【中小学资料】山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 3.4.2 圆周角和圆心
九年级数学下册第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第二课时初中九年级下册数学
观察(guānchá)图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径 吗？为什么？
A
解：弦BC是直径.
连接OC、OB. ∵∠BAC=90°
B
C
O
∴∠BOC=2∠BAC=180°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的
一半）
∴B、O、C三点(sān diǎn)在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
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2
∠12 1 .
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°
A
1
C
O2
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
B
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如图，两个四边形ABCD有什么共同(gòngtóng)的特点？
D A
D A
C
O
O
B
C
B
四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边
都和圆相交的角叫圆周角.
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
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巩固 复 (gǒnggù) 习 1.求图中角x的度数(dù . shu)
D C 120°
O.
C
70° x
A
B
x= 35°
.O
x
A
B
x= 120°
定理 圆周角的度数等于(děngyú)它所对弧上的圆心 角的度数的一半 12/11/2021
第十四页，共三十页。
想一想
如图，∠DCE是圆内接四边 A
形ABCD的一个(yī ɡè)外角，
九年级数学下册 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)
1.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A∶∠C=5∶7，
则∠C=
A.210°
( C) B.150°
C.105° D.75°
第二十二页，共四十一页。
★2.(2019·天水中考)如图，四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ)，
☉O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.
第十八页，共四十一页。
【规范(guīfàn)解答】∵BC∥AE， ∴∠ACB=∠EAC， ……………………平行线性质 ∵∠ACB=∠BAD， ∴∠EAC=∠BAD，……………………等量代换 ∴∠EAD=∠CAB， ∵∠ADE+∠ADC=180°，………………平角定义
第十九页，共四十一页。
∠ADC+∠ABC=180°，……………圆内接四边形性质 ∴∠ADE=∠ABC，……………………………等式性质 ∵∠EAD+∠ADE+∠E=180°， ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°………三角形内角(nèi jiǎo)和定理 ∴∠E=∠ACB=∠EAC，……………………等式性质 ∴CE=CA.………………………………等腰三角形判定
第二十页，共四十一页。
【学霸提醒】 圆内接四边形的角的“两种”关系(guān xì)
1.对角互补，若四边形ABCD为☉O的内接四边形，则 ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 2.四个角的和是360°，若四边形ABCD为☉O的内接四边形， 则∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
第二十一页，共四十一页。
∴∠ACB=∠CDE=∠CFE=90°，
∴四边形CDEF为矩形(jǔxíng)，∴EF=CD1 =
【推荐】山东省济南市槐荫区九年级数学下册第3章圆3.4圆周角和圆心角的关系3.4.1圆周角和圆心角的关系课件
O
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO
∠ABC C
B
预习反馈
3.求圆中角x的度数
D C 120°
O
70°
A
答案：35°
C x
B 120°
O
A
xB
4. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆
心，C，D为半圆上的两点，∠COD=50°， 则∠CAD=___2_5_0__.
A.30° B.40° C.50° D.60° 答案:A
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = 1 ∠AOD, ∠CBD = 21∠COD,
A
D
C
●O
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
B 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
课堂探究
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小 关系会怎样?
A
特征： ①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
O.
B
C
课堂探究
议一议
圆周角和圆心角的关系
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
说说你的想法,并与同伴交流.
A C
●O
A C
A C
●O
●O B
山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 3.4.2 圆周角和圆心角的关系 (新版
B
上一点,∠BAC=30°,
则BC= 5 cm.
●O
C
B
预习反馈
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE所以
B ∠E=30°, ∠ABE=90°.由AB=4得直径AE=8.
A
●O C
E
课堂探究
当球员在B,D,E处射门时,他所处 的位置对球门AC分别形成三个 张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三 个角的大小有什么关系?
C G
A B
O F
E
由此你又能得出什么结论?
课堂探究
定理： 圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
用于找相等 的角
课堂探究
议一议
1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？
A
E
A
B
O
证明：如图，连接AD，AE. ∵ D,E分别是AB和AC 的中点,
∴AD=DB , AE=EC.
∠DAB=∠AED， ∠EAC= ∠ADE， ∴ ∠AMN=∠ANM，∴AM=AN. ∴△AMN为等腰三角形.
