自动控制原理4
自动控制原理与应用 第4章
2) 稳态性能 由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系 统属1型系统，因而根轨迹上的K值就是静态误差系数。如果给 定了系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位 置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不 是开环增益，而是所谓根轨迹增益。 下面将要指出，开环增益和根轨迹增益之间仅相差一个比 例常数，很容易进行换算。对于其他参数变化的根轨迹图，情 况是类似的。
图4-2 二阶系统的根轨迹
2. 根轨迹与系统性能 画出根轨迹的目的是利用根轨迹来分析系统的各种性能， 以图4-2为例进行说明。 1) 稳定性 当开环增益由零变到无穷时，图4-2上的根轨迹不会越过 虚轴进入右半s平面，因此图4-1所示系统对所有的K值都是稳 定的。在分析高阶系统的根轨迹图时，根轨迹若越过虚轴进入 s右半平面，则根轨迹与虚轴交点处的K值即为临界开环增益。
为了说明根轨迹的概念，我们以图4-1所示的二阶系统为 例，介绍根轨迹的基本概念。
图4-1 二阶系统结构图
由图4-1可知，系统的开环传递函数为
G(s) K 2K
(4-1)
s(0.5s 1) s(s 2)
开环传递函数有p1=0, p2=－2两个极点，没有零点, 式中K 为开环增益。系统的闭环传递函数为
即
m
(s zi )
i 1 n
开环有限零点到 根轨迹上点 s的矢量长度之积 开环极点到根轨迹上点 s的矢量长度之积
1
K*
(s p j )
j 1
和
(4-9)
m
n
m
n
(s zi ) (s p j ) i j
当K=∞时，s1=-1+j∞, s2=-1-j∞，沿上述直线趋于无穷远。 如图4-2所示，当K由0→∞变化时，闭环特征根在s平面上 移动的轨迹就是系统的根轨迹，直观地表示了K变化时闭环特 征根的变化，给出了K变化时对闭环特征根在s平面上分布的影 响。因此，可通过根轨迹的变化趋势来判定系统的稳定性，确 定系统的品质。这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法称 为解析法。
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理 (4)
ω2 n s ( s + 2 ξω n )
C (s)
ω2 n GK ( s ) = s( s + 2ξωn ) K = s(Ts + 1)
其中： 开环增益； 其中：K——开环增益；T——开环时间常数 开环增益 开环时间常数 用两种表达式可进行两组参数（ 用两种表达式可进行两组参数（ωn、ζ和K、T）之间的换算。 和 、 ）之间的换算。
ωd = ωn 1 − ξ2
为振荡频率
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阻尼ζ 阻尼 阻尼ζ＞ 阻尼 ＞1
1 零阻尼ζ＝ 零阻尼 ＝０ 临界稳定线 j
左半平面 ζ＞０ ＞稳 定 区 s2
s1 σ s2
s1 ωn θ s2 s2
ωd 0 定
s1=s2
半平面 ζ ０ 不 稳 定 区 阻尼 θ σ cos θ = =ξ ωn
稳态误差e 也称为静态误差，简称静差。 稳态误差 ss：也称为静态误差，简称静差。衡量输出响应进 入稳态后所表现出来的性能，即表示系统的控制精度。 入稳态后所表现出来的性能，即表示系统的控制精度。 定义式： 定义式：
ess = lim e( t )
t →∞
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d dt
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由此可得出如下结论： 由此可得出如下结论： 结论
当输入信号之间呈积分关系时 当输入信号之间呈积分关系时，则相应的系统响应之 呈积分关系 间也呈现积分关系。因此线性定常系统所特有的重要特性 间也呈现积分关系。因此线性定常系统所特有的重要特性 是：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信 系统对输入信号导数的响应， 号响应的导数；系统对输入信号积分的响应， 号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统 对该输入信号响应的积分， 对该输入信号响应的积分，其中积分常数由零输出初始条 件确定。因此，在研究线性定常系统的时间响应时，不必 件确定。因此，在研究线性定常系统的时间响应时， 对每种输入信号形式都进行测定和计算， 对每种输入信号形式都进行测定和计算，往往只取其中一 种典型形式进行研究即可，一般取最简单的信号， 种典型形式进行研究即可，一般取最简单的信号，如单位 阶跃信号、单位正弦信号和单位脉冲信号。 阶跃信号、单位正弦信号和单位脉冲信号。
