中考数学复习知识点专题训练31---实数(培优版)

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《易错题》初中七年级数学下册第六单元《实数》习题(培优练)

一、选择题1．观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32 768，86＝262 144，…，则81＋82＋83＋84＋…＋82 017的和的个位数字是（）A ．2B ．4C ．6D ．8D 解析：D【分析】根据规律可得底数为8的幂的个位数字依次为8，4，2，6，以4个为周期，个位数字相加为0． 2017除以4余数是1，故得到和的个位数字是8．【详解】解：2017÷4＝504…1，循环了504次，还有1个个位数字为8，所以81+82+83+84+…+82017的和的个位数字是504×0+8＝8．故选：D ．【点睛】本题主要考查了数字的变化类，尾数的特征，得到底数为8的幂的个位数字的循环规律是解决本题的突破点．2 ）A ．3B ．﹣3C ．±3D ．6A解析：A【分析】9，再利用算术平方根的定义求出答案.【详解】 ∵9，∴3，故选：A .【点睛】. 3．下列说法中，错误的有（）①符号相反的数与为相反数；②当0a ≠时，0a >；③如果a b >，那么22a b >；④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；⑤数轴上的点不都表示有理数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个D解析：D【分析】根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可．【详解】解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3，因此①不正确； a≠0，即a ＞0或a ＜0，也就是a 是正数或负数，因此|a|＞0，所以②正确；例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正确；例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5＜1，因此④不正确；数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；综上所述，错误的结论有：①③④，故选：D ．【点睛】本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提．4．若3a =，则a 在（） A ．3-和2-之间 B ．2-和1-之间 C ．1-和0之间 D ．0和1之间C 解析：C【分析】案．【详解】解：∵4＜5＜9，∴23．∴-1＜0．故选：C ．【点睛】5．0.31，3π，27-12- 1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4C 解析：C【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，据此逐一判断即可得．【详解】解∵3=2=，∴在所列的83π，1.212 212 221…（每两个1之间依次多一个2）这3个，【点睛】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的三种类型是解题的关键．6 ）A ．8B ．8-C ．D ．± D 解析：D【分析】8=，再根据平方根的定义，即可解答．【详解】8=，8的平方根是±故选：D ．【点睛】8=．7．在1.414，213，5π，2中，无理数的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：1.414是有限小数，属于有理数；213是分数，属于有理数； 5π是无理数；2是无理数，∴无理数的个数是3个，故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．8．下列各数中是无理数的是（）A ．227B ．1.2012001C ．2πD 解析：C无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227分数，是有理数，选项不符合题意；B、1.2012001是有理数，选项不符合题意；C、2π是无理数，选项符合题意；D、81=9，9是整数是有理数，，选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．在 -1.414，2，16，π，2+3，3.212212221…，227，3.14这些数中，无理数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．【详解】164=，223.1428577=小数点后的142857是无限循环的，则在这些数中，无理数有2,,23,3.212212221π+⋯，共4个，故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记无理数的定义是解题关键．10．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+p=0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的一个是（）A．p B．q C．m D．n B解析：B【分析】根据n+p=0可以得到n和p互为相反数，原点在线段PN的中点处，从而可以得到绝对值最大的数．【详解】解：∵n+p=0，∴n 和p 互为相反数，∴原点在线段PN 的中点处，∴绝对值最大的一个是Q 点对应的q ．故选B ．【点睛】本题考查了实数与数轴及绝对值．解题的关键是明确数轴的特点．二、填空题11．计算：()214322--⨯-（【分析】利用实数的混合运算法则计算得出答案【详解】解：原式=4+9=4+9=4+93=4+27=31【点睛】本题主要考查了实数的运算正确化简各数是解题的关键解析：【分析】利用实数的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：原式=4+9⨯12-(2)2⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦=4+9⨯[]2+1=4+9⨯3=4+27=31．【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．12．求出x 的值：()23227x +=x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x+2的值然后解关于x 的一元一次方程即可【详解】解：∵3（x+2）2＝27∴（x+2）2＝9∴x+2＝±3解得：x ＝1或x ＝﹣5【点睛】本题主要考查的是解析：x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值，然后解关于x 的一元一次方程即可．【详解】解：∵3（x +2）2＝27，∴（x +2）2＝9，∴x +2＝±3，解得：x ＝1或x ＝﹣5．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．13．计算：（12（2）22(2)8x -=（1）1；（2）【分析】（1）实数的混合运算利用算术平方根和立方根的概念逐个进行化简计算；（2）直接用平方根的概念求解【详解】解：（1）===1（2）∴【点睛】本题考查实数的混合运算及利用平方根解方解析：（1）1；（2）124,0x x ==【分析】（1）实数的混合运算，利用算术平方根和立方根的概念逐个进行化简计算；（2）直接用平方根的概念求解．【详解】解：（12=4(2)23----=4+223--=1（2）22(2)8x -=2(2)4x -=22x -=±22x =±∴124,0x x ==．【点睛】本题考查实数的混合运算及利用平方根解方程，掌握相关概念和性质正确计算是解题关键．14．计算：（1（2）0(0)|2|π--（3）解方程：4x 2﹣9＝0．（1）-8；（2）1﹣；（3）x ＝±【分析】（1）利用算数平方根立方根及二次根式性质计算即可；（2）利用零指数幂立方根及绝对值的代数意义进行化简即可；（3）方程变形后利用开方运算即可求解【详解】解：解析：（1）-8；（2）13）x ＝±32．【分析】（1）利用算数平方根、立方根及二次根式性质计算即可；（2）利用零指数幂、立方根及绝对值的代数意义进行化简即可；（3）方程变形后，利用开方运算即可求解．【详解】解：（1）原式＝()935358÷--=--=-；（2）原式＝1221-+-=（3）方程变形得：294x =，开方得：32x =±．【点睛】本题考察实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．15．(22-平方根然后进行加减运算即可【详解】解：===【点睛】此题考查了实数的运算熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键解析：8-【分析】先化简绝对值、立方根、算术平方根，然后进行加减运算即可．【详解】(22=2243--⨯+（）=412-=8-【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键． 16．一个正方体的木块的体积是3343cm ，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是________．5cm3【分析】先根据正方体的体积求出正方体的边长要使它锯成8块同样大小的小正方体木块只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可得到小正方体的棱长即可求出表面积【详解】解：∵一个正方体的木块的体积是∴解析：5cm 3．【分析】先根据正方体的体积求出正方体的边长，要使它锯成8块同样大小的小正方体木块，只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可，得到小正方体的棱长，即可求出表面积．【详解】解：∵一个正方体的木块的体积是3343cm ，∴（cm 3），要将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的棱长为7÷2=3.5（cm 3）， ∴每个小正方体的表面积为6×3.52=73.5（cm 3）．故答案为73.5cm 3．【点睛】本题考查了立方根．解题的关键是能够通过空间想象得出如何将正方体分成8块同样大小的小正方体木块．17．2-．4【分析】原式利用平方根立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果【详解】解：原式【点睛】本题考查了实数的运算熟练掌握平方根立方根定义是解本题的关键解析：4【分析】原式利用平方根、立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果．【详解】解：原式282=-+-4=【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根、立方根定义是解本题的关键．18．规定新运算：()*4a b a ab =+．已知算式()3*2*2x =-，x =_______．【分析】根据新运算可得由得到关于x 的一元一次方程求解即可【详解】解：根据新运算可得∵∴解得故答案为：【点睛】本题考查新定义运算解一元一次方程根据题意得出一元一次方程是解题的关键解析：43- 【分析】根据新运算可得()3*334x x =+，()()2*22440-=⨯-+=，由()3*2*2x =-得到关于x 的一元一次方程，求解即可．【详解】解：根据新运算可得()3*334x x =+，()()2*22440-=⨯-+=，∵()3*2*2x =-，∴()3340x +=，解得43x =-，故答案为：43-．【点睛】本题考查新定义运算、解一元一次方程，根据题意得出一元一次方程是解题的关键．19．计算20201|-+=_________．-5【分析】本题涉及乘方绝对值立方根以及二次根式化简等知识点在计算时需要针对每个知识点分别进行计算然后根据实数的运算法则求得计算结果【详解】解：===-5故答案为：-5【点睛】本题主要考查了实数的综解析：-5【分析】本题涉及乘方、绝对值、立方根以及二次根式化简等知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：20201|-+=12|2|----=122---=-5．故答案为：-5．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、二次根式、三次根式、绝对值等知识点的运算．20．一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+，则这个正数是______．9【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于a 的方程解方程即可求出a 进一步即可求出答案【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是与所以+()=0解得：a=﹣1所以这个正数是故答案为：9【点睛解析：9【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于a 的方程，解方程即可求出a ，进一步即可求出答案．【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+，所以21a -+(2a -+)=0，解得：a =﹣1，所以这个正数是()22119⨯--=⎡⎤⎣⎦．故答案为：9．【点睛】本题考查了平方根的定义，属于基础题型，掌握解答的方法是解题的关键．三、解答题21．计算：（1）⎛- ⎝；（2|1--解析：（1；（2）12-【分析】（1）先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算；（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可；【详解】（1）⎛- ⎝=；（2|1--=914++-=12-【点睛】考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序．22． 1.414≈，于是我们说：的整数部分为1，小数部分则可记为1”．则：（11的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；（22的小数部分是a ，7-b ，那么a b +=__________；（3x 的小数部分为y ，求1(x y --的平方根．解析：（1）21；（2）1；（3）3±．【分析】（11的整数部分和小数部分；（22和7-a 与b 的值，最后代入代数式计算即可；（3的取值范围，再确定x 、y 的值，最后代入代数式计算即可．【详解】解：（1）∵1＜2＜4∴1＜2 ∴1， ∴1的整数部分为212+-1故答案为21；（2）∵1＜3＜4∴12∴1，∴2的整数部分为3，小数部分为21-；7-的整数部分为5，小数部分为b=75--=2∴1+2=1故答案为1；（3）∵9＜11＜16∴3＜4 ∴x=3，小数部分为-3∴()3211(3==3=9x y --- ∵3±．故答案为3±．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键．23．已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ．（1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？解析：（1）m ＝121；（2）a +b +c 的立方根是2【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n +1+4﹣3n ＝0，可求n ＝5，即可求m ；（2）由已知可得a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5，则可求解．【详解】解：（1）正数m 的平方根互为相反数，∴2n +1+4﹣3n ＝0，∴n ＝5，∴2n +1＝11，∴m ＝121；（2）∵|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，∴a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5，∴a +b +c ＝3+0+5＝8，∴a +b +c 的立方根是2．【点睛】本题考查平方根的性质；熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．24．（1）小明解方程2x 1x a 332-+=-去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为多少？（2）设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式2x 2y 17++=-x-y 的值．解析：（1）x ＝−13；（2）（2）x-y 的值为9或-1.【分析】（1）将错就错把x ＝2代入计算求出a 的值，即可确定出正确的解；（2）根据题意可以求得x 、y 的值，从而可以求得x−y 的值．【详解】（1）把x ＝2代入2（2x−1）＝3（x ＋a ）−3中得：6＝6＋3a−3，解得：a ＝1，代入方程得：2x 1x 1332-+=-，去分母得：4x−2＝3x ＋3−18，解得：x ＝−13；（2）∵x 、y 是有理数，且 x ，y 满足等式2x 2y 17++=-∴22174x y y ⎧+=⎨=-⎩，解得，54x y =⎧⎨=-⎩或54x y =-⎧⎨=-⎩， ∴当x ＝5，y ＝−4时，x−y ＝5−（−4）＝9，当x ＝−5，y ＝−4时，原式＝−5−（−4）＝−1．故x-y 的值为9或-1.【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了实数．25．计算：()214322--⨯-（解析：【分析】利用实数的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：原式=4+9⨯12-(2)2⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦=4+9⨯[]2+1=4+9⨯3=4+27=31．【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．26．求下列各式中x 的值（1）()328x -=（2）21(3)753x -=解析：（1）4x =；（2）18x =或12x =-．【分析】（1）利用立方根的定义得到22x -=，然后解一次方程即可；（2）先变形为()23225x -=，然后利用平方根的定义得到x 的值．【详解】（1）∵()328x -=，∴22x -=，∴4x =；（2）21(3)753x -=，整理得：()23225x -=，∴315x -=或315x -=-，∴18x =或12x =-．【点睛】本题考查了解一元一次方程，平方根和立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 27．解方程：（1）2810x -=；（2）38(1)27x +=．解析：（1）9x =±；（2）12x =．【分析】（1）移项，利用平方根的性质解方程；（2）方程两边同时除以8，然后利用立方根的性质解方程．【详解】（1）2810x -=，移项得：281x =，解得：9x =±；（2）()38127x +=，方程两边同时除以8，得：()32718x +=， ∴312x +=，解得：31122x =-=．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义与性质是解题关键．--28．计算：（1）225(2)1+解析：（１）－４；（２）１．【分析】（1）根据乘方、开方、绝对值的意义化简，再计算即可；（2）先根据绝对值的意义脱去绝对值，再计算即可求解．【详解】--解：（1）225＝－４＋６－１－５＝－４；(2)1)=++1=+1=-+1＝－１＋２＝１．【点睛】本题考查了实数的性质与运算，熟知实数的运算法则和性质是解题关键．。

中考数学复习重要知识点专项总结—实数

中考数学复习重要知识点专项总结—实数实数是所有有理数和无理数的集合，用R表示。

实数的性质如下：1.实数的四则运算：实数的加法、减法、乘法和除法满足交换律、结合律和分配律。

2.实数的拓展性质：实数集是一个有序集，对实数a和b，有a<b、a=b或a>b。

3.实数的稠密性：对任意两个实数a和b(a<b)，必存在一个有理数或无理数c，使得a<c<b。

4.实数的绝对值：对于实数a，其绝对值表示为，a，定义为a的非负实数。

5.实数的整除性：对于实数a和b，若a能整除b，则称a是b的因数，b是a的倍数。

6.实数的质数和合数：对于大于1的整数，若除了1和它本身外没有其他因数，则称为质数；若有其他因数，则称为合数。

7.实数的再排列：对于实数a、b和c，若有a<b<c，则称a、b和c具有从小到大的次序。

8.实数的大小比较：对于实数a和b，可以比较其大小关系，如a<b、a>b或a=b。

9.实数的绝对值不等式：对于实数a和b，若，a，<b，则-a<b<a；若，a，=b，则-a=b=a。

10.实数的代数式化简：对于实数的代数式，可以进行运算和化简，如多项式和分式等。

11.实数的连续性：实数集是连续的，任意两个实数之间必存在一个实数。

12.实数的小数化：对于实数，可以用小数表示，如有限小数和无限循环小数等。

13.实数的有理数和无理数：实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示为整数的比值，无理数是不能表示为整数的比值。

