人教版高二数学选修一综合素质检测：第一章试卷
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷(word文档有答案)
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷一．选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1. “21sin =A ”是“︒=30A ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 2. “0<mn ”是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>， D ．对任意的3210x R x x ∈-+>， 4．双曲线121022=-y x 的焦距为（ ） A ．22 B ．24 C ．32 D ．34 5. 设x x x f ln )(=，若2)(0='x f ，则=0x （ ） A ． 2e B ． e C ． ln 22 D ．ln 2 6. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．47．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．12D ．138．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 9．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ． 1B ．21C ． 21- D ． 1- 10．抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ．2=y C ． 321=y D ．2-=y 11．双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是（ ） A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 12．已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且0>x 时'()0,'()0f x g x >>，则0<x 时（ ）A ．'()0,'()0f x g x >>B ．'()0,'()0f x g x ><C ．'()0,'()0f x g x <>D ．'()0,'()0f x g x <<二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值范围为 .14. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB = _____________15．已知双曲线11222-=-+ny n x n ＝ . 16．命题p ：若10<<a ，则不等式0122>+-ax ax 在R 上恒成立，命题q ：1≥a 是函数xax x f 1)(-=在),0(+∞上单调递增的充要条件；在命题①“p 且q ”、②“p 或q ”、③“非p ”、④“非q ”中，假命题是 ，真命题是 . 三．解答题(本大题共5小题，共40分)17(本小题满分8分)已知函数8332)(23+++=bx ax x x f 在1x =及2x =处取得极值．(1)求a 、b 的值；(2)求()f x 的单调区间.18(本小题满分10分) 求下列各曲线的标准方程(1)实轴长为12，离心率为32，焦点在x 轴上的椭圆；(2)抛物线的焦点是双曲线14491622=-y x 的左顶点.19(本小题满分10分) 已知椭圆193622=+y x ，求以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程.20(本小题满分10分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y .已知甲、乙两地相距100千米. （1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21(本小题满分10分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F 点)7,3(P 在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程；(2)记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程.参考答案一．选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1-6 BBCDBD 7-12 ACABCB二．填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13． ),31[+∞ 14． 8 15. 12-或24 16． ①、③, ②、④． 三．解答题（本大题共5小题，共48分）17（本小题满分8分）解：（1）由已知b ax x x f 366)(2++='因为)(x f 在1=x 及2=x 处取得极值，所以1和2是方程0366)(2=++='b ax x x f 的两根 故3-=a 、4=b（2）由（1）可得81292)(23++-=x x x x f )2)(1(612186)(2--=+-='x x x x x f 当1<x 或2>x 时，0)(>'x f ，)(x f 是增加的；当21<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 是减少的。
高二数学选修第1章综合素质检测
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p ：任意x ∈R ，sin x ≤1，则它的否定是( ) A ．存在x ∈R ，sin x ≥1 B ．任意x ∈R ，sin x ≥1 C ．存在x ∈R ，sin x >1 D ．任意x ∈R ，sin x >12．两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 0＝0垂直的充要条件是( ) A ．A 1A 2＋B 1B 2＝0 B ．A 1A 2－B 1B 2＝0 C.A 1A 2B 1B 2＝－1 D.B 1B 2A 1A 2＝13．设M 、N 是两个集合，则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴，命题q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期，下列新命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③綈p ；④綈q .其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．(2010·湖南文，2)下列命题中的假命题．．．是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞0 D ．∀x ∈R,2x ＞0 6．有下列四个命题①“若b ＝3，则b 2＝9”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若c ≤1，则x 2＋2x ＋c ＝0有实根”；④“若A ∪B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．B ＝60°是△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列的( ) A ．充分而不必要条件 B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 8．“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 9．下列语句是命题的个数为( )①空集是任何集合的真子集； ②x 2－3x －4＝0； ③3x －2>0； ④把门关上； ⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．给出命题：“已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4 11．下列命题为特称命题的是( )A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在实数大于等于312．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：|x |<1是x <a的充分不必要条件，则( )A ．p 或q 为真命题B ．p 且q 为假命题C ．綈p 且q 为真命题D ．綈p 或綈q 为真命题二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切的一个充分非必要条件是________． 14．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是________． 15．条件p ：|x ＋1|>2；条件q ：13－x >1，则¬p 是¬q 的________条件．16．给出下列四个命题：①若命题p ：“x >2”为真命题，则命题q ：“x ≥2”为真命题； ②y ＝2－x (x >0)的反函数是y ＝－log 2x (x >0)；③在△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件是A >B ；④平行于同一平面的两直线平行．其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)写出命题：“若x2＋x≤0，则|2x＋1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．18．(本题满分12分)“菱形的对角线互相垂直”，将此命题写成“若p则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并指出其真假．19．(本题满分12分)证明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.20．(本题满分12分)已知p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋116a)的定义域为R；q：a≥1.如果命题“p∨q为真，p∧q为假”，求实数a的取值范围．21．(本题满分12分)(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？若存在，求出p的取值范围．(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？若存在，求出p的取值范围．22．(本题满分14分)已知数列{a n}的前n项的和为S n＝(n＋1)2＋t，(1)证明：t＝－1是{a n}成等差数列的必要条件；(2)试问：t＝－1时，{a n}是否成等差数列．1[答案] C[解析] 全称命题的否定为特称命题，故选C. 2[答案] A3[答案] B[解析] 由韦恩图易知“M ∪N ≠∅”⇒/ “M ∩N ≠∅”，且“M ∩N ≠∅”⇒“M ∪N ≠∅”，本题既考查了对集合中交集、并集概念的理解，又考查了对充分条件、必要条件等概念的掌握情况．4[答案] C[解析] 由题意知p 真q 假，则①④为真命题，故选C. 5[答案] C[解析] 本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判断． 对于选项C ，∃x ∈R ，x 3≤0是真命题，故C 是假命题．6[答案] A[解析] “若b ＝3，则b 2＝9”的逆命题：“若b 2＝9，则b ＝3”假； “全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”假； 若c ≤1，则方程x 2＋2x ＋c ＝0中，Δ＝4－4c ＝4(1－c )≥0，故方程有实根； “若A ∪B ＝A ，则A ⊆B ”为假，故其逆否命题为假． 7[答案] B[解析] 在△ABC 中，若B ＝60°，则A ＋C ＝120°， ∴2B ＝A ＋C ，则A 、B 、C 成等差数列；若三个内角A 、B 、C 成等差，则2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，B ＝60°. 8[答案] C[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2－2x －1＝0， 即(x －1)2＋y 2＝2，若a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠0(2a )2－4a 3>0，解得a ＝－1，故选C. 9[答案] A[解析] ①假命题．因为空集是空集的子集而不是真子集．②③是开语句，不是命题． ④是祈使句，不是命题． ⑤是疑问句，不是命题． 故只有①是命题，应选A. 10[答案] B[解析] 原命题为真，逆命题为假，故逆否命题为真，否命题为假，所以真命题有两个． 11[答案] D [解析] A 、B 、C 三个答案中都含有“所有”这个全称量词，只有D 答案中有存在量词“存在”．12[答案] A[解析] 命题p ：当a >1时Δ＝4－4a <0，即x 2＋2x ＋a >0恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，即命题p 是真命题；命题q ：当a >1时|x |<1⇔－1<x <1⇒x <a 但x <a ⇒/ －1<x <1，即|x |<1是x <a 的充分不必要条件，故命题q 也是真命题，故得命题p 或q 是真命题，因而选A.13[答案] D ＝0，E ≠0，F ＝014[答案] 圆的切线到圆心的距离等于圆的半径 15[答案] 充分不必要条件[解析] p ：|x ＋1|>2，x ＋1>2或x ＋1<－2，∴x >1或x <－3；q ：13－x >1，x －23－x >0，(x －2)(x －3)<0，∴2<x <3， ¬p ：－3≤x ≤1；¬q ：x ≥3或x ≤2. ¬p ⇒¬q ，而¬q ⇒/ ¬p . 16[答案] ①③[解析] y ＝2－x (x >0)的反函数为y ＝－log 2x (0<x <1)，故②错误；如图．a ∥α，b ∥α，而a 与b 不平行，④错误； 在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B .(2R 为△ABC 外接圆直径)⇔sin A >sin B ，故③正确；x >2为真，x ≥2为真，故①正确． 17[解析] 逆命题：若|2x ＋1|<1，则x 2＋x ≤0，为真； 否命题：若x 2＋x >0，则|2x ＋1|≥1，为真． 逆否命题：若|2x ＋1|≥1，则x 2＋x >0，为假． 18[解析] “若p 则q ”形式：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直”逆命题：“若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形”，假． 否命题：“若一个四边形不是菱形，则它的对角线不垂直”，假． 逆否命题：“若一个四边形的对角线不垂直，则它不是菱形”，真． 19[证明] 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根．所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0，所以ac <0.充分性：由ac <0，可推得b 2－4ac >0，及x 1x 2＝ca<0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号．即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. [点评] 证明充要条件，即证明原命题和逆命题都成立．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．20[解析] 由p 真可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4a ·116a <0，解得a >2， 由p ∨q 为真，p ∧q 为假知，p 和q 中一个为真、一个为假． 若p 真q 假时a 不存在，若p 假q 真时1≤a ≤2. 综上，实数a 的取值范围是1≤a ≤2.21[解析] (1)由4x ＋p <0⇒x <－p4.x 2－x －2>0⇒x >2或x <－1， 依题意必须有： －p4≤－1⇒p ≥4. ∴当p ≥4为实数时，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件．(2)∵当x >2时，找不到任何一个p 使x <－14p ，∴不存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的必要条件．22[解析] (1)证明：∵a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2＋t －(n －1＋1)2－t ＝2n ＋1 (n ≥2)，∵{a n }为等差数列，∴a 1＝3＝S 1＝4＋t ，∴t ＝－1.∴t ＝－1是{a n }成等差数列的必要条件． (2)当t ＝－1时， S n ＝(n ＋1)2－1，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1 (n ≥2)，d ＝a n －a n －1＝2.而a 1＝S 1＝3也满足上式． ∴t ＝－1时，{a n }成等差数列．。
新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．如图，在正方形中，点,E F 分别是线段,AD BC 上的动点，且,AE BF AC =与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，则下列选项中错误的是（ ）A ．AGC ∠的角度不会发生变化B ．AC 与EF 所成的角先变小后变大 C ．AC 与平面ABFG 所成的角变小D ．二面角G AC B --先变大后变小2．如图所示，在正四面体A -BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )A ．32B ．23C ．12D ．333．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．3010B ．15-C ．7010D ．154．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，且2AB BC ==，3AD =，PA ⊥平面ABCD 且2PA =，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（ ）A 42B 3C 7D 6 6．已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是（ ） A ．60B ．120C ．30D ．907．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．28．如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c =,M 是1D D 的中点,点N 是1AC 上的点,且113AN AC =,用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++ B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．121336a b c --9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为63：④二面角A BC D --2：其中正确结论的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =，12BN BC =，12BH BA =，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=（ ） A ．105B ．125C ．145D ．16511．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A 6 B ．6±C 6D ．6±12．设向量(),,0u a b =，(),,1c d υ=，其中22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（ ）A ．向量υ与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关）B ．u υ⋅的最大值为2C ．u 与υ夹角的最大值为34π D ．ad bc -的最大值为l13．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1二、填空题14．在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．15．已知空间向量(0,1,1),(1,0,1)a b ==，则向量a 与b 的夹角为_____________. 16．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,3,4AB BC AA ===，则点D 到平面11A D C 的距离是______．17．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．18．正四面体ABCD 的棱长为22的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．19．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为2，则1AC 与1B C 所成的角为___________.20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．21．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.22．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.23．设向量()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，若4cos ,9a b =，则实数λ的值为________. 24．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.25．已知(2,1,3)a →=-，(4,2,)b x →=-，(1,,2)c x →=-，若a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，是x =________.26．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，利用空间向量的数量积可判断A ，B ；求出平面ABFG 的一个法向量，设AC 与平面ABFG 所成的角为θ，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C ；求出平面AGC 的法向量以及平面AGC 的法向量，利用空间向量数量积即可求解. 【详解】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，(),0,0A a ，()0,1,1C a -，()0,,0G a ，()0,1,0F ，(),1,0B a ，对于A ，(),,0AG a a =-，()0,1,1GC a a =--，()11cos 2221AG GC a a AGC a a AG GC⋅-∠===⋅-， 故AGC ∠的角度不会发生变化，所以A 正确； 对于B ，设AC 与EF 所成的角为θ，(),1,1AC a a =--，()0,1,0EF =， ()222cos 222111AC EF AC EFa a a a θ⋅===-+++-⨯，2222a a -+对称轴为12，且()0,1a ∈，所以2222a a -+先减小后增加， 所以cos θ先增加再减小，即AC 与EF 所成的角先变小后变大，故B 正确； 对于C ，平面ABFG 的一个法向量为()0,0,1m =， 设AC 与平面ABFG 所成的角为θ，sin cos ,ACm AC m ACma θ⋅======， ()0,1a ∈，则1a a+单调递减，sin θ单调递减， 所以AC 与平面ABFG 所成的角变小，故C 正确；对于D ，设平面AGC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AG n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()11111010ax ay ax y a z -+=⎧⎨-++-=⎩，令11x =，11y =，11z =-， 不妨设1,1,1n，设平面ACB 的一个法向量为()222,,p x y z =，则00p AB P CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，()222010y ax a z =⎧⎨+-=⎩，令2z a =，21x a =-，即()1,0,p a a =-，cos,3n pn p n p⋅==== 2221a a -+对称轴为12，在()0,1先减小后增大，()0,1先减小后增大， 二面角G AC B --为钝角，cos ,n p ∴=-先增大后减小， 故二面角G AC B --先减小后增大，故D 错误. 故选：D 【点睛】 思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.2．