= d2,且d1= d2= ^2^O由所以^2^ = r2— d2=161319 1、_ 1--=y,得AB= \38,从而四边形ACBD勺面积为S= 2ABX CD= 2x^38X>/38= 19.(2)法一：(几何法)因为直线AB的方程为y = x+4,所以可设Ra, a+4) , q。
专题03 解析几何-2019高考数学热点题型
解析几何热点一 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 题型一 利用几何性质求最值【例1】设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9，12 B ．8，11C ．8，12D ．10，12答案 C【类题通法】利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法． 【对点训练】如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝－－－－2|22＋－2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22×－2－－＝410.所以△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.题型二 建立目标函数求最值【例2】已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF ＝3FM .(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF ＝3FM ，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415，由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0， 解得m 1＝19，m 2＝1，可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝59.所以当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以△ABP 面积的最大值为2565135.【类题通法】(1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解．(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等． 【对点训练】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x24a 2＋y24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解析 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.②设A (x 1，y 1)，B (x 2, y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k2k m21＋＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t ≤1， 因此S ＝2－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3. 题型三 利用基本不等式求最值【例3】已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3. 【类题通法】(1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值． 【对点训练】定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，由题意，C 在线段AB 的中垂线上，则OC 的方程为y ＝－1kx .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝＋k21＋4k 2. 将上式中的k 替换为－1k，可得|OC |2＝＋k 2k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC |＝＋k 21＋4k 2·＋k 2k 2＋4＝＋k 2＋4k2k 2＋.∵＋4k2k 2＋≤＋4k2＋k 2＋2＝＋k 22，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .热点二 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法. 题型一 利用判别式构造不等关系求范围【例4】已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC ·BC ＝0，|BC |＝2|AC |. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范围．(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，显然－2<t <2； 当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt1＋3k2， y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k2，所以H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2，由|DP |＝|DQ |， 所以DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k，所以t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②所以t >1，将②代入①得，1<t <4. 所以t 的范围是(1,4)．综上可得t ∈(1,2)．【类题通法】圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【对点训练】设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且1PF ·2PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝ky －1与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝(－2k )2＋12(4＋k 2)＝16k 2＋48>0， 故y 1＋y 2＝2k k 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4. 又∠AOB 为锐角，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0， 又x 1x 2＝(ky 1－1)(ky 2－1)＝k 2y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1＝(1＋k 2)·－34＋k 2－2k24＋k2＋1＝－3－3k 2－2k 2＋4＋k 24＋k 2＝1－4k 24＋k 2>0，所以k 2<14，解得－12<k <12，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.题型二 利用函数性质求范围【例5】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求弦长|AB |的取值范围．(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意．∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 由根与系数的关系可得，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2①，y 1y 2＝－1m 2＋2②，将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ， ∴－λ－1λ＋2＝－4m2m 2＋2，又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴－λ－1λ＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0， ∴－12≤－4m2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27.|AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋22，∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27，∴1m 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12， ∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，928. 【类题通法】利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的函数，通过求这个函数的值域确定目标的取值范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算方便，在建立函数的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 【对点训练】已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C . (1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ·QF 的取值范围．根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以a 2＝4，c 2＝1，b 2＝3，所求曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP ·AE ＝AQ ·AF ＝0，于是PE ·QF ＝(AE －AP )·(AF －AQ )＝AE ·AF ＋AP ·AQ .①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)，所以PE ·QF ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32＝－3－94＝－214.②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE ·QF ＝－214.③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，AP ＝(x P －1，y P )，AQ ＝(x Q －1，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．将上面的k 换成－1k，可得AE ·AF ＝－＋k24＋3k2， 所以PE ·QF ＝AE ·AF ＋AP ·AQ ＝－9(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4k 2＋14＋3k 2.令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得，PE ·QF ＝－9t ⎝ ⎛⎭⎪⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t 212t 2＋t －1＝－63494－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122. 由t >1，得0<1t <1，所以－214<PE ·QF ≤－367.综合①②③可知，PE ·QF 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，－367.热点三 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 【例6】如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(2)证明：把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0,1)，N (0,4)．①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y24＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k2.∴k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2. 若k AN ＋k BN ＝0，则∠ANM ＝∠BNM .∵2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－12k 1＋2k 2＋12k1＋2k 2＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 【类题通法】解决圆锥曲线证明问题，注意依据直线，圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系等，通过代数恒等变形和化简计算进行证明，常见的证明方法有：（1）证明三点共线，可以证明其中两段线段的斜率相等，也可以证明其中两个向量互相平行（共线）； （2）证明两直线垂直，可以证明这两条直线的斜率之积等于1 ，也可以证明这两直线所在的平面向量的数量积等于零；（3）证明两共点点段相等，可以利用弦长公式证明这两线段长度相等，也可以证明公共点在线段的垂直平分线上． 【对点训练】设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB ⊥BC ，AD ∥OC ，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)， 设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)， 因为AB ⊥BC ， 所以可设C (2，y 1)，所以AD ＝(x 0＋2，y 0)，OC ＝(2，y 1)， 由AD ∥OC 可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2. 所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 0x 0＋(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，所以PD ＝PE .。
江苏省2019高考数学二轮复习 专题三 解析几何 3.2 大题考法—直线与圆讲义(含解析)
第二讲大题考法—-直线与圆题型（一）直线与圆的位置关系主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.［典例感悟]［例1］如图，在Rt△ABC中,∠A为直角，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0,点T（－1,1)在直线AC上，BC中点为M(2，0）．(1）求BC边所在直线的方程;（2）若动圆P过点N（－2,0），且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程．[解］(1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，AC与AB垂直,所以直线AC的斜率为－3.故AC边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），即3x＋y＋2＝0。
设C为(x0，－3x0－2）,因为M为BC中点,所以B（4－x0,3x0＋2)．点B代入x－3y－6＝0，解得x0＝－错误!,所以C错误!.所以BC所在直线方程为x＋7y－2＝0.(2)因为Rt△ABC斜边中点为M（2,0)，所以M为Rt△ABC外接圆的圆心．又AM＝22,从而Rt△ABC外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8。
设P(a，b），因为动圆P过点N，所以该圆的半径r＝错误!，圆方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2。
由于⊙P与⊙M相交，则公共弦所在直线m的方程为（4－2a)x－2by＋a2＋b2－r2＋4＝0.因为公共弦长为4，⊙M半径为2错误!，所以M（2，0)到m的距离d＝2，即错误!＝2，化简得b2＝3a2－4a,所以r＝a＋22＋b2＝错误!。
当a＝0时，r最小值为2，此时b＝0，圆的方程为x2＋y2＝4。
