毕业论文《一致收敛判别方法的探讨》

一致收敛判别方法的探讨摘要一致收敛理论是数学分析的一个重要的研究分支.一致收敛概念及判定的掌握是学习数学分析的重点和难点,而且一致收敛在泛函分析、偏微分方程等学科中也有广泛而深入的应用.本文首先简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,然后从函数列、函数项级数及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；并利用L条件,给出函数列一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性.在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,给出函数项级数一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数项级数的一致收敛性.在文献[2]中一些未给出证明的定理,在本文中也将给出简单的证明.关键词:函数列；函数项级数；含参量反常积分；一致收敛Investigate on the Criterion of Uniform ConvergenceMathematics and Applied Mathematics 2006-2 Jiang Su-pingSupervisor Liang Zhi-qingAbstractUniform Convergence theory is an important research branch of mathematical analysis. The understanding and judging of this conception are the key as well as difficult point of mathematical analysis. Further more, Uniform Convergence has been widely used in the subjects of Functional Analysis and Partial Differential Equations.This article will first briefly explain the Function Column, Series of Functions and Parameter Improper concept of uniform convergence. Then, out from three aspects, namely the function, the function parameters of the Series and the infinite integration with parameter, it will list some methods commonly used in the identification of Uniform Convergence from which some theorem will be deduced. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence, another kind of identifying method called Ratio method is deduced through between discriminant method. Besides, taking advantage of L condition, this paper will define Uniform L condition and discusses Convergence under L condition. Besides, it will discusse the Uniform Convergence of function when its derived functions are uniformly bounded under micro-conditions. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence of Series, this paper will give the definition of L condition of Uniform Convergence of Series and discusses Uniform Convergence of Series under L condition. Theorems that has not been proved in document 2 will also be briefly proved in this paper.Key words: function column; series of functions;infinite integration with parameter;uniform convergence目录0 前言 (1)1预备知识 (2)2 一致收敛的判别方法 (6)2.1函数列一致收敛的判别方法 (6)2.1.1常用方法 (6)2.1.2两边夹判别法 (10)2.1.3单调判别法 (11)2.1.4 一致L条件判别法 (13)2.1.5导数判别法 (14)2.1.6点列判别法 (15)2.2函数项级数一致收敛的判别方法 (16)2.2.1常用方法 (16)2.2.2两边夹判别法 (20)2.2.3比较判别法 (21)2.2.4单调判别法 (22)2.2.5一致L条件判别法 (23)2.2.6导数判别法 (24)2.2.7点列判别法 (26)2.3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (27)2.3.1常用方法 (27)2.3.2两边夹判别法 (29)2.3.3比较判别法 (29)2.3.4单调判别法 (31)2.3.5点列判别法 (31)结束语 (31)致谢 (31)参考文献 (32)0 前言一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.一致收敛是数学分析教学中的难点之一,尤其是涉及到函数列、函数项级数与含参量反常积分的一致收敛性问题.数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们就需要探讨它们的一致收敛性来作为保证.