7.5数列综合应用[复习+提高]教案
数列综合问题高中数学教案
数列综合问题高中数学教案
知识点：数列的综合
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数列的综合方法，解决相关数学问题。
教学重点：数列的综合求解方法。
教学难点：在实际问题中运用数列的综合方法解决问题。
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师向学生介绍本节课的学习内容，引导学生了解数列的综合概念。
并通过一个简单的例子引出数列综合问题。
二、讲解与实践（15分钟）
1. 讲解数列的综合方法，说明综合的含义及求解步骤。
2. 通过几个示例讲解综合求解数列问题的步骤，引导学生掌握方法。
3. 学生进行练习，巩固数列综合的求解方法。
三、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些实际问题，让学生尝试用数列综合方法解决问题。
2. 学生结合实际问题进行讨论，分享不同解题思路。
四、作业布置（5分钟）
布置练习题作业，相关综合数列问题的练习。
五、课堂小结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调数列综合方法的重要性，并提醒学生作业要认真完成。
教学反思：本节课通过讲解数列的综合方法，让学生了解了数列的综合应用，实际问题中的数列综合求解方法。
通过多种实例的讲解和练习，学生对数列综合方法有了更深入的理解和掌握。
在今后的教学过程中，可以结合更多实际问题，让学生更好地运用数列综合方法解决各种数学问题。
数列综合应用教案
备注
课堂检测——数列综合运用（1）姓名：
1、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S203＝
2、在 中，tanA是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差：tanB是以 为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则 的形状是
3、互不相等的三个实数a，b，c成等差数列，且a，c，b成等比数列，则a：b：c=
4、已知数列 的前n项和 ，a1=a,an+1=sn+3n,
(1)求证： 为等比数列；（2）若数列 为递增数列，求a取值范围。
课外作业——数列综合运用（1）姓名：
1、等差数列 中，其前n项和Sn，已知an=4+(n-l)d，若它的第—、七、十项分别为等比数列的前三项，且Sn=11，则n=
数列综合应用教案
课题：数列综合运用班级姓名：
一：学习目标
能解决数列与函数、不等式等综合问题.
二：课前预习
1、等比数列 中, ,若 ,则
2、等比数列 中， ，数列 满足 （a为常数），且 ，则 ；数列 的前n项和 =
3、设等差数列 的公差 不为0， ，若 是 与 的等比中项，则
4、已知两个等差数列 和 的前 项和分别为A 和 ，且 ，则使得 为整数的正整数 的个数是
5_______.
三：课堂研讨
例1，设数列
(1)设 求数列 的通项公式。
(2)若 ，求 的取值范围。
例2，在数列
（1）求证：数列 是等差数列。
（2）设 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？存在求出，不存在，说明理由。
例3若对于正整数 ， 表示 的最大奇数因数， 。
数列复习课的教案
数列复习课的教案一、教学目标：1. 理解数列的概念和特征；2. 掌握数列的常见表示方法；3. 能够求解数列的通项公式；4. 能够应用数列解决问题。
二、教学内容：1. 数列的定义和性质；2. 数列的表示方法；3. 数列的通项公式；4. 数列的求和公式；5. 数列的应用。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）通过提问和讲解，复习数列的概念，引导学生回忆数列的定义和性质。
2. 知识讲解（15分钟）a) 数列的表示方法：递推公式和通项公式；b) 数列的通项公式的推导方法和步骤；c) 数列的求和公式的推导方法和应用；d) 数列在实际问题中的应用。
3. 讲解例题（15分钟）通过讲解一些典型的数列例题，引导学生掌握数列的解题方法和技巧。
4. 练习巩固（20分钟）学生自主完成一些练习题，巩固数列的相关知识和解题方法。
5. 拓展延伸（10分钟）引导学生思考更复杂的数列问题，并提供一些拓展题目，激发学生的兴趣和思维。
6. 总结归纳（5分钟）对数列的相关知识点进行总结和归纳，帮助学生梳理思路，加深对数列的理解。
四、教学手段：1. 板书：列举数列的定义、性质、表示方法、通项公式和求和公式等重要概念和公式。
2. 多媒体教学：通过投影仪展示例题、解题步骤和相关应用，提高学生的理解和兴趣。
3. 互动讨论：通过提问、回答和讨论，激发学生思维，培养学生的问题解决能力。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生的听讲、思考和回答问题的情况，评价学生的积极性和参与度。
2. 练习评价：对学生完成的练习题进行批改，评价学生对数列的掌握情况。
3. 问题解决能力评价：观察学生解决复杂数列问题的能力，评价学生的问题解决能力和思维发展。
六、教学反思：通过数列复习课的教学，学生对数列的概念、性质、表示方法、通项公式和求和公式等知识有了更深入的理解。
课堂中的讲解和练习巩固相结合，有效提高了学生的学习兴趣和解题能力。
但是，还需要进一步加强数列的应用训练，培养学生解决实际问题的能力。
数列综合题和应用性问题教案
数列综合题和应用性问题教案章节一：数列的概念和性质教学目标：1. 理解数列的定义及其基本性质。
2. 能够识别和表示不同类型的数列。
3. 掌握数列的通项公式和求和公式。
教学内容：1. 数列的定义及表示方法。
2. 数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 数列的通项公式和求和公式。
教学活动：1. 通过实例介绍数列的定义和表示方法。
2. 引导学生探索数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 讲解数列的通项公式和求和公式，并通过例题进行解释。
章节二：等差数列和等比数列教学目标：1. 理解等差数列和等比数列的定义及其性质。
2. 能够识别和表示等差数列和等比数列。
3. 掌握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
教学内容：1. 等差数列和等比数列的定义及表示方法。
2. 等差数列和等比数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
教学活动：1. 通过实例介绍等差数列和等比数列的定义和表示方法。
2. 引导学生探索等差数列和等比数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，并通过例题进行解释。
章节三：数列的极限教学目标：1. 理解数列极限的概念及其性质。
2. 能够求解数列极限的问题。
3. 掌握数列极限的运算规则。
教学内容：1. 数列极限的定义及其性质。
2. 数列极限的求解方法。
3. 数列极限的运算规则。
教学活动：1. 通过实例介绍数列极限的定义和性质。
2. 引导学生学习数列极限的求解方法，如直接求解、夹逼定理等。
3. 讲解数列极限的运算规则，并通过例题进行解释。
章节四：数列的综合题型教学目标：1. 理解数列综合题型的概念及其解题方法。
2. 能够解决数列综合题型的问题。
3. 掌握数列综合题型的解题策略。
教学内容：1. 数列综合题型的概念及其解题方法。
2. 数列综合题型的常见类型和解题技巧。
3. 数列综合题型的解题策略。
教学活动：1. 通过实例介绍数列综合题型的概念和解题方法。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
数列的综合应用教案
高中数学专题复习——数列的综合应用一、考点、热点回顾如何解数列应用题(1)解数列应用题一般要经历：设——列——解——答四个环节． (2)建立数列模型时，应明确是什么模型，还要确定要求是什么． (3)建立数学模型的一般方法步骤：①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.②抓住数学关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数学关系用数学式子表达．③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意引出满足题意的数学关系式(如函数、方程、不等式、数列等)．二：典型例题题型一：等差、等比数列的综合应用 例1：已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8. （1）确定常数k ，求a n ；（2）求数列92{}2nna -的前n 项和T n 。
