一元二次方程的根与系数的关系 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案2021-2022学年九年级数学人教版上册
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.二、教学重难点重点掌握一元二次方程的根与系数的关系.难点一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用.重难点解读在使用一元二次方程的根与系数的关系时，应注意：（1）方程不是一般形式的要先化为一般形式.（2）使用x 1+x2=ba时，“-”不要漏写.（3）根与系数关系是在方程ax2+bx+c=0（a≠0）有根的前提下（即b2-4ac≥0）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.（4）若已知方程“有两个实数根”，则该方程是一元二次方程，即存在隐含条件：二次项系数不为零.三、教学过程活动1 旧知回顾提出问题：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）请同学们写出一元二次方程的求根公式.（3）在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？（4）一元二次方程的根与系数有着密切的关系，其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.活动2 探究新知1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？用语言叙述你发现的规律.2.教材第15页 第1个思考. 提出问题：（1）把方程（x-x 1）（x-x 2）=0化为一般形式后的方程是什么？（2）这个方程的二次项系数是多少？一次项系数是多少？常数项是多少？ （3）由此可知，方程x 2-（x 1+x 2）x+x 1x 2=0两个根的和、积与系数有怎样的关系？ 3.教材第15页 第2个思考. 提出问题：（1）如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？（2）由求根公式可知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，两根分别为x 1=242bb ac a，x 2=242bb aca.观察两式右边，分母相同，分子是-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x 1+x 2=__________，x 1x 2=___________.（3）由此你能说出方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有怎样的关系吗？把方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两边同时除以a ，能否得出该结论？为什么？ 活动3 知识归纳一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系： x 1+x 2=b a ，x 1x 2= ca. 提出问题：（1）方程的根是由什么决定的？（2）在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0呢？为什么？活动4 典例赏析及练习 例1 教材第16页 例4.例2 已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）【答案】解：两种.（1）直接利用因式分解法，得（x+1）（x-2）=0；（2）用根与系数关系法求解：∵两根之和为1，两根之积为-2，∴满足条件的方程为ax 2-ax-2a=0（a ≠0）.例3 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 变式一：已知方程x 2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2-5x+k=0的两根互为倒数，求k. 【答案】解：由两根之积，得-3k=92，解得k=32；（变式一）互为相反数的两根之和为0，得0=2k.解得k=0；（变式二）互为倒数的两根之积为1，得1=2k，解得k=2. 练习：1.教材第16页 练习.2.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，则x 1+x 2+x 1x 2= -3 . 3.两根均为负数的一元二次方程是（ C ） A.7x 2-12x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.4x 2+21x+5=0 D.x 2+15x-8=04.已知关于x 的方程x 2+2x-k=0有两个不相等的实数根.若α，β是这个方程的两个实数根，求1+1的值.【答案】解：由根与系数的关系可知α+β=-2，αβ=-k ，∴1+1=(1)(1)(1)(1)=21=2212kk=2.活动5 课堂小结1.若方程x 2+px+q=0有两个实根x 1，x 2，则x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，两个根x1，x2与系数a，b，c有如下关系：x 1+x2=ba，x1x2=ca.3.运用一元二次方程的根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：（1）先把方程化为一般形式，明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式；（2）确定方程的各项系数时一定要包括符号；（3）只有在一元二次方程有实根数的前提下，才能使用根与系数的关系，如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.四、作业布置与教学反思。
初中数学_一元二次方程根与系数的关系教学设计学情分析教材分析课后反思
《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计一、教材分析一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的．课标要求通过本节内容的学习达到能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两个根的平方和及两个根之差．教材通过一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两根12x x ，推导出韦达定理，以及以数12x x ，为根建立一元二次方程，这样既是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具．同时一元二次方程根与系数的关系也是方程理论的重要组成部分．二、教学目标 1．目标（1）理解并掌握根与系数的关系：1212bc x x x x a a+=-⋅=，． （2）能运用根与系数的关系：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值．