高中数学(人教版必修2)配套练习：2.3.2平面与平面垂直的判定(含答案)

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人教A版高中数学必修二 2-3-2 平面与平面垂直的判定检测含答案精品

必修二第二章 2.3.2 平面与平面垂直的判定时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1. 设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【答案】B【解析】由题意，m与α斜交，令其在α内的射影为m′，则在α内可作无数条与m′垂直的直线，它们都与m垂直，A错；如图示(1)，在α外，可作与α内直线l平行的直线，C错；如图(2)，m⊂β，α⊥β.可作β的平行平面γ，则m∥γ且γ⊥α，D错．.2.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是( )A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定【答案】B【解析】如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°..3.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】D【解析】观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面几组互相垂直的平面：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB，一共5对.故选D.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是( )A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【答案】D【解析】对于选项A，分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能，但未必垂直；对于选项B，分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能；对于选项C，两个平面分别经过两垂直直线中的一条，不能保证两个平面垂直；对于选项D，m⊥α，m∥n，则n ⊥α；又因为n∥β，则β内存在与n平行的直线l，因为n⊥α，则l⊥α，由于l⊥α，l⊂β，所以α⊥β.故选D.5、在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD【答案】C【解析】：由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD ⊥平面PAD，A、B、D正确．故选C。

平面与平面垂直的判定基础练习题含答案解析

2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习题（含答案解析）1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定解析：选C.当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．2．在四棱锥P－ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面P AB⊥平面P ADB．平面P AB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面P AD解析：选C.由面面垂直的判定定理知：平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确．3．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A.如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l.4.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面P DFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C.可画出对应图形(图略)，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．5．(2013·德州高一检测)已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D.∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB，AB⊥平面P AD，DC⊥平面P AD，∴平面AC⊥平面P AD，平面AC⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PDC⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD.6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________．解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP ＝OA＝3，P A＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，则AC⊥BD.∵P A⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴P A⊥BD.∵P A∩AC＝A，∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B 确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数9．点P是菱形ABCD所在平面外一点，且P A＝PC，求证：平面P AC⊥平面PBD.证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵AO＝OC，P A＝PC，∴PO⊥AC.∵BD∩PO＝O，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD.10．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∵EF⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.。

高中数学(人教A版)必修2随堂优化训练：2.3.2 平面与平面垂直的判定(含答案)

2.3.2平面与平面垂直的判定1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2．下列说法正确的是()A．二面角的大小范围是大于0°且小于90°B．一个二面角的平面角可以不相等C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，其中正确的命题是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β4．在三棱锥A-BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么() A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面BCD⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BCD5．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，DC＝AD，点E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是__________．7．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是__________．8．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图K2-3-4，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P为△ABC所在平面外一点，P A＝PB ＝PC，求证：平面P AC⊥平面ABC.图K2-3-410．如图K2-3-5，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B∥平面ADC1.图K2-3-52．3.2平面与平面垂直的判定1．D 2.D 3.B 4.C5．C解析：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β不正确；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β正确；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β正确，所以正确的命题有2个．6．垂直解析：∵AD＝DC，点E是AC的中点，∴DE⊥AC.同理BE⊥AC.又BE∩DE ＝E，∴AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE.7．60°8．B解析：只有①④是正确命题．9．证明：取AC的中点O，连接PO，OB.∵AO＝OC，P A＝PC，∴PO⊥AO.又∵∠ABC＝90°，∴OB＝OA.又∵PB＝P A，PO＝PO，∴△POB≌△POA，∴PO⊥OB.又∵OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，且OA∩OB＝O，∴PO⊥平面ABC.又∵PO⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面ABC.10．证明：(1)因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1.因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1.(2)如图D57，连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B.因为OD⊂平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.图D57。

2020高中数学必修2同步练习：2.3.2 平面与平面垂直的判定含解析

2.3.2平面与平面垂直的判定课时过关·能力提升一、基础巩固1.下列说法:①两个相交平面所组成的图形叫做二面角;②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中说法正确的个数是()A.0B.1C.2D.32.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,则二面角B-PA-C的大小等于()A.90°B.60°C.45°D.30°PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC.所以∠BAC是二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=60°,则二面角B-PA-C的平面角是60°3.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 ()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥βm∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m⊂α,∴α⊥β.4.如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为()A.∠PACB.∠CPAC.∠PCAD.∠CABAB为圆的直径,所以AC⊥BC.因为PA⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.5.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,AC与BD相交于点O,点P是侧棱SC上一动点,则一定与平面PBD垂直的平面是()A.平面SABB.平面SACC.平面SCDD.平面ABCD在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,∴BD⊥AC.∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥BD.∵SA∩AC=A,∴BD⊥平面SAC.∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面SAC.故选B.6. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面C1D1AB与底面ABCD所成的二面角C1-AB-C的大小为.AB⊥BC,AB⊥BC1,∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角,其大小为45°.°7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有个.α外的一点为A,平面α内的一点为B,当直线AB垂直于平面α时,经过直线AB的任意一个平面均垂直于平面α,即此时有无数个;当直线AB与平面α相交但不垂直时,过点A作直线AC垂直于平面α,则直线AC仅有一条,由于直线AC和AB是两条相交直线,则AB和AC确定一个平面且该平面垂直于平面α,此时仅有一个与平面α垂直的平面.个或无数8.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.因为PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可证平面PAB⊥平面PAC.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.PA⊥平面AC,CD⊂平面AC,所以PA⊥CD.因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD.二、能力提升1.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ,且l⊥mB.α⊥γ,且m∥βC.m∥β,且l⊥mD.α∥β,且α⊥γm⊂α,m⊥γ,∴α⊥γ.∵l=β∩γ,∴l⊂γ,∴m⊥l.2.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是()A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PADABCD是矩形,所以AB⊥AD.因为PA⊥平面AC,AB⊂平面AC,所以AB⊥PA.而AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD.因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.同理可证,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD.★3.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系无法确定,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,因为二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定.答案:D4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF ∥AB.若二面角C1-EF-C等于45°,则BF=.AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF.又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°.所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.5.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则BC=.解析:因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.连接BC,在△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=√22,所以BC=√(√22)2+(√22)2=1.6.如图,已知在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=12P A=3,E P=12BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC, 所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC★7.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD 的中点,PA⊥底面ABCD,PA=√3.(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.,连接BD,由ABCD是菱形,且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(1)知BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.=√3,∠PBA=60°,在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB故二面角A-BE-P的大小是60°。

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.3.2平面与平面垂直的判定(有答案)

