电路第13章
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第十三章 电路初探 知识点归纳
第十三章电路初探知识归纳电荷1．自然界中只有两种电荷．丝绸摩擦过的玻璃棒上带的电荷叫做正电荷，毛皮摩擦过的橡胶棒上带的电荷叫做负电荷．2．电荷间相互作用规律：同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。
3．摩擦起电的原因：是电子在物体间发生了转移。
得到电子的物体显示带负电，失去电子的物体显示带等量的正电。
4.验电器是用来检验物体是否带电的仪器。
根据同种电荷相互排斥原理制成。
电路1. 电源：能提供持续电流（或电压）的装置。
2. 电源是把其他形式的能转化为电能。
如干电池是把化学能转化为电能。
发电机则由机械能转化为电能。
3. 有持续电流的条件：1.有电源2.电路闭合。
4. 导体：容易导电的物体叫导体。
如：金属，人体，大地，酸、碱、盐的水溶液等。
5. 绝缘体：不容易导电的物体叫绝缘体。
如：橡胶，玻璃，陶瓷，塑料，油，纯水等。
6. 电路组成：由电源、导线、开关和用电器组成。
7. 电路有三种状态：(1)通路：接通的电路叫通路；(2)断路：断开的电路叫开路；(3)短路：直接把导线接在电源两极上的电路叫短路。
8. 电路图：用符号表示电路连接的图叫电路图。
9. 串联：把电路元件逐个顺次连接起来的电路，叫串联。
（电路中任意一处断开，电路中都没有电流通过）10. 并联：把电路元件并列地连接起来的电路，叫并联。
（并联电路中各个支路是互不影响的）电流1．电流的大小用电流强度(简称电流I)表示。
①、电流的单位：安培（A），毫安（mA），微安（uA）②、换算关系：1A=1000 mA，1 mA=1000 uA3．测量电流的仪表是：电流表，它的使用规则是：①使用电流表前首先要校零，即使指针对准表头刻度盘的零刻度线，同时弄清电流表的量程和分度值。
电流表要与被测用电器串联。
②电流要从电流表的“+”接线柱流入“－”接线柱流出。
③被测电流不能超过电流表的量程④绝对不允许不经过用电器就直接把电流表接到电源的两极上4．实验室中常用的电流表有两个量程：①0～0.6安，每小格表示的电流值是0.02安；②0～3安，每小格表示的电流值是0.1安。
电路(第五版)邱关源原著电路教案第13章拉普拉斯变换
第13章 拉普拉斯变换● 本章重点1、 掌握几个常见函数的拉氏变换。
2、 掌握部分分式展开法；3、运算法求解暂态过程。
● 本章难点 1、作运算电路● 教学方法本章讲述了线性动态电路的频域分析法，即拉普拉斯变换法（又称运算法）。
对KCL 和KVL 运算形式及元件VCR 运算形式、运算阻抗和导纳、运算电路等重点和难点内容，讲述中不仅要讲清基本概念，还要强调和时域形式、相量形式的对应关系，并通过实例加以分析，讲清运算法在电路中的运用。
课后布置一定的作业，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章以讲授为主，共用4课时。
● 授课内容13.1拉普拉斯变换的定义 拉氏正变换：F(S)=()dt e t f St -∞⎰-拉氏反变换：f(t)=dS e S F j St J J ⎰+-ωσωσπ)(21拉氏变换的作用：时域 复频域微分方程 代数方程 微积分运算 代数运算 一、三个常见函数的拉氏变换1、 阶跃函数ε(t)L[ε(t)]=S 12、 指数函数t e α-L[te α-]=α+S 13、 冲激函数()t δ L[()t δ]=1 二、拉氏变换的性质微分性质：L [f’(t)]=SF(S)-f(0-) 三、拉氏反变换（部分分式展开法）1、 分母多项式存在n 个单根()()()()()n P S P S P S S F S F +++=211=nn P S A P S A P S A +++++ 2211其中：()()111P S P S S F A -=+=()()222P S P S S F A -=+=()()n n n P S P S S F A -=+=例：求原函数()10712+++=S