九年级数学第二十八章锐角三角函数测试题

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人教版九年级下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试卷及答案

人教版九年级下册《第28章锐角三角函数》单元测试卷（1）一、单选题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（）A．B．C．D．3．小明沿着坡度为1：2的山坡向下走了1000m，则他下降了（）A．200m B．500m C．500m D．1000m4．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC的值为（）A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，CD＝2米，BC＝5米，，则AB ＝（）A．8米B．10米C．12米D．14米6．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长（）米．A．B．C．D．7．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，BD＝1000米，∠D＝55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（）A．1000sin55°米B．1000cos35°米C．1000tan55°米D．1000cos55°米8．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（）A．16cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm29．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．10．如图，边长为的等边三角形AOB的顶点B在x轴的正半轴上，点C为△AOB的中心，将△AOB绕点O以每秒60°的速度逆时针旋转，则第2021秒，△AOB的中心C 的对应点C2021的坐标为（）A．（0，﹣2）B．C．D．二、填空题11．计算：＝．12．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan C的值为．13．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tan A﹣）2+|2cos B﹣1|＝0，则△ABC的形状是．14．若等边三角形的边长为6，则其边心距为．15．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sin A ＝，则斜道AC的长度是米．16．一艘邮轮从港口P处出发，沿北偏东60°方向行驶200海里到A港口，卸货后向正南方向行驶到B港口，此时P港口在邮轮的北偏西45°方向上，这时邮轮与港口P相距海里．（保留根号）17．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径画弧分别与△ABC的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）三、解答题（一）18．计算：+|1﹣cos60°|﹣2tan45°•sin60°．19．如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα＝（1）求点P的纵坐标；（2）求∠α其它的三角函数值．20．某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的长度．（结果保留根号）四、解答题（二）21．如图，小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．（1）求梯子的顶端与地面的距离AC（结果保留根号）；（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B向内移动多少米（结果精确到0.1米）？参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，线段OA＝5，OC＝3，E为x轴上一点，且tan∠AOE＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC＝3，sin∠C＝，求CD的长．五、解答题（三）24．图为某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．25．问题探究（1）如图①，⊙O的半径为10，弦AB＝16，则圆心O到AB的距离为；（2）如图②，线段BC和动点A构成△ABC，已知BC＝9，∠BAC＝60°，过点A作BC边上的高线AD．若点D在线段BC上，求线段AD长度的最小值；问题解决（3）周老师为了增加数学学习的趣味性，设计了一个“寻宝”游戏：如图③，在平面内，线段AB长为9cm，线段AB外有一动点P，且线段PA长为7cm，又有一点Q满足PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，当线段AQ的长度最大时，点Q的位置即为藏宝地．请你确定藏宝地的位置及此时藏宝地到点A的距离．人教版九年级下册《第28章锐角三角函数》单元测试卷（1）参考答案与试题解析一、单选题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】利用余弦的定义得到cos B＝＝，设BC＝x，AB＝3x，则可求出AC＝2x，然后根据正切的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴cos B＝＝，设BC＝x，AB＝3x，则AC＝2x，∴tan A＝＝＝．故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据锐角三角函数的定义对各选项进行判断．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∴sin A＝cos B＝＝，cos A＝＝，tan B＝＝．故选：B．3．小明沿着坡度为1：2的山坡向下走了1000m，则他下降了（）A．200m B．500m C．500m D．1000m【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】根据坡度等于坡角的正切值，以及正切的定义可设下降了x m，则水平距离为2x m，再根据勾股定理求得答案．【解答】解：由题意得，BC：AB＝1：2，设BC＝x m，AB＝2x m，则AC＝＝x＝1000（m），解得：x＝200．故选：A．4．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC的值为（）A．B．C．D．【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．【分析】首先设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，根据直角对的圆周角是直径，即可得CD是直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠OBC ＝∠ODC，继而可求得答案．【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵∠COD＝90°，∴CD是直径，即CD＝10，∵C（0，5），∴OC＝5，∴OD＝＝5，∵∠OBC＝∠ODC，∴tan∠OBC＝tan∠ODC＝＝＝．故选：C．5．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，CD＝2米，BC＝5米，，则AB ＝（）A．8米B．10米C．12米D．14米【考点】解直角三角形的应用；勾股定理．【分析】过D作DE⊥AB于E，利用四边形DEBC是矩形，得出BE＝DC，DE＝BC，根据三角函数得出AD，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∴∠DEB＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形DEBC是矩形，∴BE＝DC＝2米，DE＝BC＝5米，∵sin A＝，∴，∴AD＝13（米），∴AE＝（米），∴AB＝AE+BE＝12+2＝14（米），故选：D．