实验三：matlab求代数方程的近似根(解)
Matlab数值实验求代数方程的近似根（解）教程
Matlab数值实验求代数方程的近似根（解）教程一、问题背景和实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景和实验目的求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程．当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值．在实际问题抽象出的数学模型中，可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．通过本实验希望你能：1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；2. 求代数方程（组）的解．二、相关函数（命令）及简介1．abs( )：求绝对值函数．2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式．diff(f, 'a')：对变量a求微分，f 为符号表达式．diff(f, 'a', n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式．例如：syms x tdiff(sin(x^2)*t^6, 't', 6)ans=720*sin(x^2)3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式的所有根．例如：求解：．p = [1 -6 -72 -27];r = roots(p)r =12.1229-5.7345-0.38844．solve('表达式')：求表达式的解．solve('2*sin(x)=1')ans =1/6*pi5．linsolve(A, b)：求线性方程组 A*x=b 的解．例如：A= [9 0; -1 8]; b=[1; 2];linsolve(A, b)ans=[ 1/9][19/72]6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解．其中fun为一个定义的函数，用“@函数名”方式进行调用．例如：fzero(@sin, 3)ans=3.14167．subs(f, 'x ', a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．例如：subs('x^2 ', 'x ', 2)ans = 4三、实验内容首先，我们介绍几种与求根有关的方法：1．对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．设在上连续，，即，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点，使．下面的方法可以求出该根：(1) 令，计算；(2) 若，则是的根，停止计算，输出结果．若，则令，，若，则令，；．……，有、以及相应的．(3) 若 (为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有以上公式可用于估计对分次数．分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．2. 迭代法1) 迭代法的基本思想：由方程构造一个等价方程从某个近似根出发，令，可得序列，这种方法称为迭代法．若收敛，即，只要连续，有即可知，的极限是的根，也就是的根．当然，若发散，迭代法就失败．以下给出迭代过程收敛的一些判别方法：定义：如果根的某个邻域中，使对任意的，迭代过程，收敛，则称迭代过程在附近局部收敛．定理1：设，在的某个邻域内连续，并且，，则对任何，由迭代决定的序列收敛于．定理2：条件同定理 1，则定理3：已知方程，且(1) 对任意的，有．(2) 对任意的，有，则对任意的，迭代生成的序列收敛于的根，且．以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：当根区间较小，且对某一，明显小于1时，则迭代收敛 (参见附录3)．2) 迭代法的加速：a) 松弛法：若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速．迭代方程是：其中，令，试确定：当时，有，即当，时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．b) Altken方法：松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：，是它的根，是其近似根．设，，因为，用差商近似代替，有，解出，得由此得出公式；；，这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法）1) 牛顿法的基本思想：是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．记：是一次多项式，用作为的近似方程．的解为记为，一般地，记即为牛顿法公式.2) 牛顿法的收敛速度：对牛顿法，迭代形式为：注意分子上的，所以当时，，牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的．牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值．因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度．4. 求方程根(解)的其它方法(1) solve('x^3-3*x+1=0')(2) roots([1 0 -3 1])(3) fzero('x^3-3*x+1', -2)(4) fzero('x^3-3*x+1', 0.5)(5) fzero('x^3-3*x+1', 1.4)(6) linsolve([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]')体会一下，(2)(5) 用了上述 1 3 中的哪一种方法？以下是本实验中的几个具体的实验，详细的程序清单参见附录．具体实验1：对分法先作图观察方程：的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．输入以下命令，可得的图象：f='x^3-3*x+1';g='0';ezplot(f, [-4, 4]);hold on;ezplot(g, [-4, 4]); %目的是画出直线 y=0，即 x 轴grid on;axis([-4 4 -5 5]);hold off请填写下表：在某区间上求根的近似值的对分法程序参见附录1．具体实验2：普通迭代法采用迭代过程：求方程在 0.5 附近的根，精确到第 4 位小数．构造等价方程：用迭代公式：，用 Matlab 编写的程序参见附录2．请利用上述程序填写下表：分析：将附录2第4行中的分别改为以及，问运行的结果是什么？你能分析得到其中的原因吗？看看下面的“具体实验3”是想向你表达一个什么意思．用 Matlab 编写的程序参见附录3．具体实验3：收敛/发散判断设方程的三个根近似地取，和，这些近似值可以用上面的对分法求得．迭代形式一：收敛 (很可能收敛，下同)不收敛 (很可能不收敛，下同)不收敛迭代形式二：收敛不收敛不收敛迭代形式三：不收敛收敛收敛具体实验4：迭代法的加速1——松弛迭代法，，迭代公式为程序参见附录4．具体实验5：迭代法的加速2——Altken迭代法迭代公式为：，，程序参见附录5．具体实验6：牛顿法用牛顿法计算方程在-2到2之间的三个根．提示：，迭代公式：程序参见附录6 （牛顿法程序）．具体实验7：其他方法求下列代数方程（组）的解：（1）命令：solve('x^5-x+1=0')（2）命令：[x, y]=solve('2*x+3*y=0', '4*x^2+3*y=1')(3) 求线性方程组的解，已知，命令：for i=1:5for j=1:5m(i, j)=i+j-1;endendm(5, 5)=0;b=[1:5]'linsolve(m, b)思考：若，或是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则应如何得到？四、自己动手1．对分法可以用来求偶重根附近的近似解吗? 为什么?2．对照具体实验2、4、5，你可以得出什么结论?3．选择适当的迭代过程，分别使用：（1）普通迭代法；（2）与之相应的松弛迭代法和Altken 迭代法．求解方程在 1.4 附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化．4．分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程的正的近似根，．(建议取．时间许可的话，可进一步考虑的情况．)。
求代数方程的近似根(解).
主要内容
本实验讨论的数值算法
对分法 不动点迭代法
不动ห้องสมุดไป่ตู้迭代一般形式 松弛加速迭代法
牛顿迭代法
8
不动点迭代法
基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 从某个近似根 x0 出发，计算
( x)
xk 1 ( xk )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ...
