电路13

1、有效值 对任何一个周期 周期电流 对任何一个周期电流 i 的有效值 I 定义为
1 I= )dt
均方根
设非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数
i(t) = I0 + ∑Ikm cos(kω1t +ψk )
k=1
∞
代入有效值公式， 将 i 代入有效值公式，则得此电流有效值为
1 I= T
谐波分析法的步骤图示：（分析用相量法，叠加在时域内） 谐波分析法的步骤图示：（分析用相量法，叠加在时域内） ：（分析用相量法 时域内 +
us (t )
U0 _
u(1)+ _
u( k )+ _
+
_
R L C
R L C
R
+ _ U0
R
R
L短 C开
+
+ & _U (1)
jω 1 L
+ L+
+ & _U (k )
i(t) = I0 + ∑Ikm cos(kω1t +ψk )
k=1
∞
磁电系仪表 直流仪表) (直流仪表)
恒定分量
1 α ∝ T 1 α∝ T
1 α ∝ T
∫ ∫
∫
T
0
idt
电磁系仪表
有效值
T
0
i 2 dt
全波整流仪表
平均值
T
0
| i | dt
磁电系仪表又称动圈式仪表，它是由固定的磁路系统和 磁电系仪表又称动圈式仪表，它是由固定的磁路系统和可动部 又称动圈式仪表 固定的磁路系统 组成，它是根据 根据通电线圈在磁场中受电磁力的作用而偏转的原理 分组成，它是根据通电线圈在磁场中受电磁力的作用而偏转的原理 制成的。 被测电流从轴的一侧螺旋弹簧（又称游丝）流入， 制成的。当被测电流从轴的一侧螺旋弹簧（又称游丝）流入，经线 圈再从轴的另一侧螺旋弹簧流出，形成一个电流通路时， 圈再从轴的另一侧螺旋弹簧流出，形成一个电流通路时，载流导体 在磁场中受到电磁力的作用，带动仪表的指针转动， 在磁场中受到电磁力的作用，带动仪表的指针转动，在螺旋弹簧的 反力下达到力的平衡。线圈中流过的电流越大，指针的偏转角α越 反力下达到力的平衡。线圈中流过的电流越大，指针的偏转角 越 从而指示出被测量的大小，这种仪表只能测量直流量。 大，从而指示出被测量的大小，这种仪表只能测量直流量。 电磁系仪表和磁电仪表一样，也是根据电磁相互作用的原理制 电磁系仪表和磁电仪表一样，也是根据电磁相互作用的原理制 和磁电仪表一样 根据 但它的磁场是由被测电流产生的。 被测电流通过线圈时， 成，但它的磁场是由被测电流产生的。当被测电流通过线圈时，在 线圈的周围产生磁场，该磁场使偏心铁片磁化； 线圈的周围产生磁场，该磁场使偏心铁片磁化；铁片在线圈磁场中 产生转矩带动轴上的指针转动。此转矩与弹簧产生反作用， 受，产生转矩带动轴上的指针转动。此转矩与弹簧产生反作用，力 矩平衡使指针确定在某一位置，提示出被测的电气量。 矩平衡使指针确定在某一位置，提示出被测的电气量。当线圈的电 流方向改变时， 流方向改变时，线圈所产生磁场的极性和被磁化的铁片的极性同时 因而两者作用力的方向不变，即指针偏转的方向也不变。 改，因而两者作用力的方向不变，即指针偏转的方向也不变。 因此，这种电磁系仪表可用于交直流电路中。 因此，这种电磁系仪表可用于交直流电路中。
∞
∞
+ ∑ U km cos(kω1t + ψ uk )∑ I qm cos(qω1t + ψ iq )
k =1 q =1
∞
∞
该一端口吸收的平均功率 平均功率定义为 该一端口吸收的平均功率定义为 P = 1 T 经分析可知
∫
T
0
p( t )dt
1 P = U0 I0 + ∑ k =1 T
∞
∫
T
0
[U km cos( kω 1 t + ψ uk ) I km cos( kω 1t + ψ ik )]dt
p = ui = [U 0 + ∑ U km cos(kω1t +ψ uk )][ I 0 + ∑ I qm cos(qω1t +ψ iq )]
k =1
∞
∞
∞
q =1
= U 0 I 0 + U 0 ∑ I qm cos( qω1t + ψ iq ) + I 0 ∑ U km cos( kω1t + ψ uk )
4、非正弦周期电流电路的平均功率
若 u( t ) = U 0 + ∑ U km cos( kω 1 t + ψ k )
k =1
∞
∞
+
i N
u
_
i ( t ) = I 0 + ∑ I qm cos( q ω 1 t + ψ iq )
q =1
则任意一端口吸收的瞬时功率为 则任意一端口吸收的瞬时功率为 吸收的瞬时功率