（3）经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养分析能力和解决问题的能力. 2．目标解析达成目标（1）的标志是：由已知两根构造新方程入手，由学生观察并发现一元二次方程根与系数的关系，用求根公式再严格加以证明，证明的过程是一个再熟悉和再理解的过程．达成目标（2）的标志是：能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两个根的平方和及两根之差．三、重点、难点重点：一元二次方程根与系数关系的推导过程． 难点：利用一元二次方程根与系数的关系解题． 四、教学过程设计 （一）创设情景，提出问题出示化学老师的照片，让学生猜年龄.前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下： 小明：小青，我有一个秘密，你想听吗？小青：什么秘密？小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？ 小青：哦？小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程212350x x -+=的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄还是方程2352000x x --=的两根的和呢．小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄．设计意图：创设一个情境，激发学生学习数学的兴趣． （二）合作探究，形成知识 1．复习提问：（1）一元二次方程的一般形式是什么？ （2）如何判断一元二次方程根的情况？（3）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 的求根公式. 2．填表格找规律解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？问题1 你发现上面表格有什么规律？师生活动：让学生分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．问题2 你能把发现的规律用式子表达出来么？师生活动：学生发言谈自己的看法，教师做总结，提醒学生可以发现下面的规律： 猜想：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12x x ，，用式子表示规律：1212b cx x x x a a+=-=，．设计意图：二次项系数为1和二次项系数不为1的题目，系数性质符号各有不同．让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系．问题3 验证你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？师生活动：学生探讨，试写推导过程，教师巡视后给出规范推导过程． 一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根是：12x x =由此可得122222b b b bx x a a a a --+-+=+==-，22122()(4)224b b b b ac cx x a a a a--+---===． 归纳总结：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12x x ，，则1212b cx x x x a a+=-=，．师生活动：教师提问你觉得用根与系数的关系需要注意什么问题？ 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵再算b 2-4ac ≥0(3)使用x 1+x 2 时， 注意“－ ”不要漏写. 3.播放视频，是学生了解根与系数的关系叫韦达定理设计意图：学生在已有公式法解一元二次方程的知识的基础上，可以最快速度说出x 1和x 2的值，接下来将用字母系数表示的x 1和x 2的值代入相应的代数式x 1+x 2和x 1x 2，得出根与系数关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程中遇到的问题．还可以让学生体会数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中的一些结论并不是高不可攀的．4．例题分析：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根12x x ，的和与积： （1）2760x x +-=（2）2232x x -=．师生活动：让学生根据根与系数的关系，独立解决上述问题．教师巡视学生的掌握情况，指导困难学生．教师引导：1.把一元二次方程化成一般式，找对a ，b ，c ，2.求b 2-4ac3.代入根与系数的关系求解．设计意图：直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆，引导学生发现应用根与系数的关系解决两根和与两根积的问题不需求出复杂的两根．例2 已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一个根及k 的值．师生活动：学生自己独立解答，然后和其他同学交流做法，老师巡视辅导．解答的学生出现的问题，进行讲解．方法1.代入法 方法2.根与系数关系 也可以两种方法综合教师引导：本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根与系数的关系应该掌握的内容．此外，还可以让学生应用多种方法解决问题，进一步培养学生的发散思维．（三）练习巩固，综合应用1．不通过代入方程检验，判断下列方程后面括号里的两个数是不是它的根． 1） 2） 3） 4） 设计意图：考查对一元二次方程根与系数的关系的理解和掌握．)7,1-(;0762=+-x x )1,21(;01322=+-x x )4,1(;0452=+-x x )2,31(;02-532=+x x2．已知方程的一个根是 ，求方程的另一个根及k 的值 高手继续探究题1.设12,x x 是方程22430x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）2212x x +； （2） 221)(x x - （3） 1211x x +设计意图：加深对一元二次方程根与系数关系的理解，培养学生的应用意识和能力，渗透整体代入思想．2.已知关于x 的方程（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数． 设计意图：进一步加强对所学知识的理解和掌握． （四）交流评价：能说出你这节课的收获和体验 让大家与你分享吗？设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．《一元二次方程根与系数关系》学情分析本节课是初三数学第八章第四节《一元二次方程根与系数的关系》新授课教学内容。
初中数学_一元二次方程根与系数的关系教学设计学情分析教材分析课后反思
根与系数的关系一、教学目标:1.知识与技能:掌握一元二次方程的根与系数之间的关系以及根的判别式的综合运用。
