24.2-2 直线与圆的位置关系(原卷版)

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24.2点、直线、圆与圆的位置关系知识点+例题+练习(精品)

1.点和圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d=r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-；外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=；外离⇔21r r d +>；内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足O O2O1为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）A. 15B. 30C. 45D. 604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．O D C B A第3题图第4题图第5题图第6题图第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长．【中考连接】一、选择题1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.32.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为（）A. 335B. 635 C. 10 D. 5 4. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（）A. 1B. 2C. 23D. 26 5.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．B P A OC 第3题图第6题图第7题图第8题图7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________． 8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=图象上，则阴影部分面积等于． 14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______． 15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=．（1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的第10题图第11题图第12题图第13题图第18题图长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S △△时，求动点M 所经过的弧长．。

24.2.2直线和圆的位置关系

第1课时直线和圆的位置关系
解：不正确．错误的是第③步．应改为：圆心 O 到直线 l 的距离≤OP(即圆的半径)， ∴直线 l 与⊙O 相交或相切．
第1课时直线和圆的位置关系
2．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如图 24－2－6. 以点 C 为圆心，R 为半径画圆，若⊙C 与 AB 边只有一个公共点，求 R 的取值范围．
第1课时直线和圆的位置关系
【归纳总结】根据直线和圆的位置关系求圆的半径的值或取值范围的步骤： (1)过圆心作已知直线的垂线； (2)求出圆心到直线的距离； (3)根据直线与圆的位置关系求出半径的值或取值范围．
第1课时直线和圆的位置关系
总结反思
知识点直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
相交
3．在掌握了直线和圆的位置关系的基础上，会应用直线和圆的位置关系求半径的值或取值范围.
第1课时直线和圆的位置关系
目标突破
目标一了解直线和圆的位置关系
例1 教材补充例题阅读教材，填写下表：
图形
直线与圆的交点个数
圆心到直线的距离d与半径r的大小比较
直线和圆的位置关系
____2____ ___d_<_r ___ ___相__交___
____1 ____ ___d_＝_r___ ___相__切___
____0____ ____d>_r___ ___相__离___
第1课时直线和圆的位置关系
目标二会利用圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系
例2 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
第1课时直线和圆的位置关系

24.2.2直线与圆的位置关系(第2课时)

A D B O C
4．运用切线的性质和判定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理解决简单问题
（1）切线的判定方法有几种？结合已知，你选择哪种判定方法？（切线的判定定理．）（2）要证明切线需要什么条件？如何添加辅助线？（只要证明由点O向 AC 所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了．所以过圆心 O 作 OE⊥AC ，垂足为E ，连接 OD ，OA ．）
O A l
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．探究切线的判定定理
下面图中直线 l 与圆相切吗？
O A ×
l
O l
A ×
2．探究切线的判定定理
下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星中，存在与圆相切的现象吗？
2．探究切线的判定定理
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
在运用切线的判定定理和性质定理时，应如何添加辅助线？
4．运用切线的性质和判定定理解决简单问题
教科书第 98 页
练习第 1，2 题．
5．课堂小结
（1）切线的判定定理与性质定理是什么？它们有怎样的联系？（2）在应用切线的判定定理和性质定理时，需要注意什么？
6．布置作业
教科书习题 24.2 第 4，5，12 题．
O A
3．探究切线的性质定理
将本课件第 5 页中的问题反过来，如图，在⊙O 中，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？
O A l
圆的切线垂直于过切点的半径．
4．运用切线的性质和判定定理解决简单问题
例已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D. 求证： AC 是⊙O 的切线．

24.2.2直线与圆的位置关系(二)

基础练习
2.判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线．( 错 ) (2)垂直于半径的直线是圆的切线．( 错 ) (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．( 对 ) (4) 以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．( 对 )
切线的判定方法
切线的判定方法有三种：
●
O
C
B
练一练 2.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠A=300. C 求证:DC是⊙O的切线.
A
.
O
B
D
方法引导当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连结圆心与公共点,再证明连线垂直于直线 ,这是证明切线的一种重要方法.
练一练 3.如图⊙O的半径为8,弦AB= 8 3 ,以O为圆心,4为半径作小圆. 求证：AB与小圆O相切.
L A
.
O
L A
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理：
1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线．
2.对定理的理解：切线需满足两个条件： ①经过半径外端. ②垂直于这条半径．
注意:定理中的两个条件缺一不可．
观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?
1.试说明AE与⊙O相切于点A。 2.如图(b),若AB是⊙O的非直径的弦,且 ∠CAE＝∠B,AE与⊙O还相切于点A吗？
B A E O B C A O C
E
a
b
再见
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
已知直线L 是⊙O的切线，切点为A，连接0A，你发现了什么？

