电路第13章

B
回路 1
l
l
2
l3

1
2
5
6

其中各元素按下述规则确定
1 bkj 1 0
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当 支路 j 与回路 k关联 且方向相同 当 支路 j 与回路 k 关联 且方向相反 当 支路 j 与回路 k 无关联
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Bf矩阵
C1 1 Q C2 0 C3 0
1
3
支路 2 4
0 0 1
0 1 0
1 1 0
5
6
0 1 1
1 0 1
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13.1.3 回路矩阵 B －Bf
联系回路和支路之间的关系的矩阵
定义回路矩阵
支路 3 4
B
bkj
其中
Bt是与树支有关的子阵， 1是与连支有关的单位子阵。 l
支路 4 3
0
图13-3有向图G及基本回路
或者B矩阵为
1 2 回路 1
l
B
l
2
l3
1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
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5
第13章
电路分析的计算机方法初步
本章运用第2章网络的图、树和割集等图论的基本知识， 讨论描述电路拓扑结构的关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵，以 及KCL和KVL的矩阵形式。在此基础上讨论结点电压方程的 矩阵形式和回路电流方程的矩阵形式，以及较为实用的电路方 程计算机的列写方法，包括改进的结点法和直接列写法。介绍 了计算机求解电路（代数）方程的基本方法，高斯消去法。最 后，以一个例子讨论电路分析程序的编写。通过本章的学习， 初步了解电路分析的计算机方法的基本概念。
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13.2 结点电压方程的矩阵形式
联系电路的方程包括三个方面：
KCL 前面： KVL VCR
支路元件电压电流约束方程
Ai 0
u AT un
再来研究VCR约束
在结点法中 第k个无源元件支路的电压、电流（VCR)关系可写成：
YkUk = Ik
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支路的VCR
IS9 C6
①
如图不计电流源元件，各个支路 的电流电压关系可以写成
③ C5 IS8
② G4
G1 L2
Is7
L3
0
(a)电路图
G1 0 0 0 0 0
0 1 sL2 0 0 0 0
0 0 1
0 0
0 0 0 0 sC5 0
0 sL3 0 G4 0 0 0 0
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关联矩阵A－中的元素
A 为0-1矩阵，其中 设n为独立结点数，b为支路数， 有n行b列，A中各元素的取值按如下规则确定
1 akj 1 0
当支路j与结点k关联且方向离开结点k 当支路j与结点k关联且方向指向结点k
当支路j与结点k无关联
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第13章电路分析的计算机方法初步
13.1 电路拓扑矩阵及KCL、KVL方程 13.2 结点电压方程的矩阵形式 13.3 回路电流方程的矩阵形式 13.4 改进的结点法 13.5 直接列写法 13.6 电路方程的解 13.7 电路分析的程序编写
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13.1电路拓扑矩阵及KCL、KVL方程
图13-2 有向图G及基本割集
以及割集的方向 －与单树枝的树 枝方向相同
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Q f 矩阵
基本割集矩阵
Qf
1 qkj 1 0
qkj
树支有关的单位子阵
其中各元素按如下规则确定
支路 j 与割集 k 关联 , 且方向相同 支路 j 与割集 k 关联 , 且方向相反 支路 j 与割集 k 无关联
6
5
41 1 7 2
③
3
8
0 (b) 有向图G
1 0 0 1 0 1 1 0 1 A A Aa 0 1 0 1 1 0 0 0 0 i 0 0 1 0 1 1 0 1 1
Aa 分成两部分，A 对应无源支路，Ai 对应电流源支路

