3.1-2逻辑函数的化简
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第三章布尔代数与逻辑函数化简
F = A B C + BC( A + A) + A C ( B + B) = A B C + ABC + A BC + AB C + A B C
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和 ( A + A)
_
乘第二项和第三项， ( B + B)
_
(2) 真值表法。将原逻辑函数A、B、C 取不同 值组合起来，得其真值表，而该逻辑函数是将F=1 那些输入变量相或而成的，如表3 - 3所示。
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= A B + A B + ( A B + A B )CD
令 A B + A B = G, 则
F = G + G CD = G + CD = A B + A B + CD
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3. 应用多余项定律 ( AB + A C + BC = AB + A C )
例 10 解 化简
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此例就是用 (C + C ) 和 ( A + A) 分别去乘第三项和第四项， 然后再进行化简。
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6. 添项法
在函数中加入零项因子 x . x 或 x . x f ( AB . ..) ，利用 加进的新项，进一步化简函数。 例 14 化简 = AB C + ABC AB 。 F
第三章 布尔代数与逻辑函数化简
3.1 3.2 3.3 基本公式和规则 逻辑函数的代数法化简 卡诺图化简
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和 ( A + A)
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乘第二项和第三项， ( B + B)
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(2) 真值表法。将原逻辑函数A、B、C 取不同 值组合起来，得其真值表，而该逻辑函数是将F=1 那些输入变量相或而成的，如表3 - 3所示。
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= A B + A B + ( A B + A B )CD
令 A B + A B = G, 则
F = G + G CD = G + CD = A B + A B + CD
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3. 应用多余项定律 ( AB + A C + BC = AB + A C )
例 10 解 化简
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此例就是用 (C + C ) 和 ( A + A) 分别去乘第三项和第四项， 然后再进行化简。
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6. 添项法
在函数中加入零项因子 x . x 或 x . x f ( AB . ..) ，利用 加进的新项，进一步化简函数。 例 14 化简 = AB C + ABC AB 。 F
第三章 布尔代数与逻辑函数化简
3.1 3.2 3.3 基本公式和规则 逻辑函数的代数法化简 卡诺图化简
数字逻辑电路 第三章 布尔代数与逻辑函数化简(52P)
例4 F=AD+AD+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH 解: 原式=A+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH （吸收律1）
=A+AC+BD+BEG+DEGH (吸收律2)
=A+C+BD+BEG+DEGH（吸收律3） =A+C+BD+BEG （多余项定律）
例5
F=AB+BC+BC+AB F=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C） （互补律A+A=1） =AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC （分配律） =AB+BC+ABC+ABC+ABC（吸收律2： AB+ABC=AB） =AB+BC+ABC+ABC （吸收律2： BC+ABC=BC） =AB+BC+AC（吸收律1:ABC+ABC=AC）
反函数
③ 反演法则
例：求F A B C D E的反函数F
F A B C D E A B C D E A BC D E A BC DE
上述过程要反复应用求反律。而利用反演法则直接写出结果。
F A B C D E
3.1.3 基本公式应用
5.交换律
6.结合律 7.分配律 8.吸收律1
A· B= B· A
A· (B· C)= (A· B)· C A(B+C)=AB+AC (A+B)(A+B)=A
逻辑函数的化简
卡诺图化简法：
优：简单、直观、有一定的步骤、不易出错 缺: ５变量以上无法用
作 业
• p.121 • p.121 3.2.2 (a)(b)(e)(g) 3.3.4
异或逻辑
同或逻辑
定义：只有当两个输入变量A、 定义：只有当两个输入变量A、 B取值相异时，输出为1 B取值相同时，输出为1 逻辑式—— L A B 逻辑符号
国 标
逻辑式—— 逻辑符号
国 标
L=A ⊙B
A B
=1
参与运算 为两变量
L
A B
A B
=1 L
A 国 B
外
L
国 外
L
注意
当多个变量作异或运算时： 若变量中有奇数个1，则运算结果为1； 若变量中有偶数个1，则运算结果为0。
当多个变量作同或运算时： 若变量中有偶数个0，则运算结果为1； 若变量中有奇数个0，则运算结果为0。
