大学物理学1质点运动学习题思考题改

习 题

1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为

)ωt sin ωt (cos j i +=R r

其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 t cos R x ω= t sin R y ω=

消去t 可得轨道方程 22

2

R y x =+

2） j r

v t Rcos sin ωωt ωR ωdt

d +-==

i R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2

122

])cos ()sin [(

1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42

++=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。

解：1）由j i r )t 23(t 42

++=可知

2t 4x = t 23y +=

消去t 得轨道方程为：2)3y (x -=

2）j i r

v 2t 8dt

d +==

j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 1

1

+=+==⎰⎰Δ

3） j v 2(0)= j i v 28(1)+=

1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22

+=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：1）j i r

v 2t 2dt d +== i v

a 2dt

d ==

2）21

22

12)1t (2]

4)t 2[(v +=+= 1

t t 2dt

dv a 2

t +==

222

21

n t a a a t =-=

+

1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为

2

012

1at t v y +

= （1） 图 1-4

2

022

1gt t v h y -+= （2）

21y y = （3） 解之 2d t g a

=

+

初速度0v 水平抛出，

1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程；

（3）落地前瞬时小球的

t d d r ，t d d v ，t

v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1）

2gt 2

1

h y -= 式（2）

j i r )gt 2

1-h (t v (t)2

0+=

（2）联立式（1）、式（2）得 2

2

v 2gx h y -=

（3）

j i r

gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g

h 2t = 所以

j i r 2gh -v t d d 0= j v g t

d d -= 2

20

2y 2x )gt (v v v v -+=+=

21122222

00

2[()](2)g gh g t dv

dt v gt v gh ==

++

1-6. 路灯距地面的高度为1h ，一身高为2h 的人在路灯下以匀速1v 沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v .

证明：设人从O 点开始行走，t 时刻人影中足的坐标为1x ，人影中头的坐标为2x ，由几何关系可得 图 1-6

2

1122h h

x x x =- 而 t v x 01=

所以，人影中头的运动方程为

02

1121112v h h t

h h h x h x -=-=

人影中头的速度 02

11

22v h h h dt dx v -==

1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为2

242t

t x -+=(m )，在 t 从0秒到3秒的时间

间隔内，则质点走过的路程为多少？

解：t dt

dx

v 44-==

若0=v 解的 s t 1= m x x x 22)242(011=--+=-=∆

m x x x 8)242()32342(2

133-=-+-⨯-⨯+=-=∆

m x x x 1021=∆+∆=∆

1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度

cm 20=h ，斜面对水平的倾角 30=θ，问它

第二次

碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜

面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射

角)。

图

1-8

解：小球落地时速度为gh v 20= 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地

点为坐标原点如图

00060cos v v x = 200

060cos 21

60cos t g t v x +

= （1） 000

60sin v v y = 200060sin 2

1

60sin t g t v y -= （2）

第二次落地时 0=y g

v t 0

2=

所以 m g

v t g t v x 8.0260cos 2160cos 202

00

0==

+=

1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为2

s /cm 4.3，设赤道上重力加速度为

2m/s 80.9.