S S S F 解：()()()5252121+++=+++=S A S A S S S S F()()31221-=-=+=S S S F A ()()34552=-=+=S S S F A ∴()53/423/1+++-=S S S F ∴()tt e e t f 523431--+-= 2、 分母多项式存在重根()()()()()nn nP S A P S A P S A P S S F S F +++++=+=2211 其中：()()P S S F P S A nn -=⋅+=()()P S dSs F p s d A n n -=⋅+=--11()()()P S dSs F p s d n A n n n -=⋅+-=---111!111 13.2用拉氏变换法（运算法）分析电路 一、基本定律的运算形式1、 KCL ：()0=∑S I 2、KVL ：()0=∑S U二、R 、L 、C 伏安关系的运算形式1、电阻 i(t)Ru(t)=R i(t)U(S)=R I(S)2、电感I(S) SL - Li L (0-)+ u(t)=L dtdi lU(S)=SLI(S) - Li L (0-) 2、 电容拉氏正变换 I(S) + u(t) -+U(S) - i(t)=Cdt du c ()()()SuS I SC S U c C C -+=01三、运算法分析线性电路动态过程的步骤1、 求初值u c (0-)、i L(0-)；2、 将激励拉氏正变换；3、 作运算等效电路；4、 用求解线性电路的方法求响应；5、 将响应拉氏反变换回到时域。
电路分析基础课件第13章 二端口网络
•
I
•
2I
2
+
NN
•
U2
••
I 1I 1
•+
U1
••
II2 2
++
NN
••
UU2 2
Y12
I1 U 2
U1 0
Y22
I2 U 2
U1 0
转移导纳 输入导纳
Y → 短路导纳参数
例2-1 求图示二端口的Y 参数。
解
•
I I I •
•
1 11
Yb YbYb
•
I I I •
•
2
2
2
++
•
••
UU1
1U01
第13章 二端口网络
13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6
二端口网络 二端口的方程和参数 二端口的等效电路 二端口的转移函数 二端口的连接 回转器和负阻抗转换器
重点
1. 二端口的参数和方程 2. 二端口的等效电路 3. 二端口的转移函数
13-1 二端口网络
在工程实际中，研究信号及能量的传输和 信号变换时，经常碰到如下二端口电路。
•
I1
例2-8 求二端口T 参数。 +
•
U1
解
n 0
T
0
1
n
1
2
•
I2
+
2
•
U2
A U1 U2
I2 0 1.5
B
U1 I2
U2 0
4Ω
C I1 U2
I2 0 0.5 S
D I1 I2
U2 0
2
电路分析课件j13
图13－8
网孔方程为
L1
di1 dt
L1
di2 dt
M
di2 dt
u1
L1
di1 dt
M
di1 dt
(L1
L2
2M ) di2 dt
0
可以求得
u1
L1L2 M 2 L1 L2 2M
di1 dt
L'
di1 dt
此式表明耦合电感同名端并联等效于一个电 感，其电感值为
分母取负号；异名端并联时，磁场削弱，等效电
感减小，分母取正号。
为了说明耦合电感的耦合程度，定义一个耦
合因数
k M L1 L2
(13 12)
耦合因数k的最小值为零，此时M=0，表示无
互感的情况。k 的最大值为M l，此L1时L2
，
这反映一个线圈电流产生的磁感应线与另一个线
圈的每一匝都完全交链的情况。k =1时称为全耦合，
(t 0)
根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关 录像。
名称
时间
名称
时间
1 耦合线圈的电压波形 0:49 2 同名端的实验确定
2:04
3 耦合线圈的同名端
2:32 4 耦合线圈的实验
1:20
5 耦合线圈参数测量
2:48 6 耦合线圈的反映阻抗
3:37