14.实数的逼近性：对于无理数，可以用有理数来逼近它们，无理数具有无限不循环小数的特点。

15.实数的运算律：实数的运算满足结合律、分配律、交换律和对称律等性质。

以上就是中考数学复习中实数的一些重要知识点的总结。

通过理解和掌握这些知识点，可以提高对实数的理解和应用能力，为解决数学问题打下坚实的基础。

中考数学题型归类与解析31---规律探究题(解析版)

中考数学题型归类与解析专题31 规律探究题一、单选题1．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（） A ．23-B ．13C ．12-D ．23【答案】D【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【解析】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律， 202136732=⨯+，2021223a a ∴==，故选：D ．【小结】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．2．（2021·湖北中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【解析】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【小结】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．3．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【解析】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【小结】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．4．（2021·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（）A ．100B ．121C ．144D ．169【答案】B【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【解析】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【小结】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．5．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【解析】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=，再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=，此时132132⨯=mg ，故选C ．【小结】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．6．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11A OB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2-D ．()201120212,2-【答案】C由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【解析】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷=，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒ ，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22， ()2020202020212,2A ∴，故选：C ．【小结】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21n n Y =-，代入规律求解即可．解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ．【小结】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题8．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12n n +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【解析】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +；故答案为：12n n +．【小结】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．9．（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a 的值为______．【答案】-2【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值．【解析】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，∴626a -++=-，∴2a =-，故答案为：2-．【小结】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功． 10．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】2m m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和．【解析】由题意规律可得：2399100222222++++=-． ∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++==， ∵22991001012222222+++++=-，∴10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++．令012992222S ++++=①12310022222S ++++=② ②-①，得10021S -=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=- 故答案为：2m m -．【小结】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．11．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【解析】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除， 33÷2=16...1， 16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【小结】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．12．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________．【答案】()12112n n n a b +-+-⋅【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．【解析】解：∵当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，∴第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+-【小结】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．13．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3 【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【解析】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【小结】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题． 14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．【答案】()221n n --．【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【解析】解：∵22110=-，22321=-， 22532=-，…∴第n 个等式为：()22211n n n -=--故答案是：()221n n --．【小结】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．15．（2021·黑龙江中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【解析】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【小结】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1)2n n-．16．（2021·四川中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【解析】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【小结】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．17．（2021·四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得．【解析】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4， ……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)， ∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【小结】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n 【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可．【解析】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯ 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯ …由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+故答案为：2n 2+2n ．【小结】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．19．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）. 【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可. 【解析】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M 将1x =代入直线解析式y x =中得1y = ∴1OM MN ==，MON ∠=45° ∵1ONM =∠90° ∴1ON NM = ∵1ON NM ⊥ ∴11OM MM == ∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0） ∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【小结】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律. 20．（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．【答案】202020202019202033(,)22【分析】由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解．【解析】解：∵点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ， ∴1(2,0)A ，1(2,1)B ，∴A 1B 1=1，根据题意，OA 2=2+1=3， ∴2(3,0)A ，23(3,)2B ，同理，39(,0)2A ，399(,)24B ，427(,0)4A ，42727(,)48B……由此规律，可得：123(,0)2n n n A --，112133(,)22n n n n n B ----，∴20211202112021202122021133(,)22B ----即2020202020212019202033(,)22B ，故答案为：202020202019202033(,)22．【小结】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．21．（2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．【答案】(1011,1011)--【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点2345,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．【解析】解：由题意得：2(12,12)P -+-+，即2(1,1)P ，3(13,13)P --，即3(2,2)P --，4(24,24)P -+-+，即4(2,2)P ，5(25,25)P --，即5(3,3)P --，观察可知，点1P 的坐标为(1,1)--，其中1211=⨯-，点3P 的坐标为(2,2)--，其中3221=⨯-，点5P 的坐标为(3,3)--，其中5231=⨯-，归纳类推得：点21n P -的坐标为(,)n n --，其中n 为正整数，2021210111=⨯-，∴点2021P 的坐标为(1011,1011)--，故答案为：(1011,1011)--．【小结】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 22．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）【答案】【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到1B 的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而得到答案．【解析】11OB A △为等腰三角形∴直线1OB 的解析式为y x = 由题意得：1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =()111B ∴，1OB ∴=112OA ∴==()12,0A ∴122A A B △为等腰三角形∴设直线12A B 的解析式为y x b =+02b ∴=+，解得2b =-∴直线12A B 的解析式为2y x =- ∴21y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =)21B ∴21222B A A y ∴==∴点2A ()233A A B △为等腰三角形∴设直线23A B 的解析式为1y x b =+∴10b =解得1b =-∴直线23A B的解析式为y x =-1y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得x =∴3B 综上可得：点()111B ，，点)21B，点3B总结规律可得n B 坐标为：故答案为：【小结】本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标．23．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x=（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x 轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．【分析】由点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点，即可求出点A 的坐标，且可知45AOB ∠=︒，又AB AO ⊥可知AOB ∆是等腰直角三角形，再结合1BA OA //可知11BA B ∆是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求2021A 的坐标，即n A 的坐标（n =1,2,3……），故想到过点2021A 作20212021A C x ⊥轴，即过n A 作n n A C x ⊥轴．设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为2m +，再利用点1A 在双曲线上即可求解1A 坐标，同理可得2021A 的坐标．【解析】解：过n A 作n n A C x ⊥轴于点n C点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点 1y x y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩ ()1,1A ∴1,45OC AC AOC ∴==∠=︒AB AO ⊥∴AOB ∆是等腰直角三角形∴22OB AC ==1BA OA //∴11BA B ∆是等腰直角三角形∴111AC BC =设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为12m +点1A 在双曲线上∴()1121m m +=解得11m =设2A 的纵坐标为()20m m >，则2A的横坐标为12222m m m ++=∴()221m m =解得2m =同理可得3m =由以上规律知：n m =2021m ∴=2021A∴2021A =【小结】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．24．（2021·山东中考真题）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．【答案】1322n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n 个正方形的边长．【解析】解：点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2， ∴点1B 纵坐标为1．1OB ∴==分别过1B ，14,,C C ⋅⋅⋅作x 轴的垂线，分别交于14,,,D D D ⋅⋅⋅，下图只显示一条；111111190,B DA C DB B OD A B D ∠=∠=︒∠=∠,∴111Rt B DO Rt A DB ∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有11111211112n n n nC A BD B A C A OD OB C A C A +====⋅⋅⋅=，不妨设第1个至第n 个正方形的边长分别用：12,,,n l l l ⋅⋅⋅来表示，通过计算得：112OB l ==1211233222l l l C A =+==，22322333222l l l C A ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⋅⋅⋅ 111133222n n n n n n l l l C A ----⎛⎫=+== ⎪⎝⎭按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为1322n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小结】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n 个正方形边长的方法与技巧．25．（2021·湖北中考真题）如图，过反比例函数()0,0k y k x x=>>图象上的四点1P ，2P ，3P ，4P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，2A ，3A ，4A ，再过1P ，2P ，3P ，4P 分别作y 轴，11P A ，22P A ，33P A 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，4S ，1122334OA A A A A A A ===，则1S 与4S 的数量关系为_____________．【答案】414S S =．【分析】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ，由点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x =>>图象上，可求得11k A P m =，222k A P m =，333k A P m =，444k A P m=，根据矩形的面积公式可得1111k OA A P k S m m =⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k k A A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k k A A A P m m S =⋅=⋅=，由此即可得414S S =．【解析】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ，∵点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x=>>图象上， ∴11k A P m =，222k A P m =，333k A P m =，444k A P m=， ∴1111k OA A P k S m m =⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k k A A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k k A A A P m m S =⋅=⋅=， ∴414S S =．故答案为：414S S =．【小结】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上点的特征求得11k A P m =、222k A P m =、333k A P m =、444k A P m=是解决问题的关键． 26．（2021·四川）如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，...，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【解析】解：∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB =3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x =-4，即A （-4，3），∴OB =3，AB =4，OA ，由旋转可知：OB =O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA =O 1A =O 2A 1=…=5，AB =AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4， ∴OB 1=OA +AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129=，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：3875．【小结】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB 的各边，计算出OB 21的长度是解题的关键．27．（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形1ABCB 中，AB =AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20202(3【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【解析】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A tan30°=，∴111AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=133⨯=，∴2112=2A A -⨯；∴线段20202021A A =20211202022()33-⨯=,故答案为：2020. 【小结】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.28．（2021·黑龙江中考真题）如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1A C 为一边，在BC 的延长线上作菱形111A CC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得1S =，2S =……由此规律可得242n n S -，然后问题可求解．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆……. 202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，如图所示：∴sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴112112A D BE A S D =⋅==，同理可得：22221244S A D ==⨯=22332444S A D ===……；∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-=；故答案为40382【小结】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．29．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA =，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB 沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11A O 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．【答案】()3,1【分析】根据已知条件结合等腰直角三角形的性质先求出点B ()1,1，点1B ()2,1，即可得出点B 向右每次平移1个单位长度，而2B 为点B 向右平移2个单位后的点，根据点平移规律即可得到答案【解析】如图过点B 作BC OA ⊥，△AOB 为等腰直角三角形，斜边OA 在y 轴上，2OA =1BC ∴=，11CO BO ==()1,1B ∴ AOB 向右平移至111AO B ，点B 在11A O 上，同理可得点1B 的坐标为()2,1AOB ∴每次向右平移1个单位，即点B 向右每次平移1个单位，2B ∴为点B 向右平移2个单位后的点2B ∴点的坐标为()3,1故答案为：()3,1【小结】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及坐标与图像变换—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图像上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 30．（2021·湖北荆门市·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．【答案】64 5【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解【解析】通过观察发现：1=1 3=1+26=1+2+310=1+2+3+4……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +，则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1 设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<- 即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积，2263=396964=4096,,m n ，为正整数，64n ∴=当64n =时，=5m故答案为：64，5【小结】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．31．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为11a =，第二个图形表示的三角形数记为23a =，…，则第n 个图形表示的三角形数n a ＝___．（用含n 的式子表达）【答案】()12n n + 【分析】由题意易得11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..；然后由此规律可得第n 个图形表示的三角形数．【解析】解：由图及题意可得：11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..∴第n 个图形表示的三角形数()112342n a n n n +=++++⋅⋅⋅⋅+=；故答案为()12n n +．【小结】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可． 32．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”，再代入n ＝30即可得出结论．【解析】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n ＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n ＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【小结】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“a n ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”是解题的关键．33．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n -1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【解析】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n -1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【小结】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．。

中考数学之《实数》：常考知识点实战演练与解析

中考数学之《实数》：常考知识点实战演练与解析本文章采用具体试题的形式详细介绍初中数学《实数》的各个知识点，希望大家能先自己独立完成，然后对照答案与解析查漏补缺，发现自己的不足之处，及时做好错题笔记，课后认真领悟其内在含义，真正的把握自己的薄弱环节，以便在今后遇到同类型的试题能避免重蹈覆辙，轻松应对。

精选题：1.下列个数中，为负数的是（）A.0B.-2C.1D.?2.计算3o的结果是（）3.计算3×（﹣2）的结果是（）4.在实数范围内，√x有意义，则X的取值范围是（）5.﹣8的倒数是（）6.将155320000用科学记数法表示为（）7.﹣7的相反数是（）8.某教学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学一次报自己顺序数的倒数加1，第一位同学报[（1/1）+1]，第二位同学报[?+1]，第三位同学报[?+1]······这样得到的20个数的积是（）9.3√5，π，﹣4，0这四个数中，最大的数是（）10. 若｜x-3｜+｜y+2｜=0，则x+y=（）11. 比较大小：﹣6（）﹣8（填“＜”、“＞”、“＝”）12. 如图，矩形ABCD的顶点A、B在数轴上，CD=6，点A对应的数是-1，那么点B对应的数为（）13. 计算：（π-3）o+√18-2sin45°-（?）∧(-1)答案与解析：1.考查基础知识点，对于实数概念及分类的认识。

实数按照大小分类，包括正实数（正有理数和正无理数）、负实数（负有理数和负无理数）和0。

小于0的实数是负数，大于0的实数是正数，很显然，题目中，只有-2是负数，故选B。

2.考查有理数的次幂运算。

a·a·a·a·····a·a（n个a相乘）=a∧n，性质：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的非0次幂都是0（0的0次幂没有意义）。

中考总复习专题：实数

中考总复习专题：实数中考总复习：实数专题一、知识回顾实数是一种数的类型，包括有理数和无理数。

有理数包括整数和分数，无理数则是不能表示为分数的数，如π（3.1415926……）等。

实数的概念和基本性质是进行数学运算和解决数学问题的基础。

二、重点难点1、重点：掌握实数的概念和基本性质，包括有理数和无理数的分类，理解实数与数轴上的点的对应关系。

2、难点：正确运用实数的运算法则进行计算，理解实数的大小比较规则，能够利用数轴解决相关问题。

三、运算法则1、加法：实数的加法遵循交换律和结合律，即a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）。