目前,已有许多文献对一致收敛进行了研究.如在文献[1]中编者介绍了函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的充要条件；文献[2]对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、运算法则、判别方法等方面做了讨论；文献[3]给出了判别函数列一致收敛性的一种方法,这种方法与Dini定理的区别在于:Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献[4]介绍了函数项级数中的Dini定理.文献[5]则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法.虽然已有诸多文献对一致收敛进行了研究,但多数只是就某单一方面进行研究.本文试图从函数列、函数项级数以及含参量反常积分一致收敛的判别方法进行探索.在文献[2]中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.本文可分为两大部分,第一部分简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,同时给出函数列一致L条件及函数项级数一致L条件.第二部分是本文的主要内容,从函数列、函数项级数以及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；探讨函数列分别在函数列单调及函数单调条件下的一致收敛性；利用L条件,给出函数列一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性；把函数列所在点集归结为点列来探讨函数列的一致收敛性.而在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯M判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini；利用L条件,给出函数项级数一致L条件的定12义,研究满足一致L 条件的函数项级数的一致收敛性；探讨在函数列{()n u x }可微条件下,当1()n n u x ∞='∑在[,]a b 上一致收敛时,函数项级数1()n n u x ∞=∑的一致收敛性；把函数项级数所在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.在判别含参量反常积分一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法及比较判别法,然后探讨在积分单调的条件下,积分的一致收敛性，之后把含参量反常积分所在点集归结到点列来探讨含参量反常积分的一致收敛性.1 预备知识在这个部分我们将介绍本文所需要用到的概念及引理.首先我们介绍函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并给出函数列、函数项级数的一致L 条件的定义.定义1[]1设1f ,2f ,…,n f … ① 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.①也可以简单地写作:｛n f ｝或n f , 1,2,n =….定义2[]1设函数列｛n f ｝与函数f 定义在同一数集D 上,若对任给的正数ε,总存在某一正整数N ,使得n N >时,对一切x D ∈,都有)()(x f x f n -<ε,则称函数列｛n f ｝在D 上一致收敛于f .定义3[]1设{)(x u n }是定义在数集E 上的一个函数列,表达式E x x u x u x u n ∈⋯++⋯++，)()()(21 ② 称为定义在E 上的函数项级数,简记为∑∞=1)(n n x u 或∑)(x u n .称)(x S n =∑=nk k x u 1)(, E x ∈,1,2,n =….3为函数项级数②的部分和函数列.设函数项级数∑)(x u n 在D 上的和函数为)(x S ,称)(x R n =)(x S —)(x S n为函数项级数∑)(x u n 的余项.定义4[]1 设{)(x S n }是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列.若{)(x S n }在数集D 上一致收敛于函数)(x S ,则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ,或称∑)(x un在D 上一致收敛.定义5[]1设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[,]x a b ∈,反常积分dy y x f c ),(+∞⎰ ③都收敛,则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数,当记这个函数为)(x I 时,则有)(x I =dy y x f c ),(+∞⎰,[,]x a b ∈称③式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分,或简称含参量反常积分.定义6[]1若含参量反常积分③与函数)(x I 对任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得当M N >时,对一切[,]x a b ∈,都有)(),(x I dy y x f M c -⎰ε<即dy y x f M ),(+∞⎰ε<,则称含参量反常积分③在[,]a b 上一致收敛于)(x I ,或简单地说含参量积分③在[,]a b 上一致收敛.定义7(函数列的一致L 条件) 若存在常数0L >,使得对于任意两点1x ,2x I ∈,∀n ∈N +,都有1212()()n n f x f x L x x -≤-.4则称函数()n f x 在区间I 上满足一致L 条件.定义8(函数项级数的一致L 条件) 若存在常数0L >,使得对于任意两点12,x x I ∈,n N +∀∈,都有1212()()()n nnnu x u x L x x -≤-∑∑.则称函数n u ∑在区间I 上满足一致L 条件. 1.2 引理为了本文的需要,在这部分将把文献中的一些定理作为引理罗列出来.