[状元桥]2016届高三数学(理)二轮复习：题型精讲第三讲解答题的解法 数 列
2016届高三数学理课标版(陕西专用)二轮思想方法训练2 分类讨论思想 含解析
思想方法训练2分类讨论思想能力突破训练1.已知函数f（x）={-x2+ax,x≤1,2ax-5,x>1,若存在x1,x2∈R,且x1≠x2，使得f(x1)=f（x2）成立，则实数a的取值范围是(）A.(—∞,2） B.(-∞，4）C.[2，4] D。
（2,+∞)2.(2015山西四诊）在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别是a,b，c，若b2+c2-a2=√3bc,且b=√3a，则下列关系一定不成立的是（）A。
a=c B.b=cC.2a=c D。
a2+b2=c23。
若a>0,且a≠1,p=log a（a3+1)，q=log a（a2+1）,则p,q的大小关系是（）A.p=qB.p<qC。
p>qD。
当a〉1时，p〉q；当0<a〈1时，p〈q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±34x,则该双曲线的离心率为（)A.54B.53C。
54或53D。
35或455.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=λAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6。
若x〉0,且x≠1,则函数y=lg x+log x10的值域为（) A。
R B。
[2,+∞)C.(—∞，-2］D。
(-∞,—2］∪［2，+∞)7。
设S n是等比数列｛a n｝的前n项和,S3，S9，S6成等差数列,且a2+a5=2a m，则m等于（）A.6B.7C。
8 D.108.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=CA=3，SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1，则SA 与平面ABC所成角的大小为（）A。
30°B.60°C。
30°或60°D。
45°或60°9.函数y=a x（a〉0，且a≠1)在［1,2］上的最大值比最小值大a，2则a的值是.10。
河南省2016届高三数学下学期第一次联考试卷理含解析
河南省2016届高三数学下学期第一次联考试卷（理含解析）中原名校2015-2016学年下期高三第一联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则（）A．B．C．D．2、函数的最小正周期为（）A．B．C．D．3、已知复数满足为虚数单位），则的共轭复数是（）A．B．C．D．4、“”是“点到直线的距离为3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5、已知为等差数列的前n项和，若，则（）A．47B．73C．37D．746、过双曲线的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7、某市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示，已知时至时的销售额为90万元，则10时至12时销售为（）A．120万元B．100万元C．80万元D．60万元8、如图，在直角梯形中，为BC边上一点，为中点，则（）A．B．C．D．9、运行如图所示的程序，若输入的值为256，则输出的值是（）A．3B．-3C．D．10、已知的展开式中含与的项的系数的绝对值之比为，则的最小值为（）A．6B．9C．12D．1811、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．12、在数列中，，则（）A．数列单调递减B．数列单调递增C．数列先递减后递增D．数列先递增后递减第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.13、已知函数为偶函数，则实数的值为14、已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是15、设满足不等式，若，则的最小值为16、已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为三、解答题：（第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24为选做题，考生根据要求作答，）本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）在中，已知分别是角的对边，且满足。
2016届高考数学理自由复习步步高系列专题01函数(通用版)(解析版)
2016年高考备考之考前十天自主复习第一天 函数(理科)第一块 集合与简易逻辑考点一 集合的概念及运算[1]集合概念,元素与集合的属于关系1. 已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C2. ( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学理) 已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．[2]集合间的关系(相等与包含)3.已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D . 4. 设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C5.已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( ) A .2个 B .4个 C .6个 D .8个 【答案】B【解析】因为{}1,3M N ⋂=中有两个元素，所以其子集个数为224=个,故选B .6. ( 2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学理3)已知集合{}2/320A x x x =-+=,{}/05,B x x x N =<<∈,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为( ) A .1 B . 2 C .3 D .4 【答案】D【解析】根据题意{}{}2/3201,2A x x x =-+==,{}/1,2,3,4B x =,再根据集合包含的定义可得满足A C B ⊆⊆的集合C 有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4共 4个,故选D . [3]集合间的运算7. (江西省六校2016届高三3月联考数学理)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ≤4D ．m ≤4 【答案】D解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图11．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D.8. (吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理1)已知集合{}0x x P =≥，1Q 02x x x ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R Q P =I ð（ ）A ．(),2-∞B ．(],1-∞-C ．()1,0-D ．[]0,2 【答案】D【解析】由题意可知{|1Q x x =-≤或2}x >，则{|12}Q x x =-<≤R ð，所以()R Q P =I ð[]0,2. 故选D.9. 已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则AB =（ ）（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4） 【答案】C【解析】因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<， 所以{}{}{}132423AB x x x x x x =<<<<=<<.故选：C.[4]韦恩图10. (宁夏回族自治区银川一中2016届高三第一次模拟考试数学理) 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)【答案】D[5]新概念11. 已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1 【答案】B【解析】由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知a ja i 需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B. 考点二 命题[6]命题的真假判断与四种命题(原命题,否命题,逆命题,逆否命题)12. （黄冈中学2016届高三（上）期末考试数学试题理）以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价． 【答案】②④13. ( 2016年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考理4)下列推断错误的是( ) A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 【答案】C【解析】命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”，正确；命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有012≥++x x ，正确；若p 且q 为假命题，则q p ,可能都是假命题，也可能一真一假，错误；当1<x 时，能得到0232>+-x x ；当0232>+-x x2>x 或1<x ，故答案为C.考点：命题真假性的判断.14.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若α ≠4π，则tan α≠1 B . 若α=4π，则tan α≠1C . 若tan α≠1，则α≠4πD . 若tan α≠1，则α=4π【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”.故选C .15. (四川省雅安中学2016届高三开学考试数学理8)下列命题正确的是（ ） ①若2(3)4log 32x f x =+，则8(2)(4)...(2)180f f f +++=；②函数()tan 2f x x =的对称中心是)0,2(πk （k Z ∈）； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“01,23>+-∈∃x x R x ”；④设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++73π=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 【答案】D[7]简单的逻辑连接词(真值表,否定)16. (广东省汕头市2016年高三第一次模拟考试数学理4)已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1x e >，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题 【答案】D【解析】因为命题:p R x ∃∈，2lg x x ->是真命题，而命题:q R x ∀∈，1x e >，由复合命题的真值表可知命题()p q ∧⌝是真命题，选C17. ( 吉林省吉林市第一中学校2016届高三3月“教与学”质量检测（一）数学理) 若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A[8]全称与特称命题(命题真假与否定)18.命题"存在实数x ,使得1"x >的否定( )A .对任意实数x ,都有1x >B .不存在实数x ,使得1x ≤C .对任意实数x ,都有1x ≤D .存在实数x ,使得1x ≤ 【答案】C【解析】特称命题的否定为全称命题(注意要否定结论),故选C .19.已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝【答案】B20.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,3-【解析】命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题,则该命题的否定“()2,110x R x a x ∀∈+-+≥”为真命题，即不等式()2110x a x +-+≥在x R ∈上恒成立，则有()2140a ∆=--≤13a ⇒-≤≤，故填[]1,3-.考点三 充要条件的判断[9]充要条件的判断(大范围小范围)21.“2320x x -+->”是“1x >”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A22.已知函数lg(4)y x =-的定义域为A ,集合{|}B x x a =<,若P ：“x A ∈”是 Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 . 【答案】()4,+∞【解析】函数()lg 4y x =-的定义域为{}{}/40/4x x x x ->=<,因为P ：“x A ∈”是 Q ：“x B ∈”的充分不必要条件,故根据小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围可得A B Ø,则画出数轴可得4a >(注4a =时,P 是Q 的充要条件),故填()4,+∞.[10] 充要条件的判断(递推关系,命题真假)23. ( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学理6)设a 、b 是实数，则“22a b >”是“0a b >>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若0a b >>，则必有22a b >.22a b >时，不一定有0a b >>，故为必要而不充分条件，选B.24. ( 2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学理3)若π02x <<，则1tan <x x 是1sin <x x 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A25. ( 2016漳州市普通高中毕业班质量检查数学理5) “211n n n a a a +-=，2n ≥且n ∈N ”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A[11]已知条件关系求条件26.双曲线221y x m-=的充分必要条件是( )A .12m >B .1m ≥C .1m >D .2m >【答案】C【解析】根据题意得,()221,0a b m m ==>,则121e m m =>⇔+>⇔>,故选C .27. (安徽省安庆五校联盟2016届高三下学期3月联考数学理14)已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】20a -≤≤第二块 基本初等函数 函数与方程及函数的应用考点一 基本初等函数的图像与性质 [1]基本初等函数图像1. ( 2016漳州市普通高中毕业班质量检查数学理4) 函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是( )【答案】A【解析】选A 因为x ∈R ，f (－x )＝－2x －sin x ＝－f (x )，所以函数图象关于原点对称，又f ′(x )＝2＋cos x ＞0，所以函数单调递增，因此选A.2. 已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D 先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D 不正确．综上所述，选D.3.函数13y x x =-的图像大致为( )【答案】A【解析】函数13y x x =-为奇函数.当0x >时,由130x x ->,即3x x >,可得21x >,故x >1,结合选项A ,故选A .[2]基本初等函数性质4. （怀化市中小学课程改革教育质量监测2016年高三第一次模考理科数学）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】 ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.5. (江西省六校2016届高三3月联考数学理16)若函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，则实数a 的取值范围是 ．【答案】((,-∞⋃.【解析】若20,1,0a y ax x >=+≥表示开口向上的抛物线位于y 轴右侧的部分，且过点(0,1)，此时函数为单调增函数；为使函数221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，须2(1),0ax y a e x =-<是单调增函数且20(1)1a a e⨯-≤，即2210,(11a a e ⎧->⎨-≤⎩）解得1a <≤；若20,1,0a y ax x <=+≥表示开口向下的抛物线位于y 轴右侧的部分，且过点(0,1)，此时函数为单调减函数；为使函数221,0()(1),0ax ax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，须2(1),0ax y a e x =-<是单调减函数且20(1)1a a e⨯-≥，即2210,(11a a e ⎧->⎨-≥⎩）解得a ≤；综上知，答案为((,-∞⋃.6. 下列函数中，既是偶函数又在区间 (－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x 2B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x【答案】A[3]指对数运算(求值)7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >0，2－x，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝________. 【答案】8【解析】f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2，∵log 216<0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝221log 6-＝221log 6＝6，即f (f (－4))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝8.8.方程91331xx+=-的实数解为 . 【答案】3log 49. lg 51 000－823＝( )A ．235B ．－175C ．－185 D ．4【答案】B【解析】lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175.10.已知y x ,为正实数,则( ) A .y x yx lg lg lg lg 222+=+ B . lg()lg lg 222x y x y += C .y x y x lg lg lg lg 222+=∙ D .lg()lg lg 222xy x y =【答案】D【解析】根据指对数的运算公式((),log log log a b a ba a a x x x x y xy +=+=)有lg lg lg lg 222x yx y +=,()lg lg lg lg lg 2222xy x y x y +==,()lg lg lg lg 22yx y x =,所以选项D 是正确的,故选D .11.23log 9log 4⨯=( ) A .14B .12C .2D .4【答案】D 【解析】根据对数的换底公式(log log log c a c b b a=)得23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3⨯=⨯=⨯=,故选D . [4]指对数大小比较12. 已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c 【答案】A【解析】 ∵a ＝312>1,0<b ＝log 1312＝log 32<1，c ＝log 213<0，∴a >b >c ，故选A.13.若()ln 1ln 1,1,ln ,,2xx x e a x b c e -⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c >b >aB .b >c >aC .a >b >cD .b >a >c【答案】B【解析】根据对应指对数的单调性可得,当()1,1x e -∈时,1ln ln ln110e x a -<<⇒-<<,()ln 1,1xc ex e -==∈,0ln 11111ln ln ln11ln 0222xe x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⇒-<<⇒<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则b >c >a .故选B . [5]幂函数概念14.已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,则4log (2)f 的值为( ) A .14 B .－14C .2D .－2 【答案】A15.已知幂函数()253()1m f x m m x---=-在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.【答案】1-【解析】因为函数()253()1m f x m m x---=-是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数,所以m ＝－1.故填1-.[6]反函数16.设函数()y f x =存在反函数1()y fx -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 .【答案】()1,2-【解析】由函数()y x f x =-的图象过点(1,2)得: (1)1,f =-即函数()y f x =过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-即()111f --=,所以函数1()y f x x -=-的图象一定过点(1,2).-考点二 函数零点[7]零点存在性定理(正向用 逆向用)17. 已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)【答案】C【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．18. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －a ，x ＞0，－x 2－2x －a ，x ≤0，有三个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，1【解析】令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，h (x )＝a ，则问题转化为g (x )与h (x )的图象有三个交点，g (x )图象如图．由图象知－1e ＜a ＜1.[8]二次函数零点问题19. (四川省雅安中学2016届高三开学考试数学理9)函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ） A. ()1xf x e =-B. ()2(1)f x x =-C. ()41f x x =-D.)21ln()(-=x x f【答案】C【解析】由已知易知()422xg x x =+-是增函数，0232)41(<-=g ，01)21(>=g ，故)21,41(0∈∃x ，使得0)(0=x g ，选项A 的零点为0，故)21,41(00∈-x ；选项B 的零点为1，)1,21(10∈-x ；选项C 的零点为41，)41,0(410∈-x ；选项D 的零点为23，)45,1(230∈-x ，综上应选C[9]分段函数的零点问题20. (浙江省绍兴市2016届高三上学期期末统考数学理试题15)已知()11f x x =-，()()()111n n f x n f x +=+-，n *∈N ，若函数()3y f x kx =-恰有4个不同零点，则正实数k的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：作出函数)(2x f 图象，1)(3)(23-=x f x f 可看做在)(2x f 的基础上纵坐标伸长为原来的3倍，再将图象向下移一个单位得到1)(32-x f ，最后将x 轴下方的翻折可得到1)(3)(23-=x f x f 的图象如图，由图可知函数()3y f x kx =-恰有4个不同零点即)(3x f y =与kx y =只有4个交点，此时k 的值为0或2，又k 为正实数，故k 的值为221. (山东省潍坊市第一中学2014届高三1月期末考前模拟数学理12)已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是（A ）2k ≤ （B ）10k -<< （C ）21k -≤<- （D ）2k ≤-【答案】D【解析】由题意若0>k ，则函数()y f x k =+无零点，若0=k 时，函数()y f x k =+只有1个零点，故0<k ，要使函数()y f x k =+有三个零点，只需)(x f y =与k y -=有三个交点即可，作出示意图，易知当2≥-k 即2k ≤-时，函数()y f x k =+有三个零点[11]图像交点(数形结合)22. (江苏省扬州中学2016届高三3月期初考试数学试题12)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()|2|f x x x =-．若关于x 的方程2()()0(,)f x af x b a b R ++=∈恰有10个不同实数解，则a 的取值范围为 ___▲ ． 【答案】(2,1)-- 【解析】试题分析：函数()f x 的图象如图所示，要使方程2()()0(,)f x af x b a b R ++=∈恰有10个不同实数解，则方程02=++b ax x 有两个根21,x x ，且一个根101<<x ，另一个根12=x ，故⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=++<-<>∆0011200b b a a12-<<-a23.设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则( ) A .0a b << B .0b a << C .0a b <<D .0b a <<【答案】C【解析】由题得,,a b 分别为函数()(),f x g x 零点,因此考虑利用函数图像的交点判断()(),f x g x 零点,a b 的大致位置(即范围),因为函数()f x 的零点a 为()0202x x f x e x e x =⇒+-=⇒=-的根,所以a 为函数x y e =与2y x =-的图像交点的横坐标,画出两个函数的图像如图1,同理,b 为函数ln y x =与23y x =-的图像交点的横坐标,画出两个函数的图像如图2,则根据图1和图2可以判断01,1a b <<>,故选C.图1 图2<另解>因为()()()()010,10f f g g e <<,所以根据零点存在性定理可得()0,1a ∈()1,b e ∈,故选C .24.对实数a 和b ,定义运算“⊗”: a b ⊗=,1,1a a b b a b -≤⎧⎨->⎩,设函数2()(2)(1)f x x x =-⊗-,x R ∈.若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )A .(1,1](2,)-⋃+∞B .(2,1](1,2]--⋃C . (,2)(1,2]-∞-⋃D .[2,1]-- 【答案】B【解析】根据运算“⊗”的定义可得2()(2)(1)f x x x =-⊗-()()()()2222,2111,211x x x x x x ⎧----≤⎪=⎨---->⎪⎩()22,121,12x x f x x x x ⎧--≤≤⇒=⎨-<->⎩或,画出分段函数()22,121,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或的图像,而数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,即()()0f x x f x c -=⇒=有两个根,因此()f x 与y c =的图像有两个公共点,而y c =的图像为一条平行于x 轴的直线,由图可得当21c -<≤-或12c <≤时,()f x 与y c=的图像有两个公共点,故选B.[11]二分法25.用二分法研究函数()331f x x x =+-的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．【答案】()0,0.5,()0.25f【解析】因为()331f x x x =+-是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在()0,0.5x ∈上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．考点三 函数的实际应用 [12]二次,三次等多项式函数模型26. （怀化市中小学课程改革教育质量监测2016年高三第一次模考理科数学20）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x )(+∈N x 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为3x 10（a-）500万元)0(>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%2.0x ． （Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？ 【答案】（1）500，（2）05a <≤．【解析】（1）设调整x 名工人从事第三产业，由题意，得110(1000)(10.2)101000100x x -+⋅≥⨯，即25000x x -≤2x ，又x ＞0，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业1. （黄冈中学2016届高三（上）期末考试数学试题理2）设全集U =R ，{}111,202xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+<=-≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则图中阴影部分所表示的集合( ）A ．()2,0-B ．(]2,1--C ．(1,0]-D ．(1,0)- 【答案】D 【解析】试题分析：图中阴影部分所表示的集合A B C u ⋂,由题意{}{}02|1|1||<<-=<+=x x x x A ， {}1|02)21(|-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=x x x B x ，{}1|-≥=x x B C u 所以=⋂A B C u (1,0)-.考点：集合的运算性质.2.已知集合32A x x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭且，则集合A 中的元素个数为（ ） A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】C 【解析】32Z x∈-，2x -的取值有3-、1-、1、3，又x Z ∈， x ∴值分别为5、3、1、1-，故集合A 中的元素个数为4，故选C .考点：数的整除性3.定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( ) A ．(0，13) B ．(13 ，＋∞) C ．(-13，0)∪(13，＋∞) D ．(-∞，-13)∪(0，13) 【答案】C【解析】∵偶函数f (x )在（0，＋∞)上为增函数，又f (13)＝0，所以函数f (x )的代表图如图，()0xf x >解集是(-13，0)∪(13，＋∞)，选C考点：函数单调性 数形结合4. (2016年3月德阳市四校高三联合测试数学理2)下列命题中，真命题是( )A.000≤∈∃x e R x ，B.11>>b a ，是1>ab 的充分条件C.R x ∈∀，22x x >D. 0=+b a 的充要条件是1-=ba 【答案】B【解析】因为对任意的x R ∈ ，都有0x e > ，所以选项A 不正确； 因为根据不等式的性质，由10,10a b >>>> 可得：1ab > ，所以11>>b a ，是1>ab 的充分条件；所以选项B 正确；因为当3x = 时，3223< ，所以选项C 不正确；因为当0a b == 时，0a b +=，但1a b=-不成立，所以选项D 不正确.综上只有选项B 正确，故选B. 考点：命题与充要条件.5.函数1,0()2,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则f (f (0))的值为_________.【答案】1【解析】因为1,0()2,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，所以(0)1f =,则f (f (0))=f (1)=1，管填1 考点：分段函数6.已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，若关于x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】1111,,243⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实数根，转化为()y f x =，()1y kx k k x =+=+，两个函数图像有三个不同的交点，函数()y f x =的图像如图，函数()1y k x =+恒过定点为()1,0-，观察图像易得：1111,,243k ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.考点：新概念 数形结合7. (2016年3月德阳市四校高三联合测试数学理10)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0)3()4(0)1()(2222x a x a a x x a k kx x f ，，，其中a ∈R ，若对任意非零实数1x ，存在唯一实数)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则实数k 的最小值为( )A.-8B.-6C.6D.8【答案】D8. ( 2014-2016江西省景德镇高三第二质检数学理16)已知函数()(2)(-5)f x x x ax =++2的图象关于点(-2,0)中心对称，设关于x 的不等式()()f x m f x +<的解集为A ，若(5,2)A --⊆，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3m ≤-或3m =【解析】函数()f x 的图象关于点(-2,0)中心，()()()()0f x m f x f x m f x +<⇔+-<，22()()[33(4)63]f x m f x m x m x m m +-=+++++，显然0m =不舍题意，当0m >时，()()0f x m f x +-<⇔对称，则(4)(0)f f -=-，由此求得4a =，所以 232()(2)(45)6310f x x x x x x x =++-=++-2233(4)630x m x m m +++++<，由题意22223(5)15(4)6303(2)6(4)630m m m m m m ⎧⋅--++++≤⎪⎨⋅--++++≤⎪⎩3633m m ≤≤⎧⇒⎨-≤≤⎩3m ⇒=， 当0m <时，()()0f x m f x +-<⇔2233(4)630x m x m m +++++>， 因为422m +->-，所以由题意223(2)6(4)630m m m ⋅--++++≥3m ⇒≤-或3m ≥（舍去），3m ⇒≤-，综上，m 的取值范围是3m ≤-或3m =．9.已知12)(-=x x f ，21)(x x g -=，规定：当)(|)(|x g x f ≥时, |)(|)(x f x h =；当)(|)(|x g x f <时, )()(x g x h -=，则)(x h （ ）A ． 有最小值1-,最大值1B ． 有最大值1,无最小值C ． 有最小值1-,无最大值D ． 有最大值1-,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数|()|,()f x g x 的图像如下,而|()|,|()|()()(),|()|()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨-<⎩,故)(x h 有最小值1,无最大值.考点：函数图像平移变化10. ( 2016年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）理16)已知函数()()()()211221x x x x f x x e e x e e ---=----，则满足()0f x >的实数x 的取值范围为 ． 【答案】⎪⎭⎫⎝⎛1,31。
