中考数学压轴题解题策略 线段和差最值的存在性问题解题策略
初中数学中考压轴题的解题策略与技巧
初中数学中考压轴题的解题策略与技巧初中数学中考压轴题的解题策略与技巧中考数学是中学阶段最重要的科目之一,对于学生的升学和未来的学习生涯都有着巨大的影响。
中考数学试题中,常常有一些难度较大、涉及知识面广泛、需要灵活应变的题目,这些就是我们说的中考数学中的“压轴题”。
这些题目既考验学生的知识储备,又考验学生的解题能力和思维能力,因此,学生在备考中要特别重视这类题目的练习和掌握。
本文将为大家介绍初中数学中考压轴题的解题策略和技巧,希望能够对大家的备考有所帮助。
一、解题策略1.理解题意:理解题目的关键信息和解题规律,分析问题所涉及的概念、原理、方法等,抓住题目的中心思想,明确解题目的突破点,然后再考虑如何运用相关知识进行分析和解答。
2.归纳总结:把几个相似的题目作比较,找出它们的共性和特点,归纳总结出问题的常见解法、技巧和思路,再运用它们推算出本题的解题方法。
3.举一反三:将解决本题的方法迁移到其他的问题上,通过类比、变形、推广等方法,掌握和运用相关的知识和技巧,提高学生的数学思维和解题水平。
4.灵活应变:初中数学中考压轴题往往具有一定的难度和变化性,解题过程中常常需要不断的调整和修正,要善于对题目进行判断和估计,掌握灵活应变的解题方法。
二、解题技巧1.画图辅助:画图能够帮助学生更加直观地理解题目,从而更方便地推算和解答问题。
在解题时,可以根据题目需要,画出简洁、准确的图形,用于分析问题的结构和特点,并据此推出解题方法。
2.巧用公式:初中数学中考压轴题往往涉及到很多的公式,学生要掌握这些公式的使用方法和特点,熟练应用公式来解答问题。
同时,在解答问题的过程中,还要注意判断公式的适用范围和条件。
3.化繁为简:将复杂的问题分解成若干个简单的问题,逐步深入,不断推进,使问题化解成容易解决的小问题。
如此反复推算,直到解答整个问题。
4.运用逆向思维:对于某些特殊的问题,可能需要学生进行逆向思维的推理和解答。
比如,可以从问题的反面去分析问题的特点和解决方法,或者对某一已知条件推出未知的结论等等。
初中数学中考压轴题的解题策略与技巧
初中数学中考压轴题的解题策略与技巧中考数学压轴题在题型与题面表现上更加多变,需要学生在扎实掌握初中阶段数学知识的基础上结合思维发散才能得以分析解决,是对学生基础数学理论结合解题能力的综合性考察过程。
当前,中考数学压轴题在导向性上更强,它的知识覆盖面与综合性也更强,难度更大,已经成为中考数学决胜的拔高夺分点。
所以首先明确其发展趋势是很有必要的。
一、中考?笛а怪崽獾姆⒄骨魇?当前伴随新课程理念的全面提出与普及,中考数学在压轴题目设计上也更加灵活多变,希望考察学生在数学学科范畴更多层面的综合能力。
详细来讲,它的主要发展趋势表现在以下3个方面。
第一,用应用代数方法来研究几何性质的题目越来越多。
例如通过坐标系来实现数形结合过程,构建数与点之间的坐标对应关系。
另外,还会应用几何视觉来反向针对代数问题展开解答,所以说几何代数两方面的相互迎合也体现了当前数学压轴题在解法上的灵活多样性,更强调代数几何不分家,学生应该全面的掌握初中数学的这两大分支学科,做到面面俱到。
第二,用抛物线或直线相关知识作为载体的题目更多,它希望学生能够懂得如何灵活运用方程以及函数相关思想,解决某些以解析式或研究性质为主的压轴题目。
总之,学生必须深度掌握函数与方程式相关数学内容,以应付某些难度较高的压轴题目。
第三,教师要在数学教学及中考复习前注重对学生数学综合知识运用能力的培养,比如像代数中的等价转换思想。
如上文所述,当前几何与代数不分家,所以在中考数学压轴题目上常有代数几何大综合题,它希望考察学生在两分支学科方面的知识点互换能力和结合应用能力。
二、中考数学压轴题的解题思路中考数学压轴题因为综合性强且对学生数学知识点的把握能力要求较高,所以在中考前的教学与复习阶段应该教授给学生一些有关压轴题的解题思路与技巧,帮助他们能在中考考场中从容应对各种类型、难度的压轴题目,争取拿到关键分数。
为此,以下提出7点比较实用的压轴题解题思路。
(一)思维方式的调整在面对中考数学压轴题目之前,必须学会合理调整思路,因为数学知识内容本来就是环环相扣的,这里不仅仅包括了代数与几何各自在自身体系中的知识点环环相扣,还包括了代数与几何知识的相互关联,特别是在压轴题这样的高难度题目中尤其体现。
上海市中考压轴题解题策略线段和差最值的存在性问题
中考数学压轴题解题策略线段和差最值的存在性问题解题策略20XX年9月13日星期日专题攻略两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图1).三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”(如图2).两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,P A与PB的差的最大值就是AB,此时点P在AB的延长线上,即P′.解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题.图1 图2 图3例题解析例❶如图1-1,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上的一个动点,如果△P AC的周长最小,求点P的坐标.图1-1【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流,点A与点B对称,连结BC,那么在△PBC中,PB+PC总是大于BC的.如图1-3,当点P落在BC上时,PB+PC最小,因此P A+PC最小,△P AC的周长也最小.由y=x2-2x-3,可知OB=OC=3,OD=1.