信号处理课件第12章_1参数模型功率谱估计
功率谱估计教材
1 ˆxx (m) r N
ˆ ( w) P BT
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
m m
ˆxx (m) e jwm r
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：
ˆxx (m) r ˆxx (m) r 0
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。 先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
m
jwm ˆ E[rxx (m)]e
窗函数法
则自相关函数的变化：
1 ˆxx (m)] E[r N
n
E[ x(n)v(n) x(n m)v(n m)]
1 E[ x(n) x(n m)] v(n)v(n m) N n
1 rxx (m) N
这样，功率谱估计为：
m N 1 m N 1
| m | N 1 else
ˆ ( w) P BT
jwm ˆ rxx (m) e
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
1 N 1 Pxx (w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N N n 0
功率谱分析ppt课件
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
现代信号处理_完美版PPT
•
测量信号v(n)是均值为零，方差为
2 v
的高斯白噪声；
且v(n)与信号x(n)统计无关，即v(n)不影响信号的谱形状
故有
S y ( y ) S x (x ) v 2 u 2 H () 2 v 2 R u ( m y ) E [ u ( n ) y ( n m ) ] u 2 h ( m )
2
高阶谱估计
➢ 研究的必要性 ➢ 高阶统计量 ➢ 高阶谱 ➢ 高阶累积量和多谱的性质 ➢ 三阶相关和双谱及其性质 ➢ 基于高阶谱的相位谱估计 ➢ 基于高阶谱的模型参数估计 ➢ 多谱的应用
参考:《现代数字信号处理》(184-199；204-205)
3
研究高阶谱的必要性
❖ 关于模型参数估计问题
• 所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序列(如模 型输出端所观测到的信号y(n)来估计图中随机信号模型 的参数，)
i1
i1
即不同ARMA过程具有相同形状的功率谱。这一特性 称为相关函数的多重性或模型的多重性。
9
随机信号的高阶特征（续）
两个具有零均值和相同方差的高斯白色噪声和 指数分布白色噪声显然是不同的随机过程，但它 们的功率谱相同。
用这样两个白色噪声激励同一个ARMA模型，产生的 两个ARMA过程显然是不同的随机过程，但它们的
• 与前面所述不同之处在于：这里考虑了观测过程所引 入的噪声v(n).
v(n)
u(n)
H(z)
x(n) ∑
y(n)
(h(n))
4
研究高阶谱的必要性
❖ 基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷
• 前述模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与 信号的自相关函数或功率谱包络相匹配；其功率谱不 含信号的相位特性，亦称盲相。即
功率谱估计
功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。
对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。
功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。
如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。
参数法功率谱估计
参数法功率谱估计一、信号的产生（一）信号组成在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。
