三角形的相关定义
三角形的定义和表示方法
三角形的定义和表示方法三角形是几何学中的基本概念之一，它由三条线段组成，这些线段相互连接形成三个顶点，并围成一个封闭的图形。
三角形的定义和表示方法是研究三角形性质和应用的基础。
一、三角形的定义三角形是由三个线段组成的图形，这三个线段分别被称为三角形的边。
边与边之间的交点称为顶点。
三角形是一个封闭的图形，它的边不能相交且不能重叠。
二、三角形的表示方法三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。
1. 顶点表示法顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。
例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。
2. 边长表示法边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。
例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。
3. 角度表示法角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。
例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，可以用α、β和γ表示。
三、特殊类型的三角形除了基本的三角形，还有一些特殊类型的三角形，它们具有一些特殊的性质和表示方法。
1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
表示方法为ABC，其中AB=BC=AC。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
表示方法为ABC，其中AB=AC。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
表示方法为ABC，其中∠C为直角。
4. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个内角大于90度的三角形。
表示方法为ABC，其中一个内角大于90度。
5. 锐角三角形锐角三角形是指其中三个内角都小于90度的三角形。
表示方法为ABC，其中所有内角都小于90度。
四、总结三角形的定义和表示方法对于几何学的研究和应用至关重要。
三角形可以通过顶点表示法、边长表示法和角度表示法来表示，不同的表示方法可以帮助我们研究三角形的性质、推导定理和解决实际问题。
三角形基础概念
三角形基础概念1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的分类锐角三角形等腰三角行按角分类直角三角形按边分类钝角三角形3、三角形边的性质（1）三角形三边关系定理及推论定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
（2）三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边（3）三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心（4）三角形具有稳定性（5）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
4、全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）（1）三角形全等的判定公理及推论①三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
④有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边)⑤在直角三角形中，如果斜边及一直角边对应相等，则两个直角三角形全等（HL 或“斜边，直角边”）（2）全等三角形的性质①全等三角形的对应角相等、对应边相等。
②全等三角形的对应边上的高对应相等。
③全等三角形的对应角平分线相等。
④全等三角形的对应中线相等。
⑤全等三角形面积相等。
⑥全等三角形周长相等。
5、等腰三角形（1）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是一个轴对称图形（2）性质：①等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重和（即“三线合一”）（3）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个交所对的边也相等（简写为“等角对等边”）6、等边三角形（1）等边三角形的定义：。
三角形的定义
三角形的定义三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，这三条线段互相交汇，并且首尾相连形成一个封闭图形。
每个角都是由两条边所夹的空间，称为内角，而每个角的两边都是与这个角相交的两条直线段。
为了更好地理解三角形，首先我们需要了解一些相关的术语和定义。
三角形的三个顶点是指三条边的交汇点，每个顶点由一个字母来标记，常用的是大写字母A、B、C。
根据三角形的三个顶点的位置，我们可以将其分为三种特殊类型：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
直角三角形是其中最常见的一种三角形，它的一个角度为90度。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的，因此直角三角形有时也被称为毕达哥拉斯定理。
锐角三角形是指所有的内角都小于90度的三角形。
它的三条边都相互连续，不会相交或重叠。
锐角三角形有很多重要的性质和定理，例如正弦定理、余弦定理和正切定理等，这些定理在解决三角形相关问题时非常有用。
钝角三角形是指其中一个角大于90度的三角形。
与直角三角形和锐角三角形相比，钝角三角形的性质和定理相对较少。
然而，钝角三角形仍然在一些几何学和三角学的问题中起着重要的作用。
除了按角度分类，三角形还可以按边长分类。
等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
等腰三角形的特点是两个角度也相等。
等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形，它的三个角度均为60度。
这两种特殊的三角形都具有独特的性质和应用。
在日常生活和实际应用中，三角形有着广泛的用途。
在建筑设计和土木工程中，三角形的稳定性和角度测量是不可或缺的。
在航海和航空导航中，三角形的用途也非常重要。
通过观测天空中的恒星或使用卫星导航系统，人们可以使用三角形的性质来确定自己的位置和方向。
此外，三角形还与其他几何形状密切相关。
