资产定价-B-S期权定价公式的扩展
期权定价理论的发展
期权定价理论的发展期权定价理论是现代金融学的重要组成部分，本文主要介绍了以早期的期权定价理论、Black-Scholes期权定价理论及Black-Scholes期权定价理论的扩展为体系的期权定价理论的发展过程。
标签：期权定价股票价格Black-Scholes模型近几十年来金融衍生证券在全球范围内获得迅猛发展，期权问题及投资消费问题越来越引起国内外数学家、金融学家的广泛重视，要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行正确的估价，如何确定金融衍生证券的公平价格是它们合理存在与健康发展的关键。
在所有的衍生证券定价中，期权定价的研究最为广泛。
一、早期的期权定价理论期权的价格是一种风险价格，长期以来，人们一直在探索着利用各种因素正确评估资产风险的有效方法。
1900年，法国数学家Louis Bachelier发表了论文“投机理论”，提出了最早的期权定价模型，它假设股票价格是绝对的Brown运动，单位时间方差为σ2，且没有漂移，则买方期权的价值为:二、Black-Scholes期权定价理论期权定价理论的最新革命开始于1973年，Black和Scholes发表了经典论文“期权定价及公司债务”，提出了著名的Black-Scholes期权定价公式;Merton發表了另一篇论文“期权的理性定价理论”在若干方面作了重要推广，使得期权定价理论取得了突破性的进展。
他们在股票价格服从对数正态分布的假设下，运用无套利原则推导出标的资产为不付红利股票的欧式期权定价公式:三、Black-Scholes期权定价理论的扩展Black-Scholes模型为投资者提供了适用于股票的任何衍生证券的且计算方便的定价公式，但它的推导和应用也受到各种假设条件的约束，这使它在理论和应用上存在缺陷。
以Merton为代表的经济学家在此基础上，对模型进行了研究和推广。
主要有以下的几个方面:1.支付已知红利股票的期权定价。
在期权定价的过程中，“红利”被定义为在除权日由红利支付引起的股票价格的减少额。
资产定价理论-BS公式
在上述假设条件下，若当前为t时刻，期权到期日为T时刻， 为股票在T时刻的价格，X为期权的执行价格，则欧式看涨期权到期 日的期望价值为：
到期日期望价值
因此，在风险中性的世界中，欧式看涨期权的现价c就是这个期 望价值以无风险利率贴现的结果：
（1 ）
路漫漫其悠远
根据假设条件1，可以推导出在风险中性世界中， 具 有对数正态分布性质，即 服从如下的分布：
路漫漫其悠远
在之前的讨论中，都是以买入期权为例。同样，模型也适用于卖 出期权。
卖出期权可表示为：
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布莱克—斯科尔斯 (Black-Scholes) 期权定价模型
路漫漫其悠远
1973年，美国芝加哥大学教授费希尔·布莱克与 迈伦·斯科尔斯发表了《期权定价和公司债务》一文 。在该文中，他们提出了有史以来第一个期权定价 模型，即Black-Scholes期权定价模型。该模型推导出 了基于无红利支付股票的任何衍生证券价格必须满 足的微分方程，并运用该方程得出了股票的欧式看 涨期权和看跌期权的价值。
用
来代替其中的 ，得到
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应用: 基于跳过程的可转债定价
路漫漫其悠远
一、主要概括
为何研究
目前我国共有12只可转债在二级市场交易，其中签率虽然远低于 股票，但投资优势已被机构投资者充分认识，比如上市7只可转债 的收益在2010年的三季度平均涨幅为9.52%，与上证指数三季度涨 幅7.94%相比高出很多。可转债市场的健康发展，需要可转债市场
资产定价理论-BS公式
路漫漫其悠远
2020/4/6
金融衍生工具概念
• 金融衍生工具（金融衍生产品),建立在基 础产品、变量上，价格取决于基础金融产 品价格变动派生金融产品。
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式）Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型Black—Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.[编辑］B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施.6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷.[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B—S定价公式［1]C = S＊N(d1) − Le− rT N（d2)其中：C—期权初始合理价格L-期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N(）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
BS期权定价模型
风险中性世界中可交易资产的随机过程
如果某种可交易资产的价格在现实世界中的随机过程为：
则在风险中性世界中其遵循：
根据伊藤引理，其远期合约的价值在风险中性世界中遵 循
理解风险中性定价
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元， 要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议 价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
三、风险中性定价原理
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我 们称之为进入了一个“风险中性世界”）：
