人教A版高中数学必修五3.2.1一元二次不等式解法课件31张ppt(31张ppt)
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高中数学第3章3.2.1一元二次不等式及其解法课件新人教A必修5.ppt
变式训练1 解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
解：(1)原不等式可化为 2x2－3x－2＜0， ∴(2x＋1)(x－2)＜0. 故原不等式的解集是{x|－12＜x＜2}． (2)原不等式可化为 2x2－x－1≥0， ∴(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为{x|x≤－12或 x≥1}．
考点二 解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类 讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次 项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根 的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层 次是根的大小的讨论．
例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 【思路点拨】 解答本题通过因式分解，结合二 次函数图象分类讨论求解． 【解】 方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2 ＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则－a＜x＜2a， 此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
变式训练 2 已知不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为 {x|－12＜x＜13}，求 2x2＋bx＋a＜0 的解集． 解：∵ax2＋bx＋2＞0 的解集为{x|－12＜x＜13}， ∴－12，13是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两实根．
由 根 与 系 数 的 关 系 得 －12＋13＝－ab －12×13＝2a
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴 方程是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)．当 a＞0 时，图象的开口方向向上；当 a＜0 时，图象 的开口方向向下．
知新盖能
一元二次不等式的解法 一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标 准形式： (1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)； (2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)． 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过 方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设Δ＝b2－4ac，则： ①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_不__同__的解x1、 x_2_，_{x_设|_x_>x_x1_<2_或x_2_x，_<_则x_1}_不__等__式_，(1)不的等解式集(为2)的解集为 _{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}____；
人教A版高中数学必修五3.2.1一元二次不等式及其解法 课件
3.2.1 一元二次不等式 及其解法
三种表述
方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根
函数的图象与x轴有交点 等价于函数有零点
解方程与解不等式
• 1.求根公式
x b b2 4ac 2a
• 2.因式分解（十字相乘）
对形如ax2+bx+c=0的普式情况，先将a和c分解为
a=a1*a2 c=c1*c2
• 3.作图 （1）与x轴交点坐标
b b2 4ac
(
,0)(a 0)
2a
（2）与y轴交点坐标
(0, c)
（3）顶点坐标 （4）对称轴方程
( b , 4ac b2 )(a 0) 2a 4a
x b (a 0) 2a
作图计算
画出y=x2-2x-3的图象，并写出其（1）对称轴方程 （2）顶点坐标 （3）与x轴交点坐标 （4）与y轴交点坐标
f (x) 0 g(x)
f (x)g(x) 0
f (x) 0 g(x)
f (x)g(x) 0 且g(x) 0
巩固
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
⊿>0
y
x1 x2
⊿=0
y