（二）程序N=1024;n=0:N-1;xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024);这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号其波形如下0100200300400500600-8-6-4-2246810(a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形二、参数模型法功率谱估计（一）算法原理简介1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n 激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出；② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数；③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。
2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。
“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。
此模型可以表现为以下三式：① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1)()()(；② ∑=-+==p k kk z a z A z H 111)(1)(；③ 2121)(∑=-+=p k jwkk jw x e a e P σ。
3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下：=)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a pk x k 0=m 时。
（二）两种AR 模型阶次的算法1．Yule-Walker 算法(自相关法)（1）算法主要思想Yule-Walker 算法通过解Yule-Walker 方程获得AR 模型参数。
从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。
现代功率谱估计
现代功率谱估计
现代功率谱估计是一种使用现代信号处理技术来计算信号功率谱的方法。
功率谱表示信号在频率域上的能量分布情况，描述了信号在不同频率上的能量或功率的分布。
在现代信号处理中，有几种方法可以用于功率谱估计：
周期图法（Periodogram Method）：这是最简单的功率谱估计方法之一。
通过对信号进行傅里叶变换，然后取幅度的平方得到功率谱估计。
但是在实际应用中，可能需要对信号进行分段并对每个段进行周期图法计算，最后取平均值来获得更准确的估计结果。
Welch方法：这是一种常用的功率谱估计方法，它通过将信号分成多个段并对每个段进行周期图法计算，最后对所有段的结果进行平均来减小估计的方差，提高估计的准确性。
改进的周期图法：包括Bartlett、Hanning、Hamming等窗口函数来改进周期图法，减小泄漏效应leakage effect，提高频谱估计的分辨率和准确性。
自回归AR模型：利用信号的自相关性建立AR模型，然后通过这个模型来计算功率谱。
这种方法在非平稳信号和具有明显谱峰或特定频率成分的信号表现上较好。
这些现代功率谱估计方法可以根据不同的信号特点和应用需求选择合适的方法，并在工程、信号处理和科学领域有着广泛的应用。
经典功率谱估计
雷达和声呐系统
目标检测
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计常被用于目标检测。通过对接收到的信号进行功率 谱分析，可以判断是否存在目标以及目标的位置和速度等信息。
距离和速度测量
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于距离和速度测量。通过对接收到的信号 进行功率谱分析，可以估计出目标与系统之间的距离和相对速度。
信号分类
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于信号分类。通过对接收到的信号进行功 率谱分析，可以判断目标的类型，例如区分飞机、船舶或车辆等不同类型目标。
05 经典功率谱估计的改进方 法
基于小波变换的功率谱估计
1
小波变换能够将信号分解成不同频率和时间尺度 的分量，从而更好地揭示信号的内在结构和特征。
然而，这些方法通常需要较长 的数据长度和较为复杂的计算 过程，对于短数据和实时处理 的应用场景具有一定的局限性 。
研究展望
01
随着信号处理技术的发展，经典功率谱估计方法仍有进一步优化的空 间。
02
针对短数据和实时处理的应用场景，研究更为快速、准确的功率谱估 计方法具有重要的实际意义。
03
结合机器学习和人工智能技术，探索基于数据驱动的功率谱估计方法 是一个值得关注的方向。
优点
能够提供较高的频率分辨率和较低的估计误差。