– 所有可交易资产的百分比预期收益率都等于无风 险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外 的收益来吸引他们承担风险。
– 同样，在风险中性条件下，所有现金流在求现值 都应该使用无风险利率进行贴现。
第四讲 BS期权定价模型
统计与管理学院
第四讲 BS期权定价模型
第一节 BS期权定价模型的基本思路 第二节 BS期权定价公式 第三节 BS期权定价公式的精确度评价与拓展
第一节 BS期权定价模型的基本思路
股票价格服从的随机过程
dS = mSdt + sSdW
由 Itô 引理可得期权价格相应服从的随机过 程
这就是著名的BS微分分程，它适用于其价格取 决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
三、风险中性定价原理
观察BS微分方程可以发现，受制于主观的风险收 益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证 券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益 偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。
因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风 险中性的。
二、BS微分方程的推导
第07章 布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展
第七章布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展在第六章中，我们在一系列假定条件下推导得到了著名的布莱克－舒尔斯期权定价公式，在现实生活中，这些假设条件往往是无法成立的，本章的主要目的，就是从多个方面逐一放松这些假设，对布莱克－舒尔斯期权定价公式进行扩展。
但是我们也将看到，在有些时候，模型在精确度方面确实获得了相当的改进，但其所带来的收益却无法弥补为达到改进而付出的成本，或是这些改进本身也存在问题，这使得布莱克－舒尔斯期权定价公式仍然在现实中占据重要的地位。
第一节布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷在实际经济生活中，布莱克-舒尔斯期权定价模型（为简便起见，我们后文都称之为BS 模型）应用得非常广泛，对金融市场具有很大的影响。
其三个作者中的两个更是曾经因此获得诺贝尔奖。
因此，无论是从商业上还是从学术上来说，这个模型都非常成功。
但是理论模型和现实生活终究会有所差异，对于大多数理论模型来说，模型假设的非现实性往往成为模型主要缺陷之所在，BS公式也不例外。
本章的主要内容，就是从多方面逐一放松BS模型的假设，使之更符合实际情况，从而实现对BS定价公式的修正和扩展。
BS模型最基本的假设包括：1.没有交易成本或税收。
2.股票价格服从波动率 和无风险利率r为常数的对数正态分布。
3.所有证券都是高度可分的且可以自由买卖，可以连续进行证券交易。
4.不存在无风险套利机会。
在现实生活中，这些假设显然都是无法成立的。
本章的后面几节，将分别讨论这些假设放松之后的期权定价模型。
1. 交易成本的假设：BS模型假定交易成本为零，可以连续进行动态的套期保值，从而保证无风险组合的存在和期权定价的正确性。
但事实上交易成本总是客观存在的，这使得我们无法以我们所希望的频率进行套期保值；同时，理论上可行的价格，考虑了交易成本之后就无法实现预期的收益。
我们将在第二节中介绍一些对这一假设进行修正的模型。
2. 波动率为常数的假设：BS模型假定标的资产的波动率是一个已知的常数或者是一个确定的已知函数。
B-S期权定价模型
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续 复利收益率服从期望值 ( µ −
σ2
2 ) dt ，方差为
σ 2 dt 的正态分布。
9
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 σ 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： = µ Sdt + σ Sdz dS 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
ln S T − ln S ~ φ[(µ − σ2 )(T − t ), σ T − t ]
2
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果 一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E ( S T ) = Se µ (T −t ) 和 var(S T ) = S e
4
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx = adt + bdz 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
5
普通布朗运动的离差形式为 ∆x = a∆t + bε ∆t ，显然，∆x也 具有正态分布特征，其均值为 a∆t ，标准差为 b ∆t ，方差为 b 2 ∆t
= (
∂G 1 ∂ 2 G 1 ∂G = , 2 =− 2 , =0 ∂S S ∂S S ∂t
∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ∂G a+ + b ) dt + bdz 我们就可得到 2 ∂x ∂t 2 ∂x ∂x
金融工程学 第六讲 BS公式
30
5. 欧式二值期权定价公式
• 二值看涨期权价值
• 二值看跌期权价值
e
r (T t )
(d2 )
e
r (T t )
[1 (d2 )]
31
6. B-S期权定价公式扩展