7 铁心变压器的电路模型 4:21 8 铁心变压器的输入阻抗 4:01
实际耦合线圈的互感值与顺接串联和反接串
联时的电感L’和L”之间，存在以下关系。
L' L" M
(13 10)
网孔方程为
L1
di1 dt
L1
di2 dt
M
di2 dt
u1
L1
di1 dt
M
di1 dt
(L1
L2
2M ) di2 dt
0
可以求得
u1
L1L2 M 2 L1 L2 2M
di1 dt
L'
di1 dt
此式表明耦合电感同名端并联等效于一个电 感，其电感值为
分母取负号；异名端并联时，磁场削弱，等效电
感减小，分母取正号。
为了说明耦合电感的耦合程度，定义一个耦
合因数
k M L1 L2
(13 12)
耦合因数k的最小值为零，此时M=0，表示无
互感的情况。k 的最大值为M l，此L1时L2
，
这反映一个线圈电流产生的磁感应线与另一个线
圈的每一匝都完全交链的情况。k =1时称为全耦合，
(t 0)
根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关 录像。
名称
时间
名称
时间
1 耦合线圈的电压波形 0:49 2 同名端的实验确定
2:04
3 耦合线圈的同名端
2:32 4 耦合线圈的实验
1:20
5 耦合线圈参数测量
2:48 6 耦合线圈的反映阻抗
3:37
7 铁心变压器的电路模型 4:21 8 铁心变压器的输入阻抗 4:01
实际耦合线圈的互感值与顺接串联和反接串
联时的电感L’和L”之间，存在以下关系。
L' L" M
(13 10)
电路 第五版邱关源 第十三章
bk 0
－T/2 o
f (t)
T/2
T/2
t
f (t ) f ( t )
③奇谐波函数
ak 0
-T/2
o f (t)
t
T f (t ) f (t ) 2
k 1
a2 k b2 k 0 o
T/2
T
t
9
f 2013-12-8 a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ] (t )
4.166 89.53 mV U5 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 ) 4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
2013-12-8
34
例
解 C1中只有基波电流， 说明L和C2对三次谐波 发生并联谐振。即：
第13章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
13.1 非正弦周期信号
13.2 周期信号分解为傅里叶级数 13.3 有效值、平均值和平均功率 13.4 非正弦周期电流电路的计算
13.5 对称三相电路中的谐波
2013-12-8
1
13.1 非正弦周期信号
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波
IS0
R
I S 0 78.5μA
电容断路，电感短路
Uo
U0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
6
2013-12-8
30
（b)基波作用
is1 100 sin 10 t μA
6
1 1 j1kΩ 6 12 j1C j10 1000 10 j1 L j10 10 j1kΩ
13简单电路复习
L1 L2
9.某同学进行了如下实验：根据连接好实物，用电流 某同学进行了如下实验：根据连接好实物， 某同学进行了如下实验 表分别测出I、 、 的电流 改变电源，重复实验， 的电流， 表分别测出 、I1、I2的电流，改变电源，重复实验， 记录数据如下表。 记录数据如下表。
电流 次数 1 2 3 I1/A 0.2 0.3 0.4 I2/A 0.2 0.3 0.4 I/A 0.4 0.6 0.8
短路
短路
断路
通路
3、电路图 用符号代替电路元件
4、电路的连接
电路
电路图
连接特点
电流路径
开关的作 用
用电器工 作情况
L1
L2
串联
S L1
首尾相连
只有一条 通路
控制所有 用电器