6．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长（）米．A．B．C．D．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．【分析】利用直角三角形的性质得出BC，BD的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∵第一次是当阳光与地面成45°，∴AB＝BC＝5m，∵第二次是阳光与地面成30°，∴BD＝＝5（m），∴第二次观察到的影子比第一次长：（5﹣5）m．故选：A．7．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，BD＝1000米，∠D＝55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（）A．1000sin55°米B．1000cos35°米C．1000tan55°米D．1000cos55°米【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据已知条件可得∠E＝90°，即可在Rt△BED中利用锐角三角函数即可得结果．【解答】解：∵∠ABD＝145°，∴∠EBD＝35°，∵∠D＝55°，∴∠E＝90°，在Rt△BED中，BD＝1000米，∠D＝55°，∴ED＝1000cos55°米，故选：D．8．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（）A．16cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2【考点】矩形的性质．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCE＝60°，判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，∵∠ECD＝30°，∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，∴△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，则EG＝EF＝×4＝2cm，∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．故选：C．9．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．【考点】圆锥的计算；解直角三角形．【分析】先根据扇形的面积公式S＝L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：根据题意可知：，解得AB＝5cm，∵，∴．故选：B．10．如图，边长为的等边三角形AOB的顶点B在x轴的正半轴上，点C为△AOB的中心，将△AOB绕点O以每秒60°的速度逆时针旋转，则第2021秒，△AOB的中心C的对应点C2021的坐标为（）A．（0，﹣2）B．C．D．【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．【分析】因为360°÷60°＝6，推出△AOB的位置6秒一循环，而2021＝6×336+5，推出第2021秒，△AOB的位置如图所示，设点C的对应点C′，过C′作C′D⊥x轴于点D，连接OC′，BC′，则∠DOC′＝30°，OD＝DB＝，求出点B′坐标即可．【解答】解：∵360°÷60°＝6，∴△AOB的位置6秒一循环，而2021＝6×336+5，∴第2021秒，△AOB的位置如图所示，设点C的对应点C′，过C′作C′D⊥x轴于点D，连接OC′，BC′，则∠DOC′＝30°，OD＝DB＝，∴DC′＝OD•tan∠DOC′＝×tan30°＝×＝1，∴C′．故选：B．二、填空题11．计算：＝0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后合并同类项，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝4﹣3+﹣2×﹣1＝1+﹣﹣1＝0．故答案为：0．12．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan C的值为．【考点】解直角三角形．【分析】过A作AD⊥BC于D，根据正切的定义计算，得到答案．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，在Rt△ADC中，tan C＝＝，故答案为：．13．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tan A﹣）2+|2cos B﹣1|＝0，则△ABC的形状是等边三角形．【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数，即可得出答案．【解答】解：∵（tan A﹣）2+|2cos B﹣1|＝0，∴tan A﹣＝0，2cos B﹣1＝0，则tan A＝，cos B＝，故∠A＝60°，∠B＝60°，则∠C＝60°，即△ABC的形状是等边三角形．故答案为：等边三角形．14．若等边三角形的边长为6，则其边心距为．【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质．【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可．【解答】解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，边长BC＝AB＝AC＝6，O为外心，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝，在Rt△BDO中，OD＝BD•tan∠OBD＝3×，故答案为：．15．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sin A ＝，则斜道AC的长度是30米．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】在Rt△ABC中，由锐角三角函数定义求出AC的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝10米，sin A＝＝，∴AC＝3BC＝30（米），故答案为：30．16．一艘邮轮从港口P处出发，沿北偏东60°方向行驶200海里到A港口，卸货后向正南方向行驶到B港口，此时P港口在邮轮的北偏西45°方向上，这时邮轮与港口P相距100海里．（保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】如图所示，作PD⊥AB于D点，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图所示，作PD⊥AB于D点，根据题意可得∠APD＝30°，AP＝200海里，在Rt△APD中，AD＝100海里，海里，又∵∠B＝45°，∴△PBD为等腰直角三角形，∴海里，故答案为：．17．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径画弧分别与△ABC的边相交，则图中阴影部分的面积为8﹣2π．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形．【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AD，BD的长，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案．【解答】解：等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．∴AB＝BC•sin45°＝，＝，∴S△ABC∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴，以2为半径，180°扇形是半圆＝，阴影面积＝8﹣2π．故答案为：8﹣2π．三、解答题（一）18．计算：+|1﹣cos60°|﹣2tan45°•sin60°．