x x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程ax2+bx+c=0 （a>0） 的根
思考：你能画出二次函数y=x2-x-6的图象吗？
能否在图像中表示出不等式x2-x-6>0的解集？
{x | x 2,或x 3}
那x2-x-6<0的解呢？
y
三种表述
方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根
函数的图象与x轴有交点 等价于函数有零点
解方程与解不等式
• 1.求根公式
x b b2 4ac 2a
• 2.因式分解（十字相乘）
对形如ax2+bx+c=0的普式情况，先将a和c分解为
a=a1*a2 c=c1*c2
• 3.作图 （1）与x轴交点坐标
b b2 4ac
(
,0)(a 0)
2a
（2）与y轴交点坐标
(0, c)
（3）顶点坐标 （4）对称轴方程
( b , 4ac b2 )(a 0) 2a 4a
x b (a 0) 2a
作图计算
画出y=x2-2x-3的图象，并写出其（1）对称轴方程 （2）顶点坐标 （3）与x轴交点坐标 （4）与y轴交点坐标
f (x) 0 g(x)
f (x)g(x) 0
f (x) 0 g(x)
f (x)g(x) 0 且g(x) 0
巩固
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
⊿>0
y
x1 x2
⊿=0
y
x x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程ax2+bx+c=0 （a>0） 的根
思考：你能画出二次函数y=x2-x-6的图象吗？
能否在图像中表示出不等式x2-x-6>0的解集？
{x | x 2,或x 3}
那x2-x-6<0的解呢？
y
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
人教A版高中数学必修五3.2.1一元二次不等式 课件
二次项含有参数应如何求解？
例2 解关于 x 的不等式 kx2 - x+1 0(k R)
当k 0时，不等式转化为 x 1 0,解集为x | x 1
当k 0时， 当 1 4k=0,
当 1 4k 0,
当 1 4k 0,
当 k 0 时， 1 4k 0,又开口向下，
解集为 x | 1+
变式1：解不等式：x2 (a 1)x a 0(a R)
a=1
：变式2 解关于 x 的不等式 x2 2x m 0(m R)
4 4m
综上所述，有
当m=1时，解集为x | x 1
当m 1时，解集为R
当m<1时，解集为
x | x 1 1 m或x 1+ 1-m
例2 解关于 x 的不等式 ax2 - (a+1)x+1>0(a R)
x
1
a
③
当
1 a
1
即a
1
时，不等式的解集为
x
/
1 a
x
1
当a 0
时，1 a
1
不等式
的解集伪为二 次x /，x别 遗1a 或漏！x
1
当 a 0时，x 1 0 ，不等式的解集为 x / x 1
综上所述，有
当a
0时，
解集为
x
/
x
1 a
或x
1
当 a 0时， 解集为 x / x 1
例2 解关于x的不等式x2 -(a+1)x+a 0(a>1)
变式1 解关于x的不等式:x2 -(a+1)x+a 0 (a R)
解：x2 -(a+1)x+a 0
例2 解关于 x 的不等式 kx2 - x+1 0(k R)
当k 0时，不等式转化为 x 1 0,解集为x | x 1
当k 0时， 当 1 4k=0,
当 1 4k 0,
当 1 4k 0,
当 k 0 时， 1 4k 0,又开口向下，
解集为 x | 1+
变式1：解不等式：x2 (a 1)x a 0(a R)
a=1
：变式2 解关于 x 的不等式 x2 2x m 0(m R)
4 4m
综上所述，有
当m=1时，解集为x | x 1
当m 1时，解集为R
当m<1时，解集为
x | x 1 1 m或x 1+ 1-m
例2 解关于 x 的不等式 ax2 - (a+1)x+1>0(a R)
x
1
a
③
当
1 a
1
即a
1
时，不等式的解集为
x
/
1 a
x
1
当a 0
时，1 a
1
不等式
的解集伪为二 次x /，x别 遗1a 或漏！x
1
当 a 0时，x 1 0 ，不等式的解集为 x / x 1
综上所述，有
当a
0时，
解集为
x
/
x
1 a
或x
1
当 a 0时， 解集为 x / x 1
例2 解关于x的不等式x2 -(a+1)x+a 0(a>1)
变式1 解关于x的不等式:x2 -(a+1)x+a 0 (a R)
解：x2 -(a+1)x+a 0
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
2
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
数学人教A版(2019)必修第一册3.2.1单调性与最大(小)值 课件(共31张PPT)
y
一个最低点(0,0)，即对任意x∈R，都有f(x)≥f(0).由此可得
该用“和”或“，”来连接.
1
例如：函数f ( x) 的定义域(,0)(0,)，但它的单调减区间就
x
不能写成(,0)(0,).只能写成单调减区间为(,0)，
(0,)，或说
成在区间(,0)，
(0,)单调递减.