互相影响
并联
L2 S
首首相连 尾尾相连
若干条通 路
干路开关 控制所有 用电器， 用电器， 支路开关 只控制它 所在支路 用电器
7.如图所示，用电流表测量电流时， 7.如图所示，用电流表测量电流时，发现两个电 如图所示 流表的指针在同一个位置，则电流表A 流表的指针在同一个位置，则电流表A1的示数 0.36A 为 ，A2的示数为 1.8A ， 1.44A . 灯L1中的电流是
L1 L2
8.有 两只灯串联在某电路中， 8.有L1和L2两只灯串联在某电路中，闭合开关后 发现L 较暗， 发现L亮，L2较暗，那么 ( C ) A． L1中的电流较大 B． L2中的电流较大 C． L1和L2中的电流是相等的 由于灯的亮暗不同， D． 由于灯的亮暗不同，故无法比较电流大小
6．测量： （1）仪器：电流表 （2）方法： ㈠ 拿到表“两看清”,使用前先校零 ㈡使用时规则 ①电流表要串联在电路中； ②电流要从电流表的正接线柱流入， 负接线柱流出，否则指针反偏 A
9.某同学进行了如下实验：根据连接好实物，用电流 某同学进行了如下实验：根据连接好实物， 某同学进行了如下实验 表分别测出I、 、 的电流 改变电源，重复实验， 的电流， 表分别测出 、I1、I2的电流，改变电源，重复实验， 记录数据如下表。 记录数据如下表。
电流 次数 1 2 3 I1/A 0.2 0.3 0.4 I2/A 0.2 0.3 0.4 I/A 0.4 0.6 0.8
短路
短路
断路
通路
3、电路图 用符号代替电路元件
4、电路的连接
电路
电路图
连接特点
电流路径
开关的作 用
用电器工 作情况
L1
L2
串联
S L1
首尾相连
只有一条 通路
控制所有 用电器
互相影响
并联
L2 S
首首相连 尾尾相连
若干条通 路
干路开关 控制所有 用电器， 用电器， 支路开关 只控制它 所在支路 用电器
7.如图所示，用电流表测量电流时， 7.如图所示，用电流表测量电流时，发现两个电 如图所示 流表的指针在同一个位置，则电流表A 流表的指针在同一个位置，则电流表A1的示数 0.36A 为 ，A2的示数为 1.8A ， 1.44A . 灯L1中的电流是
L1 L2
8.有 两只灯串联在某电路中， 8.有L1和L2两只灯串联在某电路中，闭合开关后 发现L 较暗， 发现L亮，L2较暗，那么 ( C ) A． L1中的电流较大 B． L2中的电流较大 C． L1和L2中的电流是相等的 由于灯的亮暗不同， D． 由于灯的亮暗不同，故无法比较电流大小
6．测量： （1）仪器：电流表 （2）方法： ㈠ 拿到表“两看清”,使用前先校零 ㈡使用时规则 ①电流表要串联在电路中； ②电流要从电流表的正接线柱流入， 负接线柱流出，否则指针反偏 A
13电路
13.5 电感滤波电路
电感滤波电路
特点：带负载能力 强，体积大、电阻 也大。
经验公式：
Uo 0.9U 2
第13章 直流稳压电源
**************************************************************
稳压电路
•稳压二极管 稳压电路 •集成三端稳 压器
外形图
第13章 直流稳压电源
**************************************************************
(2)
线性三端集成稳压器的分类
1.三端固定正输出，国标型号为CW78--/CW78M--/CW78L-2.三端固定负输出 ，国标型号为CW79--/CW79M--/CW79L-3.三端可调正输出 ，国标型号为CW117--/CW117M--/CW117LCW217--/CW217M--/CW217L-CW317--/CW317M--/CW317L--
第13章 直流稳压电源
**************************************************************
(3)三端固定输出集成稳压器特性
三端固定正输出
CW78--：05、09、12、15、18、24...
三端固定负输出
CW79 --：05、09、12、15、18、24...
