七年级数学下册 12_3 用提公因式法进行因式分解“三步曲”素材 (新版)青岛版
七年级数学下册 12.3 用提公因式法进行因式分解“三步曲”素材 (新版)青岛版
用提公因式法进行因式分解“三步曲”提公因式法是因式分解的基本方法.为了避免出现错误，我们常常采取“三步走”的方法，即：“一定、二提、三看”的方法进行因式分解：1、“一定”就是确定公因式，其方法是：系数取各项整数系数的最大公约数；字母取各项含有的相同字母（有时是多项式）；各字母次数取各相同字母的最低次数。
2、“二提”就是将各项的公因式提出，并同时确定各项的另一个因式，这个过程实质上是用原多项式除以公因式的过程。
3、“三看”就是提取公因式后，要对结果认真观察：括号内有同类项时要合并同类项；括号内的多项式化简后如果产生了新的公因式要继续提取；有相同的因式相乘时要写成幂的形式。
例1 把多项式y x y x y x 22236126-+因式分解分析：6、12、6的最大公约数是6，各项都有相同的字母xy ，字母x 最低次数为2，字母y 的最低次数是1，所以多项式y x y x y x 22236126-+的公因式是y x 26 解 原式=y x 26()12++y x 注意：当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时，提取公因式后该项应用1补上，不能漏掉。
例2 把多项式m mn m 182792-+-分解因式.分析：9、27、18的最大公约数是9，各项都有相同的字母m ，字母m 的最低指数是1，同时由于多项式的首项是负的，所以m mn m 182792-+-可确定提取公因式m 9-解：原式=m 9-()23+-n m注意：如果多项式按一定顺序排列后，首项为负时，一般要连同 “－”号提出，使括号内的第一项的系数为正的，但在提出“－”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号。
例3 把多项式()()()b a b b a b a +-++32分解因式分析：在确定公因式时，要充分关注“多项式”公因式，本题中()b a -可作为一个整体，作为公因式提出。
解：原式＝()()b b a b a -++32=()()b a b a 22++=()22b a + 注意：提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简，有同类项时要合并同类项；又产生了新的公因式时要再次提取，相同的多项式要写成幂的形式。
七年级数学下册123用提公因式法进行因式分解教案(新版)青岛版.docx
《提公因式法进行因式分解》教学设计教学主题12. 3提公因式法进行因式分解一、教学目标1.了解因式分解的意义以及与整式的乘法的联系与区别，提高逆向思维能力；2.了解公因式的概念，会用提公因式法进行因式分解。
3.通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想。
二、教学环境□简易多媒体教学环境交互式多媒体教学环境网络多媒体环境教学环境移动学习其他三、教学流程设计教学环节（如：导入、讲授、复习、训练、实验、研讨、探究、评价、建构）教师活动学生活动信息技术支持（资源、方法、手段等）导入通过问题：你还记得小学学习的因数分解吗？引入本节课的课题思考：15=3X542=2X3X7多媒体展示课代表解读学习目标教师用课件标注本节课的重难点按照要求在导学案中标注关键词多媒体课件探究一：因式分解的泄义课件出现以下问题：一、知识回顾：运用前两节课的知识填空：1、m(a + b + c)=；2.(a + b)(a-b)= :3.(a + b}2 = ；变变变]ma + mb + me =( )( )2.a? _ 沪=( )( )3.a2 + lab 4- /?2 = ( )24.观察以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？学纶独立思考。
多媒体课件导学案强化练习一出示以下题目：下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？为什么？(1)(x+y) (x-y) =x2-y2(2)a2-4a+4=a (a - 4) +4(3)m2n-9n=n (m+3) (m-3)(4)X2+4X+2=(X+2)-2(5)4a2b=4 • a2• b(6)卫+1 二X(X +2.回扣本节课的学习目标一1.学生回答独立思考，然后找中等偏下的学牛冋答问题多媒体课件合作探究二：公因式的概念教师通过问题引导让学生总结公因式的概念：师生共同总结公因式的概念交互式电子白板，多媒体课件1.教师用多媒体出示以下内容:强化练习二:探究三：提公因式法进行因式分解2) 3 x1令9xy3) X b 2a Z •1) a c> b cWU •公69式圧:3x4) 4xy2-6xy>8x>y学生独立思考后,答。
七年级数学下册第3章因式分解提公因式法说课稿新版湘教版20210428258
提公因式法一、教材分析：（一）教材所处的地位与作用这节课是七年级下册第三章第二节《提公因式法》第一课时。
学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。
它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。
本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用（二）目标分析：A：知识与技能目标：了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解.B：过程与方法目标：经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式;进一步了解分解因式的意义,并渗透化归的思想方法C：情感与价值观目标：培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。
二、本课内容及重点、难点分析：，本章教材介绍了最基本的分解因式的方法：提公因式法和应用公式法．每一节课的引入，立足渗透类比这种重要的思想方法．通过如类比因数分解的意义导入因式分解的意义等．另外本章的设计多以问题串的形式创设问题情境，如观察多项式x2- 25和9x2- y2，它们有什么共同特征？能否将它们分别写成两个因式的乘积？与同伴交流你的想法等，让学生经历观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程，感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系，发展学生有条理的思考及语言表达能力.本章在呈现形式上力求突出：通过因数分解与因式分解的类比，让学生体会、理解、认识因式分解的意义；设置了对比整式的乘法来探索因式分解方法的相关活动，让学生感受整式乘法与因式分解之间的这种逆向恒等变形的价值；通过设置恰当的有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次学生的学习需要.学习分解因式的作用主要是为后继学习方程与多项式的恒等变形作准备，虽然内容简单，课时也较少，但是，分解因式问题的提出，实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用，逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法，而且也是人们发现问题的重要方法（发现问题比解决一个问题更重要）.教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。
青岛版七年级下册数学第12章_知识梳理A卷