2、减法：实数的减法遵循反交换律，即a-b=-（b-a）。

3、乘法：实数的乘法遵循结合律和分配律，即（ab）c=acbc，（a+b）c=ac+bc。

4、除法：实数的除法遵循倒数的性质，即a/b=b/a。

四、应用举例1、求解实际问题的数值：例如求解一个矩形的面积或者周长，需要运用到实数的加减乘除等运算法则。

2、解决几何问题：例如在三角形、正方形等几何图形中，常常需要使用到勾股定理等知识点，从而涉及到实数的计算。

3、自然科学中的应用：例如在物理、化学等自然科学中，实数经常被用来表示物体的长度、质量等物理量。

五、复习建议1、强化基础知识：对于实数的基础知识，需要反复巩固和理解，例如实数的定义、性质、运算法则等。

2、练习实际应用：通过解决实际问题，加深对实数的理解和运用，提高解决实际问题的能力。

3、注重思路方法：在解决实数问题时，要注重思路和方法，善于总结规律，避免死记硬背。

4、查漏补缺：在复习过程中，要注意发现自己的薄弱环节，及时进行查漏补缺。

六、结语实数是数学中的一个重要概念，对于数学学习和实际应用都具有重要意义。

在中考总复习中，要全面系统地复习实数的相关知识，掌握实数的概念、性质、运算法则等，提高解决实际问题的能力。

要注意发现自己的不足之处，及时进行巩固和强化，为未来的数学学习和实际应用打下坚实的基础。

中考数学专题复习：实数

中考数学专题复习：实数
汇报人：
2023-12-11
目录
• 实数的定义与分类 • 实数的性质 • 实数的运算规则 • 实数在几何中的应用 • 实数在实际生活中的应用 • 中考真题回顾与解析
01
实数的定义与分类
实数的定义
01
实数是有理数和无理数的总称，通常用字母r表示实数。
02
有理数包括正数、负数和零，而无理数则是一些无限不循环小数，如π、根号2等。
总结词
确定无理数大小，估算在实数范围内值。
详细描述
无理数是指无限不循环小数，不能直接计算，但可以通过估算来确定其大致范围。例如，$\pi$的值大约在$3.14$和$3.15$之间，$\sqrt{2}$的值大约在$1.4$和$1.5$之间。
中考真题三：实数与三角形
总结词
掌握实数在三角形中的应用。
详细描述
06
中考真题回顾与解析
中考真题一：有理数的混合运算
总结词
掌握运算顺序，灵活运用运算律。
详细描述
有理数的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按从左到右的顺序进行；如果有括号，要先算括号里面的。运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。
中考真题二：无理数的估算
在日常生活中，我们经常使用实数来表示物体的重量。例如，一个苹果重约150 克，一头大象重约5吨等。
在科学研究和工程领域，实数也被广泛应用于表示物体的重量和力等物理量。
用实数表示时间
时间是连续的，无法用有限数量的整数来表示。因此，人们使用实数来表示时间，例如秒、分、时、日等。
在科学研究、工程技术和金融等领域，人们经常需要精确地计算时间，这时就需要使用实数来表示时间。

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—实数(含解析)