《状元桥》高三物理二轮复习训练：训练二习题.doc
t专题沖刺训练:)1.(多选)在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系兀。
〃质量为1 kg的物体原来静止在坐标原点0(0,0),从/=0时刻起受到如图所示随时间变化的外力作用, 竹表示沿卩轴方向的外力，人表示沿X轴方向的外力，下列说法中正确的是()4 E/N2 ----- 1IIIO 2E/N2—・:: ：O 2 HsA・前2 S内物体沿X轴做匀加速直线运动B.后2s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向C. 4 s末物体坐标为(4 m, 4 m)D・4 s末物体坐标为(12 m, 4 m)解析：前2 s内物体只受x轴方向的作用力，故沿兀轴做匀加速直线运动，A 正确；前2s内其加速度a x=2 m/s2,位移X] =^a x^=4 m.后2 s内物体沿x轴方向做匀速直线运动，位移兀2 = 8 m,沿尹轴方向做匀加速直线运动，加速度dy=2 in/s2,位移p=£z/=4m,故4s末物体坐标为(12 m, 4 m), D正确.答案:AD2.(多选)(2015-天津卷)戸、戶2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星$、S2做匀速圆周运动.图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度Q,横坐标表示物体到行星中心的距离厂的平方，两条曲线分别表示戸、A周围的Q与，的反比关系，它们左端点横坐标相同•贝” )A・Pl的平均密度比戶2的大B・鬥的“第一宇宙速度”比戶2的小C. S1的向心加速度比S2的大D・『的公转周期比S2的大解析：图象的左端点对应的横坐标相同，表明两行星的半径相同，万有引力定律提供向心力G爷=应,a=晋,由图象可知，戸的质量大，因此P1的密度大, A项正确；第一宇宙速度0=寸字，因此质量大的行星的第一宇宙速度大，B项错误；由Q=¥怡可知，小的向心加速度大，C项正确；由得T=2口丫而，因此行星质量大的卫星公转周期小，D项错误.答案：AC3.用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示.设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为◎线的张力为T,则厂随/ 的变化的图象是图中的（）小球在光滑锥面做匀速圆周运动，0—Ncos 0=m厶sin 0 7cos 0 + Nsin 6=mg f由上述方程解得：T=mgcos 0 +m厶si『& .当角速度较大时，小球离开光滑锥面做匀速圆周运动，根据向心力公式可得：T=mL （J,综上所述，只有C选项正确.答案：C4.（2015-全国新课标I卷）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为厶和厶2,中间球网高度为仕发射机安装于台面左侧边缘的中点, 能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3/2.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率。
[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题五 三角函数
![[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题五 三角函数](https://img.taocdn.com/s3/m/f79b344777232f60dccca10c.png)
专题五 三角函数(见学生用书P 25)(见学生用书P 25)1．同角三角函数关系(1)商数关系：tan α＝sin αcos α；(2)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． 2．几个三角公式(1)公式变用：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，sin 2a2＝1－cos α2，cos 2a 2＝1＋cos α2，tan a 2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α．(2)辅助角公式：a sin α＋b cos α(其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝a 2＋b2)3．三角函数的图象与性质象，其中ω>0，则向左或向右平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位．也就是说若f (x )＝sinωx ，则向左或向右平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位后得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)，即平移的量是对x 而言的．(见学生用书P 26)考点一 任意角的三角函数 考点精析1．三角函数的概念在“角的概念的推广”中，负角、象限角、区间角、没有标明范围的角、大于2π的角，常出现在各种三角函数题目中，关键是正确理解终边相同角的概念．在“弧度制”中，掌握弧长公式和扇形面积公式．在“任意角的三角函数”中，会确定函数值的符号并知道一个角的三角函数值只与这个角的终边的位置有关．2．同角三角函数的关系及诱导公式的应用 本考点的关键是熟记并灵活运用公式．在已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数时，要注意题设中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式．注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取．例 1－1(2014·成都模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点．若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A ．－2425B ．－725C ．0 D.2425考点：任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦公式． 分析：利用任意角的三角函数的定义求出sin α，cos α，sin β，cos β，再用两角和与差公式求出cos(α＋β)．解析：由三角函数定义知sin α＝45，cos α＝35，sin β＝35，cos β＝－45， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－45×35＝－1225－1225＝－2425. 答案：A点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦公式的应用．例 1－2(2015·武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12，则cos 2θ＝( ) A.33 B ．－33 C.13 D ．－13考点：同角三角函数的基本关系式，二倍角公式及向量的数量积． 分析：先用向量的数量积公式得出cos 2θ，再用二倍角求出cos 2θ.解析：∵OP →·OQ →＝－12，∴12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，∴cos 2θ＝23，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13. 答案：C点评：本题考查同角三角函数基本关系式、向量的数量积及二倍角公式，要求熟练掌握这些公式．规律总结三角函数的定义及其应用是近几年高考命题的热点，需要我们在二轮复习中重点突破．同角间的三角函数基本关系是三角函数化简求值的基础，因而是高考重点考查对象，不过一般以间接考查为主，偶尔直接考查，也比较简单，同样诱导公式也是如此．变式训练【1－1】 (2014·黄冈模拟)如图，点A 、B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转π3到OB .(1)若点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求1＋sin 2α1＋cos 2α的值； (2)用α表示|BC |，并求|BC |的取值范围．解析：(1)由已知可得，cos α＝35，sin α＝45.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，1＋sin 2α1＋cos 2α＝1＋24251＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＝4918.(2)由题意可得，|OC |＝|OB |＝1，∠COB ＝α＋π3， 由余弦定理可得，|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OB ||OC |cos ∠COB＝1＋1－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，∴|BC |2∈()1，2＋3，∴|BC |∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，6＋22. 考点二 三角函数的图象 考点精析1．三角函数的图象可以利用三角函数线用几何法作出，在精确度要求不高时，常用五点法作图，要特别注意“五点”的取法．2．关于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象(1)“五点法”作图：设t ＝ωx ＋φ，取0、π2、π、3π2、2π，求相对应的x 值及y 值，描点作图．(2)变换作图：y ＝sin x →y ＝A sin x ，将y ＝sin x 的图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍；y ＝A sin x →y ＝A sin(x ＋φ)，将y ＝A sin x 的图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位．y ＝A sin(x ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，将y ＝A sin(x ＋φ)图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω.要明确上面后两步的先后顺序．(3)由图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)；首先确定“五点法”中的第一个零点(x 0，0)，需根据图象的升降情况准确判定第一个零点的位置．易求A 、ω，再代入点坐标求得φ，从而有y ＝A sin(ωx ＋φ)．(4)图象的对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝x m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx m ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 成轴对称图形；关于点(x n ，0)(ωx n ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．例2－1 (2014·上海模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3考点：由y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定其解析式．分析：由函数的图象可得34T ，代入周期公式求得ω的值，再由五点作图的第二点列式求得φ的值．解析：由图知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝34π，∴T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.由五点作图的第二点可知，2×5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.∴ω，φ的值分别是2，－π3. 答案：A点评：本题考查由y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值．例 2－2(2014·长沙市一中模拟)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎛⎭⎪⎫π24＝________．考点：由y ＝A tan(ωx ＋φ)的部分图象确定其解析式．分析：根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω.根据⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0求出φ的值，图象经过(0，1)确定A 的值，求出函数的解析式，然后求出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24即可．解析：由题意可知T ＝π2，所以ω＝2， 函数的解析式为：f (x )＝A tan(ωx ＋φ)，因为函数过⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ， ∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z .又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.又图象经过(0，1)，所以1＝A tan π4，所以A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝ 3. 答案： 3点评：本题考查正切函数图象的特点，确定函数的解析式的方法以及求函数值，考查计算能力．例 2－3(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．考点：三角函数的图象与性质．分析：根据三角函数的图象，由最小值为2求k ，再求最大值． 解析：根据图象得函数的最小值为2， ∴－3＋k ＝2，k ＝5， ∴最大值为3＋k ＝8. 答案：8 点评：本题考查对三角函数图象的阅读理解能力、数据处理能力，属于基础题．规律总结变换作图法以及给出部分函数图象求三角函数解析式等问题一直是高考命题的热点．至于像例2－3这样的将三角函数融入实际背景的问题，关键在于读懂题意，将实际问题转化为函数最值问题．变式训练【2－1】 (2014·黄冈模拟)关于函数f (x )＝4sin2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是__________．解析：∵f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 故①正确；∵T ＝2π2＝π，故②不正确；令x ＝－π6代入f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝4sin －π3＋π3＝0， 故y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，③正确，④不正确． 答案：①③【2－2】 (2014·重庆卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________．解析：函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin(2ωx ＋φ)的图象，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ的图象． 由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ， 所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ<π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：22考点三 三角函数性质 考点精析1．三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解．注意数形结合思想的应用．2．三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把(ωx ＋φ)看作一个整体．比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间；由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2kπ＋32π(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A >0，ω<0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间；减区间为原函数的增区间．对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调性的讨论与上类似．(2)比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名三角函数值，再利用单调性比较．例 3－1(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)(k ∈Z )B ．(2k π－14，2k π＋34)(k ∈Z )C ．(k －14，k ＋34)(k ∈Z )D ．(2k －14，2k ＋34)(k ∈Z )考点：余弦函数的图象与性质．分析：先由图象确定f (x )的解析式，再根据余弦函数的单调区间求解．解析：由题图可知T 2＝54－14＝1， 所以T ＝2，ω＝π，又由题图知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，即π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π4＋2k π，k ∈Z .此时f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，k ∈Z .由2k π<πx＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D. 答案：D点评：本题考查了已知三角函数的图象求解析式，考查了复合函数单调性的求解．复合函数的单调性遵循“同增异减”原则．例 3－2(2014·上海卷)设常数a 使方程sin x ＋3cos x ＝a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________．考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点．在[0，2π]上，当a ＝3时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x 1，x 2，x 3，最后相加即可．解析：sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2sin x ＋π3，方程的解即为直线y ＝a 与三角函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象的交点．如图所示，在[0，2π]上，当a ＝3时，直线与三角函数图象恰有三个交点．令sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝32，则x ＋π3＝2k π＋π3，或x ＋π3＝2k π＋2π3，即x ＝2k π，或x ＝2k π＋π3，∴此时x 1＝0，x 2＝π3，x 3＝2π，∴x 1＋x 2＋x 3＝0＋π3＋2π＝7π3.答案：7π3点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．规律总结三角函数的性质一直是高考命题的热点问题，主要考查三角函数的单调性、最值、奇偶性、周期性、图象对称性以及这些性质的综合运用．变式训练【3－1】 (2014·广州模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称解析：因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .它的对称轴方程可以是：x ＝π2，所以A ，C 错误；函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，所以B 错误，D 正确．答案：D【3－2】 (2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.解析：(1)f (8)＝10－3cos(π12×8)－sin(π12×8)＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×(－12)－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t )＝10－2sin(π12t ＋π3), 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1；当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1.于是f (t )在[0，24)上有最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.考点四 简单的三角恒等变换 考点精析 1．公式系统tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β→tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β→tan 2α＝2tan α1－tan 2α→tan α＝2tan α21－tan 2α2sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β →sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β →sin 2α＝2sin αcos α cos 2α＝cos 2α－sin 2α cos 2α＝1－2sin 2α cos 2α＝2cos 2α－1→sin α＝2sin α2cos α2cos α＝cos 2α2－sin 2α22．两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”．了解公式能够解决的三类基本题型：求值题、化简题、证明题．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．掌握角的变化技巧，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，β＝(α＋β)－α等．将公式和其他知识衔接起来使用，如与三角函数的性质的衔接等．3．公式的熟练与准确，要依靠理解内涵，明确联系，应用练习尝试，不可以机械记忆，因为精通的目的在于应用．例 4－1(2014·雅礼模拟)化简：sin 40°(tan 10°－3)＝________．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．分析：利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式等对函数式化简即可求解．解析：sin 40°(tan 10°－3)＝sin 40°⎝⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－3 ＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝2sin 40°⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 10°－32cos 10°cos 10°＝2sin 40°sin （10°－60°）cos 10°＝－2sin 40°sin 50°cos 10°＝－sin 40°cos 40°cos 10°×2＝－sin 80°cos 10° ＝－1. 答案：－1点评：本题主要考查了三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式的综合应用．例 4－2(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为_________．考点：辅助角公式及三角函数的图象和性质．分析：先运用辅助角公式化简三角函数关系式，将异名函数化为同名函数，再利用三角函数的图象和性质求解ω的值．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4.令ωx ＋π4＝π2，得x ＝π4ω.又因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，因此π4ω≥ω，即ω2≤π4.由y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，有ω2＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，即ω2＝π4＋k π，即k ＝0时满足题意，从而ω＝π2.答案：π2点评：本题综合考查了运用辅助角公式化简三角函数关系，利用三角函数的图象和性质求解字母的取值，属于中档题．规律总结以选择、填空题形式考查本考点的内容经常出现在高考试卷之中，其中化简、求值问题是其热点问题．变式训练【4－1】 (2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．解析：tan β＝tan(α＋β－α)＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3. 答案：3【4－2】 (2014·上海闵行区一模)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B两点，若A 、B 两点的横坐标分别为513、45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为________．解析：∵单位圆半径r ＝1，又A 、B 两点的横坐标分别为513、45，∴y A ＝1213，y B ＝35，∴sin α＝1213，sin β＝35. ∵α和β都是锐角，∴cos α>0，cos β>0，∴cos α＝513，cos β＝45.又∵cos β＝2cos 2β2－1＝45，∴cos β2＝31010，sin β2＝1010，∴tan α＝125，tan β2＝13，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝tan α＋tan β21－tan αtan β2＝125＋131－125×13＝413. 答案：413例 4－3(2015·重庆卷)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．考点：三角恒等变换、图象变换及正弦型函数的周期、最值和值域．分析：先利用降幂公式和辅助角公式将f (x )化为同一个角的三角函数，然后利用公式确定f (x )的最小正周期，利用正弦函数的性质求最值．解析：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知：g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，那么g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.点评：本题主要考查了y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 型函数的图象和性质，图象变换，复合函数值域的求法，整体代入、数形结合的思想方法及基本运算求解能力，属中档题．规律总结以解答题形式考查本考点内容按考查的侧重点可分为两类型：一是考查的重心始终落在简单的三角恒等变换上；二是考查的重心落在三角函数的图象与性质上．变式训练【4－3】 (2014·成都模拟)已知向量a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12，cos x －π12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，函数f (x )＝a ·b －2cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求y ＝g (x )的最大值和最小值．解析：(1)∵f (x )＝a ·b －2cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－2cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－2cos 2x＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6－1－1＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，3－2， ∴g (x )max ＝3－2，g (x )min ＝－72. 例 4－4(2014·山东模拟)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )(ω>0)，函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为2π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的取值范围．考点：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换；平面向量数量积的运算． 分析：(1)由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换，求得f (x )的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，可确定函数的解析式．