第12章知识梳理A卷知识点1平方差公式一、选择题1.平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，字母a，b表示的（）A.只能是数B.只能是单项式C.只能是多项式D.以上都可以答案：D2.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A.（a+b）（b+a）B.（-a+b）（a-b）C.（13a+b）（b-13a） D.（a2-b）（b2+a）答案：C3.下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a-4）=9a2-4；②（2a2-b）（2a2+b）=4a2-b2；③（3-x）（x+3）=x2-9；④（-x+y）（x+y）=-（x-y）（x+y）=-x2-y2.A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D4.若x2-y2=30，且x-y=-5，则x+y的值是（）A.5B.6C.-6D.-5答案：C二、填空题5.计算：（-2x+y）（-2x-y）= .答案：4x2-y26.填空：（-3x2+2y2）（）=9x4-4y4.答案：-3x2-2y27.填空：（a+b-1）（a-b+1）=（）2-（）2.答案：a b-18.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积的差是 .答案：10三、解答题9.利用平方差公式计算：2023×1913.答案：解：原式=（20+23）×（20-23）=202-（23）2=39959.10.计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a-2）.答案：解：原式=（a-2）（a+2）（a2+4）（a4+16）=（a2-4）（a2+4）（a4+16）=a8-256.知识点2完全平方公式一、选择题11.若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）A.5B.-5C.10D.-10答案：D12.计算（-a-b)2的结果为（）A.a2+b2B.a2-b2C.a2+2ab+b2D.a2-2ab+b2答案：C13.下列计算中，正确的是（）A.（a+b)2=a2+b2B.（a-b)2=a2-b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(a-b)2=a2+2ab+b2答案：C14.已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于（）A.64B.48C.32D.16答案：A15.若a2+b2=2，a+b=1，则ab的值为（）A.-1B.-12C.-32D.3答案：B 二、填空题16.计算：(x+1)2-（x+2）（x-2）= .答案：2x+517.二次三项式x2-kx+36是一个完全平方式，则k的值是 . 答案：±12三、解答题18.计算.（1）（14a-13b）2；（2）(-x2+3y2)2.答案：解：（1）原式=116a2-16ab+19b2.（2）原式=x4-6x2y2+9y4.19.已知(x+y)2=49，(x-y)2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy.答案：解：(x+y)2=x2+2xy+y2=49，①(x-y)2=x2-2xy+y2=1，②（1）①＋②，得2（x2+y2）=50，所以x2+y2=25，（2）①-②，得4xy=48，所以xy=12.20.化简求值：(3x+4y)2+（3x+4y）（4y-3x），其中x=13,y=14.答案：.解：原式=9x2+24xy+16y2+16y2-9x2=32y2+24xy.当x=13,y=14时，原式=32×（14）2+24×13×14=4.知识点3用提公因式法进行因式分解一、选择题21.下列各式由左边到右边的变形是因式分解的是（）A.a（x+y）=ax+ayB.x2-4x+4=x（x-4）+4C.10x2-5x=5x（2x-1）D.x2-16x+6x=（x+4）（x-4）+6x22.-9x2y+3xy2-6xyz各项的公因式是（）A.3yB.3xzC.-3xyD.-3x答案：C23.观察下列各组中的两个多项式：①3x+y与x+3y；②-2m-2n与-(m+n)；③2mn-4mp与-n+2p；④4x2-y2与2y+4x. 其中有公因式的是（）A.①②③④B.②③④C.③④D.①③④答案：B24.将m2(a-2)+m(2-a)因式分解，正确的是（）A.(a-2)(m2-m)B.m(a-2)(m+1)C.m(a-2)(m-1)D.m(2-a)(m-1)答案：C25.如果多项式-15abc+15ab2-a2bc的一个因式是-15ab，那么另一个因式是（）A.c-b+5acB.c+b-5acC.c-b+15ac D.c+b-15ac答案：A二、填空题26.若ab=2，a-b=-1，则代数式a2b-ab2的值等于 . 答案：-2三、解答题27.用提公因式法分解下列多项式.（1）-28m3n2+42m2n3-14m2n；（2）(2a+b)(2a-b)+b(4a+2b).答案：解：（1）原式=-14m2n(2mn-3n2+1).（2）原式=(2a+b)(2a-b)+2b(2a+b)=(2a+b)［(2a-b)+2b］知识点4用平方差公式进行因式分解一、选择题28.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（）A.x2+4y2B.x2-2y2+1C.-x2+4y2D.-x2-4y2答案：C29.将(a-1)2-1因式分解，结果正确的是（）A.a(a-1)B.a(a-2)C.(a-2)(a-1)D.(a-2)(a+1) 答案：B二、选择题30.已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2= .答案：1231.利用平方差公式计算：2 0162-2 0152= .答案：4031三、解答题32.把下列各式因式分解.（1）a2-144b2；（2）πR2-πr2.答案：解：（1）原式=(a+12b)(a-12b).（2）原式=π(R+r)(R-r).知识点5用完全平方公式进行因式分解一、选择题33.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A.x2+x+1B.x2+2x-1C.x2-1D.x2-6x+9答案：D34.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式因式分解，则m的值可以是（）A.4B.-4C.±2D.±4答案：D35.因式分解(x-1)2-2(x-1)+1的结果是（）A.(x-1)(x-2)B.x2C.(x+1)2D.(x-2)2答案：D二、填空题36.利用完全平方公式计算：992+2×99+1= .答案：10000三、解答题37.把下列各式分解因式.（1）m2-12mn+36n2；（2）4x-x2-4.答案：解：（1）原式=(m-6n)2.（2）原式=-(x-2)2.。
七年级数学下册 第12章 因式分解复习课课件
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
(4)81a4-b4
⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
⑺ x2y2+xy-12
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(8) (x+1)(x+5）+4
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今天，我们(wǒ men)复习了分解因式的那些知识？
下课了!