引理1[]1(函数列一致收敛的柯西准则) 函数列｛n f ｝在数集D 上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε,总存在正数N ,使得当,n m N >时,对一切x D ∈,都有)()(x f x f m n -ε<引理2[]1(函数列确界准则) 函数列｛n f ｝在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是:)()(sup lim x f x f n Dx n -∈∞→=0引理3[]1(函数项级数一致收敛的柯西准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛的充要条件为:对任给的正数ε,总存在某正整数N ,使得当n N >时,对一切x D ∈和一切正整数p ,都有)()(x S x S n p n -+ε<或)(u )()(21x x u x u p n n n ++++⋯++ε<引理4[]1(函数项级数余项准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是)(sup lim x R n Dx n ∈∞→=)()(sup lim x S x S n Dx n -∈∞→=0.引理5[1](阿贝耳判别法) 设5(1)()n u x ∑在I 上一致收敛；(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的；(3){()n v x }在I 上一致有界,即对一切x I ∈和正整数n ,存在正数M ,使得()n v x M ≤,则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.引理6[1](狄利克雷判别法) 设 (1)()n u x ∑的部分和函数列1()()nn k k U x u x ==∑ (1,2,)n =…在I 上一致有界；(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的； (3) 在I 上()n v x 一致收敛于0 (n →∞), 则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.引理7[]1(含参量反常积分一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分③在[,]a b 上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε,总存在某一实数M c >,使得当1A ,2A M >时,对一切[,]x a b ∈,都有dy y x f A A ),(21⎰＜ε.引理8[]1 含参量反常积分③在[,]a b 上一致收敛的充要条件是:对任一趋于+∞的递增数列}{n A （其中1A =c ）,函数项级数∑∞=+⎰1),(1n A A dy y x f n n=∑∞=1)(n n x u在[,]a b 上一致收敛.引理9[1](狄利克雷判别法) 设 (1)对一切实数N c >,含参量正常积分6(,)N c f x y dy ⎰对参量x 在[,]a b 上一致有界,即存在正数M ,对一切N c >及一切x ∈[,]a b ,都有(,)N c f x y dy M ⎰≤；(2)对每一个x ∈[,]a b ,函数(,)g x y 关于y 是单调递减且当y →+∞时,对参量x ,(,)g x y 一致地收敛于0,则含参量反常积分(,)(,)c f x y g x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛.定理10[1](阿贝耳判别法) 设(1)(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛；(2)对每一个x ∈[,]a b ,函数(,)g x y 为y 的单调函数,且对参量x ,(,)g x y 在[,]a b 上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)c f x y g x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛.2 一致收敛的判别方法在这部分,将分别对判别函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的方法进行探讨.2.1函数列一致收敛的判别方法下面从常用方法、两边夹判别法、单调判别法、一致L 条件判别法、导数判别法、点列判别法这几方面来介绍函数列一致收敛的判别方法.2引理1[]1(函数列一致收敛的柯西准则) 函数列｛n f ｝在数集D 上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε,总存在正数N ,使得当,n m N >时,对一切x D ∈,都有)()(x f x f m n -ε<引理2[]1(函数列确界准则) 函数列｛n f ｝在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是:)()(sup lim x f x f n Dx n -∈∞→=0引理3[]1(函数项级数一致收敛的柯西准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛的充要条件为:对任给的正数ε,总存在某正整数N ,使得当n N >时,对一切x D ∈和一切正整数p ,都有)()(x S x S n p n -+ε<或)(u )()(21x x u x u p n n n ++++⋯++ε<引理4[]1(函数项级数余项准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是)(sup lim x R n Dx n ∈∞→=)()(sup lim x S x S n Dx n -∈∞→=0.引理5[1](阿贝耳判别法) 设 (1)()n u x ∑在I 上一致收敛；(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的；(3){()n v x }在I 上一致有界,即对一切x I ∈和正整数n ,存在正数M ,使得()n v x M ≤,则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.