（5）不是所有函数都具有单调性，如y=x+1 (x∈Z)，y=1等函数不具有单
二 、全面感知，深化性质
观察f(x)=x2
y
的图象：
f ( x1 )
在y轴左侧，从左至右图像是下降的， 如何用数学符
号语言描述？
随着x的增大，f(x)的值随着减小.
f ( x2 )
任意取x1 ,x2 (,0]，得到f ( x1 ) x12 ,f ( x2 ) x22 ,
当x1 x2时，有f ( x1 ) f ( x2 ),这时我们就说函数f ( x) x
结论
方法小结：
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1)取值：设x1，x2是某个区间上任意两个值，且x1＜ x2;
(2)作差：作差f(x1)-f(x2);
(3)变形：向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积
的形式 ;
(4)定号：确定 f(x1)-f(x2)的符号；
(5)结论：确定函数的增减性.
k
例2 物理学中的玻意耳定律p (k为正常数)告诉我们，对于一定量
结论
作差，化简
P79练习2 根据定义证明函数f(x)=3x+2是增函数.
证明： ∀x1, x2∈R，不妨设x1<x2,
取值
则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)
高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的解法的应用课件新人教A版必修
2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法 (1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数_等__于__零_、 _大__于__零___、_小__于__零___三种情况进行讨论． (2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小 于零三种情况进行讨论． (3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．
1．若集合
它的同解不等式为xx－－22≠x0－，5≥0， ∴x＜2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转 化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母 不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后 再用上述方法求解．
【答案】B
3．不等式x＋x 1≤3 的解集为________． 【答案】x|x＜0或x≥12
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的 取值范围为________．
【答案】(－1,0) 【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意 x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.
y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝215a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)．依题意得215a(50
＋ x)(10 － x)≥20a×83.2% ， 化 简 得 x2 ＋ 40x － 84≤0 ， ∴ － 42≤x≤2.又 0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x 的取值范围是{x|0＜ x≤2}．
)
A．x|1t ＜x＜t
B．x|x＞1t 或x＜t
C．x|x＜1t 或x＞t
D．x|t＜x＜1t
高中数学人教A版必修5《3.2.1一元二次不等式及其解法1》课件
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得：
{x | 2 3 x 2 3} ，即，当
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
课堂练习3. 是什么实数时, x2 x 12 有意义?
解：要想原式有意义，即要使 x2 x 12 0 ，
解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
(3) 解不等式 4x2 - 4x+1>0
解： 因为△=16-16=0 方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2 所以原不等式的解集为{x|x≠1/2}
(4) 解不等式 -x2+2x-3>0
解：整理，得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程2x2-3x-2=0无实数根
所以原不等式的解集为ф
y y=2x-7
o
3.5
x
-7
2、通过以上分析，得出以下结论
a>0
a<0
一次函数y=ax+b 的图像
方程ax+b=0的根 不等式ax+b>0的解集 不等式ax+b<0的解集
-b/a
x=-b/a x>-b/a x<-b/a
-b/a
x=-b/a X<-b/a X>-b/a
二、一元二次方程、一元二次不等式与二次函 数的关系
1、作二次函数y=x2-x-6的图象。它的对应值表与图像如下：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
(1).图象与x轴交点的坐标为_(_-2_,_0_)__(3_,_0_)_, 该坐标与方程 x2-x-6=0的解有什么关系： 交__点__的__横__坐__标__即__为__方__程__的__根___
{x | 2 3 x 2 3} ，即，当
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
课堂练习3. 是什么实数时, x2 x 12 有意义?
解：要想原式有意义，即要使 x2 x 12 0 ，
解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
(3) 解不等式 4x2 - 4x+1>0
解： 因为△=16-16=0 方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2 所以原不等式的解集为{x|x≠1/2}
(4) 解不等式 -x2+2x-3>0
解：整理，得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程2x2-3x-2=0无实数根
所以原不等式的解集为ф
y y=2x-7
o
3.5
x
-7
2、通过以上分析，得出以下结论
a>0
a<0
一次函数y=ax+b 的图像
方程ax+b=0的根 不等式ax+b>0的解集 不等式ax+b<0的解集
-b/a
x=-b/a x>-b/a x<-b/a
-b/a
x=-b/a X<-b/a X>-b/a
二、一元二次方程、一元二次不等式与二次函 数的关系
1、作二次函数y=x2-x-6的图象。它的对应值表与图像如下：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
(1).图象与x轴交点的坐标为_(_-2_,_0_)__(3_,_0_)_, 该坐标与方程 x2-x-6=0的解有什么关系： 交__点__的__横__坐__标__即__为__方__程__的__根___
人教A版高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法课件
(a > 0)的图象
0
y
x1 O x2 x
0
y
O x1 =x2 x
0
y
Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等 实根 x1 = x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
所以，当一次上网时间在5小时
y
以内（含恰好5小时）时，选择公 司A的费用小于或等于选择公司B
O 5x
的费用；超过5小时，选择公司B的
费用少.