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值．【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据绝对值是性质计算即可．【解答】解：+|1﹣cos60°|﹣2tan45°•sin60°＝﹣1+1﹣﹣2×1×＝﹣．19．如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα＝（1）求点P的纵坐标；（2）求∠α其它的三角函数值．【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】（1）过P作PM⊥x轴于M，则OM＝6，由tanα＝可得PM＝8；（2）利用勾股定理求出OP＝10，进而根据锐角三角函数的定义求出∠α其它的三角函数值．【解答】解：（1）如图，过P作PM⊥x轴于M，则∠PMO＝90°，∵点P的横坐标为6，∴OM＝6，∵tanα＝＝＝，∴PM＝8，∴点P的纵坐标是8；（2）∵在Rt△OMP中，∠PMO＝90°，PM＝8，OM＝6，∴OP＝＝＝10，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．20．某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的长度．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC＝AC ﹣AB得解．【解答】解：∵在Rt△ADB中，∠BDA＝45°，AB＝3m，∴DA＝3m，在Rt△ADC中，∠CDA＝60°，∴tan60°＝，∴CA＝m∴BC＝CA﹣BA＝（3﹣3）米．四、解答题（二）21．如图，小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．（1）求梯子的顶端与地面的距离AC（结果保留根号）；（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B向内移动多少米（结果精确到0.1米）？参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长；（2）将梯子向内移动后，移动的距离为BD，根据DE＝AB＝4m，利用锐角三角函数即可求出结果．【解答】解：（1）竖直的墙与梯子形成直角三角形，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴（m）；（2）如图所示，将梯子向内移动后，移动的距离为BD，∵DE＝AB＝4m，在Rt△ABC中，（m），在Rt△EDC中，DC＝DE⋅cos70°≈4×0.34＝1.36（m），∴BD＝BC﹣DC≈2﹣1.36≈0.6（m），故向内移动0.6m．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，线段OA＝5，OC＝3，E为x轴上一点，且tan∠AOE＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入代入y＝可求得m＝﹣12，则可得到反比例函数解析式；然后把A和C点坐标分别代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，再解方程组求出k和b的值，从而可确定一次函数解析式；＝S△AOC+S△BOC求解．（2）先确定B点坐标，然后根据S△AOB【解答】解：（1）作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，tan∠AOE＝，∴＝，∵OA＝5，∴AD＝4，OD＝3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y＝（m≠0）得m＝﹣3×4＝﹣12，所以反比例函数解析式为y＝﹣；∵OC＝3，∴C（3，0），把A（﹣3，4）、C（3，0）分别代入y＝kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y＝﹣x+2；（2）解得，∴B（6，﹣2），＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．∴S△AOB23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC＝3，sin∠C＝，求CD的长．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）欲证明CB∥PD，只要证明∠1＝∠P即可．（2）根据三角函数的定义求出BE，再利用勾股定理求出EC可得结论．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠P，又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD．（2）解：连接AC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CD⊥AB，∴，∴∠P＝∠CAB，∴＝，又∵BC＝3，∴BE＝2，∴CE＝＝＝，∴CD＝2EC＝2．五、解答题（三）24．图为某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据直角三角形的性质求出AC；（2）根据余弦的定义求出CD，根据题意求出PC，根据题意判断即可．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝4（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8（m），答：新传送带AC的长度为8m；（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC•cos∠ACD＝4（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝4（m），∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），∵4＜5，∴货物MNQP需要挪走．25．问题探究（1）如图①，⊙O的半径为10，弦AB＝16，则圆心O到AB的距离为6；（2）如图②，线段BC和动点A构成△ABC，已知BC＝9，∠BAC＝60°，过点A作BC边上的高线AD．若点D在线段BC上，求线段AD长度的最小值；问题解决（3）周老师为了增加数学学习的趣味性，设计了一个“寻宝”游戏：如图③，在平面内，线段AB长为9cm，线段AB外有一动点P，且线段PA长为7cm，又有一点Q满足PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，当线段AQ的长度最大时，点Q的位置即为藏宝地．请你确定藏宝地的位置及此时藏宝地到点A的距离．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1，过点O作OC⊥AB，连接OB，在Rt△OBC中，由勾股定理得，即可求解；（2）BC＝9，∠BAC＝60°，且点D在线段BC上，则△ABC应为锐角三角形或直角三角形，进而求解；（3）连接AC并延长交⊙C于点Q'，当Q与Q'重合时，AQ的长度最大，即为AQ'的长度，点Q'即为藏宝地，即可求解．【解答】解：（1）如图1，过点O作OC⊥AB，连接OB，∵OB＝10，，在Rt△OBC中，由勾股定理得，故答案为：6；（2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，∵BC＝9，∠BAC＝60°，且点D在线段BC上，∴△ABC应为锐角三角形或直角三角形，∴点A在劣弧上，∴当点D与点B或点D与点C重合时，AD长度最小，此时∠A''BC＝∠A'CB＝90°，∴，即AD的最小值为；（3）如图3，∵PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，∴将△PAB绕点B逆时针旋转90°，PB与QB重合，得到△QCB，则QC＝PA＝7cm，∴当点P运动时，点Q的运动路径为以C为圆心、半径为7cm的⊙C，QC＝PA＝7cm．连接AC并延长交⊙C于点Q'，当Q与Q'重合时，AQ的长度最大，即为AQ'的长度，点Q'即为藏宝地．∵∠ABC＝∠PBQ＝90°，AB＝BC＝9cm，∴，∴，∴藏宝地到点A的距离为．。