自动控制原理第4章
第四章 根轨迹法教学时数：10学时 教学目的与要求：1. 正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。
2. 正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。
熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。
3. 正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统K 从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。
4. 正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。
能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。
5. 了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
教学重点：根轨迹与根轨迹方程、绘制根轨迹的基本法则、广义根轨迹、系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系、系统阶跃响应的根轨迹分析。
教学难点：根轨迹基本法则及其应用。
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要有闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。
这给系统的分析与设计带来了极大的方便。
§4－1 根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K ）从零变到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180︒根轨迹。
例子 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：()(0.51)K G s s s =+图4-1 二阶系统结构图开环传递函数有两个极点120,2p p ==-。
没有零点，开环增益为K 。
闭环传递函数为：2()2()()22C s K s R s s s K φ==++闭环特征方程为： 2()220D s s s K =++= 闭环特征根为：1211s s =-+=--从特征根的表达式中看出每个特征根都随K 的变化 而变化。
自动控制原理-第4版-夏德吟-课后答案
自动控制原理第4版夏德吟课后答案第一章简介1.1自动控制原理是现代控制理论和方法的基础，它是电气自动化、机械自动化、工业过程控制和自动化等专业的重要课程之一。
本书是夏德吟教授编写的自动控制原理课程的第4版，主要针对大学本科生进行授课。
1.2 主要内容本书共分为六个部分，分别是自动控制基础、一阶惯性系统、二阶惯性系统、校正器设计、稳定性分析和设计、多变量系统控制。
1.3 课后答案本书为了帮助学生更好地学习和理解自动控制原理，特别编写了课后习题，并提供了课后答案，供学生参考和自学使用。
下面是第4版自动控制原理的课后答案。
第二章自动控制基础2.1 控制系统基础知识1.什么是控制系统？控制系统是由输入、输出和反馈组成的一种系统，用于控制和调节系统的运行状态，使系统保持在期望的状态。
2.控制系统的基本要素有哪些？控制系统的基本要素有输入、输出、执行器和传感器。
3.什么是开环控制系统？开环控制系统是一种不考虑系统输出与期望输出之间差异的控制系统，只根据输入信号给予执行器驱动，没有反馈环节。
4.什么是闭环控制系统？闭环控制系统是一种根据系统输出与期望输出之间差异进行调节的控制系统，通过传感器获取系统输出，并与期望输出进行比较，然后调节执行器来达到期望输出。
2.2 控制系统的数学建模1.什么是传递函数？传递函数是用来描述线性时不变系统的输入输出关系的函数，通常用G(s)表示，其中s为复变量。