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
的解集是什么？
完成下表：
Δ= b2 - 4ac
y = ax2 + bx + c
x
x
<
-2或x
>
1 3
.
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
（1）化成不等式的标准情势: ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象；
5.解下列不等式： (1)(1 - x)(1 + x)> 0;(2)1 - x - 4x2 > 0; 23
0
y
x1 O x2 x
0
y
O x1 =x2 x
0
y
Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等 实根 x1 = x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
所以，当一次上网时间在5小时
y
以内（含恰好5小时）时，选择公 司A的费用小于或等于选择公司B
O 5x
的费用；超过5小时，选择公司B的
费用少.
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
的解集是什么？
完成下表：
Δ= b2 - 4ac
y = ax2 + bx + c
x
x
<
-2或x
>
1 3
.
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
（1）化成不等式的标准情势: ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象；
5.解下列不等式： (1)(1 - x)(1 + x)> 0;(2)1 - x - 4x2 > 0; 23
高中数学必修5精品课件3.2一元二次不等式及其解法-PPT
①{1,3}；②{x|1<x<3}；③{x|x<1 或 x>3}．
探究 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 Δ＝b2－4ac>0 时， 有两个不等的实数根，记作 x1，x2，且 x1<x2.则当 a>0 时， 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是_{_x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2_}；不等式 ax2 ＋bx＋c<0 的解集是_{_x|_x_1<_x_<_x_2_}；当 a<0 时，不等式 ax2 ＋bx＋c>0 的解集是_{_x_|x_1<__x<__x2_}_；不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是{_x_|_x<_x_1_或___x_>_x2_}_．
跟踪训练 2 已知 x2＋px＋q<0 的解集为x|－12<x<13，求不 等式 qx2＋px＋1>0 的解集．
解 ∵x2＋px＋q<0 的解集为x|－12<x<13，
∴－21，31是方程 x2＋px＋q＝0 的两实数根，
13－12＝－p 由根与系数的关系得13×－12＝q
，∴pq＝＝16－16
，
探究点二 三个“二次”之间的关系
问题 下表是二次函数图象、一元二次方程、一元二次不等
式解集之间的联系，请补充完整.
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝
ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两不等实数根
x1,2＝－b±
b2－4ac 2a
(x1<x2)
探究 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 Δ＝b2－4ac>0 时， 有两个不等的实数根，记作 x1，x2，且 x1<x2.则当 a>0 时， 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是_{_x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2_}；不等式 ax2 ＋bx＋c<0 的解集是_{_x|_x_1<_x_<_x_2_}；当 a<0 时，不等式 ax2 ＋bx＋c>0 的解集是_{_x_|x_1<__x<__x2_}_；不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是{_x_|_x<_x_1_或___x_>_x2_}_．
跟踪训练 2 已知 x2＋px＋q<0 的解集为x|－12<x<13，求不 等式 qx2＋px＋1>0 的解集．
解 ∵x2＋px＋q<0 的解集为x|－12<x<13，
∴－21，31是方程 x2＋px＋q＝0 的两实数根，
13－12＝－p 由根与系数的关系得13×－12＝q
，∴pq＝＝16－16
，
探究点二 三个“二次”之间的关系
问题 下表是二次函数图象、一元二次方程、一元二次不等
式解集之间的联系，请补充完整.