所以DB=DP=2,因此P(1,-2).图1-2 图1-3例❷如图,抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ,B 是OA 的中点.一个动点G 从点B 出发,先经过x 轴上的点M ,再经过抛物线对称轴上的点N ,然后返回到点A .如果动点G 走过的路程最短,请找出点M 、N 的位置,并求最短路程.图2-1【解析】如图2-2,按照“台球两次碰壁”的模型,作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′,作点B 关于x 轴对称的点B ′,连结A ′B ′与x 轴交于点M ,与抛物线的对称轴交于点N .在Rt △AA ′B ′中,AA ′=8,AB ′=6,所以A ′B ′=10,即点G 走过的最短路程为10.根据相似比可以计算得到OM =83,MH =43,NH =1.所以M (83, 0),N (4, 1).图2-2例❸ 如图3-1,抛物线248293y x x =-++与y 轴交于点A ,顶点为B .点P 是x 轴上的一个动点,求线段P A 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值,并求出相应的点P 的坐标.图3-1【解析】题目读起来像绕口令,其实就是求|P A -PB |的最小值与最大值.由抛物线的解析式可以得到A(0, 2),B(3, 6).设P(x, 0).绝对值|P A-PB|的最小值当然是0了,此时P A=PB,点P在AB的垂直平分线上(如图3-2).解方程x2+22=(x-3)2+62,得416x=.此时P41(,0)6.在△P AB中,根据两边之差小于第三边,那么|P A-PB|总是小于AB了.如图3-3,当点P在BA的延长线上时,|P A-PB|取得最大值,最大值AB=5.此时P3(,0)2-.图3-2 图3-3例❹如图4-1,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,求PK+QK的最小值.图4-1【解析】如图4-2,点Q关于直线BD的对称点为Q′,在△KPQ′中,PK+QK总是大于PQ′的.如图4-3,当点K落在PQ′上时,PK+QK的最小值为PQ′.如图4-4,PQ′的最小值为Q′H,Q′H就是菱形ABCD的高,Q′H这道题目应用了两个典型的最值结论:两点之间,线段最短;垂线段最短.图4-2 图4-3 图4-4 例❺如图5-1,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点,求PE+PF的最小值.图5-1【解析】E、F、P三个点都不确定,怎么办?BE=1,AF=2是确定的,那么我们可以求PB +P A -3的最小值,先求PB +P A 的最小值(如图5-2).如图5-3,PB +P A 的最小值为AB ′,AB ′=6.所以PE +PF 的最小值等于3.图5-2 图5-3例❻ 如图6-1,已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a +1, 0),求a 为何值时,四边形ABEF 周长最小?请说明理由.图6-1【解析】在四边形ABEF 中,AB 、EF 为定值,求AE +BF 的最小值,先把这两条线段经过平移,使得两条线段有公共端点.如图6-2,将线段BF 向左平移两个单位,得到线段ME .如图6-3,作点A 关于x 轴的对称点A ′,MA ′与x 轴的交点E ,满足AE +ME 最小. 由△A ′OE ∽△BHF ,得'OE HF OA HB =.解方程6(2)24a a -+=,得43a =.图6-2 图6-3例❼ 如图7-1,△ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =1.点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上,当点A 在x 轴上运动时,点C 也随之在y 轴上运动.在整个运动过程中,求点B 到原点的最大距离.图7-1【解析】如果把OB 放在某一个三角形中,这个三角形的另外两条边的大小是确定的,那么根据两边之和大于第三边,可知第三边OB 的最大值就是另两边的和.显然△OBC是不符合条件的,因为OC边的大小不确定.如图7-2,如果选AC的中点D,那么BD、OD都是定值,OD=1,BD.在△OBD中,总是有OB<OD+BD.如图7-3,当点D落在OB上时,OB1.图7-2 图7-3例❽如图8-1,已知A(-2,0)、B(4, 0)、(D-.设F为线段BD上一点(不含端点),连结AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?图8-1D-的坐标隐含了∠DBA=30°,不由得让我们联想到30°【解析】点B(4, 0)、(角所对的直角边等于斜边的一半.如果把动点M在两条线段上的速度统一起来,问题就转化了.如图8-2,在Rt△DEF中,FD=2FE.如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时,那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E.因此当AF+FE 最小时,点M用时最少.如图8-3,当AE⊥DE时,AF+FE最小,此时F(2,-.图8-2 图8-3例❾如图9-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.点E是BC边上的点,连结AE,过点E作AE的垂线交AB边于点F,求AF的最小值.图9-1【解析】如图9-2,设AF 的中点为D ,那么DA =DE =DF .