人教版九年级数学下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试卷-含答案

人教版九年级数学下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试卷•含答案（120分钟150分）题号123456789101112一、选择题（每小题3分，共36分）1.如图，在RtAABC中,ZC=90°4C=4?BC=3,则（）2.RtAABC中C=90。

,A09,sin项U AB=()A.15B.12C.9D.63.小明沿着坡度为1:2的山坡向下走了1000m,则他下降了（）A.200V5mB.500mC.500V3mD.l000m4.如图直径为10的OA经过点C（0,5）和点0（0,0）,8是y轴右侧OA优弧上一点,则tan ZOBC的值为（）5.如图，四边形A8CQ中,ZB=ZC=90°,CD=2米,8。

=5米sin4二二则AB=()D CA.8米B.10米C.12米D.14米6.如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子,第一次是当阳光与地面成45。

时第二次是阳光与地面成30。

时第二次观察到的影子比第一次长__________米.()A.5V3-5B.5-V3C.5+5V3D.5号7.(2023.长春中考)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳A8到地面如图所示.已知彩旗绳与地面形成25。

角(即ZBAC=25°)＞旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米)，则彩旗绳A8的长度为()A.32sin25咪B.32cos25。

米C.表米D.看米8.如图在矩形A8CQ中『是BC中点,E是AQ上一点，且/归8=30。

,/器。

二90。

, Eg=4cm,则矩形的面积为cm2.()A.16B.8V3C.16V3D.329.如图,A8是圆锥的母线,8。

为底面直径，已知BC=6cm,圆锥的侧面积为15兀cm2,则cos ZABC的值为（）3345A・Z C-5D310.如图，在AABC中,sin B=|,AB=84C=5,且匕C为锐角，则cos C的值是（）AB CA.-B.-C,— D.-552411.小明去爬山，在山脚看山顶角度为30。

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数试卷(含答案)