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—实数（含解析）1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）．3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）．4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.5．能运用有理数的运算解决简单的问题．6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值．7．能用有理数估计一个无理数的大致范围．考点1：实数的分类考点2：实数的相关概念1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n 的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.（4）8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示为.（3）.考点3：实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；（2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；（3）差值比较法：a-b ＞0⇔a ＞b;a-b=0⇔a=b;a-b ＜0⇔a ＜b（4）平方比较法：）＞＞＞0(b b a 2b a ⇒考点4：实数的运算1.数的乘方：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在a n 中，a 叫底数，n 叫指数.2．实数的运算：（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.3．零次幂;a ≠0，则a 0=14.负整数指数幂：若a ≠0，n 为正整数，则.5.-1的奇偶次幂：n 1n 1=-（为偶数）（）；n 1((1)n =-为奇数）【题型1：实数的概念】【典例1】（2023•攀枝花）﹣3的绝对值是（）A ．3B ．C ．D ．﹣3【答案】A【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．【解析】解：﹣3的绝对值是3．故选：A ．1．（2023•南充）如果向东走10m 记作+10m ，那么向西走8m 记作（）A．﹣10m B．+10m C．﹣8m D．+8m【答案】C【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解析】解：如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作﹣8m．故选：C．2．（2023•青岛）的相反数是（）A．﹣B．C．﹣7D．7【答案】A【分析】根据实数a的相反数是﹣a进行求解．【解析】解：的相反数是﹣，故选：A．3．（2023•娄底）2023的倒数是（）A．2023B．﹣2023C．D．【答案】D【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解析】解：2023的倒数是．故选：D．4．（2023•吉林）月球表面的白天平均温度零上126℃记作+126℃，夜间平均温度零下150℃应记作（）A．+150℃B．﹣150℃C．+276℃D．﹣276℃【答案】B【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．【解析】解：零上126℃记作+126℃，则零下150℃应记作﹣150℃，故选：B．【题型2：实数的分类】【典例2】（2023•荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（）A．﹣1B．C．D．3.14【答案】B【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解析】解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是，故选：B．1．（2023•怀化）下列四个实数中，最小的数是（）A．﹣5B．0C．D．【答案】A【分析】正数＞0＞负数；一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行判断即可．【解析】解：∵1＜2，∴＜，即1＜，则＜，那么﹣5＜0＜＜，则最小的数为：﹣5，故选：A．2．（2023•浙江）下面四个数中，比1小的正无理数是（）A ．B ．﹣C ．D ．【答案】A 【分析】无理数即无限不循环的小数，结合实数比较大小的方法进行判断即可．【解析】解：A ．∵1＞，∴＞，即1＞，且是正无理数，则A 符合题意；B ．﹣是负数，则B 不符合题意；C ．是分数，不是无理数，则C 不符合题意；D ．∵π＞3，∴＞1，则D 不符合题意；故选：A ．3．（2023•凉山州）下列各数中，为有理数的是（）A ．B ．3.232232223…C ．D ．【答案】A【分析】运用有理数和无理数的概念进行逐一辨别、求解．【解析】解：∵＝2，∴选项A 符合题意；∵3.232232223…，，是无理数，∴选项B，C，D不符合题意，故选：A．【题型3：数轴】【典例3】（2023•南通）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（）A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段DE上【答案】C【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，再根据数轴上A，B，C，D，E五个点在数轴上的位置进行判断即可．【解析】解：∵3＜＜4，而数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，∴表示数的点应在线段CD上，故选：C．1．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．2．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（）A．2023B．﹣2023C．D．﹣【答案】B【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．【解析】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，∴OB＝2023，∵点B在O点左侧，∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，故选：B．3．（2023•济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．ab＞0B．a+b＞0C．a+3＜b+3D．﹣3a＜﹣3b【答案】D【分析】从图中判断a的值和b的取值范围，再根据有理数的运算及不等式的性质来计算．【解析】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误；（2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误；（3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误；（4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，答案为：D．【题型4：科学记数法】【典例4】（2023•淮安）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约4900mL．数据4900用科学记数法表示为（）A．0.49×104B．4.9×104C．4.9×103D．49×102【答案】C【分析】根据科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，由此可得答案．【解析】解：4900＝4.9×103．故选：C．1．（2023•北京）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A．23.9×107B．2.39×108C．2.39×109D．0.239×109【答案】B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解析】解：239000000＝2.39×108，故选：B．2．（2023•绍兴）据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（）A．27.4×107B．2.74×108C．0.274×109D．2.74×109【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解析】解：274000000＝2.74×108．故选：B．【题型5：实数的大小比较】【典例5】（2023•扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【答案】C【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．【解析】解：∵3＜4＜5，∴＜＜，即＜2＜，则a＞b＞c，故选：C．1．（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0，中，最大的数是（）A．1B．﹣1C．0D．【答案】D【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．【解析】解：∵﹣1＜0＜1＜，∴在实数1，﹣1，0，中，最大的数是，故选：D．2．（2023•青海）写出一个比﹣大且比小的整数﹣1（或0或1）．【答案】﹣1（或0或1）．【分析】估算出的取值范围即可求解．【解析】解：∵1＜2＜4，∴，∴﹣2＜﹣＜﹣1，∴比﹣大且比小的整数有﹣1，0，1．故答案为：﹣1（或0或1）．3．（2023•甘孜州）比较大小：＞2．（填“＜”或“＞”）【答案】＞．【分析】先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．【解析】解：∵，又∵，∴，故答案为：＞【题型6：平方根、算术平方根和立方根】【典例6】（2023•浙江）﹣8的立方根是（）A．﹣2B．2C．±2D．不存在【答案】A【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．【解析】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，故选：A1．（2023•无锡）实数9的算术平方根是（）A．3B．±3C．D．﹣9【答案】A【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．【解析】解：实数9的算术平方根是3，故选：A．2．（2023•郴州）计算＝3．【答案】3．【分析】如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：，由此即可得到答案．【解析】解：＝3．故答案为：3．3．（2023•邵阳）的立方根是2．【答案】2．【分析】先求出的值，再根据立方根的定义解答即可．【解析】解：＝8，＝2．故答案为：2．【题型7：实数的运算】【典例7】（2023•上海）计算：+﹣（）﹣2+|﹣3|．【答案】﹣6．【分析】根据立方根定义，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可．【解析】解：原式＝2+﹣9+3﹣＝2+﹣2﹣9+3﹣＝﹣61．（2023•广西）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．【分析】先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可．【解析】解：原式＝（﹣1）×（﹣4）+4÷2＝4+2＝62．（2023•北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．【答案】5．【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．【解析】解：原式＝4×+3+2﹣2＝2+3+2﹣2＝5．3．（2023•娄底）计算：（π﹣2023）0+|1﹣|+﹣tan60°．【答案】2．【分析】利用零指数幂，绝对值的性质，二次根式的运算法则，特殊锐角的三角函数值进行计算即可．【解析】解：原式＝1+﹣1+2﹣＝2．1．某校仪仗队队员的平均身高为175cm，如果高于平均身高2cm记作+2cm，那么低于平均身高2cm应该记作（）A．2cm B．﹣2cm C．175cm D．﹣175cm【答案】B【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．【解析】解：由题意，高于平均身高2cm记作+2cm，高于平均身高和低于平均身高具有相反意义，所以低于平均身高2cm记作﹣2cm．故选：B．2．﹣3的相反数是（）A．﹣B．3C．﹣3D．【答案】B【分析】根据相反数的概念解答求解．【解析】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：B．3．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其主体育场及田径项目比赛场地——杭州奥体中心体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数216000用科学记数法表示为（）A．216×103B．21.6×104C．2.16×105D．0.216×106【答案】C【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．【解析】解：216000用科学记数法表示为2.16×105．故选：C．4．若|a|＝﹣a，a一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【答案】C【分析】根据负数的绝对值等于他的相反数，可得答案．【解析】解：∵非正数的绝对值等于他的相反数，|a|＝﹣a，a一定是非正数，故选：C．5．若a和b互为相反数，则a+b+3的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】运用互为相反数的两数相加为0进行求解．【解析】解：∵a和b互为相反数，∴a+b+3＝0+3＝3，故选：B．6．将﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（﹣2）写成省略括号的和的形式是（）A．﹣3+6﹣5﹣2B．﹣3﹣6+5﹣2C．﹣3﹣6﹣5﹣2D．﹣3﹣6+5+2【答案】B【分析】原式利用减法法则变形即可得到结果．【解析】解：﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（﹣2）＝﹣3﹣6+5﹣2．故选：B．7．4的算术平方根是（）A．±2B．﹣2C．2D．【答案】C【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，求出4的算术平方根即可．【解析】解：4的算术平方根是：，故选：C．8．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（）A．0.5B．﹣0.5C．﹣1.5D．﹣2.5【答案】B【分析】设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可．【解析】解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，则表示的数可能是﹣0.5．故选：B．9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b【答案】B【分析】由数轴可得a＜﹣2＜0＜b＜1，|a|＞|b|，然后将各项进行判断即可．【解析】解：由数轴可得a＜﹣2＜0＜b＜1，|a|＞|b|，则A，C均不符合题意，B符合题意；由|a|＞|b|可得a+b＜0，则﹣a＞b，那么D不符合题意；故选：B．10．在数﹣1、0、、中，为无理数的是（）A．﹣1B．0C．D．【答案】D【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．【解析】解：数﹣1、0、、中，为无理数的是．故选：D．11．在﹣2，3，，0，﹣1.7五个数中，正数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据正数大于0，负数小于0判断即可．【解析】解：在﹣2，3，，0，﹣1.7五个数中，正数有3，，共2个．故选：B．12．64的平方根是（）A．±4B．4C．±8D．8【答案】C【分析】±8的平方都等于64，可得64的平方根是±8．【解析】解：∵±8的平方都等于64；∴64的平方根是±8．故选：C．13．比较大小：3＞（填写“＜”或“＞”）．【答案】＞【分析】将3转化为，然后比较被开方数即可得到答案．【解析】解：∵3＝，且9＞7，∴3＞，故答案为：＞．14．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则﹣a＞b．（填“＞”，“＝”，“＜”）【答案】＞．【分析】根据数轴得出﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，继而得出1＜﹣a＜2，即可求解．【解析】解：根据数轴可知﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜﹣a＜2，∴﹣a＞b，故答案为：＞．15．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥5．【答案】x≥5【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解析】解：由题意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案为：x≥5．16．的平方根是±2．【答案】±2．【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．【解析】解：由于＝4，所以的平方根是＝±2，故答案为：±2．17．计算（3﹣π）0＝1．【答案】1【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0）求解可得．【解析】解：（3﹣π）0＝1，故答案为：1．18．计算：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4．【答案】0．【分析】先计算乘方，再计算乘除，后计算加减．【解析】解：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4＝1×2﹣8×＝2﹣2＝0．19．计算：．【答案】3+6．【分析】直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解析】解：原式＝3+9﹣1﹣2＝3+6．20．计算：．【答案】﹣3．【分析】根据特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．【解析】解：＝＝＝﹣3．1．下列各数中，是负数的是（）A．|﹣1|B．﹣22C．D．（﹣3）0【答案】B【分析】利用绝对值的意义，有理数的乘方法则，二次根式的性质和零指数幂的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解析】解：∵|﹣1|＝1＞0，是正数，∴A选项不符合题意；∵﹣22＝﹣4＜0，是负数，∴B选项符合题意；∵＝3＞0，是正数，∴C选项不符合题意；∵（﹣3）0＝1＞0，是正数，∴D选项不符合题意．故选：B．2．若ab≠0，那么+的取值不可能是（）A．﹣2B．0C．1D．2【答案】C【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可．【解析】解：∵ab≠0，∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①当a＞0，b＞0时，+＝1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，+＝﹣1﹣1＝﹣2；③当a＞0，b＜0时，+＝1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，+＝﹣1+1＝0；综上所述，+的值为：±2或0．故选：C．3．如图，检测4个篮球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的球是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球．【解析】解：通过求4个篮球的绝对值得：|+10|＝10，|+8|＝8，|﹣12|＝12，|﹣5|＝5，﹣5的绝对值最小．所以这个球是最接近标准的球．故选：D．4．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|【答案】C【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．【解析】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．故选：C．5．如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】明确被覆盖数的范围，根据负数的绝对值取其相反数，得出答案．【解析】解：由图可知，设被覆盖的数为a，则﹣4＜a＜﹣3，∵当a＜0时，|a|＝﹣a，∴3＜|a|＜4，∵3＜＜4，满足题意，故选：C．6．大多数红绿灯都是固定时间设置，某市正在逐步推行智能感应红绿灯，这种红绿灯可以自动搜集车流量信息，根据通行车辆的多少自动调节红绿灯的时长，若某十字路口某时间段自动搜集的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量的，；南北走向直行与左转车辆分别约占总流量的，．因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间为2分钟，则此时南北走向左转绿灯时长为（）A．32秒B．24秒C．18秒D．16秒【答案】A【分析】先重新计算南北走向直行流量占比，再用120乘以占比可得一个周期时间为2分钟南北走向直行绿灯时长．【解析】解：∵右转车辆不受红绿灯限制，∴南北走向直行占题四种走向流量的比例为：＝，∴一个周期时间为2分钟，设置南北走向直行绿灯时长为120×＝32s，故选：A．7．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过1510天后是（）A．星期四B．星期五C．星期六D．星期天【答案】A【分析】结合一个星期7天，即相应的尾数是7个数一循环，利用所给的规律求得1510天的尾数即可判断．【解析】解：∵1510＝（14+1）10∴（14+1）10＝1410+10×149×1+…+10×14×19+110，∴（14+1）10÷7的余数为：1，即1510÷7的余数为：1，∴若今天是星期三，则经过1510天后是星期四．故选：A．8．在算式中的“□”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（）A．+B．﹣C．×D．÷【答案】D【分析】分别填入四个运算符号，计算出每个算式的结果，然后进行比较即可．【解析】解：若填入的符号为+，算式为：；若填入的符号为﹣，算式为：；若填入的符号为×，算式为：；若填入的符号为÷，算式为：，∵，，∴，∴若填入的符号为÷，算式的结果最小，故选：D ．9．如图，已知矩形ABCD 的边长分别为6，4，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n ∁n D n 的面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】连接A 1C 1，D 1B 1，可知四边形A 1B 1C 1D 1的面积为矩形ABCD 面积的一半，则S 1＝×4×6＝12，再根据三角形中位线定理可得C 2D 2＝C 1，A 2D 2＝B 1D 1，则S 2＝C 1×B 1D 1＝ab ，依此可得规律．【解析】解：如图，连接A 1C 1，D 1B 1，∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，∴四边形A1BCC1是矩形，∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，∴A1C1⊥B1D1，∴S1＝×4×6＝12，∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，∴S2＝C1×B1D1＝×12＝3，……依此可得S n＝，故选：B．10．若，b＝（﹣1）﹣1，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【答案】B【分析】利用零指数，负整数指数幂的运算法，计算a、b、c的值，再比较大小．【解析】解：∵，b＝（﹣1）﹣1＝﹣1，，∴a＞c＞b，故选：B．11．估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】A【分析】首先得出，进而求出的估计值．【解析】解：∵，∴，∴，∴的值在2到3之间．故选：A．12．若a＝﹣3，，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法判断【答案】C【分析】先将化简，再比较大小．【解析】解：，则3＞﹣3，∴a＜b．故选：C．13．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a+2＜b+2B．a＜1C．a+b＞0D．﹣2a＜﹣2b 【答案】D【分析】根据有数轴上的各点来确定﹣1＜a＜0，b＞1＞0，来判断数的大小．【解析】解：A选项中因为在数轴上得到a＜b，左右两边同时加上2，所以a+2＜b+2成立，符合题意故正确；B选项中，从数轴中直接观察到a＜1，符合题意故正确；C选项中，因为a＞﹣1，b＞1，所以a+b＞0，符合题意故正确；D选项中，从数轴中观察到a＜0，b＞0，a是负数，乘负数，结果为正数，b为负数，乘负数，结果为负数，所以﹣2a＞﹣2b，故D选项不符合题意，是错误的．故答案为D．14．实数m、n在数轴上的位置如图所示，化简|n﹣m|﹣m的结果为（）A．n﹣2m B．﹣n﹣2m C．n D．﹣n【答案】D【分析】根据实数m、n在数轴上的位置，可得到n﹣m＜0，再化简绝对值，得出结果．【解析】解：由实数m、n在数轴上的位置可知，n﹣m＜0，所以|n﹣m|﹣m＝m﹣n﹣m＝﹣n，故选：D．15．若a是不为1的有理数，则我们把称为a的差倒数．如2的差倒数为，﹣1的差倒数为．已知：a1＝3，a2是a1差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依次类推，a2023的值是（）A．3B．C．D．【答案】A【分析】根据差倒数定义计算得出，依次推导3个数据为一组，，a2023＝3．【解析】解：根据差倒数的定义知，以这3个数为一组，第2022个数为第674组数的第3个数据，则，那么a2023＝3．故选：A．16．如图将一张纸片剪成4个正三角形，称为第一次操作；然后将其中一个正三角形再剪成4个小正三角形，共得到7个正三角形，称为第二次操作；将其中一个正三角形再剪成4个正三角形，共得到10个正三角形，称为第三次操作；…．根据以上操作，若要得到2023个正三角形，则需要操作的次数为（）A．671B．672C．673D．674【答案】D【分析】根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形；第三次操作后得到10个小正三角形；…继而即可求出剪m次时正三角形的个数为2023．【解析】解：∵第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形；第三次操作后得到10个小正三角形，……∴第m次操作后，总的正三角形的个数为3m+1．则：2023＝3m+1，解得：m＝674，故若要得到2023个小正三角形，则需要操作的次数为674次．故选：D．17．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）A．135B．170C．209D．252【答案】C【分析】根据表格找出方格中每个对应数字的表示规律然后求解．【解析】解：根据表格可得规律：第n个表格中，左上数字为n，左下数字为n+1，右上数字为2（n+1），右下数字为2（n+1）（n+1）+n，∴20＝2（n+1），解得n＝9，∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．故选：C．18．如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合，若A＝B，则x﹣y的值是（）A．2B．C．﹣2D．﹣1【答案】B【分析】利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有＝0，从而得出两种情况．讨论后即可得解．【解析】解：由题意知A＝{2，0，x}，由互异性可知，x≠2，x≠0．因为B＝{}，A＝B，由x≠0，可得|x|≠0，≠0，所以，即y＝0，那么就有或者，当得x＝，当无解．所以当x＝时，A＝{2，0，}，B＝{2，，0}，此时A＝B符合题意．所以x﹣y＝．故选：B．19．我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成a1＝2部分，2条直线将平面最多分成a2＝4部分，3条直线将平面最多分成a3＝7部分，4条直线将平面最多分成a4＝11部分…n条直线将平面最多分成a n部分，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣【答案】B【分析】根据一条直线、两条直线、三条直线的情况可总结出规律：n条直线最多可将平面分成S＝1+1+2+3…+n＝n（n+1）+1，依此求解即可．【解析】解：由题意得：有一条直线时，最多分成1+1＝2部分；有两条直线时，最多分成1+1+2＝4部分；有三条直线时，最多分成1+1+2+3＝7部分；…，有n条直线时，分成的平面最多有m个．有以下规律：m＝1+1+…+（n﹣1）+n＝+1，∴a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，a5＝16，a6＝22，a7＝29，a8＝37，a9＝46，a10＝56，∴＝+++…+＝﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣1﹣﹣﹣×+﹣×﹣×﹣＝﹣1﹣﹣﹣﹣×﹣×﹣＝﹣1﹣﹣﹣﹣＝﹣1﹣﹣+﹣+﹣＝﹣2+＝﹣．故选：B．1．（2023•广西）若零下2摄氏度记为﹣2℃，则零上2摄氏度记为（）A．﹣2℃B．0℃C．+2℃D．+4℃【答案】C【解析】解：由零下2摄氏度记为﹣2℃可知，零下记为“﹣“，零上记为“+”，∴零上2摄氏度记为：+2℃．故选：C．2．（2023•天津）据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数据935000000用科学记数法表示应为（）A．0.935×109B．9.35×108C．93.5×107D．935×106【答案】B【解析】解：935000000＝9.35×108，故选：B．3．（2023•广州）﹣（﹣2023）＝（）A．﹣2023B．2023C．D．【答案】B【解析】解：﹣（﹣2023）＝2023，故选：B．4．（2023•淮安）下列实数中，无理数是（）A．﹣2B．0C．D．5【答案】C【解析】解：A、﹣2是有理数，故此选项不符合题意；B、0是有理数，故此选项不符合题意；C、是无理数，故此选项符合题意；D、5是有理数，故此选项不符合题意；故选：C．5．（2023•温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】D【解析】解：由数轴可得：A表示﹣1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：﹣1+3＝2．故选：D．6．（2022•安徽）下列为负数的是（）A．|﹣2|B．C．0D．﹣5【答案】D【解析】解：A．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；B．是正数，故本选项不合题意；C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D．﹣5是负数，故本选项符合题意．故选：D．7．（2023•天津）计算的结果等于（）A．B．﹣1C．D．1【答案】D【分析】根据有理数乘法法则计算即可．【解析】解：原式＝+（×2）＝1，故选：D．8．（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：与无法合并，则A不符合题意；2﹣＝，则B不符合题意；×＝＝，则C符合题意；÷3＝＝，则D不符合题意；故选：C．9．（2023•西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（）A．﹣2023B．﹣1C．1D．2023【答案】B【解析】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故选：B．10．（2023•海南）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【答案】A【解析】解：∵A点表示的数为﹣1，∴数轴上点A所表示的数的相反数是1．故选：A．11．（2023•西宁）算式﹣3□1的值最小时，□中填入的运算符号是（）A．+B．﹣C．×D．÷【答案】B【解析】解：﹣3+1＝﹣2，﹣3﹣1＝﹣4，﹣3×1＝﹣3，﹣3÷1＝﹣3，∵﹣4＜﹣3＝﹣3＜﹣2，∴算式﹣3□1的值最小时，“□”中填入的运算符号是﹣．故选：B．12．（2023•内蒙古）若a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝3．【答案】3．【解析】解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴a＝1，b＝2，则a+b＝1+2＝3，故答案为：3．13．（2023•福建）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作﹣5．【答案】﹣5．【解析】解：∵进货10件记作+10，∴出货5件应记作﹣5，故答案为：﹣5．14．（2023•益阳）计算：|﹣1|﹣（﹣）2﹣12×（﹣）．【答案】．【解析】解：原式＝﹣1﹣3+4＝．15．（2023•德阳）计算：2cos30°+（﹣）﹣1+|﹣2|+（2）0+．【答案】4．【解析】解：原式＝2×﹣2+2﹣+1+3＝4．。

中考数学专题复习30讲第2讲实数.docx

【考点总汇】一、实数的有关概念及分类无理数: ________“「壬（1）所有实数都可以在数轴上表示出來，实数与数轴上的点 _____________2.性质2［（2）有理数中相反数、绝对值、倒数的意义同样适用于实数微拨炉： 1•不要误认为无限小数都是有理数，只有无限不循环小数才是无理数.2. 带根号的数不都是无理数，只有那些开方开不尽的数才是无理数。

3. 易误认为正无理数和负无理数之间应有零。

二、实数的运算•种类：实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、 __________（1）可以进行开平方运算（2）都可以进行开立方运算2. __________________________ 实数的运算顺序：先算 __________ ,再算 ,最后算，如果有括号，先算括号里面的3•冬次幕及负整数指数幕:6f° = __________ (GH O) , a~n — ____________ (aHO,是正整数)微拨炉： 1. 负整数指数幕理解岀错，如（-丄尸=丄。

2 22. 零指数幕理解错误,如（一2015）° =0。

高频考点1、平方根、算术平方根、立方根【范例】（1） 8的平方根是（2） 4的算术平方根是第2讲实数「分类：实数有理数｛整数1•实数的运算开方运算 A.4B ・±4 c. 2V2 D.±2A /2A.-2B.21C.--1D.-得分要领：1. 一个正数的平方根有两个，不要丢掉其中的负平方根，算术平方根是其中的一个正平方根, 不要弄错了符号。

2. 若一个正数d 不能写成某个数的平方的形式，则直接说它的平方根为土丽。

3. 计算形如/和石的平方根，要先根据平方和算术平方根的定义得出化简后的结果，再根据平方根的定义进行求解。

4.4的平方根是 ________ -高频考点2、相关概念及实数的分类【范例】下列各数：龙，V8 , cos60\ 0, V3 ,其中无理数的个数是（） 3A.1个B.2个C.3个D.4个得分要领:1. 在判断带根号的数是否为无理数时，要先看这些数能否根据平方根或立方根的定义化简, 能化简成整数或分数的是有理数，反之是无理数。