(2)根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换规律求得g (x )的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的取值范围．解析：(1)f (x )＝a ·b ＝(cos ωx －sin ωx )·(－cos ωx －sin ωx )＋23sin ωx cos ωx ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，再根据f (x )的周期为2π，可得2π2ω＝2π，∴ω＝12，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.(2)将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴g (x )∈[－1，2]．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换规律．规律总结基本上每年高考都有一个解答题是三角函数、平面向量、解三角形的综合问题．这类问题，有时考查的重心落在解三角形与三角函数的综合上；有时考查的重心只落在三角函数上(如例4－4)．解答考查重心落在三角函数的问题基本策略是：先利用简单的三角恒等变换的思想方法对其解析式化简，或先依据三角函数的图象特征确定其解析式，再化简，然后利用基本的三角函数性质分析解决有关问题．因此我们必须熟练掌握基本的三角恒等变换思想方法．变式训练【4－4】 (2015·湖北襄阳五中质检)已知向量m ＝(sin 2x ，－1)，向量n ＝(3cos 2x ，－0.5)，函数f (x )＝(m ＋n )·m.(1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝13，c ＝2，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值，求A 和b .解析：(1)f (x )＝(m ＋n )·m＝sin 22x ＋1＋3sin 2x cos 2x ＋12 ＝1－cos 4x 2＋1＋32sin 4x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋2，∴T ＝2π4＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，－π6≤4x －π6≤5π6，∴当4x －π6＝π2时f (x )取得最大值3，此时x ＝π6.∴由f (A )＝3得A ＝π6.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(13)2＝b 2＋22－2×2b cos π6，∴b ＝3 3.(见学生用书P 34)例设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．考场错解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1，∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ， 又－π<φ<0，∴φ＝－34π.(2)由(1)知φ＝－34π，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －34π.∵最小正周期为T ＝2π2＝π，由题意得k π－π2≤2x －3π4≤k π＋π2，k ∈Z ，解得12k π＋π8≤x ≤12k π＋58π，k ∈Z .所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －34π的单调递增区间为 12k π＋π8，12k π＋58π，k ∈Z . (3)略．专家把脉：以上解答错在第(2)小题求函数单调区间时，令2x －34π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π2处，因若把2x －3π4看成一个整体u ，则y ＝sin u 的周期为2π.故应令2x －3π4∈2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，解得的x 的范围才是原函数的递增区间．对症下药：(1)(方法1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ， ∵－π<φ<0，φ＝－34π.(方法2)∵x ＝π8是y ＝f (x )图象的对称轴，∴对任意的x 有f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .令x ＝0时，有f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即sin φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ，即tan φ＝1.又φ∈(－π，0)，∴φ＝－34π.(2)由(1)得φ＝－34π，因此，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －34π.由题意令2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －34π的单调递增区间为k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z .(3)由y ＝sin ⎛⎪⎫2x －3π知专家会诊：利用三角函数图象研究三角函数性质(周期性、单调性、最值)，应以基本的三角函数图象y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 为基础，在研究单调性要注意复合函数如y ＝1－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，y ＝log sin2x ＋π4的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把x ＋π6，π6－2x ，2x ＋π4看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题．y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝sin x 图象间的关系：由y ＝sin x 图象可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平移，要注意顺序不同，平移单位也不同．一般地，y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移a 个单位得到y ＝A sin[ω(x ＋a )＋φ]的图象，再把其上所有点的横坐标变为原来的1w 1，即得到y ＝A sin(ωw 1x ＋ωa ＋φ)的图象．(见学生用书P 125)一、选择题 1．(2015·武汉模拟)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.5π3 C.11π6 D.2π3解析：因为sin 5π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在第四象限． 又因为tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝tan 5π3，所以角α的最小正值为5π3.故选B. 答案：B2．(2015·山东卷)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：y ＝sin 4x 向右平移π12个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.答案：B 3．(2014·河南卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：∵函数①y ＝cos |2x |的最小正周期为2π2＝π；②y ＝|cos x |的最小正周期为12·2π1＝π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为2π2＝π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2.答案：A4．(2014·长沙模拟)已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2] 解析：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.答案：A5．(2014·邯郸一模)若α∈(0，π)，且2cos 2α＝sin α＋π4，则sin 2α的值为( )A ．－1或78 B.78C ．－1D ．1或－78解析：∵α∈(0，π)，且2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，∴2(cos 2α－sin 2α)＝22(sin α＋cos α)，∴cos α－sin α＝24，或cos α＋sin α＝0.当cos α－sin α＝24，则有1－sin 2α＝18，sin 2α＝78；当cos α＋sin α＝0时，α＝3π4，sin 2α＝－1. 答案：A 6．(2015·福建模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (x )的解析式及S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin 2πx ＋1，S ＝2 015B ．f (x )＝12sin 2πx ＋1，S ＝2 01512C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2 016D ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2 01612解析：由题意知，A ＝1.5－0.52＝12，b ＝1.5＋0.52＝1.因为函数f (x )的周期是4，所以ω＝π2.由五点作图法知，π2×0＋φ＝0，所以φ＝0，故函数的解析式为f (x )＝12sin π2x ＋1. 因为f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝4，所以S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015) ＝504×4＝2 016. 答案：C 二、填空题7．(2015·黄石质检)已知tan α＝2，则sin （π＋α）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos （π－α）的值为________． 解析：sin （π＋α）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos （π－α）＝－sin α－cos αsin α－cos α＝－tan α－1tan α－1＝－2－12－1＝－3. 答案：－38．(2015·黄冈模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为__________．解析：∵ α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴ tan α>0，∴ sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤22tan α·4tan α＝12(当且仅当tan α＝2时，取“＝”)．答案：129．(2014·长郡模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin 2αsin 2β的值是________．解析：∵tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12， (α＋β)＋(α－β)＝2α，(α＋β)－(α－β)＝2β， ∴sin 2αsin 2β＝sin[（α＋β）＋（α－β）]sin[（α＋β）－（α－β）]＝sin （α＋β）cos （α－β）＋cos （α＋β）sin （α－β）sin （α＋β）cos （α－β）－cos （α＋β）sin （α－β）＝tan （α＋β）＋tan （α－β）tan （α＋β）－tan （α－β）＝－1＋12－1－12＝13. 答案：13 10．(2014·武汉模拟)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1)m ＝______；(2)当f (x )在[a ，b ]上至少含有20个零点时，b －a 的最小值为________．解析：(1)f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋m ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋1＋m＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴当2x ＋π6＝π2，函数f (x )最大为2＋m ＋1＝3， ∴m ＝0.(2)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴T ＝2π2＝π，A ＝2，函数的最大值是3、最小值是－1.∵函数初相＝π3，∴在每个完整周期内，有2个0点． ∵在[a ，b ]上至少含有20个零点， ∴202＝10，即在[a ，b ]至多含有10个周期，可保证有20个零点．∴b －a 的最小值是10π－2π3＝28π3.答案：0 28π3 三、解答题11．(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. 解析：(1)∵函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32，∴A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A ·32＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)可得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝23sin π4cos θ＝6cos θ＝32，∴cos θ＝64，再由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，可得sin θ＝104.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4 ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.12．已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．解析：(1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由f (x )的最大值为6，A >0，知A ＝6.(2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]．13．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.14．(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解析：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 因此，g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z . 即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0.。
[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书题型精讲
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题型精讲第一讲 选择题的解法(见学生用书P 100)高考数学选择题主要考查考生对基础知识的理解程度、基本技能的熟练程度以及基本运算的准确程度等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查考生灵活应用基础知识解决数学问题的能力．选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．解答选择题的常用方法主要是直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．总的来说，选择题属于小题，解题的常用原则是：小题巧解．方法一 直接法方法点拨直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例 1－1(2014·北京模拟)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：依题意作出相应图形如图．∵F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，∴||F 2F 1＝2c .∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴∠PF 2D ＝60°.∵P 为直线x ＝3a 2上一点，∴||F 2D ＝||OD －||OF 2＝32a －c .∴||PF 2＝||F 2D cos 60°＝2⎝⎛⎭⎪⎫32a －c . 又∵||F 2F 1＝||PF 2，即2c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c . ∴e ＝c a ＝34.故选C.答案：C点评：直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．变式训练【1－1】 (2015·黄冈模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．1B ．2 3C ．3 2D ．3解析：∵cos A ＝13，∴sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，∴bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，∴c ＝3b ，∴b ＝1，c ＝3.答案：A【1－2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12解析：S 8＝8a 1＋12×8×(8－1)d ＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6，由S 8＝4S 4，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋9＝192.答案：B方法二 排除法方法点拨在解答某些选择题时，可以根据选项的特征，通过灵活赋值，利用一些特殊的对象，如数、点等代入选项进行验证，根据选择题的特征——只有一个选项符合题目要求这一信息，可以间接地得到符合题目要求的选项．例 2－1(2015·黄冈模拟)函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0 B ．[－1，0] C ．[－2，－1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 解析：令sin x ＝0，cos x ＝1，则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ； 令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B. 答案：B变式训练【2－1】 (2015·浙江卷)设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t .( )A ．若t 确定，则b 2唯一确定B ．若t 确定，则a 2＋2a 唯一确定C ．若t 确定，则sin b 2唯一确定D ．若t 确定，则a 2＋a 唯一确定解析：利用排除法进行分析，若t 确定，则|sin b |随之确定，但由正弦函数周期性可知b 不确定，故A ，C 错，由t ＝|a ＋1|，得t 2－1＝a 2＋2a ，若t 确定，则t 2－1确定，所以a 2＋2a 确定，故B 正确，D 错误，故选B.答案：B方法三 特例法方法点拨特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例 3－1(2014·长沙模拟)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A ．130B ．170C ．210D ．260解析：取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210，选C.答案：C例 3－2(2015·浙江卷)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )A ．f (sin 2x )＝sin xB ．f (sin 2x )＝x 2＋xC ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：取x ＝0，π2，可得f (0)＝0，f (0)＝1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，f (0)＝π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2，f (2)＝0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R ，都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，所以选项D 正确．综上，本题选D.答案：D变式训练【3－1】 (2015·黄冈模拟)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作直线交抛物于A 、B 两点，若AF 与FB 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q ＝( )A ．2a B.12aC ．4a D.4a解析：每一个选项都是一个确定的常数，取一个方便计算的特殊位置，由此计算出的目标值必然与错误选项不同，由此排除错误选项．考虑AB 过焦点且与抛物线对称轴垂直，则AB 是抛物线的通径．AF＝FB ＝12a ，此时1p ＋1q ＝4a ，排除A 、B 、D ，选C.答案：C方法四 图解法方法点拨在解答选择题的过程中，可先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质、综合图象的特征等，得出结论，习惯上也叫数形结合法．例 4－1(2014·河北模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，0，x ＝0，则关于x的方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( )A ．b <－2且c >0B ．b >－2且c <0C ．b <－2且c ＝0D ．b ≥－2且c ＝0解析：设t ＝f (x )，则方程化为关于t 的一元二次方程t 2＋bt ＋c ＝0，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图象如图所示，显然，当⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝t >2时， 有4个不同的x 的值与同一个t (t >2)对应，而当f (x )＝0时，只有x ＝0，所以要使原方程有5个不同实数解，应使方程t2＋bt＋c＝0有一个零根和一个大于2的根，故b<－2且c＝0，故所求充要条件为b<－2且c＝0.答案：C点评：图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．变式训练【4－1】(2015·武汉模拟)若a＝(1，3)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(1，2)C．(1，3) D．[1，3]解析：(方法1)当a，b共线时，|b|＝1或3，当a，b不共线，a，b，a－b必构成一个三角形，如图．而|a|＝2，|a－b|＝1，∴2－1<|b|<2＋1，∴1<|b|<3.∴1≤|b|≤3，故选D.(方法2)(利用向量模的几何意义)如图所示．→.设b＝(x，y)，则a－b＝(1－x，3－y)，且a＝OA∵|a－b|＝1，∴(1－x)2＋(3－y)2＝1，即(x－1)2＋(y－3)2＝1.又|b|＝x2＋y2，∴|b|的取值范围即为圆(x－1)2＋(y－3)2＝1上的点到原点距离的最大值和最小值之间的值．∴|b|max＝12＋（3）2＋1＝3，|b|min＝12＋（3）2－1＝1.∴1≤|b|≤3，故选D.→的端点A在以(方法3)如图所示，因为a＝(1，3)，所以a＝OA原点为圆心，2为半径的圆上，因为|a －b |＝1，所以a －b ＝OB →的端点B 在单位圆上，b ＝a －OB→＝OA→－OB →＝BA →.由图可知1≤|b |≤3. 综上可知，选D.答案：D方法五 推理分析法方法点拨推理分析法是通过逻辑推断过程，分析四个选项之间的逻辑关系，从而否定干扰项，肯定正确选项的方法．使用该方法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确．例 5－1(2014·长沙模拟)若某函数同时具有性质：(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．则该函数可能是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：A 选项中，函数的周期为T ＝2π12＝4π，不满足题意，排除；因为图象的对称轴对应着函数的最大值或最小值，而C 选项中，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝cos π2＝0，对应的不是最值，排除；B 选项中，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝cos 0＝1，cos 2×π3＋π3＝cos π＝－1，显然函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，排除．故只有D 选项满足条件． 答案：D点评：应用此法需对题中条件进行分析，作出推断，排除干扰项，筛选出唯一正确的答案．变式训练【5－1】 设x 、y 是两个异号实数，则必有( )A ．|x －y |<|x |－|y |B ．|x －y |<|x |＋|y |C ．|x ＋y |≥|x －y |D ．|x ＋y |<|x －y |解析：选C 、D 是相互对立的，其中必有一选项正确，取x ＝1，y ＝－1，排除C ，选D.答案：D方法六 估算法方法点拨由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例 6－1(2015·武汉模拟)设a 、b 、c 均为正数，且2a ＝log 0.5a ，0.5b ＝log 0.5b ，0.5c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：选项均是对三个正实数根a 、b 、c 的排序，其中a 、b 、c 是三个不同方程的实根，但三个方程都无法准确求其根，考虑通过方程估算其根所在大致范围，通过恰当的范围来对a 、b 、c 排序．a >0，则log 0.5a ＝2a >1＝log 0.50.5，a ∈(0，0.5)；b >0⇒0<0.5b <1，log 0.5b ＝0.5b ∈(0，1)，则b ∈(0.5，1)；c >0，则log 2c ＝0.5c ∈(0，1)，c ∈(1，2)．由a 、b 、c 所在范围知a <b <c ，排除B 、C 、D ，选A.答案：A变式训练【6－1】 (2014·大连模拟)已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A.169πB.83π C ．4π D.649π解析：∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π.答案：D1．选择题设置特点精巧易错近年来，高考选择题减少了繁琐的运算，着重考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，考查学生观察、分析、比较、选择简便运算方法的能力，试题具有设置精巧、运算量不大、试题破解时易错的特点，着重考查学生的解题能力．2．选择题的解题策略灵活多变选择题的解题策略需要因题而变，对于容易题和大部分的中等难度的题，可采取直接法；与几何图形有关的题，尽可能先画出图形，用数形结合的方法或者几何法；难度较大或一时找不到思路的题，常使用一些技巧，采用非常规方法的同时注意多用图，能不算则不要算；实在不会的，猜一下，不要留空．温馨提示：小题小做，小题巧做，切忌小题大做．3．选择题的破解技巧多样简洁选择题的解题方法较多，解答选择题的首要标准是准确，其次要求是快速，力求做到又准又快．解数学选择题有两类基本技巧：一是直接法；二是间接法．直接法：指充分利用题干和选项两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略；间接法：解选择题时通过注意到通常各类常规题的解题思想来指导选择题的解答，或根据选择题的特殊性，寻找存在着若干异于常规题的特殊解法．一般在解选择题时应先考虑除直接法外的其他方法，充分利用题干和选项两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略．第二讲填空题的解法(见学生用书P104)1．数学填空题的特点填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上．但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题．填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为熟知的题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的地、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力．要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．2．数学填空题的类型根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等．由于填空题和选择题相比，缺少选择的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现．二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等．近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题．3．解数学填空题的原则解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．方法一 直接法方法点拨直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例 1－1(2015·黄冈模拟)已知△ABC 的周长为6，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 面积的最大值为________．解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12(a ＝c 时取等号)．∴B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3. 又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2⇒b ∈(0，2]．∴S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝ 3. 答案： 3点评：直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．变式训练【1－1】 (2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．解析：∵a n ＋1＝S n S n ＋1，且a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，∴1S n－1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1. 又1S 1＝1a 1＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列， ∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n . ∴S n ＝－1n .答案：－1n方法二 特例法方法点拨一个结论在一般情形下成立，在特殊情形下必然成立，填空题只要结果，不要过程，所以可将填空题中的一般情形特殊化再求解，这种解填空题的方法，叫做特殊化法．凡在一般情形下探求结论的填空题，都可用特殊化法进行求解，即取特殊值、特殊位置、特殊图形、特殊函数、特殊数列等进行求解．例 2－1 (2014·长沙模拟)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP→＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.解析：由题意可知，1λ＋1μ的值是定值，与点P 、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.