中南大学线性代数课件-PPT精品课程
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定义4.1.1 设A是一个集合。
1. 用A或#A表示A含有的元素的个数，称做A 的基数，或阶。
2. 若#A =0，则称为空集；否则称为非空集。 3. 若#A为一非负整数，则称A为有限集；否则
称为无限集。 例：
A={a,b,{a, b}} |A|=3；|{A}|=1
基数为n的非空有限集称为n元(或n阶)集合
A = B x(xAxB) x(xA→xB)∧x(xB→xA)
否则，用A≠B表示集合A和B不相等，即
A ≠ B x(xAxB) 定义4.1.4 设A和B是集合,
如果A的每一元素是B的一个元素, 那么A是B的子集,也称B
是A的母集(或称扩集)，记为AB, 读做“B包含A”或“A包含 于B”,即
ABx(xA→xB)
长度为0的串叫做空串，记为Λ(或ε)
x和y都是在Σ上的符号串，x连结(或叫并置, 毗连)y, 记为xy
x=a1a2…an，y=b1b2…bm 则 xy=a1a2…anb1b2…bm x=Λ则 xy=y
zHale Waihona Puke Baiduxy
x是z的词头, y是z的词尾 如果x≠z, 称x为真词头 如果y≠z,称y为真词尾 如果w=xyz, 则y是w的子串, 如果y≠w,称y为真子串
是Σ上的串 (c) 如果Σ={a, b, …, z,_} , 这里“_”是代表空白。那
么that_was_long_ago是Σ上的串, 习惯上印成that was long ago (d) 如果Σ={0,1}, 那么000,010,011010等都是Σ上的串
14/63
x是Σ上的一个字, 如果x=a1a2…an, （n∈N, 1≤i≤n, ai∈Σ）, 那么x中的符号个数n称为x的长度, 记为‖x‖
笼统地说，一些可以互相区分的任意对象(统称为元素)聚集在一 起形成的整体就叫做集合，用大写的英文字母表示，如A，B…
这些对象就是这个集合的元素(或称成员) ，一般用小写字母表示， 如a，b…
集合中的元素不计次序
{a,b,c,a}={c,b,a,d}
集合中的元素不计重度
{x,y,x} ={x,y} ={x,x,x,y}
中南大学线性代数课件
主要内容
第4章 集合
4.1 集合的概念与表示 4.2 集合的运算 4.3 Venn氏图及容斥原理 4.4 集合的划分 4.5 自然数集与数学归纳法
第5章 二元关系
第6章 函数
2/63
第4章 集合（Set）
4.1 集合的概念与表示
集合的概念
又称为类、族或搜集 是数学中最基本的概念之一 不可精确定义(原始概念) 集合的描述
集合的表示 集合应该是充分定义(良定)的
列举法
完全列举
部分列举
将集合中的元素一一列出，写在大括号内
A={1, 2, 3, 4}， B={a,b,c,d}，C={…,-4,-2,0,2,4,…}
谓词描述法(指定原理)
用谓词公式描述元素的共同属性
一般形式：
S被称为谓词P的广延
S={a|P(a)}表示a∈S当且仅当P(a)是真
4/63
元素与集合的关系
a是集合A的一个元素, 则记为a∈A，读做“a属 于A”, 或说“a在A中”
a不是集合A的一个元素, 则记为aA，读做“a
不属于A”, 或说“a不在A中” 集合的元素可以是一个集合
例：A={a,b,c,{a,b}} 则{a,b}∈A且{a,b} A
5/63
有限集与无限集
合A是唯一的。
12/63
例
如果全集是整数集合I, 那么能为3 整除的正 整数集合S的谓词定义如下:
S { x|x 0 y (x 3 y )}
同样集合S能归纳地定义如下： (1) (基础)3∈S; (2) (归纳)如果x∈S和y∈S, 那么x+y∈S; (3) (极小性)S的元素都是由有限次应用条款(1)和(2)得出的。
8/63
集合的比较运算
定理4.1.1设A和B是集合, A=B当且仅当A B和 BA（ 的反对称性）
证明： ABBA
x(x∈Ax∈B)x(x∈Bx∈A) x((x∈Ax∈B)(x∈Bx∈A)) x(x∈Ax∈B) A=B
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集合的比较运算
