算法设计与分析 贪心算法

单位价值4元
=￥60+100
背包容量：50公斤
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背包问题具有贪心选择特性
贪心算法
物品1 10公斤，价值60元
单位价值6元
物品3
单位价值5元
20公斤 20公斤 10公斤
物品2 20公斤，价值100元
物品2 物品1
物品3 30公斤，价值120元
单位价值4元
=￥60+100+80
背包容量：50公斤
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2
贪心算法


顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好 的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考 虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部 最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结 果也是整体最优的。 虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优 解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单 源最短路经问题、最小生成树问题等。在一些 情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解， 其最终结果却是最优解的很好近似。
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例：用贪心法求解付款问题。
假设有面值为5元、2元、1元、5角、2角、1角的 货币，需要找给顾客4元6角现金，如何使付出的 货币的数量最少。 首先选出1张面值不超过4元6角的最大面值的货币，
即2元，再选出1张面值不超过2元6角的最大面值
的货币，即2元，再选出1张面值不超过6角的最大 面值的货币，即5角，再选出1张面值不超过1角的 最大面值的货币，即1角，总共付出4张货币。
则有：
n n n

i 1
wk xk z i pi p1 xi pi w1 i k 1

x p
i i k
i
P
（ 1）若等式成立，则Z也为最优解，继续同样过程，可使z1 1， 或 0, Z是以贪心算法开始的最优解。 （2）若大于成立，与X为最优解矛盾，不成立。 故总存在以贪心算法开始的最优解。
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背包问题的贪心算法
float knapsack(float c,float w[], float v[],float x[],int n) { ITEMTYPE d[n]; for (int i = 0; i < n; i++) d[i] <= (w[i],v[i],i); mergeSort(d); //按照单价高低排序 D[ ]: int i; 算法knapsack的 float opt=0; w v 主要计算时间是 for (i=0;i<n;i++) x[i]=0; 10 60 将各种物品依其 for (i=0;i<n;i++) { //贪心选择 if (d[i].w>c) break; 单位重量的价值 20 100 x[d[i].i]=1; opt+=d[i].v; c-=d[i].w; 从大到小排序。 } 30 120 if (c>0&& i<n) { //零碎空间 因此，算法的计 x[d[i].i] = c/d[i].w; opt += x[d[i].i]*d[i].v; 算时间上界为O } return opt; （nlogn）。 } x 1 1
在付款问题每一步的贪心选择中，在不超 过应付款金额的条件下，只选择面值最大 的货币，而不去考虑在后面看来这种选择 是否合理，而且它还不会改变决定：一旦 选出了一张货币，就永远选定。 付款问题的贪心选择策略是尽可能使付出 的货币最快地满足支付要求，其目的是使 付出的货币张数最慢地增加，这正体现了 贪心法的设计思想。
与假设矛盾！
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（2）活动安排具有贪心选择特性
令子问题Sij≠Ø 且a1为子问题Sij中具有最
早完成时间的任务，则a1一定包含在子 问题Sij中某个任务相互兼容的最大子集 中。 结论：具有贪心选择特性。
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‫ ‫‬证明：
‫ ‫‬假设子问题Sij的最优解为Aij，其中的任
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（1）活动安排具有最优子结构性质
Sij表示第i个任务结束之后，第j个任务开始之 前的任务集合。 假设子问题Sij的最优解集合为Aij且包含任务ak， 则在最优解集合里的子问题Sik的解Aik以及子 问题Skj的解Akj也一定是最优的。 证明：
假设子问题Sik存在一个更优的解A’ik，则
|A'ik|+1+|Akj|>|Aik|+1+|Akj|=|Aij|
和一个结束时间fi,且si <fi。如果选择了活动i，
则它在半开时间区间[si, fi)内占用资源。若区
间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i
与活动j是相容的。
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各活动占用资源情况
按照每个活动完成时间的顺序排列
假设按照11个活动的结束时间的非 减序排列如下：
i s[i] f[i] 1 1 4 2 3 5 3 0 6 4 5 7 5 3 8 6 5 9 7 6 10 8 8 11 9 8 12 10 2 13 11 12 14
与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背 包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入 背包，1≤i≤n。
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0-1背包与背包问题都具有最优子结构
已知背包最大承载重量为C，共有n个物品， 每个物品的重量分别为Wi(i=1,2,...,n)，价值 为Vi(i=1,2,...n)。
证明：

