专题06 函数的奇偶性与周期性(教学案)(解析版)

1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．三、必会结论1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)3．对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．高频考点一 判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]； (2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.【解析】(1)由于f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f (x )是非奇非偶函数．(2)定义域是R ，关于原点对称， 且f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1) ＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1) ＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． 【变式探究】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg （1－x 2）－x .又∵f (－x )＝lg[1－（－x ）2]x ＝－lg （1－x 2）x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数． 【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数【解析】(1)对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D. (2)依题意得对任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此，f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－[f (x )·g (x )]，f (x )g (x )是奇函数，A 错；|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )，|f (x )|g (x )是偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－[f (x )|g (x )|]，f (x )|g (x )|是奇函数，C 正确；|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，|f (x )g (x )|是偶函数，D 错． 【答案】(1)D (2)C高频考点二 函数奇偶性的应用 命题角度1 利用奇偶性求函数值例1、已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( ) A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 【答案】A【解析】解法一：令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，易知g (x )是R 上的奇函数，从而g (－2)＝－g (2)，又f (x )＝g (x )－8，∴f (－2)＝g (－2)－8＝10，∴g (－2)＝18， ∴g (2)＝－g (－2)＝－18. ∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26. 解法二：由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(－2)5＋a (－2)3＋b (－2)－8， ①f (2)＝25＋a ·23＋b ·2－8， ②①＋②得f (2)＋f (－2)＝－16.又f (－2)＝10， ∴f (2)＝－26.命题角度2 利用奇偶性求参数值例2、若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 【答案】1【解析】解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1.解法二：由f (x )为偶函数有ln (x ＋a ＋x 2)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．命题角度3 利用奇偶性求解析式例3、f (x )为R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式． 【解析】当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以当x <0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0. 综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎝⎛－2x 2＋3x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x <0.命题角度4 利用奇偶性的图象特征解不等式例4、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】C【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.【方法技巧】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性． 高频考点三 函数的周期性例3、(1)定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)等于________．(2)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f(x)＝x ，则f(105.5)＝______.【答案】(1)337 (2)2.5【解析】(1)∵f(x ＋6)＝f(x)，∴T ＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2； 当－1≤x<3时，f(x)＝x ，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016) ＝1×20166＝336.又f(2017)＝f(1)＝1.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＝337. (2)由已知，可得f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2] ＝－1f x ＋2＝－1－1f x ＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ， ②若f(x ＋a)＝1fx，则T ＝2a ， ③若f(x ＋a)＝－1fx，则T ＝2a (a>0)． 【变式探究】 设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx ．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝__________________________________________.【答案】12【解析】∵f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sinx －sinx ＝f(x)，∴f(x)的周期T ＝2π，又∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0， 即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 高频考点四 函数性质的综合应用例4、(1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．【解析】(1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. 【答案】(1)C (2)1【方法规律】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式或函数值．【变式探究】(1)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________． 【解析】(1)易知f (－x )＝2－x＋12－x －a ＝2x＋11－a 2x ，由f (－x )＝－f (x )，得2x ＋11－a 2x ＝－2x＋12x－a， 即1－a 2x ＝－2x ＋a ，化简得a (1＋2x )＝1＋2x，所以a ＝1， f (x )＝2x＋12x －1，由f (x )>3，得0<x <1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 则f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.【答案】(1)C (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0高频考点五 函数的周期性及其应用例5、 若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________．【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2， ∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2. 【答案】－2【方法规律】(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期． 【变式探究】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______．【解析】f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 【答案】2.5高频考点六 函数奇偶性与周期性的综合问题例6、(1)[2017·山东高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.【答案】6【解析】∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.(2)奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2，则f (2018)＋f (2019)＋f (2020)的值为________．【答案】－1【解析】函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2018)＋f (2019)＋f (2020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.【方法技巧】奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【变式训探究】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝_______.【答案】2.5【解析】由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝ －1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，故函数f (x )的周期为4. ∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5. 高频考点七 利用函数的奇偶性解抽象不等式例7、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．【解析】∵f (x )是偶函数且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)， ∴原不等式可化为f (2|a －1|)>f (2)．故有2|a －1|<2，即|a －1|<12，解得12<a <32.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32【方法技巧】解与函数有关的不等式问题，常利用奇函数在对称单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称单调区间上有相反的单调性，利用题目已知条件，转化为不等式问题来求解，而解有关抽象函数不等式问题，也是充分利用函数的奇偶性和单调性求解.【变式探究】若f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 3－8，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |－2<x <0或x >2} B ．{x |0<x <2或x >4} C ．{x |x <0或2<x <4} D ．{x |x <－2或x >2} 【答案】B【解析】当x ＝2时，有f (2)＝0，又因为f (x )为奇函数，所以f (－2)＝0，作出f (x )的大致图象，由图象可知，当－2<x －2<0或x －2>2，即0<x <2或x >4时，有f (x －2)>0.故选B.1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)，若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 【答案】B【解析】当－1<x ≤0时，0<x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时，0<x －1≤1，则f (x )＝2f (x－1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时，0<x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，……由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…12（x ＋1）x ，－1<x ≤0，x （x －1），0<x ≤1，2（x －1）（x －2），1<x ≤2，22（x －2）（x －3），2<x ≤3，…由此作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知当2<x ≤3时，令22(x －2)·(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73，故选B.2. (2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50B.0C.2D.50【答案】C【解析】方法一：∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin πx2，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.3. (2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C ．2D ．50【答案】C【解析】∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.1．[2017·北京高考]已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A【解析】∵函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数， ∴函数y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数． 又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数．故选A.2、[2017·山东高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.【答案】6【解析】∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.3．[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.【答案】12【解析】解法一：令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.解法二：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.1.【2016年高考四川】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.2.【2016高考山东】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( ) A ．y x =B ．sin y x =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】函数y x =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】记()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+，那么()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+【答案】A【解析】由选项可知，,B C 项均不是偶函数，故排除,B C ，,A D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=2ln()x x a x +为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+=22ln()ln0a x x a+-==，解得a=1.（2014·福建卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x>0，cos x，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)【答案】D【解析】由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．（2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】C【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．【答案】(－1，3)【解析】根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.（2013·广东卷）定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2 sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】函数y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．（2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋4x)． 又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x 2－4x>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－（x 2＋4x ）>x. 解得x>5或－5<x<0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．（2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】∵f ()x 为奇函数，∴f ()－1＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎫12＋11＝－2. （2013·四川卷） 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．【答案】(－7，3)【解析】当x ＋2≥0时，f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4(x ＋2)＝x 2－4，由f(x ＋2)＜5，得x 2－4＜5，即x 2＜9，解得－3＜x ＜3，又x ＋2≥0，故－2≤x ＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，于是－7＜x ＜－2也满足不等式．。