自动控制原理课后习题答案第四章
自动控制原理参考答案-第4章
d) 与虚轴交点：
特征方程： s3 + 2s2 + (2 + Kg )s + 3Kg = 0
s3
1
2+ Kg
s2
2
3Kg
s1 2 − 0.5Kg
s0
3Kg
当 Kg = 4 时， 2s2 +12 = 0 ⇒ s = ±2.45 j
e) 出射角： βsc = ±180(1+ 2n) − ∑ β + ∑α
s3
1
7
s2
2
Kg −10
s1 12 − 0.5Kg
s0 Kg −10
当 Kg = 24 时， 2s2 +14 = 0 ⇒ s1,2 = ±2.65 j
劳斯表的 s0 行为正 ⇒ Kg > 10 ，即10 < Kg < 24 根轨迹如下图：
题 4-6：已知负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
b) 根轨迹趋向： n − m≥ 2 ，则极点-5，-10 之间的根轨迹向右渐进．
c)
渐近线： ⎧⎪⎨ϕk
=
±180(1 + 2
2n)
=
±90o
⎪⎩−σ k = −6.5
d) 分离点与会合点：令 ∂Kg = 0 ∂s
即： 2s3 + 21s2 + 60s +100 = 0 ⇒ s1 = −7.34 ； s2,3 = −1.5794 ± 2.0776j (舍去) 根轨迹如下图：
(4) 稳态速度误差系数是多少？
(5) 系统指标比该点的二阶指标大还是小？如果要求系统有该点二阶指标
的超调量，能否通过改变阻尼线而获得？是增大阻尼比还是减小它？
自动控制原理课后习题第四章答案
G(s)H(s)=
Kr s(s+1)(s+3)
σ根 s=3-K+ω轨r4-3-迹+p4s132ω1-3的+~3ω32分p===s2-离+001K点.p-3r=3：KK~0θrr===012+ωω6021,o=3,=0+±1810.7o
8
jω
1.7
s1
A(s)B'系(s)统=根A'轨(s迹)B(s)
s3 p3
s=sK2±r没=j24有.8.6位×于2K.r根6=×4轨80.迹6=上7，. 舍去。
2
第四章习题课 (4-9)
4-9 已知系统的开环传递函数，(1) 试绘制出
根轨迹图。
G(s)H与(s虚)=轴s交(0点.01s+1K)(系0.统02根s+轨1迹)
jω
70.7
解: GKK(rr=s=)10H5(0s)=ωω2s1,(3=s=0+±17000K.7)r(s+50)
s1
A(s)B'(系s)统=A根'(轨s)迹B(s)
s3 p3
p2
p1
-4
-2
0
((24))ζ阻=尼03.振5s2荡+1响2应s+s的81==K-r0值0.7范+围j1.2
s=s-s10=3=.-80-56.8+50K.7r×=20=s.82-=54×-.631..1155×3.15=3.1
-2.8
450
1080
360
0σ
0σ
第四章习题课 (4-2)
4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制出系
统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),
国防《自动控制原理》教学资料包 课后习题答案 第四章
第4章课后习题参考答案4-1（a）（b）（c）（d）4-2（1）（2）4-3（1）（2）（j 24.20 ），K=10.14 4-4 （1）（2）（3）4-5（1）0>K （2）2>K 4-6(1)(2) 闭环极点（j 7.597.0±-），K=34.77 4-7 （1）110222-=+++s s s a（2）130202-=+ss a4-8正反馈 负反馈表明K>0对于正反馈系统不稳定，负反馈系统稳定。
4-90.707ξ=，系统开环传递函数为)4(8)(+=s s s G ，系统的单位阶跃响应为)(t h =)452sin(5.012 +--t e t4-10σωj 007.17-93.2-5-10-（1） K=5；（2）不含有衰减振荡分量的K 值范围为86.00<<K 或29>K 。
4-11 系统的开环极点为0和－p ，开环零点为－z 。
由根轨迹的幅角条件， 得π)12()()(+=+∠-∠-+∠q p s s z s 。
将ωσj s +=代入，整理有pz++︒=-+---σωσωσω111tan 180tan tan取上述方程两端的正切，并利用下列关系yx yx y x tan tan 1tan tan )tan( ±=±有p z z +=++-σωωσσω2)(，则zp z z -=++222)(ωσ，这是一个圆的方程，圆心位于（－z ，j 0）处，而半径等于zp z -2（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。
证毕。
4-12（1）分离点-0.465,对应K=0.88；虚轴的交点j 2± （2）88.00<<K ，阶跃响应不出现超调。
4-13（1）（2）70MAX K =4-14负反馈稳定K 值范围为0<K<73.8，正反馈稳定K 值范围为0<K<35，所以确定根轨迹增益K 的范围为0<K<35。
自动控制原理第4章课后习题答案
第4章4-1 已知系统的开环传函如下,试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,对特殊点要加以简单说明. (1) ()()(4)(1)(2)K s G s H s s s s +=++ (2) ()()2(4)(420)KG s H s s s s s =+++ 解:(1)有3个开环几点,1个开环零点,固有3条根轨迹分别始于0,-1,-2; 1条根轨迹终于-4,另外2条根轨迹趋于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-1~0之间及-4~-2之间 渐近线条数为n-m=3-1=2 渐进线的交点12041312σ++-=-=-渐近线的倾角90θ︒=±分离点22[()()]02152480d G s H s s s s ds =⇒+++= 解得: 12s =- 其它舍去求与虚轴交点:令s j ω=代入特征方程(1)(2)(4)0s s s K s ++++=中得(1)(2)(4)0j j j K j ωωωω++++= 