11
k
迭代法收敛性判断
q 越小，迭代收敛越快
’(x*) 越小，迭代收敛越快
以上所给出的收敛性定理中的条件的验证都比较 困难，在实际应用中，我们常用下面不严格的判别 方法：
当有根区间 [a, b] 较小，且对某一 x0[a, b] ，
|’(x0)| 明显小于 1 时，则我们就认为迭代收敛 例：用不动点迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。
例：用对分法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。（fuluA.m）
6
对分法收敛性
收敛性分析
根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的 区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 设方程的根为 x* (ak , bk ) ，又 xk
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止
数学原理：介值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)<0，则由介值定 理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 使得 f()=0
适用范围
求有根区间内的 单重实根 或 奇重实根
用MATLAB解方程的三个实例
用MATLAB解方程的三个实例1、对于多项式p(x)=x3-6x2-72x-27，求多项式p(x)=0的根，可用多项式求根函数roots（p），其中p为多项式系数向量，即>>p =[1,-6,-72,-27]p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00p是多项式的MATLAB描述方法，我们可用poly2str(p,'x')函数，来显示多项式的形式: >>px=poly2str(p,'x')px =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27多项式的根解法如下：>> format rat %以有理数显示>> r=roots(p)r =2170/179-648/113-769/19802、在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。
例如，求方程（x+2）x=2的解,解法如下：>> x=solve('(x+2)^x=2','x')x =.69829942170241042826920133106081得到符号解，具有缺省精度。
如果需要指定精度的解，则：>> x=vpa(x,3)x =.6983、使用fzero或fsolve函数，可以求解指定位置（如x0）的一个根，格式为：x=fzero(fun,x0)或x=fsolve(fun,x0)。
例如，求方程0.8x+atan(x)- =0在x0=2附近一个根，解法如下：>> fu=@(x)0.8*x+atan(x)-pi;>> x=fzero(fu,2)x =2.4482或>> x=fsolve('0.8*x+atan(x)-pi',2)x =2.4482当然了，对于该方程也可以用第二种方法求解：>> x=solve('0.8*x+atan(x)-pi','x')x =2.4482183943587910343011460497668对于第一个例子，也可以用第三种方法求解：>> F=@(x)x^3-6*x^2-72*x-27F =@(x)x^3-6*x^2-72*x-27>> x=fzero(F,10)x =12.1229对于第二个例子，也可以用第三种方法：>> FUN=@(x)(x+2)^x-2FUN =@(x)(x+2)^x-2>> x=fzero(FUN,1)x =0.6983最近有多人问如何用matlab解方程组的问题，其实在matlab中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵，非奇异)的求解，MA TLAB中有两种方法：(1)x=inv(A)*b —采用求逆运算解方程组；(2)x=A\b —采用左除运算解方程组。
matlab中方程根的近似计算
实验一方程根的近似计算一、问题求非线性方程的根二、实验目的1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。
4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。
三、预备知识方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学和工程中经常碰到的数值计算问题。
它的一般形式是求方程f(x)=0的根。
如果有x*使得f(x*)=0，则称x*为f(x)=0的根，或函数f(x)的零点。
并非所有的方程都能求出精确解或解析解。
理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没有代数求根方法，即它的根不能用方程系数的解析式表示。
至于超越方程，通常很难求出其解析解。
不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。
而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。
下面介绍几种常见的求近似根的方法。
1. 求方程近似解的简单方法1.1 图形方法—放大法求根图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。
不过，不要总是想得到根的精确值。
这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。
并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。
例1.1 求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。
解（1）画出函数f(x)=x5+2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。
为此，在matlab命令窗中输入clfezplot x-x,grid onhold onezplot('x^5+2*x^2+4',[-2*pi,2*pi])1-1 函数f(x)=x5+2x2+4的图形clfx=-2*pi:0.1:2*pi;y1=zeros(size(x));y2= x.^5+2*x.^2+4;plot(x,y1,x,y2)grid onaxis tighttitle('x^5+2x^2+4')xlabel('x')从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。
实验三：matlab求代数方程的近似根(解)
相关概念
线性方程 与 非线性方程
f ( x) 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方 程；否则称之为非线性方程。
对分法
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。
适用范围
求有根区间内的 单根 或 奇重实根。
(1) 令 x0 (a b) / 2，计算 f ( x0 )； ( 2) 若 | f ( x0 ) | ，则 x0 就是我们所要的近似根，
停止计算， 输出结果 x x0；
(3) 若 f (a ) f ( x0 ) 0，令 a1 a, b1 x0 ; 否则令 a1 x0 , b1 b；
上机作业
作业（要求写实验报告）
教材：P69, 4
( x ) (1 w) x w ( x )
加权系数 wk 的确定：令 ’(x)=0 得
w 1 1 '( x )
wk
1 1 '( xk )
松弛迭代法
松弛法迭代公式：
xk 1 (1 wk ) xk wk ( xk )
1 wk , 1 '( xk )
根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的 区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 设方程的根为 x* (ak , bk ) ，又 xk
1 1 1 1 | xk | ( bk ak ) ( bk 1 ak 1 )= = k 1 ( b a) 2 2 2 2
令： P ( x ) 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x0 ) x x0 f '( x0 )
matlab计算根号算法
matlab计算根号算法根号算法是数学中常见的一种求解平方根的方法。
在计算机科学中，根号算法也是常用的数值计算方法之一。
在本文中，我们将介绍如何使用Matlab实现根号算法，并探讨其原理与应用。
我们需要明确根号算法的定义。
根号算法，也称为平方根算法，是求解一个数的平方根的方法。
在数学中，我们使用符号√来表示平方根。
例如，√4=2，表示4的平方根等于2。
在Matlab中，我们可以使用内置的sqrt函数来计算一个数的平方根。
sqrt函数的使用非常简单，只需要将需要求解平方根的数作为参数传入即可。
例如，如果我们想求解16的平方根，可以使用以下代码：```x = sqrt(16);disp(x);```运行上述代码，我们将得到输出结果为4。
这是因为16的平方根等于4。
除了使用内置的sqrt函数外，我们还可以使用迭代法来实现根号算法。
迭代法的基本思想是通过不断逼近的方式，求解一个方程的根。
在根号算法中，我们可以通过迭代法逼近一个数的平方根。
具体而言，我们可以使用以下迭代公式来计算一个数的平方根：```x(n+1) = (x(n) + a / x(n)) / 2```其中，x(n)表示第n次迭代的结果，x(n+1)表示第n+1次迭代的结果，a表示需要求解平方根的数。