B解析：B 【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A 在下底面的投影，进一步求出E 在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果. 【详解】在正四面体A BCD -中，设棱长为a ，E 为棱AD 的中点， 如下图所示过A 做AO ⊥平面BCD ，则O 为平面BCD 的中心，延长DO 交BC 于G ，过E 做EF GD ⊥， 连接FC ，所以ECF ∠就是所求的CE 与平面BCD 的夹角． 所以222GD CD CG =-，求得3GD a =， 所以33DO a =，利用222AO AD OD =-，解得63AO a =， 所以6EF a =，3CE a =， 在Rt EFC 中，2sin EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题．3．A解析：A 【分析】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1B P 和MN 的坐标，设1B P 与MN 所成的角为θ，利用11cos B P MN B P MNθ=⋅⋅即可求解.【详解】如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,1,0M ，()2,2,1N ，()12,0,2B ，()0,1,2P ， 所以()12,1,0B P =-，()2,1,1MN =， 设1B P 与MN 所成的角为θ， 所以1122130cos 1056B P MN B P MNθ=⋅-⨯+==⨯⋅， 1B P 与MN 所成角的余弦值为3010，故选：A 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.4．A解析：A 【分析】建立空间坐标系，计算1AA 坐标，计算平面11AB C 的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可． 【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，以AD 为x 轴，以CD 为y 轴，以1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得()1,0,0A ，()11,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而 ()()111,0,3,0,3,3B C -，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()3,3,2m =-，111 1,?2|?|m AA cos m AA m AA ==.故1AA 与平面11AB C 所成角的大小为030，故选A ． 【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．5．C解析：C 【分析】以A 为坐标原点建立空间坐标系，进而求得PB 和平面PCD 的法向量，再由向量的数量积即可求得PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【详解】依题意，以A 为坐标原点,分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，2,3,2AB BC AD PA ====,则()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,3,0P B C D ,从而()()()2,0,2,2,2,2,0,3,2PB PC PD =-=-=-设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =,00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2220320a b c b c +-=⎧⎨-=⎩， 不妨取3c =c=3,则1,2a b ==,所以平面PCD 的一个法向量为()1,2,3n =，所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值sin cos ,PB n θ===， 故选C.【点睛】本题主要考查了线面所成的角, 其中求解平面的法向量是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 6．B 解析：B 【分析】利用平面向量的数量积公式先求解a b ⋅，再计算a 与b ，根据数量积夹角公式，即可求解.【详解】由题意得：()()12122a b e e e e ⋅=+⋅-221122132111222e e e e =-⋅-=-⨯⨯-=-，2222121122()21a e e e e e e a ==+=++==⋅ 2222112122(2)4?41b b e e e e e e ==-=+-=-= 设,a b 夹角为312,cos ,018032a b a b θθθ-⋅===-︒≤≤︒⋅， ∴120θ=.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.7．B解析：B【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC =++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解. 【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°， 所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++，所以()()2211BD BA BB BC =++， 222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以12BD =， 故选：B【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．D解析：D【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中根据空间向量的加法合成法则,对向量MN 进行线性表示,即可求得答案.【详解】连接1C M113AN AC = 可得:1123C N C A = ()111AC AA AC AA AD AB c a b =+=++=++ ∴1122223333C N C A c a b ==--- 又112C M a c =-- ∴11MN C N C M =-22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭ 121336a b c --= ∴121336a b N c M =-- 故选: D.【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题. 9．A解析：A【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论.【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =， 1cos 22AD BCAD BC AD BC ⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确： ()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确：设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则6sin cos ,332BC t BC t BC t θ⋅====⋅⋅，故③正确：平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =， 则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m nm n m n⋅<>==⋅， ∴6sin ,3m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10．C解析：C【分析】根据条件确定O 点位置，再根据向量表示确定,,x y z 的值，即得结果.【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==⨯=⨯⨯=. 所以123B O OP =， 因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=⋅+⋅+=++， 因为BO xBH yBN zBM =++，所以411,,555z x y ===,1435x y z ∴++=. 故选：C【点睛】 本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.11．C解析：C【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-， ∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴2λ=． 故选：C ．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．12．B解析：B【分析】在A 中，取z 轴的正方向向量(0,0,t)t =，求出n 与t 的夹角即可判断命题正确；在B 中，计算u v ac bd ⋅=+，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C 中，利用数量积求出u 与v 的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D 中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．【详解】解：由向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，其中22221a b c d +=+=，知：在A 中，设z 轴正方向的方向向量(0,0,),0z t t =>，向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值：2cos 452||||z v a z v t c α︒⋅===∴=⋅⋅， ∴向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°（与c ，d 之值无关），故A 正确；在B 中，222222221222a cb d a bcd u v ac bd +++++⋅=+≤+==， 且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u v ⋅的最大值为1，故B 错误；在C 中，由B 可得：||1,11u v u v ⋅≤∴-≤⋅≤，2cos ,||||2u v u v u v a ⋅∴<>==≥=-⋅+， ∴u 与v 的夹角的最大值为34π，故C 正确； 在D 中，222222221222a dbc a b cd ad bc +++++-≤+==， ∴ad −bc 的最大值为1．故D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．13．D解析：D【分析】根据平面向量运算法则可知2i iAB AP AB AB BP ⋅=+⋅，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=，从而得到21i AB AP AB ⋅==，进而得到结果. 【详解】 ()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅AB ⊥平面286BP P P i AB BP ∴⊥ 0i AB BP ∴⋅= 21i AB APAB ∴⋅== 则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个故选：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想. 二、填空题14．【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中已知现沿轴将坐标平面折成的二面角后在平面上的射影为作轴交轴于点所以所以所以故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题考解析：【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ，所以AB AC CD DB =++,所以2222222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅ 2221648268682=++-⨯⨯⨯=，所以AB =,故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题. 15．【分析】根据两向量的夹角余弦公式即可求出两向量的夹角【详解】解：10向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题是基础题目 解析：3π【分析】根据两向量的夹角余弦公式，即可求出两向量的夹角．【详解】 解：(0a =，1，1)，(1b =，0，1)， ∴·1a b =，||2a =，||2b =，cos a ∴<，12||||22a b b a b >===⨯⨯， 向量a 与b 的夹角为3π． 故答案为：3π. 【点睛】 本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．16．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系设平面的法向量则即取得∴点到平面的距离：故答案为【点睛】空间中点到平面的距离 解析：125【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面11A D C 的距离．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，1(3,0,4)A ，1(0,0,4)D ，(0,3,0)C ，1(0,0,4)D D =-，11(3,0,0)D A =，1(0,3,4)DC =-， 设平面11A D C 的法向量(,,)n x y z =，则11100n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30340x y z =⎧⎨-=⎩，取4y =，得(0,4,3)n =， ∴点D 到平面11A D C 的距离： 112||5D D nd n ⋅==． 故答案为125． 【点睛】 空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影问题.17．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5 【解析】 分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度.详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥，所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-， 所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=. 点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.18．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D 为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值：解析：4-【解析】很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且： ()()()2420,AM AN AD DM AD DN AD AD DM DN DM DNAD DO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+ 当向量,AD DO 反向时，AM AN ⋅取得最小值：4224-⨯=-19．【分析】作出图形分别取的中点连接以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得异面直线与所成的角【详解】分别取的中点连接如下图所示：在正三棱柱中平面且分别为的中点且所以四边形为 解析：3π 【分析】作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1AC 与1B C 所成的角.【详解】分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，11//AC A C 且11AC A C =， O 、E 分别为AC 、11A C 的中点，1//AO A E ∴且1AO A E =，所以，四边形1AOEA 为平行四边形，1//OE AA ∴，则OE ⊥平面ABC ， ABC 为等边三角形，O 为AC 的中点，则OB AC ⊥，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()0,1,0C 、13,0,22B 、(10,1,22C ， (10,2,22AC =，(13,1,22B C =--， 1111111cos ,22323AC B CAC B C AC B C ⋅<>===-⨯⋅， 因此，1AC 与1B C 所成的角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.20．【解析】分析：以D 为原点建立空间直角坐标系设再求出平面和平面的法向量利用法向量所成的角表示出二面角的平面角解方程即可得出答案详解：以D 为原点以为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为由题可知平 解析：23【解析】分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(,,)m x y z =由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=- 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n =(,,)m x y z =为平面1D EC 的法向量，∴120(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=-二面角1D EC D --的大小为4π ∴cos 4m nm n π⋅=⋅，即 222(2)12λ=-++ 解得 23λ=-，23λ=+（舍去）∴23AE =-故答案为23-点睛：空间向量法求二面角（1）如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=(或12,n n π-)．21．【分析】建立空间直角坐标系由求得得到进而求得三角形的面积的最小值得到答案【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点以DC 所在直线为y 轴以DA 所在直线为x 轴以为z 轴建立空间直角坐标系则点所以因为所以因为所以【分析】建立空间直角坐标系，由1D P CM ⊥，求得22z y =-，得到BP =而求得三角形的面积的最小值，得到答案.【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ，所以1(2,,2)D P y z =-.因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-,因为1D P CM ⊥,所以4220y z -+-=，所以22z y =-，因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-，所以BP ===因为02y ≤≤，所以当65y =时，min BP =.因为BC ⊥BP ,所以min 1()22PBC S ∆=⨯=. 【点睛】 本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得BP 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若向量是平面的法向量则若则则向量所在直线平行于平面或在平面内即充分性不成立若向量所在直线平行于平面或在平面内则向量是平面的法向量 解析：必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立， 若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α，向量n 是平面α的法向量，∴n α⊥，则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键．23．或【分析】由公式结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数的方程解出该方程可得出实数的值【详解】则解得或故答案为或【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列 解析：2或1227-. 【分析】 由公式4cos ,9a ba b a b ⋅==⋅结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数λ的方程，解出该方程可得出实数λ的值. 【详解】()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，246a b λλ⋅=+-=-，25a λ=+，3b =， 24cos ,9a ba b a b λ⋅===+⋅，则606λλ->⇒<，解得2λ=或1227-. 故答案为2或1227-. 【点睛】 本题考查空间向量数量积的坐标运算，解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.24．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了 解析：2【分析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n=++△，由基本不等式即可得解. 【详解】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，()3,0,0A ， 所以()10,1,M n m D =-，()3,1,AM n =-，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n -=， 所以()122122111113114222MAD S M AM m n n n nD =⋅=+-++=++△()2222221114143415522222n n n n n n ⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当2n =322m =时，等号成立， 所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱1322AA =. 故答案为：322. 【点睛】 本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.25．-4【分析】由题可知可得运用向量数量积的坐标运算即可求出【详解】解：根据题意得解得：故答案为：【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系运用空间向量数量积的坐标运算考查计算能力解析：-4【分析】由题可知，a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，可得0a b c →→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，运用向量数量积的坐标运算，即可求出x ． 【详解】解：根据题意得， ()2,1,3a b x →→+=-+ a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭， ∴22(3)0a b c x x →→→⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭， 解得：4x =-．故答案为：4-．【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系，运用空间向量数量积的坐标运算，考查计算能力． 26．1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点分别是边的中点则又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2所以原式故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的运算解题过 解析：1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.。
人教版高二数学选修一综合素质检测：第一章试卷
高二是承接高一和高三的纽带，为了帮助同学们巩固复习学过的知识，查字典数学网编辑老师为大家整理了人教版高二数学选修一综合素质检测：第一章试卷，希望大家喜欢。
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在下列各量之间存在相关关系的是()①正方体的体积与棱长间的关系;②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系;③人的身高与年龄;④家庭的支出与收入;⑤某户家庭用电量与电价间的关系.A.②③ B.