原理
格莱姆-梅尔谱估计利用了信号的模型参数，通过 构造一个模型函数来描述信号的频率响应特性， 并求解该函数的极值问题得到信号的功率谱。
缺点
需要预先设定模型函数的形式和参数，且计算复 杂度较高。
03 经典功率谱估计的优缺点
优点
01
02
03
算法成熟
经典功率谱估计方法经过 多年的研究和发展，已经 相当成熟，具有较高的稳 定性和可靠性。
数字信号处理中的功率谱估计原理探讨
数字信号处理中的功率谱估计原理探讨功率谱估计是数字信号处理中的一项重要任务，它用于分析信号的频率成分和功率分布特性。
在许多应用领域，如通信系统、语音处理、雷达信号处理等，功率谱估计被广泛应用。
本文将探讨功率谱估计的基本原理，介绍几种常用的功率谱估计方法，并讨论其优缺点。
一、功率谱估计的基本原理在数字信号处理中，功率谱估计是通过对信号进行频谱分析来获取信号的功率分布信息。
功率谱表示信号在不同频率下的功率强度，它可以反映信号的频域特性。
常用的功率谱估计方法有周期图法、非周期图法和模型法等。
周期图法基于周期自相关函数的峰值来估计信号的功率谱，适用于周期信号和稳态信号；非周期图法通过对信号进行傅里叶变换来估计功率谱，适用于非周期信号和非稳态信号；模型法则是基于信号模型假设，将信号拟合为数学模型，从而得到功率谱估计结果。
二、常用的功率谱估计方法1. 周期图法周期图法是一种基于周期性信号特点的功率谱估计方法。
它通过计算信号的周期自相关函数来实现功率谱估计。
常用的周期图法有自相关法和互相关法。
自相关法是基于信号与其自身的相关性来估计功率谱的，它通过计算信号的自相关函数来得到功率谱。
自相关法对于周期信号和稳态信号有较好的性能，但对于非周期信号和非稳态信号的估计结果则较差。
互相关法是通过计算信号与加性白噪声之间的互相关函数来估计功率谱的。
互相关法在估计非周期信号和非稳态信号的功率谱时表现较好，但对于周期信号的估计结果则较差。
2. 非周期图法非周期图法是一种基于信号的频谱特性的功率谱估计方法。
它通过信号的傅里叶变换来获得信号的频谱信息，并进一步得到功率谱的估计结果。
常用的非周期图法有快速傅里叶变换法和滤波器法。
快速傅里叶变换法是一种高效计算信号频谱的方法。
它通过对信号进行快速傅里叶变换，将信号从时域转换到频域，并得到信号的频谱信息。
通过对频谱进行平方运算可以得到信号的功率谱估计结果。
滤波器法是一种基于滤波器的功率谱估计方法。
数字信号处理中的功率谱密度估计
数字信号处理中的功率谱密度估计数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一种对连续时间信号进行数字化处理的技术，广泛应用于通信、音频、图像、雷达等领域。
在数字信号处理中，功率谱密度估计是一项重要的技术，用于分析信号的频率成分和能量分布。
一、引言功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是信号功率在频域上的分布，它反映了信号在不同频率上的能量强弱情况。
在数字信号处理中，由于信号是以数字形式存在的，因此需要通过一定的方法来估计信号的功率谱密度。
二、频谱估计方法频谱估计方法是用于估计信号功率谱密度的技术。
常见的频谱估计方法包括周期图法、自相关法、Burg方法、Welch方法等。
1. 周期图法周期图法是一种直接估计信号周期图的方法，通过将信号分成若干段进行快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT），然后将各段频谱进行平均得到功率谱密度估计。
2. 自相关法自相关法是通过信号与自身进行相关计算，得到自相关函数，并通过傅里叶变换得到功率谱密度估计。
自相关法能够较好地估计周期性信号的功率谱密度。
3. Burg方法Burg方法是一种模型拟合的方法，通过拟合信号的自回归（Auto-regressive，AR）模型，从而得到信号的频谱估计。
Burg方法适用于非平稳信号，并且能够较好地估计窄带信号的功率谱密度。
4. Welch方法Welch方法是一种经典的频谱估计方法，它将信号分段，对每段信号进行窗函数加权，然后通过傅里叶变换得到每段信号的功率谱密度估计，最后将所有段的功率谱密度进行平均得到最终的估计结果。
三、功率谱密度估计的应用功率谱密度估计在数字信号处理中具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 通信领域在通信系统中，功率谱密度估计用于信号频谱分析、频率选择性衰落分析、频带分配等。
准确的功率谱密度估计可以提供可靠的信号分析结果，对系统性能评估和调试具有重要意义。
功率谱估计
W(n)为零均值方差为1的AWGN，n=1,2,3……,128