A
E
D
MN
●O
B C
典例精析
定理：圆的内接四边形的对角互补 定理拓展：任何一个外角都等于它的内对角。
∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180°
E
A
B
D ∠EAB＝∠BCD
O
∠FCB＝∠BAD
C 外角
F
对角 内对角
典例精析
又一种重要的辅助线
山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆复习导学案 (新版)北师大版
第三章圆一、知识梳理(一)圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
(二)点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；r d=r r dd（四）圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图2r Rd图3rRd图4rRd 图5r Rd（五）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 3.4.2 圆周角和圆心
3.4.2圆周角和圆心角的关系一、夯实基础1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DDCB AO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°5.如图5,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对6.如图6,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个7.如图7,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°D DBA(4) (5) (6) (7)二、能力提升8.如图8,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(8) (9) (10)9.如图9,AB是⊙O的直径, BC BD=,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.10.如图10,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.11.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°12.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )A.40°B.50°C.70°D.110°13.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.BA14.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.三、课外拓展15.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值16.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你.的结论17.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A 点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)18.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?四、中考链接1. （2016·浙江省湖州市·3分）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠D，则∠D的度数是（）A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点2．（2016·湖北荆州·3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B ，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）3．（2016·山东省滨州市·3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC ∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤4. （2016·山东潍坊）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE．答案1.120°2.3 13.160°7.A8.C9.B10.C4.44°5.50°11.B12.C13.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD= 4cm.14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD. ∵AD 是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC 2+CD 2=AD 2,即2AC 2=36,AC 2.15.连接BD,则∴AB 是直径,∴∠ADB=90°. ∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴PD CDPB AB=. 在Rt △PBD 中,cos ∠BPD=PD CD PB AB ==34, 设PD=3x,PB=4x,则==,∴tan ∠BPD=BD PD ==. 16.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB ⊥CD,AB 是直径, ∴BC BD =,∴∠COB= ∠DOB.∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD. (2)∠CP ′D+∠COB=180°. 理由如下:连接P ′P,则∠P ′CD=∠P ′PD,∠P ′PC=∠P ′DC. ∴∠P ′CD+∠P ′DC=∠P ′PD+∠P ′PC=∠CPD.∴∠CP ′D=180°-(∠P ′CD+∠P ′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB, 从而∠CP ′D+∠COB=180°.17.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN 的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B 处对MN 的张角较大,在B 处射门射中的机会大些.a. 中考链接： 1.解：连接OC ，∵圆O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°， ∴AB 是直径，∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD是圆O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．故选B．2.解；如图，由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，由=，得∠AOC=∠BOC=50°．由圆周角定理，得∠ADC=∠AOC=25°，故选：C．3.解：①、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD，④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF，⑤、由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故选D4.证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，又∵DF∥BE，∴∠EDF+∠BED=180°，∴∠EDF=90°，∴四边形EBFD是矩形；（2））∵正方形ABCD内接于⊙O，∴的度数是90°，∴∠AFD=45°，又∵∠GDF=90°，∴∠DGF=∠DFC=45°，∴DG=DF，又∵在矩形EBFD中，BE=DF，∴BE=DG．。
