中南大学线性代数试卷
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=--Λ必有特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零；（C ）任一行元素为其余行的线性组合； （D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（ ） （A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。
（A ）5（B ）4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量，21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； （B ）)(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
11级线性代数试卷A答案
中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。
三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。
四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。
五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。
六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。
中南大学2021年《线性代数》期末试题及答案
中南大学考试试卷《线性代数》课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设2()3f x x =-，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 4 0 1A ，则)(A f = . 2、设B A ,为n 阶矩阵，如果有n 阶可逆矩阵P ，使 成立，则称A 与B 相似．3、n 元非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是 .4、已知二次型()323121232221321662355,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=，则二次型f 对应的矩阵A = .5、设4阶方阵A 满足：0,30,2T A E A AA E <+==(其中E 是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵*A 必有一个特征值为 . 二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且A 的行列式A =3，则*A =（ ）.（A ）81. （B ）27. （C ）12. （D ）9. 2、设A 、B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，并且A 、B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）。
（A ）A 与B 相似. （B ）A =B .（C ）B A ≠，但0||=-B A .（D ）A 与B 不一定相似，但||||B A =. 3、设n 阶方阵A 为正定矩阵，下面结论不正确的是（）.（A ）A 可逆. （B ）1-A 也是正定矩阵. （C ）0||>A .（D ）A 的所有元素全为正.4、若n 阶实方阵2A A =，E 为n 阶单位阵，则（ ）.（A ）()()R A R A E n +->. （B ）()()R A R A E n +-<.（C ）()()R A R A E n +-=. （D ）无法比较()()R A R A E n +-与的大小.5、设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）.（A ）123ααα，，.（B ）124ααα，，.（C ）134ααα，，.（D ）234ααα，，.三（本题满分10分）计算n （2n ≥）阶行列式n xa a a x a D aax=，n D 的主对角线上的元素都为x ，其余位置元素都为a ，且x a ≠.四（本题满分10分）设3阶矩阵,A B 满足关系：1100216,041007A BA A BA A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且,求矩阵B . 五（本题满分10分）设方阵A 满足220A A E --=(其中E 是单位矩阵)，求11,(2)A A E --+.六（本题满分12分）已知向量组A ：11412α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22131α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31541α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，43670α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）设矩阵11111A ααββ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵000010002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似， （1）求,αβ； （2）求正交矩阵P ,使1P AP B -=.八（本题满分14分）设有线性方程组为23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1）证明：若1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，则此方程组无解.（2）设13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠），且已知1β，2β是该方程组的两个解，其中1(1, 1, 1)T β=-，2(1, 1, 1)T β=-，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、-2 08 6⎛⎫ ⎪⎝⎭；2、1P AP B -=；3、()(,)R A R A b n ==；4、513153333-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭；5、43 二、选择题（每小题3分，共15分） BADCC三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）解：后面1n -列都加到第1列，得(1)(1)(1)n x n a a a xn axa D x n a ax +-+-=+-xaa x a a a n x a n x c111])1([])1([1-+===-+÷])1([)(0101001])1([1)()()(1223a n x a x ax a x a n x n c a c c a c ca c nn -+-=---+====--+-+-+.四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）解：111121166()6416327161B A E ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）解：212022A E A EA A E A E A -----=⇒=⇒=. 