高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1.如图,在直角梯形ABCD 中, 190,//,12A AD BC AD AB BC ∠=︒===，将ABD △沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中,下列说法正确的是( )A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ACD ⊥平面ABCC.平面ABC ⊥平面BCDD.平面ACD ⊥平面BCD2.如图所示，四边形ABCD 中，//AD BC ，,45AD AB BCD =∠=︒，90BAD ∠=︒.将ADB △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列结论正确的是（）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC3.在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形,则四棱锥的五个面,,,PAB PAD PCD PBC 和ABCD 中,互相垂直的有( )A.3对B.4对C.5对D.6对 4.如图, AB 是O 的直径, VA 垂直O 所在的平面, C 是圆周上不同于A ,B 的任意一点, M ,N 分别为VA , VC 的中点,则下列结论正确的是 ( )A. //MN ABB. MN 与BC 所成的角为45C. OC ⊥平面VACD.平面VAC ⊥平面VBC5.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为菱形，M 是PC 上的一个动点，若要使得平面 MBD ⊥平面PCD ,则应补充的一个条件可以是（）A.MD MB ⊥B.MD PC ⊥C.AB AD ⊥D.M 是棱PC 的中点6.如图所示，四边形中ABCD ，//AD BC ，，,45AD AB BCD =∠=︒.90BAD ∠=︒将沿BD ADB △折起，使平面平ABD ⊥面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥中，A BCD -下列结论正确的是（）A.平面平ABD ⊥面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC7.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 是正方形， ,E F 分别是,PA PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 异面③直线//EF 平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD其中正确的有（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④8.如图，2AC R =为圆O 的直径，45,PCA PA ∠=垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点,A C 重合的点，AS PC ⊥于,S AN PB ⊥于N ，则下列不正确的是（）A. 平面ANS ⊥平面PBCB. 平面ANS ⊥平面PACC. 平面PAB ⊥平面PBCD. 平面ABC ⊥平面PAC 二、填空题9.αβ、是两个不同的平面，m n 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m n ⊥②αβ⊥③n β⊥④m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________________________.10.已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1===a b c 分别是平面,,αβγ的法向量,则,,αβγ三个平面中互相垂直的有_____对.11.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .（只要填写一个你认为是正确的条件即可）三、解答题12.如图，已知在三棱锥A BCD -中，2,9060,,AB AC AD BD BCD DBC E F G ====∠=︒∠=︒,,分别是,,BD AD CE 的中点.(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD .(2)求异面直线AC 与FG 所成角的余弦值.参考答案1.答案：B解析：∵在直角梯形ABCD 中，1//, 1,902AD BC AD AB BC A ===∠=︒，在BCD △中，2,45BD BC DBC =∠=︒，由余弦定理得90BDC ∠=︒，∴BD CD ⊥. 又平面ABD ⊥平面BCD ,且平面ABD ⋂平面BCD BD =，故 CD ⊥平面ABD ，则 CD AB ⊥.又,AD AB CD AD D ⊥⋂=，∴AB ⊥平面ADC .又AB ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面ADC . 故选B.2.答案：D解析：∵在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，∴BD CD ⊥. 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BCD BD =，故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥.又AD AB ⊥，AD CD D =， AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC . 又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .3.答案：C解析：由题意,知PA ⊥平面ABCD ,BC ⊥平面PAB .AD ⊥平面PAB ,CD ⊥平面PAD ,故平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAB ⊥平面PBC ,平面PAB ⊥平面PAD ,平面PAD ⊥平面PCD ,共5对,故选C.4.答案：D解析：依题意, //MN AC ,又直线AC 与AB 相交,因此, MN 与AB 不平行;注意到AC BC ⊥,因此MN 与BC 所成的角是90; 注意到直线OC 与AC 不垂直,因此OC 与平面VAC 不垂直;由于BC AC ⊥,BC VA ⊥,因此BC ⊥平面VAC .又BC ⊂平面VBC ,所以平面VBC ⊥平面VAC .综上所述,故选D.5.答案：B解析：因为四边形ABCD 是棱形，AC BD ⊥∴，又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥∴，又,PA AC A BD =⊥∩∴平面,PAC PC ⊂∵平面,PAC PC BD ⊥∴，要使平面MBD ⊥平面PCD ，只需BM PC ⊥或DM PC ⊥，故选B.6.答案：D解析：∵在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，∴BD CD ⊥．又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BCD BD =，故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥．又AD AB ⊥，AD CD D ＝， AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC ．又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC ．7.答案：B解析：如图所示，①中，连接EF ，则,E F 分别是,PA PD 的中点，所以,//EF AD AD BC =，所以//EF BC ，所以,,,E F B C 共面，所以直线BC 与直线CF 是共面直线，所以①是错误的；②因为E ∈平面,PAD AF ⊂平面,,PAD E AF B ∉∉平面PAD ，所以直线BE 与直线AF 是异面直线，所以是正确的；③由①知//EF BC ，因为EF ⊄平面,PBC BC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ，所以是正确的；④由于不能推出线面垂直，所以平面BCE ⊥平面PAD 是不成立的，综上只有②③是正确的，故选B.8.答案：B解析：根据线面垂直的判定定理得到结果.9.答案：,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥或,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥.解析：10.答案：0解析：()()()()0,1,11,1,010,0,1,11,0,110⋅==≠⋅⋅⋅==≠a b a c ,()()1,1,01,0,110⋅⋅==≠b c ,,,∴a b c 中任意两个都不垂直,即,,αβγ中任意两个都不垂直.11.答案：DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）解析：连接AC ，BD ，则AC BD ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BD ⊥.又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD PC ⊥.∴当DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .12.答案：(1)如图，连接AE ，因为AB AD =，点E 为BD 的中点，所以AE BD ⊥. 又因为90BCD ∠=︒,所以CE BE =.而AB AC =，所以ABE ACE ≅.所以AE CE ⊥.因为BD CE E ⋂=，且, BD CE ⊂平面BCD ,AE ⊄平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD . 因为AE ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD .(2)如图，取CD 的中点H ，连接,FH GH ，因为F 是AD 的中点，所以FH AC ,所以GFH ∠就是异面直线AC 与FG 所成的角.过F 点在平面ABD 内作FM BD ⊥，垂足为M ，连接GM ，则M 为ED 的中点.由已知2AB AD BD ===可得AE =所以12FM AE ==.在BCD 中，90,602BCD DBC BD ∠=︒∠=︒=,，所以CD =.由F 是AD 的中点，M 为ED 的中点，而G 是CE 的中点，所以111222GM CD GH ED ====.在Rt FGM 中，FG ==由已知2AC =，所以112FH AC ==.所以在FGH 中，由余弦定理的推论得，222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠==⋅。

高中数学必修二(人教A版)练习2.3.2 平面与平面垂直的判定 Word版含答案

平面与平面垂直的判定一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下面不能确定两个平面垂直的是( )．两个平面相交，所成二面角是直二面角．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线．一个平面经过另一个平面的一条垂线．平面α内的直线与平面β内的直线是垂直的．已知直线，与平面α，β，给出下列三个结论：①若∥α，∥α，则∥；②若∥α，⊥α，则⊥；③若⊥α，∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是( )．．．．．设，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )．若∥α，⊥β，⊥，则α⊥β．若∥α，⊥β，⊥，则α∥β．若∥α，⊥β，∥，则α⊥β．若∥α，⊥β，∥，则α∥β图--．如图--所示，在立体图形-中，若＝，＝，是的中点，则下列结论中正确的是( ) ．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面，平面⊥平面．平面⊥平面，平面⊥平面．如图--所示，在△中，⊥，△的面积是△的面积的倍．沿将△翻折，使翻折后⊥平面，此时二面角--的大小为( )图--．°．°．°．°．若一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内(都不在棱上)，则这条线段所在的直线与这两个平面所成的角的和( )．等于°．大于°．不大于°．不小于°图--．如图--所示，在三棱锥-中，⊥平面，∠＝°，则图中互相垂直的平面共有( )．对．对．对．对二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知正四棱锥的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于．．下列结论中，所有正确结论的序号是．①两个相交平面形成的图形叫作二面角；②异面直线，分别和一个二面角的两个面垂直，则，组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．．已知两条不同的直线，，两个不同的平面α，β，给出下列命题：①若垂直于α内的两条相交直线，则⊥α；②若∥α，则平行于α内的所有直线；③若⊂α，⊂β且α∥β，则∥；④若⊂β，⊥α，则α⊥β.其中真命题的序号是．(把你认为是真命题的序号都填上)图--．如图--，⊥⊙所在的平面，是⊙的直径，是⊙上一点，⊥于，⊥于，给出下列结论：①⊥；②⊥；③⊥；④平面⊥平面；⑤△是直角三角形．其中所有正确的命题的序号是．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)如图--所示，在正三棱柱-中，为的中点，求证：截面⊥侧面.。

