八上期中压轴题讲解一解析
部编版初二数学八年级上册期中压轴专题(带答案解析)
初二期中压轴专题一、解答题1．如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；(1)如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)如图3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C 点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2个和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？(直接写出结果即可)2．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=10，AB=CD，BD=14，点E从D点出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度沿C→B→C，作匀速移动，点G 从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．(1)试证明：AD∥BC．(2)在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AF⊥BD，垂足为点E，交BC于点F．求证：AD=CF．4．解答下列问题：(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且AD=BD=BC，求∠A的度数．(2)如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE．①若∠EDM=84°，求∠A的度数：②若以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM没有交点(除D点外)，直接写出∠A的取值范围．5．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为AC上一动点．(1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE=AF，∠EAF=90°．求证：△ABE≌△ACF．(2)在(1)的条件下，求证：CF⊥BD．(3)由(1)我们知道∠AFB=45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．6．如图，已知△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？7．如图，在△ABC中，∠ABC>60°，∠BAC<60°，以AB为边作等边△ABD(点C，D在边AB的同侧)，连接CD．(1)若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC的度数．(2)当∠BAC=2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由．(3)当∠BCD等于多少度时，∠BAC=2∠BDC恒成立．8．解答：(1)如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE．(2)如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．(3)拓展探究如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．9．如图，已知△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=18厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，设运动时间为x．①PC=____(用含x的代数式表示)；②若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当x为何值时，以B，P，D为顶点的三角形与△CQP全等；③若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？(2)如果点Q以(1)③中的运动速度从点C出发，点P以3厘米/秒的速度从点B出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，点P，Q同时出发，运动时间为y．当y取何值时，点P与点Q第二次相遇？10．如图(1)，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A 向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ的位置关系，请分别说明理由．(2)如图(2)，将图(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．初二期中压轴专题答案及解析一、解答题1．【答案】(1)解：猜想：DE=BD+CE．理由：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ ∠∠ ∠ ，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．(2)解：成立．∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ ∠∠ ∠ ，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．(3)解：①当0≤t<时，点P在AB上，点Q在AC上，此时有BP=2t，CG=3t，AB=22，AC=28．当PA=QA即22-2t=28-3t，也即t=6时，∵PF⊥l，QG⊥l，∠BAC=90°，∴∠PFA=∠QGA=∠BAC=90°，∴∠PAF=90°-∠GAQ=∠AQG．在△PFA和△AGQ中，∠ ∠∠ ∠ ，∴△PFA≌△AGQ(AAS)．②当≤t≤11时，点P在AB上，点Q也在AB上，此时相当于两点相遇，则有2t+3t=50，解得t=10；③当11<t≤时，点Q停在点B处，点P在AC上，当PA=QA即2t-22=22，解得t=22(舍去)．综上所述：当t等于6或10时，△PFA与△QAG全等．【解析】(1)根据BD⊥直线l，CE⊥直线l得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；(2)利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案；(3)易证∠PFA=∠QGA，∠PAF=∠AQG，只需PA=QA，就可得到△PFA与△QAG全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题．2．【答案】(1)证明：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC．(2)解：设G点的移动距离为x，当△DEG与△BFG全等时，∵∠EDG=∠FBG，∴DE=BF、DG=BG或DE=BG、DG=BF，①∵BC=10，2，∴当点F由点C到点B，即0<t≤2时，则：，解得：，或，解得：(不合题意舍去)；②当点F由点B到点C，即2<t≤4时，则，解得：，或，解得：，∴综上所述：△DEG与△BFG全等的情况会出现3次，此时的移动时间分别是秒、秒、秒，G点的移动距离分别是7、7、．【解析】(1)由SSS证得△ABD≌△CDB，得出∠ADB=∠CBD，即可得出结论；(2)设G点的移动距离为x，当△DEG与△BFG全等时，由∠EDG=∠FBG，得出DE=BF、DG=BG或DE=BG、DG=BF，①当点F由点C到点B，即0<t≤2时，则：，或，解方程组即可得出结果；②当点F由点B到点C，即2<t≤4时，则，或，解方程组即可得出结果．3．【答案】证明：过点A作∠BAC的平分线AG，交BD于点G，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°．∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠CAG=∠ABC=45°，∴∠BAG=∠C．∵AE⊥BD，∴∠ABG+∠BAE=90°．∵∠CAF+∠BAE=90°，∴∠ABG=∠CAF．在△ABG和△CAF中，∠ ∠，∠ ∠∴△ABG≌△CAF(ASA)，∴AG=CF．∵BD平分∠ABC，∴∠ABG=∠CBD，∵∠ABG=∠CAF，∴∠CAF=22.5°．∵∠CAG=45°，∴∠GAE=∠CAG-∠CAF=45-22.5°=22.5°，∴∠GAE=∠CAF．∵AE⊥BD，∴∠AEG=∠AED=90°．在△GAE和△DAE中，∠ ∠，∠ ∠∴△GAE≌△DAE(ASA)，∴AG=AD．∵AG=CF，∴AD=CF．【解析】过点A作∠BAC的平分线AG，交BD于点G，构造全等三角形：△ABG≌△CAF(ASA)，△GAE≌△DAE(ASA)，根据全等三角形的对应边相等和等量代换证得结论．4．【答案】(1)解：设∠A=x°，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°．(2)解：①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得：∠A=21°；②∵以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点(除D点外)，∴E到射线AM的距离大于DE，∴∠EDM≥90°，则∠EDM=4∠A≥90°，即∠A≥22.5°，∵△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠CED=3∠A＜90°，∴∠A<30°，∴∠A的取值范围是22.5°≤∠A<30°．【解析】(1)先设∠A=x°，然后由等腰三角形的性质，求得∠ABC=∠C=2x°，然后由三角形的内角和定理，得到方程：x+2x+2x=180，解此方程即可求得答案；(2)①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形外角的性质可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；②先判断出E到射线AM的距离小于DE，进而得出∠EDM≥90°，根据△CDE为等腰三角形，得到∠ECD=∠CED=3∠A＜90°，解不等式组即可得出结论．5．【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90°，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中∠ ∠∴△ABE≌△ACF(SAS)．(2)证明：∵∠BAC=90°，∴∠ABE+∠BDA=90°；由(1)得△ABE≌△ACF，∴∠ABE=∠ACF，∴∠BDA+∠ACF=90°；又∵∠BDA=∠CDF，∴∠CDF+∠ACF=90°，∴∠BFC=90°，∴CF⊥BD．(3)解：∠AFB=45°不变化，理由如下：过点A作AF的垂线交BM于点E∵CF⊥BD，∴∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，同理∠ACF+∠CDF=90°；∵∠CDF=∠ADB，∴∠ABD=∠ACF，同(1)理得∠BAE=∠CAF．在△ABE和△ACF中，∠ ∠，∠ ∠∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AFB=45°．【解析】(1)根据SAS证明△ABE≌△ACF即可；(2)根据全等三角形的性质和垂直的判定解答即可；(3)根据全等三角形的判定和性质解答即可．6．【答案】(1)解：①全等，理由如下：∵t=1 s，∴BP=CQ=3×1=3 cm，∵AB=10 cm，点D为AB的中点，∴BD=5 cm．又∵PC=BC-BP，BC=8 cm，∴PC=8-3=5 cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∠ ∠ ，∴△BPD≌△CQP(SAS)．②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4 cm，CQ=BD=5 cm，∴点P，点Q运动的时间t＝= s，∴ cm/s．(2)解：设经过秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得，解得，∴点P共运动了×3=80 cm．△ABC周长为：10+10+8=28 cm，若是运动了三圈即为：28×3=84 cm，∵84-80=4 cm<AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过 s点P与点Q第一次在边AB上相遇．【解析】(1)①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等；②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；(2)根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．7．【答案】(1)解：∵△ABD为等边三角形，∴∠BAD=∠ABD=60°，AB=AD．又∵∠BAC=30°，∴AC平分∠BAD，∴AC垂直平分BD，∴CD=CB，∴∠BDC=∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-60°=30°．(2)解：△ABC是等腰三角形．理由：设∠BDC=x，则∠BAC=2x，∠CAD=60°-2x，∠ADC=60°+x，∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°+x，∴∠ACD=∠ADC，∴AC=AD．∵AB=AD，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．(3)解：当∠BCD=150°时，∠BAC=2∠BDC恒成立．如图：作等边△BCE，连接DE，则BC=EC，∠BCE=60°．∵∠BCD=150°，∴∠ECD=360°-∠BCD-∠BCE=150°，∴∠DCE=∠DCB．又∵CD=CD，∴△BCD≌△ECD，∴∠BDC=∠EDC，即∠BDE=2∠BDC．又∵△ABD为等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABC=∠DBE=60°+∠DBC．又∵BC=BE，∴△BDE≌△BAC(SAS)，∴∠BAC=∠BDE，∴∠BAC=2∠BDC．【解析】(1)先由等腰三角形三线合一的性质证明AC为BD的垂直平分线，从而可得到CD=CB，则∠BDC=∠DBC=∠ABC-∠ABD；(2)设∠BDC=x，则∠BAC=2x，∠CAD=60°-2x，∠ADC=60°+x，然后可证明∠ACD=∠ADC，则AC=AD，于是可得到AB=AC；(3)当∠BCD=150°时，∠BAC=2∠BDC恒成立，如答图所示：作等边△BCE，连接DE，则BC=EC，∠BCE=60°．先证明△BCD≌△ECD，从而可得到∠BDE=2∠BDC，然后再证明△BDE≌△BAC，从而可得到∠BAC=∠BDE．8．【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∠ ∠ ，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE．(2)60° BE=AD(3)解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∠ ∠ ，∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD，∠BEC=∠ADC．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180-45=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°；∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，∴CM=DM=EM，∴DE=DM+EM=2CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．【解析】(1)根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE；(2)∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∠ ∠ ，∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD；∠ADC=∠BEC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180°-60°=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°．