• 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定： 股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期 的时间、无风险利率以及标的股票的波动率 • 如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由 于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用 B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个 问题的办法是： 用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分 配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而 得到欧式期权的价值
基于B-S公式与时间序列模型对期权价格的预测
基于B-S公式与时间序列模型对期权价格的预测引言期权是一种金融工具，具有在未来某个时间点购买或出售某项资产的权利。
期权的价格受多种因素影响，包括标的资产价格、行权价格、期权到期时间、无风险利率和波动率等。
对期权价格的准确预测对于投资者具有重要意义，因为它能帮助投资者进行风险管理，合理进行买卖决策。
本文将基于B-S公式和时间序列模型，探讨对期权价格进行预测的方法。
一、B-S公式对期权价格的影响B-S（Black-Scholes）期权定价模型是由费舍尔·布莱克（Fisher Black）、梅伦·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton）于1973年提出的，成为了衍生品市场定价的理论基础。
B-S模型使用了随机微分方程，可以通过计算得出期权合理价格。
B-S公式中的主要变量包括标的资产价格（S）、行权价格（K）、无风险利率（r）、期权到期时间（T）和标的资产波动率（σ）。
这些变量将直接影响期权价格的变动。
标的资产价格上升会使得看涨期权的价格上涨，而看跌期权价格下跌。
无风险利率的升降将直接影响期权价格的折现率，期权到期时间的延长会增加期权的时间价值，标的资产波动率的提高也会增加期权的价格波动性。
对于使用B-S公式进行期权价格预测来说，投资者首先要对期权价格的影响因素进行深入分析和预测。
只有准确把握了这些影响因素，才能对期权价格进行合理的预测。
二、基于时间序列模型的期权价格预测B-S公式的预测是基于已知的输入参数进行的，而时间序列模型则是基于历史数据对未来期权价格进行预测的方法。
时间序列模型通常会采用统计分析的方法，通过对历史期权价格数据进行建模，得出未来价格变动的规律。
时间序列模型中用得较多的包括ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）、GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）等。
ARIMA模型是一种建立在时间序列上的预测模型，可以用来预测未来一段时间内的值。
BS期权定价模型课件详解精讲
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
N (d )
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分 程，它适用于其价格取决于标的证券价 格S的所有衍生证券的定价。
方程的衍生品价格的解为f（s，t）,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利机会 的价格；若不满足此方程的衍生品价格f（s，t）也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利机会。
表示这样的对冲组合取得的价值不应该 比无风险利率下的时间价值大或者小。 应该与存放银行取得的收益是一致的， 必须至少获得无风险利率。既然已经不 包含随机过程， 则结果是无风 险确定的， 2 应该不存在 瞬时无风险套利。
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z代表变 设t代表一个小的时间间隔长度， 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z和 t 的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） 其中，代表从标准正态分布（即均值为0、 标准差为1.0的正态分布）中取的一个随 机值。
Black-Scholes期权定价模型的拓展
生产品， 它的定价很早就受到人们的极大关注，因 为其定价过程与股票价格有着很大的联系．９０ １０ 年
险变 动情 况 下 的欧 式 期权 定 价 公式 ．１７ ９ ６年 ， Ｍｅ ｏ ｒ ｎ建立了扩散 一 ｔ 跳跃方式下的欧式期权定价
Ｌ ｕｓＢ ｃｅ ｅ ｌ ｏ ｉ ａｈｌｒｌ ｉＩ 首次提 出股票价格变化过程可 以
的、 信息 不对 称 的 、 在套 利和 跳跃 式 波动 的不 断 存
（ ＝ ） ） ， ）， ｔ ） ） ， ， ＋ ） ｑ ） ＋ （ 一 ） ｄ ， （ ｄ
推导出了直至今 日最著名的ＢａｋＳｈ ｌ 期权定价 ｌ —ｃｏ ｓ ｃ ｅ
方程Ｉ 但是， ｌ ｋＳｈ ｌ 期权定价方程中的参 ３ ． Ｂａ ．ｃｏ ｓ ｃ ｅ
数（ 股票收益率 、市场波动率等） 多为常数， 而且忽 略了交易费用及标的资产 的红利支付， 这两点显
阐述了完备市场和等价鞅测度之间的唯—性关系Ｌ ７ Ｊ ， 但他们没有给 出非完备市场条件下等价鞅的表述
ＢａｋＳｈ ｌ 期权定价模型的拓展 ｌ —ｃｏｅ ｃ ｓ
郭 翱， 丙振 徐 ，于利伟
（ 宁波大 学 理学院， 江 宁波 ３ ５ １ ） 浙 １２ １
摘要 ：假 定动 态风 险资产 价格 遵从扩散 一跳 跃 复合 泊松 过程 ，无风 险利 率 、股 票收 益率 、市场波