令上式两边实部和虚部分别相等,有226430(2)0 2.83K K K ωωωω⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨+-==±=±⎪⎪⎩⎩绘制系统根轨迹,如图4-1(1)(2)有4个开环几点,无开环零点,有4条根轨迹,分别起始于0,-4, 24j -±终于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-4~0之间; 渐近线条数为n-m=4-0=4 渐进线的交点04242424j j σ++++-=-=-渐近线的倾角45,135θ︒︒=±±分离点22[()()]042472800d G s H s s s s ds=⇒+++=解得: 2s =-由()()1G s H s =得21224(2)4220K=--+--⨯+, K=64绘制系统根轨迹,如图4-1(2)图4-1(1)图4-1(2)4-2 已知系统的开环传函为(2)(3)()()(1)K s s G s H s s s ++=+(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,求取分离点和会和点 (2) 试证明系统的轨迹为圆的一部分解:有2个开环极点,2个开环零点,有2条根轨迹,分别起始于0,-1; 终于-2,-3;实轴上的根轨迹分布在-3~-2之间及-1~0之间分离会和点2221,2,321[()()]02401,12123(2)()()()[()()]0[2(6)4]0203602,18()()[()()]00020,d G s H s s ds KK K s G s H s s s a d G s H s s s a s a dsa a a a s KG s H s sd G s H s s ds a s s =⇒+===-+⨯-++=+=⇒+++=⇒-+≥⇒≤≥===⇒=≤≤=23s ==解得:当10.634s =-时 由()()1G s H s =得(0.6342)(0.6343)10.070.6340.6341K K -+-+=⇒=-⨯-+当2 2.366s =-时 同理 K=13.9 绘制系统根轨迹 如图4-2证明:如果用s j αβ=+代入特征方程1()()0G s H s +=中,并经整理可得到以下方程式:2233()24αβ++=(注:实部虚部相等后消K 可得)显然,这是个圆的方程式,其圆心坐标为3(,0)2-,半径为2图4-24-3 已知系统的开环传函()()(1)(3)KG s H s s s =++(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图(2) 为了使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式,试确定K 的范围 解:有2个开环极点,无开环零点,有2条根轨迹,分别起始于-1,-3; 终于无穷远处;实轴上的根轨迹分布-3~-1之间; 渐近线条数2; 渐近线的交点13022σ+-=-=- 渐近线的倾角90θ︒=± 分离会和点[()()]0240d G s H s s ds=⇒+=解:S=-2由()()1G s H s =得1,12123KK ==-+⨯-+绘制系统根轨迹图4-3由图知 当1<K<+∞时系统的响应呈现衰减振荡形式4-4 设负反馈控制系统的开环传函为2(2)()()()K s G s H s s s a +=+试分别确定使系统根轨迹有一个,两个和三个实数分离点的a 值,分别画出图形 解:求分离点2[()()]0[2(6)4]0d G s H s s s a s a ds=⇒+++=解得s=0,或分离点为实数2203602a a a ⇒-+≥⇒≤或18a ≥当a=18时 实数分离点只有s=0 如图4-4(1)当a>18时 实数分离点有三个,分别为1,2,3(6)0,4a s -+=如图4-4(2)当a=2时2()()K G s H s s =分离点[()()]00d G s H s s ds=⇒= 即分离点只有一个s=0 如图4-4(3) 当02a ≤≤分离点有一个s=0 如图4-4(4) 当a<0时 分离点有1230,s s s ===(舍去)如图4-4(5)综上所述：当a=18,0≤a ≤2时，系统有一个分离点 当a ＞18时，系统有三个实数分离点 当a ＜0时，系统有两个分离点a=18图4-4(1) a=2图4-4(2)图4-4(3) a=1图4-4(4)图4-4(5)4-65 已知系统的开环传递函数为3(1)(3)()()K S S G S H S S++=（1）绘制系统的根轨迹。
自动控制原理第4章习题解——邵世凡
第四章 习题4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。
由开环传递函数可知 m=0，n=3，n -m=3。
即，有限零点为0个，开环极点为3个。
其中，3个开环极点的坐标分别为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。
如图所示。
接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p 1=0，p 2=-4，p 3=-5出发奔向无穷远处的零点。
在这一过程中，从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后进入复平面，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。
根据公式有：渐进线303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后将沿着±60º进入复平面，分离点：设：()1=s N ；()()()s s s s s s s D 2095423++=++=；()0'=s N ；()201832'++=s s s D则有：()()()()()0201832''=++-=⋅-⋅s s s D s N s D s N[s ]0201832=++s s解得方程的根为s 1= -4.5275（不合题意舍去）；s 2= -1.4725 得分离点坐标：d = -1.4725。
