gclx5

zC
∑ ∆P ⋅ z =
i
i
P
2. 均质物体的重心坐标公式 即物体容重γ 系常量，则 P = γ ⋅V , ∆Pi = γ ⋅ ∆Vi 于是有
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第五章 重心和形心
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xC
yC
∑ ∆V ⋅ x =
i
i
z C1 C Ci P ∆Pi z1 z x1 zi x xi y
V
∑ ∆V ⋅ y =
B θ y x A
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思考题5-2： 思考题 ：
边长为a的均质等厚正方项板 ABCD，被截去等腰三角形 AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余部分AEBDC的重心 仍在该部分范围内。
y C a D
a E A B ymax x
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M y ( P) = ∑ M y (∆Pi )
O x z C1 C Ci P ∆Pi z1 z x1 zi x xi y
∆P1 y1 y yi
即 于是有
P ⋅ xC = ∑ ∆Pi ⋅ xi
xC
∑ ∆P ⋅ x =
i
i
P
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同理有
yC
∑ ∆P ⋅ y =
i
i
P
为确定 zC ，将坐标系连同物体绕y轴转90º ，得
y 20
将截面看成是从200mm×150mm 的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部 分）而得到，从而 A1 = 200×150= 30000 mm2
200
1 O 150
20 xபைடு நூலகம்
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y
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x1= 75 mm,
y1= 100 mm
200
20
A2= -180×130 = -23400 mm2 x1= 85 mm, 故 xC = 30000×75 - 23400×85 30000 - 23400 30000×100 - 23400×110 30000 - 23400 y1= 110 mm
V =A·δ， ∆Vi = ∆Ai·δ
则
xC
∑∆ A ⋅x =
i
i
A
yC
∑∆ A ⋅ y =
i
i
A
上式也即为求平面图形形心的公式。
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§5-2 确定重心和形心位置的具体方法 具体方法：
（1）积分法； （2）组合法； （3）悬挂法； （4）称重法。
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则
S y = ∫ y dA
A
= ∫ 2 y R 2 − y 2 dy
0 3 2 2 2 3 2 2 R = − (R − y ) | 0 = R 3 3
A
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代入公式有
yC
∫ =
A
y dA A
Sx 4 R = = A 3π
y b(y) dy y 2R C O x
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§5-1 重心和形心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
z C P z x1 x zi y xi
C1 ∆P1 z1 o y1 y yi
Ci ∆Pi
x
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右图认为是一个空间力系，则 P=∑∆Pi 合力的作用线通过物体的重心， 由合力矩定理
1 O 150
20 x
= 39.5 mm
yC =
= 64.5 mm
两种方法的结果相同。
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3. 悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂， 画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重 心C的位置，如图。想一想，为啥？
A B
B A C
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2. 组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每每个组 成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到 的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。 下面通过例子来说明。 例5-1 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。
y 20 y 20 200 1 20 O 150 (a) x O 2 150 (b) 20 x
9
1. 积分法 对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变 而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对 于均质物体，则有
xC
∫ =
V
x dV V , yC
∫ =
V
y dV V , zC
∫ =
V
z dV V
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若为平面图形，则
xC
A A 例5-1 用积分法求平面图形的形心位置。 y
∫ =
A
x dA , yC
∫ =
A
y dA
b(y) dy y 2R C O x
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y dy y
2 2
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解：建立如图所示坐标系，则 xC = 0 现求 yC 。
b( y ) = 2 R − y
b(y)
C O 2R
x
dA = b( y ) d( y ) = 2 R 2 − y 2 dy
i
i
V
O x
∆P1 y1 y yi
zC
∑ ∆V ⋅ z =
i
i
V
上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其 重心与形心的位置是重合的。
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3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心 对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为 xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。设板厚为δ ，则 有
200
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解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两个矩形，则 其面积和形心为：
A1 =（200-20）×20=3600 mm
x1 = 10 mm y1 = 110 mm
y 20 200 1 O 2 150 (b) 20 x
A2 = 150×20=3000 mm
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4. 称重法 对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方 法。 思考题5-1 思考题 图示机床重2500 N，现拟 用“称重法”确定其重心坐标。 为此，在B处放一垫子，在A处 放一秤。当机床水平放置时，A 处秤上读数为1750N，当θ=20 时秤上的读数为1500 N。试算出 机床重心的坐标。
y C a D
20
解：分两部分考虑 a xC = 2 极限位置 yC= ymax
Ⅰ： A1 = a × ymax / 2
y1 = ymax / 3
a E A B ymax x
Ⅱ： A2 = a 2 , y2 = a / 2
yC = A1 y1 + A2 y2 A1 + A2 , 即 ymax
a ymax 2 a − ymax ⋅ +a ⋅ 3 2 = 2 a − ymax + a 2 2
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§5-1 重心和形心的坐标公式 §5-2 确定重心和形心位置的具体方法
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力系的合成在工程实际中有许多的应用。例如，电机、 汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和 使用时，都常需要计算或测定其重心的位置，而求物体重心 的问题，实质上就是求平行力系的合力问题。 任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元 体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的 吸引力）∆Pi ，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标 相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地 球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平 行力系，而此力系的中心称为物体的重心。
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y C a D
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展开得
2 2 ymax − 6a ⋅ ymax + 3a 2 = 0
解方程得
ymax 6−2 3 = = 0.634 a 4
a Ⅱ
作业：5-1(b); 5-2; 5-4
A
E
Ⅰ B
y
max x
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x2 = 75 mm y2 = 10 mm
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y 20
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由组合法，得到 xC = A1 x1 + A2 x2 A1 + A2 = 39.5 mm = 64.5 mm
200 1 C (xC ,yC) O 2 150 (b) 20 x
A1 y1 + A2 y2 yC = A1 + A2 另一种解法： 负面积法