实验三：matlab求代数方程的近似根(解)

数学原理：介值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)<0，则由介值定
理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 使得 f()=0。
对分法
具体步骤
设方程在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)<0，给定 精度要求 ，若有 |f(x)|< ，则 x 就是我们所需要 的 f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。
(1) 令 x0 (a b) / 2，计算 f ( x0 )； ( 2) 若 | f ( x0 ) | ，则 x0 就是我们所要的近似根，
停止计算， 输出结果 x x0；
(3) 若 f (a ) f ( x0 ) 0，令 a1 a, b1 x0 ; 否则令 a1 x0 , b1 b；
定理 2：如果定理 1 的条件成立，则有如下估计
1 qk | xk 1 xk | | xk x* | | x1 x0 | | xk x* | 1 q 1 q
迭代法收敛性判断
已知方程 x =(x)，且 定理 3： (1) 对 x[a, b]，有 (x)[a, b]； (1) 对 x[a, b]，有|’(x)|q< 1； (2) 则对 x0[a, b] ，由迭代 xk+1 = (xk) 得到 的点列都收敛，且
qk | xk x* | | x1 x0 | 1 q
q 越小，迭代收敛越快
’(x*) 越小，迭代收敛越快
迭代法收敛性判断
以上所给出的收敛性定理中的条件的验证都比较 困难，在实际应用中，我们常用下面不严格的判别 方法：
当有根区间 [a, b] 较小，且对某一 x0[a, b] ，
根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的 区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 设方程的根为 x* (ak , bk ) ，又 xk
1 1 1 1 | xk | ( bk ak ) ( bk 1 ak 1 )= = k 1 ( b a) 2 2 2 2
diff g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数 g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数 g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数
f 是符号表达式，也可以是字符串 默认变量由 findsym(f,1) 确定
>> syms x >> f=sin(x)+3*x^2; >> g=diff(f,x) >> g=diff('sin(x)+3*x^2','x')
上机作业
作业（要求写实验报告）
教材：P69, 4
牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿的缺点
对重根收敛速度较慢（线性收敛）
对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗 糙近似，然后再用牛顿法求解。
Matlab 解方程函数
roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。 fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用
相关概念
线性方程 与 非线性方程
f ( x) 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方 程；否则称之为非线性方程。
对分法
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。
适用范围
求有根区间内的 单根 或 奇重实根。
( x ) (1 w) x w ( x )
加权系数 wk 的确定：令 ’(x)=0 得
w 1 1 '( x )
wk
1 1 '( xk )
松弛迭代法
松弛法迭代公式：
xk 1 (1 wk ) xk wk ( xk )
1 wk , 1 '( xk )
|’(x0)| 明显小于 1 时，则我们就认为迭代收敛
迭代法的加速
设迭代 xk+1 = (xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的近似 根分别为 xk 和 (xk) ，令
xk 1 (1 wk ) xk wk ( xk )
其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = (xk)
'( ) ( x1 ) ( x0 )
x1 x0 x2 x1 x1 x0
x2 x1 x* x2 ( x * x1 ) x1 x0
( x2 x1 ) 2 x* x 2 x2 2 x1 x0
Altken 迭代法
Altken迭代公式
数学实验
实验三
求代数方程的近似根(解)
实验三、近似求解代数方程
问题背景和实验目的
解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是 众多应用领域中不可避免的问题之一。 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如 果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可 以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对 分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解。
'( xk ) 1
松弛法具有较好的加速效果，甚至有些不收敛的迭 代，加速后也能收敛。
缺点：每次迭代需计算导数
Altken 迭代法
Altken迭代法
用 差商 近似 微商
设 x* 是方程的根，则由中值定理可得
x * x2 ( x*) ( x1 ) '( )( x * x1 )
(x) 即为牛顿
法的迭代函数
f ( x ) f ''( x ) '( x ) [ f '( x )]2
牛顿法的收敛速度
f ( x) ( x) x 令 f '( x )
当 f (x*) 0 时 ’(x*)=0 牛顿法至少二阶局部收敛
百度文库 牛顿法迭代公式
牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭 代点充分靠近精确解时。
Altken 法同样具有较好的加速效果
牛顿迭代法
基本思想：
用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为
f ''( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) P ( x )
ak bk ，所以 2
0(k
)
对分法总是收敛的
但对分法的收敛速度较慢 通常用来试探实根的分布区间， 或给出根的一个较为粗糙的近似。
迭代法
基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 从某个近似根 x0 出发，计算
( x)
xk 1 ( xk ) k = 0, 1, 2, ... ...
( x2 x1 ) 2 x* x 2 x2 2 x1 x0
( 2)
xk
(1)
( xk ), xk
( xk )
(1)
x k 1
( xk ( 2) xk (1) ) 2 xk ( 2) ( 2) (1) xk 2 xk xk
k = 0, 1, 2, ... ...
得到一个迭代序列
x k k 0

f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
x = (x)
(x) 的不动点
迭代法的收敛性
收敛性分析
若
xk 收敛，即 lim xk x *，假设 (x) 连续，则 k
lim xk 1 lim ( xk ) lim xk
inline、字符串、或 @，但不能是方程或符号表达式！
linsolve(A,b)：解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用
字符串表示的方程、符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。
其他 Matlab 相关函数
(4) 令 x1 (a1 b1 ) / 2, 若 | f ( x1 ) | ，则停止计算， 输出结果 x x1；
... ...
若 f (a1 ) f ( x1 ) 0，令 a2 a1, b2 x1; 否则令 a2 x1, b2 b1；
对分法收敛性
收敛性分析
令： P ( x ) 0
f ( x0 ) x x0 f '( x0 )
( f '( x0 ) 0)
牛顿法迭代公式
牛顿迭代公式
f ( x0 ) x x0 f '( x0 )
k = 0, 1, 2, ... ...
xk 1
f ( xk ) xk f '( xk )
k k k


x*
即 x* ( x*)
( x*)
f ( x*) 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！
迭代法收敛性判断
如果存在 x* 的某个 邻域 =(x*- , x* + ), 使 定义： 得对 x0 开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 设 定理 1： x* =(x*)，的某个 邻域 内连续，且对 x 都有 |’(x)|q< 1, 则对 x0 ，由迭 代 xk+1 = (xk) 得到的点列都收敛。