角平分线的性质应用
第3节 角平分线的性质及应用
第三节角平分线的性质及应用一、课标导航二、核心纲要1．角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．2．角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上．如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．注：用来证明一条线是一个角的平分线．3．角平分线的画法如下右图所示，已知：∠AO B．作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．4.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．5.与角平分线有关的辅助线模型（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．（3）角平分线+垂线，全等必出现．如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．三、全能突破基础演练1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：94．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．能力提升8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．A．①③B．②③C．①②④D．①②③④10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．A．1 B．2 C．3D．411．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．412．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，（1）求证：∠2=∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD=28°，求∠ADE的度数．19．如图12-3-20所示，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB-P C．20．如图12-3-21所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．中考链接21．（2011·浙江衢州）如图12-3-22所示，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则PQ的最小值为（）．A．1 B．2 C．3 D．422．(2010·青海西宁)八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图12-3-23所示）设计了如下方案：（I）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（II）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（I）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥O B．此方案是否可行？请说明理由．巅峰突破23．如图12-3-24所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的平分线与∠ABC 的外角平分线交于点E，则∠AEB=（）．A．50° B．45° C．40°D．35°24．如图12-3-25所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．。
角平分线用法
角平分线用法
角平分线是指从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角。
角平分线具有以下性质和用法：
1. 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
2. 角平分线将角分成两个相等的角。
3. 如果一个角的内角平分线与外角平分线相交，那么它们所形成的角等于该角的一半。
角平分线的主要用法包括：
1. 求解角度或边长：利用角平分线的性质，可以通过已知角和角平分线上的点到角两边的距离，求解出未知的角度或边长。
2. 证明几何关系：通过角平分线的性质，可以证明两个角相等、两条线段相等或平行等几何关系。
3. 构建等腰三角形：如果从角平分线上的一点向角的两边作垂线，可以构建出两个等腰三角形。
4. 求解三角形问题：在三角形中，如果已知一个角的平分线和该角的对边，可以利用角平分线的性质求解出其他边长或角度。
角平分线在几何证明和计算中有着广泛的应用，通过灵活运用角平分线的性质和用法，可以解决许多几何问题。
角平分线性质定理之应用
角平分线性质定理之应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明． 一、由角平分线的性质联想两线段相等例1 如图1，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF证明 连结DB ，DC ．∵D 在∠A 的平分线上，∴DE=DF ． ∵D 在BC 的垂直平分线上，∴BD=DC ． 又∠BED=∠CFD=90°，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ． 二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且AD=DC 求证：∠A+∠C=180°．证明 延长BA 至F ，使BF=BC ．由BD 平分∠ABC 在△FBD 与△CBD 中，BF=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD ∴△FBD ≌△CBD ，∴∠C=∠F ，DF=CD=AD ，∠F=DAF ， ∴∠A+∠C=∠BAD+∠DAF=180°．