第9章 股票期权定价公式

欧式期权的红利
欧式期权的例子
欧式期权的例子
美式看涨期权
计算美式看涨期权的Black近似方法
小结
小结

收益的对数表示的实际上就是连续复利收益率，100exp（0.0953） =110
对数正态分布的性质
定义G ln S
G 1 2G 1 G , 2 , 0 S S S S t
代入：
G G 1 2G 2 2 G dG S S dt Sdz 2 t 2 S S S
3.759 2 0.141 ln ST 3.759 2 0.141 3.477 ln ST 4.041 e3.477 ST e4.041
因此， 6 个月后股票价格落在 32.36 和 56.88 之间的概率为 95%。 股票价格的均值为：
40e0.160.5 43.33
得到：
2 dG dt dz 2
对数正态分布
ln S在0-T时刻的变化服从正态分布
2 期望值为 2
方差为 2T
2 2 ln ST ln S0 ~ T , T 2 2 2 ln ST ~ ln S0 T , T 2
风险中性世界与真实世界的转换：
1、股票价格的预期增长率会发生变化 2、用来计算衍生证券收益的折现率也发生变化 这两种变化是能够完全抵销的
风险中性定价在远期合约的应用
到期时合约价值：
期初合约的价值：
12.16 12.17 12.18 12.19
Black-Scholes定价公式
期初时，欧式看涨期权和看跌期权的Black-Scholes定价公式分别是： 12.20 12.21 其中
0.17 0.22 / 2 0.15
标准差为 20%。因为一个正态分布的变量有 95%的可能性落在 其均值两侧 2 倍的标准差范围内， 一年后我们得到的实际收益率每年 在-25%和+55%之间的可信度为 95%。
预期收益率
dS dt dz S
~ (
2
2 , T
如果一个变量的对数服从正态分布，该变量服从对数正态分布
对数正态分布的图形

如果收益的对数或连续复利收益率服从正态分布，则收益
服从对数正态分布

收益分布自身的分布是倾斜的，向右侧无限延展，而左侧 则是截短的
股票价格的对数正态性质
给定起初的股价
时刻T的股价遵循的是对数正态分布
2 ln ST ~ ln S0 T , T 2
股票价格运动模型：
看涨期权的价格 f
f 是S和t 的函数
12.9
f 和
S 所包含的维纳过程是相同的
选择适当的投资组合可以将 dz( t ) 约去
BSM微分方程的推导（3）
选择如下投资组合：
－1：期权
f : 股票 S
投资组合的价值：
f
f S S
dt 内组合价值的变化： d df f dS
N (d1 )和N (d 2 ) 接近于0
看跌期权价格接近于0
看涨期权接近于
c S0 X
累计正态分布函数估算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例子
例子
权证与雇员的股权激励

普通股票期权

行权不影响市场上的股票数量

权证（warrant）和雇员的股票期权

稀释效应 行权会对市场上的股票持有者的权益产生稀释

股票价格会反映权证的这种稀释效应
这一价值会被N M 股票分享
NST MK 行权后股价变为： N M
NST MK 权证持有人的收益为： K N M
N ( ST K ) N M
N 即：普通期权价格的 倍 N M
例题
某公司共发行100万股股票，每股价格为40元， 该公司考虑发行200，000份权证，每份权证给 权证持有人在5年后可以以60元的价格买入股 票的权利。假定利率为每年3%，波动率为每年 30%，公司不支付股息。问，发行权证对公司 股价的影响如何？
函数 N ( x ) 是标准正态分布x 的累积概率分布函数
累积概率分布函数
累积概率分布函数就是，标准正态分布 (0,1)小于 x 的概率
B-S公式的性质
当股票价格很大时，看涨期权肯定会被执行，期权类似于远期合约
S0 Ke rT
从B-S公式来看， S0 很大时，d1和d 2 也很大，
N (d1 )和N (d2 ) 接近于1.0
1. 股票价格的对数正态性质

对数正态分布

如果变量的对数遵循标准正态分布，则变量本身遵循的是对数正态 分布

假设股票价格随时间的变化遵循的是对数正态分布

股票收益（股价的变动）的对数遵循的是正态分布

如果股价从100涨到110，收益率为10%，但是收益变动的对数为ln
（110/100）=0.0953
计算
代入期权定价公式
计算可得5年期期权价格为7.04
每份权证的价格为
1000000 7.04=5.87 1000000+200000
计算
发行权证的总费用为
200000 5.87=117万元
股价会下降1.17元
隐含波动率

波动率的计算

根据历史价格来估计
计算隐含波动率

基于同一股票的其他期权的市场价格所隐含的波动 率
E[e
T t
]
S0 e
( T 2T /2) 2T /2
e
S 0 e T
方差
var( ST ) E[ S0e
S0e
2 T
[( 2 /2)T t T ]
S0e T ]2
[e
2T
1]
例子
根据股票价格的对数正态分布性质可以知道，6 个月后股票价格 ST 的概率分布为：
隐含波动率
隐含波动率
VIX指数