22212112()202(2)()(4A E A A E A E A A E A A ------=⇒+=⇒+===）或 34E A-六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）解：12131011415601121347000021100000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 12()2,,R A αα=为所求的一个最大线性无关组，且312412,2αααααα=-+=-+.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由,A B 相似知，,A B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，故得A 的特征值为1230,1,2λλλ===，从而有0010E A E A ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩，由此解得0α=，β=0.（2）对于10λ=，解()00E A X ⋅-=，得特征向量101-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210211p ；对于21λ=，解()0E A X -=，得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101p ；对于32λ=，解()20E A X -=，得特征向量为101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p 令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，则P 为正交阵，且使1P AP B -=. 八、（本题满分14分，见教材P87例3.13） 解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：231112322223143332344411||()11j i i j a a a a a a B a a a a a a a a ≤<≤==-∏ 由于1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，知||0B ≠，从而()4R B =，但系数矩阵A 的秩()3R A ≤，故()()R A R B ≠，因此方程组无解.（2）13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠）时，方程组变为23123231232312323123x kx k x k x kx k x kx kx k x k x kx k x k⎧++=⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-+=-⎩ 即 2312323123x kx k x k x kx k x k ⎧++=⎨-+=-⎩ 因为1201kk k=-≠-，故()()2R A R B ==，所以方程组有解，且对应的齐次方程组的基础解系含3-2=1个解向量，又1β，2β是原非齐次方程组的两个解，故21(2, 0, 2)T ξββ=-=-是对应齐次方程组的解；由于0ξ≠，故ξ是它的基础解系。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零； （C ）任一行元素为其余行的线性组合；（D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）（A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。
（A ）5（B ）4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量， 21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； （B ）)(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
中南大学《线性代数》2021-2022学年第一学期期末试卷
中南大学期末考试试卷2021-2022-1《线性代数》课程32学时2学分考试形式：闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）⎛-10⎫⎪1、设f(x)=x-3，矩阵A=4⎪，则f(A)= .3⎝⎭22、设A,B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P，使成立，则称A与B相似．3、n元非齐次线性方程组Am⨯nx=b有唯一解的充分必要条件是.22 +3x3-2x1x2+6x1x3-6x2x3，4、已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x2则二次型f对应的矩阵A=.5、设4阶方阵A满足：A<0,3E+A=0,AA T=2E(其中E是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵A*必有一个特征值为 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A的伴随矩阵为A*，且A的行列式A=3，则A*=（）.（A）81.（B）27.（C）12.（D）9.2、设A、B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，并且A、B都有n个线性无关的特征向量，则（）。
（A）A与B相似.（B）A=B.（C）A≠B，但|A-B|=0.（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|.3、设n阶方阵A为正定矩阵，下面结论不正确的是（（A）A可逆.（C）|A|>0.）.（B）A-1也是正定矩阵.（D）A的所有元素全为正.4、若n阶实方阵A=A2，E为n阶单位阵，则（）.（A）R(A)+R(A-E)>n.（B）R(A)+R(A-E)<n.（C）R(A)+R(A-E)=n.（D）无法比较R(A)+R(A-E)与n的大小.⎛0⎫⎛0⎫⎛1⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪5、设α1= 0⎪，α2= 1⎪，α3= -1⎪，α4= 1⎪，其中c 1,c 2,c 3,c 4为任意常数， c ⎪ c ⎪ c ⎪ c ⎪⎝1⎭⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭则下列向量组线性相关的为（（A ）α1，α2，α3.（C ）α1，α3，α4.三（本题满分10分））.（B ）α1，α2，α4.（D ）α2，α3，α4.x计算n （n ≥2）阶行列式D n =a x aa a x，D n的主对角线上的元素都为a ax ，其余位置元素都为a ，且x ≠a .四（本题满分10分）设3阶矩阵A ,B 满足关系：A -1BA =6A +BA ,⎛12 且A = 00⎝0140⎫0⎪⎪0⎪,求矩阵B .⎪⎪1⎪⎪7⎭五（本题满分10分）设方阵A 满足A 2-A -2E =0(其中E 是单位矩阵)，求A -1,(A +2E )-1.