1.1周期图法：
我们知道随机信号的功率谱和自相关函数是一对傅式变换对：
而自相关函数定义为：
对于平稳随机过程，并由功率谱的偶函数特性得：
实际得到的随机信号只能是它的一个样本的片断，因此只能用有限长的样本序列来估计功率谱，这相当于用一个有限宽度（N）的窗函数 去乘样本序列，于是有（用离散频率K代替ω）：
title('周期图法');
xlabel('Hz');
ylabel('dB/Hz');
window1=hamming(128);
noverlap=20; %数据20%的重叠
[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,'onesided');
plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);
仿真结果：
2.现代功率谱估计
现代功率谱估计即参数谱估计方法是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。主要方法有最大熵谱分析法（AR模型法）、Pisarenko谐波分解法、Prony提取计点法、Prony谱分解法以及Carpon最大似然法。其中AR模型应用较多，具有代表性。常用的模型有ARMA模型、AR模型、MA模型。
这就是用样本序列片断的DFT来估计功率谱的式子。由于加了矩形窗，使得这种直接的周期图估计平滑性、一致性和分辨率不能满足实际要求，因此有必要对上式作一些修改，这些修改主要有两种方法：
1.分段平均：即将长度为N的数据分成L段（允许有重叠），分别求出每一段的功率谱，然后即以平均。这样L个平均的方插笔每个随机变量的单独方差小L倍。
功率谱估计的经典方法PPT课件
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
6
时间平均
（11）一个平稳随机过程的一个取样序列的时间平均等于它的集合平
均，则称它是遍历性随机过程。时间平均记为 x(n) ，则取样序列的算术
平均值和时间取样自相关序列定义为
x(n) lim 1
功率谱估计的经典方法
版权所有
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
1
离散随机过程
为了描述随机变量，引入了概率分布函数、概率密度函数以及随机变 量的数字特征。这些函数或参数都是针对一维随机变量定义的。统称一 维统计特征。
但对于离散随机过程，因为它是由无限多个随机变量构成的时间序列
xn, n ，因此为完整地描述它，仅知道随机变量的特征是不
Syy(z)
Ryy(m) zm
Rxx(m
p)Rhh (
p)
zm
m
m p
Rxx(n)Rhh ( p)
z n z p
Sxx(z)Shh (z)
m n
S
xx
(
z
)H
(
z
)
H
(
z
1
)
协方差序列的z变换
Sxx(z) Cxx(m) zm , m
称为平稳随机过程的功率谱。在今后的讨论中总假设随机信号的均值为
零，所以有
Sxx(z) Rxx(m) zm , m
由于 Rxx(m) Rxx(m) ，则有 Sxx (z) Sxx (z 1) 。
功率谱估计
2 var[ I N (ω )] = E[ I N (ω )] − E 2 [ I N (ω )]
下面先求周期图的均值，再求其均方值：
1 1 ∞ ∞ jω 2 E[ I N (ω )] = X (e ) = ∑ ∑ E[ x(k ) x(n)]RN (k ) RN (n)e− jω ( n −k ) N N n =−∞ k =−∞
经典谱估计
BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出， 先估计自相关函数，再计算功率谱。 周期图法：1898年，Schuster利用傅里叶级数 去拟合待分析的信号，提出周期图的术语，但 直到FFT出现，周期图法才受到人们的重视。 这种方法直接对观测数据进行FFT，取模平方， 除以N得到功率谱。
11
将 ω = ω1 = ω2 代入上式，得 sin( N ω ) 2 2 E[ I N (ω )]=σ x4 2 + N sin(ω )
sin( N ω ) 2 2 var[ I N (ω )]=E[I N (ω )]-E 2 [I N (ω )]=σ x4 1 + N sin(ω ) 显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而是趋 于功率谱真值的平方，即
N −1 1 N −1 − jω k = ∑ x(k )e ∑ x* (n)e jω n n =0 N k =0