所以AF 的最小值取决于DE 的最小值.如图9-3,当DE ⊥BC 时,DE 最小.设DA =DE =m ,此时DB =53m .由AB =DA +DB ,得5103m m +=.解得154m =.此时AF =1522m =.图9-2 图9-3例❿ 如图10-1,已知点P 是抛物线214y x =上的一个点,点D 、E 的坐标分别为(0, 1)、(1, 2),连结PD 、PE ,求PD +PE 的最小值.图10-1【解析】点P 不在一条笔直的河流上,没有办法套用“牛喝水”的模型. 设P 21(,)4x x ,那么PD 2=2222211(1)(1)44x x x +-=+.所以PD =2114x +. 如图10-2,2114x +的几何意义可以理解为抛物线上的动点P 到直线y =-1的距离PH .所以PD =PH .因此PD +PE 就转化为PH +PE .如图10-3,当P 、E 、H 三点共线,即PH ⊥x 轴时,PH +PE 的最小值为3.高中数学会学到,抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合,在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质,最好铺垫一个小题,求证PD =PH .图10-2 图10-3。
中考数学压轴攻略
中考数学压轴题攻略
一、中考数学压轴题命题规律
1. 知识分布:数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、应用题。
2. 题型:几何压轴题、代数压轴题、几何代数综合压轴题。
3. 解题方法:构造法、分类讨论法、反证法、图解法。
二、中考数学压轴题难度的原因
1. 题目的设计包含了多个知识点,要求学生具有发散思维和综合能力。
2. 题目的解题方法多样,要求学生有深入的思考和研究。
3. 题目信息量大,需要学生有筛选和整理信息的能力。
4. 题目设计有陷阱,要求学生细心审题,避免失误。
三、中考数学压轴题解题策略
1. 认真审题,理解题意,确定解题思路。
2. 挖掘已知条件,找出关键信息和隐藏信息。
3. 运用所学知识,将问题分解为若干个较小的部分,逐一解决。
4. 综合各部分的结果,得出答案。
四、中考数学压轴题训练方法
1. 多做真题,熟悉题型和解题方法。
2. 注重基础知识的掌握,不要忽视课本上的例题和练习题。
3. 培养自己的思维能力和解决问题的能力。
4. 学会总结和归纳,找出自己的薄弱环节,针对性地加强训练。
5. 在考试中保持冷静,不要因为遇到难题而影响心态。
五、中考数学压轴题注意事项
1. 注意时间分配,不要在难题上花费太多时间。
2. 注意解题步骤的清晰和完整,不要跳步或省略步骤。
3. 注意答案的准确性和规范性,不要犯低级错误。
4. 注意心态的调整,不要因为遇到难题而产生负面情绪。
初三数学压轴题解题方法大全
初三数学压轴题在数学学习中占据着非常重要的地位,下面我将为您提供一些解题方法和技巧,以帮助您更好地解决这些难题。
1. 熟悉基本概念和公式:在解题之前,首先要熟练掌握相关的基本概念和公式。
这包括对代数、几何、三角函数等基本概念的深入理解,以及掌握各种常用的数学公式。
2. 仔细审题:审题是解题的关键步骤。
在审题时,需要明确问题的要求和条件,并尝试从问题入手,找出解题的突破口。
同时,要注意题目中的隐含条件,这些条件往往会成为解题的关键。
3. 善于运用转化思想:转化思想是数学解题中非常重要的思想。
通过转化,可以将复杂的问题转化为简单的问题,将未知的问题转化为已知的问题。
因此,在解题时,要善于运用转化思想,寻找问题的突破口。
4. 学会归纳和总结:归纳和总结是解题的重要环节。
在解题过程中,需要不断总结归纳题目中的信息和条件,找出规律和解题方法。
同时,在解题后要及时总结和反思,加深对题目的理解和掌握。
5. 实践练习:要想真正掌握压轴题的解题方法,必须通过大量的实践练习。
只有通过不断地练习,才能逐渐掌握各种解题技巧和方法,提高解题能力。
在练习时,可以采用模拟试题、历年考题等素材进行练习。
总之,初三数学压轴题的解题方法需要不断地积累和实践。
只有在熟练掌握基本概念和公式的基础上,通过仔细审题、转化思想、归纳总结和实践练习等步骤,才能逐步提高解题能力,攻克压轴题的难关。
初三数学总复习之压轴题解法分析
初三数学总复习之压轴题解法分析随着初三数学的终结,压轴题也成为了每个学生最关注的话题之一。
压轴题通常代表着数学的难度和深度,所以学生们都希望能够通过对压轴题的解析和分析,来更好地备战考试。
下面我们将针对初三数学总复习中的压轴题进行解法分析,希望能够帮助大家更好地掌握数学知识。
一、解法分析1. 解题思路在解答初三数学总复习的压轴题时,需要学生们灵活运用所学的数学知识,不断思考、分析题目,找到合适的解题思路。
在解题思路上,可以按照以下步骤进行:1)仔细阅读题目,理清题意。
2)分析题目,找出题目中的关键信息。
3)根据题目内容,灵活运用所学的数学知识,选择合适的解题方法。
4)进行计算,得出答案。
5)检查答案,确保无误。
2. 解题方法在解答压轴题时,需要学生们掌握一定的解题方法,能够根据题目特点进行灵活运用。
以下是一些常用的解题方法:1)代数法:通过引入变量,建立方程组,进行代数运算解题。
2)几何法:通过图形的性质和几何关系,利用几何知识解题。
3)逻辑推理法:通过逻辑推理,进行推理和判断,解答问题。
4)排除法:通过排除错误选项,找出正确答案。
3. 解答技巧1)注重细节:在解答压轴题时,需要学生们注重题目中的细节,确保计算过程正确无误。
2)策略性计算:在进行计算时,需要学生们合理安排计算步骤,采用策略性计算,提高解题效率。
3)逻辑思维:在解答压轴题时,需要学生们运用逻辑思维,通过分析题目,找出解题思路,解答问题。