人教版数学九年级第二十八章锐角三角函数一、选择题1．tan45°的值等于（）A．12B．22C．1D．32．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，sin A=45，则AC的长是（）A．3B．4C．5D．63．在△ABC中，∠C=90°，若tan A=13，则cos B的值为（）A．223B．24C．31010D．10104．如果在高为2米，坡度为1:2的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（）A．2米B．6米C．25米D．2+5米5．如图，在离地面高度为1.5米的A处放风筝，风筝线AC长5米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为θ，则风筝线一端的高度CD为（）A．(1.5+5sinθ)米B．(1.5+5cosθ)米C．(1.5+5sinθ)米D．(1.5+5cosθ)米6．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)（）A．253米B．25米C．252米D．50米7．如图，在等腰三角形ABC中．AB=AC，∠A=α(0°<α<90°)．点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则S正方形DEFGS△ABC=（）A．sinα2B．2sinα(1+sinα)2C．12sinαD．2sin2α(1+sinα)28．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，将其绕顶点C逆时针旋转30°，得到△CDE，连接AE、BD，则BDAE=（）A．33B．32C．3−1D．259．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=12，BA<BC，点D为AC的中点，线段BD的垂直平分线l交边BC于点E．设BE=x，tanC=y，则（）A．x−3y2=3B．2x−3y2=7C．3x−3y2=15D．4x−3y2=15 10．如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3．以下结论：①∠EDC=135°；②E C2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED=23．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角∠BAC =15°，那么这个正多边形的中心角的余弦值是．12．如图，圆锥的母线AB 与底面半径OB 的夹角为α，tan α=43，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是　°．13．某防空部队进行射击训练时．在地面A ，B 两个观察点测得空中固定目标C 的仰角为α和β，测得AB =1km ，tan α=928， tan β=38，则目标C 距离地面的高度为 km ．14．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+|c−10|+b−8=12a−36，则sin B的值为．15．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点P 处测得瞭望台正对岸A 处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C 处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC 高12米(图中点A ，B ，C ，P 在同一平面内).那么大汶河此河段的宽AB 为　　米.(参考数据：sin40°≈35,sin63.6°≈910,tan50°≈65,tan63.6°≈2)16．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，△EBC 与△EFC 关于直线EC 对称，过点B 作BH ⊥FC 于点H ，交CE 于点K ，交CD 于点G ，若tan ∠FCB =43,DG =12，则CE 的长为　　．三、解答题17．如图，Rt △ABC 中，已知∠C =90°,∠B =32°,AB =4，点D 在BC 边上，且∠CAD =37°，求CD 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin32°≈0.55,cos32°≈0.83,tan32°≈0.66）18．如图，焊接屋顶人字钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m 高的支柱（D 为底边中点），求上弦AC 的长和共需钢材（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.60，tan37°≈0.75）19．蝴蝶夹子是学生或办公人员经常使用的小文具，图1是某款蝴蝶夹子的实物图，图2是其侧面示意图，PA =PB =11cm ，PD =PE =5cm ，DE =3cm ．（1）求A ，B 两点之间的距离．（2）求∠PED 的度数．（参考数据：sin18°≈0.3，tan17°≈0.3）20．某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B 是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．21．如图是某种台灯及其示意图．已知AB 垂直于桌面l ，AB =12cm ，AC =10cm ，∠BAC =150°，灯头CD =14cm 、CD 可绕点C 上下转动，AB 、AC 、CD 始终在同一平面内，EF 为光源D 的最大照射区域，且DE =DF ．某学生此时调整灯头CD ，使得CD ⊥AC ．（1）求此时光源D 离桌面的高度：（结果精确到0.1cm ）（2）若此时EF =28cm ，求∠EDF 约为多少度？（参考数据：3=1.73，tan27°≈0.51，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan33°≈0.65，sin 33°≈0.54，cos33°≈0.84）22．阅读与思考阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过C 作CE ⊥AB 于E （如图1），则sin B =CE a ，sin A =CE b ，即CE =a sin B ，CE =b sin A ，于是a sin B =b sin A ，即bsin B =a sin A ．同理有c sin C =a sin A ，c sin C =b sin B ，所以a sin A =bsin B =c sin C．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：（1）如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠C=45°，BC=30，则AB=______；（2）如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）（3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）23．在平面直角坐标系中，抛物线y=a x2+bx−1分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(2,0)．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点Q、点P分别在第一、第二象限内的抛物线上，PD⊥x轴于点D，点F在第四象限内，连接QF交x轴于点E，连接DF、PE，PE∥DF且PE=DF，若点P的横坐标为t，点Q的横坐标为d，tan F= 8，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；5（3）如图2，在（2）的条件下，点N在线段EQ上，连接PN，作PM平分∠NPD交线段BE于点M，连接AD，求Q点的纵坐标．MN，若∠NPM与∠NME的度数比为2:3，EN−EF=76答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】3212．【答案】21613．【答案】9414．【答案】4515．【答案】7416．【答案】5517．【答案】CD ≈1.718．【答案】21m 19．【答案】（1）335cm （2）72°20．【答案】（1）BC=18>16，在暗礁区域外；（2）C 到AB 的距离为93，小于16，继续向东有危险21．【答案】（1）27.7厘米（2）54°22．【答案】（1）106；（2）256；（3）2+6423．【答案】（1）y =12x 2−12x−1（2）d =45t 2+15t−85（3）9。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》综合测试卷 (含答案)