人教版九年级数学上册：24.2.2 直线和圆的位置关系

3、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ D ） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
P
4cm l
A
P 4cm
l A
O ．
直线和圆没有公共点，
O
叫做直线和圆相离．
l
我指你答
快速判断下列各图中直线与圆的位置关系．
．O1
．O2
l
．O
l
．O
．O
l
l
小组合作探究
2．直线和圆的位置关系 — 数量特征
d：圆心到直线的距离 r ：半径
Or
d
l
直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相切
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相离
d=r d>r
知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种：（1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断；（2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断．（在实际应用中，常采用第二种方法判定）
我问你答
分别请三位同学提问以下1、2、3中的其中一项内容，让其他同学回答另两项内容。
1、直线和圆位置关系， 2、公共点个数， 3、d与r的关系，
挑战一：我会说，我来说
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为 3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_相__交__．直线a 与⊙O的公共点个数是_两__个_．
●
●
O
O
(地平线)
●
O
a(地平线)

九年级.数学第二十四章圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系

100°
B
CE
F
(2)三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论(不要求
证明)．
【解】锐角三角形(和直角三角形)的最小覆盖圆是其外接圆；钝角(dùnjiǎo)三角形
的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
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内容(nèiróng)总结
24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。(1)平面内的点和圆有三种位置关系：①点在__________。(2)设⊙O半径为r，点P到O的距离OP＝d，
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知识点二：三角形的外接圆
例2 小明家的房前有一块矩形(jǔxíng)的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的外接圆的半径(bànjìng)
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．
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知识点三：反证法
例3 在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证(qiúzhèng)：AD与 BE不能被点H互相平分．
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求证：在一个三角形中，如果(rúguǒ)两个角不等，(
A．点M在⊙O上
)
A B．点M在⊙O内
C．点M在⊙O外 D．点M在⊙O右上方
*4.用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设(
)
A．∠A＝60° B．∠A＜60°
C．∠A≠6D0°
D．∠A≤60°

24.2.2 直线和圆的位置关系

解答这类既有圆的切线,又要求证明圆的切线的问题,可以从切线的性质出发,结合其他条件,数形结合进行分析,逐步探求出证明的思路.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
证明:如图所示,连接OD,则OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB. 又∵AB=AC,∴∠OBD=∠C. ∴∠ODB=∠C.∴OD∥AC. 又∵DE⊥AC,∴OD⊥DE. ∴DE是☉O的切线.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
当已知直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要连接圆心和这个点,证明这个连线与已知直线垂直即可.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
知识点二切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 名师解读:切线的判定方法可以归纳为两种: (1)定义法:和圆有唯一公共点的直线是圆的切线或到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线; (2)切线的判定定理.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
名师解读:直线和圆的位置关系,还可用下表表示:
直线和圆的位置关系公共点个数圆心到直线距离 d 与半径 r 的关系公共点名称直线名称相交相切相离 2 1 0 d<r d=r d>r 交点切点无割线切线无
判定一条直线与圆的位置关系时,既可以用直线与圆的公共点的个数来判定它们的位置关系,也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定它们的位置关系.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
例1 如图,△ABC中,∠C=90° ,∠B=60° ,AO=x,O在AB上,且☉O 的半径为1.问当x在什么范围内取值时AC与☉O相离、相切、相交?

24.2.2直线与圆的位置关系

A
. r ┐d .
B
lC
相切相交
1
2
d=r 切点切线
d<r 交点割线
再见教科书第60页第3、
6题
24.2.2.直空线白与圆演的示位置关系（1）
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三种位置关系：分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外。
1.
直线和圆的位置关系 ——
用公共点的个数来区分
直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离．
直线和圆有两个公共点，直线和圆有唯一的公共点，
叫做直线和圆相切．
叫做直线和圆相交．
这时的直线叫切线，
唯一的公共点叫切点．
这时的直线叫做圆的割线．
直线在移动的过程中，直线与圆心的距离也随之变化
二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）
r d
r d
d

r
d> r
d= r 直线和圆相交
d< r
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种：
(3) r=2.5cm 相切
解：过点O作OD⊥AB于D， ∵∠A=900，∠C=600
∴∠B=300 ∴OD= 1 OB 1 x
22
当AB所在直线与⊙O相切时 OD=r=2, ∴OB=4 当0<x<4时，此时 AB所在直线与 ⊙O相交当x>4时，AB所在直线与⊙O相离。
B DO
A
C
3
解：过点C作CD⊥AB,垂足为D，由勾股定理，可求得AC=2 3 ∵AB·CD=CB·AC
∴CD= 3
（1）当r=1.5cm时，r<CD，相离。
（2）当 r= 3 cm时 ,r=CD，相切

