B-S期权定价公式
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt
股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz
d ln S ( 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S
~
[(
2
2
)(T
t),
T t]
ln
ST
~ [ln
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推 导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
S St Sz
f
( f S
S
f t
1 2
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erT E(ST K )
f erT E(ST ) KerT
E(ST ) SerT f S KerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[max(ST X ,0)]
c er(T t) E[max(ST X ,0)]
S
(
2 )(T
2
t),
T t]
期望值
方差
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S e [e 2 2(Tt) 2 (Tt) 1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
A、预期收益率
B―S期权定价模型为公司股票和债权定价
d1=ln+tσf=d1-σt
σ是股票价格的年化波动率。
另外，我们简单介绍下看涨-看跌平价理论。设计以下交易：1）卖出看涨期权，到期日t，交割价格X。2）买入看跌期权，到期日t，交割价格X。3）买入对应的标的资产。4）借入Xe-rt的资金。令C表示看涨期权价格，P表示看跌期权价格。则期初现金流为：C-P-S+Xe-rt。则到到期日，不论股票价格大于或者小于交割价格X，净现金流均为0，由无套利可知，初始的现金流也该为0。即：P= C-S+Xe-rt=SN-Xe-rtN-S+Xe-rt=Xe-rtN-SN
现在，我们考虑到一个有负债的公司，其资本结构由权益资本和债务资本组成，设V为此公司在t时刻的总价值，E表示t时刻的权益资本，D为t时刻的债务资本价值，根据MM定理有：
V= E+ D
设T时刻公司的债务价值为B= B*T-t即为发行债券时的票面价值），其中rb为借款利率，大于无风险利率r。V为T时刻的公司总价值，它是不确定的，E为T时刻权益的价值。我们假设债务在T时刻进行清算，则到期日T时，若VB，根据上述分析的，股东将执行看涨期权，支付B给债权人，可视为股东以B，即低于公司资产价值的价格向债权人买入公司。股东获得差额E= V- B，即公司股票价格在T时为V- B。相反，若VB，即资不抵债，股东不执行权利，宣布破产，将公司交予债权人，债权人获得公司价值V，而股东一无所获，此时股票的价值将等于0。综上所述，T时债券的价值等于Min[V，B]，而T时股票的价值等于E=Max[V- B，0]。可见，公司股票确实可视为基于公司资产的看涨期权，因此，其价值可以用B-S看涨期权定价公式估计为：子可知，期权的价格只和S，X，r，t，σ这五个变量有关，而前四个变量都可以通过数据观察得到，σ则可以通过历史的价格数据进行估计。投资者的风险偏好和股票的预期收益率没有出现在定价公式中，这正是期权定价方法不同于开篇所述的现金流绝对定价法的地方。
B-S期权定价模型解析
没有交易费用或税收，即无摩擦的市场假设，且所 有证券都是高度可分的。
在期权的有效期内无风险利率和金融资产收益的变 量恒定。
不存在无风险套利机会。 证券交易是连续的，即不存在股票价格的跳跃行为。
投资者能够以相同的无风险利率借款或贷款，无风 险利率r为常数且对所有到期日都相同。
该期权是欧式期权
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
价值变动仅与时间 dt 有关，因此该组合
成功消除了 dz 带来的不确定性 12
根据无套利定价原理，组合收益率应 等于无风险利率 r (无套利机会)：
d rdt
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
r(- f
f S
S )dt
f rS f t S
1、股票价格的运动过程
dS dt dz, dz dt
S
dS ：股票的瞬间收益率
S
：股票的期望瞬间收益率
：股价收益率的瞬间标准差
4
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位）
2 计算每期以复利计算的回报率
ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
10
（3）B-S微分方程的推导
股票及衍生品的运动过程分别为：
dS Sdt Sdz
df
f S
S f
t
பைடு நூலகம்
1 2
2 S
f
2
2S
2
dt＋
f S
Sdz
为消除不确定性，构造投资组合：
衍生品：－1；股票：＋ f S
b-s期权公式
特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt ，Δz的 值相互独立。
特征的理解
特征1：z : N 0, t ;方差为t。
特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未
来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到
现在的演变方式与未来的预测无关。标准布朗运
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标准布朗运动（续）
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：
Black-Scholes期权定价模型
2020/5/11
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Black-Scholes期权定价模型的基本思路
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价 格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化 也是一个相应的随机过程。