4)归纳总结:在解答压轴题时,需要学生们及时归纳总结解题过程和方法,以便于之后的学习和应用。
二、应试策略在面对压轴题时,学生们还需要掌握一些应试策略,能够更好地备战考试,提高解题的准确性和效率。
以下是一些应试策略:1. 合理安排时间:面对压轴题时,学生们需要合理安排解题时间,充分利用考试时间,确保每道题都认真仔细地解答。
2. 定位重点:在解答压轴题时,学生们需要准确把握题目的重点和难点,有针对性地进行解题,提高解答准确性。
做中考数学压轴题的方法
做中考数学压轴题的方法要做好中考数学压轴题,需要掌握以下几个方法和策略:1.熟悉考纲和题型:首先,你要仔细研究中考数学的考纲,了解每一个知识点的重要性和考查方式。
同时,你需要熟悉各种题型,包括选择题、填空题、解答题等,知道每种题型的特点和解题思路。
2.完善基础知识:中考数学是建立在基础知识上的,所以你要先完善基础知识的掌握。
从初中开始的数学知识都是中考的基础,例如代数、几何、函数等,要确保自己对这些知识点的掌握程度到达一个熟练的水平。
3.巩固解题技巧:中考数学题的解题技巧非常重要,它们可以有效地帮助你高效地解题。
一种常见的技巧是转化题目,将复杂的问题转化为简单的问题,再解答。
同时,你还可以尝试逆向思维,从题目的答案出发,推断出可能的解题过程。
4.练习题目:做大量的练习题是提高数学成绩的关键。
选择中考历年真题进行练习,这样可以更好地了解题目的出题思路和难度。
同时,多做一些模拟试题也有助于训练你的解题能力和应试能力。
5.注重解题思路:在做中考数学题时,一定要注重解题思路。
有时候,即使不会解答一些具体的题目,但如果你掌握了解题思路,就能扩大解题的可能性。
可以多和同学们交流解题思路,相互学习和启发,提高解题的灵活性和思维能力。
6.定期复习:在备考阶段,定期进行复习非常重要。
通过定期复习,可以总结和巩固已学过的知识点,加深对其的理解。
定期复习还能帮助你找出自己的薄弱点,有针对性地进行强化训练和提高。
7.考前调整心态:最后,要注意调整好自己的心态。
中考数学是一场考试,但只要你做好准备,掌握了合理的解题方法,不要过于紧张和焦虑。
要相信自己的实力,并有信心应对考试。
总之,要做好中考数学压轴题,除了以上几个方法和策略,还需要十分的耐心和勤奋。
只有通过不断的练习和努力,才能在中考数学中取得好的成绩。
不要急于求成,要保持良好的学习节奏,学有所得,稳步提高数学水平。
初三数学压轴题解题技巧和方法
初三数学压轴题解题技巧和方法
1. 压轴题解题技巧
认真审题,弄清题意。
压轴题通常会给出含多个未知数的一元二次方程或
二元一次方程组,并伴随一些其他条件或限制。
首先,要明确题目要求解什么,以及给出的条件和限制是什么。
尝试化简方程或方程组。
如果方程或方程组较为复杂,尝试将其化简,以
便更容易找到解题思路。
寻找等量关系。
压轴题中通常会有一些等量关系,如面积、体积、角度等。
找到这些等量关系,可以帮助我们找到解题的突破口。
尝试使用代数方法。
对于一些压轴题,代数方法可能比较适用。
例如,通
过对方程进行变形、替换或解方程等,可以找到未知数的值。
画图分析。
对于一些几何压轴题,可以通过画图来帮助分析。
在画图的过
程中,可以更好地理解题目的条件和要求,从而找到解题思路。
2. 压轴题方法总结
代数法:通过对方程进行变形、替换或解方程等,找到未知数的值。
几何法:通过画图来帮助分析,更好地理解题目的条件和要求,从而找到
解题思路。
等量关系法:通过寻找等量关系,如面积、体积、角度等,找到解题的突
破口。
化简法:将复杂的方程或方程组化简,以便更容易找到解题思路。
中考数学几何压轴题解题技巧
中考数学几何压轴题解题技巧
中考数学几何压轴题通常比较难,需要有一定的数学基础和思维能力。
以下是一些中考数学几何压轴题解题技巧:
1. 熟悉几何图形的特性:在解决几何压轴题时,要对一些特殊的形状和性质进行记忆和识别,例如平行线的性质、垂直线的性质、三角形的判定和性质等。
2. 理解空间观念:几何压轴题通常涉及到空间问题,因此要具备良好的空间观念,例如理解向量的概念、理解点、线、面之间的关系等。
3. 运用基本定理:解决几何压轴题时,需要运用一些基本定理,
例如相似三角形定理、勾股定理、三角函数等。
4. 化简和化归:在解决几何压轴题时,常常需要进行化简和化归,将复杂的问题转化为更简单的形式,从而更容易解决问题。
5. 寻找关键信息:几何压轴题通常需要寻找一些关键信息,例如对称性、三角形的重心、垂心、内心、外心等。
6. 画图辅助思考:在解决几何压轴题时,画图可以更加直观地理
解问题,帮助你找到解决问题的方法。
7. 多练习:最后,多练习是必要的。
通过大量的练习,你可以加深对几何图形的理解和记忆,提高解决问题的能力。
总之,几何压轴题需要理解和掌握几何图形的特性、运用基本定理、化简和化归、寻找关键信息、画图辅助思考以及多练习等方法,才能有效地解决问题。
初三数学总复习之压轴题解法分析
初三数学总复习之压轴题解法分析数学是一门重要的学科,也是初中阶段的必修课程之一。
为了帮助同学们在数学考试中取得好成绩,以下是对常见的压轴题解法进行分析和总结。
1. 常见题型初中数学考试中,常见的压轴题类型主要有以下几种:- 代数题:如方程、不等式、函数、集合等;- 几何题:如平面几何、空间几何等;- 数据分析题:如统计、概率等。
下面将针对每种题型的解题策略进行分析。
2. 解题策略2.1 代数题代数题主要包括方程、不等式、函数和集合等。
解这类问题时,需要先明确题意,找到问题的关键信息。
然后根据问题的要求,选择合适的代数方法进行求解。
- 方程:通过列方程,建立关系式,化简方程,最终得到未知数的值。
在解方程时,可以运用等式性质、配方法、因式分解、乘法原理、分数方程等方法。