解: （1）当n k N *=∈时，212n S n kn =-+取最大值，即22211822k k k =-+=，故4k =，从而19(2)2n n n a S S n n -=-=-≥，又1172a S ==，所以92n a n =-（1） 因为19222n n n n a n b --==，1222123112222n nn n n nT b b b ---=+++=+++++ 所以21211111222144222222n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=-题型二：数列与函数的综合应用 例2：函数2()23f x x x =--。
定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点(4,5),(,(n n nP Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标。
（1）证明：123n n x x +≤<<； （2）求数列{}n x 的通项公式。
高三数学总复习数列综合题应用教案设计
高三数学总复习《数列》综合题应用教案设计一、设计思想1、设计理念利用信息技术手段优化教学过程，改善教学效果。
2、设计背景在数学的教学过程中，利用传统的媒体（如黑板、粉笔等）教学已经不能适应新课改的要求，需要新的技术手段来促进教学。
3、教材的地位与作用本节教材在学生学习过数列的相关概念与公式的基础上，学习利用数列的公式解答高考题中有关数列的题。
本设计是高一下册最后一章的教学内容。
二、学习目标⑴知识与技能掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，能用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式解答高考题中有关数列的题。
⑵过程与方法通过教师总结的一般解题方法——“六步法”，体会一般的解题过程，正确解题。
⑶情感、态度与价值观通过对数列的学习，发展数学思维。
教学重点掌握4个有关数列的公式教学难点掌握一般解题方法，正确解题。
三、教学设想：本节课采用以教为主的课堂教学模式,利用PPT讲解。
四、教学过程（一）直接导入通过说明数列在高考题中所占分值17分左右，来说明其重要性。
直接导入教学（二）复习重点四个公式（三）提出一般解题方法——六步法1.审题(注意点要标注)2.分析求什么？3.分析已知条件4.把所有已知条件化成a1、d或a1、q的形式5.解方程组，得a1、d和a1、q6.作答(四)重难点突破——09年高考试题文科数学（全国一）例题：(17)(本小题满分10分)设等差数列{an }的前项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前项和为Tn，已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通项公式。
解：设{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q>0，由题得：1+2d+q2=17 (1) q2+q+1-(3+3d)=12 (2) q>0 (3)解(1) (2) (3)得：q=2,d=2.所以，an =2n-1,bn=2n-1(五) 课堂小结利用正确的解题步骤解题。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 理解数列的概念及其性质2. 掌握数列的通项公式和求和公式3. 能够运用数列解决实际问题二、教学内容1. 数列的概念及其性质2. 数列的通项公式和求和公式3. 数列在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、性质、通项公式和求和公式2. 教学难点：数列在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解数列的概念和性质2. 采用示例法，教授数列的通项公式和求和公式3. 采用案例分析法，让学生学会运用数列解决实际问题五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如等差数列“每月工资”、“每分钟心跳次数”等，引导学生认识数列的概念和性质。
2. 讲解：讲解数列的概念、性质、通项公式和求和公式，通过示例让学生理解并掌握这些知识点。
3. 练习：布置一些练习题，让学生运用所学的数列知识解决问题，巩固所学内容。
4. 案例分析：选取一些实际问题，如“等差数列投资”、“数列在数据处理中的应用”等，让学生学会运用数列知识解决实际问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数列在实际中的应用价值。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生对数列概念和性质的理解程度。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，检查学生对数列通项公式和求和公式的掌握情况。
3. 案例分析评价：评估学生在案例分析中的表现，判断其能否将数列知识应用于实际问题中。
七、教学拓展1. 数列在数学其他领域的应用：介绍数列在代数、几何、概率等领域中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 数列与其他学科的交叉：探讨数列在其他学科如物理、化学、生物等方面的应用，拓宽学生的知识视野。
八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、教学方法的适用性、学生对数列知识的掌握程度等，以便对后续教学进行调整和改进。
九、课后作业布置一些有关数列的练习题，包括填空题、选择题和解答题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解
专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ）A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258B ．264C ．642D ．636例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解. 题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ） A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．26例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金n T几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ）A ．5-B ．7C ．13D ．26例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n - B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a . 【详解】()()()()()()4411cos 221cos221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+=，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列. 例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】由题设11()()4n f f n n-+=，讨论n 的奇偶性求{}n a 的通项公式，再求n S . 【详解】由题设，111()()4ln(1)ln 41n f f n n n n -+=+-+=-， 所以()()**14121,2,N 221421,21,N 2n n f n n k k a n n n k k ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+=-=∈ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨-⎪⨯=-=+∈⎪⎩，即2(1)n a n =-且n ≥ 2， 当1n =时，11S =，当2n ≥时，21242(1)1n S n n n =+++⋅⋅⋅+-=+-，所以21n S n n =-+，n *∈N故答案为：2n n 1-+.