九年级中考数学复习《实数》

课题中考数学总复习-实数一、教材剖析集备建议实数在初中数学教材中据有重要地位，将会为二次根式、一元二次方程、函数等确立根基。

对于数的内容，初中阶段主要学习有理数和实数，本专题是在有理数的根基上复习实数，主要内容包含算术平方根、平方根、立方根以及实数的相关观点和运算。

二、学情剖析1〕帮助学生成立实数系统，使学生对实数有一个全面完好的认识，并可以进行简单的实属运算。

2〕在习题设计时力争切近时代、切近生活，让学生感觉到数学在实质生活中的宽泛应用，领会到数学的价值和学习数学的必需性。

三、教课目的经过复习提升运算能力，提升剖析问题、解决问题的能力，加强数学的应企图识。

四、教课要点、难点1〕经过观点的复习和典型例题评析，使学生掌握实数的相关观点和实数的分类，并经过适合的练习获得提升。

2〕典型例型评析。

3〕学生综合能力的提升。

四、教课方法教法：导学法、议论法。

学法：运用合作学习的方式，分组学习和议论。

五、教课流程知识回想知识应用深入研究六、教课过程设计教课师生活动设计企图环节复习相关知识和例题解说一、主要知识点1、实数的分类：知识回想2、数轴:⑴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

⑵实数与数轴上的点是一一对应的。

3、相反数：⑴相反数：只有符号不一样的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。

⑵在一个数的前面添上“－〞号，就成为这个数的相反数。

即实数a的相反数是－a；在数轴上表示相反数的两点以原点对称。

a、b互为相反数<====>a+b=04、倒数：⑴倒数：１除以一个不等于零的数的商叫做这个数的倒数。

a、b互为倒数<====>ab=1a、b互为负倒数<====>ab=－15、绝对值：aa 0aa0aa 0⑴绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

⑵一个数的绝对值就是表示这个数的点走开原点的距离。

科学记数法：把一个数记成a10n的形式，其中1a10，n为整数。

专题31 中考热点新定义问题专项训练-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题31 中考热点新定义问题专项训练（解析版）专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。

它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想于一体。

常以压轴题身份出现。

本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载使用。

一．选择题1．（2021•河北模拟）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（）A．B．C．D．思路引领：令3x＝x+2，解得x＝1，画出直线y＝3x和直线y＝x+2的图象即可判断．解：令3x＝x+2，解得x＝1，直线y＝3x和直线y＝x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x＜1时，x+2＞3x；当x＞1时，3x＞x+2，故关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．故选：C．总结提升：本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．二．填空题2．（2021•深圳模拟）用“●”“□”定义新运算：对于数a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，则（2020□2021）●（2021□2020）＝．思路引领：根据“●”“□”的运算法则进行计算即可得解．解：∵a●b＝a，a□b＝b，∴（2020□2021）●（2021□2020）＝2021●2020＝2021．故答案为：2021．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理清新定义的运算方法是解题的关键．3．（2021•碑林区校级模拟）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线BF 的延长线与边DE的延长线交于点M，则∠M的大小为　．思路引领：根据正求出多边形的内角和公式∠DEF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFE，计算即可．解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠DEF＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，∴∠FEM＝45°，∴∠DEF＝∠EFG，∵BF平分∠EFG，∴∠EFB＝∠BFG=12∠EFG＝67.5°，∵∠BFE＝∠FEM+∠M，∴∠M＝∠BFE﹣∠FEM，∴∠M＝22.5°．故答案为：22.5°．总结提升：本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．4．（2019•福田区三模）对于m，n（n≥m）我们定义运算A n m＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，请你计算A42＝　．思路引领：将n＝4，m＝2代入公式求解可得．解：A42＝4×（4﹣1）＝12，故答案为：12．总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则．5．（2022春•塔城地区期末）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．则不等式x⊕4＞0的解集为．思路引领：根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可求得．解：不等式x⊕4＞0化为：2x+12＞0，2x＞﹣12，x＞﹣6，故答案为：x＞﹣6．总结提升：本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解不等式的步骤．6．（2022秋•魏县期中）若x是不等于1的实数，我们把11―x称为x的差倒数，如2的差倒数是11―2=―1，﹣1的差倒数为11―(―1)=12，现已知x1=13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2022的值为　．思路引领：根据差倒数的定义，通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，由此可得x2022＝x3＝﹣2．解：∵x1=1 3，∴x2=11―13=32，x3=11―32=―2，x4=11―(―2)=13，……，∴每3次运算结果循环出现一次，∵2022÷3＝674，∴x2022＝x3＝﹣2，∴x2022的值为﹣2，故答案为：﹣2．总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．三．解答题7．（2021秋•汉阳区期中）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出两个“极数” ，；（2）猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=m33，则满足D（m）是完全平方数的所有m的值是．思路引领：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；（2）由“极数”的定义可得出n＝99（10a+b+1），进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；（3）由（2）可得出D（m）＝3（10x+y+1），由D（m）为完全平方数，可得出10x+y+1＝12，10x+y+1＝27，10x+y+1＝48，10x+y+1＝75，解之可得出x，y的值，进而可得出m的值，即可得出结论．解：（1）由“极数”的定义得，1287，2376，故答案为1287，2376；（2）任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：设任意一个“极数”为ab(9―a)(9―b)（1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数），则ab(9―a)(9―b)=1000a+100b+10（9﹣a）+（9﹣b）＝990a+99b+99＝99（10a+b+1），∵1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数，∴10a+b+1是整数，∴任意一个“极数”都是99的倍数．（3）设四位数m为xy(9―x)(9―y)（1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），∵四位数m为“极数”，D（m）=m 33，∴D（m）=99(10x+y+1)33=3（10x+y+1）．∵D（m）是完全平方数，1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数，∴10x+y+1＝3×4＝12，10x+y+1＝3×9＝27，10x+y+1＝3×16＝48，10x+y+1＝3×25＝75，∴x=1y=1或x=2y=6或x=4y=7或x=7y=4，∴m可以为1188或2673或4752或7425．总结提升：本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出n＝99（10a+b+1）；（3）根据D（m）是完全平方数，找出10x+y+1的值．8．（2022秋•胶州市期末）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．（1）判断2022是否是“纯数”？请说明理由；（2）请直接写出2023到2050之间的“纯数”；（3）不大于100的“纯数”的个数为．思路引领：（1）根据“纯数”的定义判断；（2）根据“纯数”的定义求解；（3）根据“纯数”的定义写出数，再查个数．解：（1）∵计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，∴2022是“纯数”；（2）2023到2050之间的“纯数”有：2030，2031，2032，；（3）不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，30，32，100共13个，故答案为：13．总结提升：本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键．9．（2021•任城区二模）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，GH是“EF边半高”．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝ cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为．（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”．当点P介于点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．思路引领：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理即可求解；（2）分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；（3）当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时，PQ取得最小值，即可求解．解：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理得：h2+（2h）2＝102，解得：h＝25，故答案为25；（2）①当“半高”是底边上的高时，如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，由题意得：AD ＝2，BC ＝4；②当“半高”是腰上的高时，如下图，底边为BC 、“半高”CD 为腰上的高，如图2，当△ABC 为锐角三角形时，CD ＝2，AB ＝AC ＝4，在Rt △ADC 中，AD =AC 2―CD 2=23，在Rt △BCD 中，BC =BD 2+CD 2=(4―23)2+22=26―22；如图3，当△ABC 为钝角三角形时，CD ＝2，AB ＝AC ＝4，同理可得：BC ＝26+22；故答案为：4或26+22或26―22；（3）将抛物线的表达式y ＝x 2与直线方程y ＝x +2联立并解得：x ＝﹣1或2，即：点R 、S 的坐标分别为（﹣1，1）、（2，4），则RS ＝32，则RS 边上的高为：12×32=322，则点Q 在于RS 平行的上下两条直线上，如下图，设直线RS 与y 轴交于点N ，故点N 作NQ ⊥TQ 于点Q ，则NQ =322，则QT =QH sin45°=3，点T （0，5），则点M （0，5），点M 于点T 重合，则点Q 的直线方程为：y ＝x +5，当该直线在直线RS 的下方时，y ＝x ﹣1，故点Q 所在的直线方程为：y ＝x +5或y ＝x ﹣1；如图4，当点P 介于点R 与点S 之间时，设与RS 平行且与抛物线只有一个交点P ′的直线方程为：y ＝x +d ，将该方程与抛物线方程联立并整理得：x 2﹣x ﹣d ＝0，△＝1+4d ＝0，解得：d =―14，此时，x 2﹣x +14=0，解得：x =12，点P ′（12，14），此时，P （P ′）Q 取得最小值．总结提升：本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等，此类新定义型题目，通常按题设顺序逐次求解．10．（2022春•梁平区期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x =a +c 3，y =b +d 3那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A ＝（﹣1，8），B ＝（4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x =―1+43=1，y =8+(―2)3=2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l ：y ＝2x +3上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，求直线ET的解析式．思路引领：（1）根据点T是点A，B的融合点的定义判断即可；（2）①根据融合点的定义，构建关系式，可得结论；②图中，当∠TDH＝90°时，点T、D横坐标相同，再根据①中得到的横纵坐标关系即可求出点T坐标，再根据融合点定义求出点E坐标，求一次函数解析式即可．解：（1）∵A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），∴x=13×（﹣1+7）＝2，y=13×（5+7）＝4，∴点C是点A、B的融合点；（2）①∵点T（x，y）是点D，E的融合点，∴x=13（3+t），y=13（0+2t+3），∴y＝2x﹣1；②如图，当∠TDH＝90°时，∴点T、D横坐标相同，x T＝x D＝3，∴y T＝2x﹣1＝2×3﹣1＝5，即T（3，5），∵点E（t，2t+3），点T（3，5），点D（3，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴3=13（3+t），∴t＝6，∴点E（6，15），设直线ET的解析式为：y＝kx+b，把E（6，15），T（3，5），代入得：6k+b=153k+b=5，解得：k=103b=―5，∴直线ET的解析式为：y=103x﹣5．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的判定和性质，融合点的定义，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．11．（2019•浙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x ﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．思路引领：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．（3）由于0＜m＜2，取m＝1开始，发现抛物线内有10个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左移动，可得如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，解得m=5―132或5+132（舍弃），当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，解得m＝1或4（舍弃），∴当5―132≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．12．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA互余，即∠FAB 与∠EBA互余，从而可得答案；（2）画出图形即可．（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝4BE，∴BD＝CD＝5BE，∴CE＝CD+DE＝9BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QBNC=BDCE=59，∵QB＝6，∴NC=54 5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN=108 5，∴AB＝AC=108 5．总结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．13．（2021•南丰县模拟）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，E为BC中点，连接DE．求证：四边形ADEC为理想四边形；（2）如图2，△ABD是等边三角形，若BD为理想对角线，为使四边形ABCD为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角∠BOD＝120°；请你解释他这样设计的合理性．（3）在（2）的条件下，①若△BCD为直角三角形，BC＝3，求AC的长度；②如图3，若CD＝x，BC＝y，AC＝z，请直接写出x，y，z之间的数量关系．思路引领：（1）证明△ACB∽△ADC，推出∠ADC＝∠ACB＝90°，再证明△CDE是等边三角形即可．（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，当点C在BCD上时，∠DCB=12∠DOB＝60°，满足条件．（3）①分两种情形：如图3中，当∠CDB＝90°时，如图4中，当∠CBD＝90°时，分别利用勾股定理求解即可．②以CD为边作等边△ECD，连接BE，作EF⊥BC交BC的延长线于F．利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∵E为BC中点，∴DE＝CE，∴△CDE是等边三角形，∴四边形ADEC为理想四边形；（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，OD＝OB，∠BOD＝120°，当点C 在BCD 上时，∠DCB =12∠DOB ＝60°，故四边形ABCD 为理想四边形．（3）①当∠CDB ＝90°时，如图3中，∵∠CDB ＝90°，∠BCD ＝60°，BC ＝3，∴BD ＝BC •sin60=332，∠CBD ＝30°，∵△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD =332，∠ABD ＝60°，∴∠ABC ＝90°，∴AC =AB 2+BC 2=(332)2+32=372；当∠CBD ＝90°时，如图4中，同法可得AC =AD 2+CD 2=(33)2+62=37；综上所述，AC 的值为372或37．②如图5中，结论：x 2+xy +y 2＝z 2．理由如下：以CD 为边作等边△ECD ，连接BE ，作EF ⊥BC 交BC 的延长线于F ．∵∠EDC ＝∠ADB ＝60°，∴∠EDB ＝∠CDA ，∵ED ＝CD ，BD ＝AD ，∴△EDB ≌△CDA （SAS ），∴AC ＝BE ＝z ，∵∠ECD ＝∠DCB ＝60°，CD ＝CE ＝x ，∴∠ECF ＝60°，∠CEF ＝30°，∴CF=12EC=12x．EF=3CF=32x．在Rt△EFB中，∵BE2＝EF2+BF2，∴z2＝（32x）2+（y+12x）2，整理得：x2+xy+y2＝z2．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了理想四边形的定义，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确理解并运用新定义“理想四边形”和“理想对角线”，学会用分类讨论的思想思考问题．14．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是．思路引领：（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP＝AB＝2，由此即可解决问题．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题．（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．首先证明∠COH＝30°，∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可．解：（1）①如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1），∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴OP＝AB＝2，∴P（0，2）．故答案为（0，2）．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH=OP2―PH2=22―12=3，观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n＜―3．（3）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．由题意C（33，1），∴CH=33，OH＝1，∴tan∠COH=CHOH=33，∴∠COH＝30°，当⊙B经过原点时，B（﹣2，0），此时t＝﹣4，∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件，如图3﹣2中，当点A在原点时，∵∠POB＝60°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0，如图3﹣3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP．∴OC是⊙B的切线，∴OP⊥BP，∴∠OPB＝90°，∵BP＝2，∠POB＝60°，∴OB=PBcos60°=433，此时t=433―2，如图3﹣4中，当⊙A与OC相切时，同法可得OA=433，此时t=433，此时符合题意．如图3﹣5中，当⊙A 经过原点时，A （2，0），此时t ＝2，观察图形可知，满足条件的t 的值为：433―2＜t ≤2，综上所述，满足条件t 的值为﹣4＜t ≤﹣2或t ＝0或433―2＜t ≤2或t =433故答案为：﹣4＜t ≤﹣2或t ＝0或433―2＜t ≤2或t =433．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB 关于射线OC 的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2，给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N （点M ，N 可以重合）使得AM ＝2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系．（1）如图1，点C （3，0），D （0，﹣1），E （0，1），点P 在线段CE 上运动（点P 可以与点C ，E 重合），连接OP ，DP ．①线段OP 的最小值为，最大值为；线段DP 的取值范围是；②在点O ，点D 中，点与线段DE 满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O 的半径为1，线段FG 与x 轴、y 轴正半轴分别交于点F ，G ，且FG ∥EC ，若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求点F 横坐标的取值范围；（3）⊙O 的半径为r （r ＞0），点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，2为半径作圆得到⊙H 和⊙K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．思路引领：（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，DP 的最大值，最小值即可解决问题；②根据限距关系的定义判断即可；（2）根据两直线平行k 相等计算设FG 的解析式为：y =―33x +b ，得G （0，b ），F （3b ，0），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．解：（1）①如图1中，∵点C（3，0），E（0，1），∴OE＝1，OC=3，∴EC＝2，∠ECO＝30°，当OP⊥EC时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是3，Rt△OPC中，OP=12OC=32，即OP的最小值是32；如图2，当DP⊥EC时，DP的值最小，Rt△DEP中，∠OEC＝60°，∴∠EDP＝30°，∵DE＝2，∴cos30°=DP DE，∴DP2=32，∴DP=3，当P与E重合时，DP的值最大，DP的最大值是2，∴线段DP的取值范围是：3≤DP≤2；故答案为：32，3，3≤DP≤2；②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，如图3，故点O与线段DE满足限距关系；根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足DM＝2DN，如图3，故点D与线段DE满足限距关系；故答案为：O和D；（2）∵点C（3，0），E（0，1），∴设直线CE的解析式为：y＝kx+m，+m=01，解得：k=―33m=1，∴直线CE的解析式为：y=―33x+1，∵FG∥EC，∴设FG的解析式为：y=―33x+b，∴G（0，b），F（3b，0），∴OG＝b，OF=3b，当0＜3b＜1时，如图5，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1―3b，最大距离为1+3b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+3b≥2（1―3b），解得3b≥1 3，∴b的取值范围为13≤3b＜1；当1≤3b≤6时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当3b＞6时，如图6，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为3b﹣1，最大距离为3b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴3b+1≥2（3b﹣1），而3b+1≥2（3b﹣1）总成立，∴3b＞6时，线段FG与⊙O满足限距关系，综上所述，点F横坐标的取值范围是：3b≥1 3；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r ﹣4，最大值为2r +4，∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系，∴2r +4≥2（2r ﹣4），解得r ≤6，故r 的取值范围为0＜r ≤6．总结提升：本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．16．（2022•西城区校级模拟）点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x 1≠x 2．若存在一个正数k ，使点P ，Q 的坐标满足|y 1﹣y 2|＝k |x 1﹣x 2|，则称P ，Q 为一对“限斜点”，k 叫做点P ，Q 的“限斜系数”，记作k （P ，Q ）．由定义可知，k （P ，Q ）＝k （Q ，P ）．例：若P （1，0），Q （3，12），有|0―12|=14|1﹣3|，所以点P ，Q 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14．已知点A （1，0），B （2，0），C （2，﹣2），D （2，12）．（1）在点A ，B ，C ，D 中，找出一对“限斜点”：，它们的“限斜系数”为；（2）若存在点E ，使得点E ，A 是一对“限斜点”，点E ，B 也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E 的坐标；（3）⊙O 半径为3，点M 为⊙O 上一点，满足MT ＝1的所有点T ，都与点C 是一对“限斜点”，且都满足k （T ，C ）≥1，直接写出点M 的横坐标x M 的取值范围．思路引领：（1）根据定义通过计算求解即可；（2）设E （x ，y ），由题意可得|y |＝|x ﹣1|，|y |＝|x ﹣2|，求解方程即可求点E 的坐标；（3）由题意可知C 点在直线y ＝﹣x 上，T 点在以M 为圆心1为半径的圆上，M 点在以O 为圆心3为半径的圆上，则T 点在以O 为圆心2为半径的圆上或以O 为圆心4为半径的圆上，当T 点在直线y ＝﹣x 上时，k ＝1，再由k （T ，C ）≥1，可知T 点在直线y ＝﹣x 的上方，T 点在直线y ＝﹣x 的上方，直线y ＝x ﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部．解：（1）A （1，0），C （2，﹣2），有|0+2|＝2|1﹣2|，∴A 、C 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；A （1，0），D （2，12），有|0―12|=12|1﹣2|，∴A 、D 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为12；故答案为：A 、C 或A 、D ，2或12；（2）设E （x ，y ），∴|y |＝|x ﹣1|，|y |＝|x ﹣2|，∴|x ﹣1|＝|x ﹣2|，解得x =32，∴y ＝±12，∴E （32，12）或（32，―12）；（3）∵C （2，﹣2），∴C 点在直线y ＝﹣x 上，∵MT ＝1，∴T点在以M为圆心1为半径的圆上，∵M点在以O为圆心3为半径的圆上，∴T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，当T点在直线y＝﹣x上时，设T（m，﹣m），∴|﹣m+2|＝k|m﹣2|，∴k＝1，∵k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝﹣x的上方，直线y＝x﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，∴―322≤x M≤4．总结提升：本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合解题是关键．17．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”．例如：点M（1，3）的特征线是y＝x+2和y＝﹣x+4；（1）若点D的其中一条特征线是y＝x+1，则在D1（2，2）、D2（﹣1，0）、D3（﹣3，4）三个点中，可能是点D的点有　D2　；（2）已知点P（﹣1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y＝kx+b （k≠0）经过点P，且与x轴交于点B．若使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；（3）已知点C（2，0），T（t，0），且⊙T的半径为1．当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．思路引领：（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，求出△PAB的面积为6时点B 的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题．（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，设当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，分别求出OT，OT′结合图象即可解决问题．解：（1）如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是y＝x+1．故答案为D2．（2）如图2中，设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，∴1+b＝2，∴b＝1，∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+1，∴A（1，0），当△BPA的面积＝6时，12•AB•2＝6，∴AB＝6，∴B（﹣5，0）或（7，0），当y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（﹣5，0）时，―k+b′=2―5k+b′=0解得k=1 2，当直线y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（7，0）时，―k+b′=27k+b′=0，解得k=―1 4，观察图形可知满足条件的k的值为―14≤k≤12且k≠0．（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，连接TM，在Rt△TCM中，∵∠TMC＝90°，∠MCT＝45°，∴MT＝MC＝1，∴TC=2TM=2，∴OT＝2―2，此时t＝2―2．当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，同理可得OT′＝2+2，此时t＝2+2，结合图象可知满足条件的t的值为：2―2≤t≤2+2．总结提升：本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；（2）如图，请补全分段函数y=―x2+2x+1(x＜2)x2+bx+c(x≥2)的图象（不要求列表）．并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质：；②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线y=12x―1围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．思路引领：（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；（3）根据图象求整点坐标即可．解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：4+2b+c=125+5b+c=4，解得b=―6 c=9，∴y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式为y＝x2﹣6x+9；（2）如图所示：①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；（3）如图：由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，1）．总结提升：本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．19．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是；②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．思路引领：（1）①画出图形，求出切线长，根据⊙O的伴随点的定义判断即可．②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问。