2.过程与方法:经历由公式法推导一元二次方程根与系数的过程，理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用此关系解题。
3.情感、态度与价值观：在由公式法推导一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展观察、分析、发现问题的能力。
二、教学重点：根与系数的关系的应用难点：根与系数的关系和根的判别式的综合应用突破难点的关键：鼓励学生动手操作，主动探索和讨论交流。
突破方法：通过活动一中的复习引入得出一元二次方程的根与系数的关系，通过例1运用根与系数的关系解题突出本课的重点。
通过例2运用根据系数的关系求待定系数的值，突破本课的难点，通过跟踪训练加强根与系数的应用的理解。
三、教学方法：采用“探究──发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。
学习方法：合作交流性学习，探究性学习，概括性学习等方法四、教师的准备：制作活动一、活动二、活动三中问题的幻灯片学生的准备：复习一元二次方程的求根公式，及一元二次方程的解法。
五、教学过程【课内探究】复习引入：方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式a ac b b x 242-±-=。
问题：解方程求出两个解1x 、2x ，并计算两个解的和与积，填入下表4x 2+8x+4=0（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.分析：这是一道探究一元二次方程根与系数关系的问题，探究性问题为学生提供了广阔的思维空间，有利于调动学生的创新意识和探究兴趣，成为近几年中考的热点题型之一。
首先要根据题意求出已知方程的解，再根据得出的规律，（2）已知：1x 和2x 是方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根，那么，12b x x a +=-， 12c x x a⋅=. 【点评】探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题一般分为三类：1、条件探究型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计2
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21章是关于一元二次方程的学习，而21.2.4节主要讲解了一元二次方程的根与系数的关系。
这部分内容是在学习了根的判别式、求根公式等知识的基础上进行的，对于学生来说，这部分内容比较抽象，需要通过实例分析、自主探究等方法来理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的求解已经有了一定的了解。
但是，对于一元二次方程的根与系数的关系，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析、小组讨论等方式来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系。
2.能够运用根与系数的关系来解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的根与系数的关系。
2.难点：如何运用根与系数的关系来解决实际问题。
五. 教学方法1.实例分析：通过具体的例子，让学生理解一元二次方程的根与系数的关系。
2.自主探究：让学生通过自主学习，探索一元二次方程的根与系数的关系。
3.小组讨论：让学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作能力。
4.练习巩固：通过课堂练习，让学生巩固所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，帮助学生更好地理解知识。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于课堂练习和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的一元二次方程，引导学生思考根与系数的关系。
例如，给出方程x^2 - 4x + 3 = 0，让学生观察它的根与系数之间的关系。
2.呈现（15分钟）利用PPT课件，呈现一元二次方程的根与系数的关系的定义和性质。
通过图示和举例，让学生直观地理解这个关系。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组解决一个实际问题，运用一元二次方程的根与系数的关系来求解。
例如，给出问题：一个二次函数的图象与x轴相交于点(1,0)和点(3,0)，求这个二次函数的解析式。
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计1
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计1一. 教材分析本节课的内容是“人教版九年级数学上册”中的“21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系”。
这部分内容是在学生已经掌握了一元二次方程的解法的基础上进行讲解的，目的是让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，进一步理解一元二次方程的性质。
教材通过实例引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，并总结出公式。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念和解法已经有了一定的了解。
但是，对于一元二次方程的根与系数之间的关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例去探究、发现这个关系，并能够运用这个关系去解决问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能够运用这个关系去解决问题。
2.过程与方法目标：通过实例引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的观察、分析、归纳能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学的乐趣，培养学生的探究精神。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生发现并理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
五. 教学方法采用探究式教学法、启发式教学法和小组合作学习法。
通过实例引导学生自己探究一元二次方程的根与系数之间的关系，激发学生的兴趣，培养学生的观察、分析、归纳能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究。
2.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的一元二次方程，让学生回顾一下一元二次方程的解法。