三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形例3 已知：如图3，∠ABC 的平分线BF 与∠ACB 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，求证：BD+CE=DE ．证明：∵BF 是∠ABC 的平分线 ∴∠DBF=∠CBF 又∵DE ∥BC ∴∠DFB=∠CBF ∴∠DBF=∠DFB∴BD=FD ，同理CE=FE ． ∴BD+CE=DF+FE=DE ． 四、实际生活中的应用例4 如图4，有三条公路1l 、2l 、3l 两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？解析：分别作△ABC 两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC 相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择．图4。
角平分线在初中几何中的应用
角平分线在初中几何中有许多应用。
以下是其中一些常见的应用：
角的等分：角平分线可以将一个角分成两个相等的角。
通过使用角平分线，我们可以将一个角度等分为两个相等的部分，从而帮助解决一些角度相等的证明问题。
角的垂直平分线：当角的两条边分别垂直于角平分线时，这条角平分线也是该角的垂直平分线。
在这种情况下，角平分线将角分成两个相等的直角。
角的相似性证明：在证明两个角相似的过程中，角平分线可以用来说明两个角度相等，从而推断出它们的相似性。
三角形的角平分线定理：角平分线定理指出，如果一条线段从一个三角形的一个顶点出发，将对立边的角等分，那么这条线段将分割对立边成比例的两个线段。
这个定理在解决一些三角形相似性和比例问题中非常有用。
角平分线的交点：如果在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，那么这个点被称为三角形的内心。
内心是一个重要的几何中心，它具有许多特殊的性质和应用，例如与三角形的外心和重心等相关。
这些是角平分线在初中几何中的一些常见应用。
角平分线的性质和定理对于解决角度、相似性、比例和三角形相关问题非常有帮助。
角平分线基本性质及简单应用
角平分线基本性质及简单应用角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.（“3-1-4”定理）逆定理：到角两边距离相等的点在角的角平分线上.三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 方法总结：（1）有角平分线时，常国角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.（利用角平分线翻折）一、基本性质及简单应用例1. 如图，MP ⊥NP ，MQ 为ΔNMP 的角平分线，MT=MP ，连接TQ ，则下列结论中，不正确的是（ ）A. TQ=PQB. ∠MQT=∠MQPC.∠QTN=900D. ∠NQT=∠MQT例2．已知：如图，BD 是ABC ∠的平分线，BC AB =，P 在BD 上，AD PM ⊥，CD PN ⊥.求证：PN PM =.例3．如图，已知：在ABC ∆中，外角CBD ∠和BCE ∠的平分线BF ，CF 相交于点F . 求证：点F 在DAE ∠的平分线上.例4. D 是ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线的交点，DE ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F.求证：.CF BE EF -=例5.如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于点D,BD,CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC.（1）求证：OB=OC;(2 )若将条件“AO 平分∠BAC ”和结论“OB=OC ”互换，命题还能成立吗？请说明理由.M N P Q T F A AE DB C A BCE D O CE F DB A例6. 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90A ，BD 是ABC ∠的平分线，BC DE ⊥于E ，cm BC 10=，求DEC ∆的周长.针对练习：1．如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高.求证：AF AE =.2．如图，已知：在ABC ∆中AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F .求证：EF AD ⊥.3．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 是A ∠的平分线.求证：AB CD AC =+.4．如图，已知：CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E .求证：D 在BAC ∠的平分线上.第 3 页 共 5 页二、拓展应用例1. EG ，FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的平分线，交点是G 点，BP ，CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的平分线，交点是P 点，点F,C 在AN 上，点B,E 在AM 上.(1) 如果∠G ＝470，那么∠P 的度数大小你能知道吗？ (2) 试求出来.点A,P,G 的位置关系如何？证明你的结论.例2. 如图，BD 平分∠ABC ，AD=DC ，BC>AB,问∠A 与∠C 有怎样的关系？变式题：若上题中条件该为“BD 平分∠ABC ，BC>AB, ∠A ＋∠C ＝1800.”求证：AD=DC.例3.如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，AC=AB+BD.