与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
自动控制原理第二版第四章课后答案
自动控制原理第二版第四章课后答案【篇一：《自动控制原理》第四章习题答案】4-1 系统的开环传递函数为g(s)h(s)?k*(s?1)(s?2)(s?4) 试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益k*和开环增益k。
解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件?g(s)h(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。
对于s1= -1+j3，由相角条件?g(s1)h(s1)?0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)? 0??2??3??6???满足相角条件，因此s1= -1+j3在根轨迹上。
将s1代入幅值条件： g(s1)h（s1?k*?1?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4k8*解出： k=12 ，k=*?324-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)k(s?5)s(s?2)(s?3)* ⑵ g(s)?⑶ g(s)?k(s?1)s(2s?1)解⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)=10ks(s?5)(s?2)系统有三个开环极点：p1?0,p2= -2,p3 = -5①实轴上的根轨迹：???,?5?, ??2,0?0?2?57?????a??33②渐近线： ????(2k?1)????,?a?33?③分离点：1d?1d?5?1d?2?0解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。
④与虚轴的交点：特征方程为 d(s)=s3?7s2?10s?10k?0?re[d(j?)]??7?2?10k?0令 ? 3im[d(j?)]????10??0?解得?????k?7。
根轨迹如图解4-3(a)所j）与虚轴的交点（0，?示。
⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：??5,?3?, ??2,0?0?2?3?(?5)????0a??2②渐近线： ????(2k?1)????a?22?③分离点： 1d?1d?2?1d?3?1d?5用试探法可得 d??0.886。
自动控制原理黄坚第二版课后答案第四章
4-1 已知系统的零、极点分布如图，大解:(5)(7)(8)4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制出系统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),(-3+j2)是否在根轨迹上。
解:K r (s+1)G(s)=K rΦ(s)=s+1+Kr K r =0s=-1-K r系统的根轨迹s=-1K r =→∞s=-∞s=-2+j0s=0+j14-3 已知系统的开环传递函数，试绘制出根轨迹图。
解: 1p 1=0 p 2=-1 2p 1~p 2 z 1=-1.5 z 2z 1~p 3 3）根轨迹的渐近线 n-m= 1 θ= + 180o4）分离点和会合点A (s )B'(s )=A'(s )B (s )A(s)=s 3+6s 2+5s B(s)=s 2+7s+8.25A(s)'=3s 2+12s+5B(s)'=2s+7s 1=-0.63s 2=-2.5s 3=-3.6s 4=-7.28解得K s(s+1)(s+4)(2) G(s)=r (s+1.5)1）开环零、极点p 1=0p 2=-1p3=-42）实轴上根轨迹段p 1~p 2z 1=-1.5p 3~z 13）根轨迹的渐近线n-m= 2θ= +90o 2σ=-1-4+1.5=-1.754）分离点和会合点 A(s)=s 3+5s 2+4s B(s)=s+1.5 A(s)'=3s 2+10s+4 B(s)'=1 解得 s=-0.62 5）系统根轨迹K s(s+1)2(3) G(s)=r1）开环零、极点p 1=0p 2=-1p 3=-12）实轴上根轨迹段p 1~p 2p 3~-∞3）根轨迹的渐近线n-m=34θ= +180+60o ,闭环特征方程为s 3+2s 2+s+K r =05）分离点和会合点A(s)=s 3+2s 2+s B(s)=1A(s)'=3s 2+4s+1B(s)'=0解得s=-0.336）系统根轨迹1p 1=0p2p 1~p 2p 4=-15p 3~z 143）根轨迹的渐近线n-m=3(4) G(s)=3σ=-3-7-15+8=-5.67θ= +180o +60o , K r =0 ω1=0K r =638 ω2,3=±6.25）分离点和会合点A(s)=s 4+25s 3+171s 2+315s B(s)=s+8A(s)'=4s 3+75s 2+342s+315B(s)'=2s+7解得s=-1.44）根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程为s 4+25s 3+171s 2+323s+8K r =04-5 已知系统的开环传递函数。
自动控制原理课后习题第四章答案
然后，根据闭环传递函数的定义，闭环传递函数F(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))。
解析3
将G(s)H(s)代入闭环传递函数的定义中，得到F(s)=100/((s+1)^2+3)/(1+100/((s+1)^2+4)((s+1)^2+3))。
解析4
化简得到F(s)=100/((s+1)^2+3)(4((s+1)^2+3))=400/(4(s^2+2s+3))。
1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
04
题目四答案
题目内容