再见(zàijiàn)
2、分组后可以运用公式
例题：把下列各式分解因式
① 3x+x2-y2-3y
② x2-2x-4y2+1
解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)
=(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-y)(x+y+3)
解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2
=(x-1+2y)(x-1-2y)
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因 式 分 解
定义(dìngyì) 方法 步骤
练习(liànxí) 小结(xiǎojié)
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把一个多项式化成(huà chénɡ)几个整式的积的形式， 叫做多项式的因式分解。
即：一个多项式 →几个(jǐ ɡè)整式的积
注：必须分解(fēnjiě)到每个多项式因式不能 再分解为止
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（二）分解因式(yīnshì)的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、运用(yùnyòng)公式法 （3）、十字相乘法 （4）、分组分解(fēnjiě)法
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2021-2022学年最新青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专题攻克试题(无超纲)
七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列各式因式分解正确的是（ ）A ．()2211x x +=+B ．()()311x x x x x -=+-C ．()()21343x x x x ++=++D ．()22121x x x x ++=++2、分解因式2a 2（x －y ）＋2b 2（y －x ）的结果是（ ）A ．（2a 2＋2b 2） （x －y ）B ．（2a 2－2b 2） （x －y ）C ．2（a 2－b 2） （x －y ）D ．2（a －b ）（a ＋b ）（x －y ） 3、化简()()2332m n m m n +-+结果正确的是（ ）A ．226m n +B ．2212m n +C ．22612m n mn +-D ．2266m mn n ++ 4、下列由左至右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．x 2－4x ＋3＝x （x －4）＋3B ．x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x －2）＋3xC ．x 2－4＝（x ＋2）（x －2）D ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－45、把代数式x 2﹣4x +4分解因式，下列结果中正确的是（ ）A ．（x ﹣2）2B ．（x +2）2C ．x （x ﹣4）+4D ．（x ﹣2）（x +2）6、下列因式分解正确的是（ ）A ．2ab 2﹣4ab ＝2a （b 2﹣2b ）B ．a 2＋b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）C ．x 2＋2xy ﹣4y 2＝（x ﹣y ）2D ．﹣my 2＋4my ﹣4m ＝﹣m （2﹣y ）27、224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ）A ．64，63B ．61，65C ．61，67D ．63，658、下列分解因式正确的是（ ）A ．()2244x x x x -+=-+B ．()2x xy x x x y ++=+C ．()()()2x x y y x y x y ---=-D ．()()24422x x x x -+=+-9、若()3b a +（ ）229b a =-，则括号内应填的代数式是（ ）A ．3a b --B ．3a b +C ．3b a -+D ．3b a - 10、已知22()()2022a b c b a c +=+=，且a b ，则abc 的值为（ ）A ．2022B ．-2022C ．4044D ．-4044 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图1，将一个长为2a ，宽为2b 的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为1S ，小正方形面积为2S ，则12S S -的结果是________（用含a ，b 的式子表示）．2、分解因式：224abc a b +=_______．3、计算：2222202120202021202020214040-++⨯＝_____． 4、若a ，b 都是有理数，且满足a 2+b 2+5＝4a ﹣2b ，则（a +b ）2021＝_____．5、已知，实数a 满足(1)1a a +=，则2120211a a ++=+_______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、若一个正整数a 可以表示为a ＝（b ＋1）（b -2），其中b 为大于2的正整数，则称a 为“十字数”，b 为a 的“十字点”．例如28＝（6＋1）×（6-2）＝7×4．(1)“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；(2)若b 是a 的“十字点”，且a 能被（b -1）整除，其中b 为大于2的正整数，求a ．2、阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am +bm +an +bn＝（am +bm ）+（an +bn ）＝m （a +b ）+n （a +b ）＝（a +b ）（m +n ）．(1)利用分组分解法分解因式：①3m ﹣3y +am ﹣ay ；②a 2x +a 2y +b 2x +b 2y ．(2)因式分解：a 2+2ab +b 2﹣1＝ （直接写出结果）．3、先化简，再求值：()()25121x x x +-+-（），其中15x =-． 4、分解因式：2x 3﹣8x 2+8x ．5、计算：2(3)(6)x x x ----参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解）及完全平方公式依次进行判断即可得．【详解】解：A 、不能进行因式分解，错误；B 、选项正确，是因式分解；C 、选项是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D 、()22211x x x ++=+，选项因式分解错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的定义及方法，深刻理解因式分解的定义是解题关键．2、D【解析】【分析】根据提公因式法和平方差公式分解因式．【详解】解：2a 2（x －y ）＋2b 2（y －x ）=2a 2（x －y ）-2b 2（x －y ）=（2a 2－2b 2）（x －y ）=2（a 2－b 2）（x －y ）=2（a －b ）（a ＋b ）（x －y ）．故选：D ．【点睛】此题考查了分解因式，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式及十字相乘法）是解题的关键．3、A【解析】【分析】根据完全平方公式及单项式乘多项式运算法则计算即可．【详解】()()22222233296366m n m m n m mn n m mn m n +-+=++--=+故选：A【点睛】本题考查整式的乘法运算，熟记完全平方公式及单项式乘多项式运算法则时解题额关键．