然后，引导学生思考：一元二次方程的根与系数之间有什么关系？2.呈现（10分钟）呈现一组一元二次方程的实例，让学生观察、分析，尝试找出根与系数之间的关系。
在学生探究的过程中，给予适当的引导和提示。
3.操练（10分钟）让学生分组进行合作学习，每组选取一个实例，根据实例总结出一元二次方程的根与系数之间的关系。
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册的21.2.4节，主要讲解了一元二次方程的根与系数的关系。
这一节内容是在学习了根的判别式、求根公式的基础上，进一步引导学生发现一元二次方程的根与系数之间的内在联系，培养学生的抽象概括能力。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能运用这一关系解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念、根的判别式和求根公式等知识有一定的了解。
但是，对于根与系数之间的关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，发现并理解根与系数之间的关系，提高他们的抽象概括能力。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系，并能运用这一关系解决实际问题。
2.培养学生的抽象概括能力。
3.提高学生的合作交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数的关系。
2.教学难点：发现并理解根与系数之间的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法和引导发现法进行教学。
通过提出问题，引导学生观察、思考、讨论，发现并理解根与系数之间的关系。
同时，通过合作交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关教学课件，展示一元二次方程的根与系数的关系。
2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾一元二次方程的求解方法，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用课件，展示一元二次方程的根与系数的关系，引导学生观察、思考，发现其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些有关根与系数的问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用根与系数的关系解决问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：在实际问题中，如何运用根与系数的关系来求解问题？让学生发挥潜能，提高解决问题的能力。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.一元二次方程的求根公式是什么？（出示课件2）学生口答：2(40).2b b ac x b ac a-±=-≥2.如何用判别式b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？学生口答：对一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a≠0).b 2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b 2-4ac<0时,方程无实数根.想一想：方程的两根x 1和x 2与系数a、b、c 还有其他关系吗？（二）探索新知探究根与系数的关系填表，观察、猜想（出示课件4）方程x 1,x 2x 1+x 2x 1·x 2x 2-2x +1=0x 2+3x -10=0x 2+5x +4=0你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.出示课件5：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？教师引导：归纳结论：（出示课件6）如果关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则:x1+x2=-p,x1·x2=q.教师问：如果方程二次项系数不为1呢?（出示课件7）方程x1,x2x1+x2x1·x22x2-3x-2=03x2-4x+1=0上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.师生共同归纳：（出示课件8）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=-ba ,x1·x2=ca.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.请同学用求根公式证明.（一生板演）教师问：在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？强调：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.出示课件9,10：例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.学生思考后，共同解答如下：解：⑴这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1·x2=6.⑵这里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=32,x1·x2=-1.出示课件11：不解方程，求方程两根的和与两根的积：①x2+3x-1=0；②2x2-4x+1=0.学生自主思考并解答.解：⑴x1+x2=-3,x1·x2=-1.⑵原方程可化为：2122=+-xxx1+x2=2,x1·x2=1 2 .出示课件12：例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.学生思考后，共同解答如下：解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2.所以：x1·x2=2x2=6, 5-即：x2=3, 5-由于x1+x2=2+3 ()5-=,5k-得：k=－7.答：方程的另一个根是3,5-k=－7.出示课件13：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.学生自主思考并解答.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得k=-2.由根与系数关系，得x1·2＝3k,即2x1＝－6.∴x 1＝－3.答：方程的另一个根是－3,k 的值是－2.出示课件14：例3不解方程，求方程2x 2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.师生共同分析：将所求代数式分别化为只含有x 1+x 2和x 1·x 2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.