1 N −1 N −1 = ∑ ∑ x(k ) x* (n)e − jω ( k − n ) N k =0 n =0 令 m = k − n，即 k = m + n，则
数字信号处理中的功率谱分析
数字信号处理中的功率谱分析功率谱是指一个信号在不同频率上的功率分布情况。
功率谱分析是一种常用的信号处理方法，在各种领域都有广泛应用，例如音频处理、图像处理、通信系统、雷达系统等。
在数字信号处理中，功率谱分析是一种基础的技术，用于分析信号的频率成分，提取信号的周期性特征，以及探测信号中的噪声等。
功率谱分析的基本原理是将信号通过傅里叶变换（FFT）将时域信号转换为频域信号，然后计算频域信号的幅值和相位，得到信号在不同频率上的功率谱图。
在数字信号处理中，功率谱分析有两种基本方法：非参数估计和参数估计。
非参数估计是一种基于统计学原理的方法，其主要思想是在样本数据中计算信号频率分量的幅度谱。
非参数估计通常使用Welch方法或Periodogram方法。
其中Welch方法是一种将输入数据划分为重叠的段，计算每个段的周期图，然后对所有段的周期图进行平均以获得最终的功率谱估计。
Periodogram方法是一种将输入数据直接转换为周期图的方法。
该方法基于傅里叶变换，但不进行数据分段和平均，而直接使用整个数据进行FFT计算，从而得到周期图。
与非参数估计相比，参数估计是一种基于信号模型的方法，其主要思想是使用一个模型来拟合信号，并通过这个模型来计算功率谱。
参数估计方法包括自相关法、Yule-Walker法和Burg方法等。
自相关法是一种基于信号自身特征的方法，通过计算自相关函数来估计信号的平稳性和周期性特征，进而计算功率谱。
Yule-Walker法是一种基于自回归模型的方法，通过估计自回归系数来计算信号的功率谱。
Burg方法是一种基于最小方差自回归的方法，通过最小化误差的方差来估计自回归系数，进而计算功率谱。
除了上述方法外，还有一些专用于特定信号处理问题的功率谱分析方法，例如广义相干函数方法、最大熵谱方法、平滑谱估计方法等。
总之，功率谱分析是数字信号处理中的一项重要技术，其应用广泛，为信号处理、通信系统、雷达系统等领域提供了基础理论和技术支持。
功率谱功率谱估计
(3)去非平稳 为了进行频谱分析，可以构造出平稳随机信号， 方法是减去系统的变化趋势。对于线性或近似线性 增长的趋势项，可用多项式拟合的办法来去，对于 其它类型的趋势项可用滤波的方法来去除。
四、估计质量的评价
设a是广义平稳随机过程 x ( n) 的一个数字特征 ˆ 是a的一个估计 a 1、偏倚 ˆ ] E{a a ˆ } a E{a ˆ} b[a 它表示了估计值与实际值的接近程度。 ˆ ] 0, 叫无偏估计 b[a ˆ ] 0, 叫有偏估计 b[a 2、方差 2 ˆ ˆ var[a] E{[a E{a}] } 它表示了估计值相对估计均值的分散程度。
k 1
p q
h(n)
x(n)
若u(n)是一个方差为 的白噪声,则x(n)的功率谱 j 2 j 2 S x (e ) | H ( e ) |
2
B( z ) B (1 / z ) 或 S x ( z ) H ( z ) H (1 / z ) A( z ) A* (1 / z * )
最大熵 参数化 最小交叉熵 ……
三、随机信号分析的预处理
要讨论问题通常是零均值信号的谱估计问题， 一般信号都很少满足要求，所有需作预处理 (1)取样： 若信号未经取样，则在满足取样定理的 前提下取样可根据信号带宽的物理限制，粗略估计 取样间隔。 ~ (2)去均值 x ( n) x ( n) m x
H (z)
1 1 ak z k
k 1 p
称为AR模型
（ 3 ）若ak 和br均不为 0,
x( n) a k x( n k ) br u( n r ) H ( z )
k 1 r 0 p q
q
称为ARMA模型
课程设计功率谱估计
课程设计功率谱估计一、教学目标本章节的教学目标是使学生掌握功率谱估计的基本概念、方法和应用。
具体来说，知识目标包括：了解功率谱估计的定义、意义和基本原理；掌握常用的功率谱估计方法，如矩估计、最大似然估计等；了解功率谱估计在信号处理、通信等领域中的应用。
技能目标包括：能够运用功率谱估计方法解决实际问题；能够使用相关软件工具进行功率谱估计。
情感态度价值观目标包括：培养学生的创新意识和团队合作精神；使学生认识到功率谱估计在工程实际中的重要性，激发学生对相关领域的研究兴趣。
二、教学内容本章节的教学内容主要包括功率谱估计的基本概念、方法和应用。
具体包括以下几个方面：功率谱估计的定义和意义；常用的功率谱估计方法，如矩估计、最大似然估计等；功率谱估计的性质和性能比较；功率谱估计在信号处理、通信等领域中的应用。