高一数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定导学案(解析版)

2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定一、课标解读（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成角的概念（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（5）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

二、自学导引问题1：（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？（2）请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？（3）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？直线与平面垂直的定义：用符号语言表示为：问题2：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？DCBA②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？直线与平面垂直的判定定理：用符号语言表示为：问题3：直线与平面所成角的概念？问题4：怎样作出二面角的平面角？问题5：平面与平面垂直的定义？问题6：两个平面互相垂直的判定方法有哪些？三、典例精析例1 已知两两垂直所在平面外一点，是PC PB PA ABC P ,,∆,H 是ABC ∆ 的垂心.求证：⊥PH 平面ABC变式训练1 如图所示，ABC PA O C O AB 平面上的一点，为圆的直径，为圆⊥, F CP AF E BP AE 于于⊥⊥,.求证：AEF BP 平面⊥例2 如图所示,已知 60,90=∠=∠=∠CSA BSA BSC ,又SC SB SA ==. 求证:平面SBC ABC 平面⊥变式训练２如图所示,在四面体ABCD 中,AC CD CB AD AB a BD =====,2 =a ,求证:平面BCD ABD 平面⊥._ C例3 如图所示,已知的斜线，是平面内，在平面ααOA BOC ∠且AOCAOB ∠=∠=60,a OC OB OA ===,a BC 2=,求所成的角与平面αOA .变式训练3 如图所示，在矩形ABCD 中，3,33==BC AD ,沿着对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到'C 点，且'C 点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上.（1）求证：D AC BC ''平面⊥（2）求直线AB 与平面D BC '所成角的正弦值四、自主反馈1. 如图BC 是Rt ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α 垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个2.下列说法正确的是 ( ) A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 ( )A.aB. 2aC.22a D. 3a 4.已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为。

高中数学(人教版必修2)配套练习第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质试题解析

§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面P AC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成的角．∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．一个或无数个D ．可能不存在 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是( )A ．两个平面相交，所成二面角是直二面角B ．一个平面经过另一个平面的一条垂线C ．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D ．平面α内的直线a 与平面β内的直线b 是垂直的 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β. A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .求证：平面EFG ⊥平面PDC . 8. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，P A＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝ 6.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．13．(1)证明连接BD，∵D是AC的中点，P A＝PC＝5，∴PD⊥AC.∵AC＝22，AB＝2，BC＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α.A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．7. 如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.8. 如图所示，在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶310．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么() A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ， ∴M 是AB 的中点．9．A 10．C11．①②③12．(1)证明在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ， ∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面P AD .(2)解过P 作PO ⊥AD ，∵面P AD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. 13．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝22a，C1D＝2a＝2C1O⇒∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.。

【成才之路】高中数学人教A版必修2练习：2.3.2平面与平面垂直的判定(含答案解析)

第二章 2.3 2.3.2一、选择题1．下列命题中：导学号92180510①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②[答案] B[解析]对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B．2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面导学号92180511()A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在[答案] C[解析]经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．3．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角导学号92180512()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定[答案] D[解析]如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG 始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定．4．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列表述：导学号92180513①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．5．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA ＝AC，则二面角P－BC－A的大小为导学号92180514()A．60°B．30°C．45°D．15°[答案] C[解析]由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．6．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是导学号92180515()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[答案] C[解析]可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．二、填空题7．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图所示，则在三棱锥P －ABC的四个面中，互相垂直的面有________对.导学号92180516[答案] 3[解析]∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．同理可证：平面PAB⊥平面PAC．8．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________.导学号92180517[答案]90°[解析]如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝3，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连接DE、AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝2，又AD＝2，所以∠DEA＝90°.三、解答题9.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点.导学号 92180518(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； [解析] (1)取EC 的中点F ，连接DF. ∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC ．易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF. ∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBD ．故DE ＝DD ．(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊CF.∵BD 綊CF ，∴MN 綊BD ， ∴N ∈平面BDM.∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN.又∵AC ⊥BN ，EC∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECD ．又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECD ．10．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，导学号 92180519(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值．[解析](1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC．同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD．(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．(3)设AC∩BD＝O，连接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC．又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝2 2a.在Rt△PDO中，tan∠POD＝PDOD＝a22a＝ 2.一、选择题1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是导学号92180520() A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直[答案] B[解析]由题意，m与α斜交，令其在α内的射影为m′，则在α内可作无数条与m′垂直的直线，它们都与m 垂直，A 错；如图示(1)，在α外，可作与α内直线l 平行的直线，C 错；如图(2)，m ⊂β，α⊥β.可作β的平行平面γ，则m ∥γ且γ⊥α，D 错．2．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则△ABC 是导学号 92180521( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] A[解析] 设正方形边长为1，AC 与BD 相交于O ，则折成直二面角后，AB ＝BC ＝1，AC ＝CO 2＋AO 2＝222＋222＝1，则△ABC 是正三角形．3．在二面角α－l －β中，A ∈α，AB ⊥平面β于B ，BC ⊥平面α于C ，若AB ＝6，BC ＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为导学号 92180522( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] D[解析] 如图，∵AB ⊥β，∴AB ⊥l ，∵BC ⊥α，∴BC ⊥l ，∴l ⊥平面ABC ，设平面ABC∩l ＝D ，则∠ADB 为二面角α－l －β的平面角或补角， ∵AB ＝6，BC ＝3，∴∠BAC ＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴二面角大小为60°或120°.4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有导学号92180523()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面[答案] A[解析]由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴选D．二、填空题5．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P－AB－C的大小为________.导学号92180524[答案]60°[解析]取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中，PM＝22－32＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.6.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD．底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD．(注：只要填写一个你认为正确的即可)导学号92180525[答案]BM⊥PC(其他合理即可)[解析]∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM.∴平面PCD⊥平面BDM.三、解答题7．(2015·湖南)如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F 分别是BC、CC1的中点.导学号92180526(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．[解析](1)如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，因此CD ⊥平面A 1AB 1B ，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角，由题设知∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝3，在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22，故三棱锥F －AEC 的体积V ＝13S AEC ×FC ＝13×32×22＝612.8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3.导学号 92180527(1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ； (2)求二面角A －BE －P 的大小．[解析] (1)证明：如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ，又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ，又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE. 而PA∩A B ＝A ，因此BE ⊥平面PAB ．又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB ．(2)由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥BE.又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A －BE －P 的平面角．在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝PAAB＝3，∠PBA ＝60°. 故二面角A －BE －P 的大小是60°.。