师生共同解答如下：解：根据根与系数的关系可知：121231,.22+=-⋅=-x x x x ()()22212112212,∵+=++x x x x x x ∴()2221212122+=+-x x x x x x 21331;4222⎛⎫⎛⎫=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212121132.2312+⎛⎫⎛⎫+==-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭x x x x x x 出示课件15：设x 1,x 2为方程x 2-4x+1=0的两个根，则:⑴x 1+x 2=,(2)x 1·x 2=,(3)=-221)(x x ,(4)=+2221x x .学生自主解答后，口答：⑴4；⑵1；⑶12；⑷14.出示课件16：例4设x 1，x 2是方程x 2-2(k-1)x+k 2=0的两个实数根，且x 12+x 22=4，求k 的值.教师分析：将x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2，代入x 12+x 22=4可求出k 值.此时需用Δ=b 2-4ac 来判断k 的取值，这是本例的关键.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k -1）2-4k 2≥0即-8k +4≥0.∴.21≤k 由根与系数的关系得x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2.∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(k -1)2-2k 2=2k 2-8k +4.由x 12+x 22=4，得2k 2-8k+4=4,解得k 1=0,k 2=4.经检验，k 2=4不合题意，舍去.师生共同总结归纳如下：（出示课件17）12111.x x +=1212;x x x x +2221212122.()2;x x x x x x +=+-12213.x x x x +221212x x x x +=2121212()2;x x x x x x +-=124.(1)(1)x x ++=1212()1;x x x x +++125.x x -==教师强调：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.出示课件18：当k 为何值时，方程2x 2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.学生自主思考并解答.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2，由根与系数的关系得x1+x2=12k+，x1x2=32k+.∴（12k+）2-4×32k+=1.解得k1=9,k2=-3.当k=9或-3时，由于Δ＞0，∴k的值为9或-3.（三）课堂练习（出示课件19-25）1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2B．1C．2D．02.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=,q=.4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.6.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2).2112xxxx+7.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.8.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.参考答案：1.D2.32；-33.1；-24.解：将x =1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x 1,则：1×x 1=16.3c a =∴x 1=16.35.解：(1)根据根与系数的关系12,x x k +=-121.2k x x -=得(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=1()14,2k k -+-+=解得：k=-7；（2）因为k=-7,所以127,x x +=12 4.x x =-则：222121212()()474(4)65.x x x x x x -=+-=-⨯-=6.解:根据根与系数的关系得：12124, 1.3b c x x x x a a +=-=-⋅==-（1）(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=44(-1)1;33-++=-（2）222211212121212123492x x x x x x x x x x x x x x +++===-（）-.7.解：设方程两根分别为x 1,x 2(x 1>x 2)，则x 1-x 2=1,由根与系数的关系，得,221k x x =+,2121=∙x x ∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1,∴1,21422=⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k ∴3,22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k ∵△＞0,∴=±k 8.解：(1)方程有实数根，24b acD =-＝（-2m ）2-4m （m -2）22448m m m=-+＝8m ≠0∴m 的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x 1,x 2，∴.22,2121mm x x x x -=⋅=+∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，∴1.2422=-⨯-m m 解得m=8.经检验m=8是原方程的解．（四）课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.（五）课前预习预习下节课（21.3）第1课时的相关内容。
人教版九年级数学上册教案-21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1带教学反思
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.~。
人教版数学九年级上册22.2.4《一元二次方程根与系数关系》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.4《一元二次方程根与系数关系》教学设计一. 教材分析《一元二次方程根与系数关系》是人教版数学九年级上册第22.2.4节的内容，本节课主要让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根与系数之间的关系，能运用其解决一些实际问题。
教材通过实例引导学生探究一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根与系数之间的关系，从而得出结论。