例如，正方形和长方形可以被视为特殊的矩形形状，而正五边形和正六边形可以被视为特殊的三角形形状。
这种联系使得研究三角形对于更深入理解其他形状的性质和特征非常重要。
三角形所有知识点
三角形所有知识点三角形是几何学中的基本概念之一，它有着广泛的应用和研究价值。
在本文中，我将详细介绍三角形的各种知识点，包括定义、分类、性质和相关定理等内容。
1. 定义三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。
其特点是三个内角之和等于180度，即α+β+γ=180°。
2. 分类根据边长和角度大小的关系，三角形可以分为以下几类：- 等边三角形：三条边长度相等的三角形。
- 等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
- 直角三角形：其中一个角为直角（90度）的三角形。
- 钝角三角形：其中一个角大于90度的三角形。
- 锐角三角形：其中三个角都小于90度的三角形。
3. 性质三角形具有多种性质，包括：- 内角和性质：三角形的三个内角之和等于180度。
- 外角和性质：一个三角形的外角等于其不相邻内角的和。
- 角平分线性质：三角形的内角平分线相交于三角形内心。
- 中线性质：三角形的三条中线交于一个点，且该点到三个顶点的距离相等。
- 高线性质：三角形的三条高线交于一个点，且该点到三边的距离相等。
4. 定理三角形有许多重要的定理，常用的有：- 余弦定理：在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应角为A、B、C，则有c²=a²+b²-2abcosC。
- 正弦定理：在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应角为A、B、C，则有sinA/a=sinB/b=sinC/c。
- 海伦公式：对于已知边长的三角形，可以使用海伦公式计算其面积。
海伦公式为：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长。
- 直角三角形定理：在直角三角形中，勾股定理成立，即a²+b²=c²。
5. 应用三角形的知识在现实生活中有广泛的应用。
例如：- 地理测量中，利用三角形的原理来计算不同地点之间的距离和角度。
- 建筑设计中，使用三角形的知识来确定建筑物的稳定性和角度。
三角形的基本概念和定义
三角形的基本概念和定义三角形是几何学中最基本的形状之一，其作为平面图形，由三条线段所构成。
本文将探讨三角形的基本概念和定义，其中包括三角形的构成要素、分类以及相关定理。
一、三角形的构成要素三角形由3条线段所构成，我们称之为边。
这3条边可以连接成一个封闭的图形，其中任意两条边的交点称为顶点。
顶点之间的线段称为角。
在三角形中，我们可以将边分为不同的角度，从而定义其性质。
其中，最长的一条边叫做底边，其他两条边叫做腿（legs）。
两条腿的末端构成顶点。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的不同，我们可以将三角形进行分类。
以下是常见的分类：1. 根据边长分类：- 等边三角形：三条边的长度都相等，每个角都是60度。
- 等腰三角形：两条边的长度相等，两个对应的角也相等。
- 普通三角形：三条边的长度都不相等，三个角也都不相等。
2. 根据角度分类：- 直角三角形：其中一个角是90度。
根据两腿的长度关系，我们还可以分为等腿直角三角形和斜腿直角三角形。
- 钝角三角形：其中一个角大于90度。
- 锐角三角形：所有角都小于90度。
三、三角形的相关定理在三角形中，存在一些定理和性质，这些定理可以帮助我们研究和解决与三角形相关的问题。
以下是一些常见的三角形定理：1. 三角形内角和定理：三角形的所有内角的和等于180度。
2. 三边定理（三角形的海伦公式）：设三角形的三边长分别为a、b、c，其半周长为s，则三角形的面积可以用海伦公式计算：面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3. 直角三角形的勾股定理：直角三角形中，两个腿的平方和等于斜边的平方：a² + b² = c²。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，顶角相等。
5. 等边三角形的性质：所有角都是60度，每个角的外角也是60度。
6. 同位角定理：当两条平行线被一条截线切割，所形成的内角和外角相等。
7. 外角定理：三角形的外角等于不相邻的内角之和。
三角形性质和判定定理
三角形性质和判定定理三角形是平面几何中最基本的图形之一，具有丰富的性质和判定定理。
本文将对三角形的性质和判定定理进行论述，探究其数学本质和应用。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每条线段都是连接两个非共线点的直线段。
三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等各种类型。
2. 三角形的性质2.1 三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，可以得出以下等式：A + B + C = 180度。
2.2 三角形的外角性质三角形的外角等于其余两个内角的和。
如果外角为θ，则有：θ = A + B 或θ = B + C 或θ = A + C。
2.3 三角形的边长关系三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设三角形的三个边分别为a、b、c，则有以下不等式成立：a + b > c，a + c > b，b+ c > a；a - b < c，a - c < b，b - c < a。
三角形的内角与其对边之间存在一定的关系。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，对边分别为a、b、c，则有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 三角形的判定定理3.1 三边长度判定定理如果三角形的三边长度分别为a、b、c，满足a + b > c，a + c > b，b +c > a，则可以构成一个三角形。
3.2 两边夹角与第三边关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角为θ，则可以根据余弦定理判断第三边的长度。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 -2abcosθ。
3.3 两边夹角与第三边夹角关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角分别为A、B，则可以根据正弦定理判断第三边夹角的大小。
正弦定理表达式为：sinC/a = sinA/b = sinB/c。
三角形所有知识点总结