(人教A版)必修2(2.3.2平面与平面垂直的判定)课后导练含解析

(人教A版)必修2(2.3.2平面与平面垂直的判定)课后导练含解析基础达标1Rt△ABC在平面α内旳射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C旳形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能解析：设∠B为直角，由条件知AB∥α,由线面平行旳性质知AB∥A1B1，又BC⊥AB，∴BC⊥A1B1，又知BB1⊥α,∴BB1⊥A1B1,∴A1B1⊥面BB1C，∴A1B1⊥B1C，∴△A1B1C为直角三角形.答案：A2设有直线m,n和平面α、β，则下列命题中，正确旳是（）A.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βB.若m⊥α,m⊥n,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥βD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β解析：A错，当α与β相交时，也有可能m∥n且m⊂n,n⊂β;B错，当α∩β=n时，也满足条件；C对，因为m∥n,n⊥β,∴m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β;D错，因为m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又n⊥β,∴α∥β.答案：C3关于直线a,b,l以及平面α、β，下列命题中正确旳是（）A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a∥β,则α⊥β解析：A错.满足条件旳a,b可平行，可相交也可异面；B错，例如，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥面ABCD且A1D1⊥A1B，但A1B与面ABCD不垂直；C错，若a与b相交，则l⊥α,否则l不一定垂直α;D对.答案：D4(2006广东，5)给出以下四个命题，其中真命题旳个数是（）①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线旳平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内旳两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行④如果一个平面经过另一个平面旳一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.1解析：①②④正确.①线面平行旳性质定理；②线面垂直旳判定定理；③这两条直线可能相交或平行；④面面垂直旳判定定理.答案：B5空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC,BD ⊥AD ，那么有（）A.平面ABC ⊥平面ADCB.平面ABC ⊥平面ADBC.平面ABC ⊥平面DBCD.平面ADC ⊥平面DBC解析：∵AD ⊥BC,BD ⊥AD,BC∩BD=B,∴AD ⊥面BCD.又AB ⊂面ADC ，∴面ADC ⊥面BCD ，故选D.答案：D6如图所示，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则图中互相垂直旳平面共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对解析：∵PA ⊥面ABCD ，且PA ⊂面PAB ，PA ⊂面PAD ，PA ⊂面PAC ，∴面PAB 和面PAC 和面PAD 都与面ABCD 垂直，又AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥面PAB ，又AD ⊂面PAD ，∴面PAB ⊥面PAD ，同理可证面PBC ⊥面PAB ，面PCD ⊥面PAD.答案：D7如图，P 是二面角α-AB-β旳棱AB 上一点，分别在α、β上引射线PM 、PN,截PM=PN ，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β旳大小是_________________.解析：过M 在α作MO ⊥AB 于点O ，连NO ，设PM=PN=a,又∠BPM=∠BPN=45°,∴△OPM ≌△OPN ，∴ON ⊥AB ，∴∠MON 为所求二面角旳平面角，连MN ，∵∠MPN=60°,∴MN=a ，又MO=NO=22a,∴MO 2+NO 2=MN 2. ∴∠MON=90°.答案：90°8如图，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC ，求证：平面ABC ⊥平面SBC.证法一：利用定义证明：∵∠BSA=∠CSA=60°, SA=SB=SC,∴△ASB 和△ASC 是等边三角形，则有SA=SB=SC=AB=AC ，令其值为a ，则△ABC 和△SBC 为共底边BC 旳等腰三角形，取BC 旳中点D ，连AD 、SD 则AD ⊥BC ，SD ⊥BD ，所以∠ADS 为二面角A-BC-S 旳平面角，在Rt △BSC 中，∵SB=SC=a,∴SD=22a,BD=222=BC a ，在△ADS 中，AD=22a ， ∵SD 2+AD 2=SA 2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S 为直二面角，故平面ABC ⊥平面SBC.证法二：利用判定定理∵SA=AB=AC,∴点A 在平面SBC 上旳射影为△SBC 旳外心，∵△BSC 为直角三角形，∴A 在△BSC 上旳射影D 为斜边BC 旳中点，∴AD ⊥平面SBC ，又∵平面ABC 过AD ，∴平面ABC ⊥平面SBC.综合应用9已知：m 、l 为直线,α,β为平面,给出下列命题：①若l 垂直于α内旳两条相交直线,则l ⊥α②若l 平行于α,则l 平行于α内旳所有直线③若m ⊂α,l ⊂β,且l ⊥m,则α⊥β④若l ⊂β,且l ⊥α,则α⊥β⑤若m ⊂α,l ⊂β,且α∥β,则m ∥l其中正确命题旳序号是_________.解析：由直线与平面垂直旳判定定理知，①正确；对于②，若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；对于③，满足题设旳平面α、β有可能平行或相交（但不垂直），不能推出α⊥β,故③是错误旳；由面面垂直旳判定定理知，④是正确旳；对于⑤，m与l可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误旳.故正确旳命题是①④.∴应填①④.答案：①④10在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找一个平面与平面DA1C1垂直，则该平面是________（写出满足条件旳一个平面即可）.解析：连结AD1，在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，又AB⊥面ADD1A1，A1D⊂面ADD1A1,∴AB⊥A1D，又AD1∩AB=A,∴A1D⊥面ABD1，又A1D⊂面DA1C1，故平面ABD1⊥平面DA1C1.答案：平面ABD1（注：凡平面内有直线BD1旳皆可）11如图，在空间四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD,E、F、G分别是AD、DC、CA旳中点，求证：平面BEF⊥平面BDG.证明：连结E，F，∵E,F分别为AD，DC中点，∴EF∥AC，又∵AB=BC，AD=CD，G为中点，∴DG⊥AC，BG⊥AC,∴EF⊥DG，EF⊥BG，又BG∩DG=G,∴EF⊥面BDG，又∵EF⊂面BEF.故平面BEF⊥平面BDG.拓展探究12如图所示，已知P是边长为a旳菱形ABCD所在平面外一点，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a,E为PA旳中点.(1)求证：平面EDB ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A-EB-D 旳正切值.证明：（1）设AC∩BD=O,则O 为AC 中点，又∵E 为PA 中点，∴EO ∥PC,又∵PC ⊥面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，又知EO ⊂面EDB ，故平面EDB ⊥平面ABCD（2）由（1）知EO ⊥AO ，又知四边形ABCD 为菱形，∴AO ⊥BD,又BD∩EO=O，∴AO ⊥面BDE ，过O 作OF ⊥BE 于点F ，又AO ⊥BE ，AO∩OF=O，∴BE ⊥面AOF ，∴BE ⊥AF ，∴∠AFO 为所求二面角旳平面角.由BC=AB=a,∠ABC=60°知AC=a,BO=2322=-AO AB a,又EO=21PC=21a, ∴BE=22BO EO +=a,∴OF=43=∙BE OB OE a, 又AO=a2a ,在Rt △AOF 中， tanAFO=332=OF AO , 故二面角A-EB-D 旳正切值为332.。