4、C【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A、不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、属于因式分解，故本选项符合题意；D、不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．5、A【解析】【分析】首末两项能写成两个数的平方的形式，中间项是这两个数的积的2倍，所以能用完全平方公式分解因式．【详解】解：代数式x2-4x+4=（x-2）2．故选：A．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握运算法则和完全平方公式的结构特点是解题的关键．6、D【解析】【分析】将各式计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A. 2ab 2﹣4ab ＝2ab （b ﹣2），分解不完整，故错误；B ．a 2＋b 2不能分解因式，而（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a2−b2，故错误；C ．x 2＋2xy ﹣4y 2不能分解因式，而（x −y ）2＝x 2−2xy ＋y 2，故错误；D ．﹣my 2＋4my ﹣4m ＝﹣m （2﹣y ）2，故正确．故选：D ．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7、D【解析】【分析】利用平方差因式分解即可求解．【详解】解：241212126621(21)(21)(21)(21)(21)-=+-=++-，∵66216521=63+=-，，∴224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是63，65，故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式，解题关键是熟练运用平方差公式进行计算．8、C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可，注意分解要彻底．【详解】解：A 、244x x x x ，故A 选项错误； B 、21x xy x x x y ，故B 选项错误；C 、()()()2x x y y x y x y ---=-，故C 选项正确；D 、2244(2)x x x -+=-，故D 选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．9、D【解析】【分析】9b 2-a 2 可以看作（3b ）2-a 2，利用平方差公式，可得出答案．【详解】解：∵（3b +a ）（3b -a ）=9b 2-a 2，即（3b +a ）（3b -a ）=（3b ）2-a 2，∴括号内应填的代数式是3b-a．故选：D．【点睛】本题考查平方差公式的特征，熟记平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，是解决此题的关键．10、B【解析】【分析】将a2（b+c）=b2（a+c），a≠b，变形后可得ab+ca+bc=0，进而可得结果．【详解】解：a2（b+c）=b2（a+c），a2b+a2c=b2a+b2c，a2b+a2c-（b2a+b2c）=0，a2b+a2c-b2a-b2c=0，ab（a-b）+c（a2-b2）=0，ab（a-b）+c（a+b）（a-b）=0，（a-b）（ab+ca+bc）=0，∵a≠b，∴ab+ca+bc=0，∵b2（a+c）=b（ab+bc）=b（-ac）=-abc=2022，∴abc=-2022．故选：B【点睛】本题考查了单项式乘多项式以及因式分解，解决本题的关键是掌握平方差公式以及提公因式法因式分解．二、填空题1、4ab【解析】【分析】组合后多出来的面积就是中间小正方形的面积，用大正方形减小正方形的得到原来长方形面积．【详解】∵1S 为图2大正方形的面积；2S 为小正方形面积，∴12S S -为图1长方形面积∴12S S -=2a ×2b =4ab故答案为：4ab【点睛】本题考查列代数式在求正方形面积中的应用，找到两者之差是图1长方形面积是关键．2、2ab （c ＋2a ）【解析】【分析】提公因式2ab ，进行因式分解即可．【详解】解：224abc a b +=2ab （c ＋2a ）故答案为：2ab （c ＋2a ）【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．3、14041【解析】【分析】把分子利用平方差公式分解，分母利用完全平方公式分解，约分计算即可得到结果．【详解】 解：原式＝2(20212020)(20212020)(20212020)+⨯-+ ＝120212020+ ＝14041． 故答案为：14041． 【点睛】本题考查了用因式分解进行计算，解题关键是熟练运用公式法进行因式分解．4、1【解析】【分析】首先利用完全平方公式得出a ，b 的值，进而得出答案．【详解】解：∵a 2+b 2+5＝4a ﹣2b ，∴2244210a a b b -++++= ，∴（a ﹣2）2+（b +1）2＝0，∴a ＝2，b ＝﹣1，∴（a +b ）2021＝（2﹣1）2021＝1．故答案为：1【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握()2222a ab b a b ++=+ ，()2222a ab b a b -+=-是解题的关键．5、2022【解析】【分析】由(1)1a a +=得21a a =-，对2120211a a +++化简，将2a 用1a -多次等量替换，计算求解即可． 【详解】解：∵(1)1a a +=∴21a a =-2120211a a +++ 1120211a a =-+++ ()()11120211a a a -⨯++=++2220211a a -=++ ()2120211a a --=++ 120211a a +=++ 2022=故答案为：2022．【点睛】本题考查了平方差，代数式求值．解题的关键在于2a的等量替换．三、解答题1、 (1)40，12(2)4【解析】【分析】（1）根据定义解答即可；（2）根据b是a的十字点，写出a的表达式，因为a能被（b-1）整除，所以对表达式进行变形，得到（b-1）能整除2，求出b的值，进而得到a的值．(1)十字点为7的十字数a＝（7+1）（7﹣2）＝8×5＝40，∵130＝（12+1）（12﹣2）＝13×10，∴130的十字点为12．故答案为：40，12；(2)∵b是a的十字点，∴a＝（b+1）（b﹣2）（b＞2且为正整数），∴a＝（b﹣1+2）（b﹣1﹣1）＝（b﹣1）2+（b﹣1）﹣2，∵a能被（b﹣1）整除，∴（b﹣1）能整除2，∴b﹣1＝1或b﹣1＝2，∵b＞2，∴b＝3，∴a＝（3+1）（3﹣2）＝4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，有一定的技巧性，解题的关键是看懂定义，根据题中的条件进行变形．2、(1)①（m−y）（3＋a）；②（x＋y）（a2＋b2）(2)（a＋b＋1）（a＋b−1）【解析】【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．(1)解：①原式＝（3m−3y）＋（am−ay）＝3（m−y）＋a（m−y）＝（m−y）（3＋a）；②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）＝（x＋y）（a2＋b2）；(2)a2＋2ab＋b2−1＝（a＋b）2−1＝（a ＋b ＋1）（a ＋b −1）．故答案为：（a ＋b ＋1）（a ＋b −1）．【点睛】此题主要考查了分组分解法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．3、5x 2-4，195-【解析】【分析】利用多项式乘多项式以及乘法公式对原式进行化简，再代入x 的值求原式的值．