i2
i3
i4
i5
i6

T
0
写成矩阵形式为
Ai 0
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（13-1）
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关联矩阵A－联系KCL
Ai 0
1 结点 2 3
i i1 i2 i3 i4 i5 i6
T
式中，i为支路电流列向量； 称为结点与支路的关联矩阵， A
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Bf和Qf对电路的要求及扩展矩阵 一般原则如下：
（1）将独立电压源作为树枝，独立电流源作为连枝；
（2）按树的规则完成一个树的选择； （3）从独立电压源支路开始，完成对树枝的编号； （ 4 ）再对连枝进行编号，其中将电流源支路的编 号放在最后。
按照以上规则列写的矩阵称为扩展的矩阵并用下标“a”表示。
Aa
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Ba
Qa
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例13-1
2 5
列写图（a）所示电路扩展的割集矩阵。
3 7 8 4 5 2 6 c1
3
c2 7 8
c3
IS8 6
+
uS1 -
wk.baidu.com
1
1
4 c4
0 (a) 电路图
0 (b) 基本割集
解 按照上述规则可得电路的图G，其中支路1、2、3、4作为树支，c1、 c2、c3、c4为对应的基本割集，如图（b）所示。扩展的割集矩阵为
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为所求
13.3 回路电流方程的矩阵形式
联系电路的方程包括三个方面：
KCL 前面： KVL VCR
支路元件电压电流约束方程
i Bf il
T
Bf u 0
再来研究VCR约束
整个电路的无源支路关系可用矩阵表示为:
Zb I b U b
（13-14）
Ib 和 U b 式中，Z b 称为无源支路阻抗矩阵， 分别为无源支路的电流和电压向量.
简写为： YbUb I b
式中， Yb 为对角矩阵，称为无源支路导纳矩阵；
U b 和 Ib 分别为无源元件的支路电压向量和支路电流向量。
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Aa的列写与方程的矩阵形式
9 ① ②
由相应的G图，如图13-5（b）所示，先对无源支路编 号，再对电流源支路编号，可建立扩展的关联矩阵
U Ub Ui T
Ui AiTU n
AYb ATUn Ai Is
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YUn J n
称为等效的结点电流源向量
结点导纳矩阵
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例13-2
列写图13-5电路的结点电压方程
解 由式前面的分析可得
Ai A Yb
试比较用2章 的办法所得 结果
YUn J n
图 13-5
Y AYb AT G4 sC6 G1 G4 sC6 1 0 1 I s7 I s7 I s8 0 0 0 I 0 G G sC 1 /( sL ) sC J A I 4 4 5 2 5 n i s s8 sC5 sC5 sC6 1（ / sL3） 0 1 1 I s9 I s8 I s9 sC6
0 0 0 0 0 sC6
U1 I1 U I 2 2 U 3 I 3 U 4 I 4 U 5 I 5 U 6 I6
若选单连支回路（即基本回路）得基本回路矩阵Bf ，如
l 1 1 0 1 0 0 B 1 Bf l2 0 1 1 0 1 0 t l l3 1 0 1 0 0 1
回路 1 1 2 支路 3 4
6
5 6
4 l1
1 2
5 l2 l3 3
1 0 0 1 Qa 0 0 0 0
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0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 Qu Q Qi 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
式中 Qu 和 Qi 分 别与电压源和电 流源支路有关。
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Qf矩阵联系电压和电流的关系
支路电压与树枝电压的关系可表示为
u Qf ut
T
（13-3）
联系电压、 电流 导出割集上的KCL方程的矩阵形式为
Qf i 0
要注意这里的电流和电压 都是一个矩阵
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*Q矩阵
6
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Bf联系电流和电压
回路电压方程
Bf u 0
支路电流与回路电流的关系可写为
i Bf T il
il il1 il 2 il 3
T
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*13.1.4 矩阵A、Bf和Qf的关系
关联矩阵与回路矩阵，以及割集矩阵与回 路矩阵并不是独立的，存在如下关系：
不是前面说的单树枝割集，而一般的只要 符合相互独立的割集，由这个割集形成的矩阵， 我们称为Q矩阵。
如上述的割集可以变成Q矩阵
C1 1 Q f C2 0 C3 0
割集 1 2 支路 3 4 5 6
0 1 0
0 1 0 1
0
1 1 0 1
1 0 1
割集
ABf T ＝ 0 ，或
Bf AT ＝ 0
（13-7）
Bf Qf T 0 ，或
Qf Bf T ＝ 0
（13-8）
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13.1.5 关于独立变量
连枝电流可作为电路的独立电流变量，此时独立 电流源支路应该作为连枝 ；
树枝电压可作为电路的独立电压变量，此时独 立电压源支路应该作为树枝 。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
KCL关系 KVL关系
I b A a I A A i 0 I s
AI b Ai I s
T U b A U T U n i Ai
AYb Ub Ai I s
Ub ATUn
U AaTU n
1 2 支路 3 4 5 6
1 0 0 1t 0 1 0 0 0 1
连支有关的子阵
C1 1 Q f C2 0 C3 0
割集
0 1 0
0 1 0 1
0
1 1 0 1
1 0 1t 1
Q l
0 1 1 Ql 1 1 0 1 1 0
关联矩阵A－支路电压与结点电压关系
同理：
u AT un
（13-2）
T A 其中， 为 A 的转置，并设支路电压列向量为
u u1 u2 u3 u4 u5 u6
独立的结点电压列向量为
T
un un1 un2 un3
T
式（13-1）和式（13-2）为KCL和KVL的矩阵形式。
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图13-1
i1 i4 i6 0 i2 i4 i5 0 i i i 0? 3 5 6
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方程的矩阵形式
0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 i 0 1 0 1 0 1 1 0
13.1.1 关联矩阵
1.约定 将一个元件作为一个支路，并假设支路电流与 支路电压的参考方向相关联。电压源支路的电压参 考方向从电源的正端指向负端，电流源支路的电流 参考方向与电流源的电流方向相同。
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2.列写方程 先看独立结点的KCL方程 和独立回路的KVL方程。
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A矩阵的正确与错误的判断以及A和An
1 结点 2 3 1 1 1 0 0 0
An
其实还可以补充一行
列上表现为一条支路 连接的两个结点
判断的依据
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显然要求一正 一负
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13.1.2 割集矩阵Q和Qf
基本割集
由支路1、2、3形 成的单树枝割集