金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家 Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所 遵循的随机过程。
11
几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为： S t t
可见，S 在短时间内，S 具有正态分布特征 S S ~ (t, t ) S
其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2t 。
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几何布朗运动的深入分析（2）
S
但态是分，布在的一性个质较：长的时间T后，S 不再具有正
如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者 绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的 收益率难以直接计算。
如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同 时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。
期权定价的连续模型之B-S公式
如何使概率问题转化为实变量的函数形式 ？
如何入手将概率问题转化为实变量的函数形式 ？
我们研究的对象是随机事件的概率 我们研究的对象是 随机变量的取值或取值范围 的概率 P( X = x ), P( X x ), P( X > x ), P ( x1 X x2 ),…
能否选用一个事件将所有事件都表达出来？
用随机变量的取值或取值范围来表示随机事件
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的 身高. 我们可以把可能的身高看作随机变量 X , 然后我们可以提出关于X 的各种问题. 如 P(X > 1.7 )=？ P(X ≤1.5 )= ? P(1.5<X<1.7) =?
一旦我们实际选定了一个学生并量了其身高 之后，我们就得到 X 的一个具体的值，记作 x . 这时要么 x≥1.7, 要么 x <1.7， 再求 P(x ≥1.7)就没有意义了.
这种选择并 不是唯一的
P( X x)
P( A ) X() P( X x )
本质是什么？
函数
变量 ？
由此引进了分布函数的概念：
随机变量的分布函数
1. 定义
F ( x) P( X x)
分布函数是一个普通的函数, , 我们就可以用分析的 设 X 是随机变量，称 通过它 特殊形式事件的概率 ( x )工具来研究随机变量的取值规律
期权定价的连续模型之B-S公式
期权定价理论的发展 几何布朗运动 Black-Scholes定价公式 其他有关知识
概率知识：§1 随机变量
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，……
bs模型计算公式
bs模型计算公式BS模型又称为布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes model），是一种用于计算欧洲期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克（Fischer Black）、默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·马顿（Robert Merton）于1970年提出。
BS模型基于一些假设，如市场效率、股票价格的几何布朗运动、无风险利率等，通过对期权和股票组合进行对冲交易，从而得出期权的正确定价。
BS模型的计算公式如下：C=S*N(d1)-X*e^(-r*T)*N(d2)P=X*e^(-r*T)*N(-d2)-S*N(-d1)其中，C表示期权的看涨定价，P表示期权的看跌定价。
S表示标的资产的现价，X表示期权的执行价格，r表示无风险利率，T表示期权到期时间。
N(代表标准正态分布的累积分布函数。
d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S/X) + (r + 0.5 * sigma^2) * T) / (sigma * sqrt(T)) d2 = d1 - sigma * sqrt(T)其中，sigma表示标的资产的波动率。
波动率是BS模型中的一个重要参数，通常需要根据历史数据或市场预期进行估计。
用于计算d1和d2的sigma应该是年化波动率。
BS模型的核心思想是对冲交易，即构建一个期权和标的资产的组合，使其不受市场波动的影响，从而消除了市场风险，只保留了无风险利率的影响。
通过对冲交易，可以使用风险中性的概率测度，将未来的现金流折现到当前时刻，得到期权的正确定价。
BS模型在计算期权价格时使用了一些理论前提和假设，比如市场效率、收益率的对数正态分布等。
这些假设可能与实际情况有所偏差，因此BS模型的应用也存在一定的局限性。
在实际应用中，需要根据具体情况对模型进行调整和修正，以提高对期权价格的准确度和可靠性。
总之，BS模型是一种用于计算欧洲期权价格的数学模型，通过对期权和标的资产的对冲交易，消除了市场风险，保留了无风险利率的影响，从而得出期权的正确定价。
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
基于B-S公式与时间序列模型对期权价格的预测
基于B-S公式与时间序列模型对期权价格的预测一、引言期权是金融市场上一种重要的金融衍生工具，它为投资者提供了一种在未来特定时间内以特定价格买卖标的资产的权利。
期权的价格预测一直是金融领域的热门话题，对于投资者和市场监管者来说，准确的期权价格预测是非常重要的。
在众多的期权价格预测方法中，B-S公式和时间序列模型是两种非常常见的方法。
本文将结合这两种方法，对期权价格进行预测，并对比两种方法的优缺点，以期为投资者提供科学的决策依据。
二、B-S公式的基本原理B-S（Black-Scholes）模型是一种用于计算期权定价的数学模型，其公式如下：\[C(S,t)=S_tN(d_1)-Xe^{-r(T-t)}N(d_2)\]C是欧式看涨期权的价格，P是欧式看跌期权的价格，S是标的资产当前的市场价格，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T-t是期权的剩余时间，N(·)表示标准正态分布，d_1和d_2是：\[d_1 = \frac{1}{\sigma \sqrt{T-t}}[ln(S/X) + (r+\frac{\sigma^2}{2})(T-t)]\]\[d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}\]B-S公式是通过对股票价格、期权执行价格、无风险利率、剩余时间和波动率等因素进行数学建模，得出期权价格的理论值。