结论： 结论： 非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量构成的功率 平均功率等于 非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量构成的功率 各次谐波平均功率的代数和 的代数和。 和各次谐波平均功率的代数和。 注意： 注意： 1)不同频率的正弦电压、电流不引起功率消耗。 1)不同频率的正弦电压、电流不引起功率消耗。 不同频率的正弦电压 不引起功率消耗 2)对一个电路来说，不同频率的功率满足可加性。 2)对一个电路来说，不同频率的功率满足可加性。 对一个电路来说 同频率或直流电源所产生的功率不满足可加性。 ( 同频率或直流电源所产生的功率不满足可加性。) 5、其他问题 非正弦周期电流电路无功功率的情况较为复杂，不予讨论。 无功功率的情况较为复杂 1) 非正弦周期电流电路无功功率的情况较为复杂，不予讨论。 非正弦周期电流电路视在功率 视在功率的定义 2) 非正弦周期电流电路视在功率的定义
= 5 + 4 2 cos(ω t + 30o ) + 3 cos( 3ω t + 60o ) + 3 cos( 3ω t + 45o ) A
对三次谐波， 对三次谐波，有
& I 3−1m = 3∠60o
& I 3− 2 m = 3∠45o
⇒
& & I 3−1m + I 3− 2 m = 3∠60o + 3∠45o = 5.95∠52.5o
S = UI
例13.1
i1
i2
已知： 已知： i1 = 3 cos(3ω t + 60o ) A
i2 = 5 + 4 2 cos(ω t + 30o ) A
i
i3
N
A
i3 = 3 cos(3ω t + 45o ) A
求：电磁系电流表的读数。 电磁系电流表的读数。
解：i = i1 + i2 + i3
q =1 k =1
∞
+∑ km cos(kωt +ψuk )∑ qm cos(q 1t +ψiq) U I ω 1
k= 1 q= 1
∞
∞
p = U 0 I 0 + U 0 ∑ I qm cos(qω1t + ψ iq )] + I 0 ∑ U km cos(kω1t + ψ uk )
q =1 k =1
1 T ∫0 2 I 0 cos( k ω 1t + ψ k ) dt = 0 T 1 T ∫0 2 I km cos(kω1t +ψ k ) I qm cos(qω1t +ψ q )dt = 0 (k ≠ q) T
2 2 2 2 2 I = I 0 + I 12 + I 2 + I 3 + L = I 0 + ∑ I k 则 i 的有效值为 k =1 ∞
三角函数的正交性 三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[−π,π] 上的积分等于零。 上的积分等于零。
∫ πcos nxdx = 0 π ∫ πsin nxdx = 0
− −
π
( n = 1,2,3, L) ( n = 1,2,3, L) ( k , n = 1,2,3, L) ( k , n = 1,2,3, L , k ≠ n) ( k , n = 1,2,3, L , k ≠ n)
jkω 1 L 1 jkω 1C
+L
1 jω 1C
例13.2 已知 u( t ) = 10 + 141.4 cos(ω 1t ) + 70.7 cos( 3ω 1t + 30o )V
i0
X L ( 1 ) = ω 1 L = 2Ω
4Im T /4 = [sin(ωt )]0 = 0.637 I m = 0.898 I ωT
它相当于正弦电流经过全波整流后的平均值，这是因为 相当于正弦电流经过全波整流后的平均值， 取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。 取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
3、测量仪表的使用 对非正弦周期电流电路的测量，使用不同的测量仪表 非正弦周期电流电路的测量，使用不同的测量仪表 电流电路的测量 将得出不同的结果。 将得出不同的结果。
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos(kω1t + ψ k )]2 dt
k =1
∞
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos(kω1t +ψ k )]2 dt
k =1
∞
上式中的平方项展开后将含有下列各项： 上式中的平方项展开后将含有下列各项： 平方项展开后将含有下列各项