- 不等式:通过列不等式,建立关系式,求解不等式的解集。
在解不等式时,可以使用加法原理、乘法原理、开平方、倒数、分数不等式等方法。
- 函数:通过观察,找出函数的规律,然后使用代数方法进行推导和计算。
在解函数题时,可以使用函数的性质、函数图像、函数的运算等方法。
- 集合:通过建立集合关系式,求解集合的问题。
在解集合题时,可以使用集合的运算、集合的性质等方法。
2.2 几何题几何题主要包括平面几何和空间几何。
解这类问题时,需要先明确题目中给出的几何图形和已知条件,然后根据题目要求选择合适的几何方法进行推导和计算。
- 平面几何:根据几何图形的特点,运用几何定理和几何性质进行推导和计算。
常用的几何定理有角的性质、相似三角形性质、三角形的性质等。
- 空间几何:在解空间几何题时,需要先建立空间坐标系,并根据几何图形的特点,利用向量、直线、平面的性质进行推导和计算。
常用的空间几何性质有平行、垂直、共面等性质。
- 统计:通过观察数据,分析数据的分布和规律,并计算数据的统计指标。
在解统计题时,可以使用频数、频率、平均数、中位数、众数、范围、方差等统计方法。
初中几何“线段最值”问题的求解策略
论坛几何问题是初中数学的重难点。
因为几何问题往往比较抽象,考察的是学生的抽象思维,需要学生运用一定的想象,因此,学生需要具有良好的数学转化思想和数学创造意识,才能够很好地解决这类问题。
一、利用数学公理求最值在求解“线段最值”的时候,我们可以使用数学公理去求解答案。
这个公理就是“两点之间线段最短”。
连接两点间的线段的长度叫作这两点间的距离。
根据常识我们可以知道两点之间的所有连线中线段是最短的。
而最短就对应最值中的最小值。
比如这样一道典型的例题,“要在街道MN 旁边修建一个供水站。
向居民区a,b 提供水源。
居民区a,b 都位于MN 街道旁的一侧,供水站应该建在什么地方,才能使从a,b 到它的距离之和最短?(提示:可以画一条线段去表示距离之间的最小值)”在解决这个问题的时候,我们就要用到上述提出的数学公理。
我们以MN 街道为对称轴,画出a 点在MN 轴另一侧的对称点a',连接a'和b 可以得到一条线段,这条线段和mn 轴有一个交点,记作p。
p 点就是修建供水站的位置。
如此供水站到居民区ab 的距离之和最短(ap 和a'p 的距离相等)。
这是几何中一道比较简单的求最值的问题。
求解的思想就是做出对称点,将折线转化为直线。
同一个图形使用不同条件进行限制就会组成不同的图形。
这个公理还会以线段加平面图形的形式进行考察。
例如,“在正方形abcd 中,ab 等于4,e 是bc 的中点,点p 是对角线ac 上一个动点,那么pe+pb 的最小值是多少?”还是利用公理的思想进行求解,pe+pb 的最小值就是正方形对角线db 的长度。
这也是“两点之间,线段最短”的表现。
当出现动点和线段这几个字眼的时候,就要自觉向这个公理上靠,很有可能考察的就是这个公理。
二、利用数学性质求最值可以利用数学性质去求解最值,这里的数学性质指的是垂线段最短的数学性质。
数学性质看起来很简单,但如果要做到合理运用就存在一些难度。
中考数学压轴的五种策略
中考数学压轴的五种策略中考数学是中学生所需面对的一种统考,更是决定学生未来选择的重要考试之一。
数学是许多人们心中的“克星”之一,因为这门学科需要大量的计算和推导,学生在学习中常常感到困难重重,压啊压!考试的压力可想而知。
由此,作为数学老师有必要向学生推荐一些策略,以帮助他们更好地应对压轴考试。
以下是中考数学压轴的五种策略。
1.积累策略。
纸上得来终觉浅,通过其他途径来丰富自己的知识储备。
可以参加数学俱乐部、数学讲座等活动,或者是阅读数学科普书籍。
选择与平时所学相间的题目类型进行练习,以此提高自己应对未知情况和思考的能力。
2.复习策略。
复习是一项必不可少的功课,考生应把所学内容反复讲述和回顾,系统地复习各个章节,不断整合知识。
全面复习可以帮助考生在考试中对数学知识的记忆更加深刻,同时也能够加强自己的自信心。
3.做题策略。
无论是选择题还是填空题,题目在考场上都应该做到快速正确。
优化做题时间很重要,因此应该习惯性地排除错误选项,利用常识手段来解答有趣的题目,提高做题效率。
4.交流策略。
数学是很容易被忽视的一门学科,因为学生们总是倾向于在个人与课本之间建立起义工而不是和同学交流。
然而数学讲解是一项没有代替的工作,教授在任何情况下都必须试图将各个步骤和概念用简洁明了的方式解释给大家。
因此,开展学生之间的互动十分重要,因为这将有助于他们对知识的理解和记忆。
5.制定计划。
计划是任何人成功学习的关键,一个行之有效的计划可以让人避免无意义的分心和不专注的行为。
制定合适的计划可以帮助学生更好地安排时间和精力,以便更加有效地达到学习目标。
中考数学压轴的策略虽然只有五种,但是这五种策略可以涵盖学习的方方面面,不仅有练题方法,也有应对心理的建议,使考生的整体素质都有所得提高。
希望同学们能够制定符合自己学习习惯的策略,并在考试中取得较好的成绩。
初三数学总复习之压轴题解法分析
初三数学总复习之压轴题解法分析压轴题是数学考试中最为重要的题目之一,通常也是最难的题目。
在几乎所有的考试中,压轴题都是综合知识,要求解决复杂的问题。
解决压轴题需要一定的技巧和方法。
一、审题和建模解决任何数学问题的第一步都是仔细审题。
通过仔细阅读题目,理解问题的要求和条件。
然后,将问题建立成数学模型,找出问题的关键点。
要注意,一个问题有多重可能的解法和途径,选择一个合适的方法非常重要。
二、分析问题和解决思路在审题和建模之后,对问题进行细致的分析。
了解问题的结构和特点,找出解决问题的思路。
一般来说,数学问题的解决思路主要有以下几种:1. 直接计算法:对于一些简单的问题,可以直接利用已知的数学知识和公式进行计算。