答案：2点评：(1)当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以直接赋予参数一个特殊的数值(或函数、角、数列等)，代入计算即可得到结论．(2)求值或比较大小关系等问题均可利用特殊值法求解，但要注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．变式训练【2－1】 (2015·黄冈模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：△ABC 为等边三角形时满足条件，则S △ABC ＝332. 答案：332【2－2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A ·cos C＝________． 解析：令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子得：cos A ＋cos C 1＋cos A ·cos C ＝45＋01＋45×0＝45. 答案：45方法三 数形结合法方法点拨对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多．例 3－1(2014·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．解析：如图，作出图象可知y ＝f (x )与y ＝|lgx |的图象共有10个交点．答案：10点评：图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．变式训练【3－1】 (2015·浙江卷)已知实数x 、y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．解析：∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y .令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x .联立⎩⎨⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45， ∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15. 答案：15方法四 构造法方法点拨构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决．它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例 4－1(2014·杭州模拟)如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：6π点评：构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．变式训练【4－1】 (2015·黄冈模拟)a ＝ln 12 012－12 012，b ＝ln 12 013－12 013，c ＝ln 12 014－12 014，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .当0<x <1时，f ′(x )>0， 即函数f (x )在(0，1)上是增函数．∵1>12 012>12 013>12 014>0，∴a >b >c .答案：a >b >c方法五 估算法方法点拨所谓估算法，就是一种粗略的计算方法，即对有关数值进行扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法．例 5－1(2014·广州模拟)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的取值范围为________．解析：令a ＝b ，则已知等式可化为a 2＝2a ＋8，解得a＝－2(舍去)或a＝4，此时ab＝16；而当a＝2时，b＝10，此时ab＝20>16，所以ab的取值范围为[16，＋∞)．答案：[16，＋∞)点评：估算需要根据已知条件和所求的问题进行灵活处理，该题主要利用了已知等式中a与b互换后等式不变的特征，所以猜测a＝b 时取得最值，若a与b互换后已知等式发生变化，则不能利用a＝b 求最值，必须结合等式的特征灵活处理．有些计算型填空题，不必经过繁杂的计算，只需大体估算一下，便可快速准确地得到答案．变式训练【5－1】(2014·长沙模拟)已知x，y∈(0，＋∞)，且xy＝x＋y＋8，则x＋y的取值范围是________．解析：令x＝y，则已知等式可化为x2＝2x＋8，解得x＝－2(舍去)或x＝4，此时x＋y＝8，而当x＝2，y＝10时，x＋y＝12>8，所以x＋y≥8，即x＋y的取值范围为[8，＋∞)．答案：[8，＋∞)方法六归纳推理法方法点拨做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例6－1(2014·南昌模拟)已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2 013(x)＝________.解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，…由此归纳，知f n(x)的解析式的周期为4，即f n(x)＝f n＋4(x)．所以f2 013(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x.答案：sin x＋cos x点评：这类问题是近几年高考的热点．解决这类问题的关键是找准归纳对象．如本题把函数的前几个解析式一一列举出来．观察前面列出的解析式的规律，归纳猜想一般结论或周期，从而求得解析式．变式训练【6－1】(2014·珠海模拟)观察下列算式，猜测由此提供的一般性法则，用适当的数学式子表示它．1＝1，3＋5＝8，7＋9＋11＝27，13＋15＋17＋19＝64，21＋23＋25＋27＋29＝125，设这些式子的第n个为a1＋a2＋…＋a n＝b n，则(a1，a n)＝________，b n＝________.解析：观察每一个式子的首项分别为1、3、7、13、21…均为奇数，对它们都减去1，则为0，2，6，12，20，…，即为12－1，22－2，32－3，42－4，52－5，…所以归纳为n2－n＋1.同理末项归纳为n2＋n－1.观察等式右边可得b n＝n3.答案：(n2－n＋1，n2＋n－1)n31．填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力．填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．2．填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力．近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了．3．填空题不同于选择题，由于没有非正确的选项干扰，因而不必担心“上当受骗”而误入歧途．但填空题最容易犯的错误，要么答案不当，要么答案不全．选择填空题专练(一)(见学生用书P149)一、选择题1．已知集合a ＝{x |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<x <5}，则A ∩B ＝( )A ．{x |0<x <5}B ．{x |－1<x <5}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |0<x ≤4}解析：因为A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |0<x <5}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤4}．故选D.答案：D2．给出下列两个命题，命题p 1：y ＝ln(1－x )(1＋x )为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x 1＋x是奇函数，则下列命题是假命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(綈p 2)C ．p 1∨p 2D ．p 1∧(綈p 2)解析：由偶函数的定义易知命题p 1为真命题，对于命题p 2，由于f (x )＋f (－x )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1＋x 1－x＝ln 1＝0， 即－f (x )＝f (－x )，故函数在其定义域内为奇函数，因此命题p 2为真命题，则p 1∧(綈p 2)为假命题．答案：D3．命题p ：若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 且q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：∵当a·b>0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＝0，－x ＋2，x >0， 综上可知，“p 或q ”是假命题．答案：B4．“θ＝π2”是“曲线f (x )＝sin(3x －θ)的图象关于y 轴对称”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：当θ＝π2时，有f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π2＝－cos 3x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称；f (x )＝sin(3x －θ)的图象关于y 轴对称，即该函数为偶函数，故得θ＝（2k ＋1）π2，(k ∈Z )，故“θ＝π2”是“θ＝π2”是“曲线f (x )＝sin(3x －θ)的图象关于y 轴对称”的充分不必要条件．答案：B5．对具有线性相关关系的变量x 、y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i＝1，2，…，8)，其回归直线方程为y ^＝16x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝3(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6＋y 7＋y 8)＝6，则实数a 的值为( )A.116B.18C.14D.1116解析：由题中数据得——,x ) ＝34，y －＝14，由回归直线过点(——,x ) ，y －)，得14＝16×34＋a ，解得a ＝18.故选B.答案：B6．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图，则f (x )在[－2，1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．3解析：由函数f (x )的导函数f ′(x )的图象可知，函数f (x )为二次函数，且其图象的对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )的图象过点(－1，0)与点(0，2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ×（－1）＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ， 则f (x )在[－2，1]上的最小值为f (－1)＝－1.答案：A7．平面上满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤0，x －y －10≤0的点(x ，y )构成的区域为D ，区域D 关于直线y ＝2x 对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为( ) A.655 B.1255 C.835 D.1655解析：三条直线的交点为A (2，－2)、B (2，－8)、C (5，－5)，区域D 为△ABC ，A (2，－2)到直线y ＝2x 的距离最小，为|2×2－1×（－2）|5＝655.区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为2×655＝1255.故选B.答案：B8．已知g (x )为三次函数f (x )＝a 3x 3＋ax 2＋cx 的导函数，则它们的图象可能是( )解析：由题意知g (x )＝f ′(x )＝ax 2＋2ax ＋c ＝a (x ＋1)2＋c －a ，则g (x )的图象关于直线x ＝－1对称，排除B 、C ；对选项A ，由g (x )的图象知x ＝0是f (x )的极小值点，与f (x )的图象不相符，所以只有D 项的图象是可能的．答案：D9．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x ＋2)<f (x )的x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－2，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1，2)解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．又∵f (x ＋2)<f (x )，∴f (x ＋2)<f (|x |)，∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＋2<|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x ＋2≥0，解得－2≤x <－1或x >2.答案：C10．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图示可得，函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有4个．答案：B11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱体与半个球体的底面互相合在一起组合而成的，其表面积πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2.答案：B12．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：将y ＝2x ＋a 两边取对数得x ＝log 2y －a ， 因为两函数的图象关于y ＝－x 对称， 所以－y ＝log 2(－x )－a ， 所以f (x )＝a －log 2(－x )， 由f (－2)＋f (－4)＝1，知a －log 22＋a －log 24＝1， 所以a ＝2. 答案：C 二、填空题 13．执行如图所示的程序框图，若输入m ＝6，则输出n ＝________.解析：第一次循环：n ＝6÷3＋1＝3，|6－3|＝3>1； 执行第二次循环：m ＝3，n ＝3÷3＋1＝2，|3－2|＝1；执行第三次循环：m ＝2，n ＝23＋1＝53，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－53＝13<1，跳出循环，故n ＝53.答案：5314．在△ABC 中，已知BM →＝NC →＝13BC →，|BC →|＝3，AM→·AN →＝6，则AB→·AC →的值为________． 解析：由BM →＝NC →＝13BC →知 M 、N 是BC 的三等分点， 设BC 的中点为O ， 由AM→·AN →＝6， 即(AO →＋OM →)·(AO→＋ON →)＝|AO →|2－|OM →|2＝6，因为|BC →|＝3，所以|OM →|2＝14， 由此可得|AO →|2＝254， 而AB→·AC →＝|AO →|2－|OB →|2， 由已知|OB →|2＝94，所以|AO →|2－|OB →|2＝254－94＝4. 答案：415．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x－ax ，若函数f (x )在R 上有且只有4个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )是定义在R 上的偶函数得其图象关于y 轴对称，所以函数f (x )在R 上有且只有4个零点等价于函数f (x )＝e x －ax 在(0，＋∞)内有且只有2个零点，即函数y ＝e xx (x >0)与y ＝a 的图象有且仅有两个交点．∵y ′＝e x （x －1）x 2， ∴当x ∈(0，1)时，y ′<0， 当x ∈(1，＋∞)时，y ′>0， 且当x ＝1时，y ＝e ，所以当a >e 时，函数y ＝e xx (x >0)与y ＝a 的图象有且仅有两个交点．故a 的取值范围是(e ，＋∞)．答案：(e ，＋∞) 16．已知函数y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1的零点为a n ，b n (n ∈N *)，设c n ＝|a n －b n |，则数列{c n }的前2 016项的和为________．解析：令(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0，则a n ＋b n ＝2n ＋1n 2＋n ，a n ·b n ＝1n 2＋n，所以c n ＝|a n －b n |＝（a n ＋b n ）2－4a n b n＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1， 故数列{c n }的前2 016项的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016－12 017。
2016年北京东城高三二模数学(理科)试题及答案解析(word版)
北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (理科)一、单选题（共8小题）1．集合，，则=（）A．B．C．D．2．已知命题p：x∈R有sinx1，则﹁p为（）A．B．C．D．3．如图，为正三角形，，底面，若，，则多面体在平面上的投影的面积为（）A．B．C．D．4．若向量，，满足条件与共线，则的值（）A．B．C．D．5．成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．6．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品。
根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%。
若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元7．已知函数则的值为（）A ．B．4C．D．8．集合，若，已知，定义集合中元素间的运算，称为运算，此运算满足以下运算规律：①任意有②任意有(其中)③任意，有④任意有，且成立的充分必要条件是为向量．如果，那么下列运算属于正确运算的是（）A．B．C．D．9.设是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数的取值范围为___．10.设变量x，y满足约束条件,则目标函数的最大值为______11.已知直线与直线相交于点，又点，则______12.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于范围内的频率为_____；这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是______．13.若点和点分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为___．14.已知函数，关于此函数的说法正确的序号是__．①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④．15.已知函数()，且函数的最小正周期为．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．16.如图，是等腰直角三角形，，分别为的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当四棱锥体积取最大值时，(i)若为中点，求异面直线与所成角；(ii)在中交于，求二面角的余弦值．17.在2015-2016赛季联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，表示投篮次数，表示命中次数）,假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息:（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0．5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0．5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0．5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．18.已知，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：对于，恒成立；（Ⅲ）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围．19.已知椭圆过点(，)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设是椭圆上的动点，是轴上的定点，求的最小值及取最小值时点的坐标．20.数列中，定义：，．（Ⅰ）若，，求；(Ⅱ)若，，求证此数列满足；（Ⅲ）若，且数列的周期为4，即，写出所有符合条件的．北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二)数学 (理科)答案1.考点：集合的运算试题解析：故答案为：B答案：B2.考点：全称量词与存在性量词试题解析：因为特称命题的否定为全称命题，所以﹁p为：。
【全国市级联考】河南省洛阳市2016届高三第三次模拟考试理数试题解析(解析版)
河南省洛阳市2016届高三毕业班三练理数试题 （理A ）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数(1)(1)z i ai =+-是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．1± 【答案】A考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2.下列命题正确的个数为（ ）（1）命题“2000,||0x R x x ∃∈+<”的否定是“2,||0x R x x ∀∈+≥”； （2）若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件； （3）a b >是33()()44a b >的充分不必要条件. A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】试题分析：命题“2000,||0x R x x ∃∈+<”的否定是“2,||0x R x x ∀∈+≥” ，（1）正确；若p 是q 的必要条件，则q ⌝是p ⌝的必要条件，即p ⌝是q ⌝的充分条件，（2）正确；a b >⇔33()()44ab<，所以a b >是33()()44a b >的既不充分也不必要条件，（3）错误.选B. 考点：命题真假判定【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 3.执行如图所示的程序框图，输出的S 是下列哪个式子的值（ ）A ．11112310S =++++ B ．111124620S =++++C ．11112311S =++++D ．111124622S =++++【答案】B考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.若{}n a 是由正数组成的等比数列，其前n 项和为n S ，已知241a a =且37S =，则5S =（ ） A ．172 B ．334 C ．314 D ．152【答案】C考点：等比数列求和5.已知实数,x y 满足约束条件2000x y x y y x k -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，若3z x y =+的最小值为4，则实数k =（ ）A ．2B ．1C ．125D ．45【答案】C 【解析】试题分析：可行域三直线三交点为2(0,0),(,),(,)2233k kk kA B C ，因此直线3z x y =+过点C 时取最小值，即21243335k k k =⨯+⇒=，选C. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 6.函数||()32ln2x f x x =-的图象可能是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：440,()303x f x x x '>=-=⇒=时，所以44,()0,0,()0,33x f x x f x ''>><<<时时又40,()30,x f x x'<=->时因此选B. 考点：利用导数研究函数单调性【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 7.牡丹花会期间，5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务，其中甲博物馆分配1人，另两个博物馆各分配2人，则不同的分配方法共有（ ） A ．15种 B ．30种 C ．90种 D ．180种 【答案】B考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 8.已知,A B 为抛物线24y x =上异于原点的两个点，O 为坐标原点，直线AB 斜率为2，则ABO ∆重心的纵坐标为（ ） A ．2 B ．43 C ．23D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：设221212(,),(,)44y y A y B y ，则121222122244y y y y y y -=⇒+=-，因此ABO ∆重心的纵坐标为120233y y ++=，选C. 考点：直线与抛物线位置关系9.已知函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为23π B ．函数()f x 的图象可由()cos()g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到C ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间(,)42ππ上单调递增【答案】D考点：三角函数性质【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z)；10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．2 B ．6 C ．43 D ．83【答案】A考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11.已知点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，若2221212PF PF a -=，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(2,4]C ．(2,3]D ．(1,3] 【答案】D 【解析】试题分析：因为12||||2PF PF a -=，所以1212||||6,||4,||2PF PF a PF a PF a +===，又2||PF a c ≥-，所以213a a c e ≥-⇒<≤，选D.考点：双曲线定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12.已知'()f x 为函数()f x 的导函数，且2'11()(0)(1)2x f x x f x f e -=-+，若21()()2g x f x x x =-+，则方程2()0x g x x a--=有且仅有一个根时a 的取值范围是（ ）A ．(,0){1}-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1]D ．[1,)+∞ 【答案】A考点：函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.采用随机模拟实验估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：由计算机产生随机数0或1，其中1表示正面朝上，0表示反面朝上，每三个随机数作为一组，代表抛掷三次的结果，已知随机模拟实验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 100 001 101 111 110 000 011 001 010 100 000 101 101 010 011 001由此估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率是 . 【答案】0.4考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 14.已知(cos ,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -= .【解析】试题分析：由题意得5521||1||1=cos cos +sin sin =cos 666632a b a b πππππ==⋅=-，，，所以||11a b -=+-=考点：向量的模15.已知函数22,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，则((1))f g -= .【答案】-15 【解析】试题分析：((1))((1))(3)(3)15.f g f f f f -=-=-=-=- 考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 16.已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n ++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 . 【答案】[9,)-+∞考点：数列通项，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3ABC S ∆=，06AB AC ≤∙≤，函数2()2sin ()24f πθθθ=+.（1）求角A 的取值范围； （2）求()f A 的值域. 【答案】（1）[,]42A ππ∈（2）()[2,3]f A ∈试题解析：（1）∵3ABC S ∆=，1sin 32bc A =. ① ∵06AB AC ≤∙≤，∴0cos 6bc A ≤≤，② 由①②可得：cos 01sin A A ≤≤，即tan 1A ≥，∴[,]42A ππ∈. （2）2()2sin ()21cos(2)242f A A A A A ππ=+-=-+1sin 2212sin(2)3A A A π=+=+-.∵[,]42A ππ∈，∴22[,]363A πππ-∈. ∴1sin(2)[,1]32A π-∈，∴()[2,3]f A ∈.考点：向量数量积，三角形面积公式，二倍角公式、诱导公式、配角公式【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的 “数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 18.（本小题满分12分）今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天.（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2）假如明天庙会5天中每天下雨的概率为25，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0. 6，则称为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗?【答案】（1）59（2）575（3）值得投资试题解析：（1）由已知得如下茎叶图，中位数为5860592+=.（2）设明年庙会期间下雨天数为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且X～2 (5,)5 B，∴2()525E X=⨯=，所以估计明年庙会期间，可能有2天下雨，3天不下雨，据此推测庙会期间该摊点能售出的玩具件数为10021253575⨯+⨯=.考点：茎叶图，中位数，二项分布及其应用 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD SD ==，侧面SAB 为等边三角形.（1）证明: AB SD ⊥；（2）求二面角A SB C --的正弦值.【答案】（1）详见解析（2 【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，而线面垂直的证明又往往利用线面垂直的判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用线面垂直性质定理转化为线线垂直，另一是结合平几条件，如本题利用等边三角形底边中线性质得取AB 的中点E ，AB SE ⊥，及矩形性质得BE DE AB DE ⊥⇒⊥（2）利用空间向量求二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系得结果试题解析：（1）取AB 的中点E ，连接DE ，则四边形BCDE 为矩形， ∴BE DE ⊥，∵SAB ∆为等边三角形，∴AB SE ⊥. ∵SEDE E =，∴AB ⊥平面SED ，SD ⊂平面SED ，AB SD ⊥.