山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆 3.6 直线和圆的位置关系 3.6.2 直线和圆的位置
3.6.2直线和圆的位置关系一、教学目标1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力．2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．3.会作三角形的内切圆．二、课时安排1课时三、教学重点会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．四、教学难点会作三角形的内切圆．五、教学过程（一）导入新课直线和圆有什么样的位置关系？（二）讲授新课探究1：如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？你能写出一个命题来表述这个事实吗?过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.明确：∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,∴ CD是⊙O的切线.这个定理实际上就是的另一种说法.探究2：从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?三角形的内切圆作法：（1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求.探究3：这样的圆可以作出几个呢?为什么?∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等, 因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.判断题：1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（）2.三角形的外心到三角形各边的距离相等（）3.等边三角形的内心和外心重合（）4.三角形的内心一定在三角形的内部（）活动2：探究归纳内心均在三角形内部（三）重难点精讲例1.如图,AB是⊙O的直径, ∠ABT=45°,AT=BA．求证:AT是⊙O的切线.证明：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°.由三角形内角和定理可证∠TAB=90°，即AT⊥AB，故AT是⊙O的切线．例2.如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BOC的度数是 .（2）若∠A=80°，则∠BOC= .（3）若∠BOC=110°，则∠A= .答案：（1）120°（2）130°（3）40°（四）归纳小结本课主要学习了哪些内容？1．探索切线的判定条件．2．作三角形的内切圆．3．了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念．（五）随堂检测1.如图,已知直线AB 经过⊙O上的点C, 并且AO=OB,CA=CB,那么直线 AB是⊙O的切线吗?2．如图,已知：OA=OB＝５,AB＝８，以O为圆心，以3为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？3.（黄冈·中考）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC 延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.4.（德化·中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.(2)若tan∠，BC=2，求⊙O的半径.5.（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.（2）如果∠BDE=60，PD ，求PA的长.6.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC，BC，AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米.求镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？【答案】1. 解：连接OC，C为半径的外端，因此只要证OC垂直于AB即可，而由已知条件AO=OB，所以∠A＝∠B，又由AC＝BC，所以OC⊥AB．∴直线AB是⊙O的切线.2. 解：过O作OC⊥AB ，因此只要证OC=3即可,而由已知条件可知AO=OB=5，AB=8，所以AC＝BC=4，据勾股定理得OC=3.∴⊙O与直线AB相切.3. 证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF.∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF ＝∠CDF ，∴∠FDE ＝∠CDE+∠CDF ＝∠DAC+∠CAF ＝∠DAF ＝90°， 故DE 是⊙O 的切线.4. 【解析】（1）直线CE 与⊙O 相切. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC ∥AD ，∠ACB=∠DAC ， 又 ∵∠ACB=∠DCE ，∴∠DAC=∠DCE,连接OE ，则∠DAC=∠AEO=∠DCE ， ∵∠DCE+∠DEC=90°， ∴∠AE0+∠DEC=90°， ∴∠OEC=90 °， ∴直线CE 与⊙O 相切.（2）∵tan ∠ACB=2AB BC =BC=2，∴AB=BCtan ∠又∵∠ACB=∠DCE ∴tan ∠DCE=2， ∴DE=DC•tan∠DCE=1，在Rt △CDE 中，= 设⊙O 的半径为r ，则在Rt △COE 中，由222CO OE CE =+得22)3r r =+解得：r=5. 【解析】（1）PD 是⊙O 的切线. 连接OD,∵OB=OD, ∴∠ODB=∠PBD.又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA. 又∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB=90°. 即∠ODB+∠ODA=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°,即OD ⊥PD.∴PD 是⊙O 的切线.（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°, ∴∠ODB=30°,∠ODA=60°. ∵OA=OD,∴△AOD 是等边三角形. ∴∠POD=60°. ∴∠P=∠PDA=30°. 在Rt △PDO 中，设OD=x,∴()2222x x +=∴x 1=1,x 2=-1（不合题意，舍去） ∴PA=1.6. 提示：AC ⊥BC ，BC=30米，AC=40米,得AB=50米.由a b c 304050r 10().22+-+-===米 得M 离道路三边的距离为10米. 六．板书设计3.6.2直线和圆的位置关系1．切线的判定条件． 2．作三角形的内切圆．3．三角形的内切圆、三角形的内心的概念． 例题1： 例题2： 例题3：七、作业布置 课本P93练习1、2 练习册相关练习 八、教学反思。
