第七讲 MATLAB中求方程的近似根(解)

第七讲 MATLAB 中求方程的近似根(解)

教学目的：学习matlab 中求根命令，了解代数方程求根求解的四种方法，即图解法、

准解析法、数值方法以及迭代方法，掌握对分法、迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程；掌握求代数方程（组）的解的求解命令．

教学重点：求方程近似解的几种迭代方法，代数方程（组）的解的求解命令的使用

方法.利用所学的编程知识，结合具体的实例，编制程序进行近似求根．掌握相关的代数方程（组）的求解命令及使用技巧．

教学难点：方程的近似求解和非线性方程（组）的求解．

一、问题背景和实验目的

求代数方程0)(=x f 的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当)(x f 是一次多项式时，称0)(=x f 为线性方程，否则称之为非线性方程．

当0)(=x f 是非线性方程时，由于)(x f 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．同时对于多未知量非线性方程(组)而言，简单的迭代法也是可以做出来的，但在这里我们介绍相关的命令来求解，不用迭代方法求解．

通过本实验，达到下面目的：

1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；

2. 求代数方程（组）的解．

首先，我们先介绍几种近似求根有关的方法： 1． 对分法

对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．

设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(<⋅b f a f ，即 ()0f a >，()0f b <或()0f a <，()0f b >．则根据连续函数的介值定理，在),(b a 内至少存在一点 ξ，使()0f ξ=．

下面的方法可以求出该根：

(1) 令0()/2x a b =+，计算0()f x ；

(2) 若0()0f x =，则0x 是()0f x =的根，停止计算，输出结果0x x =．

若 0()()0f a f x ⋅<，则令1a a =，10b x =，若0()()0f a f x ⋅>，则令10a x =，1b b =；

111()/2x a b =+．……，有k a 、k b 以及相应的()/2k k k x a b =+．

(3) 若()k f x ε≤ (ε为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果()/2k k k x a b =+； 反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．

以上方法可得到每次缩小一半的区间序列{[,]}k k a b ，在(,)k k a b 中含有方程的根． 当区间长k k b a -很小时，取其中点()/2k k k x a b =+为根的近似值，显然有

2111()/2()/(2)()/2k k k k k k x b a b a b a ξ+---≤-=-=

=-

以上公式可用于估计对分次数k ．

分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为

1

2

的等比级数相同．由于1021024=，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，

它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值． 2. 迭代法

a) 松弛法：由方程()0f x =构造一个等价方程

()x x φ=．

则迭代方程是：

1(1)()k k k k k x x x ωωφ+=-+，1/(1'())k k x ωφ=-，其中'()1x φ≠．

松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．

b) Altken 方法：

松弛法要先计算'()k x φ，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：

(1)

()k k x x φ= ；

(2)(1)()k k x x φ=；

(2)(2)(1)2(2)(1)

1()/(2)k k k k k k k x x x x x x x +=---+， ,2,1,0=k

这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．

3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法）

()0f x =是非线性方程

其迭代公式为：

1(()/'())k k k k x x f x f x +=- ,2,1,0=k

即为牛顿法公式.

牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值0x 要求较严，要求0x 相当接近真值

*x ．

因此，常用其他方法确定初值0x ，再用牛顿法提高精度． 以下是本实验中的几个具体的实验 具体实验1：对分法

先作图观察方程：3310x x -+=的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．程序如下： function [y,p]=erfen()

clc, x=[];a=[];b=[]; a(1)=1;b(1)=2; i=1;x(i)=(a(i)+b(i))/2; e=abs(f(x(i))); ezplot('x^3-3*x+1',[a(1),b(1)]);hold on, plot([a(i),b(i)],[0,0]) while e>10^(-5)

plot([a(i),a(i)],[0,100],[x(i) x(i)],[0 100],[b(i) b(i)],[0 100]),pause(0.5) if f(a(i))*f(x(i))<0

a(i+1)=a(i);b(i+1)=x(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2; else

a(i+1)=x(i);b(i+1)=b(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2; end

e=abs(f(x(i)));i=i+1; end

y=x(i);p=[a;x;b]' function u=f(x) u=x^3-3*x+1; end end

图形如下:

结果为：1.5321