三角形所有知识点总结一、三角形的定义和性质1.1 三角形的定义三角形是由三条线段相互连接而成的闭合图形。
1.2 三角形的分类根据边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类： - 等边三角形：三条边的长度相等。
- 等腰三角形：两条边的长度相等。
- 直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
- 钝角三角形：其中一个角大于90度。
- 锐角三角形：三个角都小于90度。
1.3 三角形的性质三角形有许多重要性质需要了解： - 三角形的内角和为180度。
- 三角形任意两边之和大于第三边。
- 等边三角形的三个角都是60度。
- 等腰直角三角形的两个锐角都是45度。
二、三角形的重要定理2.1 三角形的重心定理重心定理指出，三角形的三条中线交于一点，该点被称为重心。
重心到三角形三个顶点的距离满足以下关系：重心到某个顶点的距离等于其他两个顶点到该顶点距离的和的一半。
2.2 三角形的垂心定理垂心定理指出，三角形的三条高交于一点，该点被称为垂心。
垂心到三角形三个顶点的距离满足以下关系：垂心到某个顶点的距离等于其他两个顶点到该顶点距离的和的一半。
2.3 三角形的外心定理外心定理指出，三角形的三条垂直平分线交于一点，该点被称为外心。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
2.4 三角形的角平分线定理角平分线定理指出，三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为角平分点。
角平分点到三角形的三个顶点的距离满足以下关系：角平分点到某个顶点的距离与该边对应边的长度之比等于另外两个顶点到对边的距离与对边长度的比值。
三、三角形的边长计算公式3.1 三角形的周长三角形的周长即三边之和，用公式表示为：周长 = 边1长 + 边2长 + 边3长。
3.2 三角形的面积根据海伦公式，可以计算三角形的面积。
海伦公式如下：设三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可通过以下公式计算：S = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中s=(a+b+c)/2。
三角形基本概念
三角形基本概念
1.三角形定义：三条线段所组成的图形称为三角形。
2.三角形边：三角形的三条线段称为三角形的边。
3.三角形顶点：三角形的每个角落的点称为三角形的顶点。
4.三角形角度：三角形的三个角称为三角形的角度。
5.三角形内角和定理：任意一个三角形的三个内角的和为180°。
6.等边三角形：三边相等的三角形称为等边三角形。
7.等腰三角形：两边相等的三角形称为等腰三角形。
8.直角三角形：一个角为90°的三角形称为直角三角形。
9.锐角三角形：三个角都小于90°的三角形称为锐角三角形。
10.钝角三角形：一个角大于90°的三角形称为钝角三角形。
第16讲 三角形的概念
第十六讲 三角形的概念一：知识点精析：1、三角形定义：三条线段首位顺次相接而成的封闭图形叫做三角形；三条边，三个内角2、三角形的分类：（1）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；（2）按边分类3、主要性质：（1）边：①三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②在同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角，（2）角：①三角形的内角和等于180°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④在同一个三角形中，等角对等边，大角对大边，小角对小边。
4、三角形的重要线段：（1）中线：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心；重心分每条中线为2:1两部分；（2）角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心：内心到三角形三边的距离想等；（3）高：三角形的三条高交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
5、线段的垂直平分线：又叫做线段的中垂线。
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之亦成立；三角形三边的中垂线交于一点，这个点叫做三角形的外心；外心到三角形三个顶点的距离相等。
6、特殊的三角形：直角三角形，等腰三角形，等边三角形。
二、典型例题:1、c b a ，，为三角形的三边长，化简c b a c b a c b a c b a -+-+-----++，结果是_________2、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成cm cm 2112、两部分，则这个等腰三角形底边的长为__________3、（1）ABC ∆中，三个内角的度数均为整数，且C B A ∠<∠<∠,A C ∠=∠74，求B ∠的度数________;（2）三角形的三个内角分别为γβα、、，γβα≥≥，γα2=，则β的取值范围________4、如图所示，已知123∠+∠=∠，求证：︒=∠+∠+∠+∠180D C B A5、一个三角形的周长是偶数，其中的两边长分别是4和1997，则满足上述条件的三角形个数是_________6、周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？7、如图，P 是ABC ∆内一点，求证：PC PB AC AB +>+8、如图，ABC ∆中，AC AB >,AD 是高，AE 是角平分线。
三角形的概念。
三角形的概念
三角形是由三条线段（称为边）所围成的封闭图形，其中任意两条边的长度之和大于第三条边的长度。
三角形是几何学中最基本的图形之一，也是数学、工程、物理等领域中经常使用的基本图形。
三角形的三个顶点通常用字母A、B、C 来表示，而三条边的长度分别用a、b、c 来表示。
三角形的内角和为180 度，而三角形的外角则是指三角形每个顶点处的外侧角，其度数为对应内角的补角。
根据三角形内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种类型。
其中，锐角三角形的三个内角均小于90 度，直角三角形有一个内角为90 度，而钝角三角形则有一个内角大于90 度。
三角形在数学中有着广泛的应用，例如在三角函数中，正弦函数和余弦函数就是以三角形的角度和边长为基础定义的。
此外，在计算机图形学、建筑设计、工程测量等领域中，三角形也是一个基础的概念。
(完整版)三角形的性质及判定归纳