③④C.④⑤ D.②③④[答案] D2.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程y=60+90x，下列判断正确的是()A.劳动生产率为1000元时，工资为150元B.劳动生产率为1000元时，工资提高150元C.劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D.劳动生产率为1000元时，工资为90元[答案] C3.对于回归分析，下列说法错误的是()A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定B.线性相关系数可以是正的或负的C.回归分析中，如果r2=1，说明x与y之间完全线性相关D.样本相关系数r(-，+)[答案] D[解析] 在回归分析中，样本相关系数r的范围是|r|1.4.身高与体重有关，可以用__________分析来分析()A.残差 B.回归 C.二维条形图 D.独立检验[答案] B[解析] 身高与体重问题具有线性相关关系，故可用回归分析来分析.。
高中数学人教版选修1-2习题第1章 统计案例 综合素质检测1 Word版含解析
第一章综合素质检测时间分钟，满分分。
一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．经过对随机变量的研究，得到了若干个临界值，当其观测值≤时，对于两个事件与，我们认为( )．有的把握认为与有关系．有的把握认为与有关系．没有充分理由说明事件与有关系．确定事件与没有关系[答案][解析]依临界值表排除、，选项不正确，故选．．一位母亲记录了儿子～岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为＝＋.用这个模型预测这个孩子岁时的身高，则正确的叙述是( )．身高一定是．身高在以上．身高在以下．身高在左右[答案][解析]线性回归方程只能近似描述，不是准确值．．某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了人，计算发现＝，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( )．．[答案][解析]∵＝>，故其可信度为．．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施( )．关系不明确．以上都不正确[答案][解析]由公式计算得＝≈>，则认为“实验效果与教学措施有关”的概率为．．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了下表：临界值表：．．．．[答案][解析]∴<≈<，故有的把握认为喜爱打篮球与性别之间有关系．．如下图所示，个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )[答案] [解析]题图中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．故选．．四名同学根据各自的样本数据研究变量，之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①与负相关且＝－；②与负相关且＝－＋；③与正相关且＝＋；④与正相关且＝－－．。
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷(word文档有答案)
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷(word文档有答案)新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.“sinA=1/2”是“A=30°”的（）。
A。
充分而不必要条件B。
必要而不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件2.“mn<0”是“方程mx^2+ny^2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）。
A。
充分而不必要条件B。
必要而不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件3.命题“对任意的x∈R，x-x+1≤32”的否定是（）。
A。
不存在x∈R，x-x+1≤32B。
存在x∈R，x-x+1≤32C。
存在x∈R，x-x+1>32D。
对任意的x∈R，x-x+1>324.双曲线x^2/102-y^2/22=1的焦距为（）。
A。
2√22B。
4√22C。
2√10D。
4√105.设f(x)=xlnx，若f'(x)=2，则x=（）。
A。
eB。
e^2C。
ln2D。
26.若抛物线y=2px的焦点与椭圆x^2/36+y^2/4=1的右焦点重合，则p的值为（）。
A。
-2B。
2C。
-4D。
47.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）。
A。
√3/2B。
2/3C。
1/2D。
1/38.已知两点F1(-1,0)、F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）。
A。
x^2/9+y^2=1B。
x^2/4+y^2=1C。
x^2+y^2/9=1D。
x^2+y^2/4=19.设曲线y=ax^2在点（1，a）处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a=（）。
A。
1B。
1/2C。
-1/2D。
-110.抛物线y=-x^2的准线方程是（）。
A。
x=11/8B。
y=2C。
y=-2D。
y=-11/811.双曲线x^2/49-y^2/39=1的渐近线方程是（）。
A。
y=±x/7B。
y=±3x/7C。
高二数学选修第一章练习题
高二数学选修第一章练习题在高二数学选修的第一章中，我们学习了一些重要的概念和方法，通过理论知识的学习和练习题的完成，我们可以提升自己的数学能力。
下面是一些练习题，希望大家认真思考并尽力完成。
1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，请你求解方程f(x) = 0的解，并确定函数f(x)的图像与x轴的交点坐标。
2. 已知一个等差数列的前5项依次为-10，-5，0，5，10，请你求出这个等差数列的公差d，并计算该数列的第50项。
3. 已知一个等比数列的首项为3，公比为2，请你计算该等比数列的前10项的和。
4. 已知直角三角形ABC，其中∠C=90°，边AC的长度为8cm，边BC的长度为6cm。
请你计算三角形ABC的斜边AB的长度。
5. 已知正方形ABCD的边长为10cm，点P在AD边上，且PD的长度为4cm，请你计算两条对角线AC和BP的交点坐标。
6. 设函数f(x) = 3x^2 - 6x + 9，请你求函数f(x)的最小值，并确定该最小值点的坐标。
7. 已知事件A和事件B相互独立，且事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.4，请你计算事件A和事件B同时发生的概率。
8. 已知一边长为5cm的正方形ABCD，点P在AD边上，且PD的长度为3cm，请你计算正方形ABCD和三角形BPC的面积之比。
9. 设函数f(x) = sin(x)，请你画出函数f(x)在区间[0, 2π]上的图像。
以上是第一章练习题的内容，希望大家认真思考并尽力完成。
这些题目涉及到了函数、数列、三角形等数学知识点，通过独立解题和思考，将能够提升自己的数学能力。
在解题过程中，可以利用所学的知识和方法进行分析和计算，也可以利用图形工具进行辅助。
希望大家通过练习题的完成，不断巩固和拓展自己的数学知识，为接下来的学习打下坚实的基础。
以上完成了对高二数学选修第一章练习题的要求，希望对大家的学习有所帮助。
通过完成这些习题，我们可以更好地理解和掌握相关的知识点，提高自己的数学能力。
人教a版选修1-1综合质量评估数学试卷有答案-(高二)AKqKAK
综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使-x0+1>0C.∃x0∈R,使-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a 等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.7 B.6 C.5 D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,3)C.[0,3]D.[1,3]【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f′(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C. D.【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为-y2=1,设点P(x0,y0)(x0≥),则有-=1(x0≥),解得=-1 (x0≥),因为=(x0+2,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+2)+=x0(x0+2)+ -1=+2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-,因为x0≥,所以当x0=时,·取得最小值×3+2-1=3+2,故·的取值范围是[3+2,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是.【解析】因为f′(x)=,所以f′(e)=,又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x.答案:y=x14.若命题“∃x0∈R,a+x0+1<0”是假命题,则a的取值范围是.【解析】因为∃x0∈R,a+x0+1<0是假命题,所以∀x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0,命题成立.当a≠0时,即所以a≥,所以a的取值范围为a≥或a=0.答案:a≥或a=015.(2016·临沂高二检测)若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k= . 【解析】设切点坐标为(x0,y0).因为y=lnx,所以y′=.所以f′(x0)==k.因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,所以把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.所以k==.答案:16.(2016·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ,b= .【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.答案:1 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·西安高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,若p真,由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,所以-2<a<2.若q真,即函数f(x)=(3-2a)x是增函数,则3-2a>1,所以a<1.又由于p或q为真,p且q为假,所以p和q一真一假,(1)若p真q假,则所以1≤a<2.(2)若p假q真,则所以a≤-2.综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).【补偿训练】已知p:f(x)=x+在区间 [1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若“p∨q”为真,求实数a的取值范围.【解析】若p真,f′(x)=1-.因为f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数,则f′(x)=1-≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x2在[1,+∞)上恒成立,所以a≤(x2)min,所以a≤1.p:A={a|a≤1}.若q真,f′(x)=3x2+2ax+3.要使得f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值,则f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,Δ=4a2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3.q:B={a|a<-3或a>3}.因为“p∨q”为真,所以A∪B={a|a≤1或a>3}.所以所求实数a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解.即方程3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得b≤.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立.所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m 的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),令f′(x)≥0,得a≤x≤3a,令f′(x)≤0,得x≥3a或x≤a,所以f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以f(x)在x=a处取得极小值,在x=3a处取得极大值.由已知有即解得所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+2x2-3x-1.(2)由(1)知f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,则必须有解得实数a的取值范围为.21.(12分)(2016·南阳高二检测)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F 的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若·=1,求直线l的斜率.(2)求∠ATF的最大值.【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),当直线l与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时·=(2,2)·(2,-2)=0,这与·=1矛盾.故直线l与x轴不垂直.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-1). ①将①代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x ∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).。
人教新课标高中数学选修1-2第一章测试题及答案
（选修1-2）第一章统计案例——测试题答题时间50分钟，满分100分（命题人：依兰高中 刘 岩）一、选择题（每小题8分，5个小题共40分）1、下列结论正确的是( C )①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④2、设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x 增加一个单位时（ C ）A.y 平均增加2.5个单位B.y 平均增加2个单位C.y 平均减少2.5个单位D.y 平均减少2个单位3、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( C )A.y ∧=1.23x ＋4B.y ∧=1.23x+5 C. y ∧=1.23x+0.08 D. y ∧=0.08x+1.234、2．下面是一个2×2列联表：则表中a 、b 处的值分别为( A )A ．52、60B ．52、50C ．94、96D ．54、52D ）A.（2，2）点B.（1.5，0）点C.（1，2）点D.（1.5，4）点6、已知回归直线方程 y bx a =+，其中3a =且样本点中心为(12)，，则回归直线方程为（ C ） Ａ．3y x =+ Ｂ．23y x =-+ Ｃ．3y x =-+ Ｄ．3y x =-7、为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校中学生中随机抽取了300名学生，得到如下列联表：你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系的把握有（ B ）Ａ．0Ｂ．95%Ｃ．99%Ｄ．100%8、在回归直线方程 y a bx=+中，回归系数b表示（ D ）Ａ．当0x=时，y的平均值Ｂ．x变动一个单位时，y的实际变动量Ｃ．y变动一个单位时，x的平均变动量Ｄ．x变动一个单位时，y的平均变动量9、如图所示，图中有5组数据，去掉哪组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大(A)A．E B．C C．D D．A10、如下图所示是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出(C)A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比例为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生中不喜欢理科的比例为60%11、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关指数R2则试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性的同学是( D )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12、对于分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k ，下列说法正确的是( B)A ．k 越大，推断“X 与Y 有关系”，犯错误的概率越大B ．k 越小，推断“X 与Y 有关系”，犯错误的概率越大C ．k 越接近于0，推断“X 与Y 无关”，犯错误的概率越大D ．k 越大，推断“X 与Y 无关”，犯错误的概率越小二、填空题：（每小题8分， 2个小题共16分）13、对于线性回归方程 ＝4.75x ＋257，当x ＝28时，y 的估计值为_ 390_______．14、从某地区老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：15、对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为_y_＝－10＋6.5x .____________．16、若两个分类变量X 与Y 的列联表为：则“X 与Y ．三、解答题17．（20分）某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：(1) 求y 关于x 的回归直线方程．(2) 并预测广告费支出700万元的销售额大约是多少万元？ 解：（1）由已知：x ＝5； y ＝50； ∑i ＝15x 2i ＝145； ∑i ＝15x i y i ＝1380 可得b ^＝22i i i x y nx yx nx -⋅-∑∑＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5.所求的回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.（2）由（1）可知：回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.又700万元=7百万元即 x=7时y ^＝6.5×7+17.5=63 （百万元）答：广告费支出700万元销售额大约是6300万元。
高中数学人教a版高二选修1 1章末综合测评第一章_word版含解析
高中数学人教a版高二选修1 1章末综合测评第一章_word版含解析高中数学人教a版高二选修1-1章末综合测评第一章_word版含解析第（一）章末综合评价常用逻辑术语（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“有且只有一个平面穿过两条相交的直线”是（）A.全名命题C.P.的形式∨ Qb．特称命题d．p∧q形式【分析】这个命题隐含着“任意”一词，即只有一个平面穿过任意两条相交的线【答案】a2.让x∈ R、那么“x>1”是“X3>1”的（）项。
A.充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.必要和充分条件d．既不充分也不必要条件【分析】由于函数f（x）=X3是R上的一个递增函数，当x>1时，X3>1为真。
相反，当X3>1时，x>1也成立。