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝
ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两不等实数根
x1,2＝－b±
b2－4ac 2a
(x1<x2)
人教版数学必修五3.2《一元二次不等式的解法》课件 (共14张PPT)
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系： 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 △>0 y x1 O
y>0
化归 △ =0 转化 y 思想
y>0
△<0
y
y>0
x2 x
y<0
(a>0)
当a>0, △>0时 ax2+bx+c=0 “>” 有两相异实根 取根两边, 有两相等实根 b (a>0)的根 x , x ( x < x ) x1=x2= 2 1 2 . “<”1取根中间 2a ax2+bx+c>0 b {x|x<x1或 x>x2} {x|x≠ } (y>0)的解集 2a
例2.求不等式－3x2＋6x > 2的解集. 解: 因为－3x2＋6x > 2 所以3x2－6x＋2 < 0 化简变形
因为△ (6) 4 2 3 12 0 求判别式∆ 方程3x2－6x+2 =0的根是
2
若a<0，不等式两端同乘以 -1 求方程的根 3 3 x1 1 , x2 1 . （注意变不等号方向），变二次 3 3 项系数为正. 所以原不等式的解集是
1 x1 , x2 2. 2
所以原不等式的解集是
1 x 2 x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当a>0, △>0时，“<”取根中间.
归纳总结：
解一元二次不等式的步骤是: （1）求判别式Δ ； （2）求相应方程的根； （3）根据表格或图像写出不等式的解集.
人教A版高中数学必修五3.一元二次不等式解法PPT全文课件31ppt(31ppt)
[新课讲解] 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地，只有一个未知数，且未知数的 最高次数是2 的 不等式，叫做一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般表达形式为a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0_(_a_≠__0_) 或 ax2＋bx＋c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.
人教A版高中数学必修五3.一元二次不 等式解 法PPT 全文课 件31ppt (31ppt )【完 美课件 】
∴bx2＋ax＋1>0 的解集为xx＜12或x＞1 .
反思与感悟
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值.
解答
方法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.
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跟踪训练1
求不等式2x2－3x－2≥0的解集.
解答
∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－
1 2
，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是 {x|x≤－12 或x≥2}.
课堂检测
人教A版高中数学必修五3.一元二次不 等式解 法PPT 全文课 件31ppt (31ppt )【完 美课件 】
1.不等式2x2－x－1>0的解集是 答案 解析
A.x－12＜x＜1
B.{x|x＞1}
C.{x|x＜1 或 x＞2}
√D.xx＜－12或x＞1
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高中数学人教A版必修一元二次不等式及其解法课件
2.多级分类
2.解关于 x 的不等式 a x2-(a-1)x-1<0.
类型及开口方向、对两根个数及大小分类
高中数学人教A版必修5第三章一元二 次不等 式及其 解法课 件
高中数学人教A版必修5第三章一元二 次不等 式及其 解法课 件
误区警示
解形如 ax2＋bx＋c>0(<0)的不等式，当 x2 的系数含有参数时， 要讨论其为零，即不等式不是二次不等式的情形，忽略 a＝0 的讨 论是常见的错误之一．
高中数学人教A版必修5第三章一元二 次不等 式及其 解法课 件
解关于 x 的不等式 x2－(a＋a2)x＋a3>0.
高中数学人教A版必修5第三章一元二 次不等 式及其 解法课 件
高中数学人教A版必修5第三章一元二 次不等 式及其 解法课 件
解：原不等式可变形为(x－a)(x－a2)>0， 则方程(x－a)(x－a2)＝0 的两个根为 x1＝a，x2＝a2， (1)当 a<0 时，有 a<a2，∴x<a 或 x>a2， 此时原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； (2)当 0<a<1 时，有 a>a2， 即 x<a2，或 x>a， 此时原不等式的解集为 {x|x<a2 或 x>a}；
【解】 方程 x2－ax－2a2＝0 可化为(x-2a)(x+a)=0，
得方程两根 x1＝2a，x2＝－a.