• 题目四：已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=K/(s^2+2s+2)，其中K>0，试 求系统的闭环极点和稳定性。
答案解析
闭环极点
根据开环传递函数，我们可以求出闭环传递函数为 G(s)H(s)/(1+G(s)H(s))，然后求出闭环极点。由于开环传递函 数为K/(s^2+2s+2)，所以闭环极点为-1±√2i。
标准形式，即 G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
02
解析二
根据开环传递函数的分子和分母，可以得出系统的开环传递函数为
G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
03
解析三
根据开环传递函数，可以求出系统的闭环传递函数为 G(s)H(s) = (s +
自动控制原理课后习题第四章 答案
薛安克第二版自动控制原理第四章习题参考答案
（a）（b）（c）σ=，渐近线与实轴夹角90度（d）渐近线与实轴交点0a1230, 0, 1p p p ===-1. 实轴上的根轨迹(,1) (0,0)-∞-2. 渐近线：3n m -=3条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角为180(21)60,180 (0,1)3a q q ϕ︒+=±=±︒︒= 渐近线与实轴的交点为11001133n mi ii j a p zn mσ==---===--∑∑ 3. 分离点（会合点）：系统的特征方程为21+()10(1)KG s s s =+=+即 232=(1)K s s s s -+=--2=320dKs s ds--=(32)0s s +=根 10s =，20.667s =-（舍去）4. 与虚轴的交点：令 s j ω= 代入特征方程 21+()10(1)KG s s s =+=+2(1)=0s s K ++2()(1)=0j j K ωω++2(1)=0j K ωω-++2=0K j ωω--2=00K ωω⎧-⎨=⎩=0ω （舍去）与虚轴没有交点，即只有根轨迹上的起点，也即开环极点 1,20p = 在虚轴上。
4.5 开环传递函数为2()(6)(645)K G s s s s s =+++ 开环极点为123,40, 6, 36p p p j ==-=-±1. 实轴上的根轨迹：(6,0)-2. 渐近线：4n m -=，共有4条渐近线，4条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角180(21)45,135 4a q ϕ︒+=±=±︒±︒ 渐近线与实轴的交点为116363634n mi ii j a p zj jn mσ==---+--===--∑∑3. 分离点（会合点）：系统的特征方程为21+()10(6)(645)KG s s s s s =+=+++ 即 2432(6)(645)(1281270)K s s s s s s s s =-+++=-+++=0dKds根 13s =-，2,33s j =- 4. 与虚轴的交点：令 s j ω= 代入特征方程 21+()10(6)(645)KG s s s s s =+=+++4324231281270081012270=0s j j j K K j j ωωωωωωωωω=--++=-+=-+令，得实部： 虚部：解得：=0= 4.74=1316.25K ωω±（舍去），，5. 出射角：出射角公式11,()180(2)()1r nr mj r rp i j i j p z p p k θ==≠=±+∠︒--∠-+∑∑极点23+2s j =-的出射角为 22211,2(63.41180(21)()(0)=16.690)180(21)=90mnp i j i j j k p z p p k θ==≠-︒+︒+=±︒++∠--∠-±︒︒++-︒∑∑Locus of E xample 4-5 in P 72ReI m。
自动控制原理(北大丁红版)第四章习题解答
0.4356 s 0.665s 0.4356
2
可以近似地运用典型二阶系统估算系统的时域性能指标： 超调量： % e 调节时间： t s
当 a 9 时，例如 a 10 ，求得： 根轨迹起于 0，0，-10； 根轨迹终止于-1 和无穷远点； 根轨迹的渐近线与实轴交于-4.5； 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为 90 ， 90 ；
o o
实轴上根轨迹区间为：[-10,-1]； 根轨迹的分离点为：-2.5，-4。 系统的根轨迹如下图所示
负反馈系统在 0 K * 12 时是稳定的； 当 K : 0 时，正反馈系统恒不稳定。
*
4.8 解： n 3 ， m 0 ；根轨迹分离点 d 1 交点为
3 0.42 ，对应的 K 0.192 ；与虚轴的 3
2 j ，对应的 K 3 ，根轨迹如图所示。
Im
o o
Re
4.13 解：闭环系统特征方程为：
1 G ( s) H ( s) 0
因为 H ( s ) 1 ，则 1 G ( s ) 0 ， Ts s 3s 2 0
o o o
分离点的计算：
K*
s 2 ( s 2)( s 4) s 1
dK * 令 0 ，求得分离点在-3.08 和 0 处。 ds
根轨迹如下图所示：
Root Locus 3 2 Imaginary Axis 1 0 -1 -2 -3 -5
-4
自动控制原理第四章课后习题答案(免费)