【详解】解：()()25121x x x +-+-（） =x 2+5x -x -5+4x 2-4x +1=5x 2-4， 当15x =-时，原式=5×2119455⎛⎫--=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握乘法公式的运用．4、2x （x ﹣2）2【解析】【分析】先提取公因式2x ，在根据完全平方公式进行分解即可求得答案．【详解】原式22(44)x x x =-+22(2)x x =-，故答案为：22(2)x x -．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，注意分解因式的步骤，注意分解要彻底．5、9【解析】【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再根据去括号法则去括号，最后合并同类项，即可求得【详解】解：2(3)(6)x x x ---2269(6)x x x x =-+--22696x x x x =-+-+9=【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，注意去括号时符号的变化。
因式分解步骤三步
因式分解步骤三步要因式分解一个多项式，可以按照以下三个步骤进行：步骤一：找出公因式（如果存在）步骤二：使用分解方法（如公式法、配方法或因式定理等）步骤三：继续分解直到无法再分解为止现在让我们更详细地解释一下这三个步骤。
步骤一：找出公因式首先，我们需要检查多项式中是否存在公因式。
公因式是指可以被多项式中的每一项整除的单项式。
例如，在多项式2x^3+4x^2+6x中，公因式为2x，因为它可以整除每一项。
找到公因式后，我们可以将其从多项式中提取出来，并将剩余的部分写成括号中的差，例如：2x^3+4x^2+6x=2x(x^2+2x+3)。
步骤二：使用分解方法如果多项式中不存在公因式，我们需要使用特定的分解方法来分解它。
以下是一些常见的分解方法：公式法：当我们遇到二次多项式时，可以使用一些已知的二次公式进行分解。
例如，在多项式x^2 + 5x + 6中，我们可以使用二次公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)来将其分解为(x + 2)(x + 3)。
配方法：如果多项式不是二次多项式，我们可以使用配方法来进行分解。
配方法是一种通过将多项式后面的项拆分为两个因子的乘积，然后进行分组以重新组合项的方法。
例如，在多项式2x^3+3x^2-2x-3中，我们可以通过分解(a+b)(c+d)为了配方法，将其分解为(x^2-1)(2x+3)。
因式定理：如果我们知道多项式的一个因子，我们可以使用因式定理进行分解。
因式定理告诉我们，如果一个多项式可以整除另一个多项式，那么它们的余数为零。
所以，我们可以使用因式定理来检查一些值是不是多项式的因子，如果是，我们可以将多项式除以这个值，然后再继续分解。
例如，如果我们知道(x+1)是多项式x^3+8的一个因子，我们可以使用因式定理得到(x+1)(x^2-x+1)。
步骤三：继续分解直到无法再分解为止在进行上述分解方法之后，我们最终会得到一个无法再分解的多项式，这个多项式没有进一步的公因式，也无法再使用公式法、配方法或因式定理进行分解。
用提公因式法进行因式分解课件青岛版数学七年级下册
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12.3 用提公因式法进行因式分解
12.3 用提公因式法进行因式分解
观察与思考
由单项式与多项式的乘法法则，可以得到 m(a＋b＋c) ＝__m_a_＋__m__b_＋__m_c__.
反过来，你能把多项式 ma＋mb＋mc 写成两个整式乘 积的形式吗?
12.3 用提公因式法进行因式分解 多项式 ma＋mb＋mc 的各项都含有相同的因式m，我 们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.
习题 12.3
习题 12.3
探索与创新
7. 计算：
(其中n为正整数 )
习题 12.3 8. 任意写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数， 把它们的十位数字与个位数字对调，得到另一个两位数. 用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被 9整除吗?为什么?
习题 12.3
12.3 用提公因式法进行因式分解
习题 12.3 3. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.3
习题 12.3
拓展与延伸
4. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.3
习题 12.3 5. 计算：
习题 12.3
习题 12.3 6.如图，公园计划修建喷水池，图 ①和图②是两种设计方案方案①是两 个面积相等的大圆形水池，方案②是 一个大的圆形水池内又有三个圆形小 水池，如果两种方案中大圆的直径相 等，这两种方案需用的喷水池外围的 砌墙用料一样多吗?为什么?
用提公因式法进行因式分解，关键在于找出多 项式各项的公因式，并把各项的公因式一次提出.
12.3 用提公因式法进行因式分解
12.3 用提公因式法进行因式分解 例2
把下列各式进行因式分解：
公因式也可以是多项式.
七年级下册因式分解公式
七年级下册因式分解公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册因式分解公式因式分解是数学中的一个基础概念，也是代数中的重要内容之一。
在七年级下册的学习中，因式分解也成为了我们学习的一部分。
因式分解是指把一个多项式按照其因式进行乘法分解，从而简化表达式，使计算更加方便。
掌握因式分解的方法和技巧，对于解题起到事半功倍的效果。
在本文中，我们将主要讨论七年级下册中常见的因式分解公式。
一、提取公因式把4a+8b的因式分解公式中，4a和8b都能被4整除，所以提取出4，得到4(a+2b)。
二、因式分解的基本原理在因式分解中，我们经常会用到几个基本的公式，这些公式是因式分解的基石。
下面是七年级下册常见的因式分解公式：1. 二次三项式的因式分解公式：二次三项式就是指有三项的二次多项式，常见的形式是ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是系数。
当二次三项式的系数a不为1时，通常我们采用求解二次方程的方法来因式分解，公式为(mx + n)(px + q)。
把4x^2 + 12x + 8的公式因式分解为(2x + 2)(2x + 4)。
完全平方式是指一个多项式可以写成两个平方式之和的形式，常见的形式是a^2 + 2ab + b^2，其中a、b为变量。
3. 因式分解的常见技巧：除了以上基本原理，我们在因式分解中还需要掌握一些常见的技巧，以便更快、更准确地进行计算。
（1）合并同类项：在因式分解中，我们经常需要合并同类项，即把相同变量的项合并在一起。
把2x + 3x的合并同类项为5x。
（2）利用减法求和差：有时候，我们可以通过利用减法求差来进行因式分解。
把x^2 - 9的因式分解为(x+3)(x-3)。
在七年级下册的学习中，因式分解是一个非常重要的内容，不仅仅是代数中的一部分，也是思维训练的一部分。
掌握因式分解的方法和技巧，不仅可以解决各种数学问题，还可以提升我们的数学思维能力。
希望通过本文的介绍，大家能更好地掌握七年级下册因式分解的相关知识，取得更好的学习成绩。
第12章乘法公式与因式分解一因式分解复习课件青岛版七年级数学下册
作业
课本126页 第4题
达标检测
a2(a2 16) 2a2(a 4)(a 4)
（2） 2m2n 4mn 2n
2n(m2 2m 1) 2n(m 1)2
（3）（a 1)2 (a 1)2
[(a 1) (a 1)][( a 1) (a 1)] 2a 2 4a
公因式可以是 单项式，也可 以是多项式.