(2) 负载电流变化时
IL↑→IR↑→VR↑→VZ↓（VO↓）→IZ↓→IR↓→VR↓→VO↑
第13章 直流稳压电源
**************************************************************
九年级物理《第13章探究简单电路》复习
高龄、体质弱、存在其他基础疾病。
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物理 5．(2018临沂)小明家所在的小区安装了自动售水机．售水机 既可以通过刷卡闭合“感应开关”，接通供水电机取水，也 可以通过投币闭合“投币开关”，接通供水电机取水；光线 较暗时“光控开关”自动闭合，接通灯泡提供照明．以下简 化电路符合要求的是( A )
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物理
(1)电路工作三种状态 ①通路：处处连通的电路，用电器可以工作；②开路：某处 断开的电路，用电器无法工作；③短路：电流不经用电器， 直接从电源正极流回负极，电路中电流太大，容易烧坏电源(串 联电路中还有局部短路的情况，即某用电器两端被导线直接 连接，电流不经过该用电器)．
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物理 (2)识别串、并联电路的常用方法 ①电流法：在电源外部，电流从正极流向负极的途中，如果 没有分支，只有一条通路的是串联电路；如果有分支，即分 成两条或两条以上通路的是并联电路．②断开法：即撤掉一 个用电器，如果另一个用电器也不工作，则两个用电器是串 联；如果另一个用电器仍能工作，则两个用电器是并联．③ 节点法：如果没有电流的分流点和汇总点，为串联电路；如 果有电流的分流点和汇总点，为并联电路．
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物理 3．(2018泰安)家庭常用的电吹风既能吹冷风又能吹热风．下 列电路中最符合电吹风工作要求的是( A )
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物理
电路图(高频考点) 考点解读：本考点主要有两种考查形式：一是根据题目要求 选择正确的电路图；二是根据电路图连接实物图或已知实物 图画出电路图．
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(1)电路工作三种状态 ①通路：处处连通的电路，用电器可以工作；②开路：某处 断开的电路，用电器无法工作；③短路：电流不经用电器， 直接从电源正极流回负极，电路中电流太大，容易烧坏电源(串 联电路中还有局部短路的情况，即某用电器两端被导线直接 连接，电流不经过该用电器)．
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第十三章 拉氏变换分析线性电路
K1 K2 N1 ( s) s α jω s α jω D1 ( s )
2 若D( s) 0有共轭复根
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e
jθ
K2 K e
( α jω ) t
-jθ
f (t ) ( K1e( α jω) t K 2e( α jω) t ) f1 (t )
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 S j S j 2 2j S 2
2. 微分性质
若： f (t ) F ( S )
则
例 解
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
求 : f (t ) t ( t )的象函数
[tε( t )]
[ 0 ε( t )dt ]
ห้องสมุดไป่ตู้
11 ss
4.延迟性质
设：
注
例
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e
st0
F ( s)
f ( t t0 ) 0 当 t t0
求矩形脉冲的象函数
方法2
求极限的方法
i
i 1、 、 、n 23
N ( s )( s pi ) ki lim s p D( s ) ' N ( s )( s pi ) N ( s ) N ( pi ) lim ' ' s p D ( pi ) D ( s)
i
i
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数 例 s 5s 6 4s 5 K1 K2 解法1 F ( s) 2 s 5s 6 s2 s3 4s 5 4s 5 K2 7 K1 3 s 3 S 2 s2 s3 N ( p1 ) 4 s 5 解法2 K1 ' 3 s 2 D ( p1 ) 2 s 5
2 若D( s) 0有共轭复根
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e