故答案为：60°；BE=AD．(3)首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可，最后根据∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM 即可．9．【答案】(1)解：①由运动知，BP=3x，∴PC=BC-BP=18-3x(0≤x≤6)；②当点Q的运动速度与点P的运动速度相等时，由运动知，BP=CQ，∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C，∵以B，P，D为顶点的三角形与△CQP全等，∴只有PC=BD，∵点D是AB的中点，∴BD=AB=12，∴PC=18-3x=12，∴x=2；③∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=9，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=12．∴点P的运动时间(秒)，此时V Q=(厘米/秒)．(2)解：因为V Q>V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走△ABC的周长和AB+AC的路程之和，设经过y秒后P与Q第二次相遇，依题意得4y=3y+2×24+2×24+18，解得y=114(秒)，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了114秒，点P与点Q第二次在BC边上相遇．【解析】(1)①直接由运动即可得出结论；②先求得BP=CQ，PC=BD=12，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；③因为V P≠V Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=9，根据全等得出CQ=BD=12，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；(2)因为V Q>V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走△ABC的周长和AB+AC的路程之和，据此列出方程，解这个方程即可求得．10．【答案】(1)解：当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，∠ ∠ ，∴△ACP≌△BPQ(SAS)．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．(2)解：①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．【解析】(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；(2)由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．。
部编数学八年级上册期中考试压轴题考点训练(一)(解析版)含答案
期中考试压轴题考点训练（一）1．如图，将ABC D 沿DE EF 、翻折，使其顶点A B 、均落在点O 处，若72CDO CFO Ð+Ð=o ，则C Ð的度数为（ ）A ．36oB ．54oC ．64oD ．72o 【答案】B 【详解】解：延长FO 交AC 于点M ，∵将ABC D 沿DE ，EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，∴A DOE Ð=Ð，B EOF Ð=Ð，∴DOF A B Ð=Ð+Ð，∵180A B C Ð+Ð+Ð=°，∴180A B C Ð+Ð=°-Ð ，由三角形外角定理可知：DOF MDO DMO Ð=Ð+Ð，DMO C CFM Ð=Ð+Ð，∴DOF C CDO CFO Ð=Ð+Ð+Ð，即：180DOF C CDO CFO C Ð=Ð+Ð+Ð=°-Ð，∴72180C C Ð+°=°-Ð ，∴54CÐ=°，故选：B ．2．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BC ，AC 上一点，BD ＝2CD ，AE ＝CE ，连接AD ，BE 交于点F ，若△ABC 的面积为18，则△BDF 与△AEF 的面积之差S △BDF ﹣S △AEF 等于（ ）A ．3B ．185C ．92D ．63．如图，点C 在线段BD 上，AB BD ^于B ，ED BD ^于D ．90ACE Ð=°，且5cm AC =，6cm CE =，点P 以2cm/s 的速度沿A C E ®®向终点E 运动，同时点Q 以3cm/s 的速度从E 开始，在线段EC 上往返运动（即沿E C E C ®®®®×××运动），当点P 到达终点时，P ，Q 同时停止运动．过P ，Q 分别作BD 的垂线，垂足为M ，N ．设运动时间为s t ，当以P ，C ，M 为顶点的三角形与QCN △全等时，t 的值为（ ）A ．1或3B ．1或115C ．1或115或235D ．1或115或5【答案】C【详解】解：当点P 在AC 上，点Q 在CE 上时，∵以P ，C ，M 为顶点的三角形与△QCN 全等，∴PC ＝CQ ，∴5−2t ＝6−3t ，∴t ＝1，当点P 在AC 上，点Q 第一次从点C 返回时，4．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF 的值最小时，∠AEB的度数为（ ）A．105°B．115°C．120°D．130°【答案】B【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图：此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，在△ABG 和△AB ′G 中，BAG B AG AG AGAGB AGB Ð=Ðìï=íïТ=Ðî¢，∴△ABG ≌△AB ′G （ASA ），∴BG ＝B ′G ， AB ＝AB ′，∴AD 垂直平分BB ′，∴BE ＝BE ′，在△ABE ′和△AB ′E ′中，BE BE AE AE AB AB ¢¢¢¢ìï=íï=î＝，∴△ABE ′≌△AB ′E ′（SSS ），∴∠AE ′B ＝AE ′B ′，∵AE ′B ′＝∠BAD + AF ′E ′＝25°+90°=115°，∴∠AE ′B ＝115°．即当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为115°．故选B ．5．将长为2、宽为a （a 大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n 次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n ＝3时，a 的值为（ ）A ．1.8或1.5B ．1.5或1.2C ．1.5D ．1.2则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a ，剩下的长方形的两边分别为2﹣a 、（2a ﹣2）﹣（2﹣a ）＝3a ﹣4，则2﹣a ＝3a ﹣4，解得a ＝1.5．故选：B ．6．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠成图3，若图3中108CFE Ð=°，则图1中的DEF Ð的度数是______．【答案】24°【详解】∵AD BC ∥，∴设∠DEF ＝∠EFB ＝a ，图2中，∠GFC ＝∠BGD ＝∠AEG ＝180°﹣2∠DEF ＝180°﹣2a ，图3中，∠CFE ＝∠GFC ﹣∠EFG ＝180°﹣2a ﹣a ＝108°．解得a ＝24°．即∠DEF ＝24°，故答案为：24°．7．如图，在等腰ABC V 中，120180BAC °<Ð<°，AD BC ^于点D ，以AC 为边作等边三角形ACE ，ACE V 与ABC V 在直线AC 的异侧，直线BE 交直线AD 于点F ，连接FC 交AE 于点M ．若10BE =，2AF =，则FC =______．【答案】6【详解】解：如图1，∵AB AC =，∴12Ð=Ð，∵AD BC ^，∴直线AD 垂直平分BC ，∴FB FC =，∴FBC FCB Ð=Ð，∴12FBC FCB Ð-Ð=Ð-Ð，即34Ð=Ð，∴在等边三角形ACE 中，AC AE =，∴AB AE =，∴35Ð=Ð，∴45Ð=Ð，∵FME CMA Ð=Ð，∴EFC CAE Ð=Ð，∵在等边三角形ACE 中，60CAE Ð=°，∴60EFC Ð=°；在FC 上截取FN ，使FN FE =，连接EN ，∵60EFC Ð=°，FN FE =，∴EFN V 是等边三角形，∴60FEN Ð=°，EN EF =，∵ACE V 为等边三角形，∴60AEC Ð=°，EA EC =，∴FEN AEC Ð=Ð，∴FEN MEN AEC MEN -Ð=Ð-Ð，即56Ð=Ð，在EFA △和ENC △中，56EF EN EA EC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()EFA ENC SAS △≌△，∴FA NC =，∴FE FA FN NC FC +=+=，∵102BE AF ==，，∴EF AF BF CF BE EF +===-，∴210EF EF +=-，∴4EF =，∴6CF =，故答案为：6．8．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，过A 作AE ∥BC ，且AE ＝AB ，AB 上有一点F ，连接EF ．若EF ＝AC ，CD ＝4BD ，则ABC AEFS S V V ＝_____．9．如图1六边形的内角和123456Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð为m 度，如图2六边形的内角和123456Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð为n 度，则m n -=________．【答案】0【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，∴123456m =Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=180°×2+360°=720°如图2所示，将原六边形分成了四个三角形∴123456n =Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=180°×4=720°∴m-n=0故答案为0.10．在ABC V 中，已知点D 、E 、F 分别是边AE 、BF 、CD 上的中点，若ABC V 的面积是14，则DEF V 的面积为_________．【答案】2【详解】解：如图，连接AF ，BD ，CE ，∵点D 是AE 的中点，点E 是BF 的中点，∴BD 是ABE D 的中线，DE 是BDF D 的中线，∴ABD BDE S S D D =，DEF BDE S S D D =，∴ABD BDE DEF S S S D D D ==；同理可得BCE CEF DEF S S S D D D ==；ACF ADF DEF S S S D D D ==；∴ABD BDE S S D D ==BCE CEF S S D D ==ACF ADF DEF S S S D D D ==，∵ABD BDE S S D D ++BCE CEF S S D D ++ACF ADF DEF ABC S S S S D D D D ++=，14ABC S D =，∴714DEF ABC S S D D ==，解得2DEF S D =，11．如图1，在等边三角形ABC 中，AD BC ^于,D CE AB ^于,E AD 与CE 相交于点O ．（1）求证：2OA DO =；（2）如图2，若点G 是线段AD 上一点，CG 平分,60,BCE BGF GF ÐÐ=°交CE 所在直线于点F ．求证：GB GF =．（3）如图3，若点G 是线段OA 上一点（不与点O 重合），连接BG ，在BG 下方作60,BGF Ð=°边GF 交CE 所在直线于点F ．猜想：,OG OF OA 、三条线段之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF =OG +OA ，理由见解析∵CA =CB ，CE ⊥AB，∴AE =BE ，∴OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°，∴∠AOB =120°，∠AOM =∠BOM =60°，∵OM =OG ，∴△OMG 是等边三角形，∴GM =GO =OM ，∠MGO =∠OMG =60°，∵∠BGF =60°，∴∠BGF =∠MGO ，∴∠MGF =∠OGB ，∵∠GMF =120°，∴∠GMF =∠GOB ，在△GMF 和△GOB 中，MGF OGB GM GOGMF GOB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△GMF ≌△GOB （ASA ），∴MF =OB ，∴MF =OA ，∵OF =OM +MF ，∴OF =OG +OA ．12．阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC D 中AB AC =，BD 是ABC D 的高，P 是BC 边上一点，PM 、PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M 、N ．求证：BD PM PN =+．阳阳发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S D D D =+，即111222AC BD AB PM AC PN ×=×+×．由AB AC =，可得BD PM PN =+．他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD 、PM 、PN 之间的数量关系是：BD PN PM =-．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接AP ．ABC APC S S D D =-Q ________，1122AC BD AC \×=×________12AB -×________．AB AC =Q ，BD PN PM \=-．（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC D 中，AB AC BC ==，BD 是ABC D 的高．P 是ABC D 所在平面上一点，PM 、PN 、PQ 分别与直线AB 、AC 、BC 垂直，垂足分别为点M 、N 、Q ．①如图3，若点P 在ABC D 的内部，猜想BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系并写出推理过程．②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）【答案】（1）S △APB ；PN ；PM ；（2）①BD ＝PM ＋PN ＋PQ ，证明见解析②BD ＝PM ＋PQ −PN ．【详解】解：（1）证明：连接AP ．∵S △ABC ＝S △APC −S △APB ，13．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 交∠ACB 的平分线CE 于点O ．(1)求证：1902BOC A Ð=Ð+°．(2)如图1，若∠A =60°，请直接写出BE ，CD ，BC 的数量关系．(3)如图2，∠A =90°，F 是ED 的中点，连接FO ．①求证：BC −BE −CD =2OF ．②延长FO 交BC 于点G ，若OF =2，△DEO 的面积为10，直接写出OG 的长．∵∠BOC=1∠A+90°=120°，2∴∠BOE=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO=∠MBO，∴OM=2OF．∵F是ED的中点，∴EF=DF，∵∠DFO=∠EFM，14．