现在，我们将使用Matlab实现根号算法的迭代过程。
首先，我们需要设置迭代的初始值，通常可以选择一个合适的数作为初始值。
在这里，我们选择a本身作为初始值。
然后，我们可以使用一个循环来迭代地计算平方根，直到达到预设的精度。
以下是使用Matlab实现根号算法的代码：```a = 16; % 需要求解平方根的数x = a; % 初始值设为a本身delta = 1e-6; % 预设的精度while truex_next = (x + a / x) / 2; % 根号算法的迭代公式if abs(x_next - x) < delta % 判断是否达到预设的精度break;endx = x_next; % 更新迭代结果enddisp(x);```运行上述代码，我们将得到输出结果为4。
MATLAB求代数方程的近似根(解)
y = polyval(p,x) Y = polyvalm(p,X)
多项式运算中， 使用的是多项式
系数向量，
不涉及符号计算！
x = roots(p)
线性方程组求解
线性方程组求解
linsolve(A,b)：解线性方程组 Ax b
p2 2x 1 p1 p2 2x3 x2 2x 4
[2, 1, 0, 3] [ 0, 0[,2,1] [2, 1, 2, 4]
多项式四则运算
多项式乘法运算： k = conv(p,q)
例：计算多项式 2x3 x2 3 和 2x 1 的乘积 >> p=[2,-1,0,3]; >> q=[2,1]; >> k=conv(p,q);
多项式除法运算： [k,r] = deconv(p,q) 其中 k 返回的是多项式 p 除以 q 的商，r 是余式。 [k,r]=deconv(p,q) <==> p=conv(q,k)+r
多项式的求导
polyder
k=polyder(p) : 多项式 p 的导数； k=polyder(p,q): p*q 的导数； [k,d]=polyder(p,q): p/q 的导数，k 是分子，d 是分母
fsolve [x,fval,flag,out]=fsolve(fun,x0,options)： 参数大部分与fzero相同，优化参数更多，更灵活。 注意x0的长度必须与变量的个数相等。
它与fzero的区别是，算法不同，fsolve的功能强大多很多，它可 以直接方便的求解多变量方程组，线性和非线性，超静定和静不 定方程，还可求解复数方程。 fun同样可以是句柄、inline函数或M文件，但是一般M文件比较 多，这是由于fsolve是解方程组的，目标函数一般比较烦，直接 写比较困难
matlab实验报告--求代数方程的近似根
数学实验报告实验序号： 日期： 年 月 日班级姓名学号实验名称：求代数方程的近似根 问题背景描述：求代数方程0)(=x f 的根是最常见的数学问题之一，当)(x f 是一次多项式时，称0)(=x f 为线性方程，否则称之为非线性方程．当0)(=x f 是非线性方程时，由于)(x f 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间],[b a ，或给出某根的近似值0x ．实验目的：1. 了解代数方程求根求解的四种方法：对分法、迭代法、牛顿切线法2. 掌握对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程。
实验原理与数学模型：1．对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(<⋅b f a f ，即 ()0f a >，()0f b <或()0f a <，()0f b >．则根据连续函数的介值定理，在),(b a 内至少存在一点 ξ，使()0f ξ=．下面的方法可以求出该根：(1) 令02a bx +=，计算0()f x ；(2) 若0()0f x =，则0x 是()0f x =的根，停止计算，输出结果0x x =．若 0()()0f a f x ⋅<，则令1a a =，10b x =，若0()()0f a f x ⋅>，则令10a x =，1b b =；1112a b x +=． ……，有k a 、k b 以及相应的2k kk a b x +=． (3) 若()k f x ε≤ (ε为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果2k kk a b x +=； 反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列{[,]}k k a b ，在(,)k k a b 中含有方程的根．当区间长k k b a -很小时，取其中点2k kk a b x +=为根的近似值，显然有 1111111()()()2222k k k k k k x b a b a b a ξ--+-≤-=⨯⨯-==-以上公式可用于估计对分次数k ．2. 迭代法1) 迭代法的基本思想：由方程()0f x =构造一个等价方程()x x φ=从某个近似根0x 出发，令1()k k x x φ+=， ,2,1,0=k可得序列{}k x ，这种方法称为迭代法．若 {}k x 收敛，即*lim k k x x →∞=，只要()x φ连续，有1lim lim ()(lim )k k k k k k x x x φφ+→∞→∞→∞==即可知，{}k x 的极限*x 是()x x φ=的根，也就是()0f x =的根．当然，若k x 发散，迭代法就失败． 迭代过程1()k k x x φ+=收敛的常用判别标准：当根区间[,]a b 较小，且对某一0[,]x a b ∈，()'x φ明显小于1时，则迭代收敛2) 迭代法的加速：a) 松弛法：若()x φ与k x 同是*x 的近似值，则1(1)()k k k k k x x x ωωφ+=-+是两个近似值的加权平均，其中k ω称为权重，现通过确定k ω看能否得到加速．迭代方程是：()x x ψ←其中()(1)()x x x ψωωφ=-+，令'()1'()0x x ψωωφ=-+=，试确定ω：当'()1x φ≠时，有11'()x ωφ=-，即当11'()k k x ωφ=-，'()11'()k k k x x φωφ--=-时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：1(1)()k k k k k x x x ωωφ+=-+，11'()k k x ωφ=-b) Altken 方法：**()x x φ=，*x 是它的根，0x 是其近似根． 设10()x x φ=，21()x x φ=，因为****222121[][()()]()()x x x x x x x x 'x x φφφξ=+-=+-=+-， 用差商10211010()()x x x x x x x x φφ--=--近似代替()'φξ，有 **212110()x x x x x x x x -≈+-- ， 解出*x ，得**()x x φ=2*212210()2x x x x x x x -≈--+ 由此得出公式(1)()k k x x φ= ； (2)(1)()k k x x φ=；(2)(1)2(2)1(2)(1)()2k k k kk k kx x x xx x x +-==-+， ,2,1,0=k 这就是Altken 公式。
matlab求微分方程精确解与近似解
注：解微分方程组时，如果所给的输出个数与方程个数相同， 则方程组的解按词典顺序输出；如果只给一个输出，则输出 的是一个包含解的结构（structure）类型的数据。
❖ dsolve 举例
例：[x,y]=dsolve('Dx+5*x=0','Dy-3*y=0', ...
'x(0)=1', 'y(0)=1','t')
若找不到解析解，则返回其积分形式。
dsolve 举例
例 2：求微分方程 xy ' y e x 0 在初值条件 y(1) 2e
下的特解，并画出解函数的图形。
>> y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') >> ezplot(y);
dsolve 举例
Euler折线法举例（续）
解析解：
y
5 3
e3x
2x
2 3
1/ 3
解析解
近似解
Runge-Kutta 方法
为了减小误差，可采用以下方法：
unge-Kutta (龙格-库塔) 方法
龙格-库塔方法
是一类求解常微分方程的数值方法 有多种不同的迭代格式
Runge-Kutta 方法
Euler 法与 R-K法误差比较
Matlab 解初值问题
用 Maltab自带函数 解初值问题
求解析解：dsolve
求数值解：
ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb
dsolve 求解析解
Matlab 求代数方程的近似解
x*
即 x* ( x*)
( x*)
f ( x*) 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！
迭代法收敛性判断
如果存在 x* 的某个 邻域 =(x*- , x* + ), 使 定义： 得对 x0 开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 设 x* =(x*)，的某个邻域 内连续，且对 定理 1： x 都有 |’(x)|q< 1, 则对 x0 ，由迭 代 xk+1 = (xk) 得到的点列都收敛。
f 是符号表达式，也可以是字符串 默认变量由 findsym(f,1) 确定
>> syms x >> f=sin(x)+3*x^2; >> g=diff(f,x) >> g=diff('sin(x)+3*x^2','x')
Matlab 解方程函数
roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。 fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用
inline、字符串、或 @，但不能是方程或符号表达式！
linsolve(A,b)：解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ...