求证：∠B=2∠C 变式题: 如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=2∠C. 求证： AC=AB+AD例4.如图，BD ＝DC,ED ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，作EM ⊥AB,EN ⊥AC,求证：BM ＝CN.例5. 如图，∠B=∠C=900,M 点是BC 中点，DM 平分∠ADC.求证：AM 平分∠DAB. D C AB B M ED NC A A BD C A B D C变式题. 如图，AB ∥CD, ∠ABC 、∠BCD 的平分线恰好交于AD 上一点E ，试说明BC ＝AB+CD.针对练习：1.如图，D 是等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC.求证：∠P ＝0302、已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝060，△ABC 的角平分线AD 、CE 线相交于点O求证：AE+CD ＝AC3.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于F ，过C 作BE 的垂线交BE 于E.求证：BF=2CE巩固性练习1、下列说法正确的有几个（ ）（1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；（3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；AB DPCABCE FD C A B M B A C DE DO A BCE第 5 页 共 5 页ED CBA （4） 点E 、F 分别在∠AOB 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以P 点在∠AOB 的平分线上； （5） 若OC 是∠AOB 的平分线，过OC 上的点P 作OC 的垂线，交OB 于D ，交OA 于E ，则线段PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离A ．2B 3C 4D 5 2、在△ABC 中，∠C ＝090，BC ＝16cm ，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，且CD ：DB ＝3：5，则D 到AB 的距离等于＿＿＿＿3、已知：如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，236cm S ABC =∆AB ＝18cm,BC ＝12cm, 求DE 的长4．已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别平分ABC ∠、ACB ∠，且交于点O ，求证：点O 在A ∠的平分线上.5、.如图在 △ABC 中,∠BAC ＝100°,∠ACB ＝20°,CE 是∠ACB 的平分线,D 是BC 上一点,若∠DAC ＝20°,求∠CED 的度数.6.在四边形ABCD 中,BC ﹥BA,AD ＝CD,BD 平分∠ABC,∠C ＝72°,求∠BAD 的度数C B ADE CA B D O B F CEA。
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段。
在九年级的几何学中，学生需要学习角平分线的性质和应用。
以下是对九年级角平分线知识点的总结。
一、角平分线的定义和性质角平分线的定义：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段被称为角的平分线。
角平分线的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的小角。
2. 角平分线与所分角的两边相交于一个点，并且与所分角的两边垂直相交。
3. 一个角的平分线只有一个。
二、角平分线的应用1. 找出角平分线：当需要找出一个角的平分线时，可以使用直尺和量角器进行作图。
首先，绘制出所给角；然后，在顶点处使用量角器测量出等分的角度，然后沿着顶点指示的方向绘制角平分线。
2. 角平分线的性质应用于证明：角平分线的性质可以在证明中起到重要的作用。
例如，可以利用角平分线的性质证明两个角相等。
3. 解题中的应用：角平分线的性质也可以在解题中应用。
例如，当需要计算一个角的度数时，可以利用角平分线将角分成两个相等的小角，从而更方便计算角的度数。
三、角平分线相关定理1. 角平分线定理：如果一条线段将一个角分成两个相等的小角，那么这条线段就是这个角的平分线。
2. 角平分线的角度关系：当一条角平分线与另外一个角的两边相交时，所形成的角与原角之间存在着特定的关系。
具体而言，两个原角与所形成的两个小角互为补角，并且两个小角之间互为互补角。
四、综合练习1. 练习题一：在下图中，角ABC被角平分线AD分成两个小角，若∠BAC = 40°，求∠BAD和∠DAC的度数。
2. 练习题二：如下图所示，∠ABC的角平分线AD交边BC于点D，若∠A = 120°，求∠BAD的度数。
五、总结本文总结了九年级角平分线的相关知识点，包括角平分线的定义和性质、角平分线的应用、角平分线相关定理以及综合练习题。
通过掌握这些知识，可以更好地理解和应用角平分线相关的概念，在几何学中取得更好的成绩。
角平分线的定义及性质应用
角平分线的定义及性质应用角平分线是指从一个角的顶点到其两边上任意一点的线段，将这个角分成两个大小相等的角。
角平分线具有一些重要的性质和应用。
首先，角平分线的定义是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角。
这意味着角平分线与角的两边所夹的角度大小是相等的。
这是角平分线最基本的性质之一。
其次，角平分线具有对称性。
如果一个角的平分线通过其顶点并交于角的另一边上的一个点，那么这个交点将把角分成两个大小相等的角。
同样地，这个交点也可以看作是这个角的另一个平分线通过其顶点并交于另一边上的一个点。
这个交点将角分成两部分，而这两部分的大小是相等的。
此外，角平分线还具有一些其他的重要性质和应用。
以下是其中的一些：1. 角平分线相交于角的内部：角平分线必定在角的内部相交。
