逻辑函数及其化简

一、最小项
（已讲过）
二变量全部最小项有m0~m3共4个； 三变量全部最小项有m0~m7共8个；
四变量全部最小项有m0~m15共16个；
最小项的性质：
1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为1； 2）全体最小项之和为1； 3）任意两个最小项的乘积为0；
4）具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。 只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。 例如: ABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。 将它们合并，可消去因子: ABC+ABC =（A+A） BC = BC
当ABC=000 时，输出停机码00； 当只有A=1时，输出加法操作码01； 当只有B=1时，输出减法操作码10；
当只有C=1时，输出乘法操作码11； 其它输入状态不允许出现， 试画电路的逻辑图。
1 、 列真值表 A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
2、约束项(无关项)的表示
0 0 1 1
0 1 0 1
m0 m1 m2 m3
3、四变量的全部最小项 编号为 m0~ m15 （略）
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
（二） 逻辑函数式表示法 在真值表中，将为“1”的输出 逻辑值所对应的输入变量的最小项相 加，即得对应的函数式。
已知：
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y1 Y0
0 1 1 X 0 1 0 X
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 X X X
1 X X X
当限制某些输入变量的取值不能 出现时，可以用它们对应的最 小 项恒等于0来表示。 ABC = 0 ABC = 0 本例的约束项为 ABC = 0 ABC = 0 或：ABC+ABC+ABC+ABC=0 或： ∑（m 3 ，m 5 ，m 6 ，m 7 ，）= 0 Y1= m1+ m2 Y0= m1+ m4 约束项：m 3+m 5+m 6+m 7 = 0
§2-6
一、最简标准
逻辑函数的公式化简法
逻辑函数式中，包含的或运算的项最少；每一项中 包含与运算的因子最少，则此函数式为最简函数式
二、常用的最简形式
有与-或式和与非-与非式。 将与-或式取两次非可得与非-与非式。 例：Y=AB+AC+BC 化为
Y=AB+(A+B)C = AB+ABC = AB+C（最简与或式） = AB+C = AB· C （最简与非-与非式）
Y
≥1
按与-或式AB+C设计此逻辑电路，
& A BC
& & A B &
需两块芯片
二输入四或门74LS32一片
二输入四与门74LS10一片
按与非-与非式 AB· C 设计此逻辑电路，
只需要：二输入四与非门74LS00一片
C
常用的公式化简方法：
三、逻辑函数的公式化简法（自学）
利用基本公式和常用公式，再配合并项法、吸收法、配项法。
§2-7 逻辑函数的卡诺图化简法
一、卡诺图（n 变量全部最小项的卡诺图）
将 n 变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻，所得图形叫 n 变量 全部最小项的卡诺图。
1、一变量全部最小项的卡诺图
一变量Y=F（A）， 全部最小项： A， A Y A 0 1 YA 0 1 卡诺图： m0 m1 A A
=∑(m1 , m2 ,m3 , m4 , m5 , m6 )
01 1 1 01 1 1
11 1 0 11 1 0
10 1 1 10 1 1
2-7-2
逻辑函数的卡诺图化简法
化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。 （画矩形圈）。 化简规则：能够合并在一起的最小项是2 n 个 如何最简： 圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。 特ຫໍສະໝຸດ Baidu注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到， 不能合并的 1 必须单独画 圈。
例2：将Y2=Σ (m0 m2 m4 m6 m8 ~ m15 )化简为最简与或式。
Y2 CD AB 00 01 0 00 1 0 01 1 11 1 1 10 1 1 11 0 0 10 1 1 1 1 Y2 = A + D 此例说明，为了使化简结果 最简，可以重复利用最小项。 Y2 CD AB 00 01 0 00 1 0 01 1 11 1 1 10 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1
m1 m3 m2 m5 m7 m6