二. 学情分析学生在八年级已经学习过一元二次方程的解法，对求解一元二次方程有一定的掌握。
但学生对一元二次方程的根与系数之间的关系可能还比较模糊，因此，在教学过程中，需要通过实例引导学生探究，让学生经历从特殊到一般的过程，从而理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
三. 教学目标1.理解一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根与系数之间的关系。
2.能运用根与系数之间的关系解决一些实际问题。
3.培养学生的探究能力和数学思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生探究并理解根与系数之间的关系。
五. 教学方法1.引导探究法：通过实例引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.讲解法：对一元二次方程的根与系数之间的关系进行讲解，让学生理解并掌握。
3.练习法：让学生通过练习，巩固所学知识，并能运用到实际问题中。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.练习题：准备一些练习题，让学生在课堂上练习，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.呈现（10分钟）展示一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根与系数之间的关系，让学生观察并思考。
3.操练（10分钟）让学生练习一些一元二次方程，找出它们的根与系数之间的关系。
4.巩固（10分钟）讲解一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生理解并掌握。
《一元二次方程的根与系数的关系》的教学反思（精选7篇）
《一元二次方程的根与系数的关系》的教学反思《一元二次方程的根与系数的关系》的教学反思（精选7篇）在发展不断提速的社会中，课堂教学是我们的工作之一，反思过去，是为了以后。
那要怎么写好反思呢？以下是小编精心整理的《一元二次方程的根与系数的关系》的教学反思，仅供参考，欢迎大家阅读。
《一元二次方程的根与系数的关系》的教学反思篇1首先因为学生在开始已经学习了用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，因此通过大屏幕展示学生比较感兴趣的篱笆问题引入，从而引出本节课的内容，在学生掌握的过程中，选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了二次项系数不是一的方程，让学生学会用类比的方法解决问题。
我认为本节课自己在实施学生主体参与方面做到比较成功：1、巩固旧知对学生来说是非常重要的，尤其是初三年级的学生大部分已经有了厌学的情绪，或是怕自己跟不上，产生消极的心里，通过复习旧知，可唤起他们学习的积极性，大面积提高课堂效率。
2、从生活实例中引入新课，是数学课程标准的要求，学生们学习数学的目的就是为了应用数学知识解决实际问题，对他们感兴趣的话题他们就会愈学愈带劲，这样更能提高学困生的学习积极性。
3、初三数学又得体现分次优化，因此，在本节课的重点教学时，我备课翻阅了近几年的中考题，选择了一些比较典型的习题让同学们来做，并让他们在小组内充分的交流，以达到提高全体学生学习积极性的目的。
.教学中还有许多需要改进的地方：1、本节课中有些能够让学生口答的地方应节省出时间让学生做大量的类型题，以提高优生的能力。
2、课堂小结的权利也应交给学生来总结，以提高学生的主体参与能力。
3、题目的难易度没有掌握好，根本上解决不了好学生吃不饱，跟队生吃不了的问题。
4、课堂容量不大，节奏比较缓慢。
应该是大容量，快节奏，高效率。
《一元二次方程的根与系数的关系》的教学反思篇2今天上了《一元二次方程的解法》一课，课后根据听课老师的反馈意见及自己对上课的一些情况的了解进行了反思：一、本节课采用了“先学后教、合作探究、当堂达标”的课堂教学模式，先由学生课外自学，了解用因式分解法解一元二次方程的解法，并会求一些简单的一元二次方程的解；其次，在课堂中通过合作探究、小组交流、学生展示、教师点评进一步掌握一元二次方程的解法；第三，通过当堂练习、讲评，进一步巩固解一元二次方程的解题方法与技巧。
初中数学一元二次方程根与系数的关系的教学设计及反思
基本信息课题人教版九年级上册第22章第4节：一元二次方程的根与系数的关系作者及沈祥明陕西省安康市仓上初级中学工作单位教材分析本部分内容为选学内容，供有能力的学生学习。
但是考虑到解题的需要以及为高中打好基础，我觉得有必要给学生讲解一下。
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。
教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。
然后通过1个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
学习了本节内容后可以使学生更加灵活的运用这一关系解题。
学情分析1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
4、部分学生在学习了这一关系后感觉到了它的强大的解题的作用，可以激发学生进一步去探索其他规律的欲望。
教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
一元二次方程的根与系数的关系应用 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名李规勇单位名称兴业县高峰镇高峰
二中
填写时间2020.8
学科数学年级/册九年级上册教材版本人教版课题名称一元二次方程的根与系数的关系
难点名称利用根与系数关系求方程在未知系数的值和相关的代数式的值
难点教学方法1、由易到难
2、联想与转化：与完全平方公式、二次根式相联系，利用分解因式、通分等来转化
教学环节教学过程
复习引入复习一元二次方程的根与系数的关系
知识讲解（难点突破）应用一：求两跟的和与积：
下列方程两根之和是-2的是（ ）
A x2 +2x+3=0
B x2-2x-3=0
C x2+2x-3=0
D x2-2x+3=0
应用二利用根与系数的关系求方程中未知数的值
1、 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0
的两根分别为 -2 和 1 ，则：p = __ ; q = __
2、以2和 －３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：——
3、已知两个数的和是1，积为-2.则两个数是——
应用三 利用根与系数的关系求相关的代数式的值
（1） X12+x22 （2） x1-1+x2-1 （3） (x1-2)(x2-2)
小结：1、利用根与系数应重视其题设与结论
2、求与根有关的代数式时要联系完全平方公式，二次根式性质，采用通分、分解因式等转化为两根（数）的和与积。
人教版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计2