六（本题满分12分）⎛1⎫⎛2⎫⎛1⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪4-1-5-6已知向量组A ：α1= ⎪，α2= ⎪，α3= ⎪，α4= ⎪，1⎪ -3⎪ -4⎪ -7⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪21-1⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝0⎭（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）⎡1α设矩阵A =⎢⎢α1⎢⎣1β1⎤⎡000⎤⎢010⎥相似，β⎥B =与矩阵⎥⎢⎥⎢1⎥⎦⎣002⎥⎦（1）求α,β；（2）求正交矩阵P ,使P -1AP =B .八（本题满分14分）设有线性方程组为⎧x 1+a 1x 2+a 12x 3=a 13⎪23⎪x 1+a 2x 2+a 2x 3=a 2⎨23x +a x +a x =a 3⎪1323323⎪⎩x 1+a 4x 2+a 4x 3=a 4（1）证明：若a 1，a 2，a 3，a 4两两不等，则此方程组无解.（2）设a 1=a 3=k ，a 2=a 4=-k （k ≠0），且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β1=(-1, 1, 1)T ，β2=(1, 1,-1)T ，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）⎛5-13⎫⎛-2 0⎫4 ⎪-1-15-31、 ；2、；3、；4、；5、P AP =B R (A )=R (A ,b )=n ⎪ ⎪38 6⎝⎭ 3-33⎪⎝⎭二、选择题（每小题3分，共15分） BADCC 三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）x +(n -1)a 解：后面n -1列都加到第1列，得D n=a xa a xx +(n -1)ax +(n -1)a a1c 1÷[x +(n -1)a ]a x a 0a a x=(x -a )n -1[x +(n -1)a ].===[x +(n -1)a ]11 1[x +(n -1)a ]c ====+(-a )cc n +(-a )c n32c 2+(-a )c 11 1x -ax -a四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）-1-1⎡⎛2⎫⎛1⎫⎤⎛1⎫⎛6⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪.解：B =6(A -1-E )-1=6⎢ 4-1=63=2⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢7⎭⎝1⎭⎥6⎭1⎪⎝⎝⎭⎣⎝⎦五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）A -E A -E解：A 2-A -2E =0⇒A .=E ⇒A -1=22(A -E )23E -AA -A -2E =0⇒A +2E =A ⇒(A +2E )=(A )=(A ）=或4422-12-1-12六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）3⎫⎛121⎪4-1-5-6⎪→解：1-3-4-7⎪ ⎪⎝21-10⎭⎛1 0→ 0 ⎝00-1-1⎫⎪112⎪，⎪000⎪000⎭R (A )=2,α1,α2为所求的一个最大线性无关组，且α3=-α1+α2,α4=-α1+2α2.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由A ,B 相似知，A ,B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，⎧0⋅E -A =0⎪故得A 的特征值为λ1=0,λ2=1,λ3=2，从而有⎨，1⋅E -A =0⎪⎩由此解得α=0，β=0.⎛1⎫-⎪⎛-1⎫2⎪ ⎪（2）对于λ1=0，解(0⋅E -A )X =0，得特征向量 0⎪，单位化得：p 1= 0⎪；1⎪ 1⎪⎝⎭ ⎪2⎝⎭⎛0⎫⎪对于λ2=1，解(E -A )X =0，得特征向量为p 1= 1⎪；0⎪⎝⎭⎛ ⎛1⎫⎪0λ=2对于3，解(2E -A )X =0，得特征向量为 ⎪，单位化得：p 1=1⎪⎝⎭⎝⎛1 -2令P =(p 1,p 2,p 3)= 01 ⎝20101⎫⎪2⎪0⎪，则P 为正交阵，且使P -1AP =B .1⎪⎪2⎭1⎫⎪2⎪0⎪1⎪⎪2⎭八、（本题满分14分，见教材P87例3.13）解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：11|B |=11a 1a 2a 3a4a 122a 22a 32a 4a 133a 2=∏(a j -a i )3a 31≤i <j ≤43a 4由于a 1，知|B |≠0，从而R (B )=4，但系数矩阵A 的秩R (A )≤3，a 2，a 3，a 4两两不等，故R (A )≠R (B )，因此方程组无解.（2）a 1=a 3=k ，a 2=a 4=-k （k ≠0）时，方程组变为⎧x 1+kx 2+k 2x 3=k 3⎪23⎧x 1+kx 2+k 2x 3=k 3⎪x 1-kx 2+k x 3=-k 即⎨⎨2323x +kx +k x =k x -kx +k x =-k 23⎩123⎪123⎪⎩x 1-kx 2+k x 3=-k 因为1k=-2k ≠0，故R (A )=R (B )=2，所以方程组有解，且对应的齐次方1-k程组的基础解系含3-2=1个解向量，又β1，β2是原非齐次方程组的两个解，故ξ=β2-β1=(2, 0,-2)T 是对应齐次方程组的解；由于ξ≠0，故ξ是它的基础解系。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零； （C ）任一行元素为其余行的线性组合；（D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）（A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。
（A ）5（B ）4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量， 21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； （B ）)(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
线代II
1---○---○------○---○---………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线………… 中南大学考试试卷2010 ~2011 学年 2 学期 线性代数Ⅱ 课程 时间100分钟24 学时,1.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、单项选择题(本题15分，每小题3分) 1. 设,,133312321131131211232221333231232221131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ,101010001,10000101021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P 则必有（ ）.A B P AP =21 B B A P P =21 C B P AP =12D B A P P =122. 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式E ABC =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ）. A E BCA = B E CBA = C E BAC =D E ACB =3. 