练习2： 指出下列多项式中的公因式：
系数
(1)4a2b2 6ab3
字母因式 多项式因式
(2) 49a2 21ab2 7a
(3)7(x y)2 14(x y)
(4)4a(a b) 2b(b a)
2.把下列多项式进行因式分解：
（1） 4x2 y 8x 16 xy2 （2）18a2b2 9ab3 3ab
（1）49 x2 36 y2
（7x)2 (6 y)2 （7x 6y)(7x 6y)
（2）9m2 6mn n2
(3m)2 23m n n2 (3m n)2
（3）25a2 (b c)2 （4）9 （ 6 x y) (x y)2
（5a)2 (b c)2
32 23（ x y) (x y)2
整式的乘法
(a b)(a b)
因式分解
a2 b2
因式分解与整式的乘法是
.
练习1： 下列各式从左到右的变形是因式分解吗
1（. m n)(m n) m2 n2 2.a24a 4 a(a 4) 4 3.m2n 8n n(m 8) 4.x2 25 (x 5)(x 5)
知识点2： 提公因式法 ma mb mc m(a b c)
第12章 乘法公式与因式分解
——因式分解
复习目标：
1.理解因式分解的概念，因式分解与整式乘法的关系； 2.能用提公因式法、公式法进行因式分解； 3.理解因式分解的一般步骤.
七年级数学下册 12.3 用提公因式法进行因式分解的几种策略素材 (新版)青岛版
用提公因式法进行因式分解的几种策略提公因式法是分解因式首先要考虑的方法，运用提公因式法的关键是准确找出多项式各项的公因式．下面结合实例介绍几种常见的运用提公因式法分解因式的策略．一、提系数例1 分解因式：2)(8n m +－)(24n m m +＋218m解 原式＝2［2)(4n m +－)(12n m m +＋29m ］＝2｛2)](2[n m +－)(12n m m +＋2)3(m ｝＝22]3)(2[m n m -+＝22)2(m n -．点评：当系数是整数系数时，要提出多项式各项系数的最大公约数． 例2 分解因式：2712x －312y 解 原式＝31（912x －2y ）＝31（31x －y ）（31x ＋y ）． 或原式＝271（2x －92y ）＝271（x －3y ）（x ＋3y ）． 点评：当系数是分数系数时，所提取的系数是可以不相同的，如例2中可以提31也可以提271，只要提取系数后，下一步能继续分解即可． 二、提单项式例3 分解因式：－23a b ＋82a 2b －8a 3b解 原式＝－2ab （2a －4ab ＋42b ）＝－2ab 2)2(b a -．三、提多项式例4 分解因式：（x －3y ）（a ＋b ）＋（3x －2y ）（a ＋b ）解 原式＝（a ＋b ）［（x －3y ）＋（3x －2y ）］＝（a ＋b ）（4x －5y ）．四、先变符号，再提公因式例5 分解因式：92x （a －2b ）＋4（2b －a ）解 原式＝92x （a －2b ）－4（a －2b ）＝（a －2b ）（92x －4）2 ＝（a －2b ）（3x ＋2）（3x －2）．点评：变符号时经常用到以下恒等式：（1）a －b ＝－（b －a ）；（2）2)(b a -＝2)(a b - ；（3）3)(b a -＝－3)(a b - 五、连续提公因式例6 分解因式：m （5a x ＋a y －1）－m （3a x －a y －1）解 原式＝m ［（5a x ＋a y －1）－（3a x －a y －1）］＝m （2a x ＋2a y ）＝2a m （x ＋y ）点评：分解因式一定要分解到每一个因式都不能分解为止。
青岛版数学七下12.3《用提公因式法进行因式分解》ppt课件1
探究与思考：
1、求下列整式乘法的积： ①、m(a+b+c)m=a+mb ②、5y2(y+4)5=+ym3+c20y2
2、相信你能很快说出下面的结果：
①、
m(a+b+c)
ห้องสมุดไป่ตู้
ma+mb+mc 5y2(y+4)
因=②式、分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
5y3+以20上y因2=式分解的方法叫做提公因式法。
24.无论明日，有多落魄，至少今天，没有蹉跎。 8.怀古而观今，三思而后行人的思想有多深，人就会走多远! 40.没有做不成的事情，只有做不成事情的人。 58.金钱难买健康，健康大于金钱，金钱难买幸福，幸福必有健康，生命的幸福不在名利在健康，身体的强壮不在金钱在运动！ 70.只有经历地狱般的磨练，才能炼出创造天堂的力量。 6.每一天都是一个新的开始，深呼吸，从头再来！ 2.希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 76.不管失败多少次，都要面对生活，充满希望。 99.如果你觉得现在走的辛苦，那就证明你在走上坡路！ 47.生活不是用来度过的，而是用来突破的。 59.人生在世，应该在芬芳别人的同时美丽自己。 56.逆境里正确认识自我；逆境完善自我；逆境成熟自我；没有哪种教育能及得上逆境。 38.这个世界并不是公平的要学着去习惯它。 86.生命很残酷，用悲伤让你了解什么叫幸福，用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。 75.能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。——雨果 98.当今之世，舍我其谁！ 95.我们仅仅只是这个庞大时代的小小碎片，无论有多么起伏的剧情在身上上演。我们彼此聚拢旋转切割重合然后组成一个光芒四射的巨大玻璃球。
青岛版七下数学第12章因式分解教学设计教学设计
青岛版七下数学第12章因式分解教学设计教学设计一. 教材分析《青岛版七下数学第12章因式分解教学设计》是根据我国新课程标准编写的一本教材。
本章主要内容包括：因式分解的概念、提公因式法、公式法、十字相乘法等。
通过本章的学习，使学生掌握因式分解的方法和技巧，提高他们的数学解题能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已掌握了有理数、整式的乘法等基础知识，但对于因式分解的概念和方法还不够了解。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，循序渐进地引导学生学习，使他们能够理解和掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的概念和方法，能够运用提公因式法、公式法、十字相乘法等进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：提公因式法、公式法、十字相乘法的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考、讨论，培养学生的思维能力。