方法： （1）找出真值表中使逻辑函数Z=1的那些输入变量 取值的组合； （2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中 取值为1的写为原变量，取值为0的写为反变量；
（3）将这些乘积项相加，即得Z的逻辑函数式。
练习
A
0 0 0 0
B
0 0 1 1
C
0 1 0 1
Z
1 0 1 0
1 1
1 1
0 0
1 1
3.1.3
函数
逻辑函数的简化
一、化简的必要性
Y A B C A B C A BC A B C A B C
化简后
Y B AC
降低成本
必要性 逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少 提高电路的工作 速度和可靠性 逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作
卡诺图化简逻辑函数
卡诺图化简逻辑函数的方法和理论依据摘要：从最小项的定义和性质入手，简述卡诺图化简逻辑函数的理论依据以及化简是否达到最简形式的判定标准。
通过举例来解释利用卡诺图化简少变量逻辑函数的一般方法，以及卡诺图在数字电子技术中其他应用。
另外介绍一种多变量逻辑函数的卡诺图解法。
关键词：卡诺图；最小项；逻辑函数化简；多变量0 引言在逻辑电路的分析和设计中，经常会遇到逻辑函数的化简问题。
如果利用常规的公式法化简，除需要掌握大量的基本公式外，还需要能够灵活、交替地运用各种方法，方可求得最简结果，而且有时不易判断是否已简化到最简形式，技巧性较强，对使用者的要求较高。
当所需化简的逻辑函数输入变量较少时（一般不大于4个），利用科诺图化简法可以更简单、直接的得到逻辑函数的最简表达式。
因此逻辑函数的卡诺图化简法在实际分析、设计电路时有很广泛的应用。
1 最小项定义及其性质1.1最小项的定义设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的“与”项中，每个变量以原变量或者反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。
对于n个变量来说，可有2n个最小项。
任何一个逻辑函数均可表示成惟一的一组最小项之和，称它为标准的与或表达式，也称为最小项表达式。
对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量的其他取值都使该最小项为0。
事实上，真值表的每一行对应着一个最小项。
表（1）中列出了最小项取值为1时，各输入变量的取值。
我们约定：将最小项为l时各输入变量的取值视为二进制，其对应的十进制i作为最小项的编号，并把该最小项记作m i。
如A、B、C三个变量有2n =8个最小项，如表（1）所示。
图（1）1.2最小项的性质最小项具有以下三个性质：(1)全体最小项之和为1；(2)任意两个最小项之积为0；(3)若两个最小项之间只有一个变量不同，即在一个最小项中是原变量，在另一个最小项中是反变量，其余各变量均相同，则称这两个最小项是相邻项。
两个相邻的最小项之和可以合并成一个与项，并消去一个因子。
第3章(1) 逻辑代数
3.2 逻辑函数的卡诺图化简法
3.2.1 最小项的定义及其性质
1、最小项 ⑴、定义：
在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m 中出现一次，则称m为该组变量的最小项。
例：3变量逻辑函数中
ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC 是最小项
一、化简的意义和最简的概念 1、化简的意义
• 节省器材。元器件减少，成本降低。
• 提高了工作的可靠性。单个门电路减少，输入、输出头减 少，电路的工作可靠性提高
· 例： A B·
·· &
１
&
C
·１
&
≥１ Y=ABC+ABC+ABC
A
&
Y=ABC+ABC+ABC
B
≥１
C
=A(BC+BC+BC) =A(BC+BC+BC+BC) =A(B+C)
4、配项法：
利用 A=A（B+ B ）作配项用，然后消去更多的项 Z=AB+ A C+BC=AB+ A C+（A+ A ）BC
=AB+ A C+ABC+ A BC=AB+ A C 也可利用 A+1=1 或 A+A=A 来配项
Z=ABC+ A BC+ AB C=ABC+ A BC+ AB C+ABC =（A+ A ）BC+（ AB +AB）C=BC+C=C
3.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 1 基本关系 加运算规则: 0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1 A+0 =A，A+1 =1，A+A A+A =1 =A， 乘运算规则: 0•0=0 0•1=0 1•0=0 1•1=1
第三章 逻辑代数与 逻辑函数
4
0100 0
5
0101 1
+∑d(11,12,13,14,15)
6
0110 0
7
0111 1
CD AB 00 01 11 10
00 0 1 1 0 01 0 1 1 0
11 ×0 ×0 ×0 ×0 10 0 1 ×0 ×
F=D
F = AD+BCD
8
1000 0
9
1001 1
1010 ×
无
1011 ×
•与或表达式易于从真值表直接写出，而且只需运用一次摩根 定律就可以从最简与或表达式变换为与非-与非表达式，从而 可以用与非门电路来实现。
二. 逻辑函数代数法化简
•最简与或表达式有两个特点: 1．与项(即乘积项)的个数最 少; 2．每个与项中变量的个数最少。
1.消去多余项： 例 F=AB+ABC(E+F)=AB
2.消去合并项： 例 F=ABC+ABC =A(BC+BC)=A
3.消去因子:
例 F=AB+AC+BC
=AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+C
4.添加项配项： 例 F=AB+BC+BC+AB
=AB+BC+BC+AB+AC =AB+BC+AC