jθ
K2 K e
( α jω ) t
-jθ
f (t ) ( K1e( α jω) t K 2e( α jω) t ) f1 (t )
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 S j S j 2 2j S 2
2. 微分性质
若： f (t ) F ( S )
则
例 解
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
求 : f (t ) t ( t )的象函数
[tε( t )]
[ 0 ε( t )dt ]
ห้องสมุดไป่ตู้
11 ss
4.延迟性质
设：
注
例
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e
st0
F ( s)
f ( t t0 ) 0 当 t t0
求矩形脉冲的象函数
方法2
求极限的方法
i
i 1、 、 、n 23
N ( s )( s pi ) ki lim s p D( s ) ' N ( s )( s pi ) N ( s ) N ( pi ) lim ' ' s p D ( pi ) D ( s)
i
i
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数 例 s 5s 6 4s 5 K1 K2 解法1 F ( s) 2 s 5s 6 s2 s3 4s 5 4s 5 K2 7 K1 3 s 3 S 2 s2 s3 N ( p1 ) 4 s 5 解法2 K1 ' 3 s 2 D ( p1 ) 2 s 5
电子线路第13章
13.2.2 变容二极管直接调频电路
变容二极管直接调频电路 uD(t)=Vo+u(t) u(t)=Umcost uD(t)=Vo+Umcost
13.3 调频波的解调—鉴频
从调频信号中取出原调制信号的过程，称为鉴频。信息包 含在它的频率变化之中。鉴频器的输出信号必须与输入调 频波的瞬时频率变化成线性关系。
本章小结
（1）调频波是一种瞬时频率和瞬时相位随调制信号变化 的信号，通过分析调频信号的性质使读者建立调频信号 的概念。
调频制是一种性能良好的调制方式。与调幅制相比，调 频制具有抗干扰能力强、信号传输的保真度高、发射机 的功放管利用率高等优点。其缺点是：传输距离短、覆 盖范围小。 （2）实现调频的方法有直接调频法和间接调频法两种。 前者具有频偏大、调制灵敏度高等优点，但其中心频率 稳定度较差，若要提高其中心频率稳定度则需要用AFC 电路，会使电路复杂化。后者中心频率较稳定，但频偏 较小。
（9）调好后，再配上合适的外壳，一台小巧精致的调频发 射机就做好了。
三、说明 （1）如图13.13所示，音频信号作用于三极管V1的发射结作 为调制电压，该电压的大小直接改变发射结的结电容。结电容 作为回路参数的一部分，其大小将影响高频振荡器的振荡频率 。 （2）图13.13中，三个电容C2、C7、C9将整个电路分成四部 分 ① 最左边的第一部分为音频信号的输入接口电路。 ②接下来的第二部分完成高频载波的振荡产生和频率调制功 能。调节L1或C3、C4可以改变发射频率。 ③最后两部分电路结构相同，是两级高频谐振放大电路。改 变L2、L3的值，将改变放大器谐振的中心频率，从而影响已调 波的输出功率，这是影响发射机发射距离的关键。
(t)=c+kfu(t)=c+(t) c为未调频时的载波频率，即调频时的中心频率；kf是一个 与调频电路有关的比例常数；(t)=kfu(t)是瞬时频率相对
电路基础第13章一阶电路时域分析
VS
赫尔维茨稳定判据
通过判断一阶电路的特征方程的根是否在 复平面的左半部分，来判断系统是否稳定 。
一阶电路的稳定性分析方法
时域分析法
通过求解一阶电路的微分方程，观察其时间 响应特性，如超调和调节时间等，从而判断 其稳定性。
频域分析法
通过将一阶电路的传递函数进行频率域变换， 分析其频率响应特性，如相角和幅值裕度等， 从而判断其稳定性。
时间响应
描述一阶电路随时间变化的响应，包括上升时间、峰值时间 、下降时间和过冲等。
一阶电路的零输入响应和零状态响应
零输入响应
在输入信号为零的情况下，一阶电路的响应。
零状态响应
在电路初始状态为零的情况下，一阶电路的响应。
一阶电路的全响应和稳态响应
全响应
一阶电路在输入信号和初始状态共同 作用下的总响应，包括暂态分量和稳 态分量。
02
03
模拟电路
一阶电路是模拟电路中最 基本的单元之一，广泛应 用于模拟信号处理、放大 器、滤波器等。
数字电路
在数字电路中，一阶元件 可以用于构建逻辑门、触 发器等基本逻辑单元。
控制系统
在控制系统中，一阶电路 可以用于模拟系统的传递 函数，用于系统的分析和 设计。
02
一阶电路的数学模型
电容电流和电感电压的一阶微分方程
电容电流的一阶微分方程
$i_c = Cfrac{du_c}{dt} + i_{in}$
电感电压的一阶微分方程
$u_l = Lfrac{di_l}{dt} + u_{in}$
一阶微分方程的求解方法
初始条件