(完整版)三角形的性质及判定归纳1. 三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，相邻的两条边之间的交点称为三角形的顶点。
根据三角形的边的长度，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 三角形的性质2.1. 三角形的内角和对于任意一个三角形，三个内角的和始终为180度。
根据角度的大小，可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
2.2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
等边三角形的三个内角的度数都为60度。
由于边长相等，所以等边三角形的三条高度、三条中线和三条角平分线也相等。
2.3. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角（非顶角）的度数相等。
等腰三角形的两条高度、两条中线和两条角平分线相等。
2.4. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
直角三角形的边的长度满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为两条边的长度，c为斜边的长度。
2.5. 锐角三角形和钝角三角形除了等边三角形、等腰三角形和直角三角形之外，剩下的三角形都属于锐角三角形和钝角三角形。
锐角三角形指的是三个内角的度数都小于90度的三角形，钝角三角形指的是至少有一个内角大于90度的三角形。
3. 三角形的判定3.1. 等边三角形的判定当三个边的长度都相等时，该三角形为等边三角形。
3.2. 等腰三角形的判定当两个边的长度相等或两个底角（非顶角）的度数相等时，该三角形为等腰三角形。
3.3. 直角三角形的判定当三条边的长度满足勾股定理时，该三角形为直角三角形。
3.4. 锐角三角形和钝角三角形的判定当三个内角的度数都小于90度时，该三角形为锐角三角形；当至少有一个内角的度数大于90度时，该三角形为钝角三角形。
结论通过对三角形的性质及判定的归纳，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题，而且可以辅助我们进行三角形的分类和运用。
三角形知识点归纳
三角形知识点归纳三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在数学中，三角形是一个重要的研究对象，涉及到许多重要的性质和定理。
本文将对三角形的定义、分类、性质和相关定理进行详细的归纳。
一、三角形的定义与分类三角形是由三条线段所组成的图形，这三条线段称为三角形的边。
三角形的分类主要根据其边长和角度来确定。
根据边长，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
根据角度，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
1. 等边三角形：三条边长度相等的三角形。
2. 等腰三角形：至少有两条边长度相等的三角形。
3. 直角三角形：其中一个角是直角（90度）的三角形。
4. 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
5. 钝角三角形：其中一个角是钝角（大于90度）的三角形。
二、三角形的性质三角形有许多独特的性质，其中包括角度、边长和面积等方面的性质。
1. 三角形的内角和：三角形的三个内角的和等于180度。
2. 三角形的外角和：以三角形的一个角为顶点所得的外角的和等于360度。
3. 三角形的边长关系：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
4. 三角形的角度关系：在任意三角形中，两个角边的夹角大于第三个角的度数。
5. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的两条角相等，等腰三角形的高线还是底边的垂直平分线。
6. 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
7. 等边三角形的性质：等边三角形的三个角都是60度，等边三角形的高线也是垂直平分线。
三、三角形的重要定理除了以上的基础性质外，三角形还有一些重要的定理与规律。
1. 余弦定理：在一个三角形中，已知两边和它们之间夹角的情况下，可以通过余弦定理计算出第三条边的长度。
2. 正弦定理：在一个三角形中，已知一个角和它对应的两边的长度或者已知一个边和它对应的两个角的度数的情况下，可以通过正弦定理计算出其他边或角的相关信息。
三角形有关概念及性质
21D CB AD CBA三角形有关概念及性质⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类：(1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 三角形直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C _B _AD CB A（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．⒋ 三角形的主要线段的表示法： 三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是∆ABC 的角平分线； ② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD=∠DAC=21∠BAC.(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC=21BC. (3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是∆ABC 的高；② AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ； ④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒.⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图3图4ABCD E 图1图2如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.图5图6图7⒍三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．⒎三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。
三角形的全部概念
三角形的全部概念
三角形是几何学中的基本概念之一，它由三条线段组成，这些线段相互连接而形成三个角。