人教版数学高一-A版必修2练习 2.3.2 平面与平面垂直的判定

[A基础达标]1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个解析：选D.当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C.因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.3．过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则该两条射线夹角和二面角的平面角的大小是()A．相等B．互补C．相等或互补D．以上都不对解析：选C.由二面角的平面角的作法之“垂面法”可知，当二面角为锐角时相等，为钝角时互补，所以选C.4．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：选D.因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.5．在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，ABDC为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为()A．45°B．90°C．60°D．30°解析：选B.如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD的中点F，连接AF，CF，则由题意可得AF＝CF＝22a.在Rt△AFC中，易得AC＝a.所以△ACD为正三角形．又因为E是CD 的中点，所以AE⊥CD，即∠AED＝90°.6．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③l∥α，l⊥β，则α⊥β.其中正确命题的序号为________．答案：②③7．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．解析：因为DA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．答案：58．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝435，则二面角A-BD-P 的度数为________．解析：过点A作AE⊥BD，连接PE，则∠AEP为所求角．由AB＝3，AD＝4知BD＝5，又AB·AD＝BD·AE，所以AE＝125.所以tan∠AEP＝435125＝33.所以∠AEP＝30°.答案：30°9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，E∈BB1，且BE＝EB1.求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.证明：取A1C的中点F，AC的中点G，连接EF，FG，BG，则GF12AA1.因为BE12AA1，所以GF BE.所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF ∥GB .因为△ABC 是等边三角形，所以BG ⊥AC .所以EF ⊥AC .又AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥BG .所以EF ⊥AA 1.因为AC ∩AA 1＝A ，所以EF ⊥平面ACC 1A 1.因为EF ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.10.已知三棱锥P -ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，AB ＝20.D 为AB 的中点，且△PDB为等边三角形，PA ⊥PC .(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ； (2)求二面角D -AP -C 的正弦值．解：(1)证明：在Rt △ACB 中，D 是斜边AB 的中点，所以BD ＝DA .因为△PDB 是等边三角形，所以BD ＝DP ＝BP ，则BD ＝DA ＝DP ，因此△APB 为直角三角形，即PA ⊥BP . 又PA ⊥PC ，PC ∩BP ＝P ，所以PA ⊥平面PCB . 因为BC ⊂平面PCB ，所以PA ⊥BC . 又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC . (2)由(1)知PA ⊥PB 及已知PA ⊥PC ，故∠BPC 即为二面角D -AP -C 的平面角．由(1)知BC ⊥平面PAC ，则BC ⊥PC .在Rt △BPC 中，BC ＝4，BP ＝BD ＝10，所以sin ∠BPC ＝BC BP ＝410＝25，即二面角D -AP -C 的正弦值为25.[B 能力提升]1.如图，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C.要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面BDE .2．将锐角A 为60°，边长为a 的菱形沿BD 折成60°的二面角，则折叠后A 与C 之间的距离为( )A ．aB ．12aC.32a D ．3a解析：选C.设折叠后点A 到A 1的位置，取BD 的中点E ，连接A 1E ，CE . 则BD ⊥CE ，BD ⊥A 1E .于是∠A 1EC 为二面角A 1BD C 的平面角．故∠A 1EC ＝60°. 因为A 1E ＝CE ，所以△A 1EC 是等边三角形．所以A 1E ＝CE ＝A 1C ＝32a . 3. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③m ⊥α；④n ⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析：如图，PA ⊥α，PB ⊥β，垂足分别为A 、B ，连接OA 、OB ，α∩β＝l ，l ∩平面PAB ＝O ，可证明∠AOB 为二面角α-l -β的平面角．则∠AOB ＝90°⇔PA ⊥PB .答案：①③④⇒②(或②③④⇒①) 4.(选做题)如图所示，已知P 是边长为a 的菱形ABCD 所在平面外一点，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a ，E 为PA 的中点．(1)求证：平面EDB ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A -EB -D 的正切值．解：(1)证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，则O 为AC 的中点，又因为E 为PA 的中点．所以EO ∥PC .又因为PC ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，又知EO ⊂平面EDB ，故平面EDB ⊥平面ABCD . (2)由(1)知EO ⊥AO ，又知四边形ABCD 为菱形，所以AO ⊥BD . 又BD ∩EO ＝O ，所以AO ⊥平面BDE . 过O 作OF ⊥BE 于点F ，连接AF . 又AO ⊥BE ，AO ∩OF ＝O ，所以BE ⊥平面AOF .所以BE ⊥AF . 所以∠AFO 为所求二面角的平面角．令∠AFO ＝θ，在Rt △EOB 中，∠EOB ＝90°，OE ＝12PC ＝12a ，OB ＝32a ，则EB ＝OE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2＝a ，OF ＝OE ·OB EB ＝12a ·32a a ＝34a .在Rt △AOF 中，∠AOF ＝90°，OA ＝12a ，OF ＝34a ，所以tan θ＝OA OF ＝12a34a ＝233.。

2021-2022高中数学人教版必修2作业：2.3.2平面与平面垂直的判定(系列三)Word版含解析

平面与平面垂直的判定〔45分钟100分〕一、选择题(每题6分,共30分)1.在正方体ABCD-A′B′C′D′的6个面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为( )A.1B.2C.3D.42.(2021·成都高一检测)自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,那么两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定3.a⊂α,b⊂β,c⊂β,a⊥b,a⊥c,那么( )A.α⊥βB.α与β相交C.α∥βD.以上都有可能4.正方体A1B1C1D1-ABCD中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于( )A C D5.(2021·慈溪高一检测)α,β是平面,m,n是直线,给出以下表述：①假设m⊥α,m⊂β,那么α⊥β;②假设m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,那么α∥β;③如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交;④假设α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,那么n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(每题8分,共24分)6.(2021·福州高一检测)直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有四个命题：①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填上)7.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC△AFD沿AF折起,使平面ABD ⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,KAK=t,那么t的取值范围是.8.如下图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BC =2,AA 1=1,E ,F 分别在AD 和BC 上,且EF ∥AB ,假设二面角C 1-EF -C 等于45°,那么BF =.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如下图,在Rt △AOB 中,∠OAB =6 ,斜边AB =4.Rt △AOC 可以通过Rt △AOB 以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B -AO -C 是直二面角.D 是AB 上任意一点.求证：平面COD ⊥平面AOB .10.(2021·辽宁高考)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上的点.(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC .(2)假设AB =2,AC =1,PA =1,求二面角C -PB -A 的余弦值.11.(能力挑战题)四棱锥P -ABCD 的三视图如下图,E 是侧棱PC 上的动点.(1)求四棱锥P -ABCD 的体积.(2)是否不管点E 在何位置,都有BD ⊥AE ?证明你的结论.(3)假设点E 为PC 的中点,作出二面角D -AE -B 的平面角.答案解析1.【解析】选D .由正方体的性质知侧棱与底面垂直,知过侧棱的平面都垂直于底面ABCD ,因此正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的6个面中,与平面ABCD 垂直的平面的个数为4.2.【解析】选B .如图,A 为二面角内任意一点,BD ,CD 为AB ,AC 所在平面与α,β的交线,那么∠BDC 为二面角α-l -β的平面角,且∠ABD =∠ACD =90°,所以∠A +∠BDC =180°.【举一反三】假设此题把自二面角“内〞改为“外〞,结果怎样?【解析】相等.当点在二面角外时,依据等角定理,所成的角和二面角的平面角相等.3.【解析】选D .b ,c 不一定相交,故α与β所有关系都有可能.4.【解析】选C .设正方体的棱长为1,AC ,BD 交于O ,连接A 1O ,因为BD ⊥AC ,BD ⊥AA 1,所以BD ⊥平面AA 1O ,所以BD ⊥A 1O ,所以∠A 1OA 为二面角的平面角.tan ∠A 1OA =1A A 2AO＝,所以选C . 5.【解析】选B .①是平面与平面垂直的判定定理,所以①正确;②中,m ,n 不一定是相交直线,不符合两个平面平行的判定定理,所以②不正确;③中,还可能n∥α,所以③不正确;④中,由于n∥m,n⊄α,m⊂α,那么n∥α,同理n∥β,所以④正确.6.【解析】①因为l⊥α,α∥β,m⊂β,所以l⊥β⇒l⊥m.所以①正确.②设α∩β=d,m⊂β,且m∥d时,l⊥m.故命题②错.③因为l∥m,l⊥α,所以m⊥α.又m⊂β,所以α⊥β.故③正确.④由②知不正确.答案：①③7.【解析】如图,过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,因为平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,所以DK⊥平面ABC,因为AF⊂平面ABC,所以DK⊥AF.所以AF⊥平面DKG,所以AF⊥GK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.,1).所以t的取值范围是(12,1)答案：(128.【解析】因为AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF,又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,所以∠C1FC=45°,所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.答案：19.【证明】由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又因为二面角B-AO-CCO⊥BO.又因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.又CO⊂平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.【方法锦囊】利用平面与平面垂直的判定定理的关键点(1)相互转化思想：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,进一步转化为处理线线垂直问题.(2)证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的直线垂直即可.10.【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)过C作CM⊥AB于M,因为PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以PA⊥CM,故CM⊥平面PAB.所以CM⊥PB.过M作MN⊥PB于N,连接NC,所以PB⊥平面CMN,所以CN⊥PB.所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得BC=3,CM =32,BM=32.在Rt△PAB中,由AB=2,PA=1,得PB=5. 因为Rt△BNM∽Rt△BAP,所以3MN215,故MN=3510.又在Rt△CNM中,CN=30 5,故cos∠CNM=64.所以二面角C-PB-A的余弦值为64.11.【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度.(2)作辅助线,利用线面垂直证明线线垂直.(3)作辅助线,找到并证明二面角的平面角.【解析】(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形, 侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.所以V P-ABCD =13S正方形ABCD·PC=13×12×2=23,即四棱锥P-ABCD的体积为23.(2)不管点E在何位置,都有BD⊥AE.证明如下：连接AC,因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.因为PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC.又因为AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC.因为不管点E在何位置,都有AE⊂平面PAC.所以不管点E在何位置,都有BD⊥AE.(3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连接BF.因为AD=AB=1,DE=BE=22112＋＝,AE=AE=3,所以Rt△ADE≌Rt△ABE,从而△ADF≌△ABF,所以BF⊥AE.所以∠DFB为二面角D-AE-B的平面角.【方法锦囊】解决线面垂直问题注意点解答立体几何综合题时,要学会识图、用图与作图.图在解题中起着非常重要的作用,空间平行、垂直关系的证明,都与几何体的结构特征相结合,准确识图,灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键.。