期权报价，通常可以直接报出期权所隐含的波动率，而不 是期权本身的价格

因为波动率的变化更为稳定 常用的VIX指数

芝加哥交易所发布的隐含期权指数，SPX VIX 根据S&P500上30天看涨期权和看跌期权计算得出。
红利
在除权日之外的任何时候，股票价格的运动仍遵循随机过程 税收的影响使得股价下降的幅度小于支付的股利 假定红利就是股价下降的数量
T年期的连续复利年收益率为：
1 ST ln T S0
2 ~ , 2 T
连续复利年收益率服从均值为：
2
2
标准差为：

T
的正态分布
收益率的分布
年收益率分布
当 T=1 时，表达式 ln ST / S 是持有股票一年的连续复利收益。因 此，一年内连续年复利收益的均值和方差分别是 2 / 2 和 。 例子 考虑一种股票预期收益率为每年 17%,波动率为每年 20%。一年 后得到的实际 （连续复利） 收益率的概率分布是正态分布， 其均值为：
具体定价步骤：
1、假定标的资产的预期收益率是无风险利率；
2、计算到期时期权的预期收益；
3、将预期收益按无风险利率折现
风险中性定价
B S方程中不涉及预期回报值
预期回报与风险选择相关
B S方程与风险选择无关
因此可以选择任何一组风险选择
等价鞅原理
风险中性定价（2）
尽管风险中性定价方法只是求解BSM微分方程的模拟方法，但 它求得的结果在现实世界也是有效的，而不局限于投资者是风 险中性的。
权证定价

假设某公司想发行新权证（或者雇员股票期权），
公司想计算发行权证的费用
假定公司目前共发行了数量为N的股票，股价为S0
公司考虑发行M 份的权证，权证有按K的价格购买一只股票的权利
公司当前的市值为NS0
假定到期时刻T，股票价格变为ST
权证
如果权证执行，由执行价格带来的现金流会使得股权和权证 的价值总和变为NST MK
)
预期收益率
预期收益率
一组数据（不完全相等）的算术平均值总是大于几何平均值
波动率
2. B-S-M模型
B-S-M微分方程的原理
任何基于不支付红利股票的期权的价格都必须满足BSM微分方程
股票的价格和衍生品的价格都受到同一不确定性的影响： dz: 股票价格的运动 短时期内，股票的价格和衍生品的价格是完全相关的 所以可以构建包含股票和期权的无风险资产组合
S
将ds和df 代入，得到
f 1 2 f 2 2 d S dt 2 t 2 S
BSM微分方程的推导（4）
因为约去了dz，所以有:
将和d 代入
d rdt
Black-Scholes-Merton微分方程
（12.15）
BSM微分方程的推导（5）
方差为
402 e 20.160.5 e0.20.20.5 1 37.93
1 ST 2 ln ~ N , T S 2 T

连续复利年收益率
ST 2 ln ~ ( )T , T S0 2
1 ST 2 ln ~ , T S0 2 T
第 9章
股票期权定价的
Black—Scholes公式
主要内容
1. 说明股票的预期收益率、波动率的几个问题
2. 基于不支付红利股票的欧式看涨、看跌期权的布莱克—斯科尔 斯微分方程的推导 3. 利用风险中型定价方法来求解B-S微分方程
4. 如何将B-S公式扩展到支付红利股票的期权定价上
5. 关于支付红利股票的美式看涨期权的一些定价结果
2 ln ST ~ ln 40 0.16 0.2 / 2 0.5,0.2 0.5 ln ST ~ 3.759,0.141
考虑一种股票，价格初始值为 40 美元，预期收益率为每年 16%，波动率为每年 20%。
标准正态分布变量取值位于均值左右 2 倍（1.96）的标准差范围 内的概率为 95%。因此，置信度为 95%时：
（12.15）
根据衍生证券的边界条件，具体求解微分方程 欧式看涨期权的边界条件：
欧式看跌期权的边界条件：
验证远期合约价值公式
基于不支付红利股票的远期合约属于股票的衍生产品，其价格应该满 足公式（12.15）
代入公式（12.15），得
rKer (T t ) rS rf
风险中性定价
风险中性世界中，所有证券的预期收益率都是无风险利率

ST S0e
[( 2 /2)T t T ]
2 ln ST ~ ln S0 T , T 2
ST S0e
均值
[( 2 /2)T t T ]
E ( ST ) S0e
( 2 /2) T
S : 股票价格变化
c 0.4S
c 欧式看涨期权的价格变 化
无风险证券组合应包括： 1、0.4单位的股票多头； 2、1单位的看涨期权的空头
BSM模型与二叉树模型的区别
1、B-S-M模型的时间间隔非常短； 2、套期比率必须随时调整；
3、必须保证每个时刻都能完全对冲风险
BSM微分方程的推导