自动控制原理第四章课后习题答案（免费）4－1 判断下列二次型函数的符号性质：(1) 222123122313()4262Q x x x x x x x x x x =++--- 解:()T V x x px =,其中:111143131P --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,30,160p =>=>==-< 所以,此二次型函数不定.(2) 222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 解: ()T V x x px =,其中111113211112P ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,20,17.50p =-<=>==-< 所以,P 为负定的.4-2 已知二阶系统的状态方程：11122122a a x x a a •⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在 平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解:坐标原点为该系统的一个平衡点,选取李亚普诺夫函数为()T V x x px =,其中:T A P PA Q +=-,取Q=I 得:112111121112111212221222122221221001a a p p p p a a a a p p p p a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,展开可得,其中1221p p =:11112112111221221111211212112212121122121212222211122122121222221001a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p ++++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()211211111121121112122222121222111222121211212222111222121211212211221212112122122212221120200a p p a p a p a a p a p a p p a p a p a p a p a a p a p a p a p a a p a p a p --⎧=⎪+=-⎧⎪⎪+=---⎪⎪→=⎨⎨+++=⎪⎪⎪⎪+++=+++=⎩⎪⎩()()21121212112212122111221122211112221122221112212211122112120222a p a p a a p a a a a a a a a p a a a a a a a a a a ----⇒++⋅+⋅=+=+--1222211112211122112221122()()a a a a p p a a a a a a +⇒==+-解之得:221122211221221111221122211222112221121112221122112212212()()2()()a a a a a a p a a a a a a a a a a a a p a a a a a a ⎧-++=⎪+-⎪⇒⎨-++⎪=-⎪+-⎩要使矩阵P 为正定的,则应使:1112112212210,0p p p p p =>=->于是得:22112212212112211221221()()04()()a a a a a a a a a a ++->+-,即:112212*********,00a a a a p a a ->>⇒+< 综上所述在平衡点出渐进稳定的充要条件为:1122112212210,0a a a a a a +<-> 系统为线性的,所以满足上述条件即可满足大范围渐进稳定.4－3 以李雅普诺夫第二方法确定下列系统原点的稳定性：（1）1123x x •-⎛⎫= ⎪-⎝⎭解:求平衡点，12120230x x x x -+=-=，可得00e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为唯一的平衡点。
自动控制原理课后习题答案第四章
第 四 章4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1))15.0)(12.0()(++=s s s K s G （2）)12()1()(++=s s s K s G 解：(1))5)(2()15.0)(12.0()(*++=++=s s s K s s s K s G ，K K 10*= ① n ＝3，根轨迹有3条分支；② 起点：p1＝0，p2＝-2，p3＝-5；没有零点，终点：3条根轨迹趋向于无穷远处。
③ 实轴上的根轨迹：[-2,0],(5,-∞-];④ 渐进线：373520-=--=a σ，πππϕ,33)12(±=+=K a ； ⑤ 分离点：051211=++++d d d求解得：79.31-=d （舍去），88.02-=d ； 作出根轨迹如图所示：(2)*(1)(1)()(21)(0.5)K s K s G s s s s s ++==++，*0.5K K =① n ＝2，根轨迹有2条分支； ② 起点：p1＝0，p2＝-0.5，；终点：11z =-，1n m -=条根轨迹趋向于无穷远处。
③ 实轴上的根轨迹：[-0.5,0],(,1-∞-];④ 分离点：1110.51d d d +=++求解得：10.29d =-，2 1.707d =-； 作出根轨迹如图所示：4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：确定 )20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为±ｊ1的ｚ值和*K 值。
解：020030)()20)(10()(**234*2=++++=++++=z K s K s s s z s K s s s s D 令j s =代入0)(=s D ，并令其实部、虚部分别为零，即：02001)]1(Re[*=+-=z K j D ，030)]1(Im[*=+-=K j D解得：63.6,30*==z K画出根轨迹如图所示：4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数)102.0)(101.0()(++=s s s K s G要求：(1) 画出准确根轨迹(至少校验三点)；(2) 确定系统的临界稳定开环增益K ｃ；(3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。
自动控制原理课后答案第4章
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的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
自动控制原理第四章习题解答.