设n 阶矩阵A 非奇异()2≥n ，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则()=**A （ ）.A A A n 1- B A A n 2- C A An 2+D A An 1+24. 设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）. A 当()0≠=a a A 时，a B = B 当()0≠=a a A 时，a B -= C 当0≠A 时，0=BD 当0=A 时，0=B5. 设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 有一特征值等于（ ）.A 34B 21C 43D 41二、填空题(本题15分，每小题3分)1．设行列式2235007022220403--=D ，则第四行各元素代数余子式之和的值为 . 2．设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111110111110111110111110 A ，则=A .3. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，则()=-1*A .4. 设矩阵A 满足042=-+E A A ，其中E 为单位矩阵，则()=--1E A .5. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为二阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA 2+=，则=B .3三、解答题(本题64分，每小题8分)1．设A 为1010⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00001010000001000001010A ，计算行列式E A λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数.2. 设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B .⑴证明B 可逆；⑵求1-AB .43. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵X 满足X A E AX +=+2，其中E 为三阶单位矩阵，试求出矩阵X .4. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.55. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101410213的实特征值与对应的特征向量.6. 设有4阶方阵A 满足条件0,2,02<==+A E AA A E T ，其中E 是4阶单位阵. 求方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值.67. 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x .78. 设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++243214312143214321121053153363132kx x x x x x k x x x x x x x x x x ,问1k 与2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时，求其一般解.8四、 (本题6分)已知n 阶方阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000110000111000222200000011000024 A ，求A 中所有元素代数余子式之和∑∑==n i nj ij A 11.。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零； （C ）任一行元素为其余行的线性组合； （D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（ ） （A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。
（A ）5（B ）4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量，21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； （B ）)(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
中南大学《线性代数》考试试卷2021~2022 (B卷)含参考答案及评分标准
大学考试试卷（B 卷）2021~2022 学年 学期 线性代数 课程 时间110分钟 学时， 闭 卷，总分 100 分，占总评成绩 70 %一、选择题(每小题3分，共15分)1、设b a ,为实数，则当=a , =b 时，010100=---abb a.（ ）(A) 0，0； (B) 0，1； (C) 1，0； (D) 1，1．2、设A 为n m ⨯矩阵，0=AX 仅有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩)(A r （ ）． (A)小于m ； (B) 小于n ； (C)等于m ； (D) 等于n ．3、A 是n 阶方阵，k 是非零常数，则=||kA （ ）．(A) ||A k ； (B) ||||A k ； (C) ||A k n； (D) ||||A k n．4、设B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( )（A ）O B O A O AB ≠≠⇔≠且； （B ）O A O A =⇔=； （C ）000==⇔=B A AB 或； （D ）1=⇔=A E A .5、向量组TT T T T )4,1(,)2,1(,)0,0(,)0,2(,)0,1(54321-=====ααααα的一个极大线性无关组是（ ）(A) 21,αα； (B) 52,αα；(C) 43,αα； (D) 541,,ααα．二、填空题(每小题3分，共24分)1．=-2112 ；2.排列36715284的逆序数是 ；3.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，)321(=B ，则=AB ；4.若行列式中两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于 ；5.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A ，则矩阵A 的伴随矩阵=*A ；6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120130005A ，则=-1A ；7. 已知T )1,1,2,1(1-=α，T)0,3,0,2(2=α，T )2,5,4,0(3--=α，T )1,7,2,3(4--=α，则=),,,(4321ααααr ____________；8、向量组：TT T )2,5,3(,)0,2,2(,)1,0,1(321-=-=-=ααα是 .（填“线性相关”或“线性无关”）三、解答题(共61分)1、计算下列行列式：(第1小题3分，第2小题4分，第5小题，共12分)(1)22baba ； (2)123012111； (3)2310421121214321------. 