•对较简单逻辑函数用代数化简很方便。对较复杂的逻辑 函数化简不但要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，而且 需要一些技巧，特别是较难掌握获得代数化简后的最简 逻辑表达式的方法。
二. 基本运算定律
1.交换律：A B=B A A+B=B+A A + B=B + A 2.结合律：A(B C)=(A B)C (A+B)+C=A+(B+C)
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。
由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。
由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。
通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。
在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。
通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。
⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。
同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。
所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。
每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。
逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。
吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。
3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。
在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。
缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。
第3章 布尔代数与逻辑函数化简
F = GC + G C = G = A B
布尔代数与逻辑函数化简
例8. F = A B C + AB C 解：令 B C = G ，则
F = A G + AG = A
例9. F = A B C + A B C + A B C + AB C 解：原式 = A C + A C = C 利用等幂律，一项可以重复用几次。 利用等幂律，一项可以重复用几次。
F = AB + AC = A B + A C
布尔代数与逻辑函数化简
2. 逻辑函数不同形式的转换 逻辑函数的形式是多种多样的， 逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以用 多种形式的逻辑函数来表示， 多种形式的逻辑函数来表示，每一种函数对应一种逻辑电 路。逻辑函数的表达形式通常可分为五种：与或表达式、 逻辑函数的表达形式通常可分为五种：与或表达式、 与非−与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非 或 与非 与非表达式、与或非表达式、或与表达式、或非−或 与非表达式 非表达式。 非表达式。
布尔代数与逻辑函数化简
例10. F = A B C D + A B C D + A BCD + AB C D + A B C D , 与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。 其中 A B C D 与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。 解：
ABC D + ABC D = BC D A B C D + AB C D = AC D A B C D + A B CD = A B D ABC D + ABC D = ABC
F = A B + AC
布尔代数与逻辑函数化简
第3章 布尔代数与逻辑函数化简3[1].1-3.2
![第3章 布尔代数与逻辑函数化简3[1].1-3.2](https://img.taocdn.com/s3/m/ea93d691daef5ef7ba0d3c67.png)
A B
AB
求反率
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
AB
＝AB
AB
1 0 0 0
1 0 0 0
AB
1 1 1 0
1 1 1 0
3. 分配律证明
ABC B· C
A+BC = (A+B)(A+C)
A+BC (A+B) (A+C) (A+B)(A+C)
000 001 010 011 100 101 110 111
_
_
F A B C D E
_
_
_
_
例2 与上面用摩根定律求出结果一样。
逻辑代数的基本法则
注意：在运用反演规则求一个函数的反函数时，逻辑 运算的优先顺序： 先算括号 与运算 或运算 非运算。
另外，为保持原式的逻辑优先关系， 也要正确使用括 号， 否则就要发生错误。
3.1.3 基本公式应用
(4) 或非-或非式
将或与表达式两次取反， 用摩根定律展开一次 得或非-或非表达式
F ( A B)( A C ) A B A C
_ _
同一逻辑的五种逻辑图
A B A C
&
≥1
A B F A C
& & &
___ _
&
_
F
A B A C
_
&
≥1 F
a )AC与或式; (a) F AB ( A B A C ≥1
那么所得到的表达式就是函数F的反函数 (或称补函数) 。
反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”。
逻辑代数的基本法则
例1： F A( B C ) CD
物联网理论与技术第3章：逻辑函数运算规则及化简
开为最大项之积的形式。
解：F ABC ABC ABC ABC m 1, 4,5, 7
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