三、教学方法为了实现本章节的教学目标，我们将采用多种教学方法，如讲授法、讨论法、案例分析法、实验法等。
在教学过程中，我们将注重理论与实践相结合，引导学生通过实际案例来理解和掌握功率谱估计的方法和应用。
同时，我们将鼓励学生积极参与讨论，培养学生的创新意识和团队合作精神。
四、教学资源为了支持本章节的教学内容和教学方法的实施，我们将准备以下教学资源：教材和相关参考书，用于引导学生学习和理解功率谱估计的基本概念和方法；多媒体资料，用于展示和分析功率谱估计的实例；实验设备，用于让学生亲手实践功率谱估计的方法和应用。
同时，我们还将利用网络资源，提供相关的学习资料和软件工具，以便学生能够更好地学习和应用功率谱估计。
五、教学评估本章节的教学评估将采用多元化的评估方式，以全面、客观、公正地评价学生的学习成果。
评估方式包括平时表现、作业、考试等。
平时表现主要考察学生的课堂参与度、讨论发言等，以评估学生的主动性和积极性。
作业主要考察学生对功率谱估计方法和应用的理解和掌握，通过布置相关的练习题和案例分析题，让学生能够巩固所学知识。
最新2019-ch64现代功率谱估计-PPT课件
伯格(Burg)递推算法
L-D算法缺点： 在计算相关函数估计时，对N个观测数据以
外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。
伯格(Burg)递推算法基本思想： 直接从观测的数据利用线性预测器的前向和
后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计 反射系数，进而通过L-D算法的递推公式求出AR 模型的优化参数。
谱估计结果——p=40,N=128
Periodogram 60
40
20
0
-20
-40
-60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Yule 60 40 20
0 -20 -40
-60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系
前向线性预测滤波器 例:前向线性预测(p=2)
AR模型
(AutoRegressive model )
MA模型
(Moving Average model)
1
1
H(z)
p
1anzn
A(z)
n0
q
H(z)1bl zl
l1
q
ARMA模型
(AutoRegressive- Moving Average model )
bl zl
H(z) l0
功率谱估计
问题提出
经典法存在问题:
1. 方差性能不好，不是Px(W)的一致估计
2. 平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差 性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。
信号处理课件第12章1参数模型功率谱估计
总效果：
紧随 的峰值
紧跟 谱的峰值
4. AR谱的统计性质
AR谱估计的方差反比于 的长度N和SNR
5. AR谱估计的不足 若 的SNR不高，那么
可看作
AR谱变为ARMA谱， 既有极点，又有零点， 分辨率会有下降。
区别
AR 模型阶次p的选择
Levinson递推给出：
（1）最终预测误差准则
递减、恒正
线性预测的Wiener-Hopf Eq.
注意到：对同一信号 x(n) ，都使用其 rx (m)
得到了两组方程：
来自AR模型： Yule-Walk 方程
来自LP： Wiener-Hopf
方程
结论：对同一信号，二者是相同的，即
k ak k 1, 2, , p
min
2
一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器，反之亦然。并且：
熵
i 1
i1 离散型随
H (X ) p(x) ln p(x)dx
机变量
连续型随机变量
Burg最大熵谱估计的思路是： 已知某随机信号自相关函数 rx (m) 的 p 1 个值
rx (0), rx (1), , rx ( p) ，现希望以这 p 1 个值对
m p 的自相关函数予以外推。外推的方法很多， Burg的准则是：外推后的自相关函数对应的时 间序列具有最大的熵，即是最随机的。
当
的真 实功率谱
AR谱
有：
AR模型自 相关函数 匹配性质
增加 ，等效地扩大了
相等的部分
所以，理论上：我们可用一个全极点模型来近
似已知谱
，达到任意精度。
由：
（1）全局跟随性质（global)
功率谱估计