(1)若 a>0，则－a<x<2a，
对两根大小分类
此时不等式的解集为{x|－a<x<2a}；
(2)若 a<0，则 2a<x<－a，
此时不等式的解集为{x|2a<x<－a}；
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人教A版高中数学必修五3.2.1一元二 次不等 式解法 课件31 张ppt(3 1张ppt )【精 品】
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课堂小结
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
思考
根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x. 答案 先化为x2－3x＋2>0. ∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2， ∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
梳理
解一元二次方程的步骤 解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一 般可分为三步： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(求根) (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；（作图） (3)由图象得出不等式的解集.（写解集）
4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.
解答
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0， 所以a＝2时解集为R. 当 a－2≠0 时，由题意得aΔ－<02，<0，
即4a<a2－，22－4a－2－4<0，解得－2<a<2. 综上所述，a的取值范围为(－2,2].
第三章——第二节
一元二次不等式 及其
[学习目标]
1.掌握一元二次不等式的概念 2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 3.掌握图象法解一元二次不等式的方法 （重点） 4.培养数形结合、分类讨论思想方法 （难点）
[情境导入] 学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,
计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪，为了 美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉 带的宽度的取值范围是什么?
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反思与感悟
解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑 判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨 论.
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解得ab＝ ＝13.，
方法二 把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得a4－a－b＋2b2＋＝20＝，0， 解得ab＝＝13，.
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反思与感悟
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
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命题角度3 含参数的二次不等式 例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0. 解答
当 a＜0 时，不等式可化为(x－1a)(x－1)＞0， ∵a＜0，∴1a＜1， ∴不等式的解集为{x|x＜1a或 x＞1}.
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题型探究 人教A版高中数学必修五3.2.1一元二次不等式解法课件31张ppt(31张ppt)【精品】
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x 的不等式bx2＋ax＋1>0的解集. 解答
由根与系数的关系，可得
－a＝1＋2， b＝1×2，
即ba＝＝2－，3，
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0. 由 2x2－3x＋1>0，解得 x<12或 x>1.
∴bx2＋ax＋1>0 的解集为xx＜12或x＞1 .
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x1 O x2 x
O x1
x
x O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
没有实根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
Φ
[问题导学]
1 2
或x≤－23
.
1234
3.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是
A.1
B.2
√C.3
D.4
答案 解析
由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根. ∴－7×(－1)＝2a1 ，故a＝3.
1234
课堂小结
1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可 以得到解一元二次不等式的一般步骤 ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象 的简图； ③由图象得出不等式的解集.
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跟踪训练4
已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值.
解答
方法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.
1＋2＝ba， 由根与系数的关系，知1×2＝a2，
∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－
1 2
，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是 {x|x≤－12 或x≥2}.
命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式－x2＋2x－3>0. 解答
不等式可化为x2－2x＋3<0. 因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解， 而y＝x2－2x＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集是∅.
当 a＞0 时，不等式可化为(x－1a)(x－1)＜0. 当 0＜a＜1 时，1a＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜1a}. 当 a＝1 时，不等式的解集为∅. 当 a＞1 时，1a＜1，不等式的解集为{x|1a＜x＜1}. 综上，当 a＜0 时，解集为{x|x＜1a或 x＞1}；
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题型探究
类型一 一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集. 解答
因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12 ， 所以原不等式的解集为 xx≠12.
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集. 解答
[新课讲解] 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地，只有一个未知数，且未知数的 最高次数是2 的 不等式，叫做一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般表达形式为a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0_(_a_≠__0_) 或 ax2＋bx＋c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.
知识点一 “三个二次”的关系
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跟踪训练3
解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0. 解答
当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}； 当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 当a＝0或a＝1时，原不等式无解. 综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 当a＝0或a＝1时，解集为∅.
思考
分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不 等式x2－1>0之间的关系. 答案 x2－1>0←―y>―0 y＝x2－1―y＝―→0 x2－1＝0.
2.一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系：
判别式 △=b2- 4ac
△>0
△=0
△<0
y=ax2+bx+c
y
y
y
(a>0)的图象
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当 a＝0 时，解集为{x|x＞1}； 当 0＜a＜1 时，解集为{x|1＜x＜1a}； 当 a＝1 时，解集为∅； 当 aHale Waihona Puke 1 时，解集为{x|1a＜x＜1}.