在时间$t=0$时，电容电 压$u_c(0)$和电感电流 $i_l(0)$的初始值。
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新编电气与电子信息类本科规划教材
Bf和Qf对电路的要求及扩展矩阵 一般原则如下：
（1）将独立电压源作为树枝，独立电流源作为连枝；
（2）按树的规则完成一个树的选择； （3）从独立电压源支路开始，完成对树枝的编号； （ 4 ）再对连枝进行编号，其中将电流源支路的编 号放在最后。
按照以上规则列写的矩阵称为扩展的矩阵并用下标“a”表示。
第13章
电路分析的计算机方法初步
本章运用第2章网络的图、树和割集等图论的基本知识， 讨论描述电路拓扑结构的关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵，以 及KCL和KVL的矩阵形式。在此基础上讨论结点电压方程的 矩阵形式和回路电流方程的矩阵形式，以及较为实用的电路方 程计算机的列写方法，包括改进的结点法和直接列写法。介绍 了计算机求解电路（代数）方程的基本方法，高斯消去法。最 后，以一个例子讨论电路分析程序的编写。通过本章的学习， 初步了解电路分析的计算机方法的基本概念。
B
回路 1
l
l
2
l3
1
2
5
6
其中各元素按下述规则确定
1 bkj 1 0
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当 支路 j 与回路 k关联 且方向相同 当 支路 j 与回路 k 关联 且方向相反 当 支路 j 与回路 k 无关联
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Bf矩阵
其中
Bt是与树支有关的子阵， 1是与连支有关的单位子阵。 l
支路 4 3
0
图13-3有向图G及基本回路
或者B矩阵为
1 2 回路 1
l
B
l
2
l3
1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
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5
图 13-5
Y AYb AT G4 sC6 G1 G4 sC6 1 0 1 I s7 I s7 I s8 0 0 0 I 0 G G sC 1 /( sL ) sC J A I 4 4 5 2 5 n i s s8 sC5 sC5 sC6 1（ / sL3） 0 1 1 I s9 I s8 I s9 sC6
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为所求
13.3 回路电流方程的矩阵形式
联系电路的方程包括三个方面：
KCL 前面： KVL VCR
支路元件电压电流约束方程
i Bf il
T
Bf u 0
再来研究VCR约束
整个电路的无源支路关系可用矩阵表示为:
Zb I b U b
（13-14）
Ib 和 U b 式中，Z b 称为无源支路阻抗矩阵， 分别为无源支路的电流和电压向量.
0 0 0 0 0 sC6
U1 I1 U I 2 2 U 3 I 3 U 4 I 4 U 5 I 5 U 6 I6
13.1.1 关联矩阵
1.约定 将一个元件作为一个支路，并假设支路电流与 支路电压的参考方向相关联。电压源支路的电压参 考方向从电源的正端指向负端，电流源支路的电流 参考方向与电流源的电流方向相同。
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2.列写方程 先看独立结点的KCL方程 和独立回路的KVL方程。
ABf T ＝ 0 ，或
Bf AT ＝ 0
（13-7）
Bf Qf T 0 ，或
Qf Bf T ＝ 0
（13-8）
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13.1.5 关于独立变量
连枝电流可作为电路的独立电流变量，此时独立 电流源支路应该作为连枝 ；
树枝电压可作为电路的独立电压变量，此时独 立电压源支路应该作为树枝 。
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关联矩阵A－中的元素
A 为0-1矩阵，其中 设n为独立结点数，b为支路数， 有n行b列，A中各元素的取值按如下规则确定
1 akj 1 0
当支路j与结点k关联且方向离开结点k 当支路j与结点k关联且方向指向结点k
当支路j与结点k无关联
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13.2 结点电压方程的矩阵形式
联系电路的方程包括三个方面：
KCL 前面： KVL VCR
支路元件电压电流约束方程
Ai 0
u AT un
再来研究VCR约束
在结点法中 第k个无源元件支路的电压、电流（VCR)关系可写成：
YkUk = Ik
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关联矩阵A－支路电压与结点电压关系