( A B C)( A B C)( A B C)( A B C) M 1, 4,5, 7
【例3-12】 将 F ( A B)( A B C) 写成标准或与表达式。 解：F (A B)(A B C) (A B CC)(A B C) ( A B C)(A B C)(A B C) M (0, 2,3)
以上各定律均可用公理来证明，方法是将逻辑变量分别用0和1 代入，所得的表达式符合公理2至公理5。
3.2.2 逻辑代数的基本定律
（8）分配律： A（ B C） AB AC ； A （B C）（A B）（ A C）
加（逻辑或）对乘（逻辑与）的分配律证明如下：
A (B C) A(1 B C) BC A AB AC BC AA AB AC BC A(A B) C(A B) ( A B)(A C)
1
3.3.4 卡诺图表述
(a) 2变量卡诺图
(b) 3变量卡诺图
(c) 4变量卡诺图
图3-2 2、3、4变量的卡诺图
CDE AB
00 01 11 10
000 001 011 010 110 111 101 100
m0
m1
m3
m2
m6
m7
m5
m4
m8
m9
m11
m10
m14
m15
m13
m12
m24
m25
【例3-6】 证明函数 F ( A C)B A(B C) 是一自对偶函数。
证明：
F* (AC B)(A BC) (A B)(C B)(A B)(A C) (A B)(B C)(A C) A(B C)(A C) B(B C)(A C) (B C)(A AC) (B BC)(A C) A(B C) B(A C) F
解：F ABC ABC ABC ABC m 1, 4,5, 7
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
( A B C)( A B C)( A B C)( A B C) M 1, 4,5, 7
【例3-12】 将 F ( A B)( A B C) 写成标准或与表达式。 解：F (A B)(A B C) (A B CC)(A B C) ( A B C)(A B C)(A B C) M (0, 2,3)
以上各定律均可用公理来证明，方法是将逻辑变量分别用0和1 代入，所得的表达式符合公理2至公理5。
3.2.2 逻辑代数的基本定律
（8）分配律： A（ B C） AB AC ； A （B C）（A B）（ A C）
加（逻辑或）对乘（逻辑与）的分配律证明如下：
A (B C) A(1 B C) BC A AB AC BC AA AB AC BC A(A B) C(A B) ( A B)(A C)
1
3.3.4 卡诺图表述
(a) 2变量卡诺图
(b) 3变量卡诺图
(c) 4变量卡诺图
图3-2 2、3、4变量的卡诺图
CDE AB
00 01 11 10
000 001 011 010 110 111 101 100
m0
m1
m3
m2
m6
m7
m5
m4
m8
m9
m11
m10
m14
m15
m13
m12
m24
m25
【例3-6】 证明函数 F ( A C)B A(B C) 是一自对偶函数。
证明：
F* (AC B)(A BC) (A B)(C B)(A B)(A C) (A B)(B C)(A C) A(B C)(A C) B(B C)(A C) (B C)(A AC) (B BC)(A C) A(B C) B(A C) F
数字逻辑 第三章
首先分析给定问题，弄清楚输入变量和输出变量是 哪些，并规定它们的符号与逻辑取值(即规定它们何时 取值 0 ，何时取值1) 。然后分析输出变量和输入变量 间的逻辑关系，列出真值表。 根据真值表用代数法或卡诺图法求最简“与或” 式，然后根据题中对门电路类型的要求，将最简与或 式变换为需要的逻辑函数表达式。
x1
输入信号
F1
F2=f2(x1,…xn)
组合逻辑电路
输出信号
xn
Fm
Fm=fm(x1,…xn)
n个二进制输入变量共有2n种可能的组合。
组合逻辑电路的基本分析方法
分析思路：根据给定逻辑电路，找出输出输入
间的逻辑关系，从而确定电路的逻辑功能。 步骤：
根据逻辑 图，写出 输出函数 的表达式 简化函数 (代数法, 卡诺图法)
F
A3 A4
F2 A3⊕A4 A3 A4 A3 A4
1 2 1 2 1 2
=1
F2
F F ⊕F F F F F
+ A1A 2 A 3 A 4 + A1A 2 A 3 A 4
= A1A 2 A 3 A 4 + A1A 2 A 3 A 4 + A1 A 2 A 3 A 4 + A1 A 2 A 3 A 4 + A1 A 2 A 3 A 4 + A1 A 2 A 3 A 4
3.1.1 简单逻辑门电路
与门 或门 与或非逻辑运算
F1=AB
F2=A+B
F3= A
3.1.2 复合逻辑门电路
与非门
或非门
与或非门
F1=AB
F2=A+B
F3=AB+CD
异或运算
A 0 0 1 1
第3章-布尔代数与逻辑函数化简
与项用与门实现
运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。
根据逻辑式画逻辑图的方法:
将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。
布尔代数与逻辑函数化简
例1 图示为控制楼道照明的开关电路。两 个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和 楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关 灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼 后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑 电路。
ACB AC D BD ACB ACD ABC AD CD
布尔代数与逻辑函数化简
消去法 运用吸收律 A AB A B ，消去多余因子。
Y AB AC BC AB ( A B)C AB ABC AB C
Y AB AB ABCD ABCD
布尔代数与逻辑函数化简
但如果将函数化简后其函数式为 F=AC+B