中考数学一轮复习考点专练实数的相关概念课件

C．带根号的数都是无理数
D．实数包括正实数、负实数
2．(202X·乐山)如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元
记作＋2元，支出5元记作(
)
A．5元 B．－5元
C．－3元 D．7元
3．(202X·潜江)下列实数中是无理数的是(
)
A．3.14
B. 9 C. 3
D. 1
7
4．向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示，“体重减少1.5kg”换一种说法可以叙述为“体重增加 _－__1_._5_kg”．
为( )
A．0.10909×105
B．1.0909×104
C．10.909×103
D．109.0报网，中国科学技术大学的潘建伟、陆
朝阳等人构建了一台76个光子100个模式的量子计算机“九章”．它
处理“高斯玻色取样”的速度比目前最快的超级计算机“富岳”快一
百万亿倍．也就是说，超级计算机需要一亿年完成的任务，“九
18．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用
横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：
6728,6708)，
则
表示的数是 _9_1_6_7_．
1.对于含有计数单位或计量单位并需转换单位的科学记数法，可以利用1亿＝108，1万＝104，1mm＝10－3m，1μm＝10－6m，1nm＝ 10－9m等来表示，能提高解题的效率． 2．用科学记数法表示数时，要注意已知数据是否与表达数据单位一致．
8.(202X·兴安盟)用四舍五入法把某数取近似值为5.2×10－2，