B-S公式在实际应用中也存在一些局限性，比如对股票收益率分布的假设不一定成立、对股票价格的连续性要求很高等。
三、时间序列模型的基本原理时间序列模型是一种用于分析和预测时间序列数据的统计模型。
在对期权价格进行预测时，可以使用ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）、GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）等时间序列模型。
GARCH模型是一种用于捕捉时间序列数据中波动率聚集现象的模型，它可以很好地捕捉金融资产价格波动率的异方差性和自相关性。
在对期权价格波动率进行预测时，GARCH模型也是一种非常有效的方法。
金融风险管理课件第5章 B-S期权定价公式
其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值 2. 对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立 从性质1可以得到， ΔZ~N (0，Δt）；从性质2可 以证明，变量Z服从马尔科夫过程
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广义维纳过程
接着考查符合维纳过程的变量z在一段较长时间T 中的变化情形： 令z(T)-z(0)表示变量z在T时段中的变化量，显然 该变量又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间 隔中z的变化总量，其中N=T/ Δt，因此 定义变量的期望值为漂移率（drift rate），方差 为变量的方差率（variance rate）。则维纳过程 的漂移率为0，方差率为1.
伊藤引理的运用
如果我们知道x遵循的随机过程，通过伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机过程。 由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数， 因此随机过程在衍生产品分析中扮演重要的角色。 例：如果远期合约中股票价格S服从伊藤过程， 证明远期合约的价格F也遵循伊藤过程。
G G 1 2G 2 G x t x x t 2! x 2 2G 1 2G 2 x t t x t 2! t 2
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股价模型中参数的理解
σ ——证券价格的年波动率，又是股票价格对数 收益率的年标准差。一般从历史的证券价格数据 中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标 准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。一 般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天 数
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B-S-M微分方程的推导
前提假设： 1. 证券价格遵循几何布朗运动，即μ 和σ 为常数； 2. 允许卖空标的证券； 3. 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 4. 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5. 不存在无风险套利机会； 6. 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7. 衍生证券有效期内，无风险利率r为常数 8. 只能在交割日执行期权
(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK—SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model)，1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿（RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会（The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B—S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布;（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二）荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C-期权初始合理价格 L —期权交割价格 S —所交易金融资产现价 T —期权有效期r -连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N （）—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
B-S期权定价模型的推导过程
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件(一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]C = S * N(d1) − Le− rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则。