2、(12分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432112122121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101012121234B ，计算：(1)B A -3；(2)B A 32+；(3)若X 满足B X A =+，求X .3、(12分) 设101026161A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，满足2AX E A X +=+，求矩阵X .4、（10分）求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x .5、（15分）讨论线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++tx x x x x px x x x x x x x x x x 4321432143214321121053153363132，当t p ,取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求出其全部解.《线性代数》参考答案及评分标准卷别：B 卷一、选择题（每题3分，合计15分）1、A ；2、D ；3、C ；4、C ；5、B ．二、填空题（每题3分，合计24分）1、5；2、13；3、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963642321；4、0；5、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1272210125；6、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--320110005/1；7、2 ；8、线性相关。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零； （C ）任一行元素为其余行的线性组合；（D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）（A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。
（A ）5（B ）4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量， 21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； （B ）)(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题(本题15分，每小题3分)1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ,则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ,则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 .5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列)元素对应成比例； (B)A 中有一行元素全为零； （C)任一行元素为其余行的线性组合； （D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵,B 是n 阶反对称阵,则下列矩阵中反对称矩阵是( ） (A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； (D ）BABA .3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ )时,向量组321ααα，，线性相关。
（A)5（B)4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量，21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； (B))(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
中南大学《线性代数》2020-2021学年第一学期期末试卷A卷
2020-2021年《线性代数》期末考试试卷：A 卷一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。
2、若n 阶方阵满足A 2＝A ＋E ，其中E 是n 阶单位矩阵，则A ＋E 可逆，且(A ＋E)-1＝ 。
3、已知向量组, )1 1,- 2, ,1(1'=α )0 k, 0, ,2( 2'=α， , )2- 5, 4,- 0,(3'=α若矩阵A ＝(α1α2α3)的秩为3，则k ＝ 。
4、齐次线性方程组 A 5×7X ＝O 的基础解系中含有两个线性无关的解，那么方程组中非自由未知量有 个。
5、在三维向量空间R 3中，由自然基ε1，ε2，ε3，到基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,0( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη的过渡矩阵Q ＝6、设α是n 阶实对称矩阵A 对应于λ的特征向量，则矩阵(P -1AP)’对应于特征值λ的特征向量为 。
二、单项选择题（每小题2分，共12分）1、a 32a 2r a 14a 51a 4s 是五阶行列式展开式的一项，则对r ，s 的取值，及该项的符号，正确的选择是（ ）。
(A)r ＝3，s ＝5，符号为 + ； (B)r ＝3，s ＝5，符号为 - ；(C)r ＝3，s ＝2，符号为 + ； (D)r ＝5，s ＝3，符号为 - 。
2、A 为任意n (n≥3)阶方阵，则kA 的伴随矩阵(kA)* ＝（ ）。
(A) kA * (B) k n -1A * (C) k n A * (D) k -1A *3、A 、B 是同阶方阵，则下列叙述正确的是（ B ）。
(A)若A 、B 可逆，则A+B 可逆； (B)若A 、B 可逆，则A B 可逆；(C) A+B 可逆，则A -B 可逆；(D) A+B 可逆，则A 、B 均可逆。
4、设A 为n 阶方阵，则|A|=0的必要条件是（ ）。
中南大学《线性代数》2020-2021学年第一学期期末试卷B卷
2020-2021年《线性代数》期末考试试卷：B 卷一、填空题（每小题3分，共18分）1、在五阶行列式中，j i a a a a a 32452143取负号，则i = ，j = 。
2、设A ij 是行列式D 中元素a ij 的代数余子式，且i ≠s ，则=+++sn in s i s i A a A a A a 2211 。
3、若21321,,,,ββααα是四维列向量，且四阶行列式 m =1321βααα，n =3221αβαα，则21123ββααα+= 。
4、设4阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为 。
5、向量 α=)0,0,2(' 在基 )1 ,1 ,0(,)1 ,0 ,1( ,)0 ,1 ,1(321'='='=ηηη 下的坐标为 。
6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_ __，E+A -1的特征值为______。
二、单项选择题（每小题2分，共12分）1、设A 为n 阶方阵 ，A*为A 的伴随矩阵,则*A A =（ ）。
（A ） 2n A ；（B ） 1-2n A ；（C ） n A ；（D ） 2 A 。
2、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( )(A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设321,,ααα线性无关，则与向量组321,,ααα等价的向量组为（ ）。