引理6[1](狄利克雷判别法) 设 (1)()n u x ∑的部分和函数列1()()nn k k U x u x ==∑ (1,2,)n =…在I 上一致有界；(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的；(3) 在I 上()n v x 一致收敛于0 (n →∞), 则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.2.2.7 点列判别法下面,把1()n n u x ∞=∑在点集X 归结到点列的情况下来确定函数项级数的一致收敛性.定理251()nn u x ∞=∑在点集X 上一致收敛于()S x 的充分必要条件是对任意点列{nx }X ⊂.都有1lim ()()0nk n n n k u x S x →∞=-=∑证 必要性,若1()n n u x ∞=∑在点集X 上一致收敛于()S x ,则11()()sup ()()0nnk k x Xk k u x S x u x S x ∈==-=-→∑∑()n →∞.于是对任意点列{n x } X ⊂,都有1()()nk n n k u x S x =-≤∑1()()nk k u x S x =-∑0→()n →∞.充分性,用反证法,假设1()n n u x ∞=∑在点集X 上不一致收敛于()S x ,则00ε∃>,N ∀,n N ∃>,及x X ∈,使得1()()nk k u x S x ε=-≥∑.于是,取1N =,11n ∃>与1n x X ∈,使111101()()n n nk n n k ux S x ε=-≥∑；取2N =,21n n ∃>与2n x X ∈,使222201()()n n nk n n k ux S x ε=-≥∑；……取N m =,1m m n n -∃>与k n x X ∈,使111101()()n m m m n m nk n n k u x S x ε----=-≥∑；…….这样就得到一点列{}k n x X ⊂,使1lim ()()0nk n n n k u x S x →∞=-≠∑,与已知条件相矛盾.2.3含参量反常积分一致收敛的判别方法下面从常用方法、两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、点列判别法这几方面来介绍含参量反常积分一致收敛的判别方法. 2.3.1 常用方法判别函数列一致收敛的常用方法有定义判别法,柯西准则判别法,上确界法,阿贝耳判别法,狄利克雷判别法.下面举例说明.例13 确定积分0ax xe dx +∞-⎰在区间0[,)α+∞（00α>）的一致收敛性.解 因为,0A ∀>,有210ax ax t AAAxe dx xe dx x tte dt ααα+∞+∞+∞---≤==⎰⎰⎰令=21[|]t t A Ate e dt ααα+∞-+∞--+⎰=00220AaAAaAAe Ae eeαααααα----+≤+而002lim()0AAA Ae eαααα--→∞+=,故0ε∀>,00()0A A ε∃=>,当0A A >时,0[,)αα∀∈+∞,有ax Axe dx ε+∞-<⎰,由定义知0ax xe dx +∞-⎰在0[,)α+∞上一致收敛.例14确定积分2x dx α-⎰当0α≤<+∞时的一致收敛性.解 取0ε=221102t e dt ->⎰,0N ∀>,取0212Nα=,A '=,A ''=,则A ',A ''N >,0[0,)α∈+∞,而22201A x x A dx e dx αε'--'=≥⎰⎰,因此2x d x α-⎰在0α≤<+∞时不一致收敛.例15 确定221ydx x y+∞+⎰关于y 在[,)c +∞（0c >）上和(0,)+∞内的一致收敛性. 解 显然221ydxx y +∞+⎰关于y 在(0,)+∞内收敛于2π. 220[,)lim sup12y c y dx x y ξξπ→+∞∈+∞-+⎰＝[,)lim sup (arc )2y c tg ξπξ→+∞∈+∞-＝lim (arc )2tg ξπξ→+∞-＝0, 220(0,)lim sup12y y dx x y ξξπ→+∞∈+∞-+⎰＝(0,)lim sup (arc )2y tg ξπξ→+∞∈+∞-＝lim2ξπ→+∞＝2π. 由上确界判别法知221ydx x y +∞+⎰关于y 在[,)c +∞（0c >）上一致收敛于2π,在(0,)+∞内的不一致收敛.例16 证明含参量反常积分2sin 1px dx x +∞+⎰关于[0,)p ∈+∞一致收敛. 证 由于20sin x dx +∞⎰收敛，又1(0)1pp x≥+在0x ≥对x 单调下降且一致有界，即101(0,0)1p p x x <≤≥≥+，由阿贝耳判别法知，20sin 1p x dx x+∞+⎰在0p ≥时一致收敛. 例17 证明含参变量反常积分1cos xy pe ydy y-+∞⎰(0)p >在[0,)x ∈+∞一致收敛. 证1cos sin sin12Aydy A =-≤⎰,当0x ≤<+∞时,函数xyp e y-在1y ≥时关于y 单调下降,且当y →+∞时关于(0)x x ≤<+∞一致趋于0，由狄利克雷判别法知1cos xy pe ydy y-+∞⎰在[0,)x ∈+∞一致收敛.由以上常用方法,可推出一下定理： 定理26 设(,)af x y dx +∞⎰与(,)ag x y dx +∞⎰关于y 在点集Y 上分别一致收敛于()y Φ与()y ψ,则[(,)(,)]af x yg x y dx +∞±⎰关于y 在Y 上一致收敛于()()y y Φ±ψ.证 由题设知,0ε∀>,1()N N ε∃∈,当1()N a ε>时,∀y Y ∈,有(,)()af x y dx y +∞⎰-Φ2ε<,∀同一0ε>,2()N N ε∃∈,当2()N a ε>时,∀y Y ∈,有(,)()a g x y dx y +∞⎰-ψ2ε<.于是,关于[(,)(,)]af x yg x y dx +∞+⎰,0ε∀>,取12()min{(),()}N N N εεε=N ∈,当()N a ε>时,∀y Y ∈,恒有{[(,)(,)]}{()()}a f x y g x y dx y y +∞+-Φ+ψ⎰={(,)()}{(,)()}aaf x y dx yg x y dx y +∞+∞-Φ+-ψ⎰⎰<(,)()(,)()aaf x y dx yg x y dx y +∞+∞-Φ+-ψ⎰⎰22εεε<+=.所以,[(,)(,)]af x yg x y dx +∞+⎰在Y 上一致收敛于()()y y Φ+ψ.类似可证,[(,)(,)]af x yg x y dx +∞-⎰在X 上一致收敛于()()y y Φ-ψ.