这是因为在平面几何中，两点之间的直线是最短的路径，所以角平分线将角分成两部分时必须通过角的内部。
2. 角平分线垂直于角的边：如果一个角的平分线与角的一条边相交，那么它与这条边所夹的角是垂直的。
也就是说，平分线和边的交点处的两个相邻角度是垂直的。
这是一个很有用的性质，可以用来构造垂直角、垂直平分线和垂直双准线等几何图形。
3. 角平分线的长度相等：如果一个角的两条平分线相交，那么它们的长度是相等的。
换句话说，一个角的两条平分线与该角两条边的交点之间的距离是相等的。
这可以通过解析几何或使用三角函数来证明。
4. 角平分线被分成一定比例的线段：如果两个角的平分线相交于一个点，并且它们分别与这两个角的另外一条边相交于不同的点，那么这个交点将把角平分线分成一定比例的线段。
这个性质可以用于求解角平分线上的长度比例，从而解决几何问题。
5. 角平分线和三角形内心：在一个三角形中，三条角的平分线交于一点，这个点称为三角形的内心。
内心是三角形内接圆的圆心，角平分线与三角形内接圆的切点均相交于角的顶点。
内心的存在和性质可以用角平分线来证明。
综上所述，角平分线具有分割角度、对称性、相交于角的内部、垂直于角的边、长度相等、被分成一定比例的线段等性质。
角平分线的性质的应用课件
在三角形中，如果一条射线将一个角分为两个相等的部分，并且它与相对边相 交，则该交点到这个角的两边的距离相等，那么这条射线就是这个角的角平分 线。
02
角平分线在几何图形中的应用三角形全等的判定
角平分线将相对边分成两段相等的线 段。
利用角平分线性质，可以证明三角形 全等。
圆的内角平分线性质
圆的内角平分线将相对边分成两段相等的线段，且与相对边的中点 连线。
圆的面积的计算
利用内角平分线性质，可以计算圆的面积。
03
角平分线在实际生活中的应用
Chapter
角平分线上的点
角平分线上的任意一点到这个角 的两边的距离相等。
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线将相对边分成两段相等的线段。 角平分线与相对边的交点到这个角的顶点的距离是这个 角的两边的距离的2倍。
角平分线的定理
角平分线定理
在三角形中，一个角的平分线与相对边相交，则该交点到这个角的两边的距离 相等。
三角形内角平分线性质
角平分线将相对边上的中点与角的顶 点连接，且中线长度为内角平分线长 度的一半。
在多边形中的应用
多边形内角平分线性质
多边形的内角平分线将相对边分成两 段相等的线段，且与相对边的中点连 线。
多边形面积的计算
利用内角平分线性质，可以计算多边 形的面积。
在圆中的应用
圆周角定理
圆周角的对边与圆心连线，且长度等于圆心角所对的弧长。
角平分线的性质的应用课件
目录
• 角平分线的性质回顾 • 角平分线在几何图形中的应用 • 角平分线在实际生活中的应用 • 角平分线的性质在解题中的应用 • 角平分线性质的进一步探究
角平分线性质
角平分线性质角平分线是几何中一个重要的概念，它具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我将详细介绍角平分线的性质和相关定理，以及它们在几何学中的应用。
首先，我们来看一下角平分线的定义。
在平面几何中，如果一个角的两条相邻边上有一条线段，将该角分成两个相等的角，那么这条线段就称为角平分线。
角平分线一般以直线或标记符号表示，如“l”或“AB”。
角平分线有许多重要的性质。
下面是一些常见的性质和定理：性质1：如果一条线段同时是一个角的平分线和边的中垂线（垂直平分线），那么这个角是直角。
性质2：如果一条线段同时是一个角的平分线和边的角平分线，那么这个角是等腰三角形的顶角。
性质3：如果一条线段是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个面积相等的小角。
性质4：如果一条线段是一个角的平分线，那么它与这个角的对边垂直。
这些性质和定理不仅仅是理论上的知识，它们在解决实际问题时也非常有用。
例如，在三角形中，如果知道一个角的平分线和对边的长度，可以利用这些性质来求解其他未知量。
另外，角平分线也在测量和划分角度时使用，如航海、地图绘制等领域。
除了上述的性质和定理，我们还有一些重要的角平分线定理：定理1：如果一条线段同时是两个相邻角的平分线，那么这两个角是相等的。
定理2：如果一条线段同时是一个角的平分线和另一个相邻角的角平分线，那么它将这两个角划分成四个相等的小角。
定理3：如果一条线段是一个角的平分线，那么它将这个角划分成两个小角，且这两个小角的正弦、余弦、正切值相等。
利用这些定理，我们可以轻松地解决各种与角平分线相关的问题。
例如，根据定理1，我们可以判断出一个角平分线是否将两个相邻角划分成相等的两个小角；根据定理2，我们可以求解四个相等角的值。
除了平面几何中的角平分线外，还有球面几何中的角平分线。
球面上的角平分线是指连接球心和两个相邻点的线段。
球面角平分线的性质和平面角平分线略有不同，因为球面上的角是由两条弧组成的，而不是直线。
三角形的角平分线应用利用角平分线解决实际问题
三角形的角平分线应用利用角平分线解决实际问题三角形的角平分线应用——利用角平分线解决实际问题三角形是几何学中的基本图形之一，而角平分线是三角形研究中的一个重要概念和应用技巧。
利用角平分线可以解决许多实际问题，包括测量、建筑、导航、工程设计等多个领域。
本文将介绍角平分线的定义与性质，并重点讨论其在实际问题中的应用。
一、角平分线的定义与性质在三角形ABC中，如果线段AD是∠BAC的平分线，则称线段AD为∠BAC的角平分线。
角平分线的定义是基于角的平分概念，即将一个角分为两个相等的角。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线将一个角分为两个相等的角，即∠BAD = ∠DAC。
2. 角平分线平分对应的弧，即弧BD = CD。
3. 角平分线与三角形的另外两边相交于不同的点，即BD不等于CD。
二、角平分线在实际问题中的应用1. 土地测量在土地测量中，利用角平分线可以测量无法直接测量的距离。
例如，对于一个无法直接测量的山坡高度AB，我们可以先找到平面上一个位置C，使得∠ABC=∠ACB=45°，然后测量AC的长度，再应用三角函数关系计算出AB的长度。
