电力系统分析(2005-4)

(1)令迭代记数k=0 (2)假定一组控制变量u(0)； (3)由于式(1-196)就是潮流方程，所以通过潮 流计算就可以由已知的u 求得相应的x(k) (4)再观察式(1-194)， ∂g 就是牛顿法潮流计 算的雅可比矩阵J，利用求解潮流时已经求得的潮 流解点的J及其LU三角因子矩阵，可以方便地求出
(1-194) (1-195)
(1-196) 这是三个非线性代数方程组，每组的方程式个数分 别等于向量x、u, λ的维数。最优潮流的解必须同 时满足这三组方程。
∂L = g(u, x) = 0 ∂λ
直接联立求解这三个极值条件方程组，可 以求得此非线性规划问题的最优解。但通 常由于方程式数目的众多及其非线性性质， 联立求解的计算量非常巨大，有时还相当 困难。 该方法采用的是一种迭代下降算法，其基 本思想是从一个初始点开始，确定一个搜 索方向，沿着这个方向移动一步，使目标 函数有所下降，然后由这新的点开始，再 重复进行上述步骤，直到满足一定的收敛 判据为止。结合这里的具体模型，则这个 迭代求解算法的基本要点如下。
ij ji
式中：NL表示所有支路的集合。 在采用有功网损作为目标函数的最优潮流问题(例 如无功最优潮流)中，除平衡节点以外，其它发电 机的有功出力都认为是给定不变的。因而对于一 定的负荷，平衡节点的注入功率将随着网损的变 化而改变，于是平衡节点有功注入功率的最小化 就等效于系统总的网损的最小化。 为此可以直接采用平衡节点的有功注入作为有功 网损最小化问题的目标函数，即有
由于系统的状态变量及有关函数变量的上 下限值间有一定的间距，控制变量也可以 在其一定的容许范围内调节，因而对某一 种负荷情况，理论上可以同时存在为数众 多的、技术上都能满足要求的可行潮流解。 每一个可行潮流解对应于系统的某一个特 定的运行方式，具有相应总体的经济上或 技术上的性能指标(如系统总的燃料消耗量、 系统总的网损等)，为了优化系统的运行， 就有需要从所有的可行潮流解中挑选出上 述性能指标为最佳的一个方案。而这就是 本节要讨论的最优潮流所要解决的问题。
m f = m Ps (U,θ ) in in
除此之外，最优潮流问题根据应用场合不 同，还可采用其它类型的目标函数，如偏 移量最小、控制设备调节量最小、投资及 年运行费用之和最小等。 由上可见，最优潮流的目标函数不仅与控 制变量有关，同时也和状态变量有关，因 此可用简洁的形式表示为
f = f (u, x)
提出了因为所采用的目标函数以及所包含的约 束条件的不同，因而构成的应用范围不同的最 优潮流模型。 从改善收敛性能、提高计算速度等等目的出发， 提出的最优潮流计算的各种模型和求解算法。
二、最优潮流的数学模型 这里先不涉及具体的某个算法及所采用 的模型，而只讨论最优潮流问题的一般数 学模型。 (一)最优潮流的变量 在最优潮流的算法中，常将所涉及的变量 分成状态变量(x)及控制变量(u)两类。控 制变量通常由调度人员可以调整、控制的 变量组成；控制变量确定以后，状态变量 也就可以通过潮流计算而确定下来。
h(u, x) ≤ 0
(五)最优潮流的数学模型 综上所述，电力系统最优潮流的数学模型 可以表示为
m f (u, x) in u s.t. g(u, x) = 0 h(u, x) ≤ 0 (1−191)
通过以上讨论可以看到，目标函数f及等式、 不等式约束g及h中的大部分约束都是变量 的非线性函数，因此电力系统的最优潮流 计算是一个典型的有约束非线性规划问题。
f (x, u, p) = 0
一次潮流计算所决定的运行状态可能由于 某些状态变量或者作为u,x 函数的其它变量 在数值上超出了它们所容许的运行限值(即 不满足不等式约束条件)，因而在技术上并 不是可行的。 工程实际上常用的方法是调整某些控制变 量的给定值，重新进行前述的基本潮流计 算，这样反复进行，直到所有的约束条件 都能够得到满足为止。这样便得到了一个 技术上可行的潮流解。
(2)若目标函数同(1)，仅以有功电源出 力作为控制变量而将无功电源出力(或相应 节点电压模值)固定，则就称为有功最优潮 流。 (3)若目标函数采用系统的有功网损最小， 将各有功电源出力固定而以可调无功电源 出力(或相应节点电压模值)及调压变压器 变比作为控制变量，则就称为无功优化潮 流。 以上这三种是目前用得最多的最优潮流问 题。
(一)仅有等式约束条件时的算法 对于仅有等式约束的最优潮流计算，可 以表示为
m f (u, x) in u s.t. g(u, x) = 0 (1−192)
应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等 式约束g(u,x)＝0 中方程式数同样多的拉格 朗日乘子λ ,则构成拉格朗日函数为
L(u, x) = f (u, x) + λ g(u, x)