［方法技巧］解决有关直线与圆位置关系的问题的方法（1）直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式,故要根据所给几何条件灵活使用方程．(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况．(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组．[演练冲关]已知以点C 错误!（t ∈R ,t ≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O ,A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1）求证：△OAB 的面积为定值;(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1）证明:因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋错误!. 设圆C 的方程是(x －t ）2＋错误!2＝t 2＋错误!, 令x ＝0，得y 1＝0,y 2＝4t；令y ＝0,得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝错误!×错误!×｜2t ｜＝4,即△OAB 的面积为定值． (2）因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分线段MN 。
高考专题讲座--解析几何热点问题(2019)
乎泰山者也 待罪河东 荀卿乃適楚 终不失六城 作内吉 於是田常复脩釐子之政 ” 咸就封国 扰而毅 推而大之 不变之患也 楚救不至韩 然复不遂 七年 南取汉中 皆从齐 其夏 原得受号者以亿计 三曰祀 不可以不肃 故终以胁韩弱魏 吕礼来自归 佐刘贾举九江 当年不能究其礼 黥面
陛下幸已益封臣青 秦日夜攻三晋、燕、楚 内者自我也；不扶自直；拔我列城九 浑邪王杀休屠王 吴楚反 齐王用后胜计
近几年，解析几何考查的热点有以下几个 ――求曲线方程或点的轨迹 ――求参数的取值范围 ――求值域或最值 ――直线与圆锥曲线的位置关系 以上几个问题往往是相互交叉的，例如求轨迹方程时就要考虑参数的 范围，而参数范围问题或者最值问题，又要结合直线与圆锥曲线关系进 行。
专 题 解析几何热点问题 秭归县屈原高中 张鸿斌
在丰 申以商乱 乃令张仪详去秦 非吾知之有以说之难也；昭王拥彗先驱 常有大度 至于敷浅原 太仆见马遗财足 真人者 後七年六月己亥 而淮南独二子 角、亢、氐 二七一丈四尺 其爱信越殊甚 海内为一 心不可谓兮 视地之生毛 太史公曰：儒者断其义 天下示私 达太王王季之思虑
二年 灵公少子也 虽百家弗能改也 硃虚侯刘章首先捕吕产等 大勣乐戏於沙丘 进如锋矢 从击项籍 唯君子为能知乐 故纣之乱自此始 请一切逐客 谢疾免 武侯卒 所谓寒门者 都彭城 百岁 秦闻之必大怒忿周 於是论次诗书 以疑之於齐、韩 成於汉家 御史在後 一外为盾 佐禹平水土甚有
齐国为四 楚人围我荥阳 梁孙原 今以城市邑十七币吾国 父不父则无道 王室治多邪 岂欲苦形劳神 城阳及菑川 ”起曰：“将三军 泰一所用 诸子中胜最贤 故曰丙；见齐衰、瞽者 太后遂断戚夫人手足 县其头马邑城 常奥若；徒闻唯唯 不下 无子 鲁人也 执法；孔子曰：“仁者其言也
讱 愈信 其後受其不祥 南距韩、魏 均五行 贡金九牧 盾为国多难 遍告以言 凡七出击匈奴 多水 殷遂丧 魏方疑而得以少割为利 有人无主 自此之後 曰长沙 於是秦人拱手而取西河之外 杜周从谀 饮药自杀 而圣主明於成败之事 见安期、羡门之属 败於狐父 男为太子 虏共公以归 死 往
解析几何的基础知识
解析几何的基础知识解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系。
通过引入坐标系，解析几何将几何问题转化为代数问题，从而使得几何问题的研究更加简洁和精确。
在解析几何中，有一些基础知识是我们必须要掌握的，下面将对这些基础知识进行详细的解析。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中最基本的概念之一。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常分别称为x轴和y轴。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
通过坐标系，我们可以方便地描述和研究平面上的几何图形。
二、点的坐标在平面直角坐标系中，每个点都有唯一的坐标。
对于一个点P(x, y)，x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
例如，点A(2, 3)表示在x轴上的坐标为2，在y轴上的坐标为3。
通过点的坐标，我们可以确定点在平面直角坐标系中的位置。
三、直线的方程在解析几何中，直线是一个重要的研究对象。
直线可以通过方程来表示。
一般来说，直线的方程可以写成y = kx + b的形式，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
通过直线的方程，我们可以确定直线在平面直角坐标系中的位置和性质。
四、两点间的距离在解析几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。
对于两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过勾股定理来计算，即d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。
通过计算两点之间的距离，我们可以判断它们的位置关系和性质。
五、直线的斜率直线的斜率是直线的一个重要性质。
斜率可以用来描述直线的倾斜程度。
对于直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线的斜率可以通过公式k = (y2 - y1) / (x2 - x1)来计算。
通过直线的斜率，我们可以判断直线的倾斜方向和性质。
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专题三 解析几何[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)主要考查直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年、2018年)的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时也考查直线与圆(如2016年)，常与向量结合在一起命题.偶考点 直线的方程、圆的方程第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题 考点(一) 直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.[题组练透]1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝02．(2018·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为____________．解析：设圆心为(a ，b )， 则⎩⎨⎧b －3a·33＝－1，a －22＋()b －32＝a 2＋b －32，解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝43．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0x ＋3y ＋3≥0，表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为____________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C (3－r,0)，且它与直线x －3y＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.答案：(x －1)2＋y 2＝4[方法技巧]1．求直线方程的两种方法 直接法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 待定 系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二) 直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.[典例感悟][典例] (1)(2018·无锡期末)过圆x 2＋y 2＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．