经济与管理数学 微积分与线性代数第一节

解 L( Q) 2 50 1Q．0 L(Q) 10 ．
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练习2.8
练习 2.8 求收益函数 R 20Q Q2 （Q 为 5
产量）的二阶导数。
解 R(Q) 20 2 Q 5
R(Q)
R(Q)
20
2 5
Q
2 5
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解 y 由两部分构成， x s i nx 是乘法运算，
应用四则运算公式。sin x 2 是复合函数，应用复合
函数求导法则。所以
y xsin x x(sin x) cos x2 (2x) sin x x cos x 2x cos x2
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练习2.7
练 习 2.7
求利润函数
L L(Q) 250Q 5Q2 的二阶导数．
线，问该抛物线上哪一点的切线可平行于 这割线？
引例2.1
引例 2.1 变速直线运动的速度。从物理学中知
道，如果物体作直线运动，它所移动的路程 s 是时间
t 的函数，记为 s s(t ) . 则从时刻 t0 到 t0 t 的时
间间隔内它的平均速度为
s t
s(t0
t) t
s(t0 ) ,
当 t 趋于 0 时，平均速度的极限便是物体在时刻 t0 时
§2.1.1 导数的定义
先看几个引例：
引例2.1 引例2.2 引例2.3
定义2.1
若 函 数 f ( x) 在 x0 附 近 有 定 义 ， 且 极 限
lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在，则称此极限值为函数 f ( x) 在
x0
x
dy
x0 处 的 导 数 值 。 记 为 f ( x0 ) 或 y xx0 或 dx xx0 或
P L，点 Q 是曲线在 x0 x 的对应点，则割线 PQ 的
斜率 kPQ
f ( x0 x) x
f (x0 ) 。当x 0 时，割线
PQ
的极
限位置为曲线在点 P 处的切线 PL，因此当
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
存在时，用此极限表示曲线 y f (x)在点 x0处的切线
又称为产量为 Q 时的边际成本，表示在产量为 Q 时每
增加一个单位的产品所需增加的成本。类似地，可用
（2.1），（2.2）式的极限形式定义收益函数对销量的
变化率即边际收益，利润函数对产销量的变化率即边
际利润，需求函数对价格的变化率即边际需求等等。
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引例2.3
引例 2.3 若曲线 y f ( x)在点 P(x0, f (x0 ))有切线
解 y uc oxs (u4 )u ( c ox s )
= 4u3(sin x) 4sin x cos3 x
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练习2.5
练习 2.5 设 y cot x2 ，求 y
解
y ux2
(
c
out
u
)
x2(
)
= csc2 u 2x 2x csc2 x2
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练习2.6
练习 2.6 设 y x sin x sin x2 ，求 y
x
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练习2.3
练习 2.3 设 y l n s ixn，求 dy ． dx
解 设s i nx u，则 y ln u ， u s i nx
dy dy du 1 (sin x) 1 回
练习2.4
练习 2.4 设 y c o 4s x ，求 y
C(Q) = C(Q Q) C(Q) 为 产 量 由 Q 变 为
Q
Q
Q Q 时，总成本的变化与产量的变化的
比率，简称区间Q,Q Q上的平均成本。.
引例2.2
当 Q 0 时，若总成本的平均变化率的极限存
在，即
C(Q Q) C(Q)
lim
Q0
Q
存在，则称此极限为总成本在产量为 Q 时的变化率，
的瞬时速度，即
v lim s lim s(t0 t) s(t0 )
t tt0
t t0
t
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引例2.2
引例 2.2 经济管理中，常涉及到经济
函数的边际变化的问题。例如设 C (Q ) 为产量
Q 时的总成本函数，当产量 Q 改变Q 时，
总成本的改变量为
C(Q) C(Q Q) C(Q) ， 我 们 称
第二章 导数及其经济应用
• 目标：
• 1、 理解导数的定义，并掌握导数就是函数 的变化率及导数的公式、四则运算法则、复 合函数求导法则
• 2、 能够计算边际成本、边际收益、边际需 求等经济函数并解释其经济含义
• 3、 能够解决经济中简单的最优化问题 • 4、 能够利用软件来计算较复杂函数的导数
§2.1 导数的概念
df dx
x x0
等.也就是
f
(
x0
)
=
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
x 将上式中的 x0 换成变量 ，即得导函数的定义式
f ( x) = lim x0
f ( x x) x
f
(x) .
当然 f ( x0 )= f ( x) xx0 .
通常
y x
lim x0
f ( x0 x) x
(loga
x)
1 x ln a
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
二、导数的四则运算法则：
[ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) [ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) [ f ( x)g( x)] f ( x)g( x) f ( x)g( x) ， 特别地[cf ( x)] c f ( x)
f (x)
g(
x
)
f ( x)g( x) f ( x)g( x) g2(x)
练习2.1
练习2.2
三、复合函数的求导法则：
设函数 y f (u) 在 u 处可导， u ( x) 在 x 处可导，则复合函数 y f ( ( x)) 也在 x
处可导，且
dy dy du f (u) u( x) f [( x)]( x)
y
f
(
x
)
的
n
阶导数还可记为
dn dx
y
n
．
另规定 y( 0 ) y ．
练习2.7
练习2.8
课堂练习
1、设函数 f ( x) 在 x 2处连续， 且 lim f ( x) 3 ，求 f (2) 。
x2 x 2
2 、 在 抛 物 线 y x2 上 取 横 坐 标 为
x1 1和x2 3 的两点，作过这两点的割
f ( x0 ) 表示函数在
区间 x0 , x0 x 上的平均变化率,引例 2.1 中，
s s(t0 t) s(t0 ) 表示时间段
t
t
t0 , t0 t
上的平
均速度。进一步，导数 lim f ( x0 x) f ( x0 ) （平均变
x0
x
化率的极限）表示点 x0的瞬时变化率，引例 2.1 中，
区 间 t0 , t0 t 上 平 均 速 度 的 极 限
lim
t t0
s(t0
t ) t
s(t0
)
（即速度对时间的导数）表示
t0
时刻的瞬时速度。
§2.1.2导数的计算
一、导数公式：
c 0
( x ) x1
(e x ) e x
(ax ) ax lna
(ln x) 1 x
(sin x) cos x
的斜率。
图例
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L Y
Q
P
O
X0
X0+ΔX
X
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练习2.1
练习 2.1 求 f ( x) 2 sin x ln x x2 导数
解
f ( x) c o xs1 x
x2
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练习2.2
练习 2.2 求 f ( x) x l n x x s i nx
解
f
(
x
)
ln
x
1
sin
x x cos sin2 x
dx du dx
练习2.3 练习2.5
练习2.4 练习2.6
四、高阶导数的计算
设有函数 y f ( x)，我们分别记
y ( y)
f ( x) 的二阶导数，
y ( y) f ( x) 的三阶导数，
………… ………… ，
n n y(n) ( y(n1) ) f ( x) 的 阶导数（ 为正整数）。