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．cos60°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D.322．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于( ) A. 12 B. 22C.32D ．1 3．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到点D ，使BD ＝AB ，连结CD.若tan ∠BCD ＝13，则tan A＝( )A.13B.23 C ．1 D.324．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的长是( ) A ．3B ．6C ．8D ．95．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( ) A.12 B.13C.14D.246. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于( ) A.200 B.300 C.400 D.5007．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是( )A. 14B. 13C. 12D ．28．某铁路路基的横截面为等腰三角形，已知路基高5 m ，坡长10 m ，则坡度为( ) A ．1∶2 B ．1∶12C ．1∶ 3D ．1∶339．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( ) A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°10．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD 等于( ) A.35 B.105 C.310 D.31010二．填空题（共8小题，3*8=24） 11．在△ABC 中，若│sinA -1│+（32-cosB ）=0，则∠C=_______度．12．如图，一架梯子斜靠在墙上．若梯子底端到墙的距离AC ＝3 m ，cos ∠BAC ＝34，则梯子长AB ＝_______ m.13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 所在的直线对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________.14. cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝；15．如图所示，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=13，BC=10，则AB 的长为________．16．如图，在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝____________.(结果保留根号)17．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB ＝12米，背水坡面CD ＝123米，∠B ＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，tanE ＝3133，则CE 的长为________米．18．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为___________________．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 已知tanα的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sinα－cosα2cosα＋sinα的值．20．(8分) 如图，海面上B ，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向．一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°.求A ，B 两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93)21．(8分) 如图，房屋顶呈人字形(等腰三角形)，AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D.(1)求∠ACB 的大小； (2)求AB 的长度．22．(10分)在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝36，∠A＝45°，求∠B，b，c.23．(10分) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标为O(0，0)，A(23，0)，B(23，2)，把矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转α度，使点B正好落在y轴正半轴上，得到矩形OA1B1C1.(1)求角α的度数；(2)求直线A1B1的函数关系式，并判断直线A1B1是否经过点B，为什么？24．(10分) 如图，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)25．(12分) 如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为BC 上一点．将正方形折叠，使点A 与点E 重合，折痕为MN.若tan ∠AEN ＝13，DC ＋CE ＝10.(1)求△ANE 的面积； (2)求sin ∠ENB 的值．参考答案：1-5 AADBB 6-10CCCDA 11. 60 12. 4 13. 4314. 0 15．3+ 3 16. (73＋21)m 17.818. y ＝23x －3 19. 解：解方程x 2－x －2＝0 得x 1＝2，x 2＝－1. 又∵tanα＞0，∴tanα＝2，又∵tanα=sinαcosα，∴原式＝3tanα－12＋tanα＝3×2－12＋2＝5420. 解：由题意，得AC ＝18×2＝36(海里)，∠ACB ＝43°.在Rt △ABC 中， ∵∠A ＝90°，∴AB ＝AC•tan ∠ACB ＝36×0.93≈33.5(海里)．故A ，B 两岛之间的距离约为33.5海里． 21. 解：(1)∵AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°， ∴∠B ＝∠A ＝30°，∴∠ACB ＝120°. (2)∵AB ＝AC ，CD ⊥AB ， ∴AD ＝BD ，AD ＝AC·cos30°＝8×32＝4 3(m)，∴AB ＝2AD ＝8 3 m. 22. 解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠B ＝30°.∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc ，∴a ＝c·sin A ＝83×32＝12. b ＝c·sin B ＝83×12＝4 3.(2)∵∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝45°. ∴b ＝a ＝3 6. ∴c ＝a 2＋b 2＝6 3.23. 解：(1)∵OA 1＝23，A 1B 1＝2，∴tan ∠A 1OB 1＝223＝33，∴锐角∠A 1OB 1＝30°，∴∠α＝60°(2)由点A 1(3，3)，B 1(0，4)得直线A 1B 1表达式为y ＝－33x ＋4，当x ＝23时，y ＝－33×23＋4＝2， ∴点B(23，2)在直线A 1B 1上24．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.设塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m)，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m. 在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ，则CF ＝AFtan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163(m)，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ，则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ， ∵CF ＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得x≈52.答：该铁塔的高AE 约为52 m.25. 解：(1)∵tan ∠AEN ＝tan ∠EAN ＝13，故若设BE ＝a ，则AB ＝3a ，CE ＝2a.∵DC ＋CE ＝10，∴3a ＋2a ＝10，∴a ＝2.∴BE ＝2，AB ＝6，CE ＝4. ∵AE ＝AB 2＋BE 2＝4＋36＝2 10，∴AG ＝10.∵tan ∠EAN ＝NG AG ＝13，∴NG ＝103.∴AN ＝⎝⎛⎭⎫1032＋（10）2＝103.∴S △ANE ＝12AN·BE ＝12×103×2＝103(或S △ANE ＝12AE·GN ＝12×2 10×103＝103)．(2)sin ∠ENB ＝EB NE ＝2103＝35.。

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案解析

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。

人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案

第二十八章锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ，即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )，所以OC ＝OB ，所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB，则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)．则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ，设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

人教版九年级数学下册第二十八章：锐角三角函数练习(含答案)

第二十八章锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠，由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数-测试卷及答案