只要两个门就够了， 如图3 - 4所示。
A
&
C
B
≥1 F
图 3 – 4 函数化简后的逻辑 图
布尔代数与逻辑函数化简
三、代数化简法
运用逻辑代数的基本定律和
公式对逻辑式进行化简。
并项法 运用 AB AB A，
将两项合并为一项，并消去一个变量。
0 –1 ·11律= 1
0+A=A
重叠律
互补律
1+A=1 A+A=A
1 ·A = A A ·A = A
0 ·A = 0
还原律
布尔代数与逻辑函数化简
二、基本定律 (一) 与普通代数相似的定律
交换律 A + B = B + A
A ·B = B ·A
结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A ·B) ·C = A ·(B ·C)
逻辑函数的化简
A BC (A B)(A C)
注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算 的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非 运算，否则容易出错。
逻辑函数的表达式
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、 与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示 形式。
（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。
是另项是
Y1 AB ABCD(E F ) AB
多外的另
运用摩根定律 余 一 因 外 如
的个子一果
。乘，个乘
Y2 A B CD ADB A BCD AD B ( A AD) (B BCD) A B
积则乘积 项这积项
（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。
m4 ABC、m5 ABC、m6 ABC、m7 ABC
最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之
相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。 对应规律：原变量 1 反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
例如： Y AB AC
= AB• AC
与-或 与非-与非
A B•A C AB AC
AB AC AB• AC A B AC
与-或-非 或-与
A BA C A B A C或非-或非
2、最简与-或表达式
所谓最简与-或表达式，是指乘积项的个数是最少 的，而且每个乘积项中变量的个数也是最少的与-或 表达式。这样的表达式逻辑关系更明显，而且便于 用最简的电路加以实现（因为乘积项最少，则所用 的与门最少；而每个乘积项中变量的个数最少，则 每个与门的输入端数也最少），所以化简有其实用 意义。
第5讲 逻辑代数的运算规则及化简法
逻辑代数是分析与设计逻辑电路的数学工具，它表示的是逻辑关系，而不是数量关系。 一 逻辑代数的基本公式
嘉
南 兴
基本公式是逻辑代数的基础， 利用这些公式可以化简逻辑函数， 还可以用来证明一些基
本定律。逻辑常量只有 0 和 1 两种取值，代表两种状态（0 代表低电平、1 代表高电平） 、设
业 职 洋
名称 与运算 或运算
2 对偶规则： 将一个逻辑函数 L 进行下列变换： ·→＋，＋ →· ； 0 → 1，1 → 0； 所得新函数表达式叫做 L 的对偶式，用 L 表示。对偶规则的基本内容是：如果两个逻 辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。 3 反演规则 将一个逻辑函数 L 进行下列变换： ·→＋，＋ →· ； 0 → 1，1 → 0 ； 原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。 所得新函数表达式叫做 L 的反函数，用 L 表示。 利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数。 §3.3-§3.4 逻辑函数的标准表达式 一 标准与或表达式 1 最小项的定义
A ⋅ B + A ⋅C + BCD = A ⋅ B + A ⋅C 6. A ⋅ A ⋅ B = A ⋅ B A⋅ A⋅ B = A
二 逻辑代数的基本运算法则和定律 在逻辑代数中，只有逻辑与、逻辑或、逻辑非三种基本的运算。由这三种运算可以导出 逻辑运算的一些法则和定律，如表 5-2 所示。 表 5-2 逻辑代数的基本法则和定律
解： Y = A BCD + A BCD = A( BCD + BCD) = A 例 5-5
试用吸收法化简逻辑函数： Y = AB + ABC + ABD + AB( C + D )
嘉
第3章逻辑函数运算规则及化简解读
【例3-10】将 F AB ABC 写成标准与或表达式。 。
解：F AB ABC AB(C C ) ABC ABC ABC ABC m 3,6,7
3.4.4 标准或与表达式
【例3-11】将 F ABC ABC ABC ABC 开为最大项之积的形式。
3.4.3 标准与或表达式
【例3-9】将
F ABC ABD
展开为最小项之和的形式。
解：F ABC ABD ABC ( D D) ABD(C C ) ABCD ABCD ABCD ABCD m15 m14 m6 m4 m 4, 6,14,15
3.2.4 逻辑代数的基本规则
1．代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都 代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。 例: A（B+C）=AB+AC，等式中的C都用（C+D）代替， 该逻辑等式仍然成立，即 A（B+（C+D））=AB+A（C+D）
3.2.4 逻辑代数的基本规则
3.2.3 摩根定理
【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数 解：反复应用摩根定理可得：
F ( AB C)( A BC)
