《线性代数》课件5-5

一、二次型及其标准形的概念()n n n n nnn n x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,13113211222222211121222 ,,,−−+++++++=⋯⋯⋯称为二次型称为二次型..的二次齐次函数个变量含有定义n x x x n ,,, 121⋯; ,称为是复数时当f a ij 复二次型. ,称为是实数时当f a ij 实二次型只含有平方项的二次型2222211nn y k y k y k f +++=⋯称为二次型的标准形（或法式）．例如()312322213214542,,x x x x x x x x f −++=都为二次型；()23222132144,,x x x x x x f ++=为二次型的标准形.()323121321,,x x x x x x x x x f ++=1．用和号表示()n n n n n nn n x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,13113211222222211121222 ,,,−−+++++++=⋯⋯⋯对二次型,a a ij ji =取,2x x a x x a x x a i j ji j i ij j i ij +=则于是n n x x a x x a x a f 1121122111+++=⋯.1,x x a j i n j i ij ∑==n n x x a x a x x a 2222221221++++⋯⋯+22211n nn n n n n x a x x a x x a ++++⋯二、二次型的表示方法2．用矩阵表示n n x x a x x a x a f 1121122111+++=⋯n n x x a x a x x a 2222221221++++⋯⋯+22211nnn n n n n x a x x a x x a ++++⋯)()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=⋯⋯⋯⋯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⋯⋮⋯⋯⋯22112222121121211121),,,(., 为对称矩阵其中则二次型可记作A Ax x f T =,,21212222111211⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n nn n n n n x x x x a a a a a a a a a A ⋮⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯记()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x ⋮⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121222211121121,,,三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．;的矩阵叫做二次型对称矩阵f A ;的二次型叫做对称矩阵A f .的秩的秩叫做二次型对称矩阵f A解,a ,a ,a 321332211−===,a a 22112==,a a 03113==.a a 33223−==.330322021⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=∴A .6432 3221232221的矩阵写出二次型x x x x x x x f −+−+=例１⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22112222121212121111,,设四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．),(c C ij =记记作则上述可逆线性变换可 Cyx =Ax x f T =证明于是即有为对称矩阵,,T A A A =()T T T AC C B =有将其代入, Ax x f T =().y AC C y T T =()()Cy A Cy T =()().,,,, 1A R B R B A AC C B C T ==且也为对称矩阵则矩阵为对称如果令任给可逆矩阵定理C A C T T =,B AC C T ==,AC C B T =∵()()(),A R AC R B R ≤≤∴(), 11−−=BC C A T ∵又()()().1B R BC R A R ≤≤∴−()().B R A R =∴即为对称矩阵.B说明2222211nn TT y k y k y k ACy C y +++=⋯就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型, 2 Cy x f . =,),,,(212121⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=y y y k k k y y y n n n ⋮⋱⋯.成为对角矩阵也就是要使AC C T;,,1 AC C B A f Cy x . T==变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换有型把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩,.,,,1Λ=Λ=−AP P AP P P A T()化为标准形使正交变换总有任给二次型定理f Py x a a x x a f ji ij nj i j i ij ,, 21,==∑==,2222211nn y y y f λλλ+++=⋯().,,,21的特征值的矩阵是其中ij n a A f =λλλ⋯用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1A Ax x f T求出将二次型表成矩阵形式= ;,,,.221n A λλλ⋯的所有特征值求出 ;,,,.321n ξξξ⋯征向量求出对应于特征值的特 ();,,,,,,,,,,,,.4212121n n n C ηηηηηηξξξ⋯⋯⋯=记得单位化正交化将特征向量 .,.52211nn y y f f Cy x λλ++==⋯的标准形则得作正交变换解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=144241422217A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−=−λλλλ144241422217E A ()()9182−−=λλ.,844141417 323121232221化成标准形通过正交变换将二次型Py x x x x x x x x x x f =−−−++=例2从而得特征值.18,9321===λλλ()得基础解系代入将,091=−=x E A λλ2．求特征向量()得基础解系代入将,01832=−==x E A λλλ,)0,1,2(2−=T ξ.)1,0,2(3−=Tξ3．将特征向量正交化,11ξα= 取.)1,1,21(1T=ξ,22ξα=[][],,,2223233αααξαξα−=得正交向量组.)1,54,52(3−−=Tα,)0,1,2(2−=Tα,)1,1,21(1T =α(),3,2,1,==i i ii ααη令得,051522⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=η,3232311⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=η.4554544523⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=η.45503245451324525231⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=P 所以4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为,45503245451324525231321321⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛y y y x x x .18189232221y y y f ++=且有解例3.22 2222 ,434232413121化为标准形把二次型求一个正交变换x x x x x x x x x x x x f Py x ++−−+==二次型的矩阵为,0111101111011110⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=A 它的特征多项式为.111111111111λλλλλ−−−−−−−−=−E A 有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,1111111111111)1(λλλλλ−−−−−−+−=−E A 有四行分别减去第一行三把二,,,1000212022101111)1(+−−−−−−−−+−=−λλλλλE A 1221)1(2−−−−−−+−=λλλ.)1()3()32()1(322−+=−++−=λλλλλ.1,34321===−=λλλλ的特征值为于是A ,0)3(,31=+−=x E A 解方程时当λ,11111⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=ξ得基础解系.1111211⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=p 单位化即得,0)(,1432=−===x E A 解方程时当λλλ,1111,1100,0011232⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=ξξξ 可得正交的基础解系单位化即得⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=21212121,212100,002121432p p p 于是正交变换为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛y y y y x x x x 432143212121021212102121021212102121.324232221y y y y f +++−= 且有五、小结 1.　实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法． 2.　实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．化为标准型，并指出表示何种二次()1,,321=x x x f 曲面.()323121232221321662355,,x x x x x x x x x x x x f −+−++= 求一正交变换，将二次型思考题思考题解答,333351315 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=A 二次型的矩阵为解),9)(4()det(−−−=−λλλλE A 可求得,9,4,0321===λλλ的特征值为于是A .111,011,211 321⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=p p p 对应特征向量为将其单位化得,626161 111⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==p p q ,02121222⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==p p q .313131 333⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==p p q故正交变换为,31062312161312161 321321⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛y y y x x x .94 2322y y f +=化二次型为.1),,(321表示椭圆柱面可知=x x x f。