例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b ≥得出42n ≤，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析：（1）()()1234123496530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大()()()()12341234420503864742965878222a a a ab b b b ⎡⎤+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=⎢⎥⎣⎦()2424424688008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】 【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==， 设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n nn n T --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ） A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【解析】 【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前n 项和公式求出X ，再设小郭第3年还款的现值为y ，根据复利规则求出y ． 【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误， 设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为29[1(1)(1)(1)]X r r r +++++⋯++， 银行贷款A 元10年后的本利和为10(1)A r +．2910[1(1)(1)(1)](1)X r r r A r ∴+++++⋯++=+， ∴10101[1(1)](1)1(1)r X A r r ⨯-+⋅=+-+， 即1010(1)(1)1Ar r X r +=+-，故A 错误．设小郭第三年还款的现值为y ，则3(1)y r X ⋅+=，所以()31Xy r =+，故B 正确；例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-， 因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，分类讨论n 可求出结果. 【详解】 由1112222n n n n A a a a n -+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅，∴1122(1)2-+⋅=⋅--⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n *∈N 恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n -+-⨯++-⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p p n n n n -+-⨯+-+-≤，即5(5)(53)0222pn p p n n -+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +-++≤， 即216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，当14n ≤≤时，2164266+-≤=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125-≤p ，所以125p ≥-，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+-≥=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73-≥p ，所以73p ≤-，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】B 【解析】 【分析】根据分裂数的定义，求出从32到()31m -、从32到3m 分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出1111对应的位置，进而根据不等式求m 值. 【详解】由题意，对于332,...,m ，它们依次对应2、3、…、m 个分裂数，则从32到()31m -各分裂数个数的和为(2)(1)2m m -+，从32到3m 各分裂数个数和为(1)(2)2m m -+，又332,...,m 的分裂数{}n a ，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，令211111n +=，可得555n =，所以(2)(1)(1)(2)55522m m m m -+-+<≤，当32m =时，(1)(2)5275552m m -+=<不符合； 当33m =时，(1)(2)5605552m m -+=>，(2)(1)5275552m m -+=<符合； 当34m =时，(2)(1)5605552m m -+=>不符合； 综上，33m =. 故选：B例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258 B ．264 C ．642 D ．636【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，进而可求得63S 的值.【详解】因为562632<<，由题中定义，对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣， 满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，当1m =时，0m b =，当)122,2m ⎡∈⎣时，1m b =，此时满足条件的m 的个数为12，当)232,2m ⎡∈⎣时，2m b =，此时满足条件的m 的个数为22，当)562,2m ⎡∈⎣时，5m b =，此时满足条件的m 的个数为52， 因此，01234563021222324252258S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-． 【答案】(1)21263=+⨯S ，()12312633=+⨯+S ，133n n S +=+ (2)1122=-+n T n ，证明见解析 【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S =++=，217611512181263S =++++=+=+⨯，()2123187136171116512185412636312633S =++++++++=++=+⨯+⨯=+⨯+，41981572013196231728112716215S =++++++++++++++++121854162=+++2312636363=+⨯+⨯+⨯()123126333=+⨯++， …()12311263333(1)n n S n -=+⨯++++≥，由等比数列的前n 项和公式可得，()113131263313n n n S -+-=+⨯=+-， 所以{}n S 的通项公式133n n S +=+．(2)由于133n n S +=+，所以()()33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n +⎛⎫=-=--=- ⎪-⋅-++++⎝⎭， 则1111111132432122n T n n n =-+-++-=-+++， 因为n *∈N ，所以102n >+，所以111222n ->-+， 又n T 随n 的增大而减小，所以当1n =时，n T 取得最大值16-，故1126n T -<≤-． 【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦， 对其进行整理变形：()()()22222222asat ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=， ()2222222240as at b at a s t ++-=， 222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0=t 为直线.故选：C.