人教版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计2一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是初中数学九年级上册的教学内容，主要介绍了一元二次方程的根与系数之间的关系。
通过学习本节课，学生能够理解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念和求解方法，具备一定的数学基础。
然而，对于根与系数之间的关系，学生可能存在一定的理解困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解并掌握根与系数之间的关系，并通过实例演示和练习巩固所学知识。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.掌握求解一元二次方程的方法，并能够灵活运用。
3.能够运用根与系数的关系解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：运用根与系数的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生理解和掌握。
2.实例演示法：通过具体的例题，演示一元二次方程的求解过程，并引导学生观察和总结根与系数之间的关系。
3.练习法：通过布置练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，展示一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.练习题：准备一些练习题，让学生进行操练和巩固。
七. 教学过程通过复习一元二次方程的定义和求解方法，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生理解和掌握。
通过具体的例题，演示一元二次方程的求解过程，并引导学生观察和总结根与系数之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固所学知识，并能够灵活运用。
给予学生解答和指导，帮助其理解和掌握。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的题目，让学生运用根与系数的关系解决实际问题。
人教版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案2
人教版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案2一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版数学九年级上册的一节重要内容。
本节课主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，理解根的判别式、根与系数的关系，并能够运用这些知识解决实际问题。
教材通过引入二次方程的图像，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系，为进一步学习一元二次方程的求解和应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次方程的求解方法，对二次方程有一定的认识。
但是，对于根与系数之间的关系，学生可能存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，从而理解并掌握根与系数之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解并掌握根的判别式，以及如何运用根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入二次方程的图像，让学生直观地理解根与系数之间的关系。
2.问题驱动法：通过设置问题，引导学生观察、思考、探究，从而发现并掌握根与系数之间的关系。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次方程的图像，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系。
2.练习题：准备一些有关一元二次方程的根与系数之间的关系的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次方程的图像，引导学生观察并思考：二次方程的根与系数之间有什么关系？2.呈现（10分钟）给出一些一元二次方程的例子，让学生计算出它们的根，并记录根的值。
然后，引导学生观察根的值与系数之间的关系。
初中数学_4.6一元二次方程根与系数的关系教学设计学情分析教材分析课后反思
一元二次方程根与系数的关系教学设计教学目标：1.能正确叙述一元二次方程根与系数的关系。
2.能自主探究一元二次方程根与系数的关系。
3.能利用一元二次方程根与系数的关系 a. 检验一元二次方程的根b. 已知一元二次方程的一个根，求另一个根及未知系数。
c. 会求一元二次方程的两根平方和以及倒数和等有关代数式的值。
4.能灵活与综合利用。
教学重点：根与系数关系及运用 教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：一、创设情境，激发探究欲望(不解方程，求下列一元二次方程的两根之和与两根之积)。
设计意图：让学生感受到数学里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望。
二、 探究规律： 知识回顾：1.一元二次方程的一般形式是什么？3x 2-4x+1=02x 2+3x -2=0x 2+3x -4=0x 2-7x+12=0 x 2x 1两根积x 1x 2两根和 X 1+x 2两根 方程2.一元二次方程的求根公式是什么？3.一元二次方程的的解的情况怎样确定？设计意图：通过回顾前面所学知识，学生能更好的解决本节课的学习内容。
设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
探索得出定理（韦达定理）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2求：x1+x2 = x1，x2 =设计意图:通过学生计算一般形式的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透由一般到特殊的思考方法。
特殊的：若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，则x1+x2 =-p x1，x2 =q证明此处略（师生合作完成）设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
二、运用定理解决问题1、抢答：求下列方程的两根之和与两根之积.(1) x 2- 2x – 1=0 (2) 2x2- 3x = 3(3) 2x 2- 6x =0 (4) 3x2= 4设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，加深学生对根与系数关系的本质理解, 提高学生的学习兴趣。