定理27[2] 设(,)af x y dx +∞⎰关于y 在点集Y 上一致收敛于()y Φ,()g y 在Y 上有界,则(,)()af x yg y dx +∞⎰关于y 在Y 上一致收敛于()()y g y Φ.2.3.2 两边夹判别法下面介绍两边夹判别法.定理 28[2] 设当x a ≥和y Y ∈时,恒有(,)(,)(,)f x y g x y h x y ≤≤成立,且(,)af x y dx +∞⎰与(,)ah x y dx +∞⎰均关于y 在点集Y 上一致收敛于()y Φ,则(,)ag x y dx +∞⎰关于y 在Y 上一致收敛于()y Φ.2.3.3 比较判别法下面介绍比较判别法.定理29[1](魏尔斯特拉斯M 判别法) 设有函数()g y ,使得(,)()f x y g y ≤,a x b ≤≤,c y ≤<+∞.若()c g y dy +∞⎰收敛,则(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛.现对魏尔斯特拉斯M 判别法的条件改变,来讨论含参量反常积分1(,)af x y dx +∞⎰的一致收敛性.可推出定理30.定理30[2](,)ag x y dx +∞⎰关于y 在点集Y 上一致收敛,又存在L 0>,使当x a ≥与y Y ∈时,恒有(,)(,)f x y Lg x y ≤成立,且当a ξ>时,对任意y Y ∈,(,)f x y 均关于x 在[,]a ξ上可积,则(,)af x y dx +∞⎰关于y 在点集Y 上一致收敛.再对定理30条件进行加强,可推出定理31. 定理31[6]若12(,)(,)f x y f x y ≤,(,)x y ∈∆ 且2(,)af x y dx +∞⎰对于y D ∈是一致收敛的,则1(,)af x y dx +∞⎰对于y D ∈也是一致收敛的.证 对任给0ε>,由2(,)af x y dx +∞⎰一致收敛,所以存在A a ≥,使得只要12,A A A >时,对任意y D ∈有212(,)A A f x y dx ⎰ε<于是,当12,A A A >时,对任意y D ∈有221111(,)(,)A A A A f x y dx f x y dx ≤⎰⎰ 212(,)A A f x y dx ε≤<⎰这就表示1(,)af x y dx +∞⎰对于y D ∈是一致收敛的.证毕.2.3.4单调判别法在(,)af x y dx +∞⎰单调的条件下,加上若干条件,可推出含参量反常积分的Dini 定理.定理32[2](Dini 定理) 设(,)af x y dx +∞⎰关于y 在[,]c d 上收敛于()y Φ,()y Φ在[,]c d 上连续,又当x a ≥和c y d ≤≤时,恒有(,)()0f x y ≥≤或成立,且对任意a ξ>,(,)af x y dx ξ⎰均关于y 在[,]c d 上连续,则(,)af x y dx +∞⎰关于y 在[,]c d 上一致收敛于()y Φ.2.3.4点列判别法下面把(,)c f x y dy +∞⎰在点集X 归结到点列的情况下来确定含参量反常积分的一致收敛性.定理33[2] (,)c f x y d y +∞⎰关于x 在点集X 上一致收敛于()I x 的充分必要条件是对任意{n ξ}：lim n n ξ→∞=+∞,{n x }：n x ∈X （n =1,2…）,都有lim(,)()0nn n cn f x y dx I x ξ→∞-=⎰结束语一致收敛的概念及判定的掌握是学习数学分析的重点和难点,贯穿始终,而函数列、函数项级数及含参量反常积分的一致收敛性更是数学分析的重点、难点.本文从函数列、函数项级数及含参量反常积分三方面着手,对它们的一致收敛进行探讨和研究,得到一些判别方法.可根据函数列、函数项级数及含参量反常积分的具体结构,而选择恰当的判别一致收敛的方法,以达到简便、快速求解的目的.致谢值此论文完成之际,谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师、同学和家人表示衷心地感谢.我能顺利完成学业,首先要感谢系领导及各科老师对我的关心和帮助.特别感谢梁教授给我的无私帮助,梁老师渊博的专业知识,严谨的治学态度,扎实的理论功底,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严于律己、宽以待人的高尚风范,都为我以后的治学态度和做人标准树立了楷模.在论文的选题、写作和修改过程中都得到了梁老师热情的指导和细致的审阅,再次表示深深的感谢！最后,感谢我的家人在各方面一直给予我的全力支持，我能完成学业与他们的无私奉献是分不开的.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.[2] 吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京:人民教育出版社,1982.[3] 林荣斐.关于函数列一致收敛性的一点注记[J].台州学院报,2005,27(3):32-33.[4] 何琛.数学分析(第三册)(无穷级数和广义积分)[M].北京:高等教育出版社,1985.[5] 杨琼芬.函数级数一致收敛的判别法[J].科技资讯,2007(32) :49-50.[6] 朱正佑.数学分析(下册)[M].上海：上海大学出版社,2001.[7] 孙清华等.数学分析内容、方法与技巧(下)[M].武汉:华中科技大学出版社,2003.[8] 吴传生.数学分析(下册)习题精解[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2004.[9] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.[10] 王莉萍,刘红运.函数列一致收敛的性质与判定[J].商丘职业技术学院学报,2007,6(5):7-9.S x在区间I非一致收敛性问题研究[J].广西民族[11] 钟建林，梁元星.函数列{()}n学院学报(自然科学版),2005,11(2):65-68.[12] 钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉:崇文书局,2003.[13] 王晓敏等.数学分析学习方法与解题指导[M].沈阳:东北大学出版社,2005.[14] 滕加俊.数学分析辅导与习题精解[M].大连:大连理工大学出版社,2006.[15] 赵显曾等.数学分析的方法与题解[M].西安:陕西师范大学出版社,2005.。