定义4.1.5 设A和B是集合,
如果AB且A≠B, 那么称A是B的真子集,记作
给出一组规则，从A中(已获得的)元素出发，依照这些 规则所获得的元素，仍然是A中的元素。这是构造A的 关键部分。
⑶ 极小化
谁 如果集合S A也满足⑴和⑵，则S = A 。这说明， A中 不 的每个元素都可以通过有限次使用⑴和⑵来获得(或称A 是 是满足条款(1)和(2)的最小集合)，它保证所构造出的集
AB , 读作“B真包含A”或“A真包含于B”,即
ABA BA≠B x(x∈Ax∈B)x(x∈Ax∈B) x(x∈Ax∈B)(x(x∈Ax∈B)x(x∈B x∈A)) (x(x∈Ax∈B)x(x∈Ax∈B))(x(x∈A x∈B) x(x∈Bx∈A))
x(x∈Ax∈B) x(x∈BxA)
10/63
6/63
空集与全集
显然，空集是不含有任何元素的有限集， 常用符号Φ 表示
定义4.1.2 全集
恒用E表示，是指包含了讨论中涉及的全体元 素的特殊集合
全集也是有相对性的，不同的问题有不同的全集， 即使是同一个问题也可以有不同的全集
7/63
集合的比较运算
定义4.1.3 集合相等(外延公理)
两个集合A和B相等, 即A=B, 当且仅当它们有相同的成员
A={a|a∈I∧0＜a∧a＜5}, {a|a∈I∧1≤a≤50}
A={x|P(x)}， B={x|Q(x)}
若P(x)Q(x)，则A = B
若P(x)Q(x)，则A B
递归定义法
11/63
递归定义法(归纳定义)
用这种方法定义一个非空集合A时，一般应包括以 下三个部分：
⑴ 基本项
谁 属已于知A某，些即元S素0 (常A 。用这S0表是示构由造这A的些基元础素，组并成保的证非非空空集。合) 是 ⑵ 递归项
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字母表与串
设Σ表示一个有限的非空的符号(字符)集合、我们 称Σ为字母表。由字母表Σ中有限个字符拼接起来 的符号串叫做字母表Σ上的一个字(或叫串) 例
(a) 如果Σ={a,b, …, z}, 那么is, then都是Σ上的字 (b) 如果Σ={你, 我, 人, 工, …, 是}, 那么“你是工人”
1. 用A或#A表示A含有的元素的个数，称做A 的基数，或阶。
2. 若#A =0，则称为空集；否则称为非空集。 3. 若#A为一非负整数，则称A为有限集；否则
称为无限集。 例：
A={a,b,{a, b}} |A|=3；|{A}|=1
基数为n的非空有限集称为n元(或n阶)集合
A = B x(xAxB) x(xA→xB)∧x(xB→xA)
否则，用A≠B表示集合A和B不相等，即
A ≠ B x(xAxB) 定义4.1.4 设A和B是集合,
如果A的每一元素是B的一个元素, 那么A是B的子集,也称B
是A的母集(或称扩集)，记为AB, 读做“B包含A”或“A包含 于B”,即
ABx(xA→xB)
长度为0的串叫做空串，记为Λ(或ε)
x和y都是在Σ上的符号串，x连结(或叫并置, 毗连)y, 记为xy
x=a1a2…an，y=b1b2…bm 则 xy=a1a2…anb1b2…bm x=Λ则 xy=y
zHale Waihona Puke Baiduxy
x是z的词头, y是z的词尾 如果x≠z, 称x为真词头 如果y≠z,称y为真词尾 如果w=xyz, 则y是w的子串, 如果y≠w,称y为真子串
是Σ上的串 (c) 如果Σ={a, b, …, z,_} , 这里“_”是代表空白。那
么that_was_long_ago是Σ上的串, 习惯上印成that was long ago (d) 如果Σ={0,1}, 那么000,010,011010等都是Σ上的串
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x是Σ上的一个字, 如果x=a1a2…an, （n∈N, 1≤i≤n, ai∈Σ）, 那么x中的符号个数n称为x的长度, 记为‖x‖
笼统地说，一些可以互相区分的任意对象(统称为元素)聚集在一 起形成的整体就叫做集合，用大写的英文字母表示，如A，B…
这些对象就是这个集合的元素(或称成员) ，一般用小写字母表示， 如a，b…
