信号分析

2、指数形式的傅立叶级数
运算比较方便
• 用正交函数集来表示周期信号另一种更常用的方法 是傅立叶级数的指数表示法，称为指数傅立叶级数。 • 三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同 类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方 法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计 算。 • 根据欧拉公式

分解周期信号的条件
• 狄里赫利（Dirichlet）条件 要将一周期信号分解为谐波分量，代表这一周期 信号的函数f(t)应当满足下列条件： t T （1）在一周期内，函数是绝对可积的，即 t | f t | dt
1 1
应为有限值； （2）在一周期内，函数的极值数目为有限； （3）在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者值有有限 个不连续的间断点，在这些点上函数取有限值，即当t从 较大的时间值和较小的时间值分别趋向间断点时，函数 具有两个不同的有限的函数值。
• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。

lim f (t ) lim f (t )

上节知识回顾： 正交函数的概念
一、 正交函数集 从高等数学中我们知道，在区间(t1,t2)定义的两个函数f1(t)、 f2(t)，若二者的乘积在区间(t1,t2)的积分等于零时， 即当

由信号正交分解的思想可知，任意信号都可视为一 系列正弦信号的组合，这些正弦信号的频率、相位等特 性势必反映了原信号的性质，这样就出现了用频率域的 特性来描述时间域信号的方法，即信号的频域分析法。 实际上，信号的频域特性具有很强的物理意义，例如 光线的颜色是由频率决定的，声音音调的不同也在于频率 的差异，而且人耳对声音信号的频率变化的敏感程度远大 于对强度变化的敏感程度，等等。可见频率特性是信号的 客观性质，正如在上一节中所提到的，在很多情况下，它 甚至比信号的时域特性更能反映信号的基本特性。
t 0 T t 0 T

t0
e
jmt
(e
jnt *
) dt
t0
e
j( m n )t
0 (m n) dt T (m n)
(8)
（一）周期信号的傅立叶级数展开式
1、三角形式的傅立叶级数 • 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各 种频率成分的正弦波之和。 • 对于任何一个周期为 T0 、且定义在区间（ - T0/2, T0/2）内的周期信号x(t)，只要满足狄里赫利条件都 可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
x（t）=x（t+mT） m=0，±1， ± 2，……… （1-46）
式中，满足上式的最小T值称为该信号的周期，其倒数 1／T称为信号的频率，通常用f表示；频率的2π倍，即 2 πf或2 π ／T称为信号的角频率，常记为ω0。
周期信号的频谱分析
周期信号的傅里叶级数展开式 周期信号的频谱 周期信号的功率分配
第二节 连续信号的频域分析
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析 傅里叶变换的性质

频域分析
从本节开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
e j t cos t j sin t 1 jn1t cos n1t e e jn1t 2 1 jn1t j sin n1t e e jn1t 2
•当n取-∞和+∞之间包括0在内的 所有整数，则函数集ejnω0t（其中 n=0,±1,±2,……）为一完备的正 交函数集。任意周期信号x(t)可在 时间区间（-T0/2,T0/2）内用此函 数集表示为
x（t） n 0t j sin n 0t ]dt [cos x（t）e jn 0t dt
其中n=±1， ±2， ±3，…. (1-54)
例题（书上P29）
对于实信号x（t），由于x*（t）=x（t），有
x（t）
用-n代替n，则
n
X（n 0） jn0t e

a0 xt (an cosn 0t bn sin n 0t ) （1-47） • 2 n1 • 上式的无穷级数称为三角傅立叶级数，a0 是频率为 零的直流分量（如图），式中系数值a0、an、bn为
直流 分量 系数
2 a0 T0 2 an T0 2 bn T0
考察函数集{1,cosω 0t, cos2ω 0t,…, cosn ω 0t,…,
0 (m n) t 0 T t0 cosn0t cosm0t dt T (m n) 2 0 (m n) t 0 T t0 sin n0t sin m0t dt T (m n 0) 2
本节主要内容：
•本节从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出 傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步 掌握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅 里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于 傅里叶变换的一种特殊表达形式。 •本节还研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
* j
(4)
则称此复变函数集是正交函数集。
如果在正交函数集f1(t),f2(t),…,fn(t)之外，不存在函数
y() 满足等式

t2
t1
f i (t ) y(t )dt 0
(i=1, 2, …, n)
则称此函数集为完备正交函数集。
二、三角函数集 sinω 0t,sin2ω 0t,…,sinnω 0t,…}在区间(t0,t0+T) T 2 π 0 上的特性，发现它是完备的正交函数集。这是因为
由式（1-48）知，其中的直流分量是信号在一个周期内的平均值。
傅立叶级数还可以改写成（三角函数正交集表示）：
A0 x（t） An cos n 0t n） （ 2 n1
(1-51)
式中： An an bn
2
2
n=1，2，……
(1-52)
bn n arctan an
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可以用正弦 函数级数表示” 1822年首次发表在“热的分析理论”书中 拉格朗日反对发表 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件

傅里叶的两个最主要的贡献

周期信号都可以表示为谐波关系的正弦 信号的加权和——傅里叶的第一个主要 论点 非周期信号都可以用正弦信号的加权积 分表示——傅里叶的第二个主要论点
－T

T 2
0 －1
T 2
T
2T
t
图1-21 周期方波信号

解：我们将信号按式(1-47)分解成傅里叶 级数,并按式(1-49)、(1-50)、(1-48)分别 计算an, bn及a0。
2 an T 2 T

T 2 T 2 0 T 2
f (t ) cos(2 nft )dt 2 ( 1) cos(2 nft )dt T
1 x（t） An e j n e jn0t X（n 0）jn0t e 2 n n
（1-53） •求出X（n ω0 ），信号分解的任务就完成了。
1 1 1 An e j n [ An cos n jAn sin n ] （an jbn） 2 2 2
X（n 0）
将an、bn按（1-49）、（1-50）代入可得：
1 X（n 0） T0 1 T0 1 T0

T0 2 T 0 2
1 x（t） n 0tdt j cos T0

T0 2 T 0 2
x（t） n 0t sin

T0 2 T 0 2 T0 2 T 0 2
发展历史
1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传 导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 一百多年来，傅里叶方法在各个领域获得了成功而广泛的 应用，成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。 傅里叶方法并非对解决实际应用中地一切问题都那么有 效，仍有其一定的局限性，比如对非线性系统和非平稳信号 等问题的分析就很显不足。 FFT为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
本节学习目标：



掌握信号的傅里叶级数分析法和傅里叶变换 分析法，能对常用信号进行频域分析 熟悉信号的时域特性和频域特性间的对应关 系 理解信号频谱的意义并掌握常用信号的频谱 掌握系统的频域分析法 理解并应用抽样信号和抽样定理
一、周期信号的频谱分析
正如在绪论中所描述的，周期信号是定义在(-∞， ∞) 区间，每隔一定时间T按相同规律重复变化的信号， 可表示为
式（1-51）是三角傅里叶级数的另一种形式，它表明一个周期 信号可以分解为直流分量和一系列余弦或正弦形式的交流分量。
An-，n-分别称为幅值谱和相位谱，统称 为频谱。
信号的三角傅里叶级数形式具有比较明确的物理意义， 但运算不方便。在连续信号的时域描述中知道，正弦型 信号和复指数型信号具有同一性，因此，利用欧拉公式 可以得出傅里叶级数的指数形式。
(5)
(6)

t 0 T
t0
sin n0t cos m0t dt 0
(对于所有的m和n)
(7)
三、复指数函数集
2π 0, t0+T) T 0 上也是完备的正交函数集。它在区间(t0, t0+T)满足