采用不同的目标函数并选择不同的控制变 量，再和相应的约束条件相结合，就可以 构成不同应用目的的最优潮流问题。例如； (1)目标函数采用发电燃料耗量(或费用) 最小，以除去平衡节点以外的所有有功电 源出力及所有可调无功电源出力(或用相应 的节点电压)，还有带负荷调压变压器的变 比作为控制变量，则就是对有功及无功进 行综合优化的通常泛称的最优潮流问题。
因此所谓最优潮流，就是当系统的结构参 数及负荷情况给定时，通过控制变量的优 选，所找到的能满足所有指定的约束条件 ，并使系统的某一个性能指标或目标函数 达到最优时的潮流分布。
最优潮流和基本潮流比较，有以下不同点。 (1)基本潮流计算时控制变量u是事先给 定的；而最优潮流中的u则是可变而待优选 的变量，为此在最优潮流模型中必然有一 个作为u优选准则的目标函数。 (2)最优潮流计算除了满足潮流方程这一 等式约束条件之外，还必须满足与运行限 制有关的大量不等式约束条件。
主要的不等式约束：
(1)有功电源出力上下限约束； (2)可调无功电源出力上下限约束； (3)带负荷调压变压器变比K调整范围约束； (4)节点电压模值上下限约束； (5)输电线路或变压器等元件中通过的最大电流或 视在功率约束； (6)线路通过的最大有功潮流或无功潮流约束； (7)线路两端节点电压相角差约束，等等。 可以将上述的不等式约束条件统一表示为
(3)进行基本潮流计算是求解非线性代数 方程组；而最优潮流计算由于其模型从数 学上讲是一个非线性规划问题，因此需要 采用最优化方法来求解。 (4)基本潮流计算所完成的仅仅是一种计 算功能，即从给定的u求出相应的x；而最 优潮流计算则能够根据特定目标函数并在 满足相应约束条件的情况下，自动优选控 制变量，这便具有指导系统进行优化调整 的决策功能。
(三)等式约束条件 最优潮流是经过优化的潮流分布，为此必 须满足基本潮流方程。这也就是最优潮流 问题的等式约束条件。前述用
f (x, u, p) = 0
表示的基本潮流方程式由于扰动变量p即负 荷一般都是给定的，所以该式可进一步简 化表示为
g(u, x) = 0
(四)不等式约束条件 最优潮流的内涵包括了系统运行的安全性 及电能质量，另外可调控制变量本身也有 一定的容许调节范围，为此在计算中要对 控制变量以及通过潮流计算才能得到的其 它量(状态变量及函数变量)的取值加以限 制。这就产生了大量的不等式约束条件。
有的也采用发电机节点及具有可调无功补 偿设备节点的无功出力作为控制变量，则 它们相应的节点电压模值就要改作为状态 变量。 值得指出的是，在某些最优潮流的文献中， 往往将凡可以通过潮流计算而求得的作为 状态变量x及控制变量u函数的其它变量， 也统称为状态变量。
(二)最优潮流的目标函数 最优潮流的目标函数可以是任何一种按特定的 应用目的而定义的标量函数，目前常见的目标函 数如下。 (1)全系统发电燃料总耗量(或总费用)
f =
i∈ ∈NG
∑K (P
i
Gi )
式中：NG为全系统发电机的集合，其中包括平衡 节点s的发电机组； Ki(PGi)为发电机组 Gi的耗量特性，可以采用 线性、二次或更高次的函数关系式。
由于平衡节点s的电源有功出力不是控制变 量，其节点注入功率必须通过潮流计算才 能决定，是节点电压模值U及相角 θ 的函数， 于是有
T
式中： λ为由拉格朗日乘子所构成的向量。
这样便把原来的有约束最优化问题变成了一个无 约束最优化问题。 采用经典的函数求极值的方法，是将L分别对变 量x、u及λ求导并令其等于零，即得到求极值的一 组必要条件为 T
∂L ∂f ∂g = + λ = 0 ∂x ∂x ∂x
T
∂L ∂f ∂g = + λ = 0 ∂u ∂u ∂u
研究生学位课：
现代电力系统分析
任课教师：葛少云
第九节 最优潮流问题
一、概述 潮流计算可以归结为针对一定的扰动变量p(负荷 情况)，根据给定的控制变量u(如发电机的有功出 力、无功出力或节点电压模值等)，求出相应的状 态变量x(如节点电压模值及角度)，这样通过一次 潮流计算得到的潮流解决定了电力系统的一个运 行状态。 这种潮流计算也可以称之为基本潮流(或常规潮流) 计算，一次基本潮流计算的结果主要满足了潮流 方程式或变量间等式约束条件
P = P (U,θ ) + P Gs s Ls
式中：Ps (U,θ ) 为注入节点s而通过与节点s 相关的线路输出的有功功率；PLs．为节点s 的负荷功率。 所以前文目标函数可写为
f =
i∈NG i≠s
∑K (P
i
Gi ) + Ks (P ) Gs
(2)有功网损
f =
(i, j )∈NL
∑(P + P )
电力系统最优潮流的历史发展过程可以回 溯到60年代初期，由于基于协调方程式的 经典经济调度方法虽然具有方法简单，计 算速度快，适宜于实时应用等优点，但协 调方程式在处理节点电压越界及线路过负 荷等安全约束的问题上却显得无能为力。 随着电力系统规模的日益扩大以及一些特 大事故的发生，电力系统运行安全性问题 被提到一个新的高度上来加以重视。因此， 人们越来越迫切要求将经济和安全问题统 一起来考虑。