在ABC V 中，90,ACB AC BC Ð=°=，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于D ，BE MN ^于E ，（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，显然有：DE AD BE =+（不必证明）；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE =BE -AD【详解】解：（1）∵△ABC 中，∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，又直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠ADC =∠CEB =90°∴∠ACD +∠DAC =90°，∴∠BCE =∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC ECB AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴CD =BE ，CE =AD ，∴DE =CD +CE =AD +BE ；（2）∵△ABC 中，∠ACB =90°，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∠ACD +∠BCE =∠BCE +∠CBE =90°，而AC =BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴CD =BE ，CE =AD ，∴DE =CE -CD =AD -BE ；（3）如图3，∵△ABC 中，∠ACB =90°，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∠ACD +∠BCE =∠BCE +∠CBE =90°，∴∠ACD =∠CBE ，∵AC =BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴CD =BE ，CE =AD ，∴DE =CD -CE =BE -AD ；DE 、A D 、BE 之间的关系为DE =BE -A D ．15．在ABC V 中，90ABC Ð=°，AB BC =，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD ^交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD =，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD +=；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．【答案】（1）见解析；（2）图②：BF MF CD -=；图③：FM BF CD+=【详解】（1）证明：如图，过点A 作AN AB ^交BF 的延长线于点N ．0∴90NAB Ð=°．∵90ABC Ð=°，∴90ABF EBC Ð+Ð=°，NAB ABC Ð=Ð．∵CD BF ^，∴90BCD EBC Ð+Ð=°．∴ABF BCD Ð=Ð．在ABN V 和BCD △中，,,,NAB ABC AB BC ABF BCD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA ABN BCD ≌△△．∴AN BD =，BN CD =．∵AB CB =，90ABC Ð=°，∴45CAB Ð=°．∴45NAF NAB BAC Ð=Ð-Ð=°．∴NAF FAM Ð=Ð．∵AN BD =，AM BD =，∴AN AM =．在NAF V 和M AF △中，,,,AN AM NAF MAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS NAF MAF ≌△△．∴FN FM =．∵BN FN BF =+，∴BF MF CD +=．（2）图②：BF MF CD -=．证明：过点A 作AN AB ^交BF 于点N ．∴90NAB Ð=°．∵90ABC Ð=°，∴90ABF EBC Ð+Ð=°，NAB DBC Ð=Ð．∵CD BF ^，∴90BCD EBC Ð+Ð=°．∴ABF BCD Ð=Ð．在ABN V 和BCD △中，,,,NAB DBC AB BC ABF BCD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA ABN BCD ≌△△．∴AN BD =，BN CD =．∵AB CB =，90ABC Ð=°，∴45CAB Ð=°．∴45CAB MAF Ð=Ð=°，∵90NAM Ð=°∴45NAF NAM MAF Ð=Ð-Ð=°．∴NAF FAM Ð=Ð．∵AN BD =，AM BD =，∴AN AM =．在NAF V 和M AF △中，,,,AN AM NAF MAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS NAF MAF ≌△△．∴FN FM =．∵BF FN BN -=，∴BF MF CD -=．图③：FM BF CD +=．证明：如图，过点A 作AN AB ^交BF 的延长线于点N ．∴90NAB Ð=°．∵90ABC Ð=°，∴90ABF EBC Ð+Ð=°，NAB ABC Ð=Ð．∵CD BF ^，∴90BCD EBC Ð+Ð=°．∴ABF BCD Ð=Ð．在ABN V 和BCD △中，,,,NAB ABC AB BC ABF BCD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA ABN BCD ≌△△．∴AN BD =，BN CD =．∵AB CB =，90ABC Ð=°，∴45CAB Ð=°．∴45NAF NAB BAC Ð=Ð-Ð=°．∴NAF FAM Ð=Ð．∵AN BD =，AM BD =，∴AN AM =．在NAF V 和M AF △中，,,,AN AM NAF MAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS NAF MAF ≌△△．∴FN FM =．∵BN FN BF =+，∴BF MF CD +=．。
初中数学八年级上册压轴题专项练习(解析版)
八年级上册数学压轴题专题练习（解析版）一、压轴题1．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P在线段 AB上以1cm/s的速度由点 A向点 B运动，同时，点 Q在线段 BD上由点 B向点 D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC和线段 PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．2．在Rt ABC中，∠ACB=90︒，∠A=30︒，BD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）如图2，点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合），以BM为一边，在BM下方作∠BMG=60︒，MG交DE延长线于点G.求证：AD=DG+MD；（3）如图3，点N是线段AD上的点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60︒，NG交DE延长线于点G.直接写出ND，DG与AD数量之间的关系.3．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线l1，l2，l3上，∠BAC=90︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B、C向l1作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长.（2）小林说：“我们可以改变ABC的形状.如图2，AB=AC，∠BAC=120︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线l1，l2，l3上，且l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离为2，求AB的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度.4．在ABC中，AB=AC，D是直线AB上一点，E在直线BC上，且DE=DC．（1）如图1，当D在AB上，E在CB延长线上时，求证：∠EDB=∠ACD；（2）如图2，当ABC为等边三角形时，D是BA的延长线上一点，E在BC上时，作EF//AC，求证：BE=AD；（3）在（2）的条件下，∠ABC的平分线BF交CD于点F，连AF，过A点作AH⊥CD于点H，当∠EDC=30︒，CF=6时，求DH的长度．5．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．6．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．7．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B 1M或B1M的延长线上，那么EMF的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线上，那么EMF的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B1M或B1M的延长线上左侧，且EMF80，求C1MB1的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线右侧，且EMF60，求C1MA1的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB，FB为折痕，设ABC，EBF，A1BC1，求，，之间的数量关系．8．已知ABC和ADE都是等腰三角形，AB AC，AD AE，DAE BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB__________EC．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE绕点A旋转，当点D在ABC外部，点E 在ABC内部时，求证：DB EC．（深入研究）（3）如图③，ABC和ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为__________；线段CE，BD之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，点C、D、E在同一直线上，AM为ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为__________；线段AM，BD，CD之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当AB=5，AD=2时，在旋转过程中，△ABE与ADC的面积和的最大值为__________．9．直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E，ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M,N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值．10．已知：ABC中，过B点作BE⊥AD，∠ACB=90︒，AC=BC．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC 于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出DB的值．BC11．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．12．已知ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点 P在ABC内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝；②探究 s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P在ABC外时，直接写出 s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．13．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2=；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．14．探索发现：11111111 =1-;=-;=-……1⨯222⨯3233⨯434根据你发现的规律，回答下列问题：（1）11＝，＝；n⨯(n+1)4⨯5111⋅+++1⨯22⨯33⨯4+1n⨯(n+1)（2）利用你发现的规律计算：（3）利用规律解方程：111112x-1 ++++=x(x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+4)(x+5)x(x+5) 15．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF⊥NF于F，点A、C分别在NF和MF上，作线段AB和CD（如图1），使∠FAB-∠MCD=90︒．求证：AB//CD”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A作AG//FM，交CD于G．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明．（2）若点E在直线CD下方，且知∠BED=30︒，直接写出∠ABE和∠CDE之间的数量关系．16．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在∆ABC中，∠C=90︒,若点D为AB的中点，则CD=请结合上述结论解决如下问题：1AB．2已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．17．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．18．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．19．（1）如图1，ABC和DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在BCD中，若∠BCD<120︒，分别以BC，CD和BD为边在BCD外部作等边ABC，等边△CDE，等边BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD=BE=CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．20．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD=BE，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以∠ACB=∠EFB（两直线平行，同位角相等）∠D=∠OEF（________）在OCD与△OFE中⎧∠COD=∠FOE(________)⎪⎨OD=OE⎪∠D=∠OEF⎩所以△OCD≌△OFE，（________）所以CD=FE（________）因为AB=AC（已知）所以∠ACB=∠B（________）所以∠EFB=∠B（等量代换）所以BE=FE（________）所以CD=BE【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题⎧t=2⎧t=1⎪1．