人教版九年级下册数学第二十八章测试题时间：120分钟满分：150分班级：__________姓名：__________得分：__________一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分)1．cos60°的值等于（）A.12 B.22C.32D.322．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝15，则tan A 的值为（）A.817B.1517C.815D.1583．如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7，则树高BC 为(用含α的代数式表示)（）A ．7sin αB ．7cos αC ．7tan α D.7tan α第2题图第3题图4．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为（）A.43B.45C.54D.345．已知α为锐角，且2cos(α－10°)＝1，则α等于（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°6．将如图所示三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD ∥AB ，则∠α的正弦值为（）A.12B.32C.22D ．1第6题图7．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A2的值是（）A.35B.45C.34D.548．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则sin ∠ABC 的值为（）A.35B.34C.105D ．19．已知∠A 是锐角，且sin A ＝35，那么锐角A 的取值范围是（）A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°10．如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（）A ．72海里/时B ．73海里/时C ．76海里/时D ．282海里/时第10题图第11题图第12题图11．如图，已知∠α的一边在x 轴上，另一边经过点A (2，4)，顶点为B (－1，0)，则sin α的值是（）A.25B.55C.35D.4512．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果AB ＝5，BC ＝8，sin B ＝45，那么tan ∠CDE的值为（）A.12B.33C.22D.2－1二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13．tan60°＝.14．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tan B＝.15．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sin A＝32，cos B＝12，则∠C＝.16．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cosθ＝.17．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB︵上的一点(不与A、B重合)，则sin C的值为．第17题图第18题图18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，则D2D3＝，这样继续作下去，线段D n D n＋1＝.三、解答题(本题共8小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．(10分)计算：(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°；(2)tan260°－2sin45°＋cos60°.20．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD的值．21．(10分)根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝36，b ＝9 2.22．(10分)测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB ，从地面上D 点处观测旗杆顶点A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)．(1)若已知CD ＝20米，求建筑物BC 的高度；(2)若已知旗杆的高度AB ＝5米，求建筑物BC 的高度．23．(12分)已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0.(1)试判断△ABC 的形状；(2)求(1＋sin A )2－2cos B －(3＋tan C )0的值．24．(12分)某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7)．25．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC.若CD＝3，BD＝26，sin∠DBC＝33，求对角线AC的长．26．(14分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出船A与船C、观测点D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?答案1．A 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A9.B10．A 11.D 12.A 13.314.12515.60°16.4517.3518.33832＋1解析：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则CD 1＝32；进而在△CD 1D 2中，有D 1D 2＝32CD 1＝322，同理可得D 2D 3＝323＝338，…，则线段D n D n ＋1＝32＋1.19．解：(1)原式＝3×33＋22－2×32＝3＋12－3＝12；(5分)(2)原式＝(3)2－2×22＋12＝3－2＋12＝72－ 2.(10分)20．解：∵∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB ＝5.(2分)∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC＝90°，∴∠B ＋∠BCD ＝90°，∠A ＋∠ACD ＝90°.又∵∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，(6分)∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝45，tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝34.(10分)21．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43；(5分)(2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6 6.(10分)22．解：(1)在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝20米．(3分)答：建筑物BC 的高度为20米；(4分)(2)设CD ＝BC ＝x 米，∴AC ＝(x ＋5)米．(5分)在Rt △ACD 中，tan ∠ADC ＝AC CD ＝5＋xx ≈1.2，解得x ≈25，经检验x ≈25符合题意．(9分)答：建筑物BC 的高度约为25米．(10分)23．解：(1)∵(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝32，(2分)∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°，(5分)∴△ABC 是锐角三角形；(6分)(2)∵∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝75－212－1＝12.(12分)24．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设CD ＝x 米．(2分)在Rt △ADC中，∠DAC ＝25°，tan ∠DAC ＝CD AD ，所以AD ＝CD tan25°≈x0.5＝2x (米)．(5分)在Rt △BDC 中，∠DBC ＝60°，tan ∠DBC ＝CDBD ，即tan60°＝x 2x －4＝3，解得x ＝4323－1≈3.(11分)答：该生命迹象所在位置C 的深度约为3米．(12分)25．解：如图，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，则∠E ＝90°.(1分)∵sin ∠DBC ＝33，BD ＝26，∴DE ＝BD ·sin ∠DBC ＝22，∴BE ＝BD 2－DE 2＝4.∵CD ＝3，∴CE ＝CD 2－DE 2＝1，∴BC ＝BE －CE ＝3，∴BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB .(6分)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD .同理AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．(9分)连接AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，(10分)∴OC ＝BC 2－BO 2＝3，∴AC ＝2 3.(12分)26．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 与点E ，设AE ＝x 海里．(1分)在Rt △AEC 中，∠CAE＝60°，∴CE ＝AE ·tan60°＝3x 海里，AC ＝AEcos60°＝2x 海里．(2分)在Rt △BCE 中，∠CBE＝45°，∴BE ＝CE ＝3x 海里．∵AB ＝AE ＋BE ＝100(3＋1)海里，∴x ＋3x ＝100(3＋1)，解得x ＝100.∴AC ＝200海里．(5分)在△ACD 中，∠DAC ＝60°，∠ADC ＝75°，则∠ACD ＝45°.过点D 作DF ⊥AC 于点F .设AF ＝y 海里，则AD ＝AFcos60°＝2y 海里，CF ＝DF ＝AF ·tan60°＝3y 海里．(7分)∵AC ＝AF ＋CF ＝200海里，∴y ＋3y ＝200，解得y ＝100(3－1)，∴AD ＝2y ＝200(3－1)海里．(9分)答：A 与C 之间的距离AC 为200海里，A 与D 之间的距离AD 为200(3－1)海里；(10分)(2)由(1)可知DF ＝3AF ＝3×100(3－1)≈126(海里)．(12分)∵126海里＞100海里，∴巡逻船A 沿直线AC 航行去营救船C ，在去营救的途中没有触暗礁危险．(14分)。