2.什么是系统的零点和极点？系统的零点是传递函数为0的点，系统的极点是传递函数为无穷大的点。
3.什么是单位阶跃响应？单位阶跃响应是指输入信号为单位阶跃函数时系统的输出响应。
4.什么是单位脉冲响应？单位脉冲响应是指输入信号为单位脉冲函数时系统的输出响应。
2.3 时域分析1.什么是系统的稳定性？系统的稳定性是指系统的输出在无穷大时间内是否趋于稳定，即系统的输出是否收敛。
2.什么是系统的阻尼比？系统的阻尼比是描述系统阻尼程度的参数，用ζ表示。
精品文档-自动控制原理(李素玲)-第4章
定满足幅值条件方程。因此，相角条件方程是决定闭环根轨
迹的充分必要条件，而幅值条件方程只用来确定根轨迹上各
点的Kg值。
16 【例4-2】 设单位反馈系统的开环传递函数为
Gk (s)
Kg (s 4) s(s 2)(s 6.6)
试检验复平面上一点s1＝－1.5＋j2.5是否在根轨迹上。若在， 则确定与它对应的Kg值。
的方法。
14
由于Gk(s)是关于复数s的函数，故式(4-2)为一矢量方程。 可由矢量的模值运算和相角运算分别得到
m
Kg s zj
j1 n
1
s pi
i1
(4-3)
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1) π
(k 0,1,2,)
(4-4)
j1
i1
式(4-3)称为根轨迹的幅值条件方程；式(4-4)称为根轨迹的
Φ(s)
s2
Kg 2s
Kg
7
闭环特征方程为 D(s)＝s2＋2s＋Kg＝0
系统的两个闭环特征根为
s1,2 1 1 Kg 两个闭环特征根将随着Kg取值的变化而变化。例如，当Kg ＝0时， s1＝0，s2＝－2；当Kg＝1时，s1＝s2＝－1；当Kg＝2 时，s1，2＝－1±j；当Kg＝5时，s1，2＝－1±j2；当Kg＝∞时， s1，2＝－1±j∞。
解 系统有3个开环极点p1＝0，p2＝－2，p3＝－6.6；有1 个开环零点z1＝－4。
将这些零、极点及s1＝－1.5＋j2.5标注在复平面上。绘 制从各零、极点到s1的向量，如图4-4所示。
17 图4-4 例4-2开环零、极点位置
18
可以测得：
∠(s1－z1)－∠(s1－p1)－∠(s1＋p2)－∠(s1＋p3) ＝45°－120°－79°－26°＝－180°
自动控制原理作业4参考答案
自动控制原理作业4 参考答案1、已知某系统的开环传递函数为试绘制系统开环对数幅频特性和开环对数相频特性图，用对数判据分析闭环稳定性，求出相位裕量和增益裕量。
解：由题目给定的传递函数可知，系统的转折频率依次为0.023，0.053，1.48，1.6，2.27，30.3和50。
低频段渐近线为水平线，高度为24dB。
系统相频特性为ω和φ(ω)对照表如下：开环对数颇率特性如图1所示。
由图可知，在L(ω) > 0的频段内，φ(ω)对–180o线有1次正穿越，而系统开环传递函数有两个位于右半s平面的极点；即p = 2。
正负穿越次数之差为图1故闭环系统稳定。
可算得ωc = 7. 243rad/s，相位裕量γ = 53o，相位穿越频率ωg =32. 3rad/s，增益裕量K g = 13. 5dB。
2、已知某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如题2图所示，试确定系统的开环传递函数，并求出相角稳定裕量，画出对应的对数相频特性，分析闭环系统的稳定性。
题2图解：(1) 由题2图可知，低频段渐近线斜率为 –40dB/dec，表明系统有两个s = 0的极点；并可以确定各转角频率对应的典型环节类型：在ω= 2处，斜率变化20dB/dec，为一阶徽分环节；在ω= 10处，斜率变化 –20dB/dec，为惯性环节；在ω= 0. 1处，L(ω) = 60dB，斜率为 –40dB/dec，据此可得到系统的开环增益K。
因为所以K = 10。
系统的开环传递函数为(2) 求穿越频率和相位裕量：系统的相位裕量为(3) 相频特性为根据不同频率计算相角，可以画出对数相频特性曲线，如图2所示。
图2(4) 开环传递函数无右半s平面极点；在L(ω) > 0的频段内，φ(ω)对–180o线没有穿越；故闭环系统稳定。
3、已知某最小相位系统的开环传递函数为其中ω1 < ω2 < ω3 < ω4， K* = ω4ωc2，ωc为系统开环对数幅频特性的幅值(增益)穿越频率。
自动控制原理第四章
K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
自动控制原理第4章
p 26.6
3
自动控制理论
14
4-2 根轨迹绘制的基本法则