2. 推理和演绎法:对于一些复杂的问题,可以通过分析问题的特点和结构,利用逻辑推理进行求解。
推理和演绎法通常需要灵活运用数学知识和技巧,如利用数列的性质,运用数学归纳法等。
3. 记忆法:对于一些需要记忆的公式和定理,要提前进行记忆。
可以通过反复练习和总结,将重要的公式和定理熟记于心。
4. 拆分和转化法:对于一些复杂的问题,可以通过拆分和转化进行求解。
拆分和转化法通常需要利用数学思维和创造力,将复杂的问题转化为简单的问题,再进行求解。
三、解题步骤和技巧在解决压轴题时,可以按照以下步骤进行:1. 仔细阅读题目,理解问题的要求和条件。
2. 分析问题,找到解决问题的思路和方法。
3. 列出已知条件和未知量,建立数学模型。
4. 运用已有的数学知识和技巧,进行计算和推理。
5. 检查和分析结果,验证解答的正确性。
在解决问题时,还可以运用一些数学技巧和方法:1. 利用对称性和等价性简化问题,减少计算量。
2. 运用递推和归纳法进行求解,利用已有的结果进行推理。
3. 将复杂的问题分解成若干个简单的子问题进行求解。
4. 运用近似和估算法简化计算过程,提高求解效率。
在解决压轴题时,要保持冷静和专注。
遇到困难时,要勇于尝试和思考,不要轻易放弃。
初中数学中考压轴题的解题策略与技巧
初中数学中考压轴题的解题策略与技巧作为初中数学考试中的重要组成部分,中考压轴题往往是最能考察学生数学知识和解题能力的部分。
因此,成功解答中考压轴题对于学生提高数学成绩和进入理想高中是至关重要的。
在本文中,我们将探讨一些成功解答中考压轴题的策略和技巧,旨在帮助学生在考试中取得更好的成绩。
一、学会分析题目初中数学中考中的压轴题难度都非常高,要求学生具有较高的数学思维能力。
因此,我们在解题前一定要认真地分析题目,了解题目中所涉及到的概念和知识点,找到题目的核心思想和解题方法。
特别是对于一些较长的综合题目,我们要有耐心地认真读题,分析题意和条件,寻找相应的数学模型,方能写出正确的答案。
二、注重练习练习是提高数学成绩最有效的方法之一,也是解决压轴题的关键。
通过练习,不仅可以加深对数学知识的理解,还可以提高解题速度和技巧。
因此,我们要多做一些难度适当的练习题,积累经验,并不断总结经验和教训。
三、基本功要扎实初中数学中考压轴题要求学生很好地掌握基本知识和基本技能,在数学基础上形成解题思路。
基础技能的训练需要掌握好基本的数学计算技能,例如,四则运算、分数运算、代数式、函数图像的作图等。
只有把基础掌握好了,才能够在复杂的数学问题中融会贯通,快速出答案。
四、善用信息在解决压轴题的时候,我们需要尽可能多地获取相关的信息,利用题目中提供的信息,把问题变得更加容易。
有时,问题难在信息获取上,信息获取不到无从下手,这时我们要利用数学知识和解题技巧,搜索可用信息。
另外,通过画图、列式等方式,也可以更加清晰的得到信息,方便下一步的解答。
五、多思维初中数学往往考查学生的思维能力,例如想象能力、空间思维能力、逻辑思维和推理能力。
因此,为了成功解决中考压轴题,我们需要加强自己的思维能力,开放思维,勇于挑战难题。
在平时练习中,要多进行思维训练,像解谜游戏一样,考虑能否从多个不同的角度解决问题。
六、千万不可翘掉基础知识在应对中考压轴题的时候,我们不能忘记基础知识,不要因为太过执着于高级知识而忽略了基础知识的重要性。
新形势下研析中考数学压轴题的解题思路
新形势下研析中考数学压轴题的解题思路数学压轴题是中考数学考试中较为关键的题型,通常题目比较难、复杂,要求学生在有限的时间内运用所学知识进行解题。
针对新形势下中考数学压轴题的解题思路,可以从以下几个方面进行分析研究。
1. 注意题目的信息和要求:考生首先要对题目进行仔细阅读,理解题目的信息和要求。
可以标注、圈出关键信息,明确题目要求。
2. 确定解题思路:对于复杂的压轴题,需要考生明确解题的思路和方法。
可以根据题目信息,判断是需要运用哪个知识点和方法进行解题。
可以通过列方程、绘图、借助辅助线等方式,确定解题思路。
3. 分析题目并抓住关键点:在解题过程中,考生应当对题目进行分析,并抓住关键点。
可以通过画出图形、列出等式等方式,将题目的条件和要求转化为数学表达式。
4. 刻意练习提高解题速度:中考数学压轴题的时间要求较为紧张,要求考生能够迅速、准确地解题。
考生可以通过刻意练习来提高解题速度。
可以选择一些经典的压轴题进行反复练习,熟悉各种解题方法和技巧,提高解题能力。
5. 多思考多探究多尝试:在解题过程中,考生应当多思考、多探究、多尝试。
可以尝试不同的方法和角度来解题,培养灵活的思维方式。
可以通过多看别人的解题思路和方法,扩展自己的解题思路。
6. 引导学生形成数学思维:对于新形势下的中考数学压轴题,考生还需要形成一种较强的数学思维。
数学思维是解决问题的关键,它包括抽象思维、逻辑思维、归纳思维等。
可以通过数学拓展训练、数学思维培养等方式,引导学生形成扎实的数学思维。
针对新形势下的中考数学压轴题,考生应当注重对题目的仔细分析,确定解题思路。
在解题过程中,要注意抓住关键点,多尝试多探究,形成良好的数学思维。
通过刻意练习提高解题速度和准确性,提高解题能力。
中考数学压轴题的解题策略
中考压轴题是中考中拉开分数线差距的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。
解数学压轴题,一要树立必胜的信心,二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能,三要掌握常用的解题策略。
现介绍几种常用的解题策略,供初三同学参考。
1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想纵观最近几年各地的中考压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答。