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九年级数学第二十八章锐角三角函数测试题
一.选择题：
1．如图，△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则cosA ＝( ) A.
52 B.12 C.255 D.55
第1题图第2题图第4题图
2．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段
比表示cos α的值，错误的是( )
A.BD
BC
B.BC AB
C.AD
AC
D.CD AC
3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝3
5，则cosB 的值是( )
A.45
B.35
C.34
D.43
4．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则sinB 的值
是( )
A.45
B.35
C.34
D.43
5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列关于sin A 、cos A 、tan A 、的说法正确的是 . A. sin A ＞cos A. B. sin A ＋cos A ＝1 C. 0＜tan A ＜1 D. sin 2A ＋cos 2A ＝1
6.若∠A 为锐角，则
等于 . A. cos A －1 B. 1－cos A C. 1＋cos A D. sin A 7.在直角三角形中，两直角边长为和
，则较大锐角的正弦值为 .
A. B.
C.
D.
8.已知m ＝tan 30°·tan 60°，则m 的值等于 .
A. B.
C. 1
D.
第12题图
30°
45°D
C
B
A 第16题图
9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，c ＝2，则a 等于
.
A.
B. 3
C. 2
D.
10.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝8，a ＝4
，则∠A 的度数为 .
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° 11.式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2
的值是( ) A ．23－2 B ．0 C ．2 3 D ．2
12.如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进12m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，则建筑物AB 的高度等于 . A.6（
） B.6（－1）
C.12（）
D.12（
－1）
二、填空题：
13.已知sin A ＝，则锐角A ＝，锐角A 的正切值为 .
14.在
Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知tan A ＝，AC ＝，则AB ＝ .
的值
15.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝2，BC ＝，则tan
是 .
16.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，已知BC ＝8， tan ∠ADC ＝，则AB ＝ .
17. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝，sin B ＝
则b ＝ . 18.已知⊙O 的半径为，过圆外一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，A 、B 是切点，PA ＝
则∠APB ＝ .
第21题图
第22题图
B/
A/
C
B A
19. 如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38 m的D处观测旗杆顶部A的
仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°.则旗杆的高度约为________m(
结果精确
到0.1 m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)
20.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝
3
2
，cosB＝
1
2
，则∠C＝________
21.如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC＝1，Cos B＝，则这个菱形的面积
为.
22.长为4m的梯子AB搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角的梯子A/B/
（如图），则梯子的顶端沿墙升高了m.
三、解答题：
23.计算：
⑴2sin30°－3tan45°·sin45°＋4cos60°. ⑵－＋2sin60°－3tan30°.
24.根据已知条件，解下列直角三角形（其中∠C＝90°）
Rt△ABC中，∠A＝30°，b＝6.
第25题图
D
C
B
A
25.如图，一块四边形土地ABDC ，其中∠ABD ＝120°，∠A ＝∠D ＝90°，测得AB ＝30
m ，CD ＝50
m ，求这块土地的面积.
26.如图某天上午9时，向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离．(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈12
5
)
27.如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，
向前走6 m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ 的度数；
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m，备用数据：3≈1.7，2≈1.4)．
28.如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．(结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73)。