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，⎨或⎨3x=1x=⎩⎪2⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC和线段 PQ的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ{∠A=∠BAC=BP∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC与线段PQ垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，⎧3=4-t ⎨t =xt⎩解得⎨⎧t =1;x =1⎩②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，⎧3=xt ⎨t =4-t⎩⎧t =2⎪解得：⎨3x =⎪⎩2⎧t =2⎧t =1⎪综上所述,存在⎨或⎨3使得△ACP 与△BPQ 全等.x =1x =⎩⎪⎩2【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD =DG -ND ，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出∠ABC =60︒，再根据角平分线的性质可得CD =ED ，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC =BE ，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF =MD ，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出∆MDF 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠F =∠MDB ,MF =MD ,∠FMG =∠DMB ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证∆HDN 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠H =∠NDG ,NH =ND ,∠HNB =∠DNG ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）∠ACB =90︒,∠A =30︒∴∠ABC =90︒-∠A =60︒BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB∴CD =ED⎧CD=ED在∆BCD和∆BED中，⎨BD=BD⎩∴∆BCD≅∆BED(HL)∴BC=BE∴∆EBC是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF=MD，连接MF∠ACB=90︒,∠A=30︒，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB∴∠ADE=∠BDE=60︒,AD=BD∴∠MDF=∠ADE=60︒,∠MDB=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒∴∆MDF是等边三角形∴MF=DM,∠F=∠DMF=60︒∠BMG=60︒∴∠DMF+∠DMG=∠BMG+∠DMG，即∠FMG=∠DMB⎧∠F=∠MDB=60︒⎪在∆FMG和∆DMB中，⎨MF=MD⎪∠FMG=∠DMB⎩∴∆FMG≅∆DMB(ASA)∴GF=BD，即DF+DG=BD∴AD=DF+DG=MD+DG即AD=DG+MD；（3）结论：AD=DG-ND，证明过程如下：如图，延长BD使得DH=ND，连接NH由（2）可知，∠ADE=60︒,∠HDN=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒,AD=BD ∴∆HDN是等边三角形∴NH=ND,∠H=∠HND=60︒∠BNG=60︒∴∠HND+∠BND=∠BNG+∠BND，即∠HNB=∠DNG⎧∠H=∠NDG=60︒⎪在∆HNB和∆DNG中，⎨NH=ND⎪∠HNB=∠DNG⎩∴∆HNB≅∆DNG(ASA)∴HB =DG ，即DH +BD =DG∴ND +AD =DG即AD =DG -ND ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．3．（1）5；（2）【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中，221221；（3）33⎧∠AMB =∠CNA ⎪⎨∠MAB =∠NCA ，⎪AB =AC ⎩∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22+12=5；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，⎧∠AMB=∠CNA⎪⎨∠ABM=∠NAC，⎪AB=AC⎩∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=11 BM，NQ=NC，22∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴a2+12=4a2，b2+22=4b2，解得：a=323，b=，332⎛23⎫43=∴CN=AM=22+ ，⎪3⎪3⎝⎭∴AB=AP2+BP2=(AM+PM)2+BP2=221；3（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，⎧∠BNC=∠CMA⎪⎨∠NBC=∠MAC，⎪BC=AC⎩∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，BP2+NP2=BN2，即22+NP2=4NP2，解得：NP=23，3∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，AQ2+QM2=AM2，即32+QM2=4QM2，解得：QM=3，∴AM=23=CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=在△BPC中，BP2+CP2=BC2，43，3⎛43⎫221即BC=BP2+CP2=22+ ，=⎪3⎪3⎝⎭2∴AB=BC=221.3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.4．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF与△CAD中，1CF=3．2⎧∠EDF=∠DCA⎪⎨∠DFE=∠CAD，⎪DE=CD⎩∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，⎧AB=BC⎪⎨∠ABF=∠CBF，⎪BF=BF⎩△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=11AF=CF=3，22∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=∵BD=CE，∴CF=OF=1 CE，21BD，2∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．6．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．7．90︒，45︒；20︒，30︒；a +γ=2β，a -γ=2β.【解析】【分析】（1）①如图①知∠EMC 1=11∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC 得22∠EMF =1(∠BMC 1+∠C 1MC )可求出解.2111∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC 得∠EBF =(∠ABC 1+∠C 1BC )可222②由图②知∠EBA 1=求出解.（2）①由图③折叠知∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，可推出(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，即可求出解.②由图④中折叠知∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，可推出290︒-60︒+∠A 1MC 1=90︒，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a -β=β-γ、a -β=β+γ，即可求得()a +γ=2β、a -γ=2β.【详解】解：（1）①如图①中，11∠EMC 1=∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC ，22∴∠EMF =∠EMC 1+∠C 1MF =故答案为90︒.②如图②中，11(∠BMC 1+∠C 1MC )=⨯180︒=90︒，2211∠EBA 1=∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC ，22∴∠EBF =∠EBC 1+∠C 1BF =故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11(∠ABC 1+∠C 1BC )=⨯90︒=45︒，22∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，∠C 1MF +∠EMB 1-∠EMF =∠C 1MB 1，∴∠CMF +∠BME -∠EMF =∠C 1MB 1，∴(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，∴180︒-80︒=∠C 1MB 1=20︒；②如图④中根据折叠可知，∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，︒2∠CMF +2∠ABE +∠AMC =90，11︒∴2(∠CMF +∠ABE )+∠AMC 11=90，(∴2(90∴290︒-∠EMF +∠A 1MC 1=90︒，︒)-60︒+∠A 1MC 1=90︒，)︒∴∠AMC =30；11（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a -β=β-γ，∴a +γ=2β；如图⑤-2中，由折叠可知，a -β=β+γ，∴a -γ=2β.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.8．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC =，结合AB=AC ，得到DB=EC ；AB AC（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB EC=，AB AC∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中⎧AD ＝AE⎪⎨∠DAB ＝∠EAC，⎪AB ＝AC⎩∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D 到AC 的距离最大，∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．9．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒1×AC×AD=5+2=7，2【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，⎧∠ADC =∠CEB⎪⎨∠DAC =∠ECB，⎪CA =CB⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．（1）见详解，（2）BD =2CF ，证明见详解，（3）【解析】【分析】（1）欲证明BF =AD ，只要证明∆BCF ≅∆ACD 即可；（2）结论：BD =2CF ．如图2中，作EH ⊥AC 于H ．只要证明∆ACD ≅∆EHA ，推出CD =AH ，EH =AC =BC ，由∆EHF ≅∆BCF ，推出CH 2．3=CF 即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE⊥AD于E，∴∠AEF=∠BCF=90︒，∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠CBF，BC=AC，∴∆BCF≅∆ACD(AAS)，∴BF=AD．（2）结论：BD=2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHF=∠BCF=90︒，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴∆EHF≅∆BCF，∴FH=FC，∴BD=CH=2CF．（3）如图3中，作EH⊥AC于交AC延长线于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHM=∠BCM=90︒，∠EMH=∠BMC，EH=BC，∴∆EHM≅∆BCM，∴MH=MC，∴BD=CH=2CM．AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，∴DB2a2==．BC3a3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．11．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.12．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y；如图6：s=t+x+y；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE 与AC 的交点为G ，∵∠PGD ＝∠EGC ，∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．14．（1）【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和1111n -,-；（2）；（3）见解析．45n n +1n +114⨯51n ⨯(n +1)（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】111111=-=-，解：（1）；n (n +1)n n +14⨯545故答案为1111-,-45n n +111111+-+-+22334+111n -=1-= ;n n +1n +1n +1（2）原式＝1-1111-+-+（3）已知等式整理得：x x +1x +1x +2112x -1-=所以，原方程即：，x x +5x (x +5)方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，∴原方程的解为：x ＝3．【点睛】+112x -1-=x +4x +5x (x +5)本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.15．（1）见解析；（2）∠ABE -∠CDE =30︒【解析】（1）根据聪聪提供的辅助线作法进行证明，先由平行线的性质得：∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，再证明∠MCD=∠BAG，可得结论；（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论．【详解】解：（1）证明：如图2，过A作AG//FM，交CD于G，∴∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，FN⊥FM，∴∠F=90︒，∴∠GAF=90︒，∠FAB-∠MCD=90︒，∴∠FAB-∠GAF=∠MCD=∠BAG，∴AB//CD；（2）解：∠ABE-∠CDE=30︒，理由如下：如图3，AB//CD，∴∠BPD=∠ABE，∠BPD=∠CDE+∠BED，∠BED=30︒，∴∠BPD-∠CDE=30︒，∴∠ABE-∠CDE=30︒．。
每日一学：北京市北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答
约为________度（结果精确到个位）
பைடு நூலகம்
~~ 第3题 ~~ (2020北京.八上期中) 已知| a| + a = 0，则化简 |a－1| +|2a－3| 的结果是（ ）
A . 2 B . －2 C . 3a－4 D . 4－3a
北 京 市 北 京 市 中 国 人 民 大 学 附 属 中 学 2019-2020学 年 八 年 级 上 学 期 数 学 期 中 考 试 试 卷 _压 轴 题 解 答
~~ 第1题 ~~
答案：
解析：
~~ 第2题 ~~
答案： 解析：
~~ 第3题 ~~
答案：D
解析：
1
1
－1
－1
1
－1
1
1
1
－1
－1
1
－1
－1
1
1
（2） 是否存在一个 3×3 的数表 A，使得该数表的“积和” S =0 ？并说明理由；
（3） 当n=10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值.
考点： 定义新运算;
答案
~~ 第2题 ~~
(2020北京.八上期中) 某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
a
a
a
a
a
a
M
M
M
a
a
a
对于数表 A 给出如下定义：记 xi 为数表 A 的第i 行各数之积，y j 为数表 A 的第 j 列各数之积.令S = (x1+ x2+L+ x )+(y1 + y2L+ y )，将S 称为数表 A 的“积和”.