因此，“x>1”是“X3>1”的一个充要条件，所以C【答案】c3.对命题“”X的否定∈ R、X2≠ X“是（）A？X？r，x2≠xc。
？十、r、x2≠十、b．?x∈r，x2＝xd．?x∈r，x2＝x【分析】否定全名命题需要将全名量词改为特殊名量词，并否定结论4．全称命题“?x∈z,2x＋1是整数”的逆命题是()a．若2x＋1是整数，则x∈zb．若2x＋1是奇数，则x∈zc．若2x＋1是偶数，则x∈zd．若2x＋1能被3整除，则x∈z第1页，共8页【解析】易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈z.【答案】a5.已知命题p：对于任意x∈ R、总是有| x |≥ 0; q:X=1是方程X+2=0的根。
那么下面的命题是正确的a．p∧?qc．?p∧?qb、 ?。
？P∧qd.p∧Q【解析】命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题?q为真命题，所以p∧?q为真命题，故选a.[答：]a6．南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是()a．全等三角形的面积不一定都相等b．不全等三角形的面积不一定都相等c．存在两个不全等三角形的面积相等d．存在两个全等三角形的面积不相等命题是省略量词的全名命题an＋an＋17．原命题为“若＜an，n∈n＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否2.命题和逆无命题的真假判断如下，正确的判断为（）a．真，真，真c．真，真，假b、假，假，真D.假，假，假an＋an＋1[分析]从原始命题的真假开始，因为<an？安＋1＜安？{an}是递减列，2即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选a.[答：]a8．给定两个命题p，q.若?p是q的必要而不充分条件，则p是?q的()a．充分而不必要条件c．充要条件b、必要条件和不充分条件D.既不充分也不必要条件第2页共8页【分析】Q？？P相当于P？？Qpd？/Q等于？qd？/p、那么p是？Q的一个充要条件【答案】a9.一元二次方程AX2+4x+3=0（a）的充要条件≠ 0）有一个正根和一个负根是（）a．a＜0c．a＜－1二b．a＞0d．a＞1三【解析】一元二次方程ax＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根?＜0，解A得到A<0，因此A<-1是一个充分和不必要的条件【答案】c10.设集合u={（x，y）|x∈ R、y∈ r} ，a={（x，y）|2x-y+m>0}，B={（x，y）|x+y-n≤ 0}，则是点P（2,3）的充要条件∈ A.∩ （UB）是（）a．m＞－1，n＜5c．m＞－1，n＞5b、 m＜1，n＜5d。
人教新课标版数学高二-数学选修1-1综合素质检测 第一章 常用逻辑用语
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012～2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期中测试)命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0[答案] C[解析] 全称命题的否定是特称命题，将“任意”改为“存在”，将“≤”改为“>”．2．(2012～2013学年度吉林油田高中高二期末测试)若命题“p 或q ”为真命题，“非p ”为真命题，则( )A ．p 真q 真B ．p 假，q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假[答案] B[解析] ∵“非p ”为真命题，∴p 为假命题，又“p 或q ”为真命题，∴q 为真命题．3．(2012～2013学年度长春二中高二期末测试)设a ∈R ，则“a >1”是“”1a <1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] a >1⇒1a <1，1a <1⇒/ a >1，故选A.4．下列语句是命题的个数为( )①空集是任何集合的真子集；②x 2－3x －4＝0；③3x －2>0；④把门关上；⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] ①假命题．因为空集是空集的子集而不是真子集．②③是开语句，由于不知x 的取值范围，无法判断其真假，因此不是命题．④是祈使句，不是命题．⑤是疑问句，不是命题．故只有①是命题，应选A.5．有下列四个命题①“若b ＝3，则b 2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”假；若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．6．(2012～2013学年度甘肃兰州第五十五中学高二期末测试)命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是()A．所有奇数的立方不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数[答案] C[解析]“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数的立方不是奇数”，故选C.7．(2012～2013学年度宁夏宁大附中高二期末测试)“a⊥α，则a垂直于α内任一条直线”是()A．全称命题B．特称命题C．不是命题D．假命题[答案] A[解析]命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．8．“B＝60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的()A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]在△ABC中，若B＝60°，则A＋C＝120°，∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列；若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.9．“a＝－1”是方程“a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0”表示圆的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[答案] C[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2－2x －1＝0，即(x －1)2＋y 2＝2表示圆，若a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则应满足⎩⎨⎧ a 2＝a ＋2≠0(2a )2－4a 3>0，解得a ＝－1，故选C.10．下列命题中的真命题是( )A ．∃x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3[答案] D[解析] ∵对任意x ∈R ，有sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，∴A假；∵x ∈(π2，π)时，tan x <0，sin x >0，∴B 假；∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴方程x 2＋x ＝－1无解，∴C 假；∵x 2＋2x －(4x －3)＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴对任意x ∈R ，x 2＋2x －(4x －3)>0恒成立，故D 真．11．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．12．(2012～2013学年度吉林实验中学高二期末测试)下列命题错误的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”B．对于命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x ∈R，均有x2＋x＋1≥0”C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件[答案] C[解析]若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，或p、q一真一假，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．给出命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．[答案] 1[解析]因为命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”是假命题，如函数y ＝x ＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.14．命题“同位角相等”的否定为________，否命题为________．[答案] 有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等[解析] 全称命题的否定是特称命题，“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题且p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] 3≤m <8[解析] 由已知得⎩⎨⎧ 3－m ≤08－m >0，∴3≤m <8.16．(2012～2013学年度山西忻州市高二期末测试)给出下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，故x >1；③命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b ”的逆否命题是真命题；④“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件．其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．[答案]①②③[解析]①中，x2＋2x>4x－3⇔x2－2x＋3>0⇔(x－1)2＋2>0，故①正确．②中，显然x≠1且x>0若0<x<1，则log2x<0，log x2<0，从而log2x ＋log x2<0，与已知矛盾，故x>1，故②正确③中，命题“若a>b>0，且c<0，则ca>cb”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直的充要条件，故④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)判断下列命题的真假：(1)∀x∈R,2x>0；(2)∀x∈Q，x2－3x－1是有理数；(3)∃x∈N,2x＝x2；(4)∃x，y∈Z，x2＋y2＝10.[解析](1)真命题，对任意的x,2x>0恒成立．(2)真命题，对于任意的有理数x，x2－3x－1都是有理数．(3)真命题，x＝2,4时，2x＝x2成立．(4)真命题，x＝1，y＝3时，x2＋y2＝10成立．(1)(2)(3)(4)都是真命题．18．(本题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”[解析]逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.逆命题为真．否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.否命题为真．逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.逆否命题为真．19．(本题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x>0}，x＋1x≥2；(4)∃x0∈Z，log2x0>2.[解析](1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．20．(本题满分12分)对于下列命题p，写出綈p的命题形式，并判断綈p命题的真假：(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x 是正奇数})；(2)p：有一个素数是偶数；(3)p：任意正整数都是质数或合数；(4)p：一个三角形有且仅有一个外接圆．[解析](1)綈p：91∉A或91∉B；假命题．(2)綈p：所有素数都不是偶数；假命题．(3)綈p：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．(4)綈p：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．21．(本题满分12分)(2012～2013学年度甘肃兰州第三十一中学高二期末测试)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－m≥0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．[解析]∵∀x∈[1,2]，x2－m≥0，∴∀x∈[1,2]，m≤x2的最小值，又当x∈[1,2]时，x2的最小值为1，∴m≤1.∴p：m≤1.∵∀x∈R，x2＋mx＋1>0，∴m2－4<0，∴－2<m<2.∴q ：－2<m <2.∴p ∧q 为真命题，∴－2<m ≤1.22．(本题满分14分)(2012～2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期末测试)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.[解析] 由(4x －3)2≤1，得12≤x ≤1， 令A ＝{x |12≤x ≤1}．由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，令B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，得p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1≥1，∴0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是[0，12]．1．命题“∃x ∈R,2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题B ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题C ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题D ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题[答案] A[解析] 因为x ＝0时，20＋02＝1≤1，故原命题为真命题，所以该命题的否定“∀x ∈R,2x ＋x 2>1”是假命题．2．命题“若x 、y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数[答案] C[解析] “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”．3．(2012·山东枣庄期中考试)已知a 、b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( ) A ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<12C ．若a 2＋b 2<12，则a ＋b ＝1 D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ≠1[答案] A[解析] “若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，故选A.4．“x >π6”是“sin x >12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] D[解析] 当x ＝π>π6时，sin x ＝0<12，又sin(－3π2)＝1>12，－3π2<π6，∴“x >π6”是“sin x >12”的既不充分也不必要条件．5．已知a 、b 、c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3[答案] A[解析] a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3.6．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定是“∃x 0∈N ，x 30>x 0”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件[答案] D[解析]∵“负数的平方是正数”即为∀x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确.∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定为“∃x∈N，x30≤x0”，B 不正确；∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，＝π，当最小正周期T＝π时，有2π|2a|∴|a|＝1⇒/ a＝1，故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，C不正确；b＝0时f(x)＝ax2＋c是偶函数，反之也成立，D正确．7．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]∵A＝{x∈R|x－2>0}＝{x|x>2}，B＝{x∈R|x<0}，∴A∪B＝{x ∈R |x <0或x >2}C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}，∴A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充要条件．8．设a 、b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b[答案] D[解析] 原命题是“若p ，则q ”时，逆命题为“若q ，则p ”，故选D.9．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间(－∞，1]上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＝⎩⎨⎧ x －1(x ≥1)1－x (x <1)，所以f (x )在区间(－∞，1]上是减函数；若f (x )在区间(－∞，1]上是减函数，结合图象可得a ≥1，所以前者是后者的充分不必要条件．10．设命题p ：∶∀x ∈R ，x 2－2x >a ；命题∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a＝0.如果命题“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．[解析]由命题p可知x2－2x＝(x－1)2－1>a恒成立，∴a<－1.由命题q可知方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数根，∴Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．当p真q假时，有－2<a<－1，当p假q真时，有a≥1.∴a的取值范围是(－2，－1)∪[1，＋∞)．。