E [ x ( n ) x ( k ) x ( p ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( k ) ] E [ x ( p ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( p ) ] E [ x ( k ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( q ) ] E [ x ( k ) x ( p ) ]
✓ 这里由于对信号作了实白噪声的假设，才有无偏估计的结果。
➢ 周期图的均方值
E[IN(1)IN(2)]EN12 XN(ej1)2 XN(ej2)2
N12 n
k
p
RN(n)RN(k)RN(p)RN(q)
q
E[x(n)x(k)x(p)x(q)]e-j1(nk)e-j2(pq)
利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有
Ii()M 1 M n01xi(n)ejn 2
将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计， 公式如下：
Pˆxx(ej)L1 iL1 Ii()
估计效果分析：
➢ 偏移分析：
E[Pˆxx(ej)]
1 L
L i1
EIi()EIi()
1 2π
-ππWB(ej)Pxx(ej(-))d
式中
P x(xej)F[T rx(xm )]
W B(ej)F[T w B(m ) ]N 1 ssiiN n n /(/2 (2 )) 2
✓ 周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计，但当N→∞时，wB(m)→1， 三角谱窗函数趋近于δ函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估计。
P ( je ) xx
2
2
1
00Βιβλιοθήκη 123/
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m 0
上式等效于Yule-Walker 方程，对同样的模型 系数 a 1 , , a p ，因此必有
当 时，可以用下式外推：
外推后的 对应AR谱，因此AR谱有较 高的分辨率。而经典谱估计中无外推，即： 分辨 率低 注意到AR模型自相关函数的匹配：
设想：如果阶次 , 则AR谱对应的自相关函 数完全等于信号的自相关函数，AR谱等于真谱。
am (m ) km
rx (1) rx ( 2 ) rx (0 ) rx (1) rx (0 ) rx (1) rx ( 2 ) rx (1) rx (0 ) r ( p ) r ( p 1) r ( p 2 ) x x x
1 rx ( p 1) a 0 1 rx ( p 2 ) a 2 0 a 0 rx (0 ) p rx ( p )
m 1
a m ( k ) a m 1 ( k ) k m a m 1 ( m k ) k 1, 2, , m 1
m m 1 [1 k m ]
2
递推过程中，要始终保持：
P 阶AR模型（LP）有三组参数：
都是 p+1 个 可互相导出，请给出它们互相导出的公式。
E e ( n )
2
E x(n)
k x(n k ) k 1
p
均方误差
令：
k
0,
k 1, 2 , , p
可以得到使 最小的 1 , , p 及 m in 不求导，使用正交原理：
（b) p=10; (c) p=20; (d) p=30
最大熵谱估计: Burg 于 1975年博士论文。
Maximum Entropy Spectral Estimation，MESE）
关于熵：
设信源由
X x1 , x 2 , , x M
2
p 1:
rx (0 ) rx (1) 1 1 rx (1) rx (0 ) a 1 (1) 0
a 1 (1) rx (1) / rx (0 ) k 1
1 rx (0 ) rx (1) / rx (0 ) rx (0 )[1 a 1 (1)]
12.1 平稳随机信号的参数模型
经典谱估计： 分辨率低（受窗函数长度的限制）; 方差性能不好； 方差和分辨率之间的矛盾。 对平稳信号建模:
用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差；
也可用于信号的特征提取，预测，编码及
数据压缩 等。
从功率谱估计的角度，对平稳信号建模的步骤：
步骤1
假定所研究的平稳过程 x ( n ) 是由一白噪声 序列 u ( n ) 激励一线性系统所产生的输出；
p
rx ( 0 )
k 1
k
rx ( k )
m in ：最小 预测误差功率
p
rx ( m ) k rx ( m k ), m 1, 2, , p
k 1
线性预测的Wiener-Hopf Eq.