m2 m3 m6 m7 m4 m5
4、四变量全部最小项的卡诺图 Y= F（A、B、C、D）
Y CD AB 00 00 m0 01 11 01 11 10
YD 0 ABC 000 m0 001 011
1
10
m4 m12 m8
m1 m5 m13 m9
m3 m7 m15 m11
2、二变量全部最小项的卡诺图 Y AB 00 01 11 10 Y= F（A、B） AB AB AB AB Y B 0 1 A 0 m0 m 1 01 11 10 Y AB 00 m0 m 1 m3 m 2 1 m2 m 3
3、三变量全部最小项的卡诺图 Y=F（A、B、C） Y BC 00 A 0 m0 1 m4 01 11 10 YC 0 1 AB 00 m0 m1 01 11 10
m2 m6 m14 m10
010
110 111 101
注意： 在卡诺图中，
100
m2 m6 m4 m12 m14 m10 m8
m1 m3 m7 m5 m13 m15 m11 m9
左右、上下； 每一行的首尾； 的最小项都是逻辑相邻的。 每一列的首尾；
二、用卡诺图表示逻辑函数
方法一： 1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。 2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填 1，其余方格中填 0。 例： Y = AC + AC + BC + BC 用卡诺图表示之。 解： Y=A(B+B)C + A(B+B)C + (A+A)BC + (A+A)BC Y BC 00 A 0 0 卡诺图： 方法二： 1 1 根据函数式直接填卡诺图 Y BC 00 A 对于AC有： 对于AC有： 0 0 对于BC有： 对于BC有： 1 1
将Y1=AC+AC+BC+BC 化简为最简与或式。 Y BC Y BC 00 01 11 00 01 11 10 A A 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1
Y1 = A B + A C + BC
例1：
10 1 1
Y1 = AC + BC + A B
上两式的内容不相同，但函数值一定相同。 此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
3 、 写逻辑函数式
二、逻辑函数的最小项之和形式
利用基本公式 A+A=1 可以把任何逻辑函数化为最小项 之和 的标准形式。
例1：Y=AB+B 可化为
Y= AB + B = AB +AB +AB （A+A） = m 3 + m 2 + m 0 =∑（m0，m2，m3） 例2：Y=AB+C 可化为 Y=AB(C+C) + (A+A)(B+B)C =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =m7+m6 +m7+m3 +m5 +m1 = ∑（m 1，m 3，m 5，m 6，m 7）
§2-5 逻辑函数及其表示方法
2-5-1 逻辑函数 2-5-2 逻辑函数的表示方法
真值表表示法、逻辑函数式表示法、 逻辑图表示法、波形图表示法、 卡诺图表示法等。
例：某一逻辑电路，对输入两路信号A、B进行比较， A、B相异时，输出为1；相同 时，输出0。 试表示其逻辑关系。 输出 输入 A B Y 一、真值表表示法 0 0 0 0 1 1 （状态表表示法） 1 0 1 1 1 0
二、逻辑函数式表示法
(一） 最小项 在 n 变量逻辑函数中，若 m 是包含 n 个因子 的乘项积，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在 m 中出现一次，则称m 为该组变量的最小项。 1、二变量的全部最小项 2、三变量的全部最小项 A B 最小项 AB AB AB AB 编号 ABC 000 001 010 011 100 101 110 111 最小项 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 编号
Y 0 1 1 0
所以： Y= AB + AB = m1 + m2 = （ m1 ， m2 ）
三、 逻辑图表示法
A 1
四、 波形图表示法
AB
≥1 Y
&
&
A
1
B
B
Y
AB
五、卡诺图表示法（在本章第七节中讲）
2-5-3
逻辑函数的两种标准形式
标准形式：最小项之和形式 、 最大项之积形式。 这里，重点介绍最小项之和形式。
1 1
例3：用圈 0 法化简Y2。
解：若卡诺图中1的数目远远 大于0的数目，可用圈 0 的方法。
Y2 = AD
Y2 = AD =A+D
§2-8 具有无关项的逻辑函数的化简
2-8-1 无关项
在实际的数字系统中，会出现这样一种情况：函数式中没 有包含的某些最小项，写入或不写入函数式,都不影响原函数的 值,不影响原函数表示的逻辑功能，这样的最小项叫“无关项”。 无关项由“约束项”和“任意项”形成，这里只介绍由约 束项形成的无关项. 例: 一个计算机操作码形成电路， 有三个输入端A B C ，有两个输出端Y1、Y0；