B-S定价模型的推导与运用[1](一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:E[G] = E[max(St− L,O)]其中，E[G]—看涨期权到期期望值St—到期所交易金融资产的市场价值L—期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t− L,O) = S t− L2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:max(St− L,O) = 0从而:其中:P：(St > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:C = Pe− rT(E[S t | S t > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[S t | S t > L]。
期权定价公式完全指南对bs模型的介绍
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曲线方程式bs的值
曲线方程式bs的值
BS公式：C=S·baiN(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)，Black-Scholes 期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-
肖尔斯期权定价模型。
B-S模型重要的假设：
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；
6、不存在无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者能够以无风险利率借贷。
通过 Delta 对冲消除了随机性，该方程中没有任何随机变量，所以它是一个一般的（偏）微分方程，而非随机微分方程。
求解这个微分方程需要给定的边界条件。
对于欧式看涨期权，它的边界条件为当时间 t = T（行权时刻）时，期权的价格 C 必须满足 C = max(S(T) - K, 0)，这里 K 是行权价格。
bs模型计算公式(二)
bs模型计算公式(二)bs模型计算公式1. bs模型简介Black-Scholes模型，简称bs模型，是一种金融衍生品定价模型，常被用于计算欧式期权的理论价格。
该模型假设市场上不存在套利机会，且金融资产价格的变动服从几何布朗运动。
2. bs模型计算公式bs模型主要通过以下公式进行计算：欧式看涨期权价格公式根据bs模型，欧式看涨期权的价格（C）可以通过以下公式计算：C = S * N(d1) - X * e^(-r*T) * N(d2)其中： - S为标的资产当前价格 - N()为标准正态分布的累积概率函数 - d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2) * T] / (σ * sqrt(T)) - d2 = d1 - σ * sqrt(T) - X为期权行权价 - r为无风险利率 - σ为标的资产的波动率 - T为期权的剩余到期时间欧式看跌期权价格公式bs模型还可以用于计算欧式看跌期权的价格（P），其公式如下：P = X * e^(-r*T) * N(-d2) - S * N(-d1)同样地，其中的变量和符号含义与前述一致。
3. 公式解释和示例欧式看涨期权示例假设标的资产的当前价格S为100，期权行权价X为105，无风险利率r为，标的资产的波动率σ为，期限T为1年。
那么我们可以使用bs模型来计算该欧式看涨期权的价格。
根据公式，首先计算d1和d2的值：d1 = [ln(100/105) + ( + ^2/2) * 1] / ( * sqrt(1))≈ -d2 = - - * sqrt(1)≈ -接下来，使用累积概率函数N()计算d1和d2对应的值：N(d1) ≈N(d2) ≈最后，将这些值代入公式，可以得到期权的价格：C = 100 * - 105 * e^(-*1) *≈因此，根据bs模型，该期权的理论价格约为。
欧式看跌期权示例与上例类似，假设标的资产的当前价格S仍为100，期权行权价X 为105，无风险利率r为，标的资产的波动率σ为，期限T为1年。
资产定价理论-BS公式
在上述假设条件下，若当前为t时刻，期权到期日为T时刻， 为股票在T时刻的价格，X为期权的执行价格，则欧式看涨期权到期 日的期望价值为：
到期日期望价值
因此，在风险中性的世界中，欧式看涨期权的现价c就是这个期 望价值以无风险利率贴现的结果：
（1 ）
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根据假设条件1，可以推导出在风险中性世界中， 具 有对数正态分布性质，即 服从如下的分布：
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在之前的讨论中，都是以买入期权为例。同样，模型也适用于卖 出期权。
卖出期权可表示为：
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布莱克—斯科尔斯 (Black-Scholes) 期权定价模型
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1973年，美国芝加哥大学教授费希尔·布莱克与 迈伦·斯科尔斯发表了《期权定价和公司债务》一文 。在该文中，他们提出了有史以来第一个期权定价 模型，即Black-Scholes期权定价模型。该模型推导出 了基于无红利支付股票的任何衍生证券价格必须满 足的微分方程，并运用该方程得出了股票的欧式看 涨期权和看跌期权的价值。
用
来代替其中的 ，得到
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应用: 基于跳过程的可转债定价
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一、主要概括
为何研究
目前我国共有12只可转债在二级市场交易，其中签率虽然远低于 股票，但投资优势已被机构投资者充分认识，比如上市7只可转债 的收益在2010年的三季度平均涨幅为9.52%，与上证指数三季度涨 幅7.94%相比高出很多。可转债市场的健康发展，需要可转债市场
资产定价理论-BS公式
路漫漫其悠远
2020/4/6
金融衍生工具概念
• 金融衍生工具（金融衍生产品),建立在基 础产品、变量上，价格取决于基础金融产 品价格变动派生金融产品。
BS期权公式
BS期权公式
bs期权定价公式为：C=S·N（d1）-X·exp（-r·T）·N（d2）其中：d1=[ln（S/X）+（r+σ^2/2）T]/（σ√T）
d2=d1-σ·√T
C—期权初始合理价格
X—期权执行价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）
N（d1），N（d2）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：