24.2.2 第1课时直线和圆的位置关系初中数学人教版九年级上册课件

2.已知⊙O的半径为5 cm，圆心O与直线AB的距离为d，根据条
件填写d的范围：
(1)若AB和⊙O相离，则 d > 5 cm
;
(2)若AB和⊙O相切，则 d = 5 cm
;
(3)若AB和⊙O相交，则 0 cm≤d < 5 cm .
典例精析
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，
以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？
为什么？
(1) r=2 cm；(2) r=2.4 cm； (3) r=3 cm．
B
分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知
道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只 4
需求出C到AB的距离d. C
D A
3
解：过C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，
dD
(2) 当r=2.4 cm时,有d=r，因此⊙C和AB相切.
(3) 当r=3 cm时，有d<r，因此⊙C和AB相交.
d D
dD
变式题:
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，
以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线
AB没有公共点？
B
解：当0 cm＜r＜2.4 cm或r＞4cm
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
3. ☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，
则直线l与☉O （ C ）
A. 相交
B.相切
C. 相离
D.以上三种情况都有可能
4. ☉O的半径为5，直线l上的一点到圆心O的距离是5，
则直线l与☉O的位置关系是（ A ）

24.2.2直线与圆的位置关系2

有点的线段中,最短的是__垂__线__？
段
2、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来揭示圆和直线的位置关系。
r o
d l
r o
dl
r
od
l
（1）直线l 和⊙O相离
d>r
（2）直线l 和⊙O相切
d=r
（3）直线l 和⊙O相交
d<r
总结：判定直线与圆的位置关系的方法有_两___种：
（1）根据定义，由__直__线____与__圆___的__公_ 共点的个数来判断；
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC
平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
C
D
A
O
B
设c是线段AB的中点，四边形BCDE是
以BC为一边的正方形。作以B为圆心，
BD长为半径的圆B,连接AD。求证：
AD是圆B的切线
D
E
A
C
课后习题集一、选择题．
1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，
AB=10cm，那么OA的长是（）
A． 41 B． 40
C. 14
D. 60
O
2．下列说法正确的是（）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
A
C
B
B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长
DE CE, OE是梯形ABCD的中位线，
OE 1 AD BC .
2 又 AB AD BC,
OE 1 AB. 2
CD是 O的切线.

人教版数学九年级上册：24.2.2 直线和圆的位置关系教案(附答案)

24．2.2 直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系教学目标1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系．2．理解记忆割线、切线、切点等概念．3．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．预习反馈阅读教材P95～96，完成下列知识探究．1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm.【解答】过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.∵AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，∴AC ＝2 3 cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝ 3 cm. (1)r ＝1.5 cm 时，相离；(2)r ＝ 3 cm 时，相切；(3)r ＝2 cm 时，相交．【跟踪训练1】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆．当r 满足0<r<125__cm 时，⊙C 与直线AB 相离；当r 满足r ＝125__cm 时，⊙C 与直线AB 相切；当r 满足r>125__cm 时，⊙C 与直线AB 相交．【跟踪训练2】已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是2．例2 已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．【解答】相交或相切．【跟踪训练2】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？【点拨】分相切和相交两类讨论．解：r ＝2.4或3<r ≤4.巩固训练1．已知⊙O 的半径为5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是(C)A ．2.5B ．3C ．5D ．102．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P 与OB的位置关系是(B)A．相切B．相离C．相交 D．相离或相切3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C)A．相交 B．相离C．相切 D．不确定4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5 cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．(1)r＝2 cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；(2)r＝4 cm时，d<r，直线OA与⊙M相交；(3)r＝2.5 cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．第2课时切线的判定和性质教学目标1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．预习反馈阅读教材P97～98，完成下列问题．1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．例题讲解例(教材P98例1)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．【解答】证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．【方法归纳】在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．【跟踪训练】如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC.试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．解：直线CD 与⊙O 相切，理由：连接OC.∵C 为BE ︵的中点，∴BC ︵＝CE ︵.∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA.∴∠DAC ＝∠OCA.∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．巩固训练1．在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点(不包含端点)，以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是(B)A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定2．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点A 的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于60°时，AC 才能成为⊙O 的切线．第2题图第3题图3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C.若∠A ＝25°，则∠D ＝40°．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，连接DE.求证：直线DF 与⊙O 相切．证明：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠C.∴∠ODC ＝∠B.∴OD ∥AB.∵DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF.又∵点D 在⊙O 上，∴直线DF与⊙O相切．课堂小结1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．第3课时切线长定理教学目标1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．预习反馈阅读教材P99～100，完成下列知识探究．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．例题讲解例(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．【解答】设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.【跟踪训练】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形；(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明：∵BC ，AC 分别与⊙O 相切于D ，E ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°.∴四边形ODCE 为矩形．又∵OE ＝OD ，∴矩形ODCE 是正方形．(2)由(1)得CD ＝CE ＝r ，∴a ＋b ＝BD ＋AE ＋2r ＝BF ＋AF ＋2r ＝c ＋2r ，解得r ＝a ＋b －c 2. 巩固训练1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝2．第1题图第2题图第3题图2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝90°．3．如图，点O 为△ABC 的外心，点I 为△ABC 的内心．若∠BOC ＝140°，则∠BIC ＝125°．4．如图，△ABC 切⊙O 于D ，E ，F 三点，内切圆⊙O 的半径为1，∠C ＝60°，AB ＝5，则△ABC 的周长为课堂小结1．切线长定理． 2．三角形的内切圆及内心． 3．直角三角形内切圆半径公式．。