集合中的元素不计次序
{a,b,c,a}={c,b,a,d}
集合中的元素不计重度
{x,y,x} ={x,y} ={x,x,x,y}
中南大学线性代数课件
主要内容
第4章 集合
4.1 集合的概念与表示 4.2 集合的运算 4.3 Venn氏图及容斥原理 4.4 集合的划分 4.5 自然数集与数学归纳法
第5章 二元关系
第6章 函数
2/63
第4章 集合（Set）
4.1 集合的概念与表示
集合的概念
又称为类、族或搜集 是数学中最基本的概念之一 不可精确定义(原始概念) 集合的描述
集合的表示 集合应该是充分定义(良定)的
列举法
完全列举
部分列举
将集合中的元素一一列出，写在大括号内
A={1, 2, 3, 4}， B={a,b,c,d}，C={…,-4,-2,0,2,4,…}
谓词描述法(指定原理)
用谓词公式描述元素的共同属性
一般形式：
S被称为谓词P的广延
S={a|P(a)}表示a∈S当且仅当P(a)是真
4/63
元素与集合的关系
a是集合A的一个元素, 则记为a∈A，读做“a属 于A”, 或说“a在A中”
a不是集合A的一个元素, 则记为aA，读做“a
不属于A”, 或说“a不在A中” 集合的元素可以是一个集合
例：A={a,b,c,{a,b}} 则{a,b}∈A且{a,b} A
5/63
有限集与无限集
合A是唯一的。
12/63
例
如果全集是整数集合I, 那么能为3 整除的正 整数集合S的谓词定义如下:
S { x|x 0 y (x 3 y )}
同样集合S能归纳地定义如下： (1) (基础)3∈S; (2) (归纳)如果x∈S和y∈S, 那么x+y∈S; (3) (极小性)S的元素都是由有限次应用条款(1)和(2)得出的。
8/63
集合的比较运算
定理4.1.1设A和B是集合, A=B当且仅当A B和 BA（ 的反对称性）
证明： ABBA
x(x∈Ax∈B)x(x∈Bx∈A) x((x∈Ax∈B)(x∈Bx∈A)) x(x∈Ax∈B) A=B
9/63
集合的比较运算
定义4.1.5 设A和B是集合,
如果AB且A≠B, 那么称A是B的真子集,记作
给出一组规则，从A中(已获得的)元素出发，依照这些 规则所获得的元素，仍然是A中的元素。这是构造A的 关键部分。
⑶ 极小化
谁 如果集合S A也满足⑴和⑵，则S = A 。这说明， A中 不 的每个元素都可以通过有限次使用⑴和⑵来获得(或称A 是 是满足条款(1)和(2)的最小集合)，它保证所构造出的集
AB , 读作“B真包含A”或“A真包含于B”,即
ABA BA≠B x(x∈Ax∈B)x(x∈Ax∈B) x(x∈Ax∈B)(x(x∈Ax∈B)x(x∈B x∈A)) (x(x∈Ax∈B)x(x∈Ax∈B))(x(x∈A x∈B) x(x∈Bx∈A))
x(x∈Ax∈B) x(x∈BxA)
10/63
6/63
空集与全集
显然，空集是不含有任何元素的有限集， 常用符号Φ 表示
定义4.1.2 全集
恒用E表示，是指包含了讨论中涉及的全体元 素的特殊集合
全集也是有相对性的，不同的问题有不同的全集， 即使是同一个问题也可以有不同的全集
7/63
集合的比较运算
定义4.1.3 集合相等(外延公理)
两个集合A和B相等, 即A=B, 当且仅当它们有相同的成员
A={a|a∈I∧0＜a∧a＜5}, {a|a∈I∧1≤a≤50}
A={x|P(x)}， B={x|Q(x)}
若P(x)Q(x)，则A = B
若P(x)Q(x)，则A B
递归定义法
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递归定义法(归纳定义)
用这种方法定义一个非空集合A时，一般应包括以 下三个部分：
⑴ 基本项
谁 属已于知A某，些即元S素0 (常A 。用这S0表是示构由造这A的些基元础素，组并成保的证非非空空集。合) 是 ⑵ 递归项
13/63
字母表与串
设Σ表示一个有限的非空的符号(字符)集合、我们 称Σ为字母表。由字母表Σ中有限个字符拼接起来 的符号串叫做字母表Σ上的一个字(或叫串) 例
(a) 如果Σ={a,b, …, z}, 那么is, then都是Σ上的字 (b) 如果Σ={你, 我, 人, 工, …, 是}, 那么“你是工人”