设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =.∵1(,1,2SC =-，(2,0,0)BC =-，∴20102n SC x n BC x y z ⎧∙=-=⎪⎨∙=-+-=⎪⎩，∴0x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩. 取1z =，则3(0,,1)n =， 设二面角A SB C --为θ，则32|cos |||||||7DS n DS n θ∙===∴sin θ=考点：线面垂直性质与判定定理，利用空间向量求二面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 20.（本小题满分12分）已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ∙=.（1）求||||AM BM +的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由.【答案】（1）||||42AM BM +=22:184x y C +=（2）存在圆2283x y +=试题解析：（1）设||AM m =，||BM n =， ∵||4AB =且24||||cos AM BM θ∙=，∴2cos 4mn θ=， 在ABM ∆中，由余弦定理得22242cos 2m n mn θ+-=222(2cos 1)4cos 2mn mn mn θθ=-=-，∵22224cos 1632m n mn mn θ++=+=，∴m n +=，即||||42AM BM += 又||||||AM BM AB +>，所以M 的轨迹是椭圆，且2a c ==，∴24b =，∴22:184x y C +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，将:l y kx m =+代入22:184x y C +=得222(12)4280k x kmx m +++-=，∵0∆>，∴22840k m -+>，且122412km x x k +=-+，21222812m x x k-=+， 22221212121228()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+. ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，即2222228801212m m kk k --+=++，∴22388m k -=，由23808m -≥和22840k m -+>，得283m >即可， 因为l 与圆222x y r +=相切，∴222||813m r k ==+， 存在圆2283x y +=符合题意. 考点：椭圆定义，直线与椭圆位置关系，直线与圆相切【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.（本小题满分12分）已知函数()2(,0)kxf x e x k R k =-∈≠.（1）若对任意的x R ∈，都有()1f x ≥，求k 的值；（2）对于函数()f x 的单调递增区间内的任意实数123,,x x x （123x x x <<），证明：'322122132()()()()()f x f x f x f x f x x x x x --<<--. 【答案】（1）2k =（2）详见解析试题解析：（1）()f x 的定义域为R ，'()2kx f x ke =-， 当0k <时，'()0f x <恒成立，()f x 在R 上单调递减， 当0x >时，()(0)1f x f <=，不合题意. 当0k >时，由'()0f x <，得12ln x k k<， ∴()f x 在12(,ln )k k-∞上单调递减， 由'()0f x >，得12ln x k k >，∴()f x 在12(ln ,)k k +∞上单调递增.∴min 12222()(ln )ln f x f k k k k k==-，只需222ln 1k k k-≥成立. 令()ln (0)g x x x x x =->，则'()1ln 1ln g x x x =--=-， ∴()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)1g x g ≤=，当且仅当1x =时，()g x 取得最大值1， 所以21,2k k==.同理可证：'32232()()()f x f x f x x x -<-，∴'322122132()()()()()f x f x f x f x f x x x x x --<<--.考点：利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数证明不等式【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 与圆O 相切于点B ，CD 为圆O 上两点，延长AD 交圆O 于点E ，//BF CD 且交ED 于点F . （1）证明：BCE ∆∽FDB ∆；（2）若BE 为圆O 的直径，EBF CBD ∠=∠，2BF =，求AD ED ∙.【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）因为//BF CD ，所以EDC BFD ∠=∠， 又EBC EDC ∠=∠，所以EBC BFD ∠=∠， 又BCE BDF ∠=∠，所以BCE ∆∽FDB ∆.（2）因为EBF CBD ∠=∠，所以EBC FBD ∠=∠， 由（1）得EBC BFD ∠=∠，所以FBD BFD ∠=∠， 又因为BE 为圆O 的直径，所以FDB ∆为等腰直角三角形，BD == 因为AB 与圆O 相切于点B ，所以EB AB ⊥，即22AD ED BD ∙==. 考点：三角形相似，射影定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换''12x xy y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求222x y -+的最小值，并求相应点M 的坐标.【答案】（120y -=，224x y +=（2）当M或(1,M -时，222x y +的最小值为1. 【解析】试题分析：（1）由222x y ρ=+将极坐标方程化为直角坐标方程224x y +=，利用代入消元法将直线参数20y -+=（2）根据伸缩变换得'C 的直角坐标方程为2214x y +=.利用椭圆参数方程求最值：设(2cos ,sin )M θθ，则利用三角变换得2222cos(2)33x y πθ-+=++，结合余弦函数性质得函数最值（2）∵''12x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴'C 的直角坐标方程为2214x y +=.∴设(2cos ,sin )M θθ，则2cos x θ=，sin y θ=.∴222224cos cos 2sin 2cos(2)33x y πθθθθθ+=-+=++∴当cos(2)13πθ+=-，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 1.即当M或(1,M -时，222x y +的最小值为1. 考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程化为普通方程，利用椭圆参数方程求最值 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(2,4)-（2）1a ≥-或5a ≤-. 【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，求它们的并集得解集.（2）方程恒成立问题，一般转化为对应函数值域问题：原命题等价于{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，根据绝对值三角不等式得()|2||23||(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，而()|1|22g x x =-+≥，因此根据集合包含关系得|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-试题解析：（1）由||1|2|5x -+<，得5|1|25x -<-+<， ∴7|1|3x -<-<，解得24x -<<. ∴不等式的解集为(2,4)-.考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．：。
[状元桥]2016届高三数学(理)二轮复习：题型精讲第一讲 选择题的解法
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题型精讲第一讲选择题的解法(见学生用书P113)高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向．解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速．高考数学选择题的解答特点是“四选一”，怎样快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分必要的，也是决胜高考的前提．解题的基本策略是，充分地利用题干和选择支的两方面条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直解，先排除后求解．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：“小题巧解，小题不能大做”．方法一直接法由题目所给条件出发，进行演算推理，直接得出结论，与四个答案比较，若结论恰为某一选项，便可顺推肯定；若推演的过程可以逐步排除三个选项，便可顺推否定，这种由因导果的方法是解选择题的基本方法．直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错．例1－1(2014·雅礼模拟)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心分析：对任意的实数k，直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，且斜率存在，(0，1)在圆x2＋y2＝2内，故可得结论．解析：(方法1)对任意的实数k，直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，且斜率存在．∵(0，1)在圆x2＋y2＝2内，∴对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是相交但直线不过圆心．(方法2)∵圆心到直线的距离d＝|1|1＋k2<2恒成立，∴直线与圆相交．又∵点(0，0)不在直线上，∴直线不过圆心．答案：C例 1－2(2015·黄冈模拟)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2C.83D.1623分析：先根据题意，写出直线l 的方程，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出图形的面积．解析：抛物线C ：x 2＝4y 的焦点坐标为(0，1)，直线l 的方程为y ＝1，联立y ＝1与x 2＝4y 解得两个交点坐标(±2，1)，故l 与C 围成的封闭图形面积S ＝∫2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 3122－2＝83.选C. 答案：C方法二 特例法(特值法)用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．例 2－1(2014·郴州二模)已知定义在区间(0，2)上的函数y ＝f(x)的图象如图所示，则y ＝－f(2－x)的图象为( )分析：由(0，2)上的函数y ＝f(x)的图象可求f(x)，进而可求y ＝－f(2－x)，根据一次函数的性质，结合选项可判断．解析：(方法1)特值法：当x ＝2时，y ＝－f(2－x)＝－f(2－2)＝－f(0)＝0，故可排除D 项；当x ＝1时，y ＝－f(2－x)＝－f(2－1)＝－f(1)＝－1，故可排除A ，C 项；所以由排除法知选B.(方法2)由(0，2)上的函数y ＝f(x)的图象可知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x ≤1，1，1<x<2. 当0<2－x<1即1<x<2时，f(2－x)＝2－x ；当1≤2－x<2即0<x ≤1时，f(2－x)＝1.∴y ＝－f(2－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0<x ≤1，x －2，1<x<2， 根据一次函数的性质，结合选项可知，选项B 正确．答案：B例2－2(2015·浙江卷)存在函数f(x)满足：对于任意x ∈R 都有( )A ．f (sin 2x )＝sin xB ．f (sin 2x )＝x 2＋xC ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|分析：根据题目特点，可采用取特殊值法求解．解析：取x ＝0，π2，可得f (0)＝0，f (0)＝1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，f (0)＝π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2，f (2)＝0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R ，都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，所以选项D 正确．答案：D例 2－3(2015·武汉模拟)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x 有( )A ．[－x ]＝－[x ] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ] C ．[2x ]＝2[x ] D ．[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ] 分析：利用特殊值法求解．解析：取x ＝0.5，排除A 、B 、C ，选D.答案：D例 2－4(2015·黄冈模拟)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3分析：可用取特殊函数法求解，也可利用奇、偶函数的定义直接求解．解析：(方法1)令f (x )＝x 2＋1，g (x )＝－x 3，则f (1)＋g (1)＝1＋1－1＝1.(方法2)∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1，∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1. ∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.答案：C方法三 筛选法从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断．例 3－1(2015·黄冈模拟)函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0 B ．[－1，0] C ．[－2，－1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0分析：取特殊值对照选项，逐个排除，用筛选法求解．解析：令sin x ＝0，cos x ＝1，则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A 、D ； 令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.答案：B例 3－2(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )分析：根据题目选项信息，分段逐个筛选．解析：排除法排除错误选项．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2. ∵22＜1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B. 答案：B方法四 代入法将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断．即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案．例 4－1)(2015·武汉调研)过点A (－2，3)作抛物线：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，设l 1，l 2与y 轴分别交于点B ，C ，则△ABC 的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2－3x －2y ＋1＝0B ．x 2＋y 2－2x －3y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－3x －4＝0D ．x 2＋y 2＋x －3y －2＝0分析：根据题意，点A (－2，3)一定在△ABC 的外接圆上，可直接将A (－2，3)代入四个选项检验，也可直接由直线与抛物线相切求解．解析：(方法1)由题意知，△ABC 的外接圆过点(－2，3)， 将A (－2，3)代入四个选项检验，只有D 满足，故选D.(方法2)设过A (－2，3)的切线方程为y －3＝k (x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －3＝k （x ＋2）得ky 2－4y ＋12＋8k ＝0. 由题意，Δ＝16－4k (12＋8k )＝0，即2k 2＋3k －1＝0.∴k 1＋k 2＝－32，k 1k 2＝－12.在切线方程y －3＝k (x ＋2)中，令x ＝0得，y ＝2k ＋3.∴B (0，2k 1＋3)，C (0，2k 2＋3)．设△ABC 外接圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴E ＝－[(2k 1＋3)＋(2k 2＋3)]＝－2(k 1＋k 2)－6＝－3，F ＝(2k 1＋3)·(2k 2＋3)＝4k 1k 2＋6(k 1＋k 2)＋9＝－2＋6·(－32)＋9＝－2.∴△ABC 的外接圆方程为：x 2＋y 2＋Dx －3y －2＝0.又过点A (－2，3)，代入得：D ＝1.综上，△ABC 外接圆方程为：x 2＋y 2＋x －3y －2＝0.故选D.答案：D例 4－2(2014·武昌区模拟)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( )分析：由定义知，函数为偶函数，先判断A 、C 两项，图象对应的函数为奇函数，不符合题意；再取特殊值x ＝0，可得f (2)＝f (0)，可知B 选项符合要求．解析：∵f (－x )＝f (x )，∴函数图象关于y 轴对称，排除A 、C 两个选项；又∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数的周期为2，取x ＝0可得f (2)＝f (0)．排除D 选项，说明B 选项正确．答案：B例 4－3(2014·广东模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝5π4分析：根据正弦函数一定在对称轴上取最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．解析：(方法1)因为当x ＝－π2时，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋5π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－1.(方法2)直接法：∵函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的对称轴方程为2x ＋5π2＝k π＋π2，即x ＝k π2－π， 当k ＝1时，x ＝－π2，故选A. 答案：A方法五 数形结合法)据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断．例 5－1)已知函数⎩⎨⎧f （x ）＝1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤0，23分析：先画函数f (x )的图象，将函数g (x )的零点问题转化为函数f (x )的图象与直线y ＝mx ＋m (x ∈(－1，1])的交点问题．解析：由题意画出f (x )的图象，如图所示．令g (x )＝f (x )－mx －m ＝0， 得f (x )＝m (x ＋1)，所以g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，可转化为y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)的图象在(－1，1]上有且仅有两个不同的交点．y ＝m (x ＋1)是过定点(－1，0)的一条直线，m 是其斜率． 由数形结合知，符合题意的直线位于l 1(x 轴)与l 2之间和l 3与l 4(切线)之间．因为l 4与y ＝f (x )相切，所以1x ＋1－3＝m (x ＋1)有两个相等的实根，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0有两个相等的实根， 即Δ＝9＋4m ＝0，解得m ＝－94.设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 易求k 1＝0，k 2＝12，k 3＝－2，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 答案：A例 5－2)(2015·武汉模拟)若a ＝(1，3)，|a －b |＝1，则|b |的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，2)C ．(1，3)D ．[1，3]分析：根据向量即具有数又具有形的特点，本题用数形结合方法求解．解析：(方法1)当a ，b 共线时，|b|＝1或3，当a ，b 不共线时，a ，b ，a －b 必构成一三角形，如图． 而|a|＝2，∴2－1＜|b|＜2＋1， ∴1＜|b|＜3.故选D .(方法2)(利用向量模的几何意义)如图所示，设b ＝(x ，y )， 则a －b ＝(1－x ，3－y )，且a ＝OA →. ∵|a －b |＝1，∴(1－x )2＋(3－y )2＝1， 即(x －1)2＋(y －3)2＝1. 又|b |＝x 2＋y 2，∴|b |的取值范围即为圆(x －1)2＋(y －3)2＝1上的点到原点距离的最大值和最小值之间的值．∴|b |max ＝12＋（3）2＋1＝3， |b |min ＝12＋（3）2－1＝1. ∴1≤|b |≤3.故选D.(方法3)如图所示：因为a ＝(1，3)，所以a ＝OA→的端点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．因为|a －b |＝1，所以a －b ＝OB →的端点B 在单位圆上．b ＝a －OB→＝OA →－OB →＝BA →， 由图可知1≤|b |≤3. 综上可知：选D. 答案：D 方法六 估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得．这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次．例 6－1(2014·长郡模拟)已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A.16π9B.8π3 C ．4π D.64π9分析：由AB ＝BC ＝CA ＝2，求得△ABC 的外接圆半径为r ，再由R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝43，求得球的半径，再求出面积．解析：(方法1)∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233， ∴R ≥r ＝233.则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π，故选D.(方法2)因为AB ＝BC ＝CA ＝2，所以△ABC 的外接圆半径为r ＝233.设球半径为R ，则R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝43，∴S 球＝4πR 2＝4π·169＝649π. 答案：D1．准确是解答选择题的先决条件．选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，初选后认真检验，确保准确．2．迅速是赢得时间获取高分的必要条件．高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”是造成低分的一大因素．对于选择题的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完．3．从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”、“手段”都是无关紧要的，所以人称可以“不择手段”．但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速．总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择．这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间．(见学生用书P 188)1．(2014·黑龙江二模)若点P (1，1)是圆(x －3)2＋y 2＝9的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x ＋2y －3＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x －y －1＝0 解析：由圆的方程得圆心O 1(3，0)．由题意得直线O 1P 与直线AB 垂直，且直线O 1P 的斜率为1－01－3＝－12，∴直线AB 的斜率为2，则直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.答案：D2．(2014·武昌区模拟)若函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 最大为( )A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x <0，x －x 2，x ≥0，再结合二次函数图象可知函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：B3．(2015·武汉模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92解析：由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)， 又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．故选D. 答案：D4．(2015·贵阳模拟)为得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3解析：由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数， n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数， ∴|m －n |＝|2π3＋2(k 1－k 2)π|， ∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3. 答案：B5．(2014·徐汇区一模)直线y ＝x ＋1与曲线y 29－x |x |4＝1的公共点的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由题意可得：当x ≥0时，方程为y 29－x 24＝1， 其表示双曲线的一部分；当x <0时，方程为y 29＋x 24＝1，其表示椭圆的一部分． 如图所示：所以直线y ＝x ＋1与曲线y 29－x |x |4＝1的公共点的个数是1. 答案：A6．(2015·唐山模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12 B.3－12 C.32 D.3－1解析：设A (m ，n )，则⎩⎨⎧nm ＋c×（－3）＝－1，3×m －c 2＋n2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c .代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)， ∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±2 3. 又∵0<e <1，∴e ＝3－1. 答案：D7．(2014·长郡模拟)设函数f (x )＝－x 2－4x ＋a ，g (x )＝43x ＋1，当x ∈[－4，0]时，恒有f (x )≤g (x )，则a 可能取的一个值是( )A ．－5B ．5C ．－53 D.53 解析：根据题意，当x ∈[－4，0]时，恒有f (x )≤g (x )， 对于B ，若a ＝5，则x ＝0时， 有f (x )＝5，g (x )＝1，故B 错； 对于C ，若a ＝－53，则x ＝－4时， f (x )＝－53，g (x )＝－133，故C 错； 对于D ，若a ＝53，则x ＝0时， f (x )＝53，g (x )＝1，故D 错． 答案：A8．(2014·长沙市一中模拟)对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a ，0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2]C ．[0，2]D ．(0，2)解析：设点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0， 由|PQ |≥|a |，得y 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－a 2≥a 2. 整理得：y 20(y 20＋16－8a )≥0，∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立，而2＋y 208的最小值为2，∴a ≤2.答案：B9．(2015·安庆模拟)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1x的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x，y ＝log 3x ，y ＝－1x 的图象，如图，观察它们与直线y ＝－x 的交点情况可知a ＜b ＜c .答案：A10．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图示可得，函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有4个．答案：B11．(2015·洛阳模拟)已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB ＝BC ＝3，AC ＝3，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为334，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．16πC ．12π D.163π解析：由题意可得，∠ABC ＝2π3，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积取最大值时，V D －ABC ＝13S △ABC ·h (h 为点D 到底面ABC的距离)⇒334＝13·334·h ⇒h ＝3.设R 为球O 的半径，则(3－R )2＝R 2－r 2⇒R ＝2，∴球O 的表面积为4π·22＝16π.答案：B12．(2015·南昌模拟)如图所示的程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x值有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 解析：由程序框图可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，|x |＞1，x 3，|x |≤1，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧|x |＞1，ln|x |＝x ，或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1，x 3＝x .而由⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1，x 3＝x 得x ＝0或±1.令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1，当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数，又f (1)＝ln 1－1＝－1＜0，故当x ＞1时，方程ln x ＝x ，即ln|x |＝x 无解； 当x ＜－1时，ln|x |＞ln 1＝0，则ln|x |＞x ， 即ln|x |＝x 无解，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |＞1，ln|x |＝x 无解．综上所述，符合条件的x 值有3个．答案：B。
[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题九 推理与证明.