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课堂小结
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
思考
根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x. 答案 先化为x2－3x＋2>0. ∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2， ∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
梳理
解一元二次方程的步骤 解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一 般可分为三步： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(求根) (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；（作图） (3)由图象得出不等式的解集.（写解集）
4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.
解答
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0， 所以a＝2时解集为R. 当 a－2≠0 时，由题意得aΔ－<02，<0，
即4a<a2－，22－4a－2－4<0，解得－2<a<2. 综上所述，a的取值范围为(－2,2].
第三章——第二节
一元二次不等式 及其
[学习目标]
1.掌握一元二次不等式的概念 2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 3.掌握图象法解一元二次不等式的方法 （重点） 4.培养数形结合、分类讨论思想方法 （难点）
[情境导入] 学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,
计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪，为了 美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉 带的宽度的取值范围是什么?
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反思与感悟
解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑 判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨 论.
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解得ab＝ ＝13.，
方法二 把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得a4－a－b＋2b2＋＝20＝，0， 解得ab＝＝13，.
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反思与感悟
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
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命题角度3 含参数的二次不等式 例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0. 解答
当 a＜0 时，不等式可化为(x－1a)(x－1)＞0， ∵a＜0，∴1a＜1， ∴不等式的解集为{x|x＜1a或 x＞1}.
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题型探究 人教A版高中数学必修五3.2.1一元二次不等式解法课件31张ppt(31张ppt)【精品】
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x 的不等式bx2＋ax＋1>0的解集. 解答
由根与系数的关系，可得
－a＝1＋2， b＝1×2，
即ba＝＝2－，3，
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0. 由 2x2－3x＋1>0，解得 x<12或 x>1.
∴bx2＋ax＋1>0 的解集为xx＜12或x＞1 .
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x1 O x2 x
O x1
x
x O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
没有实根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
Φ
[问题导学]
1 2
或x≤－23
.
1234
3.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是
A.1
B.2
√C.3
D.4
答案 解析
由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根. ∴－7×(－1)＝2a1 ，故a＝3.
1234
课堂小结
1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可 以得到解一元二次不等式的一般步骤 ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象 的简图； ③由图象得出不等式的解集.
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跟踪训练4
已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值.
解答
方法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.
1＋2＝ba， 由根与系数的关系，知1×2＝a2，
∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－
1 2
，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是 {x|x≤－12 或x≥2}.
命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式－x2＋2x－3>0. 解答
不等式可化为x2－2x＋3<0. 因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解， 而y＝x2－2x＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集是∅.
当 a＞0 时，不等式可化为(x－1a)(x－1)＜0. 当 0＜a＜1 时，1a＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜1a}. 当 a＝1 时，不等式的解集为∅. 当 a＞1 时，1a＜1，不等式的解集为{x|1a＜x＜1}. 综上，当 a＜0 时，解集为{x|x＜1a或 x＞1}；
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题型探究
类型一 一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集. 解答
因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12 ， 所以原不等式的解集为 xx≠12.
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集. 解答
[新课讲解] 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地，只有一个未知数，且未知数的 最高次数是2 的 不等式，叫做一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般表达形式为a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0_(_a_≠__0_) 或 ax2＋bx＋c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.
知识点一 “三个二次”的关系
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跟踪训练3
解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0. 解答
当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}； 当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 当a＝0或a＝1时，原不等式无解. 综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 当a＝0或a＝1时，解集为∅.
思考
分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不 等式x2－1>0之间的关系. 答案 x2－1>0←―y>―0 y＝x2－1―y＝―→0 x2－1＝0.
2.一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系：
判别式 △=b2- 4ac
△>0
△=0
△<0
y=ax2+bx+c
y
y
y
(a>0)的图象
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当 a＝0 时，解集为{x|x＞1}； 当 0＜a＜1 时，解集为{x|1＜x＜1a}； 当 a＝1 时，解集为∅； 当 aHale Waihona Puke 1 时，解集为{x|1a＜x＜1}.
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