2021-2022高中数学人教版必修2作业：2.3.2平面与平面垂直的判定(系列五)Word版含解析

第二章 2.3[根底稳固]1．空间四边形ABCD中，假设AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.答案：D2．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为()A.32B.22C.2D. 3解析：如下图，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．设AA1＝1，那么AO＝22.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.答案：C3．(2021·日照高一)A是锐二面角αlβ中α内一点，AB垂直β于点B，AB＝3，点A到l的距离为2，那么二面角αlβ的平面角的大小为________．解析：过点A作l的垂线，设垂足为C，连接BC(图略)．由于AB⊥β，那么△ABC为直角三角形，∠ACB就是锐二面角αlβ的平面角．sin ∠ACB＝3，因此∠ACB＝60°，2即二面角αlβ的平面角是60°.答案：60°[能力提升]1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么以下四种说法：①假设a⊥b，a⊥α，那么b∥α；②假设a∥α，β⊥α，那么a∥β；③假设a⊥β，β⊥α，那么a∥α；④假设a⊥b，a⊥α，b⊥β，那么β⊥α.其中正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①中可能b∥α或b⊂α；②中可能有a∥β，a⊂β或a与β相交；③中可能a∥α，或a⊂α；④正确．答案：B2．(2021·吉林一中)在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，那么△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，那么AH⊥⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．应选A.答案：A3．αlβ是直二面角，A∈α，B∈β，A，B∉l，设直线AB与α、β所成的角分别为θ1，θ2，那么()A．θ1＋θ2＝90°B．θ1＋θ2≥90°C．θ1＋θ2≤90° D．θ1＋θ2<90°解析：如图，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，那么∠BAD＝θ1，∠ABC＝θ2，由最小角原理知，θ2＝∠ABC≤∠ABD，而∠ABD＋∠BAD＝90°，∴θ1＋θ2≤90°.答案：C4．如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，那么下面结论中错误的选项是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析：平面PAB与平面ABC交于AB，由于GE，EF未必与棱AB垂直，故不一定是二面角的平面角．答案：D5．m、l是直线，α、β是平面，给出以下命题：(1)假设l垂直于α内两条相交直线，那么l⊥α；(2)假设l平行于α，那么l平行于α内的所有直线；(3)假设m⊂α，l⊂β，且l⊥m，那么α⊥β；(4)假设l⊂β，且l⊥α，那么α⊥β；(5)假设m⊂α，l⊂β，且α∥β，那么l∥m.其中正确的命题的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(1)(3) D．(1)(4)解析：命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确；命题(2)，l∥α，但l不能平行于α内所有直线；命题(3)，l⊥m，不能保证l⊥α，即分别包含l与m的平面α、β可能平行也可能相交而不垂直；命题(4)，为面面垂直的判定定理，所以正确；命题(5)，α∥β，但分别在α、β内的直线l与m可能平行，也可能异面．答案：D6. (2021·江西省南昌三中月考)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________．(填序号)解析：由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；因为M为线段PB的中点，OA ＝OB，所以OM∥PA，又OM不在平面PAC内，所以MO∥平面PAC，②正确；当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确．综上所述，正确的结论是②④.答案：②④7．三棱锥P-ABC的两个侧面△PAB与△PBC都是边长为a的正三角形且AC＝2a.那么平面ABC与平面PAC的位置关系是________．解析：如图，取AC的中点O，连接PO、OB，由题意知PO⊥AC，PO＝22a，PB＝a，OB＝22a，∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC.答案：垂直8.如图，正方形BCDE的边长为a，AB＝3BC，将Rt△ABE沿BE边折起，点A在平面BCDE上的射影为点D，在翻折后的几何体中有如下结论：①AB与DE所成角的正切值是2；②AB∥CD；③平面EAB⊥平面ADE；④直线BA与平面ADE所成角的正弦值为33.其中正确的结论有________．(填序号)解析：由题意可得翻折后的几何体如下图．对于①，因为BC∥DE，所以∠ABC即为AB与DE所成的角，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2a，BC＝a，所以tan ∠ABC＝2，故①正确；②明显错误；对于③，因为AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BE，又因为DE⊥BE，所以BE⊥平面ADE，所以平面EAB⊥平面ADE，故③正确；对于④，易知∠BAE即为直线BA与平面ADE所成的角，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝3a，BE＝a，所以sin ∠BAE＝33，故④正确．答案：①③④9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1，又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F.又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD.又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE.10． (2021·山东节选)如图，在三棱台DEF-ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．假设CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．解：作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连接NH.由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ，又FC∩AC ＝C ，所以HM ⊥平面ACFD.因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角．在△BGC 中，MH ∥BG ，MH ＝12BG ＝22，由△GNM ∽△GCF ，可得MN FC ＝GM GF，从而MN ＝66. 由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM ⊥MN ，因此tan ∠MNH ＝HM MN＝3，所以∠MNH ＝60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.。