人教版数学九年级初三上册 一元二次方程的根与系数的关系 名师教学教案 教学设计反思
2.如果一元二次方程 的两根互为倒数,则
A. B. C. D.
3.已知 是一元二次方程 的两个实数根,则代数式 的值为
A. B. C. D.
七:小结
谈一谈你本节课的收获
讨论区发言
书写回答
出题
计算
学生思考,合作交流
通过观察总结归纳出结论
出题并计算
学生思考,合作交流
通过观察总结归纳出结论
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
系数化一x2＋ x＋ =0
对照方程x2+px+ q=0,可得结论:
=
=
4、证明结论
若 ,△≥0）,两根为
求证 ；
证明: 由求根公式得:
,
∴
符号语言:
；
文字语言:
两个根的和等于一次项系数与二次项系数比的相反数；两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
带领学生重做,引入时学生出的题
理解两根和的证明方法并证明两根积
理解记忆
口述答案
解答、展示
利用所学知识
进行简便运算
电子书包测验
梳理一元二次方程解法的相关知识
通过复习,使学生进一步明确求根公式中方程的根与系数之间的一种关系,为下面推导做准备
快速回答,调动学生积极性,增加其对所学内容的兴趣
提出问题
引导点拨
验证得到的结论
提出问题
提出问题,带领学生完成两根和的证明
提示学生前测的第三题,是如何计算的
通过敎學三种（两种）语言的表现形式,提升学生数学思维能力
重做引入时学生出的题,获得成就感
韦达定理及其用处
例题讲解
订正
（先求解、关系混淆、未整理）
回顾前测第二题
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1．课本思考。
分析：将（x- x1）（x-x²）=0化为一般形式x²-( x1+x²)x+ x1x²=0与x²+px+ q=0对比，易知p=-( x1+x²)， q= x1x²。即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积。
2．跟踪练习。
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号， 中还需考虑m的值还得受根的判别式的限制。
三、课堂训练
1．完成课本练习。
2．补充练习：
x1，x²是方程3x²-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值： ； ； ；
四、小结归纳
本节课应掌握：
1．韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系。
两个根均为负数的一元二次方程是( )。
A．4x²+21x+5=0B．6x²-13x-5=0C．7x²-12x+5=0D．2x²+15x-8=0
两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）。
A．4x²-3=0B．-3x²+5x-4=0C．0.5x²-4x-3=0D．2x²+ x- =0
。若关于x的一元二次方程2x²-3x+m=0，当m时方程有两个正根；当m时方程有两个负根；当m时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大。
一元二次方程的根与系数的关系
教学时间
课题
课型
新授
教学媒体
多媒体
教
学
目
标
知识
技能
1．熟练掌握一元二次方程的根与系数关系。
2．灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题。
3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
过程
方法
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明。
情感
学生独立解决，并交流。
先观察，尝试选用合适方法解题，之后交流，比较解法。
学生尝试归纳，师生总结。
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
学生归纳，总结阐述，体会，反思。并做出笔记。
创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲
通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系，为后面继续研究做铺垫。
选做：补充作业：已知一元二次方程x²+3x+1=0的两个根是 ，求 的值。
教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题
学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论。
学生独自完成。
巩固上诉知识。
教师出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论。
让学生通过探究问题，体会从特殊到一般的认知过程，体会数学结论的确定性。
加深对韦达定理的理解，培养学生的应用意识和能力。
通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。
进一步加强对所学知识的理解和掌握。
通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用。
加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系。
求下列方程的两根x1、x²。的和与积。
x²+3x+2=0；x²+2x-3=0；x²-6x+5=0；x²-6x-15=0
3．方程2x²-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？
态度
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。
教学重点
பைடு நூலகம்一元二次方程的根与系数关系。
教学难点
对根与系数关系的理解和推导。
【教学过程】
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
2．运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
3．韦达定理的应用常见题型：
不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
判断两个根的符号； 不解方程求含有方程的两根的式子的值。
五、作业设 计
5．跟踪练习。
求下列方程的两根x1、x²。的和与积。
3x²+7x+2=0；3x²+7x-2=0；3x²-7x+2=0；3x²-7x-2=0；
5x-1=4x²；5x²-1=4x²+x
6．拓展练习。
已知一元二次方程2x²+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=，c=。
已知关于x的方程x²+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是，k的值是。
若关于x的一元二次方程x²+px+q=0的两个根互为相反数，则p=；若两个根互为倒数，则q=。
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数。二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项。
4．一般的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x²和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系。