F AB C A BC ABC ABC ( A B)C A( B C ) AC BC AB AC A BC
C
0 1 0 1 0 1 0 1
Y
0 0 0 1 0 1 1 1
3.3.4 卡诺图表述
(a) 2变量卡诺图
(b) 3变量卡诺图
(c) 4变量卡诺图
图3-2 2、3、4变量的卡诺图 CDE AB 00 01 11 10 000 m0 m8 m24 m16 001 m1 m9 m25 m17 011 m3 m11 m27 m19 010 m2 m10 m26 m18 110 m6 m14 m30 m22 111 m7 m15 m31 m23 101 m5 m13 m29 m21 100 m4 m12 m28 m20
解：F AB ABC AB(C C ) ABC ABC ABC ABC m 3,6,7
3.4.4 标准或与表达式
【例3-11】将 F ABC ABC ABC ABC 开为最大项之积的形式。
3.4.3 标准与或表达式
【例3-9】将
F ABC ABD
展开为最小项之和的形式。
解：F ABC ABD ABC ( D D) ABD(C C ) ABCD ABCD ABCD ABCD m15 m14 m6 m4 m 4, 6,14,15
3.2.4 逻辑代数的基本规则
1．代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都 代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。 例: A（B+C）=AB+AC，等式中的C都用（C+D）代替， 该逻辑等式仍然成立，即 A（B+（C+D））=AB+A（C+D）
3.2.4 逻辑代数的基本规则
3.2.3 摩根定理
【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数 解：反复应用摩根定理可得：
F ( AB C)( A BC)
F AB C A BC ABC ABC ( A B)C A( B C ) AC BC AB AC A BC
C
0 1 0 1 0 1 0 1
Y
0 0 0 1 0 1 1 1
3.3.4 卡诺图表述
(a) 2变量卡诺图
(b) 3变量卡诺图
(c) 4变量卡诺图
图3-2 2、3、4变量的卡诺图 CDE AB 00 01 11 10 000 m0 m8 m24 m16 001 m1 m9 m25 m17 011 m3 m11 m27 m19 010 m2 m10 m26 m18 110 m6 m14 m30 m22 111 m7 m15 m31 m23 101 m5 m13 m29 m21 100 m4 m12 m28 m20
第3章 布尔代数与逻辑函数化简
由上面可以看出反复用摩根定律即可，当函数较 复杂时，求反过程就相当麻烦。
逻辑代数与逻辑函数
练习二
反演和对偶法则
1、求下面函数F的反函数F
F = AB+C+AD
2、求下面函数F的对偶式F’
F = A（BC+BC）+AC
3、说明对偶法则和反演法则的区别
逻辑代数与逻辑函数
3.1.3 逻辑函数的表达式的形式与转换方法
_ _ _ _ _ _
_
逻辑代数与逻辑函数
例2（2）法2
F A B C D E
F A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_
_
解：用摩根定律
________
( e) F A B A C 或非表达式
逻辑代数与逻辑函数
3.2
逻辑函数的代数法化简
3.2.1 逻辑函数与逻辑图 从实际问题总结出的逻辑函数可以用门电路组合 成逻辑图。
A B
&
≥1
1
1
F
&
图 2 – 14 AB A B 函数的逻辑图
_ _
逻辑代数与逻辑函数
从逻辑问题概括出来的逻辑函数式， 不一定是最 简式。化简电路，就是为了降低系统的成本，提高电 路的可靠性，以便用最少的门实现它们。例如函数：
_
_ ___Fra bibliotek_例4 求 F AB A C 的反函数 解： F AB AC ( A B) ( A C )
AA AB BC AC AB AC
_
逻辑代数与逻辑函数
基本逻辑电路的化简方法
第二章逻辑代数基础2.1 逻辑代数运算提纲：⏹逻辑变量与逻辑函数，⏹逻辑代数运算，⏹逻辑代数的公理和基本公式，⏹逻辑代数的基本定理（三个），⏹逻辑代数的常用公式。
2.1.1 逻辑变量与逻辑函数采用逻辑变量表示数字逻辑的状态，逻辑变量的输入输出之间构成函数关系。
逻辑常量：逻辑变量只有两种可能的取值：“真”或“假”，习惯上，把“真”记为“1”，“假”记为“0”，这里“1”和“0”不表示数量的大小，表示完全对立的两种状态。
2.1.2 逻辑代数运算基本逻辑运算——与、或、非；复合逻辑运算。
描述方法：逻辑表达式、真值表、逻辑符号（电路图）。
定义：真值表——描述各个变量取值组合和函数取值之间的对应关系。
逻辑电平——正逻辑与负逻辑。
2.1.3 逻辑代数的公理和基本公式2.1.3.1 逻辑代数公理有关逻辑常量的基本逻辑运算规则，以及逻辑变量的取值。
(1) 常量的“非”逻辑运算(2~4) 常量的与、或逻辑运算(5) 逻辑状态只有”0”和”1”两种取值2.1.3.2 逻辑代数的基本公式（基本定律）所谓“公式”，即“定律”，如表2. 1：表2. 1 逻辑代数的公式（基本公式部分）2.1.3.3 逻辑代数的三个基本定理所谓“定理”，即代数运算规则。
基本的三个定理：⏹代入定理——在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外的逻辑式代入式中的所有．．A的位置，则等式依然成立。
，⏹反演定理，⏹对偶定理。
2.1.3.3.1 反演定理所谓“反演定理”，得到逻辑函数的“反”的定理。
定义（反演定理）：将函数Y式中的所有…⏹（基本运算符号）“与”换成“或”，“或”换成“与”；⏹（逻辑常量）“0”换成“1”，“1”换成“0”；⏹原变量换成反变量，反变量换成原变量；注意：●变换时要保持原式中逻辑运算的优先顺序；●不属于单个变量上的反号应保持不变；则，所得到的表达式是Y的表达式。
例2.1: 已知)]([F E D C B A Y ++⋅=，求。