3.实践教学法：让学生通过动手操作、动脑思考，加深对因式分解方法的理解。
4.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解的方法和例子。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入因式分解的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（10分钟）展示因式分解的方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），并通过例题讲解各个方法的应用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的问题。
湘教版数学七年级下册_《提公因式法分解因式》知识全解
《提公因式法分解因式》知识全解课标要求：了解因式分解的定义，掌握提公因式法分解因式的方法．知识结构：1．因式分解的定义，提公因式法的定义．2．用提公因式法分解因式．3．运用它解决一些实际问题．内容解析：《提公因式法》是因式分解中最基本的，也是最重要和常用的方法．是学生在学习了整式运算和因式分解的意义之后，进一步学习因式分解三种基本方法之一的内容，是数学中一种重要恒等变形．它不仅是整式运算的延伸和拓展，同时也是下一章学习分式的运算、解分式方程等内容的基础，具有承上启下的作用．因此，学习并掌握好本节课的内容，对培养和训练学生的双向思维，特别是顺向思维方式有着极其重要的意义．重点难点：本节的重点是：因式分解的概念及提公因式分解因式的方法．教学重点的解决方法：关键是理解因式分解的概念，是由和差的形式化为积的形式，当各项都有公因式的时候，就可以用提公因式分解的方法，所以要发现公因式．本节内容的难点是：正确找出多项式各项的公因式．有些多项式的公因式是数字，有些是单项式，有些是多项式，有些需要改变符号才有公因式．教学难点的解决方法：分两步走，先解决单项式与多项式的，再解决需要改变符号才有公因式的因式分解．教法导引：根据本节课内容，遵循学生认知规律和心理特点，为了突出重点，突破难点，培养学生的创新能力，采用演示、讨论、观察、比较、概括等多种方法交叉教学，利用多媒体辅助教学，呈现知识的形成过程，充分调动多种感官参与教学，激发学生学习的兴趣，使数学教学成为学生“探索、发现、再发现、创造”的过程．例如，把8a3b2—12ab3c+ab分解因式时，有如下两种解法：解法一：8a3b2—12ab3c+ab=ab·8a2b—ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b—12b2c+1)解法二：8a3b2—12ab3c+ab= ab·8a2b—ab·12b2c+ab=ab(8a2b—12b2c)错误引导学生利用恒等变形方法，分析错误的原因，并提醒学生注意观察：提公因式后的因式的项数与原多项式的项数的关系，确定检查是否漏项的方法．注重让学生主动参与探索，给学生留有思考和操作的余地．例如，把2a(y-z)-3b(z-y)分解因式．就让学生自己讨论，需要通过变形才能找到公因式．本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学．拓展学生探索的空间．学法建议：教学的矛盾主要是解决学生的学，“学”是中心，“会”是目的．因此，在教学过程中，我通过创设问题的情境，以激发学生“乐学”；例如：630能被哪些数整除？启发诱导，以指导学生“会学”；例如：ma+mb+mc=m(a+b+c)．变式训练，以引导学生“活学”；例如：把8a³b²+ 12ab³c分解因式．解:8a³b²+12ab³c=4ab²•2a²+4ab²•3bc=4ab²(2a²+3bc)．引导学生反思自己的分析过程，以指导学生“善学”．例如：把2a(b+c) -3(b+c)分解因式．解:2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a-3)．使学生通过观察、比较、分析、概括等一系列思维训练，不断提高学习数学的探究意识和创新能力．。
《提公因式法》 知识清单
《提公因式法》知识清单一、什么是提公因式法提公因式法是因式分解的一种基本方法。
如果一个多项式的各项有公因式，那么可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。
例如，对于多项式 6x ＋ 9，其中 3 是公因式，可以将其提取出来，得到 3(2x ＋ 3)。
二、提公因式法的关键1、确定公因式公因式的确定是提公因式法的核心步骤。
公因式是多项式各项中都含有的因式。
（1）系数：取各项系数的最大公约数。
例如，对于 12x ＋ 18，系数 12 和 18 的最大公约数是 6。
（2）字母：取各项相同的字母。
如 5x²y ＋ 10xy²中，相同的字母是 x 和 y。
（3）指数：取相同字母的最低次幂。
比如在 8x³y² 12x²y³中，x 的最低次幂是 2，y 的最低次幂是 2，所以公因式是 4x²y²。
2、提出公因式确定公因式后，将公因式提取出来，用原多项式除以公因式，得到另一个因式。
三、提公因式法的步骤1、分解因式首先对多项式的每一项进行仔细观察和分析，确定各项是否存在公因式。
2、提取公因式将确定的公因式提取出来，写在括号外面。
3、化简剩余项用原多项式的每一项除以公因式，将所得的商写在括号内，与公因式相乘。
例如，对于多项式 4x²＋ 8x，先确定公因式为 4x，然后提取出来得到 4x(x ＋ 2)。
四、提公因式法的应用1、简化计算在代数式的运算中，通过提公因式可以简化计算过程。
比如计算：24a ＋ 36ab，提取公因式 12a 得到 12a(2 ＋ 3b)，这样计算更简便。
2、解方程在方程求解中，有时通过提公因式可以使方程更容易求解。
例如方程：6x² 9x ＝ 0，提取公因式 3x 得到 3x(2x 3) ＝ 0，从而解得 x ＝ 0 或 x ＝ 3/2 。
3、证明等式通过提公因式可以对等式进行变形和证明。
七年级数学下册 12.4 用公式法进行因式分解 因式分解素材 (新版)青岛版