xk k 0
f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
x = (x)
(x) 的不动点
迭代法的收敛性
收敛性分析
若 ，假设 (x) 连续，则 xk x * xk 收敛，即lim k
matlab根号运算
matlab根号运算摘要：本文主要介绍了MATLAB中根号运算的基本概念、实现方法及其在实际问题中的应用。
通过实例分析，展示了如何使用MATLAB进行根号运算，以及如何在实际问题中运用这些知识。
一、根号运算的基本概念根号运算是一种基本的数学运算，表示将一个数开平方。
在MATLAB中，可以使用内置函数`sqrt()`来实现根号运算。
`sqrt()`函数接受一个实数作为输入，返回其平方根。
例如，`sqrt(9)`返回3，因为3的平方等于9。
二、MATLAB中根号运算的实现在MATLAB中，可以使用`sqrt()`函数直接进行根号运算。
例如：```matlabnum = 9;result = sqrt(num);```此外，还可以使用`sym`函数将符号表达式转换为符号矩阵，然后使用`sqrt()`函数计算符号矩阵的平方根。
例如：```matlabsym_expr = sym('x^2 + y^2');num_coefficients = num2cell(eval(regexprep(sym_expr, '-', '+')));square_root_expr = [num2cell(sqrt(c)) for c in num_coefficients];```三、根号运算在实际问题中的应用1. 计算距离在地理系统中，经常需要计算两点之间的距离。
可以使用根号运算来计算两点之间的直线距离。
例如，假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以使用以下公式计算它们之间的距离：```matlabdistance = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);```2. 计算面积和体积在计算平面图形和三维物体的面积和体积时，可能需要使用到根号运算。
例如，计算圆形、球体或圆柱体的面积和体积时，都需要使用到根号运算。
在MATLAB中，可以使用内置函数`pi`和`sphere`、`cylinder`等计算这些面积和体积。
matlab中方程根的近似计算
matlab中方程根的近似计算实验一方程根的近似计算一、问题求非线性方程的根二、实验目的1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。
4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。
三、预备知识方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学和工程中经常碰到的数值计算问题。
它的一般形式是求方程f(x)=0的根。
如果有x*使得f(x*)=0，则称x*为f(x)=0的根，或函数f(x)的零点。
并非所有的方程都能求出精确解或解析解。
理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没有代数求根方法，即它的根不能用方程系数的解析式表示。
至于超越方程，通常很难求出其解析解。
不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。
而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。
下面介绍几种常见的求近似根的方法。
1. 求方程近似解的简单方法1.1 图形方法—放大法求根图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。
不过，不要总是想得到根的精确值。
这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。
并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。
例1.1 求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。
解（1）画出函数f(x)=x5+2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。
为此，在matlab命令窗中输入clfezplot x-x,grid onhold onezplot('x^5+2*x^2+4',[-2*pi,2*pi])1-1 函数f(x)=x5+2x2+4的图形clfx=-2*pi:0.1:2*pi;y1=zeros(size(x));y2= x.^5+2*x.^2+4;plot(x,y1,x,y2)grid onaxis tighttitle('x^5+2x^2+4')xlabel('x')从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。
matlab代数方程近似解
linsolve(A,b)：解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用
字符串表示的方程、符号表达式； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。
上机作业
1.根据二分法的步骤编写程序bisec.m求
相关概念
线性方程 与 非线性方程
f ( x) 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方 程；否则称之为非线性方程。
本节主要讨论非线性方程的数值求解
对分法
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。
适用范围
(4) 令 x1 (a1 b1 ) / 2, 若 | f ( x1 ) | ，则停止计算， 输出结果 x x1； 若 f (a1 ) f ( x1 ) 0，令 a2 a1, b2 x1; 否则令 a2 x1, b2 b1；
... ...
Matlab程序见 bisec.m
f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) 2! ( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
令： P ( x ) 0
P( x)
( f '( x0 ) 0)
f ( x0 ) x x0 f '( x0 )
(1) 令 x0 (a b) / 2，计算 f ( x0 )； (2) 若 | f ( x0 ) | ，则 x0 就是我们所要的近似根，
停止计算， 输出结果 x x0；
matlab实验报告--求代数方程近似根1
连续函数的介值定理，在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f ( ) 0 ．
下面的方法可以求出该根：
(1)
令 x0
a b ，计算 2
f (x0 ) ；
(2) 若 f (x0 ) 0 ，则 x0 是 f (x) 0 的根，停止计算，输出结果 x x0 ．
若
f
(a)
f
(x0)
0
，则令 a1
， k
1 1 '(xk )
b) Altken 方法： x* (x* ) ， x* 是它的根， x0 是其近似根．
设 x1 (x0 ) ， x2 (x1) ，因为 x* x2 [x* x2 ] x2 [ (x* ) (x1)] x2 ' ( )(x* x1) ，
用差商 x2 x1 (x1) (x0 ) 近似代替'( ) ，有
当 f (x) 0 是非线性方程时，由于 f (x) 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意 的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．
本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间[a,b] ， 或给出某根的近似值 x0 ．
a
， b1
x0
，若
f
(a)
f
(x0)
0
，则令
a1
x0
， b1
b
； x1
a1
b1 2
．
……，有 ak
、 bk
以及相应的 xk
ak
bk 2
．
(3) 若 f (xk )
(
为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果 xk
ak
用Matlab解代数方程
一般的代数方程函数solve用于求解一般代数方程的根，假定S为符号表达式，命令solve (S)求解表达式等于0的根,也可以再输入一个参数指定未知数。
例：syms a b c xS=a*x^2+b*x+c;solve(S)ans=[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]b=solve(S,b)b =-(a*x^2+c)/x线性方程组线性方程组的求解问题可以表述为：给定两个矩阵A和B，求解满足方程AX=B或XA=B的矩阵X。
方程AX=B的解用X=A\B或X=inv (A)*B表示；方程XA=B 的解用X=B/A或X=B*inv (A)表示。
不过斜杠和反斜杠运算符计算更准确，占用内存更小，算得更快。
线性微分方程函数dsolve用于线性常微分方程（组）的符号求解。
在方程中用大写字母D表示一次微分,D2，D3分别表示二阶、三阶微分，符号D2y相当于y关于t的二阶导数。