(A) 3221 ,αααα++ ； (B)2121214, 3 , ,αααααα+-；(C) 31312121, , ,αααααααα-+-+ ；(D) 133221 , ,αααααα--- 。
4、 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX =B 的三个解，且r(A)=3, 已知 )3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX =B 通解X =( )。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题(本题15分，每小题3分)1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A .3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=, 则=a 。
二、选择题(本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）.（A ）A 中两行(列）元素对应成比例; （B ）A 中有一行元素全为零； （C)任一行元素为其余行的线性组合； （D)必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是( ） （A)BAB ； (B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t ( )时，向量组321ααα，，线性相关。
（A)5（B ）4（C)3（D)24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量，21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ )。
（A ）)(212132ηηηη-++k ; (B ）)(212132ηηηη-+-k ；(C))()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； (D))()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题〔此题15分，每题3分〕1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，那么=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，那么=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，那么=t 。
4、假设n 阶方阵A 有特征值λ，那么E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
5、假设二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=， 那么=a 。
二、选择题〔此题15分，每题3分〕1、设A 是n 阶方阵，那么0||=A 的必要条件是〔 〕。
〔A 〕A 中两行〔列〕元素对应成比例； 〔B 〕A 中有一行元素全为零； 〔C 〕任一行元素为其余行的线性组合； 〔D 〕必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，那么以下矩阵中反对称矩阵是〔 〕 〔A 〕BAB ； 〔B 〕ABA ； 〔C 〕ABAB ； 〔D 〕BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t 〔 〕时，向量组321ααα，，线性相关。
〔A 〕5〔B 〕4〔C 〕3〔D 〕24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量，21,k k 为任意常数，那么非齐次线性方程组b Ax =的通解为〔 〕。
〔A 〕)(212132ηηηη-++k ； 〔B 〕)(212132ηηηη-+-k ；〔C 〕)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； 〔D 〕)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
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考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零； （C ）任一行元素为其余行的线性组合； （D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（ ） （A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。
（A ）5（B ）4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量，21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； （B ）)(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
5、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20001011k k A 是正定矩阵，则必有（ ）。
（A ）0>k ； （B ）1>k ； （C ）2>k ； （D ）1->k 。
三、（本题8分） 计算行列式xa x a x a a n n 0100010001121-----，其中1,,2,1,0,0-=≠n i a i 。
四、（本题12分） 设X A E AX +=+2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ，求矩阵X 及()*-1X ，其中()*-1X 为1-X 的伴随矩阵，E 为单位矩阵。
五、（本题14分） 设向量组()()()TTT531110101321，，，，，，，，===ααα不能由向量组 (),1111T ，，=β(),3,2,12T =β()Tk ,4,33=β线性表示。
（1）求向量组321ααα，，的一个极大无关组； （2）求k 的值； （3）将向量1β用321ααα，，线性表示。
六、（本题14分） 设齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为()()TTk k 1,2,2,10,1,1,021-+。
（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。
七、（本题14分） 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110010000010010x A ， （1）已知A 的一个特征值为，2 求x ； （2）求方阵P ，使()()AP AP T为对角阵。
八、（本题8分） 试证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112 b b b b b b b b b a A 的最大特征值为])1(1[2b n a -+，其中10<<b 。
参考答案一、填空题（本题15分，每题3分） 1、0； 2、91； 3、4； 4、)(λf ； 5、1。
二、选择题（本题15分，每题3分） 1、D ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、B. 三、（本题8分） 解：从第一行开始，每行乘x 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：原式=122110----++++n n n n a x a x a x a 。