【金版新学案】高一数学人教A版必修二练习：2.3.2平面与平面垂直的判定(含答案解析)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每题 5 分，共20 分)1．以下命题中：①两个订交平面构成的图形叫作二面角；②异面直线a， b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a， b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的极点在棱()上的地点没相关系．此中正确的选项是A．①③ B ．②④C．③④D．①②分析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫作二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b 分别垂直于两个面，则a，b 都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不必定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选 B.答案：B2.在四棱锥P－ ABCD 中，已知 PA⊥底面 ABCD ，且底面 ABCD 为矩形，则以下结论中错误的选项是 ()A．平面 PAB⊥平面 PADB．平面 PAB⊥平面 PBCC．平面 PBC⊥平面 PCDD．平面 PCD ⊥平面 PAD分析：由面面垂直的判断定理知：平面PAB⊥平面 PAD ，平面 PAB⊥平面PBC，平面 PCD⊥平面 PAD，A 、B、D 正确．答案： C3.如下图，在三棱锥P－ ABC 中， PA⊥平面 ABC ，∠ BAC＝ 90°，则二面角B－ PA－ C 的大小为 ()A． 90° B ．60°C． 45°D． 30°分析：∵ PA⊥平面 ABC， BA， CA? 平面 ABC ，∴BA⊥ PA， CA⊥ PA，所以，∠ BAC 即为二面角 B－ PA－C 的平面角．又∠ BAC＝ 90°，应选 A.答案：A4．在正方体ABCD － A1B1C1 D1中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角A1－ BD－A 的正切值为 ()32A. 2B. 2C. 2D. 3分析：如右图所示，连结AC 交 BD 于点 O，连结 A1O， O 为 BD 中点，∵A1D ＝ A1 B，∴在△ A1BD 中， A1O⊥BD .又∵在正方形ABCD 中， AC⊥ BD，∴∠ A1OA 为二面角 A1－ BD－ A 的平面角．设 AA ＝ 1，则 AO＝21＝ 2.12 .∴ tan∠ A1OA＝22二、填空题 (每题 5分，共 15 分)5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 ________个．分析：设面外的点为 A，面内的点为B，过点 A 作面α的垂线 l，若点 B 恰为垂足，则全部过 AB 的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点 B 不是垂足，则l 与点B 确立独一平面β知足α⊥ β.答案： 1 或无数6．正四周体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．分析：如下图，设正四周体 ABCD 的棱长为1，极点 A 在底面 BCD上的射影为O，连结 DO 并延伸交 BC 于点 E，连结AE，则 E 为 BC 的中点，故 AE⊥BC ，DE ⊥ BC，∴∠ AEO 为侧面 ABC 与底面 BCD 所成二面角的平面角．在 Rt△AEO 中， AE＝23，113＝3EO1.EO＝ ED ＝·，∴ cos∠ AEO ＝AE ＝33263答案：1 37．如图，平面 ABC⊥平面 BDC ，∠BAC＝∠ BDC ＝ 90°，且 AB＝ AC＝ a，则 AD ＝________.分析：取 BC 中点 M，则 AM⊥BC，由题意得 AM ⊥平面 BDC，∴△ AMD 为直角三角形，AM＝MD ＝22 a.∴ AD＝22 a×2＝ a.答案：a三、解答题(每题10 分，共20 分)8.如下图，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面 ABCD .证明：连结 AC，交 BD 于点 F，连结 EF，∴EF 是△ SAC 的中位数，∴ EF∥ SC.∵SC⊥平面 ABCD ，∴ EF⊥平面 ABCD .又 EF? 平面 EDB .∴平面 EDB ⊥平面 ABCD .9．如图，正方体ABCD － A1B1 C1D 1中，求截面A1BD 与底面 ABCD 所成二面角A1－ BD － A 的正切值大小．分析：取 BD 的中点 O，连结 AO，A1O( 图略 )．在正方体中， AO⊥ BD ，A1B＝A1D，∴ A1O⊥ BD，∴∠ A1OA 为二面角 A1－ BD－ A 的平面角，设AA1＝ a，在 Rt△A1OA 中， tan∠ A1OA＝A1A＝a＝ 2. AO22a即二面角 A1－BD －A 的正切值为 2.10.(2015 蚌·埠一中高二期中 )如图，正方体ABCD －A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， M 为棱 BB 1的中点，则以下结论中错误的选项是()A． D1O∥平面 A1BC1B． MO ⊥平面 A1BC1C．异面直线BC1与 AC 所成的角等于60°D．二面角M－ AC－ B 等于 90°分析：关于选项 A ，连结 B1D1，BO，交 A1C1于 E，则四边形 D 1OBE 为平行四边形，所以D1O∥ BE，由于 D1O?平面 A1BC1，BE? 平面 A1BC1，所以 D 1O∥平面 A1BC1，故正确；关于选项 B，连结 B1D ，由于 O 为底面 ABCD 的中心， M 为棱 BB1的中点，所以MO ∥ B1D ，易证 B1D⊥平面 A1BC 1，所以 MO ⊥平面 A1BC1，故正确；关于选项 C，由于 AC∥A1C1，所以∠ A1C1B 为异面直线 BC1与 AC 所成的角，由于△A1C1B 为等边三角形，所以∠ A1C1B＝60°，故正确；关于选项 D ，由于 BO⊥ AC，MO ⊥ AC，所以∠ MOB 为二面角M－ AC－ B 的平面角，明显不等于90°，故不正确．综上知，选 D.答案：D11．如下图，在四棱锥 P－ ABCD 中，PA⊥底面 ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上一动点．当点M 知足 ________时，平面MBD ⊥平面 PCD.(只需填写一个你以为正确的条件即可 )分析：连结 AC，则 BD⊥ AC.由 PA⊥底面 ABCD ，可知 BD⊥ PA，所以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥PC，所以当 DM⊥PC(或 BM⊥ PC)时，即有 PC⊥平面 MBD .而 PC? 平面 PCD ，所以平面 MBD ⊥平面 PCD .答案：DM ⊥PC(或 BM ⊥ PC 等 )12.(2015杭·州要点中学高二联考)如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且1AD＝AB＝2CD＝2，AB∥CD，M为 CE的中点．(1)证明： BM∥平面 ADEF ；(2)证明：平面BCE⊥平面 BDE .证明：(1)取 DE 中点 N，连结 MN ， AN，由于 M、 N 分别为 EC， ED 的中点，1所以 MN 綊 CD，1由已知 AB∥ CD， AB＝ CD，所以 MN 綊 AB.所以四边形ABMN 为平行四边形，所以BM∥ AN，又由于 AN? 平面 ADEF ，且 BM?平面 ADEF ，所以 BM ∥平面 ADEF .(2)在正方形ADEF 中， ED ⊥ AD ，又由于平面ADEF ⊥平面 ABCD ，且平面 ADEF ∩平面 ABCD ＝ AD，所以 ED ⊥平面 ABCD ，所以 ED ⊥ BC.在直角梯形ABCD 中，取 CD 的中点 P，连结 BP，AB＝ AD ＝ 2， CD＝ 4，可得 BC＝ 2 2，在△ BCD 中， BD＝ BC＝ 22， CD ＝ 4，所以 BC⊥ BD， BD ∩ED＝ D .所以 BC⊥平面 BDE ，又由于 BC? 平面 BCE ，所以平面 BCE ⊥平面 BDE .13．(2015 ·州要点中学高二联考杭 )在图 (1) 等边三角形 ABC 中， AB＝ 2，E 是线段 AB 上的点 (除点 A 外 )，过点 E 作 EF⊥ AC 于点 F，将△ AEF 沿 EF 折起到△ PEF(点 A 与点 P 重合，如图 (2)) ，使得∠ PFC＝ 60°.(1)求证： EF ⊥PC；(2)试问，当点 E 在线段 AB 上挪动时，二面角 P－ EB－ C 的大小能否为定值？假如，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明原因．分析：(1)证明：由于EF⊥ PF， EF⊥ FC ，又由 PF ∩FC ＝ F，所以 EF ⊥平面 PFC .又由于 PC? 平面 PFC ，所以 EF ⊥PC.(2)由 (1)知， EF ⊥平面 PFC ，所以平面 BCFE ⊥平面 PFC ，作 PH ⊥FC ，则 PH⊥平面 BCFE ，作HG⊥ BE，连结 PG，则 BE⊥ PG，所以∠ PGH 是这个二面角的平面角，设 AF＝ x，则 0＜ x≤1，由于∠ PFC ＝ 60°，所以 FH ＝x， PH＝333 22 x，易求 GH ＝4x，所以 tan∠PGH ＝PHGH＝23，所以二面角P－ EB－ C 的大小是定值 .。