2016学年高二人教版数学选修1-1练习：1章试卷 Word版含答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．命题“若a ＝0, 则ab ＝0”的逆否命题是(D ) A ．若ab ＝0，则a ＝0 B ．若a ≠0，则ab ≠0 C ．若ab ＝0，则a ≠0 D ．若ab ≠0，则a ≠0解析：“若a ＝0，则ab ＝0”的逆否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”．2．(2014·广州海珠综测)“a ＝ －1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当a ＝－1时，可得直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直；当直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直时，可得a ＝ －1或a ＝34，故“a ＝ －1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2014·湛江调研)“x ＞2”是“(x －1)2＞1”的(B ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由“x ＞2”可得“(x －1)2＞1”由“(x －1)2＞1”可得“x ＞2或x ＜0”，则“x ＞2”是“(x －1)2＞1”的充分不必要条件，故选B.4．(2013·广州二模)命题“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋5≤0”的否定是(C ) A ．∃x ∈R ，x 2＋4x ＋5＞0 B ．∃x ∈R ，x 2＋4x ＋5≤0 C ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5＞0 D ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5≤05．命题“若a ＜0时，则一元二次方程x 2＋x ＋a ＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是(B )A ．0B ．2C ．4D ．不确定解析：当a ＜0时，Δ＝1 － 4a ＞0，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，则a ＜0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1 － 4a ≥0，所以a ≤14，显然a ＜0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个． 6．已知命题p ：∀b ∈[0，＋∞)，f (x )＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为增函数，命题q ：∃ x 0∈{x |x ∈Z }，使log 2x 0＞0，则下列结论判断为真的是(C )A ．綈p ∨綈qB ．綈p ∧綈qC ．p ∨綈qD ．p ∧綈q7．命题“2x 2－5x －3<0”的一个必要不充分条件是(B )A ．－12<x <3 B ．－3<x <3C ．－12<x <2 D ．0<x <68．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(B )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2 9．(2014·佛山质检)下列说法中正确的有(C )(1)命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”； (2)“x ＞2”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件； (3)若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题；(4)对于命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：对于(3)，若p ∧q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，(3)错误．(1)(2)(4)正确，故选C.10．(2014·东北三省二模)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，那么k 的取值范围是(B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：q ：3x ＋1＜1⇒3x ＋1－1＜0⇒2－xx ＋1＜0⇒(x －2)·(x ＋1)＞0⇒x ＜－1或x ＞2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k ＞2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＜2}；则“x ∈A 或x ∈B ”是“x ∈A ∩B ”的__________条件．答案：必要不充分12．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为p 是假命题，所以綈p 是真命题，即对任意的x 都有x 2＋2ax ＋a >0，所以有(2a )2－4a <0，解之得a ∈()0，1.答案：()0，1 13．“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是________． 解析：“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”等价于|1－0－k |2＜2，解得k ∈(－1，3)．答案：－1＜k ＜3 14．下列四种说法：①命题“∀x ∈R ，都有x 2－2＜3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－2≥3x ”；②若a ，b ∈R ，则2a ＜2b是log 12a ＞log 12b 的必要不充分条件；③把函数y ＝sin(－3x )(x ∈R )的图象上所有的点向右平移π4个单位即可得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x －π4(x ∈R )的图象；④若向量a ，b 满足|a |＝1，|b|＝2，且a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋b |＝ 3. 其中正确的说法是______． 解析：①正确．②若2a ＜2b ，则a ＜b ，当a 或b 为负数时，log 12a ＞log 12b 不成立，若log 12a ＞log 12b ，∴0＜a＜b ，∴2a ＜2b .故②正确．③把y ＝sin(－3x )的图象上所有点向右平移π4，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋3π4，故③不正确．④由题可知，a·b ＝1×2 cos 2π3＝－1，∴|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝3，∴|a ＋b|＝3，故④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假： (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x ∈R ，|x |＞0.解析：(1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．16．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)平面内，凸多边形的外角和等于360°； (2)有一些奇函数的图象过原点； (3)∃x 0∈R ，2x 20＋x 0＋1＜0； (4)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.解析：(1)可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题．(3)是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋142＋78＞0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1＜0，故该命题为假命题．(4)是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2恒成立，∴对任意的实数x ，sin x ＋cos x≤2都成立，故该命题是真命题．17．(14分)已知集合A ＝{x |x 2＋mx ＝5mx －2m －6}，B ＝{x |x ＜0}，若“∃x ∈R ，使得x ∈A ∩B ”成立，求实数m 的取值范围．解析：A ＝{x |x 2＋mx ＝5mx －2m －6}＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}“∃x ∈R ，使得x ∈A ∩B ”成立，所以A ∩B ≠∅.设全集∪＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则∪＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ⎩⎨⎧m ∈∪，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈∪，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≥32关于全集∪的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}． 18．(14分)已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．解析：綈p ：x ＜－2，或x ＞10， A ＝{x |x ＜－2，或x ＞10}．綈q ：x 2－2x ＋1－m 2＞0，x ＜1－m ，或x ＞1＋m ， B ＝{x |x ＜1－m ，或x ＞1＋m }． ∵綈p 是綈q 的必要非充分条件，∴B ?A ，即⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，m >0⇒m ≥9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．19．(14分)设0＜a ，b ，c ＜1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不同时大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，而1－a ＋b2≥（1－a ）b ＞12，1－b ＋c2≥（1－b ）c ＞12，1－c ＋a2≥（1－c ）a ＞12，得1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＞32， 即32＞32，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立． 20．(14分)已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，∴函数g (x )的图象开口向上，且与x 的轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0.∴－2＜a ＜2，∴命题p ：－2＜a ＜2. ∵函数f (x )＝－(5－2a )2是减函数， 则有5－2a ＞1，即a ＜2.∴命题q ：a ＜2.又由于p ∨q 为真p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |a ≤－2}．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列语句中是命题的是(B )A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 45°＝1C ．x 2＋2x －1＞0D ．梯形是不是平面图形呢？解析：可以判断真假的陈述句．2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(D )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题．3．有下述说法：①a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充要条件；②a ＞b ＞0是1a ＜1b的充要条件；③a ＞b ＞0是a 3＞b 3的充要条件．则其中正确的说法有(A)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2，仅仅是充分条件；②a ＞b ＞0⇒1a ＜1b ，仅仅是充分条件；③a ＞b ＞0⇒a 3＞b 3，仅仅是充分条件．4．下列说法中正确的是(D )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0, 则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．5．(2013·广州一模)“m <2”是“一元二次不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：一元二次不等式x 2＋mx ＋1>0的解为m ∈(－2，2)，则m <2只是其必要不充分条件． 6．已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：5x －6＞x 2，则綈p 是綈q 的(A) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：綈p ：|x ＋1|≤2，－3≤x ≤1，綈q ：5x －6≤x 2，x 2－5x ＋6≥0，x ≥3或x ≤2，綈p ⇒綈q ，充分不必要条件． 7．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0, 则x ，y 互为相反数”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题． 其中真命题为(C)A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④解析：若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等” 为假命题；若q ≤1⇒4－4q ≥0，即Δ＝4－4q ≥0，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根，为真命题．“不等边三角形的三个内角相等”逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，为假命题．8．已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈z .命题q ：∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫12x 0－1＝0.则下列命题为真命题的是(D )A ．綈pB ．p ∧qC ．綈p ∨qD ．綈p ∨綈q 解析： 显然命题p 为真；因为对∀x ∈R ，都有⎝⎛⎭⎫12x －1＞0，所以命题q 为假，所以綈q 为真，由“或”“且”“非”命题的真值表知D 正确．9．(2014·江西卷)下列叙述中正确的是(D )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，a ，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β解析：由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，A 错；∵ab 2＞cb 2，且b 2＞0，∴a ＞c .而a ＞c 时，若b 2＝0，则ab 2＞cb 2不成立，由此知“ab 2＞cb 2”是“a ＞c ”的充分不必要条件，B 错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2＜0”，C 错；由l ⊥α，l ⊥β，则a ∥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确．10．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是(A )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2， 当x ∈[1，2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0， 即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， ∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1.∴a ≤－2或a ＝1.11．下列命题中的假命题是(C )A ．∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x>2B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1，0)C ．∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∀m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析：当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x >2，故A 为真命题；将(1，0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题；当φ＝π2时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2是偶函数，C 为假命题；当m＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.12．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是(A )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2， 当x ∈[1，2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0， 即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， ∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2，a ≥1.∴a ≤－2，或a ＝1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．命题：“若a ·b 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________________________________________________________________________．答案：若a ，b 至少有一个为零，则a ·b 为零 14．用“充分、必要、充要”填空：①p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的__________条件；②綈p 为假命题是p ∨q 为真命题的__________条件；③A ：|x －2|＜3，B ：x 2－4x －15＜0，则A 是B 的________条件． 答案：①必要 ②充分 ③充分15．命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a ＜0.∴－3≤a ≤0.答案：[－3，0]16．若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为______．解析：由x 2＞1得x ＜－1或x ＞1，又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)对于下述命题p ，写出“綈p ”形式的命题，并判断“p ”与“綈p ”的真假： (1)p ：91∈(A ∩B )(其中全集U ＝N *，A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})； (2)p ：有一个素数是偶数；(3)p ：任意正整数都是质数或合数； (4)p ：三角形有且仅有一个外接圆．解析：(1)綈p ：91∉A ，或91∉B ；p 真，綈p 假． (2)綈p ：每一个素数都不是偶数；p 真，綈p 假．(3)綈p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；p 假，綈p 真．(4)綈p ：存在一个三角形有两个及其以上的外接圆或没有外接圆；p 真，綈p 假． 18．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题，并判断其真假．解析：逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．解析：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔⎩⎨⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12＞1，f （1）＞0，即k ＜－2，所以其充要条件为k ＜－2.20．(12分)若a 2＋b 2＝c 2，求证a ，b ，c 不可能都是奇数．证明：假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数，得a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2，与a 2＋b 2＝c 2矛盾，所以假设不成立，原命题成立．21．(12分)已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．解析：对于命题p ：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减． 当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0＜a ＜1.如果p 为假命题，那么a ＞1.对于命题q ：如果函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点， 那么Δ＝(2a －3)2－4＞0，即4a 2－12a ＋5＞0⇔a ＜12，或a ＞52.又∵a ＞0，所以如果q 为真命题，那么0＜a ＜12或a ＞52.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.22．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，的(x －3a )(x －a )＜0. 又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真命题时，1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2，即2＜x ≤3.所以q 为真时，2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3⇔2＜x ＜3，所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，则有(2，3]?(a ，3a )．于是满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＞3，解得1＜a ≤2，故所求a 的取值范围是(1，2]．。