山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆 3.1 圆教案 (新版)北师大版
3.1圆一、教学目标1.知道圆的有关定义及表示方法.2.掌握点和圆的位置关系.3.会根据要求画出图形.二、课时安排1课时三、教学重点点和圆的位置关系.四、教学难点点和圆的位置关系.五、教学过程（一）导入新课生活中关于圆的图形展示，引导学生认识圆并谈谈对圆的理解：（二）讲授新课活动1：小组合作观察车轮，你发现了什么？车轮为什么做成圆形?车轮做成三角形、正方形可以吗？探究1; （1）如图，A ，B 表示车轮边缘上的两点，点O 表示车轮的轴心，A ，O 之间的距离与B ，O 之间的距离有什么关系？（2）C 表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动，C ，O 之间的距离与A ，O 之间的距离应满足什么关系？明确：车轮边缘上任意两点到轴心的距离都相等, 任意一点到轴心的距离是一个定值. 圆上的点到圆心的距离是一个定值. 探究2：投圈游戏一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?为了使投圈游戏公平,现在有一条3米长的绳子, 你准备怎么办?定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为圆心，定长称为半径.注意：1.从圆的定义可知:圆是指圆周而不是圆面.2.确定圆的要素是：圆心、半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可.以点O为圆心的圆记作：⊙O，读作：“圆O”.探究3：圆的有关性质战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也”.古代的圜（huán）即圆，这句话是圆的定义，它的意思是：圆是从中心到周界各点有相同长度的图形.提问: 如果一个点到圆心距离小于半径, 那么这个点在哪里呢?大于圆的半径呢?反过来呢?试根据圆的定义填空：1.圆上各点到________________的距离都等于___________________.2.到定点的距离等于定长的点都在_________.探究4：点与圆的位置关系如图，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那么OA＜r， OB＝r，OC＞r．结论：点的位置可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来，已知点到圆心的距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位置关系.1.画图：已知Rt△ABC，AB<BC,∠B=90°，试以点B为圆心，BA为半径画圆.2.根据图形回答下列问题：（1）看图想一想，Rt△ABC的各个顶点与⊙B在位置上有什么关系？答：点A在圆上.点B在圆内.点C在圆外（2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？活动2：探究归纳点在圆外，这个点到圆心的距离大于半径.点在圆上，这个点到圆心的距离等于半径.点在圆内，这个点到圆心的距离小于半径.（三）重难点精讲例1.已知⊙O的半径r=2cm,当OP 时，点P在⊙O上；当OA=1cm时，点A在；当OB=4cm时，点B在 .答案：=2cm; ⊙O内; ⊙O外例2.已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，试猜想：矩形的四个顶点能在同一个圆上吗？答：在矩形ABCD中，有OA=OB=OC=OD，四个顶点在同一个圆上，故矩形四个顶点能在同一个圆上.（四）归纳小结通过本课时的学习，需要我们掌握：１.从运动和集合的观点理解圆的定义.２.点与圆的位置关系.３.证明几个点在同一个圆上的方法.（五）随堂检测1.（上海·中考）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B，C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B，C均在圆P内2.（新疆建设兵团·中考）如图，王大爷家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳子可以选用（）A.3mB.5mC.7mD.9m3.（泉州·中考）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是________.（写出符合的一种情况即可）【答案】1. 【解析】选C.由题意知，PB=6，PA=2，PD=7， PC=9，所以点B在圆P内、点C在圆P外.2. 答案:A3. 【解析】∵圆心的位置不确定，∴交点个数共有5种情况即0、1、2、3、4.故答案为0或1或2或3、4.答案：2（符合答案即可）六．板书设计3.1圆1.判断点与圆的位置关系的方法：设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有（1）点P在⊙Ｏ上 OP＝r（2）点P在⊙Ｏ内 OP＜r（3）点P在⊙Ｏ外 OP＞r2.要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点到同一个定点的距离相等.七、作业布置课本P66练习练习册相关练习八、教学反思。
山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆 3.1 圆教案 (新版)北师大版
半径作⊙Ａ，则点Ａ在
A点Ｃ在⊙ Ａ 外部 ，点Ｄ在⊙Ａ 上 .
B
C
２.已知⊙Ｏ的半径是５cm，Ａ为线段ＯＰ的中点，
当OP满足下列条件时，分别指出点Ａ与⊙Ｏ的位置关系：
当OP＝６cm时， 当OP＝10cm时，
当OP＝14cm时，
点Ａ在⊙Ｏ内部; 点Ａ在⊙Ｏ上 ; 点Ａ在⊙Ｏ外部.
C点在圆外，那么
OA＜r， OB＝r， OC＞r．
反过来也成立，即
若点A在⊙O内 若点A在⊙O上 若点A在⊙O外
OA r
OA r OA r
结论：点的位置可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，图反2过3.来2.，1 已知点 到圆心的距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位置关系.
课堂探究
【想一想】
随堂检测
3.（泉州·中考） 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的 圆的公共点个数所有可能的情况是________.（写出符合的一种情况即可） 【解析】∵圆心的位置不确定，∴交点个数共有5种情况即0、1、2、3、4.故 答案为0或1或2或3、4. 答案：2（符合答案即可）
课堂探究
定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点 称为圆心，定长称为半径.