中考数学第六章实数知识点及练习题及答案

中考数学第六章实数知识点及练习题及答案一、选择题1．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把(0)a a a a a a ÷÷÷÷÷≠记作a ⓒ，读作“a 的圈c 次方”，关于除方，下列说法错误的是（） A ．任何非零数的圈2次方都等于1B ．对于任何正整数a ，21()a a =④C ．3=4④④D ．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数.2．16的算术平方根是（）A ．2B ．2±C ．4D ．4± 3．若一个正方形边长为a ，面积为3，即23a =，可知a 是无理数，它的大小在下列哪两个数之间( )A ．1.5 1.6a <<B ．1.6 1.7a <<C ．1.7 1.8a <<D ．1.8 1.9a <<4．关于2的判断：①2是无理数；②2是实数；③2是2的算术平方根；④122＜＜．正确的是( )A ．①④B ．②④C ．①③④D ．①②③④ 5．如果-1<x<0，比较x 、x 2、x -1的大小A ．x -1<x<x 2B ．x<x -1<x 2C ．x 2<x<x -1D ．x 2<x -1<x 6．下列各组数中，互为相反数的是（）A ．2-与12-B ．|2|-与2C ．2(2)-与38-D ．38-与38- 7．在如图所示的数轴上，,AB AC A B =，两点对应的实数分别是3和1,－则点C 所对应的实数是（）A ．13+B ．23+C ．231-D ．231+8．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）A ．|a|＞|b|B ．|ac|=acC ．b ＜dD ．c+d ＞09．设42a ，小整数部分为b ，则1a b-的值为（）A ．2-B ．2C ．212+D ．212- 10．若2a+b b-4+=0，则a +b 的值为( )A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2二、填空题11．64的立方根是___________．12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f （12）＝2，f （13）＝3，f （14）＝4，f （15）＝5，… 利用以上规律计算：1(2019)()2019f f ____． 13．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___14．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．15．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____． 16．3是______的立方根；81的平方根是________32=__________．17．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．18．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________19．如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，则这个正数为_____________．20．2x -﹣x|＝x+3，则x 的立方根为_____．三、解答题21．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a ⊕b ⊕c =2a b c a b c --+++.如：(1)-⊕2⊕3=123(1)2352---+-++=. ①根据题意，3⊕(7)-⊕113的值为__________；②在651128,,,,0,,,,777999---这15个数中，任意取三个数作为a ，b ，c 的值，进行“a ⊕b ⊕c ”运算，在所有计算结果中的最大值为__________；最小值为__________． 22．七年某班师生为了解决“22012个位上的数字是_____”这个问题，通过观察、分析、猜想、验证、归纳等活动，从而使问题得以解决，体现了从特殊到一般的数学思想方法．师生共同探索如下：（1）认真填空，仔细观察．因为21=2，所以21个位上的数字是2 ；因为22=4，所以22个位上的数字是4；因为23=8，所以23个位上的数字是8；因为24= _____ ，所以24个位上的数字是_____；因为25= _____ ，所以25个位上的数字是_____；因为26= _____ ，所以26个位上的数字是_____；（2）小明是个爱动脑筋的学生，他利用上述方法继续探索，马上发现了规律，于是猜想：210个位上的数字是4，你认为对吗？（3）利用上述得到的规律，可知：22012个位上的数字是_____；（4）利用上述研究数学问题的思想与方法，试求：32013个位上的数字是_____．23．观察下列两个等式：112-2133=⨯+，225-5133=⨯+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+ 成立的一对有理数a ，b 为“共生有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（2，13），（5，23），都是“共生有理数对”．（1）数对（-2，1），（3，12）中是“共生有理数对”吗？说明理由．（2）若（m ，n ）是“共生有理数对”，则（-n ，-m ）是“共生有理数对”吗？说明理由．24．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．25．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：0,?0,?0,?a b a b a b a b a b a b ->>⎧⎪-==⎨⎪-<<⎩则则则；2与2的大小∵224-=<<则45<<∴2240-=> ∴22>请根据上述方法解答以下问题：比较2-与3-的大小．26．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -<+≤．例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．（1）计算： 1.87<>= ；= ；（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足43x x <>=的所有非负实数x 的值；（3）若关于x 的方程21122a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据定义依次计算判定即可．【详解】解：A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A 正确； B 、a ④=21111()a a a a a a a a a ÷÷÷=⨯⨯⨯=；所以选项B 正确； C 、3④=3÷3÷3÷3=19，4④=4÷4÷4÷4=116，，则 3④≠4④；所以选项C 错误； D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；故选：C ．【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．2．C解析：C【分析】本题是求16的算术平方根，应看哪个正数的平方等于16，由此即可解决问题．∵（±4）2=16，∴16的算术平方根是4．故选：C ．【点睛】此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．3．C解析：C【分析】分别计算出1.5、1.6、1.7、1.8、1.9的平方，然后与3进行比较，即可得出a 的范围.【详解】解：∵222221.52.25,1.6 2.56,1.7 2.89,1.83.24,1.9 3.61=====又2.89＜3＜3.24∴1.7 1.8a <<故选：C.【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，利用平方法是解题关键． 4．D解析：D【分析】根据实数、无理数，算术平方根的意义和实数的大小比较方法逐一进行判断即可得到答案.【详解】是无理数，正确；是实数，正确；是2的算术平方根，正确；④12，正确．故选：D【点睛】本题考查了实数、无理数，算术平方根的意义和实数的大小比较方法等知识点，是常考题型.5．A解析：A【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合x 的取值范围得出答案.【详解】∵-1＜x ＜0，∴x -1＜x ＜x 2，故选A.此题主要考查了负整数指数幂的性质以及实数的大小比较，正确利用x的取值范围分析是解题的关键.6．C解析：C【分析】先化简，然后根据相反数的意义进行判断即可得出答案.【详解】解：A. 2-与12-不是一组相反数，故本选项错误；B. |，所以|不是一组相反数，故本选项错误；，故选：C【点睛】本题考查了相反数，能将各数化简并正确掌握相反数的概念是解题关键. 7．D解析：D【分析】根据线段中点的性质，可得答案．【详解】∵，A，∴C，故选：D．【点睛】此题考查实数与数轴，利用线段中点的性质得出AC的长是解题关键．8．B解析：B【分析】先弄清a,b,c在数轴上的位置及大小，根据实数大小比较方法可以解得.【详解】从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；A、|a|＞|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；C、b＜d，故选项正确；D、d＞c＞1，则c+d＞0，故选项正确．故选B.本题考核知识点：实数大小比较. 解题关键点：记住数轴上右边的数大于左边的数;两个负数，绝对值大的反而小.9．D解析：D【详解】解：∵1＜2＜4，∴1＜2，∴﹣2＜＜﹣1，∴2＜43，∴a=2，b=422=-2∴1222122a b -==-=-．故选D ．【点睛】本题考查估算无理数的大小．10．D解析：D【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性，列出关于a 、b 的方程组，解之即可．【详解】b-4=0，∴2a+b ＝0，b ﹣4＝0，∴a ＝﹣2，b ＝4，∴a+b ＝2，故选D ．【点睛】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，正确列出方程是解题的关键．二、填空题11．2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题解析：2【分析】8，根据立方根的定义即可求解．【详解】8=，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．12．-1【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…，∴f(2019)＝2018．∵f()＝2，f()＝3，f()＝4，f()解析：-1【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…，∴f(2019)＝2018．∵f(12)＝2，f(13)＝3，f(14)＝4，f(15)＝5，…，∴1()2019f2019，∴1(2019)()2019f f2018-2019=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键．13．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列解析：【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第n 个数到底是哪个数后再计算．【详解】（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，∵1994493÷=……，即1中第三个数故答案为．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．14．如等，答案不唯一．【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.解析：π等，答案不唯一．【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.15．【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c+d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a 、b 互为倒数，∴ab ＝1，∵c 、d 互为相反数，∴c+d ＝0，∴＝﹣1+0+1＝0．解析：【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c +d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a 、b 互为倒数，∴ab ＝1，∵c 、d 互为相反数，∴c +d ＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．16．±9 2-【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵ ，∴3是27的立方根；∵ ，∴81的平方根是；∵ ，∴；故答案为：2解析：【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵3327= ，∴3是27的立方根；∵2(9)81±= ，∴81的平方根是9± ；2< ，22=故答案为：27，9±，；【点睛】本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．17．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．18．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】=，故①错误；①10②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数．19．9【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a的值，即可确定出这个正【详解】解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得：，解得：，则这个正数是．故答案为：9．【解析：9【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a 的值，即可确定出这个正数．【详解】解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： 1270a a ++-=，解得：2a =，则这个正数是2(21)9+=．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 20．3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x 的取值范围进而得出x 的值，求出答案．【详解】解：∵有意义，∴x﹣2≥0，解得：x≥2，∴+x﹣2＝x+3，则＝5，故x ﹣2＝25，解得解析：3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x 的取值范围进而得出x 的值，求出答案．【详解】∴x ﹣2≥0，解得：x≥2，﹣2＝x+3，5，故x ﹣2＝25，解得：x ＝27，故x 的立方根为：3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．三、解答题21．（1）3（2）53（3）117-【分析】（1）根据给定的新定义，代入数据即可得出结论；（2）分a-b-c≥0和a-b-c≤0两种情况考虑，分别代入定义式中找出最大值，比较后即可得出结论．【详解】解：①根据题中的新定义得：3⊕()7-⊕113=()()111137373332---++-+= ②当a-b-c≥0时，原式()12a b c a b c a =--+++=, 则取a 的最大值，最小值即可，此时最大值为89，最小值为67-；当a-b-c≤0时，原式()12a b c a b c b c =-+++++=+，此时最大值为785993b c +=+=，最小值为6511777b c ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵586113977>>->- ∴综上所述最大值为53，最小值为117-.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意弄清新定义式的运算是解题的关键．22．（1）16，6；32，2；64，4；（2）对；（3）6；（4）3．【分析】（1）利用乘方的概念分别求出24、25、26的结果，即可解决；（2）算出210的结果，即可知道个位数是多少，即可解决；（3）按照上述规律，以4为周期，个位数重复2、4、8、6，故2012中刚好有503组，故能得出答案；（4）分别求出31，32，33，34，找出规律，个位数重复3，9，7，1，2013中是4的503倍，而且余1，故得出结论．【详解】解：（1）∵24=16、25=32、26=64∴24的个位数为6；25的个位数为2；26的个位数为4；（2）∵210=1024∴个位数是4，该说法对（3）可以知道规律，以4为周期，各位数重复2、4、8、6，故2012中刚好有503组，故22012个位数刚好为6；（4）∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243；∴个位数重复3，9，7，1∵2013中是4的503倍，而且余1∴个位数为3．【点睛】本题主要考查了乘方的运算以及找规律，熟练乘方的运算以及找出规律是解决本题的关键．23．(1) (−2,1)不是“共生有理数对”，13,2⎛⎫⎪⎝⎭是“共生有理数对”；理由见详解.(2)(−n,−m)是“共生有理数对”，理由见详解.【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；（2）根据“共生有理数对”的定义即可判断；【详解】(1)−2−1=−3，−2×1+1=1，∴−2−1≠−2×1+1，∴(−2,1)不是“共生有理数对”，∵1515 3,312222 -=⨯+=，∴1133122-=⨯+，∴(13,2)是“共生有理数对”；(2)是. 理由：− n −(−m )=−n +m ，−n ⋅(−m )+1=mn +1∵(m ,n )是“共生有理数对”∴m −n =mn +1∴−n +m =mn +1∴(−n ,−m )是“共生有理数对”，【点睛】考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，等式的性质，读懂题目中“共生有理数对”的定义是解题的关键.24．6±【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题．【详解】解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得54x y =⎧⎨=⎩，36<<67∴<<，6z ∴=，424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，故42x y z ++的平方根是6±．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．25．23>-【分析】根据例题得到2(3)5--=-5.【详解】解：2(3)5--=- ∵<，∴45<<，∴2(3)50-=->， ∴23>-.【点睛】此题考查实数的大小比较方法，两个实数可以利用做差法比较大小.26．（1）2，3 （2）①5722x ≤<②330,,42（3）00.5a ≤< 【分析】（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值；（3）先解方程求得22x a =-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．【详解】（1） 1.87<>=2；=3；（2）①∵12x <->= ∴1121222x --<+≤ 解得5722x ≤<； ②∵43x x <>=∴41413232x x x -<+≤ 解得3322x -<≤ ∵43x 为整数 ∴333,0,,442x =- 故所有非负实数x 的值有330,,42；（3）21122a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-22x a =-<>∵方程的解为正整数∴21a -<>=或2①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<．【点睛】本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．。

中考数学数学第六章实数的专项培优易错试卷练习题及答案

中考数学数学第六章实数的专项培优易错试卷练习题及答案一、选择题1．计算：122019(1)(1)(1)-+-++-的值是（） A ．1- B ．1 C ．2019 D ．2019-2．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则7×6！的值为( )A ．42！B ．7！C ．6！D ．6×7！3．2-是（）A ．负有理数B ．正有理数C ．自然数D ．无理数4．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．ac ＞0B ．|b |＜|c |C ．a ＞﹣dD ．b +d ＞05．已知无理数7－2，估计它的值( )A ．小于1B ．大于1C ．等于1D ．小于0 6．下列数中π、227，﹣3，3343，3.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），0.3中，无理数的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（）A ．2B ．4C ．8D ．68．如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数25-的点P 应落在( )A ．线段AB 上B ．线段BO 上C ．线段OC 上D ．线段CD 上 9．下列判断中不正确的是（）A 37B ．无理数都能用数轴上的点来表示C 174D 551016 ）A ．4B ．4-C ．4±D ．2± 二、填空题11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．12．a 是10的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________．13．估计512-与0.5的大小关系是：512-_____0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 14．若已知x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．15．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______．16．对于这样的等式：若（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，则﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5的值为_____．17．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．18．对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于[]a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：，如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次： 10]33]1=→=这时候结果为1．则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________．19．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．20．0.050.55507.071≈≈≈≈，按此规500_____________三、解答题21．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<332768______位数；（2）由32768的个位上的数是8332768________，划去32768后面的三位数768得到32，因为333=27,4=64332768_____________(3)已知13824和110592-分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：3327683-110592________=22．下面是按规律排列的一列数：第1个数：11(1)2--+. 第2个数：()()231112(1)11234⎡⎤⎡⎤----+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 第3个数：()()()()2345111113(1)111123456⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤------+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. …(1)分别计算这三个数的结果(直接写答案).(2)写出第2019个数的形式(中间部分用省略号，两端部分必须写详细)，然后推测出结果.23．定义☆运算：观察下列运算：两数进行☆运算时，同号，异号．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算, ．（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝．（3）若2×（﹣2☆a ）﹣1＝8，求a 的值．24．观察下列两个等式：1122133-=⨯+，2255133-=⨯+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+成立的一对有理数,a b 为“共生有理数对”，记为(),a b ，如：数对12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，25,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，都是“共生有理数对”．（1）判断下列数对是不是“共生有理数对”，（直接填“是”或“不是”）．(2,1)- ，(13,2) ．（2）若 5,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭是“共生有理数对”，求a 的值；（3）若(),m n 是“共生有理数对”，则(),n m --必是“共生有理数对”．请说明理由；（4）请再写出一对符合条件的 “共生有理数对”为（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）．25．对于结论：当a+b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；（2x+5的平方根是它本身，求x+y 的立方根．26．阅读材料，回答问题：（1）对于任意实数x ，符号[]x 表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数，[]x 就是x ，当x 不是整数时，[]x 是点x 左侧的第一个整数点，如[]33=，[]22-=-，[]2.52=，[]1.52-=-，则[]3.4=________，[]5.7-=________．（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题意，1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1，然后两个加数作为一组和为0，即可得到答案.【详解】解：∵1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1，∴122019(1)(1)(1)-+-++-=1234201720182019[(1)(1)][(1)(1)][(1)(1)](1)-+-+-+-++-+-+- =2019(1)-=1-；故选：A.【点睛】本题考查了数字规律性问题，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1.2．B解析：B【分析】直接根据题目所给新定义化简计算即可．【详解】根据题中的新定义得：原式=7×6×5×4×3×2×1=7！．故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是有理数的混合运算，读懂题意，理解题目所给定义的运算方法是解此题的关键．3．A解析：A【解析】【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．【详解】∵2-是整数，整数是有理数，∴D 错误；∵2-小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，∴B 、C 错误；∴2-是负有理数，A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．4．D解析：D【分析】根据实数在数轴上的位置判断大小，结合实数运算法则可得.【详解】根据数轴，﹣4＜a ＜﹣3，﹣2＜b ＜﹣1，0＜c ＜1，2＜d ＜3，∵﹣4＜a ＜﹣3，0＜c ＜1，∴ac ＜0，故A 错误；∵﹣2＜b ＜﹣1，0＜c ＜1，∴1＜|b |＜2，0＜|c |＜1，故|c |＜|b |，故B 错误； ∵﹣4＜a ＜﹣3，2＜d ＜3，∴﹣3＜﹣d ＜﹣2，故a ＜﹣d ，故C 错误；∵﹣2＜b ＜﹣1，2＜d ＜3，∴b +d ＞0，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查实数与数轴以及实数的大小比较，熟练实数相关知识点是解答此题的关键．5．A解析：A【分析】首先根据479<<可以得出23<<2的范围即可. 【详解】∵23<<，∴22232-<<-，∴021<<，2-的值大于0，小于1.所以答案为A 选项.【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.6．C解析：C【解析】【分析】根据无理数的概念解答即可.【详解】解:在π、227 3.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），0.3中,无理数是: π 3.2121121112…（每两个2之间多一个1），共3个，故选C.【点睛】本题考查了无理数的定义.注意带根号的数与无理数的区别:带根号的数不一定是无理数,带根号且开方开不尽的数一定是无理数.是有理数中的整数.7．C解析：C【分析】通过观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…知，他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…因为2019÷4＝504…3，所以20192的个位数字与32的个位数字相同是8．【详解】解：仔细观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…；可以发现他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…∵2019÷4＝504…3，∴20192的个位数字与32的个位数字相同是8．故答案是：8．【点睛】本题考查了尾数特征，解题的关键是根据已知条件，找出规律：2的乘方的个位数是每4个数一循环，2，4，8，6，…．8．B解析：B【分析】【详解】由被开方数越大算术平方根越大，得由不等式的性质得：故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.9．C解析：C【分析】运用实数大小的比较、绝对值有理数和无理数的定义和性质逐项分析即可．【详解】解：A是无理数，原说法正确，故此选项不符合题意；B、无理数都能用数轴上的点来表示，原说法正确，故此选项不符合题意；C44，原说法错误，故此选项符合题意；D故答案为C．【点睛】本题主要考查了实数大小的比较、绝对值有理数和无理数的定义和性质等知识点，灵活运用相关定义和性质是解答本题的关键．10．D解析：D【分析】，再求出4的算术平方根即可【详解】，4的平方根是±2，2故选D.【点睛】本题主要考查了算术平方根与平方根的求法，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．二、填空题11．-4【解析】解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A 的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A 的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．解析：-4π【解析】解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A ′与A 的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A ′在A 的左侧，所以A ′表示的数为-4π，故答案为-4π．12．-5【解析】∵32<10<42,∴的整数部分a=3,∵b 的立方根为-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.解析：-5【解析】∵32<10<42,a=3,∵b 的立方根为-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.13．>【解析】∵ . , ∴ , ∴ ,故答案为>.解析：>【解析】∵10.52-=-=20-> , ∴0> , ∴0.5> ,故答案为>.14．-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可. 【详解】解：∵+（y+2）2=0∴∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟解析：-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】（y+2）2=0∴1020 xy-=+=⎧⎨⎩12 xy=⎧∴⎨=-⎩∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键.15．-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-解析：-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．16．-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+解析：-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，∴a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1，把a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1代入﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5中，可得：﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1，故答案为：﹣1【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a0，a1，a2，a3，a4，a5的值. 17．①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b ，两式解析：①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b，两式相等，若a≠b，则两式不相等，所以②错误；方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；左边=(a ※b) ※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c 右边=a ※（b ※c ）=a ※(b×c+c)=a (b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c 2 两式不相等，所以④错误．综上所述，正确的说法有①③．故答案为①③.【点睛】有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．18．255【分析】根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：∴对255只需要进行3次操作后变成1，∴对256需要进行4次操作解析：255【分析】根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：25515,3,1,⎡⎤===⎣⎦ ∴对255只需要进行3次操作后变成1，25616,4,2,1,⎡⎤====⎣⎦ ∴对256需要进行4次操作后变成1，∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255；故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数的大小应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．19．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．20．36【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.【详解】解：观察，不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，因此得到第三个数的解析：36【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.【详解】≈≈≈≈，7.071不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，≈.因此得到第三个数的估值扩大1022.36故答案为22.36.【点睛】本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.三、解答题21．（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；（2）继续分析求出个位数和十位数即可；（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．【详解】解：（1）由103=1000，1003=1000000，∵1000＜32768＜100000，∴10100，故答案为：两；（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，2划去32768后面的三位数768得到32，因为33=27，43=64，∵27＜32＜64，∴3040．3．故答案为：2，3；（3）由103=1000，1003=1000000，1000＜13824＜1000000，∴10100，∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，4划去13824后面的三位数824得到13，因为23=8，33=27，∵8＜13＜27，∴2030．；由103=1000，1003=1000000，1000＜110592＜1000000，∴10100，∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，8，划去110592后面的三位数592得到110，因为43=64，53=125，∵64＜110＜125，∴4050．；故答案为：24，-48．【点睛】此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．22．(1)12，32，52；(2)2019－(1＋12-)(1＋2(1)3-)(1＋3(1)4-)…(1＋()4036-14037)(1＋4037(1)4038-)＝40372. 【分析】根据有理数的运算法则，即可求解；按照规律，写出第2019个数：2019－(1＋12-)(1＋2(1)3-)(1＋3(1)4-)…(1＋()4036-14037)(1＋()4037-14038 )，化简后，算出结果，即可.【详解】解：(1)12，32，52(2)第2019个数：2019－(1＋12-)(1＋2(1)3-)(1＋3(1)4-)…(1＋()4036-14037)(1＋()4037-14038)＝2019－1436523456⨯⨯⨯⨯×…×4038403740374038⨯＝2019－12＝40372 【点睛】本题主要考查有理数的乘方和四则混合运算，关键是观察分析出前几个数之间的变化规律，写出第2019个数的形式，并进行计算.23．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-52【分析】（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则；（2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算；（3）根据（1）归纳出的运算法则对a 的取值进行分类讨论即可得到答案．【详解】(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加；异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值；（2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；（3）①当a=0时，左边=()22012213⨯--=⨯-=☆，右边=8，两边不相等，∴a≠0； ②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a ）]﹣1＝8,可解得132a =-（舍去）， ③当a<0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=52-，综上所述：a=-52．【点睛】本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键．24．（1）不是；是；（2）a=37-；（3）见解析；（4）（4，35）或（6，57）【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；（2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；（3）根据“共生有理数对”的定义即可判断；（4）根据“共生有理数对”的定义即可解决问题；【详解】解：（1）-2-1=-3，-2×1+1=1，∴-2-1≠-2×1+1，∴（-2，1）不是“共生有理数对”，∵3-12=52，3×12+1=52， ∴3-12=3×12+1， ∴（3，12 ）是“共生有理数对”；故答案为：不是；是；（2）由题意得： a-5()2- =512a -+，解得a=37-．（3）是．理由：-n-（-m ）=-n+m ，-n•（-m ）+1=mn+1∵（m ，n ）是“共生有理数对”∴m-n=mn+1∴-n+m=mn+1∴（-n ，-m ）是“共生有理数对”，（4）3344155-=⨯+；5566177-=⨯+∴（4，35）或（6，57）等．故答案为：是，（4，35）或（6，57）【点睛】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（1）成立，例子见解析；（2）﹣2【分析】（1（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．【详解】解：（10，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；（2＝0，∴8﹣y+2y﹣5＝0，解得：y＝﹣3，∵x+5的平方根是它本身，∵x+5＝0，∴x＝﹣5，∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，∴x+y的立方根是﹣2．【点评】本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．26．（1）3；6-；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得；②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．【详解】（1）∵3 3.44<<∴[]3.43=∵6 5.75-<-<-∴[]5.76-=-故答案为：3；6-．（2）①∵3.074<∴3.07公里需要2元∵47.9312<<∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元，后3.93公里1元∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元）∵19.212174<<∴19.17公里所需费用分为三段计费即：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；∴19.17公里所需费用为：2226++=（元）故答案为：2；3；6．②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；∴乘坐24公里所需费用为：2226++=（元）∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．。