因式分解中考风向标一、 直接提公因式提公因式法是分解因式时的首选方法.对于一个多项式，首先要看能否提公因式，其次才考虑其他方法.例1分解因式：222a ab -= ．析解：第一步找出公因式2a ，第二步用多项式2a 2-2ab 除以公因式2a 得另一个因式（a-b ），所以答案为2()a a b -.例2下列分解因式正确的是（ ）A.)1(222--=--y x x x xy xB. )32(322---=-+-x xy y y xy xyC. 2)()()(y x y x y y x x -=---D. 3)1(32--=--x x x x析解：此题A 选项中的多项式2x 2-xy-x 的公因式是x 而不是2x, B 选项提出公因式-y 后应为-y （xy-2x+3），D 选项从左到右的变形不是因式分解，故A 、B 、D 都错误，对于C 选项中的多项式x （x-y ）-y （x-y ），可提出公因式（x-y ）进行分解.原式=（x-y ）（x-y ）=（x-y ）2.所以应选C.说明：用提公因式法分解因式要先确定多项式各项的公因式，然后再提取公因式.当多项式的第一项符号为负时，连同负号和公因式一起提出来，使括号内的第一项变为正.如果多项式的某一项恰好是公因式，提取公因式后，该项变为1，而不是0，不要丢项.二、 直接运用公式当一个多项式没有公因式时，就应考虑运用公式法分解因式，然后再考虑其他方法. 例3分解因式：24x -= ．析解：本例是两个平方数之差，所以应用平方差公式.24x -=x 2-22=（x+2）(x-2). 故应填（x+2）(x-2).例4因式分解：122+-x x = .析解：此题是关于三项式的因式分解，要考虑用完全平方公式.x 2-2x+1= x 2-2×1×x +12=（x-1）2，故应（x-1）2.说明：在运用公式法分解因式时要注意两个公式的特征，另外公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式.三、 先提公因式，再分解很多多项式的因式分解仅用一种方法无法完成，需要先提公因式，再运用公式法分解. 例5分解因式：34x x - = ．析解：多项式的各项都含有一个相同的字母x ，提出公因式x 以后的另一因式为（x 2-4），可以用平方差公式继续分解.34x x - =x （x 2-4）=(2)(2)x x x +-. 故答案为(2)(2)x x x +-.例6把多项式2mx 2－4mxy ＋2my 2分解因式的结果是 ．析解：多项式的各项都含有相同的因式2m ，提出公因式2m 以后的另一因式为（x 2-2xy+ y 2），可以用完全平方公式继续分解.2mx 2－4mxy ＋2my 2=2m （x 2-2xy+ y 2）=2m (x-y)2. 故答案为2m (x-y)2.说明：因式分解的结果要求分解到每个多项式因式都不能再分解为止.四、先计算，再分解有的题目需要先进行计算，再根据计算结果中多项式的特点选择适当方法进行分解. 例7分解因式：ab b a 8)2(2+- =____________．析解：不难发现，此题化简后是一个三项式，可以用完全平方公式分解.ab b a 8)2(2+-=4a 2+4ab 2+b 2=(2a)2+ 2×2ab+b 2=2)2(b a +.故应填2)2(b a +. 例8给出三个多项式X =2a 2＋3ab ＋b 2，Y =3a 2＋3ab ，Z = a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．析解：这是一道答案不唯一的开放性试题，以下给出三种选择方案，其他方案从略. 解答一：Y + Z =(3a 2+3ab)+ (a 2+ab)=4a 2+4ab=4a(a+b)．解答二： X- Z = (2a 2＋3ab ＋b 2)-(a 2+ab)=a 2+2ab+b 2=(a+b)2．解答三：Y- X=(3a 2+3ab)- (2a 2＋3ab ＋b 2)=a 2- b2 =(a+b)(a-b)．说明：以上两例是对整式运算与因式分解的综合考查，先准确地进行整式运算，再根据结果中多项式的结构特征确定分解方法是解决此类问题的关键。
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用提公因式法进行因式分解“三步曲”
提公因式法是因式分解的基本方法.为了避免出现错误，我们常常采取“三步走”的方法，即：“一定、二提、三看”的方法进行因式分解：
1、“一定”就是确定公因式，其方法是：系数取各项整数系数的最大公约数；字母取各项含有的相同字母（有时是多项式）；各字母次数取各相同字母的最低次数。
2、“二提”就是将各项的公因式提出，并同时确定各项的另一个因式，这个过程实质上是用原多项式除以公因式的过程。
3、“三看”就是提取公因式后，要对结果认真观察：括号内有同类项时要合并同类项；括号内的多项式化简后如果产生了新的公因式要继续提取；有相同的因式相乘时要写成幂的形式。
例1 把多项式y x y x y x 22236126-+因式分解
分析：6、12、6的最大公约数是6，各项都有相同的字母xy ，字母x 最低次数为2，字母y 的最低次数是1，所以多项式y x y x y x 22236126-+的公因式是y x 26 解 原式=y x 26()12++y x
注意：当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时，提取公因式后该项应用1补上，不能漏掉。
例2 把多项式m mn m 182792
-+-分解因式.
分析：9、27、18的最大公约数是9，各项都有相同的字母m ，字母m 的最低指数是1，同时由于多项式的首项是负的，所以m mn m 182792-+-可确定提取公因式m 9- 解：原式=m 9-()23+-n m
注意：如果多项式按一定顺序排列后，首项为负时，一般要连同 “－”号提出，使括号内的第一项的系数为正的，但在提出“－”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号。
例3 把多项式()()()b a b b a b a +-++32分解因式
分析：在确定公因式时，要充分关注“多项式”公因式，本题中()b a -可作为一个整体，作为公因式提出。
解：原式＝()()b b a b a -++32
=()()b a b a 22++
=()2
2b a + 注意：提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简，有同类项时要合并同类项；又产生了新的公因式时要再次提取，相同的多项式要写成幂的形式。
例4 把多项式()()x y a y x a -+-1052分解因式.
分析：由于多项式()y x -与()x y -是互为相反数，所以多项式()()x y a y x a -+-1052的公因式可确定为()y x a -5
解：原式=()()y x a y x a ---1052
=()()25--a y x a
注意：如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换，如()()x y y x --=-、()()22x y y x -=-等。