例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意， 所以 ……+n T 12.n n x -=(21)21.2n n n T -⨯+=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b=……+ ①又……+ ②①-②得= 所以题型六：数列与传统文化 例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）A ．10B ．14C ．23D ．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列{}n a ，根据217a =，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a ．由题意可知，等差数列{}n a 中217a =，前5项和为100，设公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，则535100S a ==，解得320a =，所以323d a a ， 所以公士出的钱数为532202326a a d =+=+⨯=，故选：D ．例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ） A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C 【解析】【分析】 根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤； 第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤， 以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤， 所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯， 即1111111111(1)(1)12233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =， 又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=. 故选：C.例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】【详解】。
初中数学教案数列的综合应用与数学归纳法
初中数学教案数列的综合应用与数学归纳法初中数学教案：数列的综合应用与数学归纳法在初中数学中，数列是一个非常重要的概念。
数列的综合应用可以帮助学生提高数学解题能力，而数学归纳法是解决数列问题的一种常用方法。
本教案将重点介绍数列的综合应用和数学归纳法的规则和使用方法。
一、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于实际生活中。
例如，数列可以用来描述某一事件随时间变化的规律，也可以用来计算各种数值之间的关系等等。
下面举例说明数列的综合应用。
例1：某商品的价格每天下降10元，第一天的价格是100元，请问第n天的价格是多少？解析：该题可以用数列来解决。
设第n天的价格为an，则an = 100 - 10(n-1)。
这个数列的通项公式可以通过观察数列前几项的规律得到。
例如，第一天的价格是100元，第二天是90元，以此类推。
因此，第n天的价格为100 - 10(n-1)元。
例2：有一架高空跳伞的直升机，每次跳伞的时候，跳伞台下方的高度会减少500米。
如果起始高度为2000米，问第n次跳伞时的高度是多少米？解析：该题也可以用数列来解决。
设第n次跳伞时的高度为hn，则hn = 2000 - 500(n-1)。
观察前几次跳伞时的高度变化规律，可以得到数列的通项公式为2000 - 500(n-1)。
以上两个例子展示了数列在实际问题中的应用。
通过使用数列，我们可以将复杂的问题转化为简单的计算，从而更好地解决实际问题。
二、数学归纳法的规则和使用方法数学归纳法是解决数列问题时常用的方法之一。
它的基本思想是：通过证明第一个命题成立，以及如果第k个命题成立，则第k+1个命题也成立，从而得出整个数列的命题成立。
下面介绍数学归纳法的规则和使用方法。
步骤一：证明第一个命题成立首先，需要证明数列中第一个命题成立。
即，验证当n = 1时，数列的某一特性是否成立。
步骤二：假设第k个命题成立假设当n = k时，数列的某一特性成立。
步骤三：证明第k+1个命题成立通过假设第k个命题成立，并使用这个假设进行推理，证明当n = k+1时，数列的某一特性也成立。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对数列综合应用的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 等差数列的应用：等差数列的求和公式、等差数列的通项公式等。
2. 等比数列的应用：等比数列的求和公式、等比数列的通项公式等。
3. 数列的极限：数列极限的定义、数列极限的性质等。
4. 数列的收敛性：收敛数列的定义、收敛数列的性质等。
5. 数列的应用举例：如数列在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的基本概念、性质和应用。
2. 运用案例分析法，分析数列在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4. 设置课后习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
四、教学步骤1. 引入数列的基本概念，讲解等差数列和等比数列的定义和性质。
2. 引导学生运用数列知识解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
3. 讲解数列的极限和收敛性，分析数列在实际中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论，分享数列在实际问题中的应用案例。
5. 通过课后习题，检查学生对数列知识的掌握程度。
五、教学评价1. 课后习题的完成情况，检验学生对数列知识的掌握。
2. 课堂讨论的参与度，评估学生的团队协作能力和思维水平。
3. 学生对数列应用案例的分析，评估学生的实际应用能力。
4. 定期进行教学质量调查，了解学生的学习需求，调整教学方法。
六、教学资源1. 教学PPT：制作数列综合应用的教学PPT，包含数列的基本概念、性质、应用案例等内容。
2. 案例素材：收集数列在实际问题中的应用案例，如人口增长、放射性衰变等。
3. 课后习题：编写具有代表性的课后习题，检验学生对数列知识的掌握。
4. 教学视频：寻找相关的教学视频，如数列的极限、收敛性的讲解等，辅助学生理解难点内容。
数列综合题和应用性问题教案
数列综合题和应用性问题教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生解决数列综合题的能力，提高逻辑思维和运算能力。
3. 培养学生将数列知识应用于实际问题中，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 数列的基本概念和性质2. 等差数列的通项公式和求和公式3. 等比数列的通项公式和求和公式4. 数列的极限概念5. 数列综合题的解法及应用三、教学重点与难点1. 重点：数列的基本概念、性质、通项公式和求和公式。
2. 难点：数列综合题的解法和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究数列的知识点。
2. 通过案例分析，让学生了解数列在实际问题中的应用。
3. 利用数列软件或板书演示数列的性质和规律，帮助学生直观理解。
4. 组织小组讨论，培养学生合作学习和解决问题的能力。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如级数求和、存贷款等问题，引发学生对数列的兴趣。
2. 讲解数列的基本概念和性质，引导学生掌握数列的基础知识。
3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，让学生熟练运用。
4. 引入数列的极限概念，引导学生理解数列的极限性质。
5. 解析数列综合题，培养学生解决实际问题的能力。
6. 课堂练习：布置相关数列综合题，让学生巩固所学知识。
7. 总结与反馈：对学生的学习情况进行总结，及时调整教学策略。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对数列基本概念、性质、通项公式和求和公式的掌握程度，以及解决数列综合题的能力。
2. 评价方法：课堂提问、作业批改、小组讨论、笔试考试等。
3. 评价内容：数列的基本概念和性质、等差数列和等比数列的通项公式和求和公式、数列综合题的解法及应用。
七、教学资源1. 教材：数列相关教材或教学辅导书。
2. 课件：数列知识点、案例分析、数列软件演示等。
