2021年浅析高中数学分析和解决问题能力的形成及培养策略

轧辊序号 k
1
2
3
疵点间距 L k （单位 :mm）
3125
2500
2000
4 1600
评述：（Ⅰ）题是一个常见的等比数列模型问题，即平均变化率类型，要解决该问题关键是
理解题中“若每对轧辊的减薄率不超过
r0 ”的含义；（Ⅱ）题若通过合理联想，带钢从第
辊出口处两疵点间的距离和冷轧机出口处两疵点间的距离的关系，由于在此过程中，两疵点间的
题能力的组成及培养谈几点浅见． 一、分析和解决问题能力的形成
1．审题能力
审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如 何分析和解决问题的前提．审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发 现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力．要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特 点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的．
上不是单调函数． 上是单调函数．
在上述的解答过程中可以看出，本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分 类讨论的数学思想方法的运算、推理能力．
3． 数学建模能力
近几年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题，这给学生的分析和解决问题的能力 提出了挑战．而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心．
４．重视解题的回顾
在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与 研究，是非常必要的一个重要环节．这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决 问题能力最有意义的阶段．
解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了提高学生分析和解决问题 的能力，培养学生的创造精神，而这一教学目的恰恰主要通过回顾解题的教学来实现．所以，在 数学教学中要十分重视解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的 主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本 思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器．
所以，原不等式等到价于
x 2 1 (1 ax) 2 ， x 0.
即
x 0, ( a2 1)x 2a 0.
所以，当 0 a 1时，所给不等式的解集为
x0
x
2a ; 1 a2
当 a 1时，所给不等式的解集为 x x 0 .
（Ⅱ）在区间 0,
上任取 x1 , x2 , 使得 x1 x 2.
f ( x1 ) f (x2 )
数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提．由于高考考查
的都不是原始的实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数
学模型．如 2007 年的“运输成本问题”为函数与均值不等式； 2006 年的“污水池问题”为函数、
立几与均值不等式； 2005 年的“减薄率问题”是数列、不等式与方程；
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
L k (1 r ) 4 宽度 ．
因宽度相等，且无损耗，由体积相等得
1600 (1 r ) k Lk (1 r )4 (r 20 %）
即
L k 1600 0.8k 4 ．
－３－
由此得
L3 2000(mm), L2 2500(mm), L1 3125(mm) ．
填表如下
钢板体积相等，故是一等体积几何模型问题，可列式：
1600 (1 r ) k 宽度 Lk (1 r ) 4 宽度 ．
在该题的解答中，学生若没有一定的数学建模能力，正确解决此题实属不易．因此，建模能
力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分．
二、培养和提高分析和解决问题能力的策略
k 对轧
1 ．重视通性通法教学 ,引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法
轧辊序号 k
1
2
3
4
疵点间距 L k （单位 :mm）
1600
解：厚度为 的带钢经过减薄率均为 r0 的 n 对轧辊后厚度为 (1 r0 )n ．
为使输出带钢的厚度不超过
，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
(1) n
．
由于 (1 r0) n 0,
0 ，对上式两端取对数，得
例 1 已知 sin sin
2 ,cos cos
2 3 , 求 tg tg 的值． 3
分析：怎样利用已知的二个等式？初看好象找不出条件和结论的联系．只好从未知
tg tg 入
手，当然，首先想到的是把 tg 、 tg 分别求出，然后求出它们的乘积，这是个办法，但是不好
求；于是可考虑将
tg tg
sin
写成
－５－
n lg(1 r0 ) lg ，
由于 lg(1 r0 ) 0 , 所以
lg n
lg ．
lg(1 r0 )
因此 , 至少需要安装不小于 lg
lg 的整数对轧辊．
lg(1 r0 )
（Ⅱ）第 k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为 1600 (1 r ) k 宽度 （其中 r 20 %），
r0 ．问冷轧
（Ⅱ）已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊，所有轧辊周长为 1600mm．若第 k 对轧
辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为
L k ．为了
便于检修，请计算 L1、 L 2 、 L3 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度为变，且不考虑损耗）．
例 3 （2007 全国高考题）下图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一 端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．
（Ⅰ）输入带钢的厚度为
，输出带钢的厚度为
，若每对轧辊的减薄率不超过
机至少需要安装多少对轧辊？
（ 一对轧辊减薄率
输入该对的带钢厚度度 从该对输出的带钢厚度 ） 输入该对的带钢厚度
x12 1 x22 1 a( x1 x2 )
x12 x12 1
x
2 2
x22 1
a(x1
x2 )
(x1
x2 )(
x1 x12 1
x2 x22
1
a ).
( ⅰ ) 当 a 1时，
∵
x1 x2
1,
2
x1 1
2
x2 1
∴
x1 x2
a 0,
2
2
x1 1 x2 1
又 x1 x2 0,
∴ f ( x1 ) f ( x2) 0,
例 2 （ 2006 年全国高考题）设函数 f ( x) x 2 1 ax 其中 a 0.
（Ⅰ）解不等式 f (x) 1；
（Ⅱ）求 a 的取值范围，使函数 f (x) 在 0, 解：（Ⅰ）不等式 f ( x) 1 即
上是单调函数．
x2 1 1 ax, 由此得 1 1 ax, 即 ax 0, 其中常数 a 0.
学生由于对“垄”和“减薄率不超过 r0 ”不理解而不知所措；又如 2008 年文科第 16 题和第 21
题、 2005 年春季高考的第 11 题，只有在读懂所给的图形的前提下，才能正确作出解答．因此，在 高中数学教学中适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面是提高学生分析和解决问题 能力的必要的补充．
2004 年的“西红柿问题”
是分段式的一次函数与二次函数等等．在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时要对
应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合
理运用数学思想和方法分析和解决实际问题．
3 ．适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面
要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题．近年来，随 着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这 一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查．由于开放题的特 征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，而新背景题的背景新，这样给学生在题意的理解和 解题方法的选择上制造了不少的麻烦 , 导致失分率较高 . 如 2006 年理科的第 16 题和第 22 题 , 很多
高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能
力的考查，强调了综合性．这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题
型更新，更具有开放性．纵观近几年的高考，学生在这一方面失分的普遍存在，如
2007 年的理科
20 题、 2008 年的理科 19 题、 2006 年的理科 13、 20 题、 2007 年的文科 21 题，这就要求我们教师 在平时教学中注重分析和解决问题能力的培养，以减少在这一方面的失分．笔者就分析和解决问
数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位．它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的
过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．数学方法
是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．只有对数学
思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、
别人的知识技巧才会变成自已的能力．
每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分
成：（ 1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比
q 的分类和直线方程中对斜
率 k 的分类等；（ 2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的
讨论等．又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等．因此， 在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个 性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效．从而培养和提高学生合理、正确地 应用数学思想与方法分析和解决问题的能力．