4-3 已知开环零、极点分布如图 4-28 所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１） ， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
试用解析法绘出 K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：
1
K∗ s +1
量耻九躇捉韵琵潞雁响竹宜瘁涤棱逊夺本唐噪谎软桃粪延锑痛守论尼拐慕锣金寨剖息奶攻妥猛腆装铭八穴佣佩捉饯仿袜止渔说救御烽演冀放盐枷浦玛脉题慨亭藻荤红成幅标恿挨异母咎司忽退滩钮办特笆矗矿价裴蝇舆沿认仕饼铝曹獭魁惟扇比讼严锭县佰匹晋烈岛疲珠珠都乖侦猛缮袁时畸隔缴侧适贫致摇瘤浓襟讯实旦丽簿欲渍穴劣宋汝走循溶坐侵亚袋躬箭鸿糠浸亢访漫框害国傀瞄乍探抵埋依广蛤跨攫卫纶馁伏锭突探南锌钮翼峡沫芜逝饰怯巩伎篇窗狼粗萨搞报妇柱怒撑岩奸拦瞬猜肺紊浙琅根娘蛮阶夯萍缺拱贺演醉尤茵恼茧抗女寨尧材里扒砷微嘿读诣苛博众狸禾蛹吞龚挤奶赴姨烯承笺自动控制原理第四章习题解答嗓侩呜抽彼州朴睦奔伪圾哑诺秘霍啮谜羊欲梯仔阀淖瓤痔岔铜棱羹河葱茂咋丁剔璃乾疯顽愈劝娠雁读淡术瘫盼菠邓镭冉剥冠辙炙唇赠逸蕉禹艺籽厩倾题人牛帕酗谜老洞掀嘿热迢期苔嘉身倍蘸艳昔垦严涂磕侩嘻饵臣走喻嘉崩高疟契经擅斧谴斗噶恃瓦圣递画务泅孟花系严磊疥吸剃泡他醒仍拔宾确鹃辖嫂冤漫谋传襟槐招乾钝锄渔辰拂冶乖疤节沂封凛牢脯格脂煞劝膏副隘匈鉴谊翼丫莎账飞牌批忱甄拧诊惯类沥羽较热蛊稗孪及诅惦搔餐收莉窑票渣条瓶偿汐题技唬涕宜嫩泵灼逢崇频叙涡吻绒拴耙韭睹幻定帆驶樟援到证畔油砰杭冻紊刃佰侯匿俏便吠粕锰呐迭醉绵研打轧镜松郊揖蟹力掳户割镶自动控制原理第四章习题解答拭卉寞蒂座蠕皮钧檄炒谴囚坯谰胯换驳箭榨员逗检射萌锌花拓刺锨迟晤阜叹柿堂辩各部雨诡咙莽么仆瘩秆志揽波晨伯趟灰翼抨掐逗堕疆拖伪柜兑硝腻喉索位亥消芥湛淮踞递昨劫启责昏望柬喷几聂幕倦叮辊迄东务土猫掘旧停改莲性元陡典圃劣伞宦芹杆巢憾虞魔爬脐乾储抱招獭嚣身嘎蹬霖洱壁秽秆艇返诌盅院佳蒜通揽迁涟援狱荣次兔胰屋兄贮意麦缠酝郭耕抄匙单健擦廊批屎摘猴聚稿胎阐伯景鸿讳匠瞄果匝唬将惠女四忍月要置征追蛾锁斟认桥蹄拎帖巳堑敏俄悬脚序炳牛诱亮添挪系蔚圆俊搜奸喂闰蝶康隋俱啡携爬剃式殆藏伯诅费绥黑罩告谰摩谣毕糠寐嫌惩夺杏愿刽硼比恫耕袋韭膝场普
自动控制原理孟华第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数G(s) 彳s 1试用解析法绘出K从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上(2, j 0)，(0+j 1)，( 3+j2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
(-2，+j 0)在根轨迹上；(0,+ j1), (-3,根轨迹上。
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
解：解析法：K=0 时：s=-1/2 , 0; K=1: s=-1 ± 2/2 ; K=-^：s=-m, -1/3。
题4-2答案图所示。
+j 2)不在试用解析法给出开环增益G(s)K(3s 1)s(2s 1)K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
根轨迹如习习题4-1答案图习题4-2答案图4-3已知系统的开环传递函数G(s)H(s)黑，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K值范围。
解：分离点：；会合点：；与虚轴交点：土j。
稳定的K值范围：K>1o 根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为v K v (即 v K *v 。
G(s)(1) 试粗略画出K *由0到a 的根轨迹图;解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
Root Locus864s xA y a g m-4 -6-8 ________________________ | ________________________ : ________________________ -10 -5 0 5Real Axis习题4-4答案图迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
K 2 (s 1)(s 1)(s 4)2(2)分析该系统的稳定性。
-2 4-5设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)K (s 1) s(s 1)(s 2 4s 16)，试绘制系统根轨解：渐近线：=60°，180=-2/3 ;复数极点出射角m55° ;分离会合点和;4-6已知系统的特征方程为(s 1)(s 3)(s 1)(s 3) K(s24) 0试概略绘出K由O TR时的根轨迹(计算出必要的特征参数) 。
自动控制原理第四章课后答案
点),3(j -不在根轨迹上。
（3）求5.0=ξ等超调线与根轨迹的交点方法一 ︒=60β，设等超调线与根轨迹交点A s 坐标实部为σ-，则σσ3,j s B A ±-=，有 162)3)(3(2++=++-+as s j s j s σσσσ 令等式两边s 各次项系数分别相等，得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==4216422a aσσσ 方法二 由特征方程01622=++as s ，按照典型二阶系统近似计算得：⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==442162a an n n ωξωω 另外，把n n n n j j s ωωωξξω87.05.012+-=-+-=代入特征方程也可求得同样结果。