高中数学必修二人教A版练习：2.3.2平面与平面垂直的判定含解析.doc

2.3.2 平面与平面垂直的判定【选题明细表】1.下列说法中,正确的是( B )(A)垂直于同一直线的两条直线互相平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面互相平行(D)平行于同一平面的两条直线互相平行解析:A.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.B.正确.C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.只有B正确.2.(2018·江西三市联考)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( C )(A)若a∥α,b∥α,则a∥b (B)若a∥α,a∥β,则α∥β(C)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(D)若a∥α,α⊥β,则a⊥β解析:选项A.若a∥α,b∥α,则a∥b,或a,b异面或a,b相交,A错;选项B.若a∥α,a∥β,则α∥β,或α∩β=b,B错;选项C.若a∥b,a ⊥α,则b⊥α,C正确;选项D.若a∥α,α⊥β,则a⊂β或a∥β或a⊥β,D错.故选C.3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P BC A的大小为( C )(A)60°(B)30°(C)45°(D)15°解析:易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角P BC A的平面角,在Rt △PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.故选C.4.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有( D )(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对解析:由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC ⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对.选D.5.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体A BCD,则在几何体A BCD中,下列结论正确的是( D )(A)平面ABD⊥平面ABC(B)平面ADC⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDC(D)平面ADC⊥平面ABC解析:由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.选D.6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B AD C的大小为( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B AD C的平面角,其大小为60°.故选C.7.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC= .解析:因为在原△ABC中,AD⊥BC,所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B AD C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在Rt△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=,所以BC==1.答案:18.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(2)解:设棱锥B DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.9.(2018·兰州诊断)在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为( B )(A) (B) (C)(D)解析:如图,设D为BC的中点,连接AD,A1D,A1C,A1B,过A作A1D的垂线,垂足为E,则BC⊥A1D,BC⊥AD,所以BC⊥平面A1AD,则BC⊥AE.又AE⊥A1D,所以AE⊥平面A1BC,由条件可得AD=AB=,A1D==2,由面积相等得AE·A1D=AA1·AD,即AE==,故选B.10.正方体ABCD A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BD A的正切值等于.解析:设AC与BD相交于O点,因为ABCD A1B1C1D1为正方体,所以AO⊥BD,又AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AO∩AA1=A,所以BD⊥平面A1AO,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA为二面角A1BD A的平面角,设正方体的棱长为a,在直角△A1AO中,AA1=a,AO=a,所以tan∠A1OA==.答案:11.四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A BE P的大小.(1)证明:如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解:由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A BE P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA==,∠PBA=60°,故二面角A BE P的大小是60°.12.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:B1C1⊥平面ABB1A1;(3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE,并说明理由.(1)证明:连接AB1,与A1B相交于M,则M为A1B的中点,连接MD.又D为AC的中点,所以B1C∥MD.又B1C⊄平面A1BD,MD⊂平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)证明:因为AB=B1B,所以四边形ABB1A1为正方形.所以A1B⊥AB1.又因为AC1⊥平面A1BD,所以AC1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C1,所以A1B⊥B1C1.又在棱柱ABC A1B1C1中BB1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A.(3)解:当点E为C1C的中点时,平面A1BD⊥平面BDE, 因为D,E分别为AC,C1C的中点,所以DE∥AC1.因为AC1⊥平面A1BD,所以DE⊥平面A1BD.又DE⊂平面BDE,所以平面A1BD⊥平面BDE.。

人教新课标版数学高一- 必修2作业 2.3.2平面与平面垂直的判定

2.3.2 平面与平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面． 2．二面角的平面角如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．3．平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β．一、选择题 1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①② 2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β 3．设有直线M 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( ) ①若M ∥n ，n ⊥β，M ⊂α，则α⊥β； ②若M ⊥n ，α∩β＝M ，n ⊂α，则α⊥β； ③若M ⊥α，n ⊥β，M ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A ．13B ．12C ．223D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面PAEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面PAE ⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，M 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①M ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④M ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D ⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2．3．2平面与平面垂直的判定答案知识梳理1．两个半平面这条直线这两个半平面2．垂足∠AOB3．(1)直二面角(2)垂线a⊂α作业设计1．B[①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B．] 2．C3．B[②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．] 4．C[当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B[如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝3，2∴∠BOD＝60°．]6．C[如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．]7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，∴面PDC⊥面PDA．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PA＝3，则∠PBA＝60°．AB故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF⊄平面ABC．BC⊂平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD ⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。

高一数学人教A版必修2课后训练：2.3.2 平面与平面垂直的判定 Word版含解析

课后训练1．对于直线m，n和平面α，β，α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊥αC．m∥n，n⊥α，m∥βD．m∥n，m⊥α，n⊥β2．如图所示，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC4．三个平面α，β，γ两两垂直，它们交于一点O，空间一点P到三个平面的距离分别PO等于()A．2 B．3 C．4 D．55．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，P A⊥平面ABCD，且P A，则二面角A－BD－P的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A，B的任意一点，则平面P AC与平面PBC的关系是________．7．已知二面角α－l－β的大小是锐角，点P在面α内，且点P到棱l的距离是到面β的距离的2倍，则此二面角的大小为__________．8．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为__________．9．如下图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD．(1)求证：平面P AD⊥平面P AB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．10．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．参考答案1答案：C2答案：C3答案：D4答案：D5答案：A6答案：垂直7答案：30°89答案：(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PB⊥AD.∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PBA.又∵AD⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面P AB.(2)解：由(1)的证明知：∠P AB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠P AB ＝60°，∴PB∴V P－ABCD＝32133a⋅=.10答案：略。

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2.3.2平面与平面垂直的判定
一、基础过关
1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个
C．一个或无数个D．可能不存在
2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面经过另一个平面的一条垂线
C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()
①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①②B．①③C．②③D．①②③
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.
8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底
面ABCD，P A＝ 3.
(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；
(2)求二面角A —BE —P 的大小．二、能力提升
9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝3
2
，则二面角B －AC －D 的余弦值为
( )
A.13
B.12
C.223
D.
32
10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是
( ) A ．BC ∥面PDF
B ．DF ⊥面P AE
C ．面PDF ⊥面ABC
D ．面P A
E ⊥面ABC
11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，
A 1D ⊥
B 1
C .
求证：(1)EF ∥平面ABC ；
(2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .
12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在
棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .
(1)求证：BC ⊥平面P AC .
(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展
13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.
(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．
答案
1．C 2.D 3.B 4.B 5．45° 6．5
7．证明因为MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD . 又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC . 因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC .
又PD ∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面PDC .
在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点，所以GF ∥BC ，所以GF ⊥平面PDC . 又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .
8．(1)证明如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知， △BCD 是等边三角形．
因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD . 又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB . 又因为P A ⊥平面ABCD ， BE ⊂平面ABCD ，
所以P A ⊥BE .而P A ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面P AB . 又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面P AB .
(2)解由(1)知，BE ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，
所以PB ⊥BE .又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．
在Rt △P AB 中，tan ∠PBA ＝P A
AB ＝3，则∠PBA ＝60°.
故二面角A —BE —P 的大小是60°. 9．B 10．C
11．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知EF ∥BC .
因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC . 所以EF ∥平面ABC .
(2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1.又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D . 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .
12．(1)证明 ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .
又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .
(2)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC . 又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ， ∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .
∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角．
∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.
∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，
故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明连接BD ，
∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .
∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.
∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .
∴BD ＝1
2AC ＝2＝AD .
∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .
(2)解取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .
又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．
在△PED 中，DE ＝12BC ＝6
2，PD ＝3，∠PDE ＝90°，
∴tan ∠PED ＝PD
DE ＝ 2.
∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.。