高中数学人教A版选修2-1第一章综合素质检测.docx
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题2．对于任意实数a，b，c给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件；其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数，则下列新命题是真命题的为( )A．p∧q B．p∨qC．綈p∧q D．綈p∨q4．下列四个命题中的真命题是( )A．∀x∈R，x2＋3<0B．∀x∈N，x2≥1C．∃x∈Z，使x5<1D．∃x∈Q，x2＝35．存在性命题“存在实数使x2＋1<0”可写成( )A．若x∈R，则x2＋1<0B．∀x∈R，x2＋1<0C．∃x∈R，x2＋1<0D．以上都不正确6．已知命题“如果p，那么q”为真，则( )A ．q ⇒pB ．綈p ⇒綈qC ．綈q ⇒綈pD ．綈q ⇒p7．命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴，q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期，下列新命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③綈p ；④綈q .其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．(2010·广东理，5)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件9．下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，x >0B ．如果x <2，那么x <1C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，使x 2＋1≠010．在ΔABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件11．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是( )A ．α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥lB ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γC ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥αD ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α12．函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件( )A ．a ∈(－∞，1]B ．a ∈[2，＋∞)C ．a ∈[1,2]D ．a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．命题：“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是______．14．写出命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是____________________________________．15．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过原点的充要条件是________________．16．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)写出所给命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．若x 2＋x ≤0，则|2x ＋1|<1.18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀m ∈R ，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的新命题，并判断新命题的真假．(1)p ：正多边形有一个内切圆；q ：正多边形有一个外接圆；(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相平分．21．(本小题满分12分)已知a >0设命题p ：函数y ＝(1a)x 为增函数． 命题q ：当x ∈[12，2]时函数f (x )＝x ＋1x >1a恒成立． 如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的范围．22．(本小题满分14分)已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0，a ∈R ，求：(1)方程有两个正根的充要条件；(2)方程至少有一个正根的充要条件．详解答案1[答案] A[解析] 因为原命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a 、b 都小于1，则a ＋b <2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a ＋b ≥2，则a 、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a 、b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，是假命题，反例为a ＝1.2，b ＝0.3.2[答案] B[解析] 当c ＝0时，a 、b 不为0时，ac ＝b a ＝b ，所以①是假命题；当a ＝2，b ＝－3时，a >b a 2>b 2，所以③是假命题，②④显然正确，故选B.3[答案] D[解析] 因为x ＝0时，|x |＝x ，所以命题p 为假命题，又因为存在反函数的不一定是单调函数(如y ＝1x)，所以命题q 也是假命题，由此得綈p 真，q 假，故D 正确． 4[答案] C[解析] 由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋3<0”为假命题；由题0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立，所以命题：∀x ∈N ，x 2≥1”是假命题；由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5<1，所以命题“∃x ∈Z ，使x 5<1”为真命题；由于使x 3＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x ∈Q ，x 3＝3”是假命题．5[答案] C[解析] 存在性命题“存在一个x ∈R ，使p (x )成立”简记为“∃x ∈R ，p (x )”．6[答案] C[解析] 利用原命题和它的逆否命题为等价命题．7[答案] C[解析] 由题意知p 真q 假，则①④为真命题，故选C.8[答案] A[解析] 一元二次方程式x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，∴m ≤14，故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的充分不必要条件．9[答案] D[解析] A 显然是假命题，B 中若x ∈[1,2)虽然x <2但x 不小于1.C 中不存在x ，便得x 2≤－1，D 中对∀x ∈R 总有x 2＋1≥1∴x 2＋1≠0，故D 是真命题，选D.10[答案] C [解析] 由已知a ＝b sin B sin C ＝b 2c⇒b 2＝ac . 同理a 2＝bc ，c 2＝ab ，故有(a ＋c )(a －c )＝b (c －a )．若a ≠c ，则a ＋c ＝b 与a 、b 、c 是△ABC 的三边矛盾，故a ＝c ，同理得到b ＝c ，于是a ＝b ＝c ，于是充分性得证，必要性显然成立．11[答案] D[解析] 对于A ，α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，m 是否垂直β，决定于m 的位置； 对于B ，β⊥γ与α、γ的交线m 没有必然的联系，即不一定有m ⊥β；对于C ，α⊥γ，β⊥γ，则α、β的位置关系可相交，可平行；对于D ，n ⊥α，n ⊥β，则有α∥β，又m ⊥α，∴m ⊥β是充分的．12[答案] D[解析] 函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上有反函数，则f (x )在区间[1,2]上单调，又因为其对称轴为x ＝a ，所以x ＝a 应在区间[1,2]的左侧或右侧．∴a ≤1或a ≥2.13[答案] 若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B14[答案] 若ac ≤0，则方程a 2－bx ＋c ＝0的两根不全大于0.15[答案] c ＝016[答案] [1,2)[解析] x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}，即x ∈[2,5]∪{x |x <1或x >4}，即x ∈{x |x <1或x ≥2}，此命题为假，∴x ∈[1,2)．17[解析] 逆命题：若|2x ＋1|<1，则x 2＋x ≤0为真．否命题：若x 2＋x >0，则|2x ＋1|≥1为真．逆否命题：若|2x ＋1|≥1，则x 2＋x >0，为假．18[解析] (1)綈p ：∃m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根．若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则 Δ＝1＋4m <0，则m <－14，所以当m ＝－1时，綈p 为真．(2)綈q ：∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1>0.(真)因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0 所以綈q 为真．19[解析] P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}．∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件∴x ∈Q ⇒x ∈P ，即Q ⊆P∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤5a ≥－1∴－1≤a ≤5.20[解析] (1)p 或q ：正多边形有一个内切圆或者有一个外接圆．p 且q ：正多边形既有一个内切圆，也有一个外接圆．非p ：正多边形没有内切圆．∵p 真q 真，∴p 或q ，p 且q 为真，綈p 为假．(2)p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分非p ：存在一个平行四边形的对角线不相等因为p 是假命题，q 是真命题，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为真命题．21[解析] 由y ＝(1a)x 为增函数得，0<a <1 因为f (x )在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数． ∴f (x )在x ∈[12，2]上最小值为f (1)＝2. 当x ∈[12，2]时，由函数f (x )＝x ＋1x >1a 恒成立得，2>1a ，解得a >12如果p 真且q 假，则0<a ≤12. 如果p 假且q 真，则a ≥1所以a 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞) 22[解析] (1)方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≠0Δ≥0即：⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1(a ＋2)2＋16(1－a )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1a ≤2或a ≥10即：a ≥10或a ≤2且a ≠1设此时方程两根为x 1，x 2∴有两正根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1a ≤2或a ≥10x 1＋x 2>0x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1a ≤2或a ≥10a ＋2a －1>04a －1>0⇒1<a ≤2或a ≥10即为所求．(2)从(1)知1<a ≤2或a ≥10方程有两个正根当a ＝1时，方程化为3x －4＝0有一个正根x ＝43方程有一正、一负根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≠0Δ≥0x 1x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1a ≤2或a ≥104a －1<0⇔a <1 综上：方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0至少有一个正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.。
高中数学学期综合测评(一)(含解析)新人教A版选修1_2
学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限答案 D 解析z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．2．凡自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一样D ．两个“整数”概念不一致答案 A解析 此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选A .3．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )A .83B .32C ．－83D ．－32答案 D解析 z 1z 2＝m ＋2i 3－4i＝＋2i ＋4i－4i＋4i＝m －＋＋4m i32＋42是实数，∴6＋4m ＝0. ∴m ＝－32.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n等于( )A .2n ＋2B .2nn ＋C .22n－1 D .22n －1答案 B解析 ∵a 2＝13＝22×3，a 3＝16＝23×4，a 4＝110＝24×5，因此a n ＝2n n ＋.5．阅读如下程序框图，如果输出的i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A．S<10? B．S<12? C．S<14? D．S<16?答案B解析由题知，i＝2，S＝2；i＝3，S＝8；i＝4，S＝12.故选B.6．如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使两组图呈现一定的规律性的为( )答案A解析观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组的前两个图，可知选A.7．有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是( )A．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数nB．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最大整数nC．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最大整数n＋2D．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数n＋2答案D解析依题意与题中的程序框图可知，该程序框图表示的算法的功能是输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数n＋2，选D.8．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：那么变量y关于A．y＝0.575x－14.9 B．y＝0.572x－13.9C．y＝0.575x－12.9 D．y＝0.572x－14.9答案A解析可计算得x＝140，y＝65.6，代入检验可知回归直线方程只可能是y＝0.575x －14.9.9．若关于x的一元二次实系数方程x2＋px＋q＝0有一个根为1＋i(i为虚数单位)，则p＋q的值是( )A．－1 B．0 C．2 D．－2答案 B解析把1＋i代入方程得(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，即2i＋p＋p i＋q＝0，即p＋q＋(p＋2)i＝0，∵p，q为实数，∴p＋q＝0.10．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是( )A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12 答案 B解析 后一种化合物应有4个C 和10个H ，所以分子式是C 4H 10. 11．已知a ，b ，c ，d 为正数，S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b，则( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4 答案 B 解析 S <aa ＋b ＋ba ＋b ＋cc ＋d ＋dc ＋d＝2，S >a a ＋b ＋c ＋d ＋ba ＋b ＋c ＋d ＋ca ＋b ＋c ＋d ＋da ＋b ＋c ＋d＝1.∴1<S <2.12．定义复数的一种运算z 1*z 2|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A.92B.322C.32D.94 答案 B解析 z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝a ＋b2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94， ∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 答案 0或1解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1.14．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________．答案(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析结合已知所给定的几项的特点，可知式子左边共n项，且从(n＋1)一直到(n＋n)，右侧第一项为2n，连乘的第一项为1，最后一项为(2n－1)，故所求表达式为：(n＋1)(n＋2)…(n ＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．15．