3. 习题库：数列综合题及应用性问题。
4. 教学板书：用于演示数列性质和规律。
八、教学进度安排1. 数列的基本概念和性质：2课时2. 等差数列的通项公式和求和公式：2课时3. 等比数列的通项公式和求和公式：2课时4. 数列的极限概念：1课时5. 数列综合题的解法及应用：3课时6. 教学评价：1课时九、教学作业布置1. 课后习题：数列综合题和应用性问题。
数列的综合应用教案
数列的综合应用教案2020-11-25数列的综合应用教案【目标】1．掌握一些常见等差等比数列综合问题的求解方法；2．培养学生分析问题和解决问题的能力。
【难点】难点是解决数列中的一些综合问题。
【教学过程】例1．等差数列的公差和等比数列的公比都是d(d≠1)，且，，，⑴求和d的值；⑵ 是不是中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
例2．设等比数列的公比为 , 前项和为，若成等差数列，求的.值．例3．已知数列的前n项和为且满足．(1)判断是否是等差数列，并说明理由；(2)求数列的通项；例4．设是正数组成的数列，其前n项和为，且对于所有正整数n, 与2的等差中项等于与2的等比中项。
⑴写出的前3项；⑵求的通项公式（写出推理过程）;⑶令， ,求的值。
例5、已知数列，设，数列。
（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn；（3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。
例6．已知函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求；（3）令对一切成立，求最小正整数m.【课后作业】1.设数列｜an｜是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是。
2.设等差数列的公差不为，．若是与的等比中项，则 _________。
3.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=_______。
4. 已知等比数列的前项和为且。
（1）求的值及数列的通项公式。
（2）设求数列的前项和。
5.设数列的前项和为，已知（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围6．设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，试探究与之间的等量关系．7.已知数列是首项，公比q>0的等比数列，设且 , 。
⑴求数列的通项公式,⑵设数列的前项和为，求证数列是等差数列；⑶设数列的前n项和为 ,当取最大值时,求n的值.二元一次不等式（组）与平面区域3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（第2时）使用说明：1.前认真预习本，完成本学案；2.上认真和同学讨论交流，积极回答问题、板演，认真听老师点评；3.下复习，整理归纳。
数列综合应用教案
数列综合应用教案【篇一：《数列的综合应用》教案】个性化教案授课时间年级高三备课时间学生姓名教师姓名课题数列的进一步认识教学目标（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。
教学重点教学设计教学内容（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题一、检查并点评学生的作业。
检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。
二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。
三、讲授新内容数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：n∑k=n(n+1)k=12n∑k2=16n(n+1)(2n+1)k=1nk3=14n2(n+1)2k=12、倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。
等差数列的前n项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；例：sn=1*2+2*4+3*8+??+n*2n①2sn=1*4+2*8+3*16+??+（n-1）*2n+n*2n+1②①-②得 -sn=2-（4+8+16+??+2n）-n*2n+1 即：sn=（n-1）2n+1-64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
高三数学教案： 数列的综合运用
专 题 训 练第十讲: 数列的综合运用学校 学号 班级 姓名知能目标1. 进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质.2. 能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式,前n 项和公式, 强化综合运用这些公式解题的能力.3. 在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力.综合脉络1. 揭示数列本质数列与函数的关系 数列是一类特殊的函数. 从函数的观点看, 对于一个定义域为正整 数集*N (或它的有限子集}n ,,4,3,2,1{Λ )的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值.等差数列与函数的关系 公差0d ≠时, n n S ,a 分别是n 的一次函数和二次函数. 反过来, 如果n a 是n 的一次函数, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列; 如果n S 是n 的二次函数且 常数项为0, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列.通项n a 与前n 项和n S 之间的关系: .)2n (S S )1n (S a 1n n 1n ⎩⎨⎧≥-==-2. 分析高考趋势数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数, 数列与不等式等的综合知识, 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查, 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法的考查. 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占9％左右, 考查的内容主要有: ①等差数列、等比数列的基本知识 (定义、通项公式、前n 项和公式); ②等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; ③ 函数和方程的思想, 化归思想, 分类讨论思想, 待定系数法等. (一) 典型例题讲解:例1. 已知2)1(f =, 21)n (f 2)1n (f +=+)N n (*∈, 求)101(f 的值.例2. 已知数列1a }a {1n =中，且,)1(a a k1k 2k 2-+=- ,3a a kk 21k 2+=+其中Λ,3,2,1k =(1) 求53a ,a ; (2) 求}a {n 的通项公式.例3. 在公差不为零的等差数列}a {n 及等比数列}b {n 中, 已知a 1＝1, 且a 1＝b 1, a 2＝b 2, a 8＝b 3.(1)求数列}a {n 的公差d 和}b {n 的公比q ;(2)是否存在常数a 、b 使得对于一切自然数n, 都有b b log a n a n +=成立, 若存在, 求 出a 、b 的值, 若不存在, 说明理由.(二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. 数列}a {n 的通项公式为1n n 1a n ++=, 若}a {n 前n 项和为24, 则n 为 ( )A. 25B. 576C. 624D. 6252. 设数列}a {n 是递增等差数列, 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 63. 设)N n (n 213n 12n 11n 1)n (f *∈+++++++=Λ, 那么)n (f )1n (f -+等于 ( ) A. 1n 21+ B. 2n 21+C. 2n 211n 21+++D. 2n 211n 21+-+4. 若数列}a {n 前8项的值各异, 且n 8n a a =+对任意*∈N n 都成立, 则下列数列中可取遍}a {n 前8项值的数列为 ( ) A. }a {1k 3+ B. }a {1k 2+ C. }a {1k 4+ D. }a {1k 6+5. 