动率 、股 票红 利等 均为 自适应过 程，利 用 随机微 分 方程 和鞅 方法，得 到 了资产投 资组合 贴现 过程 鞅 成 立的条件 ．在相 同测度 下，考虑 到 交 易费用和 红利 支付 ，对 经典 ＢａｋＳｈｌｓ ｌ ．ｃｏｅ 方程进 行 了修 ｃ
在 ＢａｋＳｈｌ 期权定价模型建立之后， ９ ｌ —ｃｏ ｓ ｃ ｅ １７ ９ 年 Ｈ ｒｓｎ Ｋ ｅｓ ａ ｉ 和 ｒ 等人提出并发展了等价鞅测度 ｒｏ ｐ 方法， 得出了无套利和等价鞅测度等价的结论， 并 首次提出了 自 融资的概念；９ １ Ｈ ｒｓｎ Ｐ ｓａ １８ 年 ａ ｉ 和 ｌｋ ｒｏ ｉ
BS期权定价模型及其应用
其中：
ln(S / K ) (r 2 / 2)(T t)
d1
(T t)
d2
ln(S
/
K)
(r
2
T t
/
2)(T
t)
d1
T t
此即 Black-Scholes 期权定价公式。
17
如何理解B-S期权定价公式
（1） SN (d1) 可看作证券或无价值看涨期权的多头； 可看K作er(KTt份)N (现d2 )金或无价值看涨期权的多头。
：股价收益率的瞬间标准差
3
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位）
2 计算每期以复利计算的回报率
ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
s
1 n 1
n i 1
(ui
u )2
4 波动率估计 ˆ s
给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3, 无风险利率为8%，根据B-S公司得到E=2824万元. 公司负债价值D=V-E=7176万元。
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（2）确定贷款担保价值或担保费用
假设某银行为公司发行的债券提供了信用担
保。 1年之后，若公司价值VT大于债券面值时， 银行无须支付；若公司价值VT小于债券面值时, 银行须支付 VT – B。这相当于银行出售了一个欧 式put, 标的资产仍为公司价值，执行价格为债券 面值B。
券的期望收益率等于无风险利率）
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用风险中性方法对欧式 Call 定价
假设股价期望收益率为无风险利率 r，则：
欧式 Call 到期时的期望收益为： Eˆ[max(ST K , 0)]
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
期权定价B-S期权定价公式
13
BSM随机微分方程——推导
1. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是 相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合 可以消除掉Wiener过程。
q 1个单位衍生工具空头， 份股票
2. 把上述投资组合的价值记作
14
BSM随机微分方程——推导
1. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
2. x是广义Wiener过程
q 增量
为正态分布，均值等于
q 标准差为
6
Ito引理
1. x是Ito过程，如果 2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
因此，G也是Ito过程
7
Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为 2. 运用Ito引理，得到，
8
得到审稿意见的情况下遭到拒绝 4. 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑
打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 5. 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
22
BS期权定价公式——离散红利
1. 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股 票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、 无风险利率以及标的股票的波动率
时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径
q 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技 术分析不能战胜市场
q 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为
q 增量的均值等于0 q 增量的标准差等于
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
金融风险管理课件第5章 B-S期权定价公式
其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值 2. 对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立 从性质1可以得到， ΔZ~N (0，Δt）；从性质2可 以证明，变量Z服从马尔科夫过程
5
6
1
2011/12/7
广义维纳过程
接着考查符合维纳过程的变量z在一段较长时间T 中的变化情形： 令z(T)-z(0)表示变量z在T时段中的变化量，显然 该变量又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间 隔中z的变化总量，其中N=T/ Δt，因此 定义变量的期望值为漂移率（drift rate），方差 为变量的方差率（variance rate）。则维纳过程 的漂移率为0，方差率为1.