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专题九推理与证明(见学生用书P59)(见学生用书P59)一、推理1．合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物全部对象都是具有这些特征的推理．分类：完全归纳和不完全归纳．特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理定义：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理模式：三段论(1)大前提——已知的一般原理．(2)小前提——所研究的特殊情况．(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理二、证明1．直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P 表示条件，Q表示要证结论)(2)分析法定义：要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．框图表示：P⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个显然成立的条件2．间接证明 反证法：假设原命题结论的反面成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(见学生用书P 60)考点一 合情推理考点精析1．由某类事物的部分对象具有的某些性质，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个体到一般的推理．2．由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．例 1－1(2014·上海模拟)有下列各式：1＋12＋13>1，1＋12＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：_______________________________________________.考点：归纳推理．分析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n 个式子的项数，不等式右侧式子分别写成22，32，42，故猜想第n 个式子，由此可写出一般的式子．解析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n 个式子中应有2n ＋1－1项，不等式右侧分别写成22，32，42，故猜想第n 个式子应为n ＋12，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)． 答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *) 点评：本题考查归纳推理，考查观察、分析、解决问题的能力，关键是猜想第n 个式子与n 的关系．规律总结尽管合情推理得到的结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础，因而是近几年高考重点考查对象．高考对合情推理的考查，题型较为灵活，以填空题和选择题为主，难度中等，区分度较大，因而是我们二轮复习中需要重点突破的地方，其中归纳推理问题是热点问题．变式训练【1－1】 (2014·广州模拟)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1时，你能得到的结论为______________．解析：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，由对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，得a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .答案：a 1＋a 2＋…＋a n ≤n【1－2】 (2014·师大附中模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t ＝6at (a ，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a ＋t ＝________．解析：观察下列等式：2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，照此规律，第5个等式中：a ＝6，t ＝a 2－1＝35，a ＋t ＝41.答案：41考点二反证法考点精析1．反证法证明数学命题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立．(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾．(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论的成立．运用反证法的关键是导出矛盾．2．宜用反证法证明的题型：(1)一些基本命题、基本定理．(2)易导出与已知矛盾的命题．(3)“否定性”命题．(4)“唯一性”命题．(5)“必然性”命题．(6)“至多”、“至少”类命题．(7)涉及“无限”结论的命题等等．例2－1(2013·陕西卷)设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．考点：等比数列的概念、通项公式及反证法．分析：利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式，利用反证法证明要证的结论．解析：(1)设{a n}的前n项和为S n，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q， ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．点评：本题考查了等比数列的概念，通项公式与反证法，考查了利用反证法证明有关命题的能力，一般对于唯一命题，否定性命题，存在性问题或直接证明比较困难等命题的证明，都可考虑用反证法证明．规律总结反证法可应用于数学证明的各个方面，只要是直接证明有困难的，且有可能从结论的否定推出矛盾的都可以．尽管在高考中较少要求用反证法证明，但有时命题者为了考查反证法掌握的程度，有意设置成宜用反证法证明的问题．因此，我们必须熟练掌握这一方法．变式训练【2－1】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(q ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，则(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(见学生用书P62)例已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．考场错解：假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，(*)即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．专家把脉：上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，“方程没有两个相异实根时Δ≤0”．对症下药：假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．专家会诊：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．(见学生用书P133)一、选择题1．(2014·广州质检)观察(x2)′＝2x，(x4)′ ＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，从而g (x )是奇函数．∴g (－x )＝－g (x )．答案：D2．(2014·黄冈模拟)面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1，2，3，4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为h i (i＝1，2，3，4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k .根据以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1，2，3，4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( )A.V kB.3V kC.4V kD.8V 5解析：根据三棱锥的体积公式V ＝13Sh ，得：13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ，即kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4＝3V ，∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k ，即i ＝14(iH i )＝3V k . 答案：B3．(2014·长沙模拟)已知函数y ＝f(x)的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2，则称y ＝f(x)为D 上的凹函数．由此可得下列函数中为凹函数的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析：结合函数图象，直观观测C 满足．事实上f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222， f （x 1）＋f （x 2）2＝x 21＋x 222.∵2x 1x 2＜x 21＋x 22(x 1≠x 2)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＝x 21＋x 22＋2x 1x 24＜x 21＋x 222， 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2， y ＝f(x)＝x 2在D 上为凹函数．答案：C4．(2015·武汉质检)给出下列三个类比结论：①(ab)n ＝a n b n 与(a ＋b)n 类比，则有(a ＋b)n ＝a n ＋b n ；②log a (xy)＝log a x ＋log a y 与sin (α＋β)类比，则有sin (α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①不妨取n＝2，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≠a2＋b2，故①类比结论错误；②∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β≠sin αsin β，故②类比结论错误；③根据向量的运算法则知：(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，故③正确．答案：B5．(2014·长沙市一中模拟)用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为()A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0D．a，b，c，d中至多有一个负数解析：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d 全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”．答案：C6．(2015·福建质检)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，依此类推，则标签为2 0132的格点的坐标为()A．(1 006，1 005) B．(1 007，1 006)C．(1 008，1 007) D．(1 009，1 008)解析：因为点(1，0)处标1＝12，点(2，1)处标9＝32，点(3，2)处标25＝52，点(4，3)处标49＝72，依此类推得点(n＋1，n)处标(2n ＋1)2，故点(1 007，1 006)处标2 0132.故选B.答案：B7．(2014·北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟B．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：将(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入p ＝at 2＋bt ＋c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2，对称轴为t ＝－ 1.52×（－0.2）＝3.75. 答案：B8．(2015·江西模拟)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3.S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，…，依此规律，那么S 10＝( )A ．210B ．230C ．220D ．240解析：因为S 1＝3＝2×32，S 2＝10＝4×52，S 3＝21＝6×72，所以S 10＝20×212＝210，故选A.答案：A9．(2014·黄冈模拟)已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD ＝2.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM ＝() A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：推广到空间，则有结论：“AO OM ＝3”．设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM ＝63，又O 到四面体各面的距离都相等，所以O 为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r ，则有r ＝3VS 表，可求得r 即OM ＝612，所以AO ＝AM －OM ＝64， 所以AOOM ＝3.答案：C二、填空题10．(2015·陕西卷)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．解析：观察可知，等式每一行的左边分数的个数是行数的2倍且正负交替出现，分母为自然数；等式的右边分数的个数等于行数，且分母的第一个数会比行数多1.这样就可归纳出第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)11．(2014·长沙调研)如图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A —BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，类比射影定理，探究S △ABC 、S △BCO 、S △BCD 这三者之间满足的关系式是________．解析：连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE .由AO ⊥BC ，AD ⊥BC 可知BC ⊥平面AED ，则BC ⊥DE ，BC ⊥AE .∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BCO ＝12BC ·EO ，S △BCD ＝12BC ·DE .又AE 2＝EO ·ED ，∴S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD .答案：S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD12．(2014·雅礼模拟)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则(1)a 5＝________；(2)若a n ＝117，则n ＝________．解析：(1)观察得知：a 1＝1＝3×1－2，a 2＝5＝a 1＋3×2－2，a 3＝12＝a 2＋3×3－2，a 4＝22＝a 3＋3×4－2，…a n ＝a n －1＋3n －2，(n ≥2，n ∈N *)．叠加得到：a n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )－2n ＝3n 2－n 2(n ≥2，n ∈N *)．令n ＝5，则a 5＝a 4＋3×5－2＝22＋15－2＝35.(2)令a n ＝117，则3n 2－n 2＝117，∴n ＝9.答案：(1)35 (2)9三、解答题13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32·sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.14．(2014·广州模拟)出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼－闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如(x ，y )的有序实数对，直线还是满足ax ＋by ＋c ＝0的所有(x ，y )组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：|AB |＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，请解决以下问题：(1)求点A (1，3)、B (6，9)的“距离”|AB |；(2)求线段x ＋y ＝2(x ≥0，y ≥0)上一点M (x ，y )到原点O (0，0)的“距离”；(3)定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，点A (1，3)、B (6，9)，C (1，9)，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象．(所给图形小正方形的单位是1)解析：(1)根据出租车几何学中“距离”的定义，得|AB |＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|＝|6－1|＋|9－3|＝5＋6＝11.(2)点M (x ，y )到原点的距离为：|MO |＝|x －0|＋|y －0|＝|x |＋|y |.∵线段x ＋y ＝2上的点M (x ，y )满足x ≥0，y ≥0，∴|x |＝x ，|y |＝y ，∴|MO |＝|x |＋|y |＝x ＋y ＝2.(3)设“圆心”坐标为N (m ，n )，则由|NA |＝|NC |，得|m －1|＋|n －3|＝|m －1|＋|n －9|，所以点N 在y ＝6上．又因为|NB |＝|NC |，即|m －1|＋|n －9|＝|m －6|＋|n －9|，所以点N 在x ＝72上．∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，6， R ＝|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72－1＋|6－3|＝112. “圆N ”的图象如图所示．15．(2014·衡阳模拟)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，试求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n . 解析：(1)∵数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5， 由等和数列的定义易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ∈N *)， 故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝2＋2＋…＋2,n 2个2＋3＋3＋…＋3,n 2个3＝2·n 2＋3·n 2＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n （n 为偶数），52n －12（n 为奇数）.。
2016年高考数学(理)第三次模拟考试(三模)试题(全国卷)
2016年高考第三次模拟考试（三模）试题（全国卷）—数学（理）本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。
选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。
1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()RA B 等于（ ）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x <【答案】B 【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2RA x x =<，{}()|22.R A B x x =-<<2. 已知复数()4i1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】试题分析：41bi z i ＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b-=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限.3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）A.21- B.21- C.1 D.21+ 【答案】A 【解析】由()1i 1i i z-=-+=2i + ,得2i (2i)(1i)1i (1i)(1i)z +++==--+=2121i 22-++,所以z 的实部为212-,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos y x =【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x = 在R 上都是增函数，只有选项B 符合.5.若()(),,,Aa b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( ) A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd【答案】C 【解析】因为()(),,,Aa b B c d 在()ln f x x =图象上,所以ln b a = ,ln ,d c =所以ln ln ln b d a c ac +=+=,因此(),ac b d +在()ln f x x =图象上,故选C ．6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ） A.12B.22C.33D.32【答案】A 【解析】1,2,a c ==∴C 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1.27.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（ ）A.92 B.97 C.61 D.56 【答案】D【解析】由题意知1111x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足12-≥x y 的区域即为图中阴影部分，面积为()1231111102112()|33x dx x x --⨯+-=+-=⎰，所以所求概率为105346P ==，故选D ．8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A．2 B．－12C．－3 D．13【答案】A由程序框图知：2,1s i==；123,212s i+==-=-；131,3132s i-==-=+;11()12,4131()2s i+-===--;1132,511)3s i+===-……，可知S出现周期为4，当201745041i==⨯+时，结束循环输出S，即输出的2s=.9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x值为2016，则输出的i值为 ( )A.3B.4C.5D.6【答案】A.3,2016;20162015,3,20162015;20151,2,20151;1,2016=====-==-===i b a i b a i b i a 结束，输出【解析】：运转程序， 10.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60，a 在+a b 上的投影等于 ( )A.2B.2C. 3D.4＋2 3【答案】：C【解析】：a 在+a b 上的投影为2222() 3.||23()2⋅+====+++⋅+a a b a b a b a a b b11.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题：p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 3【答案】D【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p 2，p 3 正确，故答案为D.12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）i【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（）A.2333cmB.2233cmC.4763cmD.73cm【答案】A【解析】该几何体是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-截去一个三棱锥11C B EF-后所得的多面体，其体积为1123222112.323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=14.若数列{na}满足11na－－1=nda（dNn,*∈为常数），则称数列{na}为调和数列．已知数列{1nx}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则165xx+等于（）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【解析】∵数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴111111n nn nx x dx x++--＝＝，∴{}n x是等差数列.又∵1220200x x x++⋯+==12020()2x x+，∴12020x x+=.又120516516,20x x x x x x+=+∴+=.15.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A．21B.158C.3116D.2916【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知3029305390,2d ⨯⨯+=解得16.29d =16.在某次联考测试中，学生数学成绩X()()21000N σσ>,，若,8.0)12080(=<<X P 则)800(<<X P 等于（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B【解析】由题意知(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P X P X <<=-⨯<<=，故选B ．17．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ） A.2544 B.1332 C.2532 D.1320 【答案】A【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为()()221231001011332A ++⨯⨯++=，(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为()()1212310011212A ++⨯⨯+=，那么可得符合条件的这些三位数之和为133212122544+=.18.已知()2cos 2,21x xf x ax x =+++若π()3f =2,则π()3f -等于（ ） A.2- B.1- C.0 D. 1【答案】A【解析】因为()2cos 221x xf x ax x =+++,所以()()222cos 22121x xx x f x f x x --+-=++++ 212cos 212cos 22112x x x x x =++=+++,所以π()3f +π()3f -=1+2π2cos 3=0, 所以ππ()() 2.33f f -=-=- 19.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数【答案】C【解析】由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，所以2a b πϕ+=-，则()f a b +＝()122sin(2)2sin 3f x x πϕϕϕ-+==+=，即3sin 2ϕ=，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，在5(,)1212ππ-上，2(,)322x πππ+∈-，所以()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数，故选C ．20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A.2- B.3- C ．125 D.131-【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c=交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ） A.3 B.3 C.2 D.2 【答案】D【解析】显然PF PA >,PF AF >,所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A (0)a ，,P 2()a abc c， ,所以2222()()()a ab a c a c c -+=-, 222222()()()()()a aa c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a+⇒+⨯=-22111 1.1e e e e +⇒+⨯=- 解得 2e =.故选D.22.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（ ）A.22 B.2 C.322D.22 【答案】C【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及BF m =，∵3AF =，∴点A 到准线 :1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1cos 3θ=，则22sin 3θ=． ∵2cos()m m πθ=+-，∴23.1cos 2m θ==+∴AOB ∆的面积为 1132232sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 23.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0]2，C ．2[,1)2D ．2(0]，【答案】B【解析】由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．24.已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6D ．5π6【答案】A【解析】DE BF ⋅=22115115()()224224CB CD CD CB CB CD CD CB --=⋅--=-.由2CD AB ==,1BC AD ==,可得1cos 2CB CD 〈〉=，,所以π3CB CD 〈〉=，,从而π3AB AD 〈〉=，.故选A.25.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3【答案】D【解析】由题设条件对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0<a .由()()b f a f 32=有39322+=+a ，解之得26-=a ，故326+-=+b a ，选D. 26.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）【答案】D【解析】当01x <<时，ln 0x <，所以0y <，排除B 、C ；当1x >时，由于函数2y x =比ln y x =随x 的增长速度快，所以随x 的增大，2ln xy x=的变化也逐渐增大，排除A ，故选D ．27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（ ）3()2()43ππ>2()()64f ππ>C.3()()63f f ππ<D.()12()sin16f f π<⋅【答案】C 【解析】因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，则由()()tan f x f x x '<得sin ()()cos xf x f x x'<，即cos ()sin ()0xf x xf x '-<．令sin ()=()x F x f x ，则2sin cos ()sin ()()=()0()[()]x f x xf x F x f x f x '-''=<，所以()F x 在(0,)2π上递减，所以()()63F F ππ>，即sinsin63()()63f f ππππ>，即3()()63f f ππ<，故选C ． 28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( ) A.(),e -∞ B.