八、根之和 若 n-m2 ，闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数
p ,
i 1 i i 1 i
n
n
nm2
表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而 另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能 维持闭环极点之和为常数。
1 G ( s) H ( s) 0 Q( s) AP( s), P( s) 1 A 0 1 G1 ( s) H1 ( s) Q( s ) P( s ) 等效开环传递函数 G1 ( s ) H1 ( s ) A Q( s)
注意：此等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相 同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。
180o根轨迹
( s z ) ( s p ) (2k 1)
j 1 i 1
(2k 1)180, (k 0,1,2,)
一、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
简要证明如下：
由模值条件
1 * K
(s z
j 1 n i 1
解：开环传递函数有二个极点，一个零点，此类有零点的二 阶系统的根轨迹其复数部分为一个圆，圆心在开环零点处， 半径为零点到分离点的距离。
自动控制理论 21
4-4 系统的性能分析
此系统的分离点：
d1 1.17, d1 6.83
K 2
*
j
利用幅值条件可求得两个分离 点处的根轨迹增益
j 1 j i 1 i
(k 0,1,2,)
K*
s p sz
j 1 i 1 m
n
自动控制原理实验4
七、注意事项
1、 若只使用其中某一个运算放大器，则其
余的运算放大器必须接成比例环节，不允许
输入端和输出端悬空，以避免损坏运算放大
器；
2、所有导线使用前须用万用表测通断 ３、调零
方法1：李沙育图形示波器设置
CH1接输入，CH2接输出
示波器设置
示波器设置
示波器设置
示波器设置
格式设置成XY
示波器设置
方法2：
示波器设置
CH1,CH2的波形调成一样大
一阶惯性环节频率特性
4、二阶系统的频率特性测量 （1）用MATLAB求出该二阶系统频率特性， 绘制幅频曲线和相频曲线； （2）连接示波器：将正弦波端子与Ui和示波 器通道CH1相连接，实验电路UO与示波器通道 CH2相连接； （3）输入正弦波信号，通过示波器观测输入 输出正弦波曲线并调节正弦波频率，绘制该二 阶系统的幅频曲线和相频曲线，并与仿真结果 相比较； 3．根据二阶系统的理论计算，选择频率测试 点ω，填写下表。
二阶系统频率特性
五、实验报告要求：
1.
2.
3.
1. 整理表4.2、表4.3中的实验数据，在半对 数坐标纸上作出被测系统的对数幅频特性和 相频特性。 2. 参考相频特性，对对数幅频特性采用折线 近似，从而确定被测系统的参数（转折频率、 阻尼比、开环放大倍数），与实验时所设置 的原始参数进行比较。 3.讨论李沙育图形法测试频率特性的精度。
实 验 四
典型系统的频率特性测试
一、实验目的：
1．掌握测量典型一阶系统和二阶 系统频率特性曲线的方法； 2．通过本实验进一步理解频率特性 的物理意义。
二、实验仪器：
1．自控系统教学模拟机 XMN-2 1台； 2．数字示波器 TDS1002B 1台；
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
自动控制原理(4)
4.1 根轨迹的基本概念
根据如下控制系统框图介绍根轨迹的基本概念。
R(s)
+ -
K
C(s)
s(0.5s 1)
图4－1 控制系统框图
1.将图4-1所示系统的开环传递函数转化为：
G(s) K k ; k 2K s(0.5s 1) s(s 2)
上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准 形式——零极点增益形式。
或
G(s)H (s)
K1 sm
m
zj
j 1
s m1
m j 1
zj
sn
n i1
pi
s n1
n i1
pi
上式可化为：
G(s)H(s)
K1
snm
τzj、τpi ——分之和分母中的时间常数。
由上两式不难看出
m
(z j )
K K1
j 1 n
( pi )
i1
zj
1
zj
,
( j 1, 2 , , m)
;
pi
1
pi
,
(i 1 , 2 , , n)