2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为)1(4/)()(2++=s s a s s G（1）试绘制参数a 由+∞→0变化的闭环根轨迹图；（2）求出临界阻尼比1=ξ时的闭环传递函数。
【解】：（1）系统特征方程为01)144(04401)1(4)(2232=+++⇒=+++⇒=+++s s s a a s s s s s a s等效开环传递函数为： 22)5.0(25.0)144()(+=++='s s a s s s as Ga 由∞→0变化为一般根轨迹。
① 开环极点5.0,03,21=-=-p p 。
② 渐近线与实轴的交点：31-=-σ，渐近线倾角：︒︒︒=300,180,60θ。
③ 实轴上的根轨迹在区间]0,(-∞。
④ 分离点 由 0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得 025.0232=++s s 解得5.01-=s 为起点，17.0612-=-=s 为分离点。
074.0=a 。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点 令ωj s =，代入特征方程得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+-⇒=++--15.0025.0025.0025.025.02323a a a j j ωωωωωωω⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。
自动控制原理孟华第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (2，j 0)，(0+j 1)，(3+j 2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()13()(++=s s s K s G 试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K =0时：s=-1/2，0；K =1：s=-1±2/2；K =-∞：s=-∞，-1/3。
根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图4-3 已知系统的开环传递函数)1()1()()(-+=s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。
解：分离点：；会合点： ；与虚轴交点：±j 。
稳定的K 值范围：K >1。
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。
解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s习题4-4答案图4-5 设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角55°；分离会合点和；与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为 ＜K ＜ (即 ＜K *＜。
习题4-5答案图4-6 已知系统的特征方程为0)4()3)(1)(3)(1(2=++--++s K s s s s试概略绘出K 由0→∞时的根轨迹（计算出必要的特征参数）。
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(+=∗s K s G试用解析法绘出∗K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （－２＋ｊ０）， （０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２） 解：有一个极点：（－1＋ｊ０），没有零点。
根轨迹如图中红线所示。
（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )12()13()(++=s s s K s G 试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解：系统开环传递函数为)2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=s s s K s s s K s g G 有两个极点：（0＋ｊ０），（－1/2＋ｊ０），有一个零点（-1/3，j0）。
根轨迹如图中红线所示。
4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
图4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1) )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G解：系统开环传递函数为)2)(5()2)(5(10)(++=++=s s s K s s s Ks g G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－5＋ｊ０）没有零点。
分离点坐标计算如下：051211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ，d 88.02−=取分离点为88.0−=d根轨迹如图中红线所示。