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．答案 3解析当k＝1时，a＝1，T＝1；当k＝2时，a＝0，T＝1；当k＝3时，a＝0，T＝1；当k＝4时，a＝1，T＝2；当k＝5时，a＝1，T＝3，则此时k＝k＋1＝6，所以输出T＝3.16.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2016个梯形数为a 2016，则a 2016＝________.答案 2017×1010解析 5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋＋n ＋2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2016＝2＋3＋4＋…＋2018＝12×2017×2020＝2017×1010.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b ≥9a ＋b.证明 ∵ a ，b 为正数，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝1＋4＋b a ＋4a b≥5＋2b a ×4ab＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号．∴1a ＋4b ≥9a ＋b. 18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i ＋2.求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2. 解 因为z 2＝15－5i ＋2＝15－5i3＋4i＝－－＋－＝25－75i25＝1－3i ，所以 (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)z 1z 2＝2－3i1－3i＝－＋－＋＝11＋3i 10＝1110＋310i.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为正方形，PD ⊥平面AC ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.证明(1)连接AC，设AC∩BD＝O，连接EO，∵四边形ABCD是正方形，∴O为AC的中点，∴OE为△PAC的中位线，∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC.∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.又∵PD⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴PD⊥DC，而PD＝DC，∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC又BC∩PC＝C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB，DE∩EF＝E，∴PB⊥平面DEF.20．(本小题满分12分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试判断晕机是否与性别有关？(参考数据：K2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；K2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；K2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．参考公式：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d) 解(1)2×2列联表如下：(2)得K 2的观测值k ＝－256×84×56×84＝359≈3.889>3.841，所以有95%的把握认为晕机与性别有关．21．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f x1－f x ，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解 (1)证明：根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x ，即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f x ＋a1－f x ＋a ＝1＋1＋fx 1－f x 1－1＋fx 1－f x＝－1f x ， 所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1fx ＋2a＝f (x )．∴f (x )是以4a 为周期的周期函数．22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a 、b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a 、b 的值；(2)当b a >14且a >0时，证明：该方程没有实数根．解 (1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0.解得a ＝b ＝2.(2)证明：原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0，假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根．。
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高中数学学习材料唐玲出品一、选择题：1. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是A ． 32x y = B ． 1+=x y C ． 42+-=x y D ． xy -=22．下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况（单位：元），则销售额中的中位数是 A ．30.5 B ．31.5 C ．31 D ．323．己知集合A=2320|}{x x x -+< ，B=41{|log }2xx > ，则A ．A ∩B=∅B ．B ⊆AC ．A ∩C R B=RD ．A ⊆B 4. 832()x x- 二项展开式中的常数项为A. 56B. 112C. -56D. -112 5．执行右边的程序框图，则输出的S 是A ．5040B ．2450C ．4850D ．2550 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,且132455,,24n nS a a a a a +=+=则 1 0 2 2 0 1 4 3 1 1 2 6 438A ．4n -1B ．4n-1C ．2n -1D ．2n-17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．6B ．2 3C ．3D ．3 3 8．若1sin(),63πα-= 则2cos()3πα+= A ．-79B ．79C ．-29D ．299．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为A ．8πB ．16πC ．32πD ．64π10．双曲线224x y -=左支上一点P ()a b ,到直线y =x 的距离为 2 , 则a b += A ．-2B ．2C ．-4D ．411．AD, BE 分别是∆ABC 的中线，若|→AD |=|→BE |=1，且→AD 与→BE 的夹角为120°，则→AB ·→AC =A ．89B ．49C ．23D ．1312．各项均为正数的数列{}n a ,{}n b 满足：11222,2()n n n n n n a a b n b a b N +*+++=+=+∈，那么 A ．11,n n n n a n N b b a *++∀∈>⇒> B ．,,n n m N n a b m *∃∈∀>>C ．,,n n m N n a b m *∃∈∀>=D ．,,n n m N n a b m *∃∈∀><二、填空题： 13．函数y=(2cos 1)3log ,x +22(,)33x ππ∈-的值域 . 14．设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －4x ＋2y ≥2, 则目标函数32z x y =-的最大值为 .15．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |= .16．定义在R 上的函数()f x 满足：2()(),f x f x x -+= 当x ＜0时，()f x '＜x ,则不等式()f x +12≥(1)f x -+x 的解集为 .三、解答题：17．在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且4bsinA=7a . （I ）求sinB 的值；（II ）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cosA -cosC 的值.18．甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（Ⅰ）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求至少有一个是乙车床加工的概率；（Ⅱ）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X ，求X 的分布列和期望．19．如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，O 是AC 的中点，A 1O⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC. （I ）求证：A 1B ⊥AC 1;（II ）求二面角A -BB 1-C 的余弦值．20．P 为圆A:22(1)8x y ++=上的动点，点B （1,0）.线段PB 的垂直平分线与半径PA相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ． （I ）求曲线Γ的方程；（II ）当点P 在第一象限，且cos ∠BAP=223时，求点M 的坐标．21．已知函数()(1)e 1.xf x x =--.（I ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设()(),f x g x x= 证明()g x 有最大值()g t ，且-2＜t ＜-1.高二综合训练题一(答案)一、选择题：BCABB CDADA CB 二、填空题： （13）(－∞，1]（14）6（15）163（16）(－∞，1 2]三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由4b sin A ＝7a ，根据正弦定理得4sin B sin A ＝7sin A ，所以sin B ＝74． …4分（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得sin A ＋sin C ＝72． ①设cos A －cos C ＝x ， ②①2＋②2，得2－2cos(A ＋C )＝ 74＋x 2． ③ …7分又a ＜b ＜c ，A ＜B ＜C ，所以0︒＜B ＜90︒，cos A ＞cos C ，故cos(A ＋C )＝－cos B ＝－ 34． …10分代入③式得x 2＝ 74．因此cos A －cos C ＝72． …12分（18）解：（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”为A ，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B ，则P (A )＝C 25C 26，P (AB )＝C 25－C 23C 26，所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 25－C 23C 25＝0.7．…5分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝i )＝C i 2C 3－i 4C 36，i ＝0，1，2．X 的分布列为X 0 1 2P 0.2 0.60.2…10分X 的期望为E (x )＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1．…12分（19）解：（Ⅰ）因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC ．又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1，所以AC 1⊥BC ． …2分因为AA 1＝AC ，所以四边形A 1ACC 1是菱形，所以AC 1⊥A 1C ． 所以AC 1⊥平面A 1BC ， 所以A 1B ⊥AC 1．…5分（Ⅱ）以OC 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ， 则A (0，－1，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，2，3)．AB →＝(2，2，0)，BB 1→＝CC 1→＝(0，1，3)，设m ＝(x ，y ，z )是面ABB 1的一个法向量，则m ·AB →＝m ·BB 1→＝0， 即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，取m ＝(3，－3，1)． 同理面CBC 1的一个法向量为n ＝(0，－3，1)． …10分因为cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277．所以二面角A -BB 1-C 的余弦值277． …12分（20）解：ABCA 1OB 1C 1xyz（Ⅰ）圆A 的圆心为A (－1，0)，半径等于22．由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，a ＝2，c ＝1，b ＝1，曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1． …5分（Ⅱ）由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P (5 3，223)． …8分于是直线AP 方程为y ＝24(x ＋1)．由⎩⎨⎧x22＋y 2＝1，y ＝24(x ＋1)，解得5x 2＋2x －7＝0，x 1＝1，x 2＝－ 75．由于点M 在线段AP 上，所以点M 坐标为(1，22)． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝－x e x ．当x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )的最大值为f (0)＝0． …4分（Ⅱ）g (x )＝(1－x )e x －1x ，g '(x )＝－(x 2－x ＋1)e x＋1x 2．设h (x )＝－(x 2－x ＋1)e x ＋1，则h '(x )＝－x (x ＋1)e x ． 当x ∈(－∞，－1)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(－1，0)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减． …7分又h (－2)＝1－7e 2＞0，h (－1)＝1－ 3e＜0，h (0)＝0，所以h (x )在(－2，－1)有一零点t ．当x ∈(－∞，t )时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(t ，0)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． …10分 由（Ⅰ）知，当x ∈(－∞，0)时，g (x )＞0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＜0． 因此g (x )有最大值g (t )，且－2＜t ＜－1． …12分。
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高中数学学习材料唐玲出品综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“当a>1时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题C．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D．命题“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D2．如果命题“綈p且綈q”是真命题，那么下列结论中正确的是()A．“p或q”是真命题B．“p且q”是真命题C．“綈p”为真命题D．以上都有可能解析若“綈p且綈q”是真命题，则綈p，綈q均为真命题，即命题p、命题q都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±2x C ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋ax ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A. 答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y＝f(x)的导数图像，则正确的判断是()①f(x)在(－3,1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④解析从图像可知，当x∈(－3，－1)，(2,4)时，f(x)为减函数，当x∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f(x)为增函数，∴x＝－1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点，故选B.答案 B11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x＝a2c(c2＝a2＋b2)上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是()A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________． 解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1，③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12. ∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6] (3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5.设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k1＋k2＝y1－1x1－4＋y2－1 x2－4＝(y1－1)(x2－4)＋(y2－1)(x1－4)(x1－4)(x2－4).上式分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)·(x1－4) ＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝2(4m2－20)5－8m(m－5)5－8(m－1)＝0，即k1＋k2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
人教A版高中数学选修一高二综合训练题一.docx