()e,+∞ C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,+∞ 【答案】B【解析】设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t-'= ,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e ,结合()g t 图象,可得110e ea a <<⇒> ,故选B.29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,()1,3AC =,()3,1BD =-,则AB CD ⋅的最小值是（ ）A.2B.4C.2-D.4- 【答案】C【解析】取(0,0)A ,则3)C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则21213,1.x x y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,3,1AB x y x y ==- ,(221,3CD x y =--, 求得22223131((22AB CD x y -+⋅=++-≥-,当1131,231,2x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩且2231,2312x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时,AB CD ⋅取到最小值2-,此时四边形ABCD 的对角线恰好相交于一点,故选C. 30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角 为30，则球O 的表面积为________．【答案】16π【解析】设正ABC ∆的外接圆圆心为1O ， 易知13AO =1Rt OO A ∆中，12cos30O AOA ==，故球O 的表面积为24216ππ⨯=.32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为1zy x m m=-+，因为1m >，所以110m -<-<，将函数1y x m =-的图象平移经过可行域时，在G 点12(,)33处y 取最大值，此时2z =，所以有12233m =+，解得52m =. 33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．【答案】2520-【解析】由题意可知,11p =,22p =,34p =,48p =,51p =,62p =,74p =,88p =,91p =,102p =,114p =,128p =,131p =,……,又∵{}n p 是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,11q =-,21q =-,31q =,41q =-,51q =-,61q =,71q =-,81q =-,91q =,101q =-,111q =-,121q =,131q =-,……,又∵{}n q 是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{}n n p q ⋅,每12项的和循环一次,易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-,因此2016S 中有168组循环结构,故2016151682520S =-⨯=-．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= . 【答案】2015413-【解析】由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2n g n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++-，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++-＝113(21)n ++++-＋1(2)(4)(22)n g g g ++++-＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+，即(1)f n +－()4n f n =，分别取n 为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n nf n f +-=+++=-．又(1)(1)f g =＝1，所以4(1)(41)13nf n +=-+，所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++-＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-=．35.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+. (1)求A ；(2)若a =ABC ∆的面积b c +.【答案】：（1）23π，（2）6b c +=. 【解析】：（1）由()2cos 14sin sin B C B C -=+，得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=. ∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=. （2）由（1）得23A π=.由23S =，得12sin 23,823bc bc π=∴=.① 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得()2222272cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②，得()2828b c +-=，∴6b c +=. 36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .（1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.【答案】（1）45；（2）37． 【解析】（1）因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C 所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠5422102221027=⋅+⋅. （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD 解得5=BD . 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB 37.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n n b a =，求适合方程1223145 (32)n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值. 【答案】（1）31n a n =-；（2）10.【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d =或0d =（舍），故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=- (2)由（1）知331n b n =-，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n +==--+-+ 12231111111119...3(++)3(),2558313223264n n nb b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++依题有945,6432n n =+解得10.n =38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．【解析】(1)由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列， 由125,,a a a 成等比数列得2+)2(1a =1a (1a +8)，解得1a =1， ∴*21()n a n n N =-∈.（2）由(1)可得2(21)(21)2n n n b n n =-⋅=-，∴1231...,n n n T b b b b b -=+++++即123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①，23121232...(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②，①-②可得23122(22...2)(21)2,n n n T n +-=++++--∴1(23)26n n T n +=-+.39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）①X 01 2 3 4 5 P53()5 14523()()55C 223523()()55C 332523()()55C 441523()()55C 52()5② ()2,E X =6().5D X =【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 20022200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.X X 01 2 3 4 5 P53()5 14523()()55C 223523()()55C 332523()()55C 441523()()55C 52()5 ②由于~(5,)5X B ,则()52,5E X =⨯=()5(1).555D X =⨯⨯-=40.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．【答案】（1） 1.5,A B x x ==2 1.5,A S =21.8;B S =（2）()0.02P C =.【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好.(2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”，2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”，1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A PC P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1()A P C 6=60，2()=A P C 360，19()=60B PC ，26()60B P C =，故9663()=+0.0260606060P C ⨯⨯=．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25，理由见解析． 【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2EM -．易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =， 因为1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=，所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点，所以OM ∥PB ，且12OM PB =．又因为AE ∥PB ，且12AE PB =， 所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． 所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅222222255(2)(22)()5984λλλλλ===⋅+-+⋅-+． 所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25．42.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD===，点M在线段EC上且不与CE,重合．（1）当点M是EC中点时，求证：ADEFBM平面//；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDEM-的体积．【答案】：（1）证明见解析；（2）4.3【解析】：（1）由题意：以点D为坐标原点，DA方向为x轴，DC为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A B C E M，∴()2,0,1BM=-，平面ADEF的一个法向量()0,4,0DC=，BM DC⋅=，∴BM DC⊥，即//BM ADEF平面．（2）设()()0,4,20,4,2EM tEC t t t==-=-，故点()()0,4,2201M t t t-<<，设平面BDM的一个法向量()z y xn,,1=，则()11220,4220DB n x y DM n ty t z⋅=+=⋅=+-=．令1y=-，则121,1,1tnt⎛⎫=-⎪-⎝⎭，易知平面ABF的一个法向量()21,0,0n=，∵()121221226cos,6421n nn nn n tt⋅<>===⋅+-，解得12t=，∴()1,2,0M为BC的中点，221==∆∆CDMDBMSS，B到面DEM的距离2=h，∴14.33M BDE DEM V S h -∆=⋅⋅= 43.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）ax y 42=；（2）FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．【解析】（1） 椭圆)0(11222>=++a y a x 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=-．(,)MN m n =-，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ．设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． 由⎪⎩⎪⎨⎧-==ax x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ．因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．(法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--．由2,y x x a=-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=．②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y ayA 、),4(222y a y B ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． 44.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 【解析】（1）依题意，得222,c ab a b c a ===+又解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. （2）A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)P x y ，则由题意，可得220013x y +=（1）， 且00(,)Q x y --，00(3,)AP x y =-，(3,)AM m =-. 因为,,A P M 三点共线，所以APAM ，故有00(3)3x m y -=-，解得0033y m x -=-；同理，可得0033y n x -=+.假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅=. 因为(,)RM t m =-，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即2000033033y y t x x --+⨯=-+，整理得2202033y t x =--，又由（1），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-.故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二：（1）同方法一；（2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2233(,)3131k P k k ++，2233(,)3131k Q k k --++. 设(0,)M m ，(0,)N n又直线AP 的斜率12131k k =-+，直线AM 的斜率23k =-， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得23311k m k =+-，同理，可得23311k n k =++，假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， 直线RM 的斜率3m k t =-，直线RN 的斜率4n k t=-，所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t =整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）；（3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．【答案】：（1）当0>a 时，增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；（2）212e e a --≤；（3）见解析．【解析】：（1）)0()1()(>-='x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为]1,0(，单调减区间为),1[+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),1[+∞，单调减区间为]1,0(． （2）令()ln 34ln 1,F x a x ax ax x e a x x e =--+++-=++-.0)(=+='xax x F 若e a ≤-，e a -≥，)(x F []上在2,e e 是增函数，21,012)()(222maxe e a e e a e F x F --≤≤+-+==无解． 若2e a e ≤-<，e a e -<≤-2，)(x F 在],[a e -上是减函数；在],[2e a -上是增函数，.1,01)(-≤≤+=a a e F ,21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+=.2122e e a e --≤≤-∴若2e a >-，2e a -<，)(x F 在],[2e e 上是减函数，1,01)()(max -≤≤+==a a e F x F ，.2e a -<∴综上所述.212e e a --≤（3）令1a =-（或1a =），此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， ∵2,N*n n ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈，只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234n n N n *++++++++<≥∈ 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()1 1.234223341n n n n++++++++<-+-+-+-=-<-所以原不等式成立46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()xf x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）.（1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<. 【解答】：依题意，()[(1)()(1)()](),x x xf x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅-令()()x h x a x e a =⋅-，则()(1)xh x a x e '=+⋅.（1）①当0x <时，0xx e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点；②当0x ≥时，由()(1)0xh x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点.又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>， 所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点. 综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. （2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <）， 所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <.令()(1)0xh x a x e '=+⋅=得1x =-；令()(1)0xh x a x e '=+⋅>得1x <-；令()(1)0xh x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<.令()()0tf t a t e a '=⋅-=，解得t a t e =⋅，此时22232()(1)()(1)()(1)(2)t t t t t t f t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+.因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点， 所以12321111()(2)x f x ex x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)t e t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)t g t e t t t =--+， 则22()(1)(21)t g t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0tt t e ->-<>，所以'()0g t >，则()g t 在(,1)-∞-单调递增.T A BC D MN TA B CDMN因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e =<-=， 又因为122111()(1)0x f x ex x =-->，所以1240()f x e<<. 当10t -<<时，因为2210,210,0tt t e -<-<>，所以'()0g t <，则()g t 在(1,0)-单调递减，因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e=<=<-=. 综上知，1240()f x e<<且2240()f x e <<． 47.（本小题满分10分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠,同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠, 所以//AB CD . （2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠.在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠, 因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TDMC TC=,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅. (2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14AB =求直线l 的倾斜角α的值．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=.（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴()2212121244cos 1214AB t t t t t t α=-=+-=+=∴24cos 2α=,2cos 2α=±,4πα=或34π． (3)选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.【答案】（1）2m =；（2）1．【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤； 当11x -<<时，()132f x x =--<； 当1x ≥时，()34f x x =--≤-， 故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，当且仅当22a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1. 48.（本小题满分12分） 从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．（1）求证：PC PD=AC BD；（2）若AC=3，求AP•AD的值．【解析】（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA，∴PC PD=AB BD，又∵AB=AC，∴PC PD=AC BD.（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△A PC∽△ACD.∴AP AC=AC AD，∴.92=⋅=ADAPAC(2)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C的方程是1ρ=，将1C向上平移1个单位得到曲线2C.(1)求曲线2C的极坐标方程；(2)若曲线1C的切线交曲线2C于不同两点,M N,切点为T.求TM TN⋅的取值范围.【解答】（1）依题,因222x yρ=+,所以曲线1C的直角坐标下的方程为221x y+=,所以曲线2C的直角坐标下的方程为22(1)1x y+-=,又sinyρθ=，所以22sin0ρρθ-=,即曲线2C的极坐标方程为2sinρθ=.(2)由题令00(,)T x y，(0,1]y∈，切线MN的倾斜角为θ，所以切线MN的参数方程为: 0cossinx x ty y tθθ=+⎧⎨=+⎩(t为参数).联立2C的直角坐标方程得,20002(cos sin sin)120t x y t yθθθ++-+-= ,即由直线参数方程中,t的几何意义可知,12TM TN y⋅=-，因为12[1,1)y-∈-所以TM TN⋅[0,1]∈.(解法二)设点()ααsin,cosT，则由题意可知当()πα0∈时，切线与曲线2C相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN的参数方程为：。
【精编】高考复习课件高三数学二轮课件：18第三讲解答题解法-精心整理
(2)由(1)知，设 EH＝x(0<x<1)， 则有 EF＝HG＝1－x. 又∵PA∥HE，BC∥EF⇒∠HEF(或其补角)是 PA 与 BC 所成的角， ∴SEFGH＝HE×EF×sin∠HEF ＝x(1－x)sin θ
＝sin θ14－x－122， ∴当 x＝21，即 E，F，G，H 为所在边中点时，四边形 EFGH 的面积有最大 值41sin θ. 第三步 过程规范 一是数学语言应用规范 数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言．用数学语言可以定义数学 概念，表述数学结论，揭示数学关系．数学语言具有准确、抽象、简洁等特点， 在解题中使用数学语言要力求规范，避免高考中不必要的失分． 二是结论应用要规范 在解题中，我们要用到教材中的公理、定理、推论等，一定要结合公理、 定理的叙述，严格对照题目条件，每一步推理要有理有据，规范作答，不要漏 掉条件；另外，对一些教材中没有出现的“小结论”，应用时要作铺垫．
(1)求椭圆 M 的标准方程； (2)设直线 l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆 M 有两个不同的交点 P，Q，l 与矩形 A BCD 有两个不同的交点 S，T.求||PSQT||的最大值及取得最大值时 m 的值．
a2＝b2＋c2， 解析：∵(1)设椭圆 M 的半焦距为 c，由题意得ca＝ 23，4ab＝8，
(2)由 A＋C＝180°，得 C＝180°－A，D＝180°－B.
由 (1) ， 有
tan
A 2
＋
tan
B 2
＋
tan
C 2
＋
tan
D 2
＝
1－cos A sin A
＋
1－cos B sin B
＋
1－sicno（s（18108°0°－－A）A）＋1－sicno（s（18108°0°－－B）B）＝sin2 A ＋sin2 B.
高优指导2016高考数学二轮复习 专题七 解析几何 第三讲
考点1 考点2 考点3 考点4
从而 2a=|MF1|+|MF2|=4 2,
即 a=2 2,从而 b=2,
故椭圆 C 的方程为���8���2 + ���4���2=1.
(2)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1),
由
������2 8
+
������2 4
=
1,
得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 N(0,2),过点 P(-1,-2)作直线 l,交椭圆 C 于异于 N 的 A,B 两点,直线 NA,NB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k1+k2 为定值.
解:(1)在△F1MF2 中,
由12|MF1||MF2|sin 60°=433, 得|MF1||MF2|=136. 由余弦定理,得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|·cos 60°=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1|·|MF2|(1+cos 60°),
第三讲 圆锥曲线的综合应用
最新考纲解 读
(1)会解决有 关圆锥曲线 的定值、最 值问题. (2)能够解决 部分圆锥曲 线的探究性 问题. (3)能够解决 圆锥曲线的 轨迹问题.
高频考点 考点 定值问题
最值问题
轨迹问题 探究性 问题
高考真题例举 2014
江西,20
课标全国Ⅰ,20;山 东,21;福建,9;浙江,21; 湖南,21;四川,10;四 川,20
������ + 2 = ������(������ + 1),
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-41���+���(���2���-������22), x1x2=21���+���22-8������2k.
2016届高三数学理课标版(陕西专用)二轮 综合能力训练 含解析
综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分)1.(2015甘肃兰州一中三模）已知集合A={x ||x -12|≤32}，B={x ｜y=lg(4x —x 2）}，则A ∩B 等于（ )A .(0,2]B .［-1，0)C .［2,4)D 。
［1,4）2。
已知复数z=1-i 1+i（i 为虚数单位),则z 的共轭复数是 ( ） A 。
i B 。
1+i C 。
—i D .1-i3.已知函数f （x )=cos (2x -π6),若存在a ∈（0,π）,使得f (x+a )=f (x —a )恒成立，则a 的值是（ ）A 。
π6B .π3C .π4D .π24.设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S n =nm,S m =m n（m ≠n ),则S m+n -4的符号是( )A .正B .负C .非负D .非正5.从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（ )A .17B .27C 。
37D .676。
设直线x+y=1与抛物线y 2=2px （p 〉0）交于A ,B 两点，若OA ⊥OB ，则△OAB 的面积为( )A 。
1B 。
12√5 C 。
√5 D 。
27。
（2015北京东城区二模）定义在R 上的函数f （x ）满足f (x+6）=f （x ）。
当x ∈[—3，—1）时,f （x ）=—（x+2)2，当x ∈[—1,3)时，f （x )=x ,则f （1）+f (2)+f (3)+…+f (2 015)=（ )A .336B 。
355C 。
1 676D .2 0158。
已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位： cm)，求出这个几何体的体积是（ ）A。
8 cm3 B。
12 cm3C。
24 cm3 D。
72 cm39。
(2015湖南高考）执行如图所示的程序框图.如果输入n=3，则输出的S=(）A。
67B。
2016届高三数学理课标版(陕西专用)二轮思想方法训练3 数形结合思想 含解析
思想方法训练3 数形结合思想能力突破训练1.(2015甘肃兰州一中三模)若i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，那么复数z1+i 对应的点位于复平面内的（ )A 。
第一象限 B.第二象限 C 。
第三象限 D 。
第四象限2。
方程sin (x -π4)=14x 的实数解的个数是（ ) A 。
2 B.3 C.4 D 。
以上均不对 3.若x ∈{x ｜log 2x=2-x },则有( ) A.x 2〉x 〉1 B.x 2>1>x C.1>x 2>x D 。
x>1〉x 24。
若函数f (x )=（a-x )|x-3a ｜(a>0）在区间(—∞,b ]上取得最小值3-4a 时所对应的x 的值恰有两个,则实数b 的值等于( ）A 。