已知数列}a {n , 那么“对任意的*∈N n , 点)a ,n (P n n 都在直线1x 2y +=上”是“}a {n 为等差数列”的 ( ) A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S (万件)近似 地满足)12,,2,1n )(5n n 21(90nS 2n Λ=--=. 按此预测, 在本年度内, 需求量超过1.5 万件的月份是 ( ) A. 5月、6月 B. 6月、7月 C. 7月、8月 D. 8月、9月二. 填空题7. 数列)21(1++)421(+++++Λ)221(1n -+++Λ前n 项和为______ ____.8. 设}a {n 是首项为1的正项数列, 且0a a na a )1n (n 1n 2n 21n =+-+++),3,2,1n (Λ=, 则它的 通项公式是=n a ____ _____ .9. 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数, 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 求这个 数列的公比 , 项数为 .10. 在各项均为正数的等比数列}a {n 中, 若,9a a 65=则1032313a log a log a log +++Λ= .三. 解答题11. 数列}a {n 的前n 项和为n S , 且1a 1=, ,S 31a n 1n =+,,3,2,1n Λ=求 (1) 2a ,3a ,4a 的值及数列}a {n 的通项公式; (2) n 242a a a +++Λ的值.12. 有穷数列}a {n 的前n 项和S n ＝2n 2＋n, 现从中抽取某一项(不是首项和末项)后, 余下项的平均值是79. (1)求数列}a {n 的通项; (2)求数列}a {n 的项数及抽取的项数.13. 已知等比数列}a {n 共有m 项)3m (≥, 且各项均为正数, 1a 1=, 1a ＋2a ＋7a 3=. (1) 求数列}a {n 的通项n a ;(2) 若数列}b {n 是等差数列, 且11a b =, m m a b =, 判断数列}a {n 前m 项的和m S 与数列}21b {n -的前m 项和m T 的大小并加以证明.数列的综合运用解答(一) 典型例题例1. 解：,21)1n (2)n (f ,21)n (f )1n (f 2)1(f ⨯-+=+=+=故.52)101(f = 例2. 解：(1) 0)1(a a 12=-+=, ,33a a 23=+=,4)1(a a 234=-+=,133a a 245=+=所以, .13a ,3a 53==(2) ,3)1(a 3a a k k 1k 2k k 21k 2+-+=+=-+ 所以,)1(3a a kk 1k 21k 2-+=--+同理,)1(3a a 1k k 3k 21k 2----+=-……,).1(3a a 13-+=-所以+--+)a a (1k 21k 2++---Λ)a a (3k 21k 2=-)a a (13)],1()1()1[()333(1k k 1k k -++-+-++++--ΛΛ由此得],1)1[(21)13(23a a kk 11k 2--+-=-+ 于是.1)1(2123a k 1k 1k 2--+=++ 1)1(2123)1(1)1(2123)1(a a k k k1k k k 1k 2k 2=-+=-+--+=-+=--}a {n 的通项公式为:当n 为奇数时, ;121)1(23a 21n 21n n -⨯-+=-+ 当n 为偶数时, .121)1(23a 2n2n n -⨯-+= 例3. 解：(1) ⎩⎨⎧==⇒=+=+==0d 1q q b d 7a ,q b d a .1a b 2111111 或⎩⎨⎧==5d 6q .∴≠∴≠ .1q .0d Θ取⎩⎨⎧==5d 6q . (2) .6b ,4n 5a 1n n n -=-=假设存在, 则有b 6log )1n (4n 5b 6log 4n 5a 1n a +-=-⇒+=--.1b 6a 46log b 56log 6log b 6log n 4n 55a a a a ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=⇒-+=-⇒∴存在⎩⎨⎧==1b 6a 5, 使b b log a n a n +=成立.(二) 专题测试与练习 一.二. 填空题 7. 2n 2S 1n n --=+; 8. ;n19. 2 , 8 ; 10. 10 .三. 解答题11. 解: (1) 由,S 31a ,1a n 1n 1==+,,3,2,1n ΛΛ =得 ,31a 31S 31a 112===,94)a a (31S 31a 2123=+==,2716)a a a (31S 31a 32134=++==由)2n (a 31)S S (31a a n 1n n n 1n ≥=-=--+, 得),2n (a 34a n 1n ≥=+又31a 2=, 所以),2n ()34(31a 2n n ≥=-∴ 数列}a {n 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧≥==-)2n (,)34(31)1n (,1a 2n n ;(2)由(1)可知n 242a ,,a ,a Λ是首项为31, 公比为2)34(项数为n 的等比数列, ∴].1)34[(73)34(1)34(131a a a n 22n 2n242-=--⋅=+++Λ12. (1) .3S a ,1a 4a S S a 11n 1n n n ==-=⇒-=-.1n 4a n -=∴(2) 设抽去是第k 项则有:791n a a a a a n1k 1k 21=-+++++++-ΛΛ,79n 79a a a a a n 1k 1k 21-=++++++∴+-ΛΛ移项得: 79na a 79a a a n1k 1k 21=++++++++-ΛΛ,所以抽去的是79, .20k 791k 479a k =⇒=-⇒=13. 解: (1) 设等比数列}a {n 的公比为q, 则,7q q 12=++ ∴2q =或3q -=, ∵}a {n 的各项均为正数, ∴2q =. 所以n a 1n 2-=.(2) 由n a 1n 2-=得12S mm -=. 数列}b {n 是等差数列, ,1a b 11==1m m m 2a b -==,而=m T )21b ()21b ()21b ()21b (n 321-++-+-+-Λ ,2m m 222m m 22122m )b b b b (2m 1m 1m n 321---⋅==-+=-++++=Λ∵.12)4m ()12(2m S T 2m m 2m m m +⋅-=--⋅=--- ∴当3m =时, 3333S T ,1S T <∴-=- . ∴当4m ≥时, m m S T >.。
数列综合题和应用性问题教案
数列综合题和应用性问题教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的综合题型，包括数列的求和、通项公式、递推关系等。
2. 培养学生解决实际应用问题的能力，将数列知识运用到实际情境中。
3. 提高学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容：1. 数列的综合题型：求和公式、通项公式、递推关系等。
2. 数列在实际应用中的问题：例如求等差数列的前n项和、求等比数列的某项值等。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的综合题型的解法，实际应用问题的解决。
2. 教学难点：数列的递推关系的运用，实际问题中的参数设置。
四、教学方法：1. 案例分析法：通过具体的数列综合题型和实际应用问题，引导学生分析和解决问题。
2. 小组讨论法：分组讨论数列的综合题型和解题策略，促进学生之间的交流与合作。
3. 练习法：布置相关的数列综合题和应用性问题，让学生巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过引入一些数列的综合题型和实际应用问题，激发学生的兴趣，引发思考。
2. 讲解与示范：讲解数列的综合题型的解法，示范解决实际应用问题的过程。
3. 案例分析：分析具体的数列综合题型和实际应用问题，引导学生学会分析和解决问题。
4. 小组讨论：让学生分组讨论数列的综合题型和解题策略，培养学生的合作意识。
5. 练习与反馈：布置相关的数列综合题和应用性问题，让学生进行练习，并及时给予反馈和讲解。
6. 总结与反思：让学生总结数列综合题和应用性问题的解题方法，反思自己在解题过程中的不足。