由此可以得到另一种形式的幅值条件和相角条件：
m
s zj
n i1
pi
m j 1
zj
s nm1
在n>m的条件下，当K1→∞时，有（n－m）条根轨
迹分支趋向于无穷远，即s→∞。这时可以只考虑高次项，
将上式近似写为：
G(s)H(s)
自动控制原理第四版刘文定
自动控制原理第四版刘文定介绍《自动控制原理第四版刘文定》是一本经典的自动控制原理教材。
本书由刘文定教授编著，是自动控制领域的权威人物。
本书深入浅出地介绍了自动控制的基本原理和方法，适合作为自动化、电气工程、机械工程等专业的教材。
内容概述本书共分为十个章节，下面简要概括每个章节的内容：第一章：引言本章介绍了自动控制的基本概念和发展历史，以及自动控制在工程和科学研究中的重要性。
同时还介绍了本书的组织结构和学习方法。
第二章：数学建模与系统辨识本章介绍了自动控制系统的数学建模方法，包括微分方程建模、传递函数建模和状态空间建模。
同时还介绍了系统辨识的基本概念和方法。
第三章：传递函数与频域分析本章介绍了传递函数的概念以及传递函数的常见性质。
同时还介绍了频域分析的基本方法，包括频率响应和极坐标图。
第四章：控制系统的稳定性分析本章介绍了控制系统稳定性的概念和判据。
主要包括Routh-Hurwitz稳定性判据、Nyquist稳定性判据和Bode稳定性判据。
第五章：时域分析与设计方法本章介绍了控制系统的时域分析方法，包括单位脉冲响应、单位斜坡响应和阶跃响应。
同时还介绍了控制系统的根轨迹和根轨迹设计方法。
第六章：根轨迹与频率响应方法本章继续介绍了根轨迹方法和频率响应方法。
主要包括极点配置法、根轨迹分析法和频率响应设计法。
第七章：PID控制器本章介绍了最常用和实用的控制器——PID控制器。
内容包括PID控制器的基本原理、参数调节方法和在实际应用中的设计。
第八章：校正器和灵敏度本章介绍了校正器和灵敏度的概念及其在控制系统中的作用。
内容包括校正器的设计方法和对灵敏度的调节。
第九章：状态空间分析与设计本章介绍了状态空间分析和设计方法。
内容包括状态空间模型、状态转移矩阵和状态观测器设计。
第十章：现代控制理论本章介绍了现代控制理论中的一些重要概念和方法，包括模糊控制、自适应控制和神经网络控制等。
总结《自动控制原理第四版刘文定》是一本很好的自动控制原理教材，涵盖了自动控制的基本原理和方法，并介绍了一些现代控制理论的概念。
自动控制原理 第4章
我们知道，一个闭环系统开环传递函数的分子加分母就是该 系统闭环传递函数的特征方程，这样，由已知闭环系统的开 环传递函数确定其闭环极点分布，实际上就是解决系统特征 方程的求根问题。 1948 年，伊文思( W.R.Evans )根据反馈 系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特 征方程根的比较简易的图解方法，称之为根轨迹法。因为根 轨迹法直观形象，使用简单，所以在控制工程中获得了广泛 应用。
当 K =0.5 时，两个闭环极点均为 -1 ，闭环特征根为二 重实根，系统为临界阻尼，单位阶跃响应仍为单调上升的非 周期过程，但比上述情况稍快；
当 K >0.5 时，闭环极点为共轭复数，系统为欠阻尼振 荡，阶跃响应为衰减振荡过程，且超调量正比于 K 值。
分析表明，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，利 用根轨迹可以分析当系统参数增大时系统动态性能的变化趋 势。然而，对于高阶系统，用解析方法绘制系统根轨迹图显 然是不适用的，我们希望能有简便的图解方法。因为开环传 递函数相对容易得到，因此要求能够根据已知的开环传递函 数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究开环零、极 点与闭环系统的根轨迹之间的关系。
第四章 控制系统的根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 常规根轨迹的绘制法则 4.3 广义根轨迹 4.4 根轨迹系统性能分析 习题四
本章主要讲述根轨迹的概念、 绘制常规根轨迹的基本 法则、 广义根轨迹以及根轨迹系统性能分析等。
4. 1 根轨迹的基本概念
从第三章分析可知，一个系统可以通过找出其闭环极点 来分析系统的稳定性情况，而系统的稳态性能和动态性能又 与闭环零、极点在 s 平面上的位置密切相关。但对于高阶系 统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根(闭环极点)通常 很困难，特别是在系统参数(如开环增益)发生变化时求根， 每变化一次都需要重新计算一次，因此解析法就显得很不 方便。