2±√2B 。
2-√2或6—3√2C .6±3√2D 。
2+√2或6+3√25.已知函数f （x )={|lgx |,0<x ≤10,-12x +6,x >10,若a ,b ,c 互不相等，且f (a )=f (b ）=f (c ）,则abc 的取值范围是( )A 。
(1,10） B.(5,6) C.(10,12) D.(20，24）6。
已知函数f (x ）=4x与g （x ）=x 3+t ,若f （x ）与g (x )的交点在直线y=x 的两侧,则实数t 的取值范围是（ )A 。
（—6，0]B 。
（-6，6） C.(4，+∞） D 。
（-4，4)7.已知函数f (x ）=|log 2|x||-(12)x,则下列结论正确的是（ ） A 。
f (x ）有三个零点,且所有零点之积大于-1B.f (x )有三个零点,且所有零点之积小于—1 C 。
f (x )有四个零点,且所有零点之积大于1D 。
f (x ）有四个零点，且所有零点之积小于18.（2015安徽高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y=2a 与函数y=｜x —a ｜—1的图象只有一个交点，则a 的值为 .9.(2015湖北高考)函数f (x ）=2sin x sin (x +π2)—x 2的零点个数为 .10.若不等式√9-x 2≤k （x+2)—√2的解集为区间[a ，b ］,且b-a=2，则k= 。
高三年级[理]数学试题_答案解析版
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江西师大附中、临川一中2016届高三第一次联考数学（理）试卷命题人：万炳金 审题人：廖涂凡 2015.12一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1．已知集合{|5},{|20}A x Z x B x x =∈<=-≥，则A B 等于（ ）A ．（2，5）B ．[)2,5C ．{2，3，4}D ．{3，4，5}【答案】C【命题意图】本题主要考查不等式的解法,集合的运算,属容易题.【解析】{4,3,2,1,0,1,2,3,4},{|2}A B x x =----=≥，A B ={2，3，4},选C.2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y ＝e xB ．y ＝ln x 2C ．y ＝xD ．y ＝sin x【答案】B【命题意图】本题主要考查函数性质：单调性、奇偶性等属容易题.【解析】y ＝x ，y ＝e x 为(0，＋∞)上的单调递增函数，但是不是偶函数，故排除A ，C ；y ＝sin x 在整个定义域上不具有单调性，排除D ；y ＝ln x 2满足题意，故选B.3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为（ ）A ．－23B ．－13C ．13D ．23【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列通项及前n 项和公式,属容易题.【解析】 a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝70，解得d ＝23.故选D.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则[()]4f f π=（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】C【命题意图】本题主要考查复合函数求值，属容易题.俯视图【解析】∵π4∈[0，π2)，∴f (π4)＝－tan π4＝－1.∴f (f (π4))＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 5．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[6,2]--C ．(2,6)D ．(6,2)--【答案】A 【命题意图】本题主要考查用特称命题的否定解决问题，属中等题.【解析】∵命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，∴命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx＋2m －3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，∴2≤m ≤6.6．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个函数()f x 的图像，则“()f x 是偶函数”是“φ＝π4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【命题立意】本题考查三角函数的图像变换以及充分必要条件，属中等题.【解析】把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin(2x ＋π4＋φ)，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以则“f (x )是偶函数”是“φ＝π4”的必要不充分条件，选B.7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．18【答案】B 【命题立意】本题考查由三视图构造几何体的直观图并求其体积，属中等题.【解析】三棱柱体积—三棱锥体积.8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >.其中正确命题的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1【答案】C【命题立意】本题主要考查等差数列相关知识及前n 项和增减性等，推理等相关知识，属中等题.【解析】6567677567760,0,0,0S S a S S a S S a a d a a -=>-=<-=+>=-<111112116126711()12()110,6()0,22a a a a S a S a a ++==>==+> 6767670,0,0,a a a a a a ><+>∴>，①②⑤正确9．过双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的左焦点F 作圆2222:a y x C =+的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线1C 于点N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为（ ）A ．5B ．25C ．5+1D ．215+ 【答案】A【命题立意】本题考查圆锥曲线离心率，属中等题.【解析】112,222,FN b F N a FN F N a b a ==-=⇒=则e =.10．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且6AC BC ==，4AB =，则球面面积为（ ）A ．42πB ．48πC ．54πD ．60π【答案】C【命题立意】本题考查立体几何中的球的切接和球的表面积问题，属中等偏难题.【解析】ABC ∆外接圆的半径22742r R =⇒=，2454S R ππ==球表. 11．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠角的平分线，I 为PC 上一点，满足)0||||(>+=λλAP AP AC ACBA BI ，||||4PA PB -=，||10PA PB -=，则||BI BA BA ⋅的值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【命题立意】本题主要考查向量运算，数量积及其几何意义、圆的切线长等，属难题.【解析】||||10PA PB AB -==，PC 是APB ∠角的平分线，又)0||||(>+=λλAP AP AC ACBA BI ，即()||||AC AP AI AC AP λ=+， 所以I 在∠BAP 的角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH ⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA,PB 于E 、F ，4||||=-PB PA ，10||=-PB PA ，()()11322BH BF PB AB PA AB PA PB ⎡⎤==+-=--=⎣⎦， 在直角三角形BIH 中，cos BH IBH BI ∠=，所以cos 3||BI BA BI IBH BH BA •=∠==. 12．已知函数1(0)()ln (0)x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，则函数[()]1y f f x =+的零点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【命题立意】本题考查分段及复合函数零点问题，属难题.【解析】利用数形结合知[()]1y f f x =+仅在(1,)+∞内有一零点.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+＝________.【答案】50【命题立意】本题考查等比数列性质问题，属中等题.【解析】 因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5.于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2a 3…a 20)．而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50，因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝lne 50＝50.14．已知函数()f x 满足(6)()0f x f x ++=，函数(1)y f x =-关于点(1,0)对称，(1)2f =-，则(2015)f =_________.【答案】2【命题立意】本题考查函数周期、图像平移、对称、奇偶性等性质问题，属中等题.【解析】由于()()6+-=x f x f ，()()[]()()x f x f x f x f =+-=++=+∴66612， 故函数的周期为12，把函数()x f y =的图象向右平移1个单位，得()1-=x f y ，因此()x f y =的图象关于()0,0对称，为奇函数，()()()()()()20151671211111112112f f f f f f ∴=⨯+==-=-=-=. 15．设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++的取值范围是__________. 【答案】[]3,11【命题立意】本题考查线型规划、斜率等问题，属中等题. 【解析】232(1)111x y y x x +++=+++，可行域内点与点（-1，-1）斜率的2倍加1. 16．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x ⋅=成立，则称0x 为函数()f x 的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.①()2f x x =-+ ②()sin ,[0,2]f x x x π=∈； ③1()f x x x =+，(0,)x ∈+∞；④()x f x e =； ⑤()2ln f x x =-. 【答案】①②④【命题立意】本题考查方程、函数零点、导数求最值，属中等偏难题.【解析】①由x (2x -+=1得：2210x x -+=⇒=，所以①具有“反比点”. ②设()sin 1h x x x =-，∵h(0)=-1<0, 2022h ππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭, ∴()sin 10sin 1h x x x x x =-=⇒=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，所以②具有“反比点”. ③由21100x x x x x ⎛⎫+=⇒=⇒= ⎪⎝⎭()0,∉+∞，所以③不具有“反比点”； ④若1x xe =令()1,(0)10,(1)e 10x g x xe g g =-=-<=->④具有“反比点”⑤若12ln 1ln 2x x x x -=⇒=-在()0,+∞上 有解， 令()1ln ()ln 10h x x x h x x x e -'=⇒=+=⇒=，可得h(x)在1x e -=有最小值1e --，而112e -->-，所以⑤不具有“反比点” 三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，已知045A =，4cos 5B =. （1）求cos C 的值；（2）若10BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长. 【命题立意】本题考查诱导公式；同角三角函数关系；正弦定理；余弦定理.属中等题.【解析】（1）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴3sin 5B ==．---------2分 cos cos(180)cos(135)C A B B =--=- ---------------- 3分243cos135cossin135sin2BB =+=-⋅+10=-．--------------6分（2）由（1）可得sin C ===．--------------8分 由正弦定理得sin sin BC AB A C =7AB =，解得14AB =．------------10分在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=， 所以CD =-------------------------12分18．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。
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数 列(见学生用书P 144)数列问题以其多变的形式和灵活的解题方法备受高考考试命题者的青睐，历年来都是高考命题的“热点”．对应试考生来说，数列既是重点，又是难点．近年来，高考中数列问题已逐步转向多元化，命题中含有复合数列形式的屡见不鲜，从而，这类问题成为学生应试的新难点．(1)通项探求型 该类题型一般转化为等差、等比数列或常见的简单的递推数列来实现求解，求解过程直接化，求解技巧模式化．(2)大小比较型 比较两个数列的大小关系型问题，一般利用比差法和比商法来达到目的，借助于数的正负性质来判断，从而获解．(3)两个数列的子数列性质型 探索两个数列公共项的有关性质，公共项构成的数列是两个数列的子数列，所以，抓住它们的通项是解题的关键．(4)存在性探索型 该类问题一般是先设后证，然后反推探索，若满足题设则存在，若不合题意或矛盾，则不存在，它是探索性命题中的一种极为典型的命题形式．(5)参数范围型 在复合数列问题中再引入参数，难度更大，探索参数的取值范围对考生来说是一个难点，这类问题主要是建立目标函数或目标不等式，转化为求函数最值和求解不等式．考点一 数列的通项与求和1．使用等比数列的求和公式，要考虑公比q ＝1与q ≠1两种情况，切忌直接用S n ＝a 1（1－q n ）1－q. 2．利用a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）求解a n ，注意对首项的验证．3．数列求解通项公式的方法：(1)等差等比(求解连续项的差或商，商出现字母的时候注意讨论)．(2)利用a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.(3)归纳—猜想—证明法．(4)可以转化为等差和等比的数列(一般大多题有提示，会变成证明题)．①a n ＋1＝pa n ＋q ，令a n ＋1－λ＝p (a n －λ)；②a n ＋1＝pa n ＋q n ，a n ＋1qn ＋1＝p q ·a n q n ＋1q (两边除以q n ＋1)，再由①式转化； ③a n ＋1＝pa n ＋f (n )；④a n ＋2＝p ·a n ＋1＋q ·a n ，令a n ＋2＋α·a n ＋1＝β(a n ＋1＋α·a n )；(5)应用累加、累乘法求数列的通项：a n ＋1＝a n ＋f (n )，a n ＋1＝a n f (n )．(6)对于分式a n ＋1＝a n ka n ＋1，取倒数，数列的倒数有可能构成等差数列(对于分式形式的递推关系)．(7)给定S n ＝f (a n )形式的，可以结合S n －S n －1＝a n ，写成关于a n ，a n －1的关系式，也可以写成关于S n ，S n －1的关系式，关键就是哪个关系式比较容易的求解出结果来．4．数列求和公式法；性质法；分组求和法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法．例 1－1(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 分析：(1)根据题目已知条件，利用方程组思想求出a 1，d .从而求出数列{a n }、{b n }的通项公式．(2)利用错位相减法求数列{c n }的前n 项和T n .解析：由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎨⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12－－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32－. 例 1－2(2015·惠州模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2 014的值．分析：(1)依题意，a 2，a 5，a 14成等比数列⇒(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，可求得d ，继而可求得数列{a n }的通项公式；由b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，可求得数列{b n }的公比q 与其首项，从而可得通项公式．(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1，可求得c 1＝b 1a 2＝3，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，于是可求得数列{c n }的通项公式，继而可求得c 1＋c 2＋…＋c 2 014的值．解析：(1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，且a 2，a 5，a 14成等比数列，∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，解得d ＝2(d ＝0舍去)，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴q ＝3，∴b 1＝b 2q ＝1，∴b n ＝3n －1.(2)∵c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1， ∴c 1b 1＝a 2，即c 1＝b 1a 2＝3. 又c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n (n ≥2)， ∴c n b n＝a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，∴c n ＝2b n ＝2×3n －1(n ≥2)，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，（n ＝1），2×3n －1（n ≥2）. ∴c 1＋c 2＋…＋c 2 014＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32 013＝3＋2(3＋32＋…＋32 013)＝3＋2×3（1－32 013）1－3＝32 014.考点二 数列与不等式不等式证明：(1)证明数列a n >m 或a n <m ，可以利用函数的单调性，或是放缩．(2)证明连续和，若是有12n ＋1，2n ＋1，ln(1＋n )形式的，每一项放缩成可以裂项相消形式，如12n －12n ＋1、2n ＋1－2n －1或ln(1＋n )－ln n (注意证明式子与对应项的大小关系)，还可以变形成等差或是等比数列求和．(3)利用函数的单调性，函数赋值的方法构造．(4)若是上述形式失败可尝试用数学归纳法．(5)对于证明存在性、唯一性问题、大小问题等有时可以尝试反证法．例 2－1(2015·浙江卷)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n(n ∈N *)．(1)证明：1≤a n a n ＋1≤2(n ∈N *)； (2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）≤S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)．分析：(1)先由已知关系式判断数列为递减数列，从而确定a n 的范围，再把等式变形为a n ＋1＝a n ·(1－a n )，利用这一递推数列把a n 表示出来，二者相除证明．(2)把a n ＋1＝a n －a 2n 变形为a 2n ＝a n －a n ＋1，利用消项法表示出S n ，利用不等式性质构造要证明的不等式，使问题解决．解析：(1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，即a n ＋1≤a n ，故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1＞0.由0＜a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n∈[1，2]， 即1≤a n a n ＋1≤2. (2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1.①由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1≤a n a n ＋1≤2得1≤1a n ＋1－1a n≤2， 所以n ≤1a n ＋1－1a 1≤2n ， 因此12（n ＋1）≤a n ＋1≤1n ＋2(n ∈N *)．② 由①②得12（n ＋2）≤S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)． 例 2－2在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ca n ＋c n ＋1(2n ＋1)(n ∈N *)，其中实数c ≠0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对一切k ∈N *有a 2k >a 2k －1，求c 的取值范围．分析：(1)可先归纳猜出a n ，再用数学归纳法证明；还可以将等式化为a n ＋1cn ＋1＝a n c n ＋(2n ＋1)，利用累加法求通项． (2)转化为函数恒成立问题，分类讨论求解．解析：(1)(方法1)由a 1＝1，得a 2＝ca 1＋c 2·3＝3c 2＋c ＝(22－1)c 2＋c ，∴a 3＝ca 2＋c 3·5＝8c 3＋c 3＝(32－1)c 3＋c 2，a 4＝ca 3＋c 4·7＝15c 4＋c 3＝(42－1)c 4＋c 3，猜测a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1，n ∈N *.下用数学归纳法证明．当n ＝1时，等式成立；假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝(k 2－1)c k ＋c k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ca k ＋c k ＋1(2k ＋1)＝c [(k 2－1)c k ＋c k －1]＋c k ＋1(2k ＋1)＝(k 2＋2k )c k ＋1＋c k＝[(k ＋1)2－1]c k ＋1＋c k ，综上，a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1对任何n ∈N *都成立．(方法2)由原式得a n ＋1cn ＋1＝a n c n ＋(2n ＋1)． 令b n ＝a n c n ，则b 1＝1c ，b n ＋1＝b n ＋(2n ＋1)，因此对n ≥2，有b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1c＝n 2－1＋1c ，因此a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1，n ≥2.又当n ＝1时上式成立，因此a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1，n ∈N *.(2)由a 2k >a 2k －1，得[(2k )2－1]c 2k ＋c 2k －1>[(2k －1)2－1]c 2k －1＋c 2k －2，因为c 2k －2>0，所以4(c 2－c )k 2＋4ck －c 2＋c －1>0对k ∈N *恒成立． 记f (x )＝4(c 2－c )x 2＋4cx －c 2＋c －1.下面分三种情况讨论：①当c 2－c ＝0即c ＝0或c ＝1时，代入验证可知只有c ＝1满足要求．②当c 2－c <0时，抛物线y ＝f (x )开口向下，因此当正整数k 充分大时，f (x )<0，不符合题意，此时无解． ③当c 2－c >0，即c <0或c >1时，抛物线y ＝f (x )开口向上，其对称轴x ＝12（1－c ）必在直线x ＝1的左边，因此，f (x )在[1，＋∞)上是增函数．所以要使f (k )>0对k ∈N *恒成立，只需f (1)>0即可． 由f (1)＝3c 2＋c －1>0，解得c <－1－136或c >－1＋136. 结合c <0或c >1得c <－1＋136或c >1.综合以上三种情况，c 的取值范围为－∞，－1＋136∪(1，＋∞)．考点三 数列综合问题例 3－1(2015·广东卷)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *. (1)求a 3的值；(2)求列{a n }的前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n ＜2＋2ln n .分析：(1)通过赋值，分别令n ＝1，2，3代入已知式子求解．(2)为求数列{a n }的前n 项和T n ，先求数列{a n }的通项公式a n ，可根据已知关系式利用数列的递推思想，先求出na n ，再求解．(3)先求出数列{b n }的前n 项和S n ，然后可构造函数证明． 解析：令n ＝1⇒a 1＝1；令n ＝2⇒a 1＋2a 2＝2⇒a 2＝12；令n ＝3⇒a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54⇒a 3＝14.(2)当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝4－n ＋12n －2，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＋na n ＝4－n ＋22n －1，② ②－①，得na n ＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n 2n －1，∴a n ＝12n －1. 又∵当n ＝1时，a 1＝1也适合a n ＝12n －1， ∴a n ＝12n －1(n ∈N *)，易证数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q ＝12.∴数列{a n }的前n 项和T n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2－12n －1. (3)证明：∵b 1＝a 1＝1，∴S 1＜2＋2ln 1成立．又∵b 2＝a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12a 2， b 3＝a 1＋a 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13a 3， …，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n a n ， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n (a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n ， 构造函数h (x )＝ln 1x －1x ＋1，x ＞0，h ′(x )＝1－x x 2，令h ′(x )＞0，解得0＜x ＜1；令h ′(x )＜0，解得x ＞1，∴h (x )＝ln 1x －1x ＋1，x ＞0在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴h (x )≤h (1)＝0，∴ln 1x －1x ＋1≤0，x ＞0(仅当x ＝1时取等号)，即ln x ≥1－1x .又∵ln n ＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －2n －1＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝12＋13＋…＋1n ， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n ＜2＋2ln n ， ∴S n ＜2＋2ln n .例 3－2数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝a ，a n ＋1是函数f n (x )＝13x 3－12(3a n＋n 2)x 2＋3n 2a n x 的极小值点．(1)当a ＝0时，求通项a n ；(2)是否存在a ，使数列{a n }是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析：(1)可求出a 1，a 2，a 3，a 4，然后归纳猜想，用数学归纳法证明．(2)由(1)可知数列{a n }是等比数列，则a n ＝a ·3n －1，且a ·3n >n 2对一切n ∈N *都成立，用导数方法求出a 的取值范围．解析：易知f ′n (x )＝x 2－(3a n ＋n 2)x ＋3n 2a n＝(x －3a n )(x －n 2)．令f ′n (x )＝0，得x 1＝3a n ，x 2＝n 2.①若3a n <n 2，则当x <3a n 时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增；当3a n <x <n 2时，f ′n (x )<0，f n (x )单调递减； 当x >n 2时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增．故f n (x )在x ＝n 2时取得极小值．②若3a n >n 2，仿(1)可得，f n (x )在x ＝3a n 时取得极小值．③若3a n ＝n 2，则f ′n (x )≥0，f n (x )无极值．(1)当a ＝0时，a 1＝0，则3a 1<12，由①知，a 2＝12＝1.因3a 2＝3<22，则由①知，a 3＝22＝4.因为3a 3＝12>32，则由②知，a 4＝3a 3＝12. 又因为3a 4＝36>42，则由②知，a 5＝3a 4＝36.由此猜测：当n ≥3时，a n ＝4×3n －3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，3a n >n 2.事实上，当n ＝3时，由前面的讨论知结论成立． 假设当n ＝k (k ≥3)时，3a k >k 2成立，则由②知，a k ＋1＝3a k >k 2，那么，当n ＝k ＋1时，3a k ＋1－(k ＋1)2>3k 2－(k ＋1)2＝2k (k －2)＋2k －1>0，所以3a k ＋1>(k ＋1)2.故当n ≥3时，3a n >n 2成立．于是由②知，当n ≥3时，a n ＋1＝3a n ，而a 3＝4，因此a n ＝4×3n －3.综上所述，当a ＝0时，a 1＝0，a 2＝1，a n ＝4×3n －3(n ≥3)．(2)存在a ，使数列{a n }是等比数列．事实上，由②知，对任意的n ，都有3a n >n 2，则a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是首项为a 公比为3的等比数列，且a n ＝a ·3n －1. 而要使3a n >n 2，即a ·3n >n 2对一切n ∈N *都成立，只需a >n 23n 对一切n ∈N *都成立．记b n ＝n 23n ，则b 1＝13，b 2＝49，b 3＝13，…令y ＝x 23x ，则y ′＝13x (2x －x 2ln 3)<13x (2x －x 2)．因此，当x ≥2时，y ′<0，从而函数y ＝x 23x 在[2，＋∞)上为单调递减．故当n ≥2时，数列{b n }单调递减，即数列{b n }中最大的项为b 2＝49.当a >49时，必有a >n 23n .这说明，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫49，＋∞时，数列{a n }是等比数列； 当a ＝49时，可得a 1＝49，a 2＝43.而3a 2＝4＝22，由③知f 2(x )无极值，不合题意； 当13<a <49时，可得a 1＝a ，a 2＝3a ，a 3＝4，a 4＝12，…，数列{a n }不是等比数列；当a ＝13时，可得3a ＝1＝12；由③知f 1(x )无极值，不合题意；当a <13时，可得a 1＝a ，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝12，…，数列{a n }不是等比数列．综上所述，存在a ，使数列{a n }是等比数列，且a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫49，＋∞.。