四、（本题12分）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X XX X 。
五、（本题14分） 解：（1） 令),,(321ααα=A ，3)(,01=∴≠=A R A ，则321,,ααα线性无关， 故321,,ααα是向量组321ααα，，的一个极大无关组；（2）由于4个3维向量 )3,2,1(321=i i αβββ，，，线性相关，若321βββ，，线性无关，则i α可由321βββ，，线性表示，与题设矛盾；于是321βββ，，线性相关，从而5,0531421311||321=∴=-==k k kβββ，，。
（3）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==110040102001151113101101),,,(1321 βαααB ，321142αααβ-+=∴。
六、（本题14分）解：（1） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010100110100011A ，所以方程组（Ⅰ）的基础解系为：()()TT1,0,1,1,010021-==ηη，，，； （2）设()()2413211,2,2,10,1,1,0ηηk k k k TT+=-+，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00001100101010011010012110211010,010100121102110104321 k k k k ，故上述方程组的解为T k )1,1,1,1(-，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为：)0()1,1,1,1(为任意常数≠-k k T 。
七、（本题14分）解：（1）()()0)1(1111111110000100122=---=----⋅--=------=-x xxA E λλλλλλλλλλλ，将2=λ代人上式，得1=x ；（2）由（1）得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1100110000010010A ，显然A 为实对称阵，而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2200220000100001A A T令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==212A OO A A A A T ，显然2A A A T 和也是实对称阵，1A 是单位阵， 由()0422222=-=----=-λλλλλA E ，得2A 的特征值4021==λλ，， 2A 属于1λ对应的特征向量为T )11(1-=，α，单位化：T )2222(1-=，η， 2A 属于2λ对应的特征向量为T )11(2，=α， 单位化：T )2222(2，=η， 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22220022220000100001P ，则有()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==4000000000100001)(P A A P AP AP TT T 。
八、（本题8分）证明：由()())1(22122222222222222=-+-+-=------------=--b a n aba a ab a ba ba b a b a a b a b a b a b a a A E n λλλλλλ得A 的特征值)1(],)1(1[23221b a b n a n -====-+=λλλλ ，n a b λλλλ===>∴><< 3212,0,10，故A 的最大特征值是])1(1[21b n a -+=λ。
考试试卷2闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、若n 阶行列式零元素的个数超过n （n-1）个，则行列式为 。
2、若A 为4阶矩阵，且A =21，则*12)3(A A --= 。
3、设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k k k k111111111111，且R （A ）=3，则k= 。
4、已知向量,α=（1,2,3），β=（1，31,21，），设A=βαT ，则A n= 。
5、设A 为n 阶方阵，A *≠A ,0为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位阵，若A 有特征值E A +*2,）则（λ必有特征值 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A ，B,C 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，且ABC=E ，则下列各式中（ ）不成立。
（A ） CAB=E (B) E C A B =---111(C) BCA=E (D)E BA C =---1112、设A,B 均为n 阶非零矩阵，且AB=O ，则它们的秩满足（ ）。
（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n (C) 一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n3、下列命题中正确的是（ ）（A ）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关 （B ）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关 （C ）任何n+k 个n 维向量（k 1≥）必然线性相关（D ）若只有m k k k ,,21全为零时，等式01111=+++m m m m k k k k ββαα 才成立，且m ααα 21,线性无关，则m βββ 21,线性无关4、设T)1,2,1(1-=α，,)1,1,1(2T-=α则3α=（ ）时，有321,,ααα为3R 的基 （A ）T)2,1,2( （B ）T)1,0,1( （C ）T )0,1,0( （D ）T)1,0,0(5、设二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k A 20211012，且此二次型的正惯性指数为3，则（ ）（A ） k>8 ( B) k>7 (C) k>6 (D) k>5三、（10分）计算n 阶行列式111111111111 ----=n D ,并求该行列式展开后的正项总数。
四、（10分） 设E AX +=X A +2,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵*-)(1X X 及，其中11)(-*-X X 为的伴随矩阵，E 为单位矩阵。
五、（本题14分） 设有向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02311α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=314072α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26154α，(1)求该向量组的秩；(2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。