自动控制原理第4章
z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则 闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
自动控制原理基础教程第四版答案
自动控制原理基础教程第四版答案第一章简介1.1 自动控制系统简介在自动控制原理基础教程第四版中，我们将深入探讨自动控制的基本原理和技术。
本教程旨在为读者提供一个全面的介绍，以了解自动控制系统的基本概念和操作。
1.2 本教程的目标本教程的目标是使读者能够理解自动控制的基本原理，掌握自动控制系统的设计和操作。
通过本教程的学习，读者将能够应用所学的原理和技术来解决实际问题。
第二章控制系统概述2.1 控制系统的定义控制系统是由一组相互关联的元件组成的系统，用于控制和调节特定过程或系统的运行状态。
控制系统可以通过比较输出信号和期望值来自动调整输入信号，以使系统保持在期望的状态。
2.2 控制系统的分类控制系统可以根据其输入、输出和处理方法进行分类。
常见的控制系统分类包括开环控制系统和闭环控制系统。
2.2.1 开环控制系统开环控制系统是指输出信号不会影响输入信号的控制系统。
该系统根据预定的输入信号产生输出信号，但不对输出信号进行反馈或调整。
2.2.2 闭环控制系统闭环控制系统是指输出信号会影响输入信号的控制系统。
该系统根据输出信号与期望值之间的差异来调整输入信号，以使输出信号趋近于期望值。
2.3 控制系统的基本组成控制系统通常由输入设备、处理器、输出设备和反馈环路组成。
输入设备接收外部信号作为输入，处理器根据输入信号生成控制信号，输出设备将控制信号转换为输出信号，反馈环路将输出信号传回处理器进行比较和调整。
第三章控制系统的数学模型3.1 控制系统的数学表示为了建立控制系统的数学模型，我们需要使用数学语言来描述系统的动态特性和行为。
常用的数学描述方法包括微分方程、传递函数和状态空间模型。
3.2 传递函数表示法传递函数是描述控制系统输入与输出关系的一种常用方法。
传递函数表示了系统输出与输入之间的数学关系，通常以分子多项式和分母多项式的比值形式表示。
3.3 状态空间表示法状态空间表示法是描述控制系统动态特性的一种方法。
自动控制原理4
s1 0.467
解此方程得
180(2k 1) 60,180
nm
a
5 3
（5）根轨迹与虚轴的交点 s(s 1 )s (4 )K g0
s j
令
j， 得( j 1)( j 4 ) K g 0
K g 5 2 0
4 3 0
2
K g 20
解之得
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点： K gOA CA D A 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大， 故取Kg=2.3可满足要求。
第四章小结:
根轨迹的定义
根 根轨迹的基本概念 根轨迹方程
幅角条件
轨
相角条件
迹
常规根轨迹的绘制原则（共10条）
Kg 6 2
经整理得
9.出射角与入射角
出射角：位于复平面上的开环极点，根轨迹离开此极点与正实轴的夹角。
入射角：位于复平面上m 的开n环1 零点，根轨迹进入此零点与正实轴的夹角。
出 180 ( i i )
j 1
i 1
m
n1
入 180 ( i i )
j 1
i 1
s 3 2 s 2 3 s K 2 s K 0
g。
，试确定系统的开环传递系数Ｋ
解：由已知条件画出根轨迹图如下所示：
当Kg=20时，闭环系统有一对极点位于
虚轴上，系 统处% 于 临1 界稳8 % 定状态。
根据超调量
的要求，代入
公式解得β=60°。在根轨迹上作β=60°
的径向直线，并与根轨迹交于A、B两点，
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s 1 ,2 b jn n j1 2n 0 . 3 5 j 0 . 61
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引言
A.闭环系统的稳定性和动态性能取决于 闭环极点特征方程的根。
B.当待定参数变化时特征根随之变化， 这个根的变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹的变化规律以及和闭 环系统性能间的关系的方法，称为控制 系统根轨迹分析法。
课题：第一节 根轨迹的基本概念