一、选择题：1. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是A ． 32x y = B ． 1+=x y C ． 42+-=x y D ． xy -=22．下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况（单位：元），则销售额中的中位数是 A ．30.5 B ．31.5 C ．31 D ．323．己知集合A=2320|}{x x x -+< ，B=41{|log }2xx > ，则A ．A ∩B=∅B ．B ⊆AC ．A ∩C R B=RD ．A ⊆B 4. 832()x x- 二项展开式中的常数项为A. 56B. 112C. -56D. -112 5．执行右边的程序框图，则输出的S 是A ．5040B ．2450C ．4850D ．25501 02 2 0 1 43 1 1 2 6 4386．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,且132455,,24n nS a a a a a +=+=则 A ．4n-1 B ．4n-1C ．2n-1 D ．2n-17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．6 B ．2 3 C ．3 D ．3 3 8．若1sin(),63πα-= 则2cos()3πα+= A ．-79B ．79C ．-29D ．299．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为A ．8πB ．16πC ．32πD ．64π10．双曲线224x y -=左支上一点P ()a b ,到直线y =x 的距离为 2 , 则a b += A ．-2B ．2C ．-4D ．411．AD, BE 分别是∆ABC 的中线，若|→AD |=|→BE |=1，且→AD 与→BE 的夹角为120°，则→AB ·→AC =A ．89B ．49C ．23D ．1312．各项均为正数的数列{}n a ,{}n b 满足：11222,2()n n n n n n a a b n b a b N +*+++=+=+∈，那么 A ．11,n n n n a n N b b a *++∀∈>⇒> B ．,,n n m N n a b m *∃∈∀>>C ．,,n n m N n a b m *∃∈∀>=D ．,,n n m N n a b m *∃∈∀><二、填空题： 13．函数y=(2cos 1)3log ,x +22(,)33x ππ∈-的值域 .14．设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －4x ＋2y ≥2, 则目标函数32z x y =-的最大值为 .15．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |= .16．定义在R 上的函数()f x 满足：2()(),f x f x x -+= 当x ＜0时，()f x '＜x ,则不等式()f x +12≥(1)f x -+x 的解集为 .三、解答题：17．在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且4bsinA=7a . （I ）求sinB 的值；（II ）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cosA -cosC 的值.18．甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（Ⅰ）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求至少有一个是乙车床加工的概率；（Ⅱ）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X ，求X 的分布列和期望．19．如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，O 是AC 的中点，A 1O ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC.（I ）求证：A 1B ⊥AC 1;（II ）求二面角A -BB 1-C 的余弦值．20．P 为圆A:22(1)8x y ++=上的动点，点B （1,0）.线段PB 的垂直平分线与半径PA相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ． （I ）求曲线Γ的方程；（II ）当点P 在第一象限，且cos ∠BAP=223时，求点M 的坐标．21．已知函数()(1)e 1.xf x x =--.（I ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设()(),f x g x x= 证明()g x 有最大值()g t ，且-2＜t ＜-1.高二综合训练题一(答案)一、选择题：BCABB CDADA CB 二、填空题： （13）(－∞，1]（14）6（15）163（16）(－∞，1 2]三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由4b sin A ＝7a ，根据正弦定理得4sin B sin A ＝7sin A ，所以sin B ＝74．…4分（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得sin A ＋sin C ＝72．①设cos A －cos C ＝x ，② ①2＋②2，得2－2cos(A ＋C )＝ 74＋x 2．③ …7分又a ＜b ＜c ，A ＜B ＜C ，所以0︒＜B ＜90︒，cos A ＞cos C ，故cos(A ＋C )＝－cos B ＝－ 34．…10分代入③式得x 2＝ 74．因此cos A －cos C ＝72．…12分（18）解：（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”为A ，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B ，则P (A )＝C 25C 26，P (AB )＝C 25－C 23C 26，所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 25－C 23C 25＝0.7． …5分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝i )＝C i 2C 3－i 4C 36，i ＝0，1，2．X 的分布列为X 0 1 2 P 0.2 0.6 0.2…10分X 的期望为E (x )＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1． …12分（19）解：（Ⅰ）因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC ．又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1，所以AC 1⊥BC ． …2分 因为AA 1＝AC ，所以四边形A 1ACC 1是菱形，所以AC 1⊥A 1C ． 所以AC 1⊥平面A 1BC ， 所以A 1B ⊥AC 1． …5分（Ⅱ）以OC 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ， 则A (0，－1，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，2，3)．AB →＝(2，2，0)，BB 1→＝CC 1→＝(0，1，3)，设m ＝(x ，y ，z )是面ABB 1的一个法向量，则m ·AB →＝m ·BB 1→＝0， 即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，取m ＝(3，－3，1)． 同理面CBC 1的一个法向量为n ＝(0，－3，1)． …10分ABC A 1OB 1C 1xyz因为cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277．所以二面角A -BB 1-C 的余弦值277． …12分（20）解：（Ⅰ）圆A 的圆心为A (－1，0)，半径等于22．由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，a ＝2，c ＝1，b ＝1，曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1． …5分（Ⅱ）由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P (5 3，223)． …8分于是直线AP 方程为y ＝24(x ＋1)．由⎩⎨⎧x22＋y 2＝1，y ＝24(x ＋1)，解得5x 2＋2x －7＝0，x 1＝1，x 2＝－ 75．由于点M 在线段AP 上，所以点M 坐标为(1，22)． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝－x e x ．当x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )的最大值为f (0)＝0． …4分（Ⅱ）g (x )＝(1－x )e x －1x ，g '(x )＝－(x 2－x ＋1)e x＋1x 2．设h (x )＝－(x 2－x ＋1)e x ＋1，则h '(x )＝－x (x ＋1)e x ． 当x ∈(－∞，－1)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(－1，0)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减． …7分又h (－2)＝1－7e 2＞0，h (－1)＝1－ 3e＜0，h (0)＝0，所以h (x )在(－2，－1)有一零点t ．当x ∈(－∞，t )时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(t ，0)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． …10分 由（Ⅰ）知，当x ∈(－∞，0)时，g (x )＞0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＜0． 因此g (x )有最大值g (t )，且－2＜t ＜－1． …12分。
人教A版高中数学选修一第一章章末检测(A).docx
第一章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列语句中是命题的是( )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗？2．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．04．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x 2＝1的解x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：|x |<1是x <a 的充分不必要条件，则( )A ．“p 或q ”为真命题B ．“p 且q ”为假命题C ．“綈p 且q ”为真命题D ．“綈p 或綈q ”为真命题10．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( )A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数11．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，2]D ．(－∞，－2)12．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝22，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的__________条件．12．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．13．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为______________________________________________________________________.14．下列四个命题中①“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；②“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”的充要条件；③函数y ＝x 2＋4x 2＋3的最小值为2. 其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)正方形是矩形又是菱形；(2)同弧所对的圆周角不相等；(3)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根．18．(12分)判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．19．(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．21.(12分)p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围．单元检测卷答案解析单元检测卷答案解析第一章 常用逻辑用语(A)答案1．A2．A [因为原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a ，b 都小于1，则a ＋b <2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，是假命题，反例为a ＝1.2，b ＝0.3.]3．C4．A [“x ∈M ，或x ∈P ”不能推出“x ∈M ∩P ”，反之可以．]5．C [①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”．]6．B [当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．]7．A [a ∈R ，|a |<1⇒a －2<0，充分成立，反之不成立．]8．A [綈p ：|x ＋1|≤2，－3≤x ≤1，綈q ：5x －6≤x 2，即x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3，或x ≤2.∴綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒綈p ，故綈p 是綈q 的充分不必要条件．]9．A [命题p ：当a >1时，Δ＝4－4a <0，即x 2＋2x ＋a >0恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，即命题p 是真命题；命题q ：当a >1时，由|x |<1，得－1<x <1，即|x |<1是x <a 的充分不必要条件，故命题q 也是真命题．所以命题“p 或q ”是真命题．]10．A [对“a 和b 都不是偶数”的否定为“a 和b 不都不是偶数”，等价于“a 和b 中至少有一个是偶数”．]11．B [注意二次项系数为零也可以．]12．D [∵p 、q 都是真命题，∴①②③④均正确．]13．必要不充分解析 q ⇒p ，p ⇒q .14．[－3,0]解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a Δ＝4a 2＋12a ≤0得－3≤a <0； ∴－3≤a ≤0.15．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形解析 本题考查复合命题“非p ”的形式，p ：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p ”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．16．①②③解析 ①“k ＝1”可以推出“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”，但是函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π，即y ＝cos 2kx ，T ＝2π|2k |＝π，k ＝±1. ②“a ＝3”不能推出“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”，反之垂直推出a ＝25； ③函数y ＝x 2＋4x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3，令x 2＋3＝t ，t ≥3， y min ＝3＋13＝433. 17．解 (1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．(3)如果一个方程为x 2－x ＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．18．解 方法一 (直接法)逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断如下：二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2) ＝4a －7.∵a <1，∴4a －7<0.即二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．方法二 (先判断原命题的真假)∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74， ∵a ≥74>1，∴原命题为真． 又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．方法三 (利用集合的包含关系求解)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集．命题q ：a ≥1.∴p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a |(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥74， q ：B ＝{a |a ≥1}．∵A ⊆B ，∴“若p ，则q ”为真，∴“若p ，则q ”的逆否命题“若綈q ，则綈p ”为真．即原命题的逆否命题为真．19．解 綈p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13>2，解得x <－2，或x >10， A ＝{x |x <－2，或x >10}．綈q ：x 2－2x ＋1－m 2>0，解得x <1－m ，或x >1＋m ，B ＝{x |x <1－m ，或x >1＋m }．∵綈p 是綈q 的必要非充分条件，∴B A ，即{ 1－m ≤－＋m ≥10且等号不能同时成立，⇒m ≥9， ∴m ≥9. 20．解 令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0－2112k -> f (1)>0)即k <－2.所以其充要条件为k <－2.21．解 对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎨⎧ a Δ<0⇔0≤a <4；关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤14；如果p 真，且q 假，有0≤a <4，且a >14， ∴14<a <4；如果q 真，且p 假，有a <0或a ≥4，且a ≤14，∴a <0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫14，4.22．解 假设三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)Δ2＝(a －1)2－4a 2Δ3＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12a >13，或a <－1，－2<a <0得－32<a <－1. ∴所求实数a 的范围是a ≤－32或a ≥－1.。
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高二是承接高一和高三的纽带，为了帮助同学们巩固复习学过的知识，查字典数学网编辑老师为大家整理了人教版高二数学选修一综合素质检测：第一章试卷，希望大家喜欢。
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在下列各量之间存在相关关系的是()①正方体的体积与棱长间的关系;②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系;③人的身高与年龄;④家庭的支出与收入;⑤某户家庭用电量与电价间的关系.A.②③ B.
③④C.④⑤ D.②③④[答案] D2.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程y=60+90x，下列判断正确的是()A.劳动生产率为1000元时，工资为150元B.劳动生产率为1000元时，工资提高150元C.劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D.劳动生产率为1000元时，工资为90元[答案] C3.对于回归分析，下列说法错误的是()A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定B.线性相关系数可以是正的或负的C.回归分析中，如果r2=1，说明x与y之间完全线性相关D.样本相关系数r(-，+)[答案] D[解析] 在回归分析中，样本相关系数r的范围是|r|1.4.身高与体重有关，可以用__________分析来分析()A.残差 B.回归 C.二维条形图 D.独立检验[答案] B[解析] 身高与体重问题具有线性相关关系，故可用回归分析来分析.。