0-1背包问题：
给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi， 背包最大承载重量为C。应如何选择装入背包的物品，使 得装入背包中物品的总价值最大?
在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择， 即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多 次，也不能只装入部分的物品i。
来自百度文库背包问题：
假设第k个物品是最优解中的一个物品，则
从中拿出Wk对应的物品后所对应的解一定是 其余n-1个物品、装入背包最大承载重量为 C-Wk的最优解，否则与假设矛盾。
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0-1背包问题不具有贪心选择性质。
原因是无法保证能够将背包装满， 而所剩空间将会降低总价值。
背包问题具有贪心选择性质。
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背包问题具有贪心选择性质： 最优解分析：
typedef struct { float w,v; int i; } ITEMTYPE;
i 1 2 3
单价 6 5 4
2/3
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4.2 活动安排问题
设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活
动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在
同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每
个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si
法求解的关键特征。
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3.贪心算法与动态规划算法的差异
共同点：求解的问题都具有最优子结构性质
差异点：动态规划算法通常以自底向上的方式
解各子问题，而贪心算法则通常以自顶向下的
方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，
每做一次贪心选择就将所求问题简化为规模更 小的子问题。
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贪心选择性质：在动态规划算法中，每步所作的选择往往 依赖于相关子问题的解。因而只有在解出相关子问题后， 才能作出选择。而在贪心算法中，仅在当前状态下作出最 好选择，即局部最优选择，然后再去解作出这个选择后产 生的相应的子问题。贪心算法所作的贪心选择可以依赖于 以往所作过的选择，但决不依赖于将来所作的选择，也不 依赖于子问题的解。
设物体1,物体2,…,物体n已按价值重量比的降序 排序。 贪心选择性质：
设X={x1,x2,…,xn}是背包问题的一个最优解。 令k=min{i|xi∈0,1≤i≤n}， 若k=1，则X是以贪心算法开始的最优解。
若k‡1，令Z中zk=0，z1=wkxk/w1 ，zi=xi (1≤i≤n，i‡k，i‡1)
贪心算法的基本步骤
从问题的某个初始解出发 采用循环语句，当可以向求解目标前 进一步时，就根据局部最优策略，得 到一个部分解，缩小问题的范围或规 模 将所有部分解综合起来，得到问题的 最终解

4.1 贪心算法的基本要素
利用贪心算法求解最优解的两个前提条件: 贪心选择性质和最优子结构性质。
1.贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解 可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择 来达到。这是利用贪心算法求解最优解的第一 个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的 主要区别。
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2.最优子结构性质
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，
称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子
结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算
第 4章
贪心算法
4.1 贪心算法的基本要素 4.2 活动安排问题 4.3 最优装载 4.4 单源最短路径 4.5 哈夫曼编码
4.6 多机调度问题
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学习要点
理解贪心算法的概念。 掌握贪心算法的基本要素 （1）最优子结构性质 （2）贪心选择性质 理解贪心算法与动态规划算法的差异 理解贪心算法的一般理论 通过应用范例学习贪心设计策略。 （1）活动安排问题。 （2）最优装载问题。 （3）哈夫曼编码。 （4）单源最短路径。 （5）最小生成树。 （6）多机调度问题。
用贪心算法解背包问题的基本步骤：
1.计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi； 2.按照单位重量的价值从高到低的顺序排序； 3.依据贪心选择策略，按照单位价值从高到低 的顺序，依次将尽可能多的物品装入背包中。 直到背包装满为止。
是否可以将物品装入背包的条件是：
有空间
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背包问题的贪心算法
void knapsack(float c,float w[], float v[],float x[],int n) { 将各种物品依其单位重量的价值从高到低排序 初始化 x[i]=0; for (i=0;i<n;i++) { //贪心选择 if (不能放) break; 放入背包中 } w[i]重量 if (背包没满&&还有物品) { v[i]单位价值 装满; } x[i]结果 return opt; }
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贪心算法框架
Greedy(A,n) { //A为输入集合 solution = Ø; // 解空间初始化为空 for (i = 1; i <=n; i++) { //对每个输入进行检测 x = select(A); // 选择一个输入 if (feasible(solution,x)) // 如果可行
因此，动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题 ，而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行,以迭代的方 式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题 简化为一个规模更小的子问题。

贪心算法中作出的每步贪心决策都无法改变， 因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步 的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留 ，贪心算法每一步的最优解一定包含上一步的 最优解。 动态规划算法中全局最优解中一定包含某个局 部最优解，但不一定包含前一个局部最优解， 因此需要记录之前的所有最优解。
说明：证明贪心选择性质的一般方法是：首先假设问题的 一个整体最优解，并证明可修改这个最优解，使其以贪心 算法开始。
0-1背包问题不具有贪心选择特性
贪心算法
物品1 10公斤，价值60元
最优解
单位价值6元
物品3
物品2 20公斤，价值100元
单位价值5元
物品2 物品1 物品2
=￥100+120
物品3 30公斤，价值120元
solution = union(solution,x); // 添至解空间
} return solution;
} （1）候选集合 A：问题的最终解均取自于候选集合A。 （2）解集合S：解集合S不断扩展，直到构成满足问题的完整解。 （3）解决函数solution：检查解集合S是否构成问题的完整解。 （4）选择函数select：贪心策略，这是贪心算法的关键。 8 （5）可行函数feasible：解集合扩展后是否满足约束条件。
贪心算法的设计思路
贪心算法的设计思路是：总是做出
在当前看来最好的选择，即贪心算
法并不是从整体最优考虑，它所做
的选择只是在某种意义上的局部最 优选择。
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贪心算法的求解过程
使用贪心算法求解问题应该考虑如下几个方面：
（1）候选集合A：为了构造问题的解决方案，有一个候选集合 A作为问题的可能解，即问题的最终解均取自于候选集合A。 （2）解集合S：随着贪心选择的进行，解集合S不断扩展，直 到构成满足问题的完整解。 （3）解决函数solution：检查解集合S是否构成问题的完整解 。 （4）选择函数select：即贪心策略，这是贪心法的关键，它指 出哪个候选对象最有希望构成问题的解，选择函数通常和目标 函数有关。 （5）可行函数feasible：检查解集合中加入一个候选对象是否 可行，即解集合扩展后是否满足约束条件。