（1） 当n= 4 时，对如下数表 A，求该数表的“积和” S 的值；
八年级上期中压轴题[答案及解析]
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1、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4） （1）求B 点坐标；（2）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°连OD ，求∠AOD 的度数；（3）过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式OFFMAM =1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.答案解：（1）作AE ⊥OB 于E ， ∵A （4，4）， ∴OE=4，∵△AOB 为等腰直角三角形，且AE ⊥OB ， ∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B（8，0）；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC≌△CEA，∴EC=DF，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°，∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；（3）成立，理由如下：在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△EAN≌△EOF（SAS），∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM ，∴△NEM ≌△FEM （SAS ）， ∴MN=MF ，∴AM ﹣MF=AM-MN=AN ， ∴AM-MF=OF ， 即。
八年级上期中压轴题[答案解析]
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1、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4） （1）求B 点坐标；（2）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°连OD ，求∠AOD 的度数；（3）过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt△EGH，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式OFFMAM =1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.答案解：（1）作AE ⊥OB 于E ， ∵A （4，4）， ∴OE=4，∵△AOB 为等腰直角三角形，且AE ⊥OB ， ∴OE=EB=4， ∴OB=8，∴B（8，0）；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC≌△CEA，∴EC=DF，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°，∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；（3）成立，理由如下：在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△EAN≌△EOF（SAS），∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，∴△NEM≌△FEM（SAS），∴MN=MF ，∴AM ﹣MF=AM-MN=AN ， ∴AM-MF=OF ， 即。
(压轴题)初中物理八年级上册期中测试卷(含答案解析)
一、选择题1．盛一盆水，在盆里放两块高出水面的砖，砖上搁一只比盆小点的篮子，篮子里装上熟食，再把一个纱布袋罩在篮子上，并使袋口的边缘浸入水里（如图），就做成了一个简易冰箱，针对这个装置下列说法中不正确．．．的是（）A．简易冰箱能制冷是因为水蒸发吸热B．将该装置放在通风的地方，制冷效果更好C．篮子上罩着纱布袋是为了增大蒸发面积D．简易冰箱与电冰箱的工作原理一样，在工作时都有汽化和液化现象2．王老师上课带来一把金属勺放在了讲桌上，把刚烧开的开水倒入杯中，将金属勺放在杯里，一会儿金属勺熔化了；当杯中的水温降为室温（约20℃）后，杯中凝固出一金属块。
关于这种金属，下列判断正确的是（）A．该金属熔点不低于20℃B．该金属熔点低于20℃C．该金属凝固点高于100℃D．该金属是非晶体3．下列措施中使蒸发减慢的是（）A．用扫帚把洒在地上的水向周围散开B．把湿衣服展开晾在通风向阳处C．用塑料袋包装蔬菜并放入冰箱冷藏室内D．夏天，人们使用电风扇吹风4．预防新冠肺炎病毒时要测量体温。
若用如图所示这支未甩过的体温计去测量 37℃与39℃的就诊者体温，则该体温计的示数先后分别是（）A．37℃和 39℃B．37℃和 38.5℃C．37℃和 37℃D．38.5℃和 39℃5．支付宝用户可以对支付宝账号设置“声音锁”。
设置时用户打开支付宝APP，对着手机读出手机显示的数字，APP将主人的声音信息录入，以后打开支付宝时，APP会把录入的数字随机组合，主人无论轻声或大声，只要读对APP显示的数字即可打开支付宝。
支付宝设置“声音锁”利用了声音的（）A．响度和音调B．响度和音色C．音调和音色D．只有音色6．关于声现象的描述，下列说法正确的是（）A．图甲中，钢尺伸出桌边的长度越短，拨动时发出声音的响度越大B．图乙中，逐渐抽出真空罩内的空气，闹钟发出的铃声逐渐变大C．图丙中，戴上防噪声耳罩，可以消除噪声的产生D．图丁中，开启倒车雷达，可利用超声波回声定位7．关于声现象，下列说法中正确的是（）A．“隔墙有耳”说明固体能传声B．“闻其声而知其人”主要是根据声音的响度来判断的C．超声波能将一般情况下不能混合的液体混合在一起，而次声波人耳听不到，能量很小，破坏力不大D．市区内“禁鸣喇叭”，采用的是在声音传播过程中减弱噪声8．如图是赛龙舟比赛活动中，某龙舟上的鼓手正在击鼓号令的场景。
【压轴题】八年级数学上期中试题附答案
【压轴题】八年级数学上期中试题附答案一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm2．已知一个等腰三角形一内角的度数为80o，则这个等腰三角形顶角的度数为() A．100o B．80o C．50o或80o D．20o或80o3．李老师开车去20km远的县城开会，若按原计划速度行驶，则会迟到10分钟，在保证安全驾驶的前提下，如果将速度每小时加快10km，则正好到达，如果设原来的行驶速度为xkm/h，那么可列分式方程为A．20201010x x-=+B．20201010x x-=+C．20201106x x-=+D．20201106x x-=+4．如图2，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③5．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④6．如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（）A ．高B ．角平分线C ．中线D ．不能确定 7．如图，直线AB ∥CD ，∠C ＝44°，∠E 为直角，则∠1等于（ ）A ．132°B ．134°C ．136°D ．138°8．如图，在ABC ∆中，90A ∠=o ，30C ∠=o ，AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的平分线，且交AD 于P ，如果2AP =，则AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89．如果(x +1)(2x +m )的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．0.5D ．-0.510．如图，已知a ∥b ，∠1＝50°，∠3=10°，则∠2等于（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°11．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE ⊥AD ，2CE=AC ，那么CD 的长是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．1.5 12．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．A ．6B ．5C ．8D ．7二、填空题13．已知m ﹣n=2，mn=﹣1，则（1+2m ）（1﹣2n ）的值为__．14．在代数式11,,52x x x +中，分式有_________________个． 15．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学，一共有x 人则可列分式方程________．16．已知8a b +=，224a b =，则222a b ab +-=_____________． 17．若关于x 的分式方程111x x m +--＝2有增根，则m ＝_____． 18．关于x 的分式方程211x a x +=+的解为负数，则a 的取值范围是_________. 19．如图，AD 是三角形ABC 的对称轴，点E 、F 是AD 上的两点，若BD =2，AD =3，则图中阴影部分的面积是_______.20．计算：101(3)2π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝_____． 三、解答题21．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝100°，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，点E 是AB 的中点，连接DE ．（1）求∠B 的度数；（2）求线段DE 的长．22．如图，某校准备在校内一块四边形ABCD 草坪内栽上一颗银杏树，要求银杏树的位置点P 到边AB ，BC 的距离相等，并且点P 到点A ，D 的距离也相等，请用尺规作图作出银杏树的位置点P (不写作法，保留作图痕迹)．23．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD 是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD ，对角线AC,BD 相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CB,垂足分别是E,F ，求证OE=OF ；24．用A 、B 两种机器人搬运大米，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20袋大米，A 型机器人搬运700袋大米与B 型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A 、B 型机器人每小时分别搬运多少袋大米．25．已知：如图，//AD BC ，DB 平分ADC ∠,CE 平分BCD ∠，交AB 于点E ，BD 于点O ，求证：点O 到EB 与ED 的距离相等.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先求出∠ACD=∠B=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC ，再求出AB 即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠A=60º，∴∠B=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AC=12AB （直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）， 又∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC=90º，∴∠ACD=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AD=12AC （直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），∴AC=6，又∴AC=12 AB，∴12AB=．故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和有30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论．【详解】()1若等腰三角形一个底角为80o，顶角为180808020o o o o--=；()2等腰三角形的顶角为80o．因此这个等腰三角形的顶角的度数为20o或80o．故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理.解答此类题目的关键是要注意分类讨论，不要漏解．3．C解析：C【解析】设原来的行驶速度为xkm/h，根据“原计划所用的时间-实际所用的时间=16小时”，即可得方程20201106x x-=+，故选C.点睛：本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找出等量关系是解题的关键.4．D解析：D【解析】【分析】从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等，边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．【详解】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F∴∠AEB=∠AFC=90°，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF（①正确）∴AE=AF，∴BF=CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE（②正确）∴DF=DE，连接AD∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD=∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上（③正确）．故答案选D．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质．5．D解析：D【解析】【分析】根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD BCABD CBD BE BA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE BE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，AE CE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键．6．C解析：C【解析】试题分析：三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S△ABD=S△ADC，列出面积公式，可得出BD=CD．解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中线．故选C．考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．7．B解析：B【解析】过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故选B．“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．8．C解析：C【解析】【分析】易得△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度【详解】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC=30°，∴∠AEB=∠C+∠EBC=60°，∠C=∠EBC，∴∠AEP=60°，BE=EC．又AD⊥BC，∴∠CAD=∠EAP=60°，则∠AEP=∠EAP=60°，∴△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB中，∠ABE=30°，则EB=2AE=4，∴BE=EC=4，∴AC=CE+AE=6．