2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数,即一次函数与二次函数所表示的图形。
因此,无论是求其解析式还是研究其性质,都离不开函数与方程的思想。
例如函数解析式的确定,往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。
3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
4、综合多个知识点,运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用。
中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面。
因此有的考生对压轴题有一种恐惧感,认为自己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数,为了提高压轴题的得分率,考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。
5、分题得分:中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题,难易程度是第(1)小题较易,第(2)小题中等,第(3)小题偏难,在解答时要把第(1)小题的分数一定拿到,第(2)小题的分数要力争拿到,第(3)小题的分数要争取得到,这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。
初中数学压轴题答题技巧与解题切入点分析,很实用
初中数学压轴题答题技巧与解题切入点分析,很实用分类讨论题分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现,以下几点是需要大家注意分类讨论的:1.熟悉直角三角形的直角,等腰三角形的腰和角,圆的对称性。
根据图形的特殊性质,确定讨论对象,逐一求解。
在讨论等腰三角形或直角三角形的存在性时,一定要遵循一定的原则,不要省略,最后综合。
2.讨论点的位置。
一定要看清点的范围,是在直线上还是在射线或线段上。
3.图形的对应大多涉及三角形的同余或相似,对角和边的可能对应进行了分类讨论。
4.如果代数变形中有绝对值和平方,要注意里面的数开时符号的选择。
5、检验点的价值或范围。
这部分主要考察自变量取值范围的分类,在解题中要非常注意定理的性质、使用条件和范围。
6.如果函数题目中函数图像与坐标轴有交点,必须讨论这个交点是与哪个坐标轴的哪个半轴的交点。
7.当运动模式改变时(例如,从一个线段移动到另一个线段),应分段讨论编写的函数。
值得注意的是,在列出所有需要讨论的可能性后,需要仔细考察是否每一种可能性都会存在,是否需要放弃。
最常见的是,如果一个二次方程有两个不相等的实根,那么我们就要看两个根是否都可以保留。
四个秘诀四个秘诀切入点一:做不出、找相似,有相似、用相似大结局涉及知识点多,知识转化难度大。
学生往往不知如何下手,要经常根据题意寻找相似三角形。
切入点二:构造定理所需的图形或基本图形在解题过程中,有时需要添加辅助线,几乎都是遵循定理所需要的构造图形或者构造一些常见的基本图形的原则。
切入点三:紧扣不变量当图形的运动发生变化时,图形的位置、大小和方向可能会发生变化,但在这个过程中,往往会有一些两条线段,或者一些两个角,或者一些两个三角形对应的位置或数量关系不发生变化。
切入点四:在题目中寻找多解的信息图形在运动中可能满足条件的情况不止一种,即两个解或多个解。
如何避免漏解也是考生头疼的问题。
多解的信息其实在题目中就能找到,这就需要我们深入挖掘题目,其实就是反复认真的考查。
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中考数学压轴题解题策略
线段和差最值的存在性问题解题策略
专题攻略
两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图1).
三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”(如图2).
两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,P A 与PB 的差的最大值就是AB ,此时点P 在AB 的延长线上,即P ′.
解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题.
图1 图2 图3
例题解析
例❶ 如图1-1,抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点P 是抛物线对称轴上的一个动点,如果△P AC 的周长最小,求点P 的坐标.
图1-1
【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流,点A 与点B 对称,连结BC ,那么在△PBC 中,PB +PC 总是大于BC 的.如图1-3,当点P 落在BC 上时,PB +PC 最小,因此P A +PC 最小,△P AC 的周长也最小.
由y =x 2-2x -3,可知OB =OC =3,OD =1.所以DB =DP =2,因此P (1,-2).
图1-2 图1-3
例❷如图,抛物线21442
y x x =-+与y 轴交于点A ,B 是OA 的中点.一个动点G 从点
B 出发,先经过x 轴上的点M ,再经过抛物线对称轴上的点N ,然后返回到点A .如果动点G 走过的路程最短,请找出点M 、N 的位置,并求最短路程.