第1点，这个模型中五风险利率必须是连续复利形式，一个简单的或不连续的无风险利率一般是一年计息一次，而r要求为连续复利利率。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为：r=LN （1+r0）或r0=exp（r）-1例如r0=0.06，则r=LN（1+0.06）=0.0583，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用
r0=0.06计算的答案一致。
第2点，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274.。
B-S期权定价公式的简单推导
t),
T t]
（4.19）
对式（6.19）求解：
c SN (d1) Xer (T t ) N (d2 )
（4.20）
详见Hull(8) P232
其中
d1
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
则：
S St Sz （4.11）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
df
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
（4.12）
f
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
Nt
T
t
，标
当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗
运动：
dz dt
（4.3）
2,普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变 量x的普通布朗运动：
dx adt bdz
（4.4）
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
（4.16）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（4.14）和（4.16）代入上式得：
期权定价B-S期权定价公式
13
BSM随机微分方程——推导
1. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是 相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合 可以消除掉Wiener过程。
q 1个单位衍生工具空头， 份股票
2. 把上述投资组合的价值记作
14
BSM随机微分方程——推导
1. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
2. x是广义Wiener过程
q 增量
为正态分布，均值等于
q 标准差为
6
Ito引理
1. x是Ito过程，如果 2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
因此，G也是Ito过程
7
Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为 2. 运用Ito引理，得到，
8
得到审稿意见的情况下遭到拒绝 4. 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑
打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 5. 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
22
BS期权定价公式——离散红利
1. 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股 票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、 无风险利率以及标的股票的波动率
时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径
q 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技 术分析不能战胜市场
q 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为
q 增量的均值等于0 q 增量的标准差等于
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
第四讲 BS期权定价模型
第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。
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Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
（二）Black-Scholes 期权定价公式的理解1. 1()SN d 可看作证券或无价值看涨期权的多头；()2()r T t Ke N d --可看作K 份现金或无价值看涨期权的多头。
可以证明，1/()f S N d ∂∂=。
为构造一份欧式看涨期权，需持有1()N d 份证券多头，以及卖空数量为2 ()rT K e N d -的现金。
Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。
注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。
2.风险中性定价原理风险中性定价原理：我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。
C(S, t)与 S 、r 、t 、T 、σ以及 K 有关，而与股票的期望收益率μ无关。
这说明欧式Call 的价格与投资者的风险偏好无关。
在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。
现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。
若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和∆单位的标的股票多头组成的组合。
