求代数方程的近似根(解)

x + 2y − z = 2 例：解方程组 x+z=3 x + 3y = 8
>> A=[1 2 -1; 1 0 1; 1 3 0]; >> b=[2;3;8]; >> x=linsolve(A,b) b 是列向量！ 是列向量！
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非线性方程的根 非线性方程的根
非线性方程的数值求解 fzero(f,x0)：求方程 f=0 在 x0 附近的根 ：
牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿法是目前求解非线性方程 组 牛顿的缺点 牛顿的缺点
对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感， 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 在实际计算中， 在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗 糙近似，然后再用牛顿atlab 解方程函数
roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。 是多项式系数向量。 fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用 附近的根，
inline、字符串、或 @，但不能是方程或符号表达式！ 字符串、 但不能是方程或符号表达式！
linsolve(A,b)：解线性方程组。 解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用 求方程关于指定自变量的解， 可以是用
fzero('x^3-3*x+1',2)
内联函数： 内联函数： f=inline('x^3-3*x+1'); fzero(f,2)
f 不是方程，即不含等号！ 不是方程，即不含等号！
缺点： 缺点：每次迭代需计算导数
中的解。 例：用松弛迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。 （fuluD.m） ）
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主要内容
本实验讨论的数值算法
对分法 不动点迭代法 不动点迭代一般形式 松弛迭代法 牛顿迭代法
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牛顿迭代法 牛顿迭代法
基本思想： 基本思想：
用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 近似非线性方程 线性化 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为 f ''(η ) 2
f ( x ) f ''( x ) ϕ '( x ) = [ f '( x )]2
当 f ’(x*) ≠ 0 时 ϕ’(x*)=0 牛顿法至少二阶局部收敛
的解。 例：用牛顿法求 x3 - 3x + 1 = 0 的解。(fuluF.m)
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牛顿法迭代公式 牛顿法迭代公式
牛顿的 牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快， 至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭 代点充分靠近精确解时。 代点充分靠近精确解时。
字符串表示的方程、符号表达式或符号方程； 字符串表示的方程、符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组 包含非线性 ； 也可解方程组(包含非线性 包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。 得不到解析解时，给出数值解。
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多项式的零点 多项式的零点
多项式的零点 多项式的零点 x=roots(p)：若 p 是 n 次多项式，则输出是 ： 次多项式，则输出是 p=0 的 n 个根组成的 n 维向量 例：已知 p = 2x3 - x2 + 3，求 p(x) 的零点
ak + bk ，所以 2
0(k
∞)
对分法总是收敛的
对分法的收敛速度通常较慢 对分法的收敛速度通常较慢 对分法通常用来试探实根的分布区间，或给出根的一 对分法通常用来试探实根的分布区间， 分布区间 个较为粗糙的近似 个较为粗糙的近似
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主要内容
本实验讨论的数值算法
对分法 不动点迭代法 不动点迭代一般形式 松弛加速迭代法 牛顿迭代法
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非线性方程的根 非线性方程的根
fzero 的另外一种调用方式 fzero(f,[a,b])
区间内的根 的根。 求方程 f=0 在 [a,b] 区间内的根。 内可能有多个根， 方程在 [a,b] 内可能有多个根，但 fzero 只能求一个
可通过以下方式给出： 参数 f 可通过以下方式给出：
字符串： 字符串：
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相关概念
线性方程 与 非线性方程
f ( x) = 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方 是一次多项式，称上面的方程为线性方 否则称之为非线性方程 程；否则称之为非线性方程
本实验主要讨论非线性方程的数值求解 本实验主要讨论非线性方程的数值求解 非线性方程
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主要内容
本实验讨论的数值算法
>> p=[2,-1,0,3]; >> x=roots(p) 若已知多项式的全部零点， 若已知多项式的全部零点，则可用 poly 函数给出该多项式 p=poly(x)
p( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )L ( x − xn )
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线性方程组求解
线性方程组求解 linsolve(A,b)：解线性方程组 Ax = b ：
适用范围
求有根区间内的 单重实根 或 奇重实根
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对分法
内连续， 设 f(x) 在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)<0。 对于给定的精度要求 ε ，若有 |f(z)|<ε ，则 z 就是我 们所需要的 f(x)=0 在区间 [a,b] 内的 近似根
具体步骤
(1) 令 x = (a+b)/2, 计算 f(x) (2) 若 |f(x)|< ε，则停止计算，输出近似解 x 则停止计算， (3) 若 f(a) · f(x) < 0，则令 b = x; 否则令 a = x (4) 返回第一步 中的解。（ 。（fuluA.m） 例：用对分法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。（ ）
f ( x ) = f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) + 2! ( x − x0 )
≈ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) 令： P ( x ) = 0
P( x)
( f '( x0 ) ≠ 0)
f ( x0 ) x = x0 − f '( x0 )
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牛顿法迭代公式 牛顿法迭代公式
牛顿迭代公式
f ( x0 ) x = x0 − f '( x0 )
x k +1
f ( xk ) = xk − f '( xk )
k = 0, 1, 2, ... ...
ϕ(x) 即为牛顿法的迭代函数
牛顿法的收敛速度 牛顿法的收敛速度
f ( x) 令 ϕ ( x) = x − f '( x )
对分法 不动点迭代法 不动点迭代一般形式 松弛加速迭代法 牛顿迭代法
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对分法
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内， 再对该段对分，依次类推， 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止
数学原理：介值定理 数学原理：
上连续， 设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)<0，则由介值定 理可得， 理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 ξ 使得 f(ξ)=0 ξ
ϕ ( x*)
f ( x*) = 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！ 若得到的点列发散，则迭代法失效！
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迭代法收敛性判断
如果存在 x* 的某个 邻域 Ω =(x*-δ , x* +δ ), 使 定义： 定义： 都收敛, 得对 ∀ x0 ∈ Ω 开始的迭代 xk+1 = ϕ(xk) 都收敛 附近局部收敛 局部收敛。 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 ， 定理 ： 已知方程 x =ϕ(x)，且 (1) 对 ∀ x∈[a, b]，有 ϕ(x)∈[a, b]； ∈ ， ∈ ； (2) 对 ∀ x∈[a, b]，有|ϕ’(x)|≤q< 1； ∈ ， ≤ ； 则对 ∀x0∈[a, b] ，由迭代 xk+1 = ϕ(xk) 得到的点列都 收敛， 收敛，且
q | x k − x * |≤ | x1 − x 0 | 1−q
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k
迭代法收敛性判断
q 越小，迭代收敛越快 越小，迭代收敛越快
ϕ’(x*) 越小，迭代收敛越快 越小，迭代收敛越快
以上所给出的收敛性定理中的条件的验证都比较 困难，在实际应用中， 困难，在实际应用中，我们常用下面不严格的判别 方法： 方法：
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对分法收敛性
收敛性分析
根据上面的算法， 根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的 中含有方程的根。 区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 设方程的根为 x* ∈ (ak , bk ) ，又 xk =
1 1 1 1 | xk − x* |≤ ( bk − ak ) = ⋅ ( bk −1 − ak −1 )=L = k +1 ( b − a ) 2 2 2 2
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不动点迭代法
基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 的一个等价方程： 从某个近似根 x0 出发，计算 出发，
= ϕ ( x)
x k +1 = ϕ ( x k )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ...
{ xk }k =0
∞
f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
数学实验
实验三
求代数方程的近似根(解)
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