故选：C．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到∠AEB=60°是解题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据乘积中不含x的一次项，求出m的值即可．【详解】（x+1）（2x+m）=2x2+（m+2）x+m，由乘积中不含x的一次项，得到m+2=0，解得：m=-2，故选：B．【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】由平行线的性质，得到∠4=∠1=50°，由三角形的外角性质，即可求出∠2的度数．【详解】解：如图：∵a∥b，∴∠4=∠1=50°，∵∠4=∠2+∠3，∠3=10°，∴∠2=50°-10°=40°；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确得到∠4=∠1=50°．11．A解析：A【解析】【分析】在Rt△AEC中，由于CEAC=12，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．【详解】解：在Rt△AEC中，∵CEAC=12，∴∠1=∠2=30°，∵AD=BD=4，∴∠B=∠2=30°，∴∠ACD=180°﹣30°×3=90°，∴CD=12AD=2．故选A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角的性质．解题的关键是得出∠1=30°．12．B解析：B【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形．故选B．【点睛】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n-2）个三角形．二、填空题13．9【解析】∵m−n=2mn=−1∴(1+2m)(1−2n)=1−2n+2m−4mn=1+2(m−n)−4mn=1+4+4=9故答案为9点睛:本题考查了多项式乘多项式法则合并同类项时要注意项中的指数及解析：9【解析】∵m−n=2，mn=−1，∴(1+2m)(1−2n)=1−2n+2m−4mn=1+2(m−n)−4mn=1+4+4=9.故答案为9.点睛:本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．14．1【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母如果含有字母则是分式如果不含有字母则不是分式【详解】解：是整式是分式是整式即分式个数为1故答案为：1【点睛】本题主要考查分式的定义注意数字不是字解析：1【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：15x+是整式，1x是分式，2x是整式，即分式个数为1，故答案为：1【点睛】本题主要考查分式的定义，注意数字不是字母，判断分母的关键是分母中有字母. 15．【解析】【分析】关键描述语是：每个同学比原来少分摊了10元车费；等量关系为：原有的同学每人分担的车费－实际每人分担的车费＝20；据此列出分式方程即可【详解】解：设实际参加游览的同学一共有人由题意得：解析：60060010 5x x-= -【解析】【分析】关键描述语是：“每个同学比原来少分摊了10元车费”；等量关系为：原有的同学每人分担的车费－实际每人分担的车费＝20；据此列出分式方程即可．【详解】解：设实际参加游览的同学一共有x人，由题意得：600600105x x-=-，故答案为：600600105x x-=-．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．16．28或36【解析】【分析】【详解】解：∵∴ab=±2①当a+b=8ab=2时==﹣2×2=28；②当a+b=8ab=﹣2时==﹣2×（﹣2）=36；故答案为28或36【点睛】本题考查完全平方公式；分解析：28或36．【解析】【分析】【详解】解：∵224a b=，∴ab=±2．①当a+b=8，ab=2时，222a bab+-=2()22a bab+-=642﹣2×2=28；②当a+b=8，ab=﹣2时，222a bab+-=2()22a bab+-=642﹣2×（﹣2）=36；故答案为28或36．【点睛】本题考查完全平方公式；分类讨论．17．1【解析】【分析】有增根是化为整式方程后产生的使原分式方程分母为0的根在本题中可确定增根是1然后代入化成整式方程的方程中求得m的值【详解】解：去分母得：m﹣1＝2x﹣2由分式方程有增根得到x﹣1＝0解析：1【解析】【分析】有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，可确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值．【详解】解：去分母得：m﹣1＝2x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入得：m﹣1＝0，解得：m＝1，故答案为：1【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行求解：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．18．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程的解为负数求出a的范围即可【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a由分式方程解为负数得到1-a<0且1-a≠-1解得:a＞1且解析：12a a>≠且【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a 的范围即可【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a,由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1解得:a ＞1且a≠2,故答案为: a ＞1且a≠2【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x 的值再进行分析19．3【解析】∵轴对称的两个图形全等∴阴影部分的面积是整个三角形面积的一半即阴影部分的面积等于ΔABD 的面积而ΔABD 的面积=05×2×3=3故答案为3解析：3【解析】∵轴对称的两个图形全等，∴阴影部分的面积是整个三角形面积的一半，即阴影部分的面积等于ΔABD 的面积，而ΔABD 的面积=0.5×2×3=3， 故答案为3.20．【解析】【分析】根据0指数幂和负指数幂定义求解【详解】=1+2=3故答案为3【点睛】考核知识点：0指数幂和负指数幂解析：【解析】【分析】根据0指数幂和负指数幂定义求解.【详解】101(3)2π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=1+2=3 故答案为3【点睛】 考核知识点：0指数幂和负指数幂.三、解答题21．（1）40︒；（2）4【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质∠B=∠C 可推导求出；（2）根据等腰三角形的性质，确定点D 是BC 的中点，从而得出DE 是△ABC 的中位线，从而得出DE 的长．（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠180100402B︒-︒==︒；（2）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD是等腰△ABC底边BC上的高，即∠ADB＝90°在直角三角形ABD中，点E是AB的中点，∴DE为斜边AB边上的中线，∴DE142AB==．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形常用到的性质为：底边上的“三线合一”．22．见解析【解析】分析：首先作出∠ABC的角平分线进而作出线段AD的垂直平分线，即可得出其交点P的位置．详解：如图所示：P点即为所求．点睛：本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．23．证明见解析.【解析】试题分析：欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．试题解析：证明：∵在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=CD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，24．A 型机器人每小时搬大米70袋，则B 型机器人每小时搬运50袋．【解析】【分析】工作效率：设A 型机器人每小时搬大米x 袋，则B 型机器人每小时搬运（x ﹣20）袋；工作量：A 型机器人搬运700袋大米，B 型机器人搬运500袋大米；工作时间就可以表示为：A 型机器人所用时间=700x ，B 型机器人所用时间=500x-20，由所用时间相等，建立等量关系．【详解】设A 型机器人每小时搬大米x 袋，则B 型机器人每小时搬运（x ﹣20）袋， 依题意得：700x =500x-20， 解这个方程得：x=70 经检验x=70是方程的解，所以x ﹣20=50．答：A 型机器人每小时搬大米70袋，则B 型机器人每小时搬运50袋．考点：分式方程的应用．25．见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到()CDO CBO ASA ∆≅∆，得出DO=BO,则CE 是BD 的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC 平分∠BED ，从而得证．【详解】证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DB 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，∴∠ODC+∠OCD=11802︒⨯=90°， ∴∠DOC=90°，又CE 平分∠BCD ，CO=CO,易证()CDO CBO ASA ∆≅∆∴DO=BO,∴CE 是BD 的垂直平分线，∴EB=ED ，又∠DOC=90°，∴EC 平分∠BED ，∴点O 到EB 与ED 的距离相等．【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．。
每日一学：浙江省温州市龙湾区部分学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷_压轴题解答
每日一学：浙江省温州市龙湾区部分学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷_压轴题解答答案浙江省温州市龙湾区部分学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷_压轴题~~ 第1题 ~~(2020龙湾.八上期中) 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，点D 从B 点出发，沿射线CB 方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP ⊥射线CB ，且BM ＝10，点Q 从M 点出发，沿射线MQ 方向以每秒a 个单位长度的速度运动，已知D 、Q 两点同时出发，运动时间为t 秒．（1） 当t ＝2时，△DMQ 是等腰三角形，求a 的值．（2） 求t 为何值时，△DCA 为等腰三角形．（3） 是否存在a ，使得△DMQ 与△ABC 全等，若存在，请直接写出a 的值，若不存在，请说明理由．考点： 三角形全等的判定;等腰三角形的判定;几何图形的动态问题;~~ 第2题 ~~(2020龙湾.八上期中) 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连结ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为________.~~ 第3题 ~~(2017杭州.八上期中) 如图，四边形ABCD 是正方形，直线a ，b ，c 分别通过A 、D 、C 三点，且a ∥b ∥c ．若a与b 之间的距离是5，b 与c 之间的距离是7，则正方形ABCD 的面积是（ ）A . 70B . 74C . 144D . 148浙江省温州市龙湾区部分学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷_压轴题解答~~ 第1题 ~~答案：解析：答案：解析：~~ 第3题 ~~答案：B解析：。
期中测试压轴题考点训练(11-13章)(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)
期中测试压轴题考点训练（11-13章）一、单选题1．如图所示，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE=AF，当满足下列条件仍无法确定的△ABE≌△ACF是（）A．AB=AC B．CF=BE C．BF=CE D．∠B＝∠C【答案】B【分析】由条件隐含条件是公共角∠A,AE=AF,然后再逐个添加条件，如果不符合判定法则，即为答案．【详解】解：结合已知条件：可发现A选项满足SAS;C选项和已知条件AE=AF，可说明AB=AC,满足SAS即C可以；B选项添加条件后变为SSA，但SSA不能证明三角形全等，故B错误；D选项满足ASA;故选B【点睛】本题考查添加一个条件让三角形全等，SSA不能证明三角形全等是解答本题的关键．2．如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE,且AB+AC=BE，则∠B的大小是（）A．42°B．44°C．46°D．48°【答案】D【详解】如图，延长BA到F，使AF=AC，连接EF，1∴BC PM ，∴180BMP B ∠+∠=︒，∴180180ABC BMP PCA ∠=︒-∠=︒-∠．∵60PAM PAC ∠=∠=︒，∴60BAC ∠=︒．∵260ABC ACE BAC PCA ∠=∠-∠=∠-︒，∴180°-∠PCA=2∠PCA-60°，∴80PCA ∠=︒，∴180********ABC PAC ∠=︒-∠=︒-︒=∠︒．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，解决本题的关键是得到PAM PAC ≌．6．如图，已知AD 为△ABC 的高线，AD=BC ，以AB 为底边作等腰Rt △ABE ，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE ≌△BCE ；②CE ⊥DE ；③BD=AF ；④S △BDE =S △ACE ，其中正确的有（）A ．①③B ．①②④C ．①②③④D ．②③④【答案】C 【分析】①易证∠CBE=∠DAE ，即可求证：△ADE ≌△BCE ；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；故①正确；②∵△ADE ≌△BCE ，∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF ≌△BED ，∴S △AEF =S △BED ，∴S △BDE =S △ACE ．故④正确；综上①②③④都正确，故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE ≌△CDE 是解题的关键．A．32B．A ．①②B ．②③【答案】C 【分析】利用角平分线的性质得到判断①；再根据∠ABP +∠ACP =180可判断③；再说明若要PC ∥AB ，则需要说明【详解】解：∵点P 在∠MAN 的角平分上，∴PR=PS ，∵∠ARP=∠ASP=90°，∴在Rt △APR 和Rt △APS 中，AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，∴△APR ≌△APS （HL ），∴AS=AR ，故①正确；∵∠ABP +∠ACP =180︒，∴∠ABP=∠PCS ，又∵PR=PS ，∠PRB=∠PSC=90°，∴△BRP ≌△CSP （AAS ），故③正确；若∠MAP=∠CPA ，则PC ∥AB ，则需要AC=PC 得出∠PAN=∠CPA ，从而根据∠MAP=∠PAN ，得出∠MAP=∠CPA ，而题中没有条件说明AC=PC ，故②错误；故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的性质和线段平行条件．辅助线是解决本题的关键．10．