同理：
u AT un
（13-2）
T A 其中， 为 A 的转置，并设支路电压列向量为
u u1 u2 u3 u4 u5 u6
独立的结点电压列向量为
T
un un1 un2 un3
T
式（13-1）和式（13-2）为KCL和KVL的矩阵形式。
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不是前面说的单树枝割集，而一般的只要 符合相互独立的割集，由这个割集形成的矩阵， 我们称为Q矩阵。
如上述的割集可以变成Q矩阵
C1 1 Q f C2 0 C3 0
割集 1 2 支路 3 4 5 6
0 1 0
0 1 0 1
0
1 1 0 1
1 0 1
割集
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A矩阵的正确与错误的判断以及A和An
1 结点 2 3 1 1 1 0 0 0
An
其实还可以补充一行
列上表现为一条支路 连接的两个结点
判断的依据
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显然要求一正 一负
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13.1.2 割集矩阵Q和Qf
基本割集
由支路1、2、3形 成的单树枝割集
6
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Bf联系电流和电压
回路电压方程
Bf u 0
支路电流与回路电流的关系可写为
i Bf T il
il il1 il 2 il 3
T
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*13.1.4 矩阵A、Bf和Qf的关系
关联矩阵与回路矩阵，以及割集矩阵与回 路矩阵并不是独立的，存在如下关系：
若选单连支回路（即基本回路）得基本回路矩阵Bf ，如
l 1 1 0 1 0 0 B 1 Bf l2 0 1 1 0 1 0 t l l3 1 0 1 0 0 1
回路 1 1 2 支路 3 4
6
5 6
4 l1
1 2
5 l2 l3 3
1 2 支路 3 4 5 6
1 0 0 1t 0 1 0 0 0 1
连支有关的子阵
C1 1 Q f C2 0 C3 0
割集
0 1 0
0 1 0 1
0
1 1 0 1
1 0 1t 1
Q l
0 1 1 Ql 1 1 0 1 1 0
U Ub Ui T
Ui AiTU n
AYb ATUn Ai Is
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YUn J n
称为等效的结点电流源向量
结点导纳矩阵
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例13-2
列写图13-5电路的结点电压方程
解 由式前面的分析可得
Ai A Yb
试比较用2章 的办法所得 结果
YUn J n
i2
i3
i4
i5
i6
T
0
写成矩阵形式为
Ai 0
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（13-1）
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关联矩阵A－联系KCL
Ai 0
1 结点 2 3
i i1 i2 i3 i4 i5 i6
T
式中，i为支路电流列向量； 称为结点与支路的关联矩阵， A
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支路的VCR
IS9 C6
①
如图不计电流源元件，各个支路 的电流电压关系可以写成
③ C5 IS8
② G4
G1 L2
Is7
L3
0
(a)电路图
G1 0 0 0 0 0
0 1 sL2 0 0 0 0
0 0 1
0 0
0 0 0 0 sC5 0
0 sL3 0 G4 0 0 0 0
6
5
41 1 7 2
③
3
8
0 (b) 有向图G
1 0 0 1 0 1 1 0 1 A A Aa 0 1 0 1 1 0 0 0 0 i 0 0 1 0 1 1 0 1 1
Aa 分成两部分，A 对应无源支路，Ai 对应电流源支路
图13-1
i1 i4 i6 0 i2 i4 i5 0 i i i 0? 3 5 6
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方程的矩阵形式
0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 i 0 1 0 1 0 1 1 0
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Qf矩阵联系电压和电流的关系
支路电压与树枝电压的关系可表示为
u Qf ut
T
（13-3）