2. 建筑设计在建筑设计中，角平分线可以用于确定建筑物各个部分的位置和角度。
例如，在设计一个房间的角度时，可以利用角平分线来确保每个角都是相等的，使得房间看起来更加对称美观。
3. 导航在导航中，利用角平分线可以确定方向和位置。
例如，当我们只知道自己位于两个已知地点A和B之间的某一点C时，可以通过找到∠ACB的角平分线来确定自己的准确位置。
4. 工程设计在工程设计中，角平分线可以应用于测量和定位。
例如，在道路设计中，可以利用∠ACB的角平分线来确保道路的曲率和转弯度合理，从而保证交通的安全和流畅。
5. 几何问题解决角平分线也可以应用于解决一些几何问题，例如确定三角形的中位线、垂心、外心等特殊点的位置。
综上所述，三角形的角平分线在实际问题中具有广泛的应用。
通过研究角平分线的性质和应用技巧，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的实际问题，提升我们的数学思维能力和几何应用能力。
角平分线的性质与应用
角平分线的性质与应用角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的线段。
在几何学中，研究角平分线的性质与应用有助于解决各种角相关的问题。
本文将探讨角平分线的性质以及它们在几何学中的应用。
一、角平分线的性质1. 定理1：角平分线将角分成两个相等的角。
证明：设角AOB为已知角，AC是角AOB的平分线。
假设角CAC'和角C'AB是不等的，即角CAC'≠角C'AB。
因为角CAC'和角C'AB之和等于角AOB，即角CAC'+角C'AB=角AOB。
又因为角CAC'和角C'AB是不等的，所以它们的和必然小于角AOB，产生矛盾。
因此，角CAC'和角C'AB必然相等。
2. 定理2：如果一个角的两条平分线相交于一个点，则该点在角的内部，并且到角的各边距离相等。
证明：设角AOB为已知角，AC和BD是角AOB的两条平分线，交于点E。
我们分别证明点E在角AOB的内部以及到角的各边距离相等：a) 点E在角AOB的内部的证明：假设点E在角AOB的外部，我们取点F在射线EB上，使得EF = EC。
在△AFC中，角AFC =角AFC’ +角C’FA =角 ABD +角 BDA =90°。
另一方面，在△BFD中，角BFD=角BFD’+角DFB=角ABD’+角DBA=90°。
因此，角AFC和角BFD之和等于180°，即角AFCB为一直线，这与假设矛盾。
因此，点E在角AOB的内部。
b) 到角的各边距离相等的证明：由定理1可知，∠ACB =∠DCB。
又因为∠AEC和∠BEC分别是角ACB的两个相等的角，所以∠AEC=∠BEC。
由于∠AEB是锐角，所以点E到射线AB上的点的距离相等。
二、角平分线的应用角平分线在几何学中有广泛的应用，下面介绍几种常见的应用情况：1. 求角平分线的长度：已知一个角的两条边长以及夹角的大小，可以利用三角函数求出角平分线的长度。
角平分线的性质定理及应用
角平分线的性质定理及应用角平分线的性质定理可以分为下面几个方面进行详细阐述：1. 定理一：角平分线的定义及性质角平分线是指将一个角分成两个相等的部分的直线。
具体来说，设角AOB的内部有一条直线OC（O是角AOB的顶点），且∠AOC=∠COB，则称OC为角AOB 的角平分线。
特性：角平分线的两个性质如下：（1）OC是角AOB内角的平分线，即∠AOC=∠COB；（2）OC上的点到角AOB的两边的距离相等，即OD=OE。
2. 定理二：角平分线存在唯一性角平分线存在唯一性是指在一个角中，只存在一条角平分线。
证明如下：假设在角AOB中有两条角平分线OC1 与OC2。
不妨设OC1 与AB交于E1，OC2与AB交于E2。
由于OC1 是角AOB的角平分线，所以∠AOC1=∠C1OB。
同理，由于OC2 是角AOB的角平分线，所以∠AOC2=∠C2OB。
因为OC1 与OC2 都在角AOB内部，所以C1、C2两个点是可以重合的。
不管C1与C2 是重合还是不重合，都有∠C1OC2=0。
又因为OC1 与OC2 是交于同一条直线上的两个点，所以也有∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。
将∠C1OE2、∠E2OC2、∠C2OE1、∠E1OC1在图上绘出，我们可以发现角AOB的度数，使用的角平分线有两种情况：（1）∠C1OE2和∠E2OC2同时等于180，此时C1 与C2 必须是同一个点，所以OC1和OC2 是同一条线。
（2）∠C1OE2=∠C2OE1，∠E2OC2=∠E1OC1=0 ，此时C1 与C2 可以是同一个点，也可以是两个不同的点。
但无论如何选择，∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=0+0+0+0=0，不满足∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。
综上所述，角平分线存在唯一性。
3. 定理三：角平分线与等分点的关系设在角AOB的内部有一点M，并且OM是角AOB的角平分线。
角的平分线性质及应用
角的平分线性质及应用山东 李其明我们知道，把一个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线．关于角的平分线，它有两个重要性质（1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．利用角的平分线的性质定理可以证明题目中某两条线段相等；利用性质定理的逆定理可以证明某两个角相等，下面举例说明角的平分线的应用．例1．三角形内到三边的距离相等的点是（ ）的交点．（A ）三条中线（B ）三条高（C ）三条角平分线（D ）以上均不对．解：由角平分线性质定理的逆定理可知：应选（C ）．例2．如图1，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ，试问：P 到AB 、BC 、CA 的距离相等吗？解：相等．理由如下：过P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ，∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，∴PD=PE ，同理PE=PF ，∴PD=PE=PF ，即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等． 