要求：掌握根轨迹的概念 掌握根轨迹幅值条件和相角条件 重点：根轨迹的概念 闭环系统的特征根的根轨迹与开环传 递函数的关系
6
取 a=1, b=3 根轨迹如图.
4
2
Im a g A x is
0
-2
-4
-6 -4
-3
-2
-1 R e a l A x is
0
1
2
举例验证 :
②增加零点：
K 1)G ( s ) H ( s) s( s a) K ( s b) 2)G ( s ) H ( s ) s( s a)
1)
G ( s) H (s)
K s( s a)
取a=1 根轨迹如图所示
1 .5
1
0 .5
Im a g A x is
0
-0 .5
-1
-1 .5 -2
-1 .5
-1
-0 .5 R e a l A x is
0
0 .5
1
2)
G( s) H ( s) K
5 4 3 2 1
( s b) s( s a)
则闭环特征方程为:
num 1 K 0 den
特征方程的根随参数K的变化而变化,即为闭环根轨迹.
项目1:已知系统的开环传递函G) s(s 1)(s 2)
利用下面的ＭＡＴＬＡＢ命令可容易地绘制出系统的根轨迹 >>G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]); rlocus(G); grid title(‘Root_Locus Plot of G(s)=K/[s(s+1)(s+2)]’) xlabel(‘Real Axis’) %给图形中的横坐标命名． ylable(‘Imag Axis’) %给图形中的纵坐标命名． [K,P]=rlocfind(G)
K 1) G( s) H (s) s( s a)
1 .5
当a=1时根轨迹如图示.
1
0 .5
Im a g A x is
0
-0 .5
-1
-1 .5 -2
-1 .5
-1
-0 .5 R e a l A x is
0
0 .5
1
K 2) 加一个实极点 G(s) H (s) s(s a)( s b)
引言
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 开环零极点对根轨迹的影响
第三节 根轨迹与系统性能
实验：用MATLAB绘制根轨迹
引言
根轨迹法是一种图解方法，它是古典控 制理论中对系统进行分析和综合的基本方法 之一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征 方程的根（即系统的闭环极点）在S平面上的 分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统 十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系 统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便。 本章主要介绍根轨迹的概念，任用MATLAB绘 制根轨迹和用根轨迹法分析自动控制系统的 性能
s1
s1 1 1 K s 2 1 1 K
4）闭环特征根： s1 1 1 K
s 2 1 1 K
分析：1K=1 临界阻尼，重根；
20K1，两个负实根
过阻尼状态； (3)K>1 共轭复根 ， 欠阻尼 衰减振荡 ， 且K越大 越小 ，振荡越烈；
s2= 2
开环零点: 无 3) 闭环特征方程:
s2+2s+K=0
K 0 0.25 1 2 5
s1 0 1 1 1 j 1 2 j 1 j
闭环特征根：
s2 2 3 2 1 1 1 j 1 2 j 1 j 3 2
j
-2 s2
4.1.2.根轨迹方程
闭环传函:
Y(s)
X(s)
G( s) Gc( s) 1 G( s) H ( s)
+
G(s) H(s)
开环传函: G(s) H (s) K
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
闭环特征方程: G( s) H ( s) 1
K--根轨迹增益
•增加开环零极点时
结论:1增加开环极点将使根轨迹向右
半平面移动,使系统稳定性变差; 2增加开环零点将使根轨迹向左
半平面移动,使系统稳定性变好。
举例验证 : ①增加极点：
K 1)G ( s ) H ( s ) s( s a) K 2)G ( s ) H ( s ) s ( s a)( s b)
j
) (2k 1)
注：
•相角条件方程与K无关，幅值方程才与K 相关; •相角条件是决定根轨迹的充要条件，s平 面上一点s’若满足相角条件即为根轨迹上 的一点。
课题:第二节 开环零极点对根轨迹的 影响
要求: 了解开环零极点对根轨迹的影响 能用系统根轨迹分析系统性能