中考数学培优复习第1讲实数及其运算

中考数学培优复习第1讲实数及其运算（一）：【知识梳理】1.实数的有关概念(1)有理数:和统称为有理数。

(2)有理数分类①按定义分: ②按符号分:有理数；有理数（3）相反数：只有不同的两个数互为相反数。

若a、b互为相反数，则。

（4）数轴：规定了、和的直线叫做数轴。

（5）倒数：乘积的两个数互为倒数。

若a（a≠0）的倒数为.则。

（6）绝对值：（7）无理数：小数叫做无理数。

（8）实数：和统称为实数。

（9）实数和的点一一对应。

2.实数的分类:实数3.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数）（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。

取近似数的原则是“四舍五入”。

（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。

4. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则(1)有理数加法法则：①同号两数相加，取________的符号，并把__________②绝对值不相等的异号两数相加，取___________的符号，并用____________。

互为相反数的两个数相加得____。

③一个数同0相加，__________________。

(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。

(3)有理数乘法法则：①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。

任何数同0相乘，都得________。

②几个不等于0的数相乘，积的符号由___________决定。

当____________，积为负，当___________，积为正。

③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________.(4)有理数除法法则：。

中考数学总复习-----实数.doc

中考数学总复习-----实数知能优化训练一中老©磁1.（2017福建中考）3的相反数是（）1A.-3B.--C.|D.32.（2017青海西宁中考）在下列各数中，比-1小的数是（）A.lB.-1C.-2D.0答案:|c3.（2017天津中考）计算（-3）+5的结果等于（）A.2B.-2C.8D.-84.（2017四川成都中考）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是:今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.若气温为零上10 ©记作+ 10 °C,则-3 °C表示气温为（）A.零上3 °C B.零下3 °CC.零上7 °CD.零下7 °C煎B5.（2017天津中考）据《天津日报》报道,天津市社会保障制度更加成熟完善，截至2017年4月末，累计发放社会保障卡12 630 000张，将12 630 000用科学记数法表示为（）A.0.126 3X108B.1.263X107C.12.63X106D.126.3X1056.（2017青海西宁中考）市民惊叹西宁绿化颜值暴涨,2017年西宁市投资25 160 000元实施生态造林绿化工程建设项目.将25 160 000用科学记数法表示为.容菊 2.516x1（）77.（2017新疆中考）计算:G）"-|-必|+面+（1-兀）°.| 解：| 原式=2-V^+2^3 +1 =3 +V3.1.在0,1,-2,-3.5这四个数中，是负整数的是（）A.OB.1C.-2D.-3.5解析:|-2是负整数，故选C.答案:|c2.若x=（-3）x当则x的倒数是（）O1 1A-2 B-2C.-2D.2------ 11 解析:因为x=（-3）X o z所以X的倒数是-2.故选C.答案:|c3.对于-（-8）,有下列理解:例表示-8的相反数;（W表示-1与-8的乘积;啊表示-8的绝对值;算结果等于8.其中错误的个数是（）A.OB.1C.2D.3ggA4.如图，数轴上两点对应的实数分别为1和必，若点A关于点B的对称点为C,则点。

(word版)九年级数学中考实数专题复习1.1实数

第一讲：实数专题【知识点】考点一、实数的概念及分类1、实数的分类〔1〕按定义分〔2〕按性质分2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环〞这一时之，归纳起来有四类：〔1〕开方开不尽的数，如7,32等；π〔2〕有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；3〔3〕有特定结构的数，如等；〔4〕某些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：只有不同的两个数叫做互为相反数，数a的相反数为，x－y的相反数为；假设a与b互为相反数，那么；互为相反数的两个数在数轴上到原点的距离．2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

假设|a|=a，那么a≥0；假设|a|=-a，那么a≤0。

3、倒数：如果a与b互为倒数，那么有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根〔或二次方跟〕。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a的平方根记做“a〞。

2、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a〞。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a〔a0〕a0a2a；注意a的双重非负性：-a〔a<0〕a03、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根〔或a的三次方根〕。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：3a3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

12、科学记数法把一个数写做 a 10n 的形式，其中 1 a10，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较1、数轴：规定了、和的直线叫做数轴。

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中考数学复习知识点专题训练
第二节概率
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．(2020·原创)下列成语描述的事件为随机事件的是( )
A．刻舟求剑B．守株待兔
C．水中捞月D．揠苗助长
2．(2018·福建B卷)投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是( )
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
3．(2019·烟台)将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )
A.2
5
B.
1
2
C.3
5
D．无法确定
4．(2019·齐齐哈尔)在一个不透明的口袋中装有一些除颜色外完全相同的红、白、
黑三种颜色的小球．已知袋中装有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球
的概率是1
10
，则袋中黑球的个数为( )
A．27 B．23 C．22 D．18
5．(2019·毕节)在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线．现从以下四个关系：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为( )
A.1
4
B.
1
2
C.
3
4
D．1
6．(2019·荆门)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b，那么方程x2＋ax＋b＝0有解的概率是( )
A.1
2
B.
1
3
C.
8
15
D.
19
36
7．(2019·石家庄长安区一模)如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，
C，D，E，F，G都是格点，从C，D，E，F，G五个点中任取一点，以所取点
及A，B为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是________．8．(2019·云南)甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其他差异)．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x，y表示，若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜．
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
1．(2018·淄博)在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足|m－n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”．则两人“心领神会”的概率是( )
A.3
8
B.
5
8
C.
1
4
D.
1
2
2．(2019·镇江)如图，有两个转盘A，B，在每个转盘各自的两个扇形区域中，分别标有数字1，2，分别转动转盘A，B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数
字1的扇形区域内”的概率是1
9
，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是
________°.
3．(2019·苏州)如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰好有三个面涂有红色
的概率为________ .
4．(2019·山西)中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)于2019年8月在山西举行．太原市作为主赛区，承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名．甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问题：
(1)甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都是7分，请你分别判断小华、小丽能否被录用(只写判断结果，不必写理由)；
(2)请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价(从“众数”“中位数”或“平均数”中的一个方面评价即可)；
(3)甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心．这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片(除字母外，其余都相同)背面朝上，洗匀放好，志愿者小玲从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率．
5．(2019·石家庄裕华区二模)为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了“古诗词”知识竞赛，由九年级的若干名学生参加选拔赛，从中选出10名优胜者．下面是对参赛学生成绩的不完整统计．
(1)统计表中，a＝________ ，各组人数的中位数是________ ，统计图中，C组所在
扇形的圆心角是________°；
(2)李明同学得了88分，他说自己在参加选拔赛的同学中属于中等偏上水平，你认为他说的有道理吗？为什么？
(3)选出的10名优胜者中，男生、女生分布情况如下表，
若从中任选1名男生和1名女生代表学校参加全区的比赛，请用列表法或画树状图法求男生和女生都来自四班的概率．
参考答案
基础训练 1．B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.2 5
8．解：(1)画树状图如解图所示：
由树状图可知，共有16种等可能情况．
(2)公平，理由：由(1)可知x＋y的结果为奇数的有8种情况，x＋y的结果为偶数的有8种情况，
∴甲获胜的概率为P
1＝
8
16
＝
1
2
，乙获胜的概率为P
2
＝
8
16
＝
1
2
，
∴P
1＝P
2
，∴这个游戏对双方公平．
拔高训练
1．B 【解析】画树状图如解图：
由树状图可知，所有等可能情况共有16种，其中满足|m－n|≤1的有10种，∴P(两人
“心领神会”)＝10
16
＝
5
8
，故选B.
2．80 3.8
27
4．解：(1)小华不能被录用；小丽能被录用．
(2)从众数来看，甲、乙两班各被录用的10名志愿者的众数分别是8分、10分，说明甲班被录用的10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多，乙班
的10名志愿者的基本素质测评得分更高；(从“中位数”或“平均数”方面评价略) (3)画树状图如解图所示：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的有2种等可能结果，
∴P＝2
12＝
1 6
.
5．解：(1)5，6.5，72；
(2)有道理．
理由：参加选拔赛的共有40人，85分以下的有20人，占50%，他得了88分，在前20名内，故可以说他成绩属于中等偏上水平．
(3)由题意可知，10名优胜者中，男生、女生各5名．
用A，B，C，D，E代表男生，其中四班男生为D，用a，b，c，d，e代表女生，其中b，c为四班女生，列表如下：
A B C D E
a (a，A) (a，B) (a，C) (a，D) (a，E)
b (b，A) (b，B) (b，C) (b，D) (b，E)
c (c，A) (c，B) (c，C) (c，D) (c，E)
d (d，A) (d，B) (d，C) (d，D) (d，E)
e (e，A) (e，B) (e，C) (e，D) (e，E)
由表格可知，共有25种等可能的情况，其中选出的一男一女都来自四班的情况有2
种，故选出的男生和女生都来自四班的概率是
2 25
.。