db_chapter2之关系代数

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基本运算(续)

投影是列运算，它从表中删除某些列，但它可能导 致删除运算结果的重复行。图2.6显示了一个投影 运算A,C(R)的结果，其中重复行已经删除
A a d c a
B b a b d
C c f d c
A
C c f d
A,C(R)
a d c
(a) 关系R
图2.6 投影操作
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(b) A,C(R)
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基本运算(续)

3. 并运算

并和差都是传统的集合运算，只要求参与运算的两个关 系具有相同的元，对应分量取自相同的域
结果关系的属性名可以任意给定

使用更名运算，可以对关系的属性重新命名
不失一般性，假定参与并和差运算的两个关系具有相同 的属性

设R和S是具有相同属性的关系。关系R和S的并记作 RS，它是属于R，或属于S，或属于二者的所有元组 的集合


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附加的关系运算(续)

2. 除运算 除可以看作笛卡儿积的逆运算 设R是n元关系，S是m元关系，其中n > m，并 且S ，进一步，设S的所有属性都在R中。不 失一般性，设R的属性为A1, …, Anm, Anm+1, …, An，S的属性为Anm+1, …, An
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基本运算(续)

选择是行运算，它从表中选择满足给定条件的行 图2.5图示了一个选择操作B=’b’ (R)
A a d c a B b a b d C c f d c
图2.5 选择操作
B=”b”(R)
A a c
B b b
C c d
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A 1 4 7
B 2 5 8
C 3 6 9
D 3 6
E 1 2
A 1 1 4
B 2 2 5
C 3 3 6
D 3 6 6
E 1 2 2
(a) 关系R
(b) 关系S
(c) R
B<D S
图2.8 -连接的例子
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附加的关系运算(续)
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笛卡尔积 – 例子
关系 r, s:
A

B
1 2
C

D
10 10 20
E
a a b b
r
10
s
r s:
A

B
1 1 1 1 2 2 2 2
C

D
10 10 20 10 10 10 20 10
S .Ck
( R S ))
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附加的关系运算(续)

注意：

自然连接是唯一依赖于关系属性名的运算。尽管我们定义 其它运算也使用属性名，但是这样做主要是为了更加直观 易懂，它们都可以使用列序号 当R和S不含共同属性时，自然连接就退化为笛卡儿积
E
a a b b a a b b
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基本运算(续)

6. 更名运算

前面介绍的基本运算有一个共同的特点：

运算对象是关系，运算的结果也是关系

这些运算结果可以作为下一步运算的运算对象
可以使用这些关系运算组成关系代数表达式

关系代数表达式的结果是一个关系，但是它不像数 据库中的基本关系，没有名字可供引用
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基本运算(续)

5. （广义）笛卡儿积运算

设R和S分别为n元和m元关系。R和S的（广义）
笛卡儿积记作RS，它是一个(n+m)-元关系，其 每个元组的前n个分量是关系R的一个元组，后m 个分量是关系S的一个元组
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附加的关系运算(续)

例2.7 设R和S是如下(a)和(b)所示的关系
A a a b e e a
B b b c d d b
C c e e c e d
D d f f d f e
C c e
D d f
A a e
B b d
(a) 关系R
(b) 关系S
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(c) RS
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2.4 关系代数
2.4 关系代数

2.4.1 基本运算 2.4.2 附加的关系运算


2.4.3 用关系代数表达式表示查询
*2.4.4 扩展的关系运算

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概述

关系代数是过程化查询语言，包括一系列严格定义的运算

这些运算以一个或两个关系为运算对象，并产生一个新的关
设R和S的共同属性为C1, …, Ck，R的其它属性为 A1, …, Ai，S的其它属性为B1, …, Bj，则

R
1 i 1
S=
j 1 k 1 1 k
A ,...,A , B ,...B , R.C ,...,R.C ( R.C S .C ...R.C
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基本运算(续)

选择F(R)是R中使得公式F为真的元组t的集合 元组t使得公式F为真意指当我们将F中所有的 属性名用t的对应属性值替换时，公式F为真 用F(t)表示元组t使得公式F为真，则 F(R) = {t | tR F(t)}

注意：选择的结果形成一个新的关系，它与R具有 相同的属性

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附加的关系运算(续)

3. 连接运算 设A是关系R的属性，B是关系S的属性，是算术比较运 算符（、、、、或） 关系R和S在属性A和B上的-连接记作R R.AS.B S（如果 A仅为R的属性，B仅为S的属性，R.AS.B可以简写为 AB）， 是满足如下条件的元组t的集合：存在uR， vS使得u[A]和v[B]满足算术比较关系，并且t = 。 容易明白， R R.AS.B S = R.AS.B (RS) 其中R.AS.B是连接条件。当为等号（=）时，我们称 它为等值连接

关系R和S的除运算记作RS，其结果是A1, …, Anm上的关系
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附加的关系运算(续)

关系RS是满足如下条件的(nm)-元组(a1, …, anm)的集合：对于S中的每个元组(anm+1, …, an)，元组(a1, …, anm, anm+1, …, an)在R中 即， (a1, …, anm)是RS的元组，当且仅当 (a1, …, anm) 与S中的每个元组(anm+1, …, an) 的串接都在R中
系作为运算结果

关系代数的一些运算是沿用集合论关系的传统运算

如并、差、交和笛卡儿积

另一些运算是为了满足数据库查询需要引进的

如选择、投影、连接等，
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基本运算

基本的关系运算有五种

选择、投影、并、差和笛卡儿积

其中并、差和笛卡儿积是传统的集合运算 选择和投影是为了满足数据库查询需要而引 进的运算

存在R中的元组u，对于1 i k，u在属性Ai 上的值等于ai。设u是R的元组， A1, …, Ak表 示u在属性A1, …, Ak上的值形成的k元组，则 A1, …, Ak(R) = {t | (u) (uR t=u[A1, …, Ak]) }
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RS是A,B(R) = {(a, b), (b, c), (e, d)}的子集

(a, b)在RS中，因为它与S的两个元组的串接 (a, b, c, d)和(a, b, e, f)都在R中
根据同样的理由，(e, d)也在RS中 (b, c)不在RS中，因为它与S的第一个元组的 串接(b, c, c, d)不在R中
1 nm
1
n m
用相应的表达式替换T和V，我们得到： RS = A ,...,A (R) A ,...,A (( A ,...,A (R) S ) R)
1 nm 1 n m 1 nm

该式表明RS是 A1 ,...,Anm (R) 的子集
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-连接有多种推广形式 一般地，我们可以用一个任意逻辑公式F作为连接 条件，并有 R
F
S = F (RS)
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附加的关系运算(续)

4. 自然连接运算

关系R和S的自然连接记作R S，它可以看作在 R和S的所有共同属性上做等值连接，然后再投 影去掉重复属性
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基本运算(续)

2. 投影运算

投影也是一元运算，它基于这样的想法：

给定一个关系R，去掉其中一些属性，重新排 列剩下的属性，形成一个新关系

设R是一个n元关系，A1, …, Ak（k n）都是R 的属性