注意到：对同一信号 x ( n ) ，都使用其 rx ( m ) 得到了两组方程： 来自AR模型： Yule-Walk 方程
2 1
待辨识 的参数。
) u
2
B(z)B(z A( z) A( z
1 1
) )
AR（Auto—Regressive，自回归）模型
若： 则：
b 并假定：
0
1
全 极 点 模 型
MA（Moving—Average,移动平均）模型 若： 则：
全 零 点 模 型
ARMA（Auto-Regressive MovingAverage,自回归－移动平均） 模型
2. AR谱的分辨率 经典谱估计：
假定：
分辨率反比于 N ，即
对间接法：
分辨率还 要降低
AR模型包含了对 的“预测”或“外 推”。实际上，这包含着自相关函数的“外 推”。令：
AR谱 可以证明：
AR谱对应的自相 关函数
AR模型自 相关函数 匹配性质
证明： 由
N o te : H (z) 1 / A(z)
1 rx ( p 1) a 0 1 rx ( p 2 ) a 2 0 a 0 rx (0 ) p rx ( p )
2
Toeplitz
2 2
1 0 [1 k 1 ]
2
零阶预 测器的 误差等 于信号 的功率
0 rx (0 )
rx ( 0 ) E x ( n ) x ( n 0 ) rx ( 0 ) 1 2
Px ( e
j
)d
递 推 公 式
k m a m 1 ( k ) rx ( m k ) rx ( m ) m 1 k 1
－Levinson-Durbin快速算法：
要求解的参数：
a p (1), a p ( 2 ), , a p ( p ),
( m in p )
2
思路： 利用Toeplitz 矩阵特点，由低阶
a m ( k ) : m 1, 2 , , p k 1, 2 , , m
高阶 反射 系数
AR模型
基于AR模型谱估计的实现：
步骤1
由 估计
步骤2
解Yule-walker方程，得估计的模型参数
步骤3
尚需离 散化
实际计算：
ˆ ˆ a p 1 a N 1 0
离散谱，用FFT计算
12.3 AR模型谱估计的性质
1. AR谱的平滑特性
AR模型是一 有理分式， 估计出的谱 平滑，不需 要像周期图 那样再做平 滑或平均， 因此，不需 要为此去牺 牲分辨率。
如果：
ai : bi : i 1~ p i 1~ q
不全 为零
则：
极—零模型 ARMA模型
AR模型: 全极模型， 线性，用的最多，
被研究的也最多，性能很好； MA模型：全零模型，看起来简单； 但是非线性； ARMA模型：极－零模型，二者的综合。
具体选用那一个模型，一是取决于 信号的特点，二是取决于信号处理任务 的需要，需区别对待。
第12章 参数模型功率谱估计
12.1 平稳随机信号的参数模型 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 12.3 AR模型谱估计的性质与阶次选择 12.4 AR模型的稳定性与信号建模 12.5 关于线性预测 12.6 AR模型系数的求解算法 12.7 MA模型 12.8 ARMA模型 12.9 Pisarenko谐波分解与MUSIC 算法
x ( n p ), x ( n p 1), , x ( n 1)
已知
现在希望用它们预测 x ( n )
x(n p )
x ( n p 1)
p
x ( n 1)
x(n)
ˆ x(n) k x(n k )
k 1
线性预测 误差序列
2
ˆ e(n) x(n) x(n)
来自LP：
Wiener-Hopf 方程
结论：对同一信号，二者是相同的，即
k a k k 1, 2 , , p 2 m in
一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器，反之亦然。并且：
p
由于
ˆ e(n) x (n) x(n) x(n)
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
目标：找到已知参数和未知参数的关系， 以便求解未知参数： 未知参数：
a1 , a 2 , , a p ,
2
: p 1个
已知参数： rx ( m ), m 0,1, p 求解方法：由下面的差分方程入手：
两边同乘 x ( n m )
，求均值
a k E x ( n m k ) x ( n )
k 1
p
E u ( n m ) x ( n )
x(n) 和 u (n) 的
互相关
卷积 关系
因果 系统
结果1：
结果2：
结合 起来
正则方程 （Normal Eq.）
rx (1) rx ( 2 ) rx (0 ) rx (1) rx (0 ) rx (1) rx ( 2 ) rx (1) rx (0 ) r ( p ) r ( p 1) r ( p 2 ) x x x
随机信 号通过 LSI系 统的输 入输出 关系
LSI系统的输入、输出关系：
差分方程 卷积关系
以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确 定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、
输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。
转移函数的两 种表示形式， 独立于信号。
谱分解 的Z域 表示
Px ( z ) u H ( z ) H ( z
自相关阵
Ra O p
2
又称 YuleWalker 方程
利用Yule-Walker 方程，可求解出AR模型参数：
a1 , a 2 , , a p ,
2
于是模型可以构造，可以实现功率谱估计。
为了深入了解AR模型的特点，现探 讨另外一个问题，即线性预测问题： 提法：设 x ( n ) 在 n 时刻之前的 p 个数据
步骤2
由 x ( n ) 的先验知识，如 的参数：
rx ( m )
,估计 H ( z )