如图，OA OD ⊥，2OA =，P 是射线OD 上的一个动点，连接AP ，以A 为直角顶点向右作等腰直角PAB ，在OD 上取一点C ，使45BCO ∠=︒，当P 在射线OD 上自O 向D 运动时，PC 长度的变化（）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．保持不变【答案】D 【分析】过点B 作BH OA ⊥于H ，BG OC ⊥于G ，先证明()AAS POA AHB ≅ ，得2OA BH ==，OP AH =，利用等量代换即可求解．【详解】解：过点B 作BH OA ⊥于H ，BG OC ⊥于G ，ABP 是等腰直角三角形，AB AP =∴，90BAP ∠=︒，90PAO BAH ∴∠+∠=︒，90PAO OPA ∠+∠=︒ ，OPA BAH ∴∠=∠，在POA 和AHB 中，O AHB OPA BAH AP AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS POA AHB ∴≅ ，2OA BH ∴==，OP AH =，45BCO ∠=︒，BG OC ⊥，CGB ∴ 是等腰直角三角形，CG BG ∴=，()PC CG PG OA AH OP OG ∴=-=+--OA AH OP OG =+-+4OA OG =+=，PC ∴的长度保持不变，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形进行求解．二、填空题【答案】125或247或325【分析】先利用直角三角形的性质可得路径和速度求出t 的取值范围为0t <利用直角三角形的性质求解即可得出答案．【详解】解： 在Rt ABC △中，C ∠212AB BC ∴==，=60B ∠︒，∴点P 从点A 运动到点B 所需时间为（秒）；点Q 从点B 运动到点C 所需时间为BC 当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，06t ∴<≤，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当90BQP ∠=︒时，BPQ V ①当04t <≤时，3AP t =，BP 在Rt BPQ 中，2BP BQ =，即12①当04t <≤时，3AP t =，BP AB =在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =解得2447t =<，符合题设；②当46t <≤时，312BP t =-，在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =解得245t =，符合题设；综上，t 的值是165或327或245，故答案为：125或247或325．【点睛】本题考查了含30︒角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出t 的取值范围，并分情况讨论是解题关键．13．在四边形ABCD 中，ADC ∠与α︒-【答案】1206点I 是△ABC 的角平分线的交点所以有∠BAI=∠DAI ，∠ABI=∠CBI ，∠ACI=∠在△ABI 和△ADI 中，AB=AD BAI=DAI AI=AI ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABI ≌△ADI （SAS ）∴DI=BI又∵AB ＋BI ＝AC ，AB+DC=AC∴DI=DC∴∠DCI=∠DIC设∠DCI=∠DIC=β则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β【详解】如图：过点A 作AK //BC ,且3,AK =连接FK,DK,在ABK 和CBD △中90,AB CB BAK DCB AK CD =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴ABK ≌,CBD ∴,BK BD =,ABK CBD ∠=∠ 90,ABK KBC ∠+∠= 则90,CBD KBC ∠+∠= 即90,KBD ∠= KBD △是等腰直角三角形，∴45,BDK ∠= 135AEB ∠=︒,∴45,OEF ∠= ∴45,BDK OEF ∠=∠= 根据对顶角相等得到,EOF DOE ∠=∠在OEF 和ODK 中，,OEF EOF EFO ODE DOE OKD ∠+∠+∠=∠+∠+∠∴,EFO OKD ∠=∠AK //BC //DF,,AKF DFK ∠=∠在AKF 和DFK △中，,,AKF DFK KF FK EFO OKD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AKF ≌DFK △,则3,DF AK ==又2,DH =32 1.FH DF DH =-=-=故答案为1.【点睛】考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等，难度较大，解题的关键是作出辅助线.【答案】6：8：3【分析】由角平分线性质可知，点CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解【详解】解：过点P 作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥CA ∵P 是三条角平分线的交点∴PD=PE=PF∵AB=30，BC=40，CA=15∴APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆=30∶40∶15=6故答案为6∶8∶3.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法离相等.难度不大，作辅助线是关键.．如图所示，∠AOB ＝60°，点P 是∠上异于点O 的动点，当△PMN 1【分析】根据题意作点P 关于OB 的对称点由对称性可知OP＝OP'＝OP''∵OP＝2，∠AOB＝60°，=【答案】①②③【分析】先根据垂直定义和等角的余角相等证得可判断①正确；再证明ADE△≌△③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断中，【详解】解： 在Rt ABC∴∠=∠= ，BADB ACB45∠+∠AF AD ⊥，90CAF DAC ∴∠+∠=︒，BAD CAF ∴∠=∠，CF BC ⊥ ，9045ACF ACB ∴∠=︒-∠= ，则B ACF ∠=∠，在ABD △和ACF △中，BAD CAF AB AC B ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABD ACF ASA ∴ ≌，故①正确；AD AF ∴=，45DAE ∠= ，AF AD ⊥，9045FAE DAE DAE ∴∠=-∠==∠ ，在ADE V 和AFE △中，AD AF DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AFE SAS ∴ ≌，∴=DE EF ，故②正确；∵ADE AFE △≌△，ABD ACF ≌△△，ABD ACF S S ∴= ，ADE AFE S S = ，BD CF =，DE EF =，ABC ABD ADE AECS S S S ∴=++ ACF ADE AECS S S =++ ADE AFE CEFS S S =++ 2ADE CEFS S =+ 2104=⨯+24=，故③正确；CEF 中，CF CE EF+>BD CE DE ∴+>，故④错误，综上，正确的是①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明ADE AFE △≌△是解答的关【答案】5cm【分析】作M关于OC的对称点值最小，则OP=OM=10cm，QM=PQ即可．【详解】解：作M关于OC的对称点的值最小，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点∴OA、OB关于OC对称，∴P点在OB上，∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，∵PN=12OP=12×10=5cm，∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，故答案为5cm．【答案】()0,4【分析】在CD 上取点E ，使CE CD BE =，60BEC CDA ∠=∠=外角的性质可证明DF CE AD ==方程，计算可求解x 值，即可求得【详解】解：如图，在CD 上取点60CDA ∠=︒ ，CAD CDA ∠+∠120CAD ACD ∴∠+∠=︒，120ACB ACD BCE ∠=∠+∠= CAD BCE ∴∠=∠，在ACD 和CBE △中，AC CB CAD BCE AD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD CBE ∴≌ ，∴CD BE =，BEC CDA ∠=∠90AOF ∠=︒ ，30OFD ∴∠=︒，BEC EBF OFD ∠=∠+∠ ，30EBF ∴∠=︒，FE BE CD ∴==，DF CE AD ∴==，设OD x =，则4OB x =，2DF x =，()3,0A - ，3OA ∴=，3AD x ∴=-，32x x ∴-=，解得1x =，4OB ∴=，()0,4B ∴．故答案为：()0,4．【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质的知识等综合运用，构造全等三角形是解题的关键．三、解答题26．等腰Rt ACB △，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．(1)如图1，求证：BCO CAO ∠=∠；(2)如图2，若5OA =，2OC =，求B 点的坐标；(3)如图3，点()03C ，，Q ，A 两点均在x 轴上，且18.CQA S =△分别以AC 、CQ 为腰在第一、第二象限作等腰Rt CAN 、等腰Rt QCM ，AC CN =，CM CQ =，连接MN 交y 轴于P 点，OP 的长度是否发生改变？若不变，求出OP 的值；若变化，求OP 的取值范围．【答案】(1)见解析(2)(23)B --，(3)OP 的长度不会发生改变，长度始终是9，理由见解析【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据a为不等式3 3 a-出a b=即可；（2）求出TAOD为等腰直角三角形即可；【详解】（1）解：解不等式31 3 a-F 为CE 中点，CF EF ∴=，在GCF ∆和AEF ∆中CF EF CFG FEA FG FAì=ïïïïÐ=Ðíïïï=ïî()GCF AEF SAS \D @D ，CG EA \=，GCF AEF Ð=Ð，//GC AD \，GCD CDA \Ð=Ð，AB AE = ，GC AB \=，AD AB ⊥ ，OB OC ⊥，90COB BAD \Ð=Ð=°，180ABO ADO \Ð+Ð=°，180ADO ADC Ð+Ð=°Q ，ADC ABO \Ð=Ð，GCD CDA Ð=ÐQ ，GCD ABO \Ð=Ð，在GCO D 和ABO ∆中GC AB GCO ABO OC OBì=ïïïïÐ=Ðíïïï=ïî()GCO ABO SAS \D @D ，GO AO \=，GOC AOB Ð=Ð，90AOB AOC Ð+Ð=°Q ，90GOC AOC \Ð+Ð=°，GAO \D 为等腰直角三角形，45OAF \Ð=°，即OAF ∠的大小不变；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了解不等式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．28．在ABC 中，90.ABC ∠=点G 在直线BC 上，点E 在直线AB 上，且AG 与CE 相交于点F ，过点A 作边AB 的垂线AD ，且//CD AG ，EB AD =，AE BC =．()1如图①，当点E 在ABC 的边AB 上时，求DCE ∠的度数；()2如图②，当点E 在线段BA 的延长线上时，求证：AB BG =．【答案】()145DCE ∠= ；()2见解析；【分析】（1）根据垂直定义，证ADE ≌()BEC SAS ，得AED BCE ∠=∠，ED CE =，AED BEC BCE BEC ∠+∠=∠+∠；证得90AED CEB ∠+∠= ，即90DEC ∠= ，可得结果；（2）如图②，连接DE ，根据垂直定义，先证ADE ≌()BEC SAS ，得ADE BEC ∠=∠，ED CE =，证得EDC ECD ∠=∠，即ADE ADC ECD ∠+∠=∠，故BEC DAF AFC ∠+∠=∠，DAF EAF ∠=∠，故AF 平分DAE ∠，求出45BAG ∠= ，90ABG ∠= ，故45BGA ∠= ，所以BGA BAG ∠=∠，可得AB BG =．【详解】解：()1如图①连接ED ，AD AB ⊥ ，90DAE ∴∠= ，90ABC ∠= ，DAE ABC ∴∠=∠，AD EB =，AE BC =，ADE ∴ ≌()BEC SAS ，AED BCE ∴∠=∠，ED CE =，AED BEC BCE BEC ∴∠+∠=∠+∠；90AED CEB ∴∠+∠= ，90DEC ∴∠= ，45DCE ∴∠=；()2如图②，连接DE ，AD AB ⊥ ，90DAE ∴∠= ，90ABC ∠= ，DAE ABC ∴∠=∠，AD EB =，AE BC =，ADE ∴ ≌()BEC SAS ，ADE BEC ∴∠=∠，ED CE =，ED CE = ，EDC ECD ∴∠=∠，即ADE ADC ECD ∠+∠=∠，BEC DAF AFC ∴∠+∠=∠，BEC EAF AFC ∠+∠=∠ ，DAF EAF ∴∠=∠，AF ∴平分DAE ∠，90DAE ∠= ，45EAF ∴∠= ，EAF BAG ∠=∠，45BAG ∴∠= ，90ABC ∠= ，90ABG ∴∠= ，45BGA ∴∠= ，BGA BAG ∴∠=∠，AB BG ∴=．∵OM平分∠AOB，∴OM是∠AOB的对称轴，∴DP=GP，又∵DG⊥OC，∴OC是DG的中垂线，是等腰三角形，∴CD=CG，即CDG故答案是：等腰三角形；（2）过点D作DN⊥AC，交AC的延长线于点N，∵AD是∠CAB的平分线，DN⊥AC，DM⊥AB，∴DN=DM，又∵AD=AD，∴Rt∆ADN≅Rt∆ADM（HL），∴AN=AM，∵2+=，AB AC AM∴AM+MB+AN-CN=2AM，即MB=CN，又∵∠CND=∠BMD=90°，DN=DM，∴∆CDN≅∆BDM（SAS），∴∠DCN=∠ABD，。
八上数学压轴题
八上数学压轴题数学是一门抽象而又实用的学科，对于学生而言，掌握好数学知识是至关重要的。
而在学习过程中，做一些压轴题可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
下面我将介绍八年级数学中的一些压轴题，希望能对同学们的学习有所帮助。
第一题：多项式乘法任务描述：计算下列多项式的乘积：(2x-1)(x+3)(x-2)解析：要计算多项式的乘积，可以使用分配律和结合律进行展开和合并。
首先将第一个多项式和第二个多项式相乘，得到(2x-1)(x+3) = 2x^2 + 5x - 3。
然后将得到的结果与第三个多项式相乘，得到最终的结果。
展开后合并同类项，最终的乘积为 2x^3 + 4x^2 - 10x - 6。
第二题：线性方程组任务描述：解方程组：{2x+y=7，3x-2y=1}解析：要解方程组，可以使用消元法或代入法。
首先，将第一个方程的两倍加到第二个方程上，消去y的系数，得到5x=15，从而得到x=3。
将x的值代入第一个方程，得到2*3+y=7，解得y=1。
所以方程组的解为x=3，y=1。
第三题：数列求和任务描述：计算数列1+4+7+...+97的和。
解析：这是一个等差数列，公差为3，首项为1，末项为97。
可以使用等差数列求和公式来计算。
首先计算项数n，n = (末项 - 首项) / 公差 + 1 = (97-1) / 3 + 1 = 33。
然后，使用求和公式 S = (首项 + 末项) * 项数 / 2，将数据代入计算得到 S = (1 + 97) * 33 / 2 = 33 * 49 = 1617。
所以数列的和为1617。
第四题：三角函数任务描述：已知在直角三角形ABC中，角A的度数为30°，AB=3，求BC的长度。
解析：根据三角函数中的正弦定理，可以得到 sinA = BC / AB。
将已知的角度和边长代入计算，得到 sin30° = BC / 3，即 1/2 = BC / 3，从而得到 BC = 3 * 1/2 = 1.5。
2022-2023学年北京市海淀区建华实验学校八年级上学期期中考试数学试卷带讲解
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．
10.已知， 是等边三角形．点D是 边上的一个动点，点E是 边上的一个动点，且 ， 与 交于点F．若 是等腰三角形，则 的度数是（）