O
A
注意：1.从圆的定义可知:圆是指圆周而不是圆面. 2.确定圆的要素是：圆心、半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可.
以点O为圆心的圆记作：
⊙O，读作：“圆O”.
课堂探究
A.点B，C均在圆P外 B.点B在圆P外、点C在圆P内 C.点B在圆P内、点C在圆P外 D.点B，C均在圆P内 【解析】选C.由题意知，PB=6，PA=2，PD=7， PC=9，所以点B在圆P内、点C 在圆P外.
山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆复习教案 (新版)北师大版
第三章圆一、复习目标1.复习本章内容，以求对本章知识有整体认识2.在巩固复习中，寻求对圆各单元知识有框架性认识3.通过对比、归纳思考本章知识结构，使学生能够增强分析问题解决问题能力。
二、课时安排2三、复习重难点对本章知识结构的总体认识，把握有关性质和定理解决问题。
四、教学过程(一)圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
(二)点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d rA（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；（四）圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1图2图4图5（五）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
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3.4.2圆周角和圆心角的关系
一、教学目标
1.掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题.
2．培养学生观察、分析及理解问题的能力.
3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
圆周角定理的几个推论的应用.
四、教学难点
理解几个推论的“题设”和“结论”
五、教学过程
（一）导入新课
1.圆周角:顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
（二）讲授新课
活动内容1：
探究1; 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
如图1,圆中一段AC对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系?为什么? 如图2,圆中AB EF,
那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?
由此你能得出什么结论?
和的大小有什么关系?为什么?
如图,圆中∠C=∠G, 那么AB EF
由此你又能得出什么结论?
圆周角定理的推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等.
探究2：议一议
1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？
由此你能得出什么结论?
圆周角定理的推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
活动2：探究归纳
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
【规律】圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，
而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁.如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.
（三）重难点精讲
例1.如图,AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?
解析：BD=CD；
理由：如图，连接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC.
又∵AC=AB，∴BD=CD.
例2.如图，⊙O中,D，E分别是AB AC
和的中点, DE分别交AB和AC于点M，N；求证:△AMN是等腰三角形.
证明：如图，连接AD，AE.
∠DAB=∠AED，∠EAC= ∠ADE，
和的中点,
∵ D,E分别是AB AC
∴
AD=DB,AE=EC.
∠DAB=∠AED，∠EAC= ∠ADE，
∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN.
∴△AMN为等腰三角形.
定理：圆的内接四边形的对角互补
定理拓展：任何一个外角都等于它的内对角。
对角：∠D＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°
内对角：∠EAB＝∠BCD，∠FCB＝∠BAD
拓展：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。
求证：CE∥DF
有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦。
此图形是一个考试热门图形。
思考：若此题条件和结论不变，只是不给出图形，此题还能这样证明吗？
（四）归纳小结
1．要理解好圆周角定理的推论.
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的方法： （1）构造直径上的圆周角. （2）构造同弧所对的圆周角.
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一. （五）随堂检测
1.（衡阳·中考）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o
，∠C=50o
， 那么sin ∠AEB 的值为（ ）
A.
1
2
B. 3
C. 2
D. 2
2.（荆门·中考）如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）
第10题图
A. C. 1 D. 2
3．（荆州·中考）△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，作△
ABC 的外接圆．如图，若弧AB 的长为12cm ，那么弧AC 的长是（ ）
A ．10cm
B ．9cm
C．8cm D．6cm
4.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,
⊙O的弦AD交⊙O1于C,则
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
(2)OC与BD的位置关系是___________;
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
5.如图，AE是⊙O的直径, △ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高. 求证：AB·AC=AE·AD.
【答案】
1. 答案：D
2. 答案：B
3. 答案：C
4. OC垂直平分AD ;平分；4
5. 证明：连接EC.因为∠ADB=∠ACE=90°，
∠AEC=∠ABD,
故△ACE∽△ADB,
所以AC AD
. AE AB
即AB·AC=AE·AD.
六、板书设计：
3.4.2圆周角和圆心角的关系
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
例题1：例题2：例题 3:
七、作业布置
课本P83练习1、2、3
练习册相关练习
八、教学反思。