7. 布置作业：布置一些数列综合题和应用性问题，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的参与程度，包括发言、讨论和练习情况。
2. 作业完成情况：检查学生完成的数列综合题和应用性问题的质量，评估学生的理解程度和应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作、交流和问题解决能力。
4. 学生自评和互评：鼓励学生进行自我评价和同伴评价，反思自己的学习过程和进步。
数列综合题和应用性问题教案
数列综合题和应用性问题教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生解决数列综合题的能力，提高逻辑思维和运算能力。
3. 培养学生将数列知识应用于实际问题的能力，提高解决问题的综合素质。
二、教学内容1. 等差数列的性质及求和公式2. 等比数列的性质及求和公式3. 数列的通项公式及其应用4. 数列的极限概念及数列极限的计算5. 数列综合题的解题策略三、教学重点与难点1. 重点：等差数列和等比数列的性质、求和公式，数列极限的计算。
2. 难点：数列综合题的解题方法，数列知识在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用案例教学法，以典型例题引导学生掌握数列知识。
2. 运用问题驱动法，激发学生思考，培养学生解决实际问题的能力。
3. 利用数列软件工具，直观展示数列的变化规律，增强学生的直观感受。
4. 组织小组讨论，引导学生相互交流，提高团队合作能力。
五、教学安排1. 第一课时：等差数列的性质及求和公式2. 第二课时：等比数列的性质及求和公式3. 第三课时：数列的通项公式及其应用4. 第四课时：数列的极限概念及数列极限的计算5. 第五课时：数列综合题的解题策略及应用教案内容依次展开，包括每个章节的具体教学目标、教学内容、教学步骤、课堂练习、课后作业等。
请根据实际教学需求进行调整和完善。
六、教学目标1. 让学生掌握数列的通项公式的推导和应用，能够利用通项公式解决实际问题。
2. 培养学生解决数列极限问题的能力，理解数列极限的概念和计算方法。
3. 培养学生运用数列知识分析和解决实际问题的能力，提高解决问题的综合素质。
七、教学内容1. 数列的通项公式的推导和应用2. 数列极限的概念和计算方法3. 数列极限在实际问题中的应用4. 数列综合题的解题策略5. 数列知识在实际问题中的应用案例分析八、教学重点与难点1. 重点：数列通项公式的推导和应用，数列极限的计算方法。
2. 难点：数列极限的理解和应用，数列综合题的解题策略。
7.5数列综合应用[复习+提高]学案
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7.5数列综合应用【知识要点回顾】一、数列综合问题中应用的数学思想1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函数；2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究；4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。
二、解决问题的主要思路有1．把综合问题分解成几个简单的问题2．把综合问题转化为熟悉的数学问题3．通过观察，探索问题的一般规律性4．建立数列模型，使用模型解决问题三、实际问题的数列模型依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。
四、注意（1）直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。
（2）求一般数列的前n 项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前n 项和的求法。
（3）数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
【课前小练】1、某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ ）A ．63B ．65C ．67D ．712、根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量n S （万件）近似的满足：），，，，1221()521(902 =--=n n n n S n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A ．5月，6月B ．6月，7月C ．7月，8月D ．8月，9月3、过圆x y x 1022=+内一点(5，3)有k 条弦,其长度组成等差数列,且最小弦长为数列{}n a 的首项1a ，最大弦长为m 末项k a ，若公差)32,31(∈d ，则k 最大值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84、已知一个运算程序如下：),,(3)1(211*N k n m k n m k n m ∈+=+⊗=⊗=⊗；，， 则20091⊗的运算结果是____________.5、某工厂2003年至2006年的产量和为100吨，2005年至2008年的产量和为121吨，则该工厂从2003年到2008年平均增长率为____________.【典例精析】题型一 函数与数列的综合问题【例1】已知，且)10(log )(≠>=a a x x f a 设))(()()(*21N n a f a f a f n ∈⋯⋯，，，是首项为4，公差为2的等差数列；①设a 是常数，求证：{}n a 成等差数列；②若)(n n n a f a b =，{}n b 的前n 项和是n S ，当2=a 时，求n S题型二 数列模型实际应用问题【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2007年底全县的绿化率已达30﹪，从2008年开始，每年将出现这样的局面：即原有沙漠面积的16﹪将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4﹪又被沙化。
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7.5数列综合应用【知识要点回顾】一、数列综合问题中应用的数学思想1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函数；2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究； 4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。
二、解决问题的主要思路有1．把综合问题分解成几个简单的问题 2．把综合问题转化为熟悉的数学问题 3．通过观察，探索问题的一般规律性 4．建立数列模型，使用模型解决问题三、实际问题的数列模型依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。
四、注意（1）直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。
（2）求一般数列的前n 项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前n 项和的求法。
（3）数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