函数dsolve的输出方式格式说明y=dsolve(‘Dyt=y0*y’) 一个方程，一个输出参数[u,v]=dsolve(‘Du=v’,’Dv=u’) 两个方程，两个输出参数S=dsolve(‘Df=g’,’Dg=h’,’Dh=-2*f ‘)方程组的解以S.fS.g S.h结构数组的形式输出例1 求 21u dtdu += 的通解.解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')结果：u = tg(t-c)例2 求微分方程的特解.ïîïíì===++15)0(',0)0(029422y y y dxdydx y d 解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果为: y =3e -2x sin （5x ）例3 求微分方程组的通解.ïïïîïïïíì+-=+-=+-=z y x dtdz zy x dtdyz y x dt dx244354332解输入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；x=simple(x) % 将x 化简y=simple(y)z=simple(z)结果为：x = (c 1-c 2+c 3+c 2e -3t -c 3e -3t )e 2ty = -c 1e -4t +c 2e -4t +c 2e -3t -c 3e -3t +(c 1-c 2+c 3)e 2t z = (-c 1e -4t +c 2e -4t +c 1-c 2+c 3)e 2t非线性微分方程注意:1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.例4 ïîïíì===---0)0(';2)0(0)1(1000222x x x dtdx x dt x d 解: 令y 1=x ，y 2=y 1’则微分方程变为一阶微分方程组：ïîïíì==--==0)0(,2)0()1(1000''211221221y y y y y y y y 1、建立m-文件vdp1000.m 如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);2、取t 0=0，t f =3000，输入命令：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')3、结果如图50010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52例5 解微分方程组.ïïîïïíì===-=-==1)0(,1)0(,0)0(51.0'''321213312321y y y y y y y y y y y y 解1、建立m-文件rigid.m 如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t 0=0，t f =12，输入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、结果如图24681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图中，y 1的图形为实线，y 2的图形为“*”线，y 3的图形为“+”线.例6 Lorenz 模型的状态ïîïíì-+-=+-=+-=)()()()()()()()()()()()(322133223221t x t x t x t x t xt x t x t xt x t x t x t x r s s b &&& 若令3/8,28,10===b r s 且初值为e ===)0(,0)0()0(321x x x ，e 为一个小常数，假设1010-=e。
matlab中方程根的近似计算
实验一方程根的近似计算一、问题求非线性方程的根二、实验目的1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。
4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。
三、预备知识方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学和工程中经常碰到的数值计算问题。
它的一般形式是求方程f(x)=0的根。
如果有x*使得f(x*)=0，则称x*为f(x)=0的根，或函数f(x)的零点。
并非所有的方程都能求出精确解或解析解。
理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没有代数求根方法，即它的根不能用方程系数的解析式表示。
至于超越方程，通常很难求出其解析解。
不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。
而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。
下面介绍几种常见的求近似根的方法。
1. 求方程近似解的简单方法1.1 图形方法—放大法求根图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。
不过，不要总是想得到根的精确值。
这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。
并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。
例1.1 求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。
解（1）画出函数f(x)=x5+2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。
为此，在matlab命令窗中输入clfezplot x-x,grid onhold onezplot('x^5+2*x^2+4',[-2*pi,2*pi])1-1 函数f(x)=x5+2x2+4的图形clfx=-2*pi:0.1:2*pi;y1=zeros(size(x));y2= x.^5+2*x.^2+4;plot(x,y1,x,y2)grid onaxis tighttitle('x^5+2x^2+4')xlabel('x')从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。
用MATLAB解方程的三个实例
用MATLAB解方程的三个实例1、对于多项式p(x)=x3-6x2-72x-27，求多项式p(x)=0的根，可用多项式求根函数roots（p），其中p为多项式系数向量，即>>p =[1,-6,-72,-27]p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00p是多项式的MATLAB描述方法，我们可用poly2str(p,'x')函数，来显示多项式的形式: >>px=poly2str(p,'x')px =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27多项式的根解法如下：>> format rat %以有理数显示>> r=roots(p)r =2170/179-648/113-769/19802、在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。
例如，求方程（x+2）x=2的解,解法如下：>> x=solve('(x+2)^x=2','x')x =.69829942170241042826920133106081得到符号解，具有缺省精度。
如果需要指定精度的解，则：>> x=vpa(x,3)x =.6983、使用fzero或fsolve函数，可以求解指定位置（如x0）的一个根，格式为：x=fzero(fun,x0)或x=fsolve(fun,x0)。
例如，求方程0.8x+atan(x)- =0在x0=2附近一个根，解法如下：>> fu=@(x)0.8*x+atan(x)-pi;>> x=fzero(fu,2)x =2.4482或>> x=fsolve('0.8*x+atan(x)-pi',2)x =2.4482当然了，对于该方程也可以用第二种方法求解：>> x=solve('0.8*x+atan(x)-pi','x')x =2.4482183943587910343011460497668对于第一个例子，也可以用第三种方法求解：>> F=@(x)x^3-6*x^2-72*x-27F =@(x)x^3-6*x^2-72*x-27>> x=fzero(F,10)x =12.1229对于第二个例子，也可以用第三种方法：>> FUN=@(x)(x+2)^x-2FUN =@(x)(x+2)^x-2>> x=fzero(FUN,1)x =0.6983最近有多人问如何用matlab解方程组的问题，其实在matlab中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵，非奇异)的求解，MA TLAB中有两种方法：(1)x=inv(A)*b —采用求逆运算解方程组；(2)x=A\b —采用左除运算解方程组。
matlab实例教程_比较实用
实验一特殊函数与图形一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景与实验目的著名的Riemann函数大家都很熟悉了，但是关于它的图像你是否清楚呢？除了最上面那几点，其他都很难画吧？你想不想看看下面那些“挤在一起”的点是怎样分布的呢？还有几何中的马鞍面、单叶双曲面等是怎样由直线生成的，是不是也想目睹一下呢？这些，都离不开绘图．实际上绘图一直是数学中的一种重要手段，借助图形，往往可以化繁为简，使抽象的对象得到明白直观的体现．比如函数的基本性质，一个图形常可以使之一目了然，非常有效．它虽不能代替严格的分析与证明，但在问题的研究过程中，可以帮助研究人员节约相当一部分精力．此外，它还可以使计算、证明、建模等的结果得到更明白易懂的表现，有时，这比科学论证更有说服力．同时，数学的教学与学习过程也离不开绘图．借助直观的图形，常可以使初学者更容易接受新知识．如数学分析中有不少函数，其解析式着实让人望而生畏，即使对其性质作了详尽的分析，还是感到难明就里；但如果能看到它的图形，再配合理论分析，则问题可以迎刃而解．又如在几何的学习中，会遇到大量的曲线与曲面，也离不开图形的配合．传统的手工作图，往往费力耗时，效果也不尽理想．计算机恰恰弥补了这个不足，使你可以方便地指定各种视角、比例、明暗，从各个角度进行观察．本实验通过对函数的图形表示和几个曲面（线）图形的介绍，一方面展示它们的特点，另一方面，也将就Matlab软件的作图功能作一个简单介绍．大家将会看到，Matlab 的作图功能非常强大．二、相关函数（命令）及简介1．平面作图函数：plot，其基本调用形式：plot(x,y,s)以x作为横坐标，y作为纵坐标．s是图形显示属性的设置选项．例如：x=-pi:pi/10:pi;y=sin(x);plot(x,y,'--rh','linewidth',2,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','g')图1在使用函数plot时，应当注意到当两个输入量同为向量时，向量x与y必须维数相同，而且必须同是行向量或者同是列向量．