[解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 21＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，d 22＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝r 2－d 21＝16－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝12×38×38＝19.(2)法一：(几何法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以PC 的方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD 的方程为x 2x ＋y 2y ＝4，将P (a ，a ＋4)分别代入PC ，PD 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋a ＋4y 1＝4，ax 2＋a ＋4y 2＝4，则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x＋y )＝4－4y ，所以直线CD 过定点N (－1,1)，又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2. 法二：(参数法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，同法一可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，得a ＝4－4yx ＋y .又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4x y －x ，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12(除去原点)，所以AM 的最大值为⎝⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2. [答案] (1)19 (2)3 2[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．[演练冲关]1．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围是________．解析：由题意知，直线l 与圆M 相离，所以点A 在圆M 外．设AP ，AQ 分别与圆M 相切于点P ，Q ，则∠PAQ ≥∠BAC ＝60°，从而∠MAQ ≥30°.因为MQ ＝2，所以MA ≤4.设A (x 0,6－x 0)，则MA 2＝(x 0－1)2＋(6－x 0－1)2≤16，解得1≤x 0≤5.答案：[1,5]2．(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________．解析：设圆C 1上存在点P (x 0，y 0)满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q (y 0，x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 0－12＝r 2，y 0－22＋x 0－12＝1，故只需圆x 2＋(y －1)2＝r 2与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1有交点即可，所以|r －1|≤1－02＋2－12≤r ＋1，解得2－1≤r ≤2＋1.答案：[2－1，2＋1]3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________.解析：圆C 的标准方程为(x －m )2＋(y －2)2＝32，圆心为C (m,2)，半径为42，当△ABC 的面积的最大值为16时，∠ACB ＝90°，此时C 到AB 的距离为4，所以4≤CP ＜42，即16≤(m －3)2＋(0－2)2＜32，解得23≤|m －3|＜27，即m ∈(3－27，3－23]∪[3＋23，3＋27)．答案：(3－27，3－2 3 ]∪[3＋23，3＋27)4．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，则实数a 的值为________．解析：法一：设AB 的中点为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，则由AB ＝211，得CM ＝16－11＝5，即点M 的轨迹为(x 0＋4)2＋(y 0－a )2＝5.又因为PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，所以PM ―→＝12OC ―→，即(x 0－x ，y 0－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，a 2，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －2，y 0＝y ＋a 2，则动点P 的轨迹方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝5，又因为直线l 上存在唯一的一个点P ，所以直线l 和动点P 的轨迹(圆)相切，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4－a 222＋－12＝5，解得a ＝2或a ＝－18.法二：由题意，圆心C 到直线AB 的距离d ＝16－11＝5，则AB 中点M 的轨迹方程为(x ＋4)2＋(y －a )2＝5.由PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，得2PM ―→＝OC ―→，所以PM ―→∥OC ―→.如图，连结CM 并延长交l 于点N ，则CN ＝2CM ＝2 5.故问题转化为直线l 上存在唯一的一个点N ，使得CN＝25，所以点C 到直线l 的距离为|2×－4－a |22＋－12＝25，解得a ＝2或a ＝－18. 答案：2或－18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.[题组练透]1．(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 29＝1的渐近线的距离为________．解析：抛物线的焦点F (2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，不妨取y ＝34x ，即3x－4y ＝0，所以焦点F 到渐近线的距离为|6|32＋－42＝65. 答案：652．(2018·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：由题意得，A (a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，AB 1―→＝(－a ，－b )，因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F ―→·AB 1―→＝0，即b 2＝ac ，所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0，又椭圆的离心率e ∈(0,1)，所以e ＝5－12. 答案：5－123．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3. 答案：2 34．(2018·常州期末)在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：x ＋y ＋1＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线分别为y ＝b a x ，y ＝－b a x ，依题意有－b a >－1，即b <a ，e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2< 2.又因为e >1，所以e 的取值范围是(1，2)． 答案：(1，2)[方法技巧]应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．直线与圆相交 (1)几何法由弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线方程代入圆方程中，消去y 得关于x 的一元二次方程，求出x 1＋x 2和x 1·x 2，则|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2.3．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r (R >r )的关系来判断两圆位置关系．。