图2-1
【解析】如图2-2,按照“台球两次碰壁”的模型,作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′,作点B 关于x 轴对称的点B ′,连结A ′B ′与x 轴交于点M ,与抛物线的对称轴交于点N .
在Rt △AA ′B ′中,AA ′=8,AB ′=6,所以A ′B ′=10,即点G 走过的最短路程为10.根据
相似比可以计算得到OM =83,MH =43
,NH =1.所以M (83, 0),N (4, 1).
图2-2
例❸ 如图3-1,抛物线248293
y x x =-++与y 轴交于点A ,顶点为B .点P 是x 轴上的一个动点,求线段P A 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值,并求出相应的点P 的坐标.
图3-1
【解析】题目读起来像绕口令,其实就是求|P A -PB |的最小值与最大值.
由抛物线的解析式可以得到A (0, 2),B (3, 6).设P (x , 0).
绝对值|P A -PB |的最小值当然是0了,此时P A =PB ,点P 在AB 的垂直平分线上(如
图3-2).解方程x 2+22=(x -3)2+62,得416x =
.此时P 41(,0)6
. 在△P AB 中,根据两边之差小于第三边,那么|P A -PB |总是小于AB 了.如图3-3,当
点P 在BA 的延长线上时,|P A -PB |取得最大值,最大值AB =5.此时P 3(,0)2-.
图3-2 图3-3
例❹如图4-1,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,求PK+QK的最小值.
图4-1
【解析】如图4-2,点Q关于直线BD的对称点为Q′,在△KPQ′中,PK+QK总是大于PQ′的.如图4-3,当点K落在PQ′上时,PK+QK的最小值为PQ′.如图4-4,PQ′的最小值为Q′H,Q′H就是菱形ABCD的高,Q′H=3.
这道题目应用了两个典型的最值结论:两点之间,线段最短;垂线段最短.
图4-2 图4-3 图4-4 例❺如图5-1,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点,求PE+PF的最小值.
图5-1
【解析】E、F、P三个点都不确定,怎么办?BE=1,AF=2是确定的,那么我们可以求PB+P A-3的最小值,先求PB+P A的最小值(如图5-2).
如图5-3,PB+P A的最小值为AB′,AB′=6.所以PE+PF的最小值等于3.
图5-2 图5-3
例❻ 如图6-1,已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a +1, 0),求a 为何值时,四边形ABEF 周长最小?请说明理由.
图6-1
【解析】在四边形ABEF 中,AB 、EF 为定值,求AE +BF 的最小值,先把这两条线段经过平移,使得两条线段有公共端点.
如图6-2,将线段BF 向左平移两个单位,得到线段ME .
如图6-3,作点A 关于x 轴的对称点A ′,MA ′与x 轴的交点E ,满足AE +ME 最小. 由△A ′OE ∽△BHF ,得'OE HF OA HB =.解方程6(2)24a a -+=,得43
a =.
图6-2 图6-3
例❼ 如图7-1,△ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =1.点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上,当点A 在x 轴上运动时,点C 也随之在y 轴上运动.在整个运动过程中,求点B 到原点的最大距离.
图7-1
【解析】如果把OB 放在某一个三角形中,这个三角形的另外两条边的大小是确定的,那么根据两边之和大于第三边,可知第三边OB 的最大值就是另两边的和.
显然△OBC 是不符合条件的,因为OC 边的大小不确定.
如图7-2,如果选AC的中点D,那么BD、OD都是定值,OD=1,BD=2.
在△OBD中,总是有OB<OD+BD.
+.
如图7-3,当点D落在OB上时,OB最大,最大值为21
图7-2 图7-3
例❽如图8-1,已知A(-2,0)、B(4, 0)、(5,33)
D-.设F为线段BD上一点(不含端点),连结AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
图8-1
【解析】点B(4, 0)、(5,33)
D-的坐标隐含了∠DBA=30°,不由得让我们联想到30°角所对的直角边等于斜边的一半.
如果把动点M在两条线段上的速度统一起来,问题就转化了.
如图8-2,在Rt△DEF中,FD=2FE.如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时,那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E.因此当AF+FE 最小时,点M用时最少.
如图8-3,当AE⊥DE时,AF+FE最小,此时F(2,23)
-.
图8-2 图8-3
例❾如图9-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.点E是BC边上的点,连结AE,过点E作AE的垂线交AB边于点F,求AF的最小值.
图9-1
【解析】如图9-2,设AF 的中点为D ,那么DA =DE =DF .所以AF 的最小值取决于DE 的最小值.
如图9-3,当DE ⊥BC 时,DE 最小.设DA =DE =m ,此时DB =53m . 由AB =DA +DB ,得5103m m +=.解得154m =.此时AF =1522m =.
图9-2 图9-3
例❿ 如图10-1,已知点P 是抛物线214
y x =上的一个点,点D 、E 的坐标分别为(0, 1)、(1, 2),连结PD 、PE ,求PD +PE 的最小值.
图10-1
【解析】点P 不在一条笔直的河流上,没有办法套用“牛喝水”的模型.
设P 21(,)4x x ,那么PD 2=2222211(1)(1)44x x x +-=+.所以PD =
2114x +. 如图10-2,2114
x +的几何意义可以理解为抛物线上的动点P 到直线y =-1的距离PH .所以PD =PH .因此PD +PE 就转化为PH +PE .
如图10-3,当P 、E 、H 三点共线,即PH ⊥x 轴时,PH +PE 的最小值为3.
高中数学会学到,抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合,在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质,最好铺垫一个小题,求证PD =PH .
图10-2 图10-3。