绘图时，可以制定标记的颜色和大小，也可以用图形属性制定其他线条特征，这些属性包括：linewidth 指定线条的粗细．markeredgecolor 指定标记的边缘色markerfacecolor 指定标记表面的颜色．markersize 指定标记的大小．若在一个坐标系中画几个函数，则plot的调用格式如下：plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,……)2．空间曲线作图函数：plot3，它与plot相比，只是多了一个维数而已．其调用格式如下：plot3(x,y,z,s)．例如：x=0:pi/30:20*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot3(x,y,z)得到三维螺旋线：图23．空间曲面作图函数：（1）mesh函数．绘制彩色网格面图形．调用格式：mesh(z)，mesh(x,y,z)和mesh(x,y,z,c)．其中，mesh(x,y,z,c)画出颜色由c指定的三维网格图．若x、y均为向量，则length(x)=n，length(y)=m，[m,n]=size(z)．（2）surf在矩形区域内显示三维带阴影曲面图．调用格式与mesh类似．（3）ezmesh用符号函数作三维曲面网格图．调用格式：ezmesh(x,y,z)其中x = x(s,t), y = y(s,t),z = z(s,t)．画图区域默认为：-2*pi < s < 2*pi 且-2*pi < t < 2*pi.或者用格式：ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])（4）ezsurf用符号函数作三维曲面图．调用格式与ezmesh类似．（5）sphere画球体命令．4．meshgrid，调用格式：[x,y]=meshgrid(m,n)，这里的m，n为给定的向量，可以定义网格划分区域和划分方法．矩阵x和矩阵y是网格划分后的数据矩阵．5．图像的修饰与其他函数：（1）axis equal 控制各个坐标轴的分度，使其相等；（2）colormap设置绘图颜色．调用格式：colormap([r g b])其中r,g,b都是0-1之间的数．或者用格式：colormap(s)s（3（4）find找出符合条件的元素在数组中的位置．调用格式：y=find(条件)例如：输入：a=[4 5 78 121 4 665 225 4 1];b=find(a>7)输出：b =3 4 6 7三、实验内容数学分析中，特别是积分部分，我们接触了不少有趣的函数，由于其中有的不是一一对应的，用上面的方法无法画出它们的图像，这时就只能用参数了．此外还有些图形只能用参数来画，比如空间曲线，在计算机上不接受“两个曲面的交线”这种表示，所以也只能用参数来实现．用参数方式作图的关键在于找出合适的参数表示，尤其是不能有奇点，最好也不要用到开方．所以要找的参数最好是有几何意义的．当然这也不可一概而论，需要多积累经验．1．利用函数plot在一个坐标系中画以下几个函数图像，要求采用不同颜色、不同线形、不同的符号标记．函数为：．程序如下：t=0:pi/20:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=sin(2*t);plot(t, x, '--k*', t, y, '-rs', t, z, ':bo')图像如下：图32．绘制类似田螺线的一条三维螺线(方程自己设计)．程序如下：t=0:.1:30;x=2*(cos(t)+t.*sin(t));y=2*(sin(t)-t.*cos(t));z=1.5*t;plot3(x,y,-z) %取–z 主要是为了画图看起来更清楚axis equal图像如下：图43．利用函数，绘制一个墨西哥帽子的图形．程序如下：[a,b]=meshgrid(-8:.5:8); %先生成一个网格c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps;z=sin(c)./c;mesh(a,b,z)axis square图像如下：图5思考：这里的eps 是什么？其作用是什么？4．利用surf绘制马鞍面图形（函数为：）．程序如下：[x,y]=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);z=x.^2/9-y.^2/4;surf(x,y,z)title('马鞍面')grid off图像如下：5．分别用ezmesh和ezsurf各绘制一个圆环面，尝试将两个圆环面放在一个图形界面内，观察它们有什么不同之处．提示：圆环面的方程为：，而圆环面的参数方程为：程序参见附录1．图像如下：图76．绘制黎曼函数图形，加深对黎曼函数的理解．说明：黎曼函数的定义为程序参见附录2．图像如下：四、自己动手1．作出下图所示的三维图形：图9提示：图形为圆环面和球面的组合.2．作出下图所示的墨西哥帽子及其剪裁图形：图103．画出球面、椭球面、双叶双曲面、单叶双曲面．4．若要求田螺线的一条轴截面的曲边是一条抛物线：时．试重新设计田螺线的参数方程，并画出该田螺线．5．作出下图所示的马鞍面（颜色为灰色，并有一个标题：“马鞍面”）：图116．绘制图8所示的黎曼函数图形，要求分母的最大值的数值由键盘输入（提示：使用input语句）．回目录下一页实验二定积分的近似计算一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容1．矩形法2．梯形法3．抛物线法4. 直接应用Matlab命令计算结果四、自己动手一、问题背景与实验目的利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用．二、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字．（注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式：quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即.*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）例：计算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在一个函数文件integrnd.m：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('exp.txt','w'); %打开文件fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',y); %写入fclose(fid) %关闭文件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab 中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f关于v积分，积分区间由a到b．11．subs(f，'x'，a)：将a 的值赋给符号表达式f 中的x，并计算出值．若简单地使用subs(f)，则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同，我们以为例（取），（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取，0.78789399673078，理论值，此时计算的相对误差（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取，0.78289399673078，理论值，此时计算的相对误差（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取，0.78540024673078，理论值，此时计算的相对误差如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．2．梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，，即，称此式为梯形公式．仍用的近似计算为例，取，0.78539399673078，理论值，此时计算的相对误差很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大．若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．仍用的近似计算为例，取，=0.78539816339745，理论值，此时计算的相对误差4. 直接应用Matlab命令计算结果（1）数值计算方法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)方法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）方法3：x=0:0.001:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算方法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）方法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法二重数值积分）四、自己动手1．实现实验内容中的例子，即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算，取，并比较三种方法的精确程度．2．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．3．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）4．将的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较，试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法？并找出其他例子支持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出一些理论上的小结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值？