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Y A BC A ( B B )( C C ) ( A A ) BC A BC A B C A B C A B C ABC A BC A B C A B C A B C A BC ABC m0 m1 m 2 m3 m7 m ( 0,1, 2,3,7 )
( AC ) B AC B A B C
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1” 换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得 到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称 为反演规则。例如：
AB A B
B 0 1 0 1 AB 0 0 0 1 AB 1 1 1 0 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A+B 1 1 1 0
A 0 0 1 1
3.1逻辑代数的公式、定理和规则
1、逻辑代数的公式和定理 （1）常量之间的关系
与运算： 0 0 0
0 1 0
1 0 0
逻辑函数的公式化简法
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。
A( B C ) AB AC
( A B) ( A B ) A
A BC ( A B )( A C )
注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算 的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非 运算，否则容易出错。
逻辑函数的表达式
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、 与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示 形式。
①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。 ②任意两个不同的最小项的乘积必为0。
③全部最小项的和必为1。
2、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称 为标准与或表达式，也称为最小项表达式 对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1 和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。
逻辑函数及其相等概念 （1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符 连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母 A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为 输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非 运算符的叫做反变量。 （2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、 C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值， 则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为
4、最简或非-或非表达式 非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。
Y A B AC ( A B )( A C ) ( A B )( A C ) A B A C
①求最简或非-或非表达式 ③用摩根定律去 掉下面的非号
②两次取反 ５、最简与或非表达式 非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量 也最少的与或非表达式。 面去 ② 的掉 用 Y A B AC A B A C A B AC 非大 摩 号非 根 号定 ①求最简或非-或非表达式 下律
Y f ( A, B, C , )
注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变 量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两 种不同的状态，没有数量的含义。
（3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数
Y1 f ( A, B, C , )
Y2 g ( A, B, C , )
=A+BC
（4）常用公式
A B A B A 还原律： ( A B ) ( A B ) A
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
1、逻辑函数的最小项及其性质 （1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的 全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且 仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常 称为最小项。 3个变量A、B、C可组成8个最小项：
A B C 、A B C、A BC 、A BC、AB C 、AB C、ABC 、ABC
（3）最小项的性质：
3 变量全部最小项的真值表 ABC ABC A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 m0 1 0 0 0 0 0 0 0 m1 0 1 0 0 0 0 0 0 m2 0 0 1 0 0 0 0 0 m3 0 0 0 1 0 0 0 0 m4 0 0 0 0 1 0 0 0 m5 0 0 0 0 0 1 0 0 m6 0 0 0 0 0 0 1 0 m7 0 0 0 0 0 0 0 1