例3．如图2，△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC ，BD=4，BC=7， 则D 到AB 的距离是 ．分析：∵∠C=900，∴DC ⊥CA ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC=BC －BD=7－4=3，即点D 到AB 的距离是3． 例4．如图3，△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于O ，下面结论中正确的是（ ）．（A ）∠1＞∠2（B ）∠1=∠2（C ）∠1＜∠2（D ）不能确定．分析：由例2知点O 到△ABC 的三边距离相等，因此点在∠BAC的平分线上，即AO 平分∠BAC ，故选（B ）．例5．如图4，在△ABC 中，∠A=900，BD 是角平分线，若AD=m ，BC=n ，求△BDC 的面积．分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，∵BD 是角平分线，AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，∴DE=AD=m ，∴mn DE BC S ABC 2121=⨯⨯=∆． 例6．如图4，在△ABC 中，∠A=900，AC=AB ，BD 平分∠BAC ，DE ⊥BC ，BC=8，求△BED 的周长．分析：△BED 的周长为DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=AB+EC=BE+EC=BC=8． 例7．如图5，△ABC 中，∠A=900，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ， 求∠B 的度数． B D C 图2 B C A B C D E 图４解：∵DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，且DE=DC ，∠1=∠2，在△AED 和△BED 中，AE=BE ， ∠AED=∠BED ，ED=ED ，∴△AED 和△BED ，∠1=∠B ，∴∠B=∠1=∠2， 又∵在Rt △ABC 中，∠B+∠BAC=900，∴∠B=300．1 A B C DE 2图５。
角平分线的性质及应用
利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求 解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个 角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明 各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等 。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段 。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何 命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交， 那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证 明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问 题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解 一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个 点之间的距离。利用角平分线定理，我们 可以将问题转化为求解两个相等的线段之 间的距离。例如，如果一个角的平分线将 相对边分为两段相等的线段，那么这两个 相等的线段之间的距离就是所求的距离。 因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。 例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解 决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。
角平分线的性质用途
角平分线的性质用途角平分线是指将一个角平分为两个等角的直线。
角平分线的性质：1. 角平分线将原角分为两个等角，因此从几何的角度来看，角平分线具有等分角的性质。
这个性质在解决各类几何问题时非常有用，例如确定两条线段之间的夹角、构造正多边形等。
2. 角平分线与角的两边相交于角的顶点，这意味着角平分线与角的两边相对称。
这个性质可以用来证明一些关于角的性质，例如垂直角的对角也是垂直的。
3. 在平面几何中，如果两条角平分线相交于角的顶点，那么这个点就是角的内心。
角的内心是一个非常重要的点，它有许多独特的性质。
例如，角的内心到角的三边距离相等，角的内心到角平分线的距离最小等等。
这些性质在解决几何问题时非常有用。
4. 角平分线还可以用来证明两条直线平行的性质。
如果一条直线与两条平行直线相交，且被这两条平行直线所平分的角相等，那么这条直线与平行直线平行。
5. 角平分线还可以用来判断一个点是否在一个角的内部。
如果一个点在角的内部，那么从这个点到角的两边的距离不相等，但到角的平分线的距离相等。
角平分线的应用：1. 在解决几何问题时，角平分线是非常常用的工具。
利用角平分线的等分角的性质，我们可以构造出一些特殊图形，例如正三角形、正五边形等。
2. 角平分线的对称性质可以用于证明一些几何性质。
例如，通过证明角的平分线与角的两边相对称，可以证明垂直角的对角也是垂直的。
3. 角平分线的内心性质可以帮助我们计算出角的内接圆的半径和圆心坐标。
这在解决关于角的圆的问题时非常有用。
4. 角平分线还可以用于证明两条直线平行的性质。