伊藤引理的运用
如果我们知道x遵循的随机过程，通过伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机过程。 由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数， 因此随机过程在衍生产品分析中扮演重要的角色。 例：如果远期合约中股票价格S服从伊藤过程， 证明远期合约的价格F也遵循伊藤过程。
G G 1 2G 2 G x t x x t 2! x 2 2G 1 2G 2 x t t x t 2! t 2
21
股价模型中参数的理解
σ ——证券价格的年波动率，又是股票价格对数 收益率的年标准差。一般从历史的证券价格数据 中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标 准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。一 般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天 数
22
B-S-M微分方程的推导
前提假设： 1. 证券价格遵循几何布朗运动，即μ 和σ 为常数； 2. 允许卖空标的证券； 3. 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 4. 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5. 不存在无风险套利机会； 6. 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7. 衍生证券有效期内，无风险利率r为常数 8. 只能在交割日执行期权
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
资本资产定价模型
资本资产定价模型资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM)CAPM模型的提出CAPM是诺贝尔经济学奖获得者威廉·夏普(William Sharpe) 与1970年在他的著作《投资组合理论与资本市场》中提出的。
他指出在这个模型中，个人投资者面临着两种风险：系统性风险（Systematic Risk)：指市场中无法通过分散投资来消除的风险。
比如说：利率、经济衰退、战争，这些都属于不可通过分散投资来消除的风险。
非系统性风险（Unsystematic Risk）：也被称做为特殊风险（Unique risk 或 Idiosyncratic risk），这是属于个别股票的自有风险，投资者可以通过变更股票投资组合来消除的。
从技术的角度来说，非系统性风险的回报是股票收益的组成部分，但它所带来的风险是不随市场的变化而变化的。
现代投资组合理论（Modern portfolio theory)指出特殊风险是可以通过分散投资（Diversification）来消除的。
即使投资组合中包含了所有市场的股票，系统风险亦不会因分散投资而消除，在计算投资回报率的时候，系统风险是投资者最难以计算的。
资本资产定价模型的目的是在协助投资人决定资本资产的价格，即在市场均衡时，证券要求报酬率与证券的市场风险(系统性风险)间的线性关系。
市场风险系数是用β值来衡量.资本资产(资本资产)指股票，债券等有价证券。
CAPM所考虑的是不可分散的风险(市场风险)对证券要求报酬率之影响，其已假定投资人可作完全多角化的投资来分散可分散的风险(公司特有风险)，故此时只有无法分散的风险，才是投资人所关心的风险，因此也只有这些风险，可以获得风险贴水。
资本资产定价模型公式夏普发现单个股票或者股票组合的预期回报率(Expected Return)的公式如下：其中，(Risk free rate),是无风险回报率，是证券的Beta系数，是市场期望回报率 (Expected Market Return)，是股票市场溢价 (Equity Market Premium).CAPM公式中的右边第一个是无风险收益率，比较典型的无风险回报率是10年期的美国政府债券。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型的应用及适用性的扩展
布莱克-斯科尔斯期权定价模型的应用及适用性的扩展摘要:期权交易是一种金融衍生的交易形式，b-s模型的产生对金融也产生了较大的影响，在此基础上业界不断对其进行完善，在应用的基础上进行适应性改进，从获得最佳的期权定价方式。