若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11∆－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9∆元。
为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的∆值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11∆－0.5=9∆，我们解得：∆=0.25因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。
无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。
假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：元19.225.225.01.0=⨯-e由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：元31.019.225.010==-⨯f f这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。
Black-Scholes 期权定价公式的计算：一个例子为了使读者进一步理解Black-Scholes 期权定价模型，我们下面用一个简单的例子，来说明这一模型的计算过程。
假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。
在本题中，可以将相关参数表达如下：S ＝50，X ＝50，r=0.12,σ=0.1,T=1, 算出1d 和2d ：121 1.250.1 1.15d d d ===-=计算()1N d 和()2N d ：()()()()12 1.250.89441.150.8749N d N N d N ====将上述结果及已知条件代入公式，这样，欧式看涨期权价格为：0.121500.8944500.8749 5.92c e -⨯=⨯-⨯=美元由-(-)()21()() r T t r T t P C Ke S Ke N d SN d --=+-=---可以算出欧式看跌期权价格：()()0.1215010.87495010.89440.27p e -⨯=⨯--⨯-=美元四、影响欧式看涨期权价格的因素从B-S 公式我们可以简单得出以下的结论：(1)当期股价 S 越高，期权价格越高；(2)到期执行价格 K 越高，期权价格越低；(3)距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高；(4)股价波动率σ越大，期权价格越高；(5)无风险利率 r 越高，期权价格越高。
Black-Scholes 期权定价公式除了可以用来估计期权价格，在其它一些方面也有重要的应用。
主要有以下三方面：（一） 对公司负债及资本进行估值：一家公司A 发行两种证券：普通股100万股及1年后到期的总面值8000万元的零息债券。
已知公司总市值为1亿元，问：公司股票及债券如何定价？令V 为当前A 公司资产市场价值，E 为A 公司资本市场价值，D 为A 公司债券市场价值。
V = E + D考虑股东1年之后的收益：当A 公司价值VT 大于债券面值时，收益为VT -8000；当A 公司价值小于债券面值时，收益为0。
股东相当于持有一个执行价格为8000万元的欧式Call , 标的资产为公司价值当前资本价值为：12()() rT E VN d Be N d -=-给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3,无风险利率为8%，根据B-S 公司得到E=2824万元，公司负债价值D=V-E=7176万元。
（二）确定贷款担保价值或担保费用假设某银行为公司发行的债券提供了信用担保。
1年之后，若公司价值VT 大于债券面值时，银行无须支付；若公司价值VT 小于债券面值时,银行须支付 VT – B 。
这相当于银行出售了一个欧式put , 标的资产仍为公司价值，执行价格为债券面值B 。
利用上面的例子，可采用B-S 看跌期权定价公式或看涨看跌期权平价公式，得到欧式put 的价值为209万元，A 公司应支付209万元的担保费。
（三）带有可转化特征的融资工具的定价认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格向发行人购买公司新股的权利。
假设公司有N 股流通股，M 份流通欧式认股权证，一份认股权证使持有人在时刻T 以每股K 的价格购买x 股新股的权利。
设时期T 公司权益价值为ET ，若持有人选择执行认股权，公司权益价值变为 ET + MxK ，股票数量变为 N+Mx 。
执行认股权证后瞬间，股价变为(ET + MxK)/(N+Mx)。
只有当这一股价大于执行价格 K 时，持有人才会执行认股权。
（1）当ET/N>K 时，持有人执行，其收益为: T E xN K N Mx N ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦（2）当ET/N>K 时，持有人不执行，其收益为0。
一份认股权证的价值为: xN C N Mx+ 其中C 是基于公司股票价格的欧式Call ，执行价格为K 。
利用B-S 公式得一份认股权证的价值。
六、B-S 期权定价公式的不足B-S 公式当然也有其不足之处，首先Black-Scholes 期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异，主要的原因有以下几点：1) Black-Scholes 期权定价公式是建立在众多假定的基础上的，而我们现实的市场是不满足它的很多假设条件的，因此，利用B-S 公式计算出来的期权价格与真实的市场价格之间肯定会存在差异的；2) 参数的错误：B-S 公式中的参数实际上是需要我们自己估算的，我们只能根据历史数据来估算参数，这之间就存在一个误差；3) 期权市场价格偏离均衡，此时的期权价格的估算显然没有其实际意义。
其次，对于无收益资产的期权而言,B-S 模型适合欧式看跌期权和看涨期权。
同时可以适用于美式看涨期权，因为在无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不可取的，它的期权执行日也就是到期日，所以B-S 公式也适用美式看涨期权；对于美式看跌，由于可以提前执行，故不适合；对于有收益资产的期权而言，只需改变收益现值（即变为标的证券减去收益折现），B-S 公式也适用于欧式看跌期权和看涨期权；在标的存在收益时，美式看涨和看跌期权存在执行的可能性，因此B-S 公式不适用。