6．学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．上一页回目录下一页实验三求代数方程的近似根（解）一、问题背景和实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景和实验目的求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程．当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值．在实际问题抽象出的数学模型中，可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．通过本实验希望你能：1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；2. 求代数方程（组）的解．二、相关函数（命令）及简介1．abs( )：求绝对值函数．2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式．diff(f, 'a')：对变量a求微分，f 为符号表达式．diff(f, 'a', n)：对变量a 求n 次微分，f 为符号表达式．例如：syms x tdiff(sin(x^2)*t^6, 't', 6)ans=720*sin(x^2)3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式的所有根．例如：求解：．p = [1 -6 -72 -27];r = roots(p)r =12.1229-5.7345-0.38844．solve('表达式')：求表达式的解．solve('2*sin(x)=1')ans =1/6*pi5．linsolve(A, b)：求线性方程组A*x=b 的解．例如：A= [9 0; -1 8]; b=[1; 2];linsolve(A, b)ans=[ 1/9][19/72]6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解．其中fun为一个定义的函数，用“@函数名”方式进行调用．例如：fzero(@sin, 3)ans=3.14167．subs(f, 'x ', a)：将a 的值赋给符号表达式f 中的x，并计算出值．例如：subs('x^2 ', 'x ', 2)ans = 4三、实验内容首先，我们介绍几种与求根有关的方法：1．对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．设在上连续，，即，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点，使．下面的方法可以求出该根：(1)令，计算；(2)若，则是的根，停止计算，输出结果．若，则令，，若，则令，；．……，有、以及相应的．(3) 若(为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有以上公式可用于估计对分次数．分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．2. 迭代法1)迭代法的基本思想：由方程构造一个等价方程从某个近似根出发，令，可得序列，这种方法称为迭代法．若收敛，即，只要连续，有即可知，的极限是的根，也就是的根．当然，若发散，迭代法就失败．以下给出迭代过程收敛的一些判别方法：定义：如果根的某个邻域中，使对任意的，迭代过程，收敛，则称迭代过程在附近局部收敛．定理1：设，在的某个邻域内连续，并且，，则对任何，由迭代决定的序列收敛于．定理2：条件同定理1，则定理3：已知方程，且(1) 对任意的，有．(2) 对任意的，有，则对任意的，迭代生成的序列收敛于的根，且．以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：当根区间较小，且对某一，明显小于1时，则迭代收敛(参见附录3)．2) 迭代法的加速：a) 松弛法：若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速．迭代方程是：其中，令，试确定：当时，有，即当，时，可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，松弛法的加速效果是明显的(见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．b) Altken方法：松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的Altken 公式：，是它的根，是其近似根．设，，因为，用差商近似代替，有，解出，得由此得出公式；；，这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法）1) 牛顿法的基本思想：是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．记：是一次多项式，用作为的近似方程．的解为记为，一般地，记即为牛顿法公式.2) 牛顿法的收敛速度：对牛顿法，迭代形式为：注意分子上的，所以当时，，牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的．牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值．因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度．4. 求方程根(解)的其它方法(1) solve('x^3-3*x+1=0')(2) roots([1 0 -3 1])(3) fzero('x^3-3*x+1', -2)(4) fzero('x^3-3*x+1', 0.5)(5) fzero('x^3-3*x+1', 1.4)(6) linsolve([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]')体会一下，(2)(5) 用了上述1 3 中的哪一种方法？以下是本实验中的几个具体的实验，详细的程序清单参见附录．具体实验1：对分法先作图观察方程：的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．输入以下命令，可得的图象：f='x^3-3*x+1';g='0';ezplot(f, [-4, 4]);hold on;ezplot(g, [-4, 4]); %目的是画出直线y=0，即x 轴grid on;axis([-4 4 -5 5]);hold off具体实验2：普通迭代法采用迭代过程：求方程在0.5 附近的根，精确到第4 位小数．构造等价方程：用迭代公式：，用Matlab 编写的程序参见附录2．请利用上述程序填写下表：分析：将附录2第4行中的分别改为以及，问运行的结果是什么？你能分析得到其中的原因吗？看看下面的“具体实验3”是想向你表达一个什么意思．用Matlab 编写的程序参见附录3．具体实验3：收敛/发散判断设方程的三个根近似地取，和，这些近似值可以用上面的对分法求得．迭代形式一：收敛(很可能收敛，下同)不收敛(很可能不收敛，下同)不收敛迭代形式二：收敛不收敛不收敛迭代形式三：不收敛收敛收敛具体实验4：迭代法的加速1——松弛迭代法，，迭代公式为程序参见附录4．具体实验5：迭代法的加速2——Altken迭代法迭代公式为：，，程序参见附录5．具体实验6：牛顿法用牛顿法计算方程在-2到2之间的三个根．提示：，迭代公式：程序参见附录6 （牛顿法程序）．具体实验7：其他方法求下列代数方程（组）的解：（1）命令：solve('x^5-x+1=0')（2）命令：[x, y]=solve('2*x+3*y=0', '4*x^2+3*y=1')(3) 求线性方程组的解，已知，命令：for i=1:5for j=1:5m(i, j)=i+j-1;endendm(5, 5)=0;b=[1:5]'linsolve(m, b)思考：若，或是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则应如何得到？四、自己动手1．对分法可以用来求偶重根附近的近似解吗? 为什么?2．对照具体实验2、4、5，你可以得出什么结论?3．选择适当的迭代过程，分别使用：（1）普通迭代法；（2）与之相应的松弛迭代法和Altken 迭代法．求解方程在 1.4 附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化．4．分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程的正的近似根，．(建议取．时间许可的话，可进一步考虑的情况．)上一页回目录下一页。
matlab割线法求方程的根
matlab割线法求方程的根割线法是一种常用的数值计算方法，用于求解方程的根。
它的原理是通过不断迭代逼近根的位置，直到满足所需的精度要求为止。
在使用割线法求解方程根之前，我们首先需要明确方程的形式和所求解的区间。
假设我们要求解的方程为f(x)=0，并且我们已经确定了方程在区间[a,b]内有且仅有一个根。
割线法的基本思想是通过两个初始点x0和x1，利用方程的斜率来逼近方程的根。
我们选择两个初始点x0和x1，可以是区间[a,b]内的任意两个点。
然后，根据初始点和方程的斜率，我们可以得到一条割线的方程。
假设割线的方程为y=f(x0)+k(x-x0)，其中k为斜率。
我们可以通过求解该割线与x轴的交点得到新的逼近根x2。
具体求解割线与x轴的交点的方法如下：首先，我们将割线方程中的y置为0，得到f(x0)+k(x-x0)=0。
然后，将该方程转化为x的表达式，即x=x0-f(x0)/k。
通过这个表达式，我们可以得到新的逼近根x2。
接下来，我们将x1更新为x0，x2更新为x1，继续进行迭代。
在每一步迭代中，我们都可以根据当前的x0和x1得到新的割线方程，并用割线与x轴的交点更新x2。
通过不断迭代，我们可以逐渐逼近方程的根。
需要注意的是，在进行迭代计算时，我们需要设定一个停止准则，即迭代的终止条件。
一般来说，可以根据两个相邻迭代点的差值来判断是否满足精度要求。
如果差值小于某个预设的阈值，我们可以认为已经找到了方程的根。