关键词:期权定价 b-s模型应用分析适应性拓展一、布莱克-斯科尔斯模型的假设条件(一)期权定价期权定价和投资组合问题一直是金融资产风险控制的核心问题，期权作为重要的金融衍生物，其定价在很早的时候就成为了业界关注的焦点。
在上世纪末，布莱克-斯科尔斯等经济学家经过研究确定了期权定价方程，为现代金融的期权定价奠定了理论与实践基础。
当期的金融市场上，期权合约就是赋予期权的购买者在规定的期限内或者规定期，按照合约定价购买或者出售一定数量的某种金融产品的权利的合约。
在期权合约中规定的是双方的执行价格，合约规定的这个期限的最后一天是到期日。
(二)布莱克-斯科尔斯假设条件分析布莱克-斯科尔斯在实际的应用中我们将其简化称之为“b-s模型”，这个模型在实际的应用中需要在一定的假设环境下进行对期权进行定价，其主要依据的是七个条假设条件：第一在期权到最后期限前，标的资产无任何回报的时候，即没有红利、利息等。
于是标的资产的价格出现的变化是连续的，且处在均匀曲线上没有跳空上涨，也没有下跌。
第二存在一个固定的无风险的概率，投资者可以借助利率无限制的条件下进行贷出或者借入。
第三不存在任何影响收益的外部因素对过程产生影响，如缴税、交易成本支出、交易保证金等。
此时持有标的物的投资者的收益完全来自于市场价格的变动。
第四所有的证券可以进行无限制的细分。
第五投资者可以对证券进行卖空操作。
第六环境中没有无风险的套利条件。
第七标的物的变动符合相应的几何布朗定律，在公式ds =μsdt+σsdz，ds 所代表的是无穷小的标的物价格变化值；dt是针对与时间的参数代表无穷小变化值；μ是标的资产在每一个无穷小的变化区间内的平均收益情况；σ是标的资产的价格浮动的波动率，即标的资产在每一个时间段内的平均收益率的差异值；dz则是0dt与方差为1dt在无穷小条件下的随机变量。
B-S_实物期权模型在金融不良资产处置价值评估中应用
【摘要】化解金融风险，服务实体经济发展，是金融工作的根本性任务。
金融不良资产处置环节合理的估值，不仅能提高资产处置收益率，也更符合功能性定位。
2017年《金融不良资产评估指导意见》列示的价值评估和分析方法，保证了金融不良资产评估业务的质量，保护了当事人合法权益和公共利益，但因金融不良资产是“非标”产品，自身的复杂性是其内在特征，交易双方的信息不对称和价格的波动影响着资产的交易价格，现有的评估方法无法将金融不良资产在处置过程中的价格波动风险和买卖双方的信息不对称风险予以规避。
针对盘活类金融不良资产的估值，引入了实物期权的方法进行处置价值评估，减少不良资产的不确定性，提高成交价格，从而获取较高的处置收益。
【关键词】金融不良资产；处置价值评估；实物期权【中图分类号】F275一、引言党的十九大以来，中央多次会议提到，在当前经济背景下，要深化金融体系改革，增强金融服务实体经济的能力，守住不发生系统性金融风险的底线。
1999年先后成立信达、长城、华融、东方四家金融资产管理公司分别对口收购建设银行、农业银行、工商银行、中国银行及国家开发银行剥离的1.4万亿元不良资产。
2013年 12月中国银监会发布《地方资产管理公司开展金融不良资产批量收购处置资质认可条件等有关问题的通知》（银监发〔2013〕45号），对地方资产管理公司的设立和参与不良资产管理工作进行规定。
2017年《金融不良资产评估指导意见》是保证金融不良评估业务质量，保护当事人合法权益和公共利益的规范性文件，也是各金融机构和地方资产管理公司以金融不良资产为对象进行价值评估和价值分析，确定金融不良资产价值的重要依据。
金融不良资产的本质是“放错地方的垃圾资源”，处置的本质是对这些“垃圾资源”的价值进行修复、重整，采用不同的措施“将垃圾变废为宝”。
资产管理公司通过对债务人采用不同的解救措施解决运营问题，对已暴露风险的不良资产进行重新组合，让无法交易、价值变现难的资产重新进入市场，资产管理公司管理和处置不良资产也能够在资产增值过程中赚取高额差价。
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股票期权的波动率微笑与分布
隐含波动率
执行价格
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
波动率期限结构
从长期来看，波动率大多表现出均值回归，即 到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随 着到期时间的延长，隐含波动率将逐渐向历史 波动率的平均值靠近。
期权多头和空头价值的不一致性
对于单个期权多头，H-W-W方程实际上是一个以 1
为波动率的BS公 式2 2k
2 2
t
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交易成本的其他模型