【课前小练】 1、某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ B ）A ．63B ．65C ．67D ．71656122)1(11253611121==+=∴⋅-=-∴-===-+a n a a a a a a a n n n n n n 时，，，解：2、根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量n S （万件）近似的满足：），，，，1221()521(902 =--=n n n nS n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ）A ．5月，6月B ．6月，7月【解析】6111==S a ， 960541523)915(301)915(30122221<<<+->-+--+-=-=≥-n n n n n n n S S a n n n n 所以，所以，，由时， *∈N n ，所以n =7或8，选C3、过圆x y x 1022=+内一点(5，3)有k 条弦,其长度组成等差数列,且最小弦长为数列{}n a 的首项1a ，最大弦长为m 末项k a ，若公差)32,31(∈d ，则k 最大值为（ B ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】因为圆内过点（5，3）的最小的弦长为以（5，3）为中点的弦长为8，即1a =8，又最大的弦为直径，所以k a =10 Bk k k k d k k a a d k ，选故即所以，又所以673216321231)3231(121max 1=<<>-><-<∴∈-=--=4、已知一个运算程序如下：602620091)(3)1(211是的运算结果，则，，，，⊗∈+=+⊗=⊗=⊗*N k n m k n m k n m {}60263120092200913213)1(111=⨯-+=⊗⊗+=+⊗=⊗=）（等差数列，则的，公差是为首项是可知数列，，由已知解：令n k n k n m 5、某工厂2003年至2006年的产量和为100吨，2005年至2008年的产量和为121吨，则该工厂从2003年到2008年平均增长率为10﹪【解析】设年平均增长率为p ，则各年的年产量依次成等比数列，公比为1+p ，[][]%101.021.1)1121)1(1)1(1)1(100)1(1)1(1242141==∴=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-+=+-+-p P p p p a p p a 所以（则【典例精析】题型一 函数与数列的综合问题的等差数列。
，公差为是首项为，，，设，且：已知例24)()()()()10(log )(121*∈≠>=N n a f a f a f a a x x f n a ①设a 是常数，求证：{}n a 成等差数列；②若)(n n n a f a b =，{}n b 的前n 项和是n S ，当2=a 时，求n S 【解析】①222)1(4)(+=⨯-+=n n a f n ，{}为等比数列。
所以为定值所以，所以即n n n n n n n n a a n a aa a a a a n a )2(22log 2222122≥===+=+-+ ②)(n n n a f a b =3314325433254254322222222222)1(21)21(2162)1(222222)1(2232222)1(2423222)1()2()22(2)22(log ++-++++++++++⋅=⋅+---+=⋅+-++++⋅=-⋅++⋅++⋅+⋅=⋅+++⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅+==+==n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n S n n S n n S n S n n b a a n a a 所以两式相减得时，当【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，题型二 数列模型实际应用问题【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2007年底全县的绿化率已达30﹪，从2008年开始，每年将出现这样的局面：即原有沙漠面积的16﹪将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4﹪又被沙化。
①设全县面积为1，2007年底绿化面积为1031=a ，经过n 年绿化面积为1+n a ， 求证：254541+=+n n a a ②至少需要多少年（取整数）的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪？【解析】①证明：由已知可得n a 确定后，1+n a 表示如下： 1+n a =n a (1－4﹪)＋(1－n a )16﹪即25454%16%801+=+=+n n n a a a ②由254541+=+n n a a *-++++∈>-+≥≤---≤---≤-≤≥⋅-≥⋅-=⋅-=-≠-=--=-N n n n n n a a a a a a n n n nn nn n n 42lg 312lg 12lg )12lg 3)(1(2lg )5lg 2lg 2)(1(2lg 54lg )1(21545354215453)54(2154)54(215402154)54(5454111111所以，，）即（）（，则有若即：所以又有∴n 最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪.【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题。
⎩⎨⎧--+=-=-+-=-+=-+-=-+=∴∴=-+=+=+--++++为偶数）为奇数）所以：成等差数列。
成等差数列，（常数），n a n n a n x an n a n x x a n n x x x x x x x x x x n x x n x x n n n n n n n n n n n ((12)1(22)1(21)12()1(2,,,,,,2)1(222211224212312211 角三角形。
时，存在直或或综上：时无解。
，当时，当所以：为偶数时，当时无解；当，时，当时当所以：为奇数时，当角三角形，则要使等腰三角形为直轴于作（，1276132412721214)1214(22561,332,1)311(121)1214(2)1(221214,2)0,)0,(111===≥==+=+=≥====-=+=-=∴+=∴⊥=+-+++a a a n a n n a n a n n a n a n n a n a n C B A A n C B C x C B aA A a n A a n A nn n n n n n n n n n n n 题型三 数列中的探索性问题【例3】已知点,),,2(),,1(2211 y B y B ),,(n n y n B （*∈N n ）顺次为直线12141+=x y 上的点，点)0,(,),0,(),0,(2211n n x A x A x A 顺次在x 轴上的点，其中)10(,1<<=a a x ，对于任意正整数n ，点n n n n B A B A 构成以1,,+为顶点的等腰三角形。
①求数列{}n y 的通项公式，并证明它为等差数列； ②求证：{}n n n x x x 是常数，并求数列-+2的通项公式；③上述等腰三角形1+n n n A B A 中是否可能存在直角三角形，若可能求此时a 的值，若不可能，请说明理由。
【解析】①41,12141=-+=+n n n y y n y 为定值，所以{}n y 为等差数列。
②由题意得： ③当n 为奇数时，当n 为偶数时，【点拨】本题关键依据几何性质及题设获取题目信息，找出数列的递推关系式或变化规律，转化为比较直接的数列问题来解。
)1(2)0,1()0,1(11a A A a n A a n A n n n n -=-+-+++，12112)411(400411400400)511(800)511(800--+=+==-=-=n n n n b n b b a n a 年收入第）（第二年收入万元第一年收入年投入第，第二年投入58.2)2lg 31(22lg 12lg 312lg 2245lg 2lg 22)45(2)45(400548002211≈-+>->->-∴<⋅<⋅---n n n n n n 所以所以）（所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⨯++⨯+=----n n n n a n )54(14000)54(80054800800,51180051180011 所以总投入：）（年投入第）万元（第二年投入⎤⎡-=⨯++⨯+=++--1)5(1600)45(40045400400411400)411(40011n n n n b n 总收入：）（年收第，第二年收【易错题】从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加41。
①设第n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b ，写出n a 、n b 的表达式。
②至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 【错解】①第一年投入1a =800 ②，因为n n a b >所以 n ≥3【正解】①第一年投入800万元，同理，第一年收入400万元，②，因为n n a b >所以5113.452)54(07)45(2)54(50)45(140001451600≥><>-⋅+⋅>⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n n n n n n 即：，所以，所以化简得：）（ 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。