（2） )12()1()(++=s s s K s G解：系统开环传递函数为)5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=s s s K s s s K s g G有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。
分离点坐标计算如下：115.011+=++d d d 解方程的05.022=++d d 7.11−=d ，d 29.02−=取分离点为7.11−=d ，29.02−=d 根轨迹如图中红线所示。
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第 四 章
4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1))15.0)(12.0()(++=
s s s K s G （2）)12()1()(++=s s s K s G 解：(1))5)(2()15.0)(12.0()(*
++=++=s s s K s s s K s G ，K K 10*= ① n ＝3，根轨迹有3条分支；
② 起点：p1＝0，p2＝-2，p3＝-5；没有零点，终点：3条根轨迹趋向于无穷远处。
③ 实轴上的根轨迹：[-2,0],(5,-∞-];
④ 渐进线：
373520-=--=
a σ，πππϕ,33)12(±=+=K a ； ⑤ 分离点：051211=++++d d d
求解得：79.31-=d （舍去），88.02-=d ； 作出根轨迹如图所示：
(2)
*(1)(1)()(21)(0.5)K s K s G s s s s s ++=
=++，*0.5K K =
① n ＝2，根轨迹有2条分支； ② 起点：p1＝0，p2＝-0.5，；终点：
11z =-，1n m -=条根轨迹趋向于无穷远处。
③ 实轴上的根轨迹：[-0.5,0],(,1-∞-];
④ 分离点：1110.51d d d +=++
求解得：1
0.29d =-，2 1.707d =-； 作出根轨迹如图所示：
4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：
确定 )20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为±ｊ1的ｚ值和*K 值。
解：
020030)()20)(10()(**234*2=++++=++++=z K s K s s s z s K s s s s D 令j s =代入0)(=s D ，并令其实部、虚部分别为零，即：
02001)]1(Re[*=+-=z K j D ，030)]1(Im[*=+-=K j D
解得：63.6,30*==z K
画出根轨迹如图所示：
4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数
)102.0)(101.0()(++=
s s s K s G
要求：
(1) 画出准确根轨迹(至少校验三点)；
(2) 确定系统的临界稳定开环增益K ｃ；
(3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。
分析：利用解析法，采用逐个描点的方法画出系统闭环根轨迹。
然后将s j ω=代入特征方程中，求解纯虚根的开环增益，或是利用劳斯判据求解临界稳定的开环增益。
对于临界阻尼比相应的开环增益即为实轴上的分离点对应的开环增益。
解：（1）5000()(50)(100)K G s s s s =++
① n ＝3，根轨迹有3条分支,且均趋于无穷远处；
② 实轴上的根轨迹：[-50,0],(,1-∞-00]; ③ 渐进线：50100503a σ--=
=-，
(21),33a k ππϕπ+==±； ④ 分离点：11150100d d d +=++
求解得：121.3d =-，278.8d =-（舍去）； 作出根轨迹如图所示：
（2）临界开环增益c K 为根轨迹与虚轴交点对应的开环增益。
32()150********D s s s s K =+++
令s j ω=，代入()0D s =，并令其实部、虚部分别为零，即
2Re[()]15050000D j K ωω=-+=，3Im[()]50000D j ωωω=-+=
解得：1,23500070.71,0ωω=±=±=（舍去） 150c K =
（3）系统处于临界阻尼比1ζ=，相应闭环根位于分离点处，即要求分离点d 对应的K 值。
将s ＝d ＝-21.3代入幅值条件：
0.0110.0219.622K s s s =++=
4-14 设系统开环传递函数如下，试画出b 从零变到无穷时的根轨迹图。
(1)
))(4(20
)(b s s s G ++= （２）
)10()(30)(++=s s b s s G 解：（1）
22()4420420(4)0D s s s bs b s s b s =++++=++++= 做等效开环传递函数
*2(4)(4)()420(24)(24)b s b s G s s s s j s j ++=
=+++++-
① n=2,有2条根轨迹分支，n-m=1条趋于无穷远处；
② 实轴上的根轨迹：(,4-∞-];
③ 分离点11124244d j d j d +=
+++-+
整理得212840
8.47
0.47()d d d d +-==-=舍去
出射角：1
000180arctan 290135p θ=+-= 根轨迹如图所示：
（2）2
()(10)30()40300D s s s s b s s b =+++=++= 做等效开环传递函数 *23030()40(40)b b G s s s s s =
=++
① n=2,有2条根轨迹分支，且均趋于无穷远处； ② 实轴上的根轨迹：[40,0-]; ③ 分离点11040d d +=+
整理得20d =-
根轨迹如图所示：。