波动率微笑
对于货币期权而言，隐含波动率常常呈现近似 U形。平价期权的波动率最低，而实值和虚值 期权的波动率会随着实值或虚值程度的增大而 增大，两边比较对称。
股票期权的波动率微笑则呈现另一种不同的形 状，即向右下方偏斜。当执行价格上升的时候， 波动率下降，而一个较低的执行价格所隐含的 波动率则大大高于执行价格较高的期权。
n f S S,t t f S,t
S
S
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H-W-W模型推导（续）
由Ito引理：
n
S
2 f S 2
S,t
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
货币期权的波动率微笑与分布
隐含波动率 执行价格
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
“波动率微笑”（Volatility Smiles）：隐含波 动率会随着期权执行价格不同而不同；
波动率期限结构（Volatility Term Structure）： 隐含波动率会随期权到期时间不同而变化。
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第七章
布莱克-舒尔斯期权 定价公式的扩展
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主要内容
布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷 交易成本 波动率微笑和波动率期限结构 随机波动率 不确定的参数 跳跃扩散过程
H-W-W模型推导
构造无风险组合
f f S S
t之后 ,整个组合价值的变化相应减少：
E
E
f
f S
S
kS
n
f t
1
2
2S2
2 f S 2
t
E
kS
n
（7-1）
要求交易成本项,关键要获得n值，显然：
交易成本的影响
规模效应和交易成本差异化 。 即使是同一个投资者，在调整过程中，
持有同一个合约的多头头寸和空头头寸， 价值也不同 。
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H-W-W交易成本模型
t
2 f S 2
rf
（7-4）
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对H-W-W方程的理解
k S 2 2 2 f 项在实际中具有深刻的金融含义
t S 2
2 f
S 2 的存在使得H-W-W方程大部分时候是一个非 线性方程
1 2S2
2
2 f S 2
rf
2S 42 H0
k1
k2
k3S
1
H02 S
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波动率微笑和波动率期限结构
人们通过研究发现，应用期权的市场价格和BS 公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向 的变动规律：
期权组合中的 值不是同一个符号的情形
交易成本不是前述的简单结构，而是资产价格和
调整数量的函数 k n, S 的情况
f rS f t S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
k1 t
k2 k3S S
2 2 f
t S 2
W-W模型
f rS f t S
基本假设：
投资者投资于欧式期权的组合而不仅仅是单个 期权；
整个投资组合的调整存在交易成本； 投资者的组合调整策略事先确定； 股票价格的随机过程以离散的形式给出； 保值组合的预期收益率等于无风险银行存款利
率
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
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B-S模型的缺陷
交易成本的假设 波动率为常数的假设 不确定的参数 资产价格的连续变动
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen Unive S
t （7-2）
根据无风险假设，有:
n
S
2 f S 2
S,t
2 f S 2
S,t S
t
（7-3）
将公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：
f rS f t S
1
2
2S2
2 f S 2
k S 2
2