A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B
证明分配率：A+BA=(A+B)(A+C) 证明：
(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC
=A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC
分配率 A(B+C)=AB+AC 等幂率AA=A 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB A C ABC A BC
AB (1 C ) A C (1 B )
AB A C
2、逻辑代数运算的基本规则 （1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出 现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规 则称为代入规则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数Y=AC代替等式中 的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
m3＝ABC m5＝ABC
Y m1 m 2 m3 m5
m (1,2,3,5)
A B C A BC AB C AB C
将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到 反函数的最小项表达式。
本节小结
逻辑代数是分析和设计数字电路的重 要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻 辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可 以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的 分析和设计问题。 与、或、非是3种基本逻辑关系，也 是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或 非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑 运算复合而成的4种常用逻辑运算。 逻辑代数的公式和定理是推演、变 换及化简逻辑函数的依据。
3.2 逻辑函数的化简
1 逻辑函数的最简表达式
2 逻辑函数的公式化简法
3 逻辑函数的图形化简法 4 含随意项的逻辑函数的化简 退出
逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它 的电路越简单，电路工作越稳定可靠。
逻辑函数的最简表达式
1、最简与或表达式 乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或 表达式。
Y AB CD E
Y A BC D E
Y ( A B )( C D E )
Y A B C D E
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少 一半。例如：
A B A B A
11 1
或运算： 0 0 0
非运算： 1 0
0 11
0 1
1 0 1
111
（2）基本公式
A 0 A 0-1 律： A 1 A
互补律： A A 1
A 1 1 A 0 0
A A 0
等幂律： A A
A A A
（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下 标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量 顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进 制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。 3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
m0 A B C 、 m1 A B C 、 m2 A B C 、 m3 A BC m4 A B C 、 m5 A B C 、 m6 AB C 、 m7 ABC
Y AB CD E
Y A BC D E
Y ( A B )( C D E )
Y A B C D E
（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中 的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换 成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇， Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小 项相加，便是函数的最小项表达式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 0 1 1 1 0 1 0 0
最小项 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
m1＝ABC
m1＝ABC
( A B ) C A ( B C ) 结合律： ( A B ) C A ( B C )
A 0 0 A (B C ) A B A C 1 分配律： A B C ( A B) ( A C ) 1
（1）与或表达式： Y A B AC （2）或与表达式：Y ( A B )( A C ) （3）与非-与非表达式：Y A B AC （4）或非-或非表达式：Y A B A C （5）与或非表达式：Y A B A C
一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个 逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。