24.2.2直线和圆的位置关系(2)

又∵直线AC经过⊙O 上的A点 ∴直线AC是⊙O的切线
练习:
3.在Rt△AB中,∠B=90°,∠A 的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D. 试说明:AC是⊙D的切线.
F
小结:
总结： 1、圆的切线判定定理 2、圆的切线性质定理
问题:
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的?
操作:
• 画一个圆O及半径OA，画一条直线 l经过⊙O的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
●O
┐
l
A
思考：直线l一定是圆O的切线吗？
由此，你知道如何经过圆上一点画圆的切线吗？
解：直线AB是⊙O的切线。理由如下：在圆O 中，
∵因为AB＝OA，∠OBA＝45°(已知) ∴∠AOB＝∠OBA＝45°(等边对等角) 又∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB ＝ 180°
∴∠OAB＝180°-∠OBA-∠AOB＝90°
O
●
AB
∴ 直线AB⊥OA
又∵直线AB经过⊙O 上的A点 ∴直线AB是⊙位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
直线名称
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切相交
1
2
d=r 切点切线
d<r 交点割线
问题:
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?
∵OA=OB, CA=CB ∴△OAB是等腰三角形,OC

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24.2-2直线与圆的位置关系
建议用时：45分钟总分50分
一选择题（每小题3分，共18分）
1．（2020•射阳县一模）圆的直径是8cm，若圆心与直线的距离是4cm，则该直线和圆的位置关系是（）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
2．（2020•硚口区模拟）平面直角坐标系中，M点坐标为（﹣2，3），以2为半径画⊙M，则以下结论正确的是（）
A．⊙M与x轴相交，与y轴相切
B．⊙M与x轴相切，与y轴相离
C．⊙M与x轴相离，与y轴相交
D．⊙M与x轴相离，与y轴相切
3．（2020•洛宁县期末）如图所示，∠APB＝30°，O为P A上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3√3的圆与PB的位置关系是（）
A．相离B．相切
C．相交D．相切、相离或相交
4．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2020•乐亭县期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相离B．相切C．相交D．无法判断
6．（2019•武汉模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12．若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则半径r 的值或取值范围是（）
A ．6013
B ．5≤r ≤12或r =6013
C ．5＜r ≤12
D ．5＜r ≤12或r =
6013 二、填空题（每小题3分，共9分）
7．（2020•江都区期末）⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是．
8．（2020•自贡期末）已知⊙O 的半径是一元二次方程x 2+6x ﹣16＝0的解，且点O 到直线AB 的距离是√2，则直线AB 与⊙O 的位置关系是．
9．（2020•岳麓区月考）如图，已知∠AOB ＝30°，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm 为半径作⊙M ，当OM ＝4cm 时，直线OA 与⊙M 的位置关系是．
三、解答题（7+8+8=23分）
10．（2020•新沂市期末）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，∠CAD ＝∠ABC ．判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
11．（2020•大丰区期中）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以点C 为圆心，r 为半
径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
12．（2020•新罗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．。