【分析】利用已知条件证明 ，即可证得 ，即可求解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键是证明 ．
8.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB＋BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（ ）
21.已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，3．
【分析】先按照完全平方公式与多项式乘以多项式的法则进行整式的乘法运算，再合并同类项即可得到化简的结果，再把 化为 再整体代入求值即可得到答案．
【详解】解：原式
．
当 时，
原式
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握利用完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则进行整式的乘法运算是解题的关键．
∵AB＋BD＝AC，AE＋EC＝AC，
∴BD=DE=EC，
∴∠EDC=∠C=20°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠EDC+∠C=40°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质与三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质与三角形外角的性质是解题的关键．
9. 为锐角， ，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d， ，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（）
2023学年常州各校期中数学压轴题题型分析(八年级)
2023学年常州各校期中数学压轴题题型分析2023八年级期中压轴题试题解读：新定义问题，考察数学阅读理解能力。
这个问题涉及到一个特殊的四边形叫做“真等腰直角四边形”。
我们需要根据这个概念来回答三个小问题。
=== 第一小题===我们要判断四边形ABCD是否是真等腰直角四边形。
考点：真等腰直角四边形的定义。
难点：应用定义来判断给定的四边形。
应对策略：根据定义，检查给定的条件和图形是否满足要求。
=== 第二小题===我们要计算四边形ABCD中边BC的长度。
考点：真等腰直角四边形的性质。
难点：应用真等腰直角四边形的性质来求解边的长度。
应对策略：利用给定的条件和真等腰直角四边形的性质进行几何运算。
=== 第三小题===我们要说明AC与BE的数量关系，并说明理由。
考点：真等腰直角四边形的性质，以及与其它几何形状的关系。
全等三角形的判定。
难点：理解和证明AC与BE的数量关系。
应对策略：通过深入分析真等腰直角四边形的性质，以及给定的条件，来推导AC与BE的关系。
试题解读：以下是对于这三个问题的考点、难点以及应对策略的解读：(1)考点：本题主要考查了平面几何中四边形对角线性质、勾股定理的应用，以及线段平方和相等的证明。
难点：难点在于如何利用给定的信息和基本几何定理来证明线段AB²+CD²等于AD²+BC²。
需要准确找到和构造相应的几何关系。
应对策略：首先，利用对角线性质和对角线与四边形边的关系来寻求突破。
尝试将四边形分割为两个三角形，并应用勾股定理来找到线段之间的关系。
结合已知条件和推理，逐步推导出目标等式。
(2)考点：本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的构造与性质，勾股定理，以及三角形形状的判断。
难点：难点在于通过给定的直角三角形的边长求DE²的值，以及判断△APQ的形状。
应对策略：应用勾股定理求出直角三角形的未知边。
利用等腰直角三角形的性质，找到线段DE²与已知边长的关系。
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八上期中压轴题综合讲解【汉阳区八年级上期中】1．如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD 的一个半等角点．（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．【江汉区八年级上期中】24．如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°，（1）当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；（2）当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）当D点在如图的位置时，直接写出DA，DC，DB的数量关系，不必证明．25．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．（1）证明：OB=OC；（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标．25．如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16．（1）∠COA的值为_________；（2）求∠CAB的度数；（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．25．如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由．参考答案与试题解析一．解答题1．（2006•安徽）如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定；轴对称的性质．专题：压轴题；新定义．分析：（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．解答：解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上．（9分）在△DP1P2和△BP1P2中，∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，所以点P是四边形的半等角点．（14分）点评：通过阅读理解半等角点的概念，再综合运用知识解决问题，本题属于阅读理解题，对知识与能力要求较高．命题立意：本题考查学生理解知识和综合运用知识的能力．2．如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°，（1）当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；（2）当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）当D点在如图的位置时，直接写出DA，DC，DB的数量关系，不必证明．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）根据线段垂直平分线和等边三角形的性质可得AD=DC，∠ABD=30°，再由正弦定理可以证明DA+DC=DB；（2）延长DA到E，使得∠EBD=60，由已知可知△EBD是一个等边三角形，再证明△EBD≌△CBD，得出EA=DC，从而证明BD=ED=EA+AD=DC+AD；（3）可直接得DA，DC，DB的数量关系．解答：证明：（1）点D只能在AC的下边，容易得到BD是AC的中垂线，因此AD=DC，∠ABD=30°，在三角形内由正弦定理可以得到=，可以很快得到BD=2AD=AD+AC；（2）延长DA到E，使得ED=BD，所以BE=ED=BD，∠EBD=60°，又因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC，∠ABC=60°，所以∠EBA=∠DBC，在△EBA与△DBC中，因为，所以△ABE≌△CBD（SAS），因此EA=DC，所以BD=ED=EA+AD=DC+AD；（3）DC=DA+DB．点评：本题综合考查了线段垂直平分线和等边三角形的性质，同时考查了正弦定理和全等三角形的判定与性质，由于等边三角形的特殊性第（2）题的结论在等边三角形的其它边同样适用．3．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．（1）证明：OB=OC；（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标．考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；坐标与图形性质；等腰直角三角形．分析：（1）根据a=t，b=t，推出a=b即可；（2）延长AF至T，使TF=AF，连接TC，TO，证△TCF≌△AEF，推出CT=AE，∠TCF=∠AEF，再证△TCO≌△ABO，推出TO=AO，∠TOC=∠AOB，求出△TAO为等腰直角三角形即可；（3）连接MQ，NQ，BQ，B′Q，过M作MH∥CN交x轴于H，证△NTB′≌△MTH，推出TN=MT，证△NQB′≌△MQB，推出∠NB′Q=∠CBQ，求出△BQB′是等腰直角三角形即可．解答：（1）解：∵a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．∴a=b，∵B（t，0），点C（0，t）∴OB=OC；（2）证明：延长AF至T，使TF=AF，连接TC，TO，∵F为CE中点，∴CF=EF，在△TCF和△AEF中∴△TCF≌△AEF（SAS），∴CT=AE，∠TCF=∠AEF，∴TC∥AD，∴∠TCD=∠CDA，∵AB=AE，∴TC=AB，∵AD⊥AB，OB⊥OC，∴∠COB=∠BAD=90°，∴∠ABO+∠ADO=180°，∵∠ADO+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠ABC，∵∠TCD=∠CDA，∴∠TCD=∠ABO，在△TCO和△ABO中∴△TCO≌△ABO（SAS），∴TO=AO，∠TOC=∠AOB，∵∠AOB+∠AOC=90°，∴∠TOC+∠AOC=90°，∴△TAO为等腰直角三角形，∴∠OAF=45°；（3）解：连接MQ，NQ，BQ，B′Q，过M作MH∥CN交x轴于H，∵B和B′关于关于y轴对称，C在y轴上，∴CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∵MH∥CN，∴∠MHB=∠CB′B，∴∠MHB=∠CBB′，∴MH=BM，∵BM=B′N，∴MH=B′N，∵MH∥CN，∴∠NB′T=∠MHT，∴△NTB′≌△MTH，∴TN=MT，又TQ⊥MN，∴MQ=NQ，∵CQ垂直平分BB′，∴BQ=B′Q，∵在∴△NQB′和△MQB中∴△NQB′≌△MQB （SSS），∴∠NB′Q=∠CBQ，而∠NB′Q+∠CB′Q=180°∴∠CBQ+∠CB′Q=180°∴∠B′CB+∠B′QB=180°，又∠B′CB=90°，∴∠B′QB=90°∴△BQB′是等腰直角三角形，∴OQ=OB=t，∴Q（0，﹣t）．定，相等垂直平分线，偶次方，绝对值等知识点的综合运用．4．如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16．（1）∠COA的值为45°；（2）求∠CAB的度数；（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．分析：（1）过A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，得出正方形NOMA，根据正方形性质求出∠COA=∠COB，代入求出即可；（2）求出CN=BM，证△ANC≌△AMB，推出∠NAC=∠MAB，求出∠CAB=∠NAM，即可求出答案；（3）求出∠HON=∠NMO=22.5°，延长OH至点P使PH=OH，连接MP交OA于L，求出∠HON=∠NMO=∠LMN，求出OL=ML，证△OLP≌△MLN，推出MN=OP，即可得出答案．解答：解：（1）过A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，则∠ANO=∠AMO=∠COB=90°，∵A（4，4），∴AN=AM=4，∴四边形NOMA是正方形，∴∠COA=∠COB=×90°=45°．故答案为：45°；（2）∵四边形NOMA是正方形，∴AM=AN=4，OM=ON=4，∴OC×AN+OB×AM=16，∴OC+OB=8=ON+OM，即ON﹣OC=OB﹣OM，∴CN=BM，在△ANC和△AMB中，，∴△ANC≌△AMB（SAS），∴∠NAC=∠MAB，∴∠CAB=∠CAM+∠MAB=∠NAM=360°﹣90°﹣90°﹣90°=90°，即∠CAB=90°；（3）MN=2OH，证明：在Rt△OMH中，∠HON+∠NMO+∠NOM=90°，又∵∠NOM=45°，∠HON=∠NMO，∴∠HON=∠NMO=22.5°，延长OH至点P使PH=OH，连接MP交OA于L，∴OM=MP，∠OMP=2∠OMN=45°，∴∠HON=∠NMO=∠LMN，∴∠OLM=90°=∠PLO，∴OL=ML，在△OLP和△MLN中，∴△OLP≌△MLN（ASA），∴MN=OP，∵OP=2HO，∴MN=2HO．点评：本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．5．如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由．考点：全等三角形的判定；坐标与图形性质；等腰三角形的性质．专题：计算题；探究型．分析：（1）因为△AOB为等腰直角三角形，A（4，4），作AE⊥OB于E，则B点坐标可求；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求证△DFC≌△CEA，再根据等量变换，证明△AOB为等腰直角三角形，则∠AOD的度数可求；（3）等式成立．在AM上截取AN=OF，连EN，易证△EAN≌△EOF，再根据角与角之间的关系，证明△NEM≌△FEM，则有AM﹣MF=OF，即可求证等式成立．解答：解：（1）作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4，∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B（8，0）；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，在△DFC和△CEA中，∴△DFC≌△CEA，∴EC=DF，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°，∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；方法一：过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K，则△OCK为等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，又∵△ACD为等腰Rt△，∴∠ACK=90°﹣∠OCA=∠DCO，AC=DC，∴△ACK≌△DCO（SAS），∴∠DOC=∠K=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°；（3）成立，理由如下：在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△EAN≌△EOF（SAS），∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，∴△NEM≌△FEM（SAS），∴MN=MF，∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN，∴AM﹣MF=OF，即；方法二：在x轴的负半轴上截取ON=AM，连EN，MN，则△EAM≌△EON（SAS），EN=EM，∠NEO=∠MEA，即∠NEF+∠FEO=∠MEA，而∠MEA+∠MEO=90°，∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，而∠FEO+∠MEO=45°，∴∠NEF=45°=∠MEF，∴△NEF≌△MEF（SAS），∴NF=MF，∴AM=OF=OF+NF=OF+MF，即．注：本题第（3）问的原型：已知正方形AEOP，∠GEH=45°，将∠GEH的顶点E与正方形的顶点E重合，∠GEH的两边分别交PO、AP的延长线于F、M，求证：AM=MF+OF．点评：此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质结合求解，综合性强，难度较大．考查学生综合运用数学知识的能力．。