第二节 开环零极点对根轨迹的影响
根轨迹与系统性能
动态性能 当0< K <1时，所有闭环极点均位于实轴 上，系统为过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调 上升的非周期过程。当 K 1 时，特征方程的两个 相等负实根，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响 应为响应速度最快的非周期过程。当 K >1时，特 征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单 位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量 Kr 随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变 化。
实验 利用MATLAB绘制系统根轨迹 假设闭环系统中的开环传递函数可表示为
s m b1s m1 ... bm1s bm num Gk ( s) K n K n 1 s a1s ... an 1s an den ( s z1)(s z2 )...(s zm ) K KG0 ( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
取a=1, b=5
根轨迹如图所示
Im a g A x is
0 -1 -2 -3 -4 -5 -12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
R e a l A x is
第三节 根轨迹与系统性能
以例1进行说明 稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面 的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若 根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴 交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc。 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点， 所以属Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就是静态 K 速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求， 则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围
用鼠标单击根轨迹上与虚轴相交的点，在命令窗 口可发现如下结果： select_point=0.0000+1.3921i K= 5.8142 P= -2.29830 -0.0085+1.3961i -0.0085-1.3961i 所以，要想使此闭环系统稳定，其增益范围应为 ０＜Ｋ＜５．８１
参数根轨迹反映了闭环根与开环增益的关系．可以编写下面的程 序，通过Ｋ的变化，观察对应根处阶跃响应的变化．考虑Ｋ＝ ０．１，０．２，．．．，１，２，．．．，５，这些增益下闭 环系统的阶跃响应曲线．可由以下ＭＡＴＬＡＢ命令得到． >>hold off; %擦掉图形窗口中原有的曲线． t=0:0.2:15; Y=[ ]; for K=[0.1:0.1:1,2:5] GK=feedback(K*G,1); y=step(GK,t); Y=[Y,y]; end plot(t,Y) 对于for循环语句，循环次数由Ｋ给出．系统画出的图形如图所 示．可以看出，当Ｋ的值增加时，一对主导极点起作用，且响应 速度变快．一旦Ｋ接近临界Ｋ值，振荡加剧，性能变坏．
第一节
4.1.1 根轨迹
根轨迹基本概念
根轨迹：开环传函某个参数由
0
时闭环特征根在S平面上移动
的轨迹。
例1：
1)开环传函:
G( s) K s( s 2)
X -
k s(s+2)
Y
开环极点:s1=0
2)闭环传函：
Y ( s) Gc( s ) X ( s) K 2 s 2s K
根轨迹方程
4.1.3 幅值和相角条件
由根轨迹方程得:
K
(s z ) (s
j 1 i 1 n i
m
1
可得:
pj )
•幅值条件方程
K
j 1 i 1 n
m
( s zi ) (s p j )
1
•相角条件方程
m n i 1 i j 1
(s z ) (s p