通过证明一条直线与两条平行直线所平分的角相等，可以得出这条直线与平行直线平行的结论。
综上所述，角平分线具有等分角、对称性、内心性等性质。
在解决几何问题时，角平分线可以帮助我们构造特殊图形、证明几何性质、计算圆的相关参数等。
因此，角平分线是几何学中一种非常有用的工具。
角平分线的原理及应用
角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。
角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。
2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。
2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线的基本性质之一。
2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。
这是角平分线的另一个重要性质。
具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。
2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。
也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。
3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。
这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。
3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。
如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。
3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。
这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。
总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。
它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。
角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。
角平分线在实际生活中的应用
角平分线在实际生活中的应用
1. 地图划分：将地图划分为若干各等份，利用直线作为边界，在将地图分割成若干闭合图形时，正方形和其他四边形的角都有可能受45
度角平分线的约束。
2. 设计：45度交叉线被用于覆盖某一特定区域的设计，比如说，可以
用45度角平分线画出完美棱角的裁剪线，如各种标志标示和性能数据
等图表缝制，以及广泛应用于装饰设计中的装饰样式，比如皮革图案、图案绣制品、流行图案蛋糕、卡通元素等等。
3. 建筑结构：45度角平分线也被用来建造建筑，例如悬索桥、有拱形
结构的钢管桁架、斜坡结构的房屋等，都需要做出45度的细节，比如
在地面上涂上45度的角平分线。
角平分线问题的处理方法
角平分线问题的处理方法角平分线是数学中的一种基本概念，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线。
在现实生活中，角平分线有着广泛的应用，如几何学、物理学的许多问题中。
本文将介绍角平分线问题的处理方法。
一、角平分线的性质角平分线的性质主要有以下几点：1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；2.角平分线分成的两个角相等或互补；3.角平分线的长度等于这个角的内角的平分线的夹角的一半；4.在同一个三角形中，若有两个角相等，那么这两个角的平分线所对的边也相等。
这些性质可以帮助我们解决许多角平分线问题。
二、处理方法对于角平分线问题，我们可以采取以下几种处理方法：1.利用角平分线的性质：根据题目中的条件，利用角平分线的性质可以快速地解决一些问题。
如利用角平分线的性质可以证明一些等腰三角形或互补的三角形，从而得到一些结论。
2.利用基本图形：在解决角平分线问题时，可以利用一些基本图形，如等腰三角形、直角三角形、三角形内切圆半径等，通过这些基本图形的性质和特点来解决一些复杂的问题。
3.利用三角函数：对于一些比较精确的测量问题，可以利用三角函数来求解。
通过测量角的顶点和角的两边之间的距离，利用三角函数可以求出角的平分线的位置和长度。
4.利用代数方法：对于一些比较复杂的问题，可以利用代数方法将其转化为代数方程或不等式来求解。
通过建立适当的代数模型，可以解决一些看似无法解决的问题。
三、实例分析下面是一个角平分线问题的实例分析：问题：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上的一点，且BE=CE。
求证：AB-BE=AE。
分析：本题涉及到角平分线和等腰三角形的问题，可以利用角平分线的性质和等腰三角形的性质来证明。
首先利用角平分线的性质可以得到EB=EC，然后根据等腰三角形的性质可得AB=AC=2AE+EB=2AE+EC=2AE+BE。
因此，可以证明AB-BE=AE。
总结：角平分线问题是一个比较复杂的问题，需要掌握相关的性质和处理方法。
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角的平分线的性质
基础巩固
一、填空题
1．如图1，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。
3题图
D C B A
图1
图2
2．如图2所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．
3．如图3，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 。
图3
图4
4．如图4，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。