割线法的优点是不需要计算方程的导数，适用于一般的非线性方程。
然而，由于割线法是一种迭代的方法，它的收敛速度较慢，需要进行多次迭代才能达到所需的精度要求。
在使用MATLAB进行割线法求解方程的过程中，我们可以先定义方程的函数表达式，并选择合适的初始点。
然后，利用MATLAB提供的迭代计算方法，不断更新迭代点，直到满足停止准则为止。
最后，我们可以得到方程的根，并进行进一步的分析和应用。
割线法是一种常用的数值计算方法，可以用于求解方程的根。
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'( xk ) 1
松弛法具有较好的加速效果，甚至有些不收敛的迭 代，加速后也能收敛。
缺点：每次迭代需计算导数
Altken 迭代法
Altken迭代法
用 差商 近似 微商
设 x* 是方程的根，则由中值定理可得
x * x2 ( x*) ( x1 ) '( )( x * x1 )
inline、字符串、或 @，但不能是方程或符号表达式！
linsolve(A,b)：解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用
字符串表示的方程、符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。
其他 Matlab 相关函数
diff g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数 g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数 g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数
f 是符号表达式，也可以是字符串 默认变量由 findsym(f,1) 确定
>> syms x >> f=sin(x)+3*x^2; >> g=diff(f,x) >> g=diff('sin(x)+3*x^2','x')
定理 2：如果定理 1 的条件成立，则有如下估计
1 qk | xk 1 xk | | xk x* | | x1 x0 | | xk x* | 1 q 1 q
迭代法收敛性判断
已知方程 x =(x)，且 定理 3： (1) 对 x[a, b]，有 (x)[a, b]； (1) 对 x[a, b]，有|’(x)|q< 1； (2) 则对 x0[a, b] ，由迭代 xk+1 = (xk) 得到 的点列都收敛，且
得到一个迭代序列
x k k 0
f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
x = (x)
(x) 的不动点
迭代法的收敛性
收敛性分析
若
xk 收敛，即 lim xk x *，假设 (x) 连续，则 k
lim xk 1 lim ( xk ) lim xk
相关概念
线性方程 与 非线性方程
f ( x) 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方 程；否则称之为非线性方程。
对分法
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。
适用范围
求有根区间内的 单根 或 奇重实根。
(4) 令 x1 (a1 b1 ) / 2, 若 | f ( x1 ) | ，则停止计算， 输出结果 x x1；
... ...
若 f (a1 ) f ( x1 ) 0，令 a2 a1, b2 x1; 否则令 a2 x1, b2 b1；
对分法收敛性
收敛性分析
'( ) ( x1 ) ( x0 )
x1 x0 x2 x1 x1 x0
x2 x1 x* x2 ( x * x1 ) x1 x0
( x2 x1 ) 2 x* x 2 x2 2 x1 x0
Altken 迭代法
Altken迭代公式
牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿的缺点
对重根收敛速度较慢（线性收敛）
对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗 糙近似，然后再用牛顿法求解。
Matlab 解方程函数
roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。 fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用
( x2 x1 ) 2 x* x 2 x2 2 x1 x0
( 2)
xk
(1)
( xk ), xk
( xk )
(1)
x k 1
( xk ( 2) xk (1) ) 2 xk ( 2) ( 2) (1) xk 2 xk xk
k = 0, 1, 2, ... ...
数学实验
实验三
求代数方程的近似根(解)
实验三、近似求解代数方程
问题背景和实验目的
解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是 众多应用领域中不可避免的问题之一。 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如 果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可 以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对 分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解。
ak bk ，所以 2
0(k
)
对分法总是收敛的
但对分法的收敛速度较慢 通常用来试探实根的分布区间， 或给出根的一个较为粗糙的近似。
迭代法
基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 从某个近似根 x0 出发，计算
( x)
xk 1 ( xk ) k = 0, 1, 2, ... ...
( x ) (1 w) x w ( x )
加权系数 wk 的确定：令 ’(x)=0 得
w 1 1 '( x )
wk
1 1 '( xk )
松弛迭代法
松弛法迭代公式：
xk 1 (1 wk ) xk wk ( xk )
1 wk , 1 '( xk )
令： P ( x ) 0
f ( x0 ) x x0 f '( x0 )
( f '( x0 ) 0)
牛顿法迭代公式
牛顿迭代公式
f ( x0 ) x x0 f '( x0 )
k = 0, 1, 2, ... ...
xk 1
f ( xk ) xk f '( xk )
(1) 令 x0 (a b) / 2，计算 f ( x0 )； ( 2) 若 | f ( x0 ) | ，则 x0 就是我们所要的近似根，
停止计算， 输出结果 x x0；
(3) 若 f (a ) f ( x0 ) 0，令 a1 a, b1 x0 ; 否则令 a1 x0 , b1 b；
Altken 法同样具有较好的加速效果
牛顿迭代法
基本思想：
用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为
f ''( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) P ( x )
|’(x0)| 明显小于 1 时，则我们就认为迭代收敛
迭代法的加速
设迭代 xk+1 = (xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的近似 根分别为 xk 和 (xk) ，令
xk 1 (1 wk ) xk wk ( xk )
其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = (xk)
数学原理：介值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)<0，则由介值定
理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 使得 f()=0。
对分法
具体步骤
设方程在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)<0，给定 精度要求 ，若有 |f(x)|< ，则 x 就是我们所需要 的 f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。
上机作业
作业（要求写实验报告）
教材：P69, 4
根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的 区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 设方程的根为 x* (ak , bk ) ，又 xk
1 1 1 1 | xk | ( bk ak ) ( bk 1 ak 1 )= = k 1 ( b a) 2 2 2 2
qk | xk x* | | x1 x0 | 1 q
q 越小，迭代收敛越快
’(x*) 越小，迭代收敛越快
迭代法收敛性判断
以上所给出的收敛性定理中的条件的验证都比较 困难，在实际应用中，我们常用下面不严格的判别 方法：
当有根区间 [a, b] 较小，且对某一 x0[a, b] ，
(x) 即为牛顿
法的迭代函数
f ( x ) f ''( x ) '( x ) [ f '( x )]2
牛顿法的收敛速度
f ( x) ( x) x 令 f '( x )
当 f (x*) 0 时 ’(x*)=0 牛顿法至少二阶局部收敛
牛顿法迭代公式
牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭 代点充分靠近精确解时。
k k k
x*
即 x* ( x*)
( x*)
f ( x*) 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！
迭代法收敛性判断
如果存在 x* 的某个 邻域 =(x*- , x* + ), 使 定义： 得对 x0 开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 设 定理 1： x* =(x*)，的某个 邻域 内连续，且对 x 都有 |’(x)|q< 1, 则对 x0 ，由迭 代 xk+1 = (xk) 得到的点列都收敛。