5．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= 。
二、选择题
6．如图5，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ，则)(n m +与)(c b +的大小关系是（ ）
A 、n m +＞c b +
B 、n m +＜c b +
C 、n m +＝c b +
D 、无法确定
选择第4题图 P
D C
B A
图5
图6
7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，则D 到AB 边的距离为( )
A ．18
B ．16
C ．14
D ．12
8．如图6，AE ⊥BC 于E ，CA 为∠BAE 的角平分线，AD=AE ，连结CD ，则下列结论不正确的是( )
A ．CD=CE
B ．∠A
C D=∠ACE C ．∠CDA =90°
D ．∠BCD=∠ACD
9．在△ABC 中，∠B=∠ACB ，CD 是∠ACB 的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A 的度数为( )
A ．40°
B ．36°
C ．70°
D ．60°
10．在以下结论中，不正确的是( )
A ．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上
B ．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等
C ．一个角只有一条角平分线
D ．角的平分线有时是直线，有时是线段
三、解答题
11．如图7所示，AE 是∠BAC 的角平分线，EB ⊥AB 于B ，EC ⊥AC 于C ，D 是AE 上一点，求证：BD=CD 。
图7
图8A B C
D
P O
图9
12．如图8，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。
求证：点D在∠BAC的角平分线上。
13．如图9，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD与BC交于点P。
求证：AP=BP。
综合提高
一、填空题
14．如图10，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。
如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。
图10
15．已知△DE F≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4 cm，则△DE F的边中必有一条边等于______。
16．在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，则D到AB的距离为_____________。
17．∠B=∠C=900，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=350，如图11，则∠EAB的度数是。
18．△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的角平分线的交点为O，连结AO，若S△AOB=6cm2，则S△AOB= 。
二、选择题
19．如图12所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6 cm,则△DEB的周长为( )。
A.9 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.不能确定
C A B
C D
E
图12
20．下列命题中正确的是（ ）
A ．全等三角形的高相等
B ．全等三角形的中线相等
C ．全等三角形的角平分线相等
D ．全等三角形对应角的平分线相等
21．如图13， ∠AOB 和一条定长线段A ，在∠AOB 内找一点P ，使P 到OA 、OB 的距离都等于A ，做法如下：（1）作OB 的垂线NH ，使NH =A ，H 为垂足．（2）过N 作NM ∥OB ．（3）作∠AOB 的平分线OP ，与NM 交于P ．（4）点P 即为所求．其中（3）的依据是（ ）
A ．平行线之间的距离处处相等
B ．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C ．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D ．到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上
22．如图14，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是（ ）
A ．DE=DF
B ．AE=AF
C ．△ADE ≌△ADF
D ．AD=DE+DF
23．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ）
A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．都不对
三、解答题
24．如图15，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D, F 为垂足, DE ⊥AB 于E ，且AB>AC ，求证：BE －AC=AE ．
25．如图16所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD ．
图16
拓展探究
一、解答题
26．如图17，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB>AC 求证：BE－AC=AE．
图17图18
27．如图18，已知AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C，求证: DE=EC．
28．如图19，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD•相等吗？请说明理由．。