本文将介绍三角形的全部概念，以帮助读者更好地理解和掌握这个几何形状。
首先，三角形的定义非常简单明了：它是由三条线段组成的闭合图形。
这三条线段称为三角形的边，而它们的连接点称为顶点。
三角形的边可以是不等长的，也可以是等长的，这将决定三角形的类型。
根据边长的不同，我们可以将三角形分为三种类型：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形是边长都相等的三角形，它的三个角也都相等；等腰三角形则是只有两条边相等的三角形，而普通三角形则是三条边都不相等的三角形。
除了根据边长分，我们还可以根据角度来分类三角形。
根据角度的不同，三角形可以分为三种类型：锐角三角形、直角三角形和钝角
三角形。
锐角三角形的三个角都小于90度；直角三角形有一个角等于90度；而钝角三角形则有一个角大于90度。
此外，三角形还可以根据角度和边长的关系进行分类。
根据角度和边长的组合，我们可以得到如下分类：等腰直角三角形、等腰钝角三角形、等腰锐角三角形等。
这些分类让我们可以更好地理解和描述三角形的特征。
除了以上基本概念外，三角形还有一些重要的性质和定理，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。
这些定理和性质在解决三角形相关问题时非常有用，可以帮助我们求解三角形的边长、角度等。
总之，三角形是几何学中的基本概念之一，它由三条线段组成，并且具有多种分类方式。
了解和掌握三角形的概念和性质对于学习几何学和解决相关问题非常重要。
希望本文能够帮助读者更好地理解三角形的全部概念。
三角形的知识点整理
三角形的知识点整理一、三角形的定义与性质1. 定义：三角形是由三条线段所围成的封闭图形。
2. 性质：（1）三角形的内角和为180度；（2）任意两边之和大于第三边；（3）任意两角之和大于第三角；（4）三角形的边数、角数和面积都是有限的。
二、三角形的分类1. 根据边长：（1）等边三角形：三条边的长度相等；（2）等腰三角形：两边的长度相等；（3）普通三角形：三边的长度都不相等。
2. 根据角度：（1）锐角三角形：三个内角都小于90度；（2）直角三角形：一个内角为90度；（3）钝角三角形：一个内角大于90度。
三、三角形的重要定理1. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。
2. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为对应的内角。
3. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c分别为三边的长度，C为对应的内角。
4. 高度定理：在任意三角形ABC中，三条高的平方之和等于三边的平方和。
四、三角形的相关应用1. 三角形的相似性：根据三角形的相似性质，可以解决许多实际问题，如影子的长度与物体的高度、建筑物的高度与影子长度之间的关系等。
2. 三角形的面积计算：可以利用海伦公式或三角形的底边和高来计算三角形的面积，这在测绘、建筑、物理等领域有着广泛的应用。
3. 三角形的角平分线：角平分线将一个角分成两个相等的角，可以应用于求解角度相等的问题，如导弹的角度控制、射击的角度调整等。
4. 三角形的余弦定理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、平衡力的计算、桥梁的设计等。
总结：三角形作为平面几何中的基本图形，具有独特的性质和特点。
通过对三角形的分类、重要定理和相关应用的整理和阐述，可以更好地理解和应用三角形的知识，为解决实际问题提供帮助。
三角形定义
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的边:组成三角形的线段顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．三角形的主要线段：角平分线、中线、高．三角形具有的特性:稳定性．三角形的高:从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段．三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．线段:三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三角形的面积：（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1/2×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．三角形三边关系1.三角形两边之和大于第三边．2。
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3。
三角形的两边差小于第三边．4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．三角形全等的符号:“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．对应顶点、对应边、对应角:把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．全等三角形的性质和注意：1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等关于全等三角形的性质应注意以下两点：①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．全等三角形的5种判定方法:（1）判定定理1：SSS-三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS-两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA-两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS-\\两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL-斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．全等三形的判定是结合全等三角形的证明线段相的重要工具．在判定三角形全等，关键是选择恰当的判定条．在应用全等三角形的判定时要注意三的共边和公角，必要时添适当辅助构造三角．。
三角形定义
三角形定义
平面三角形
由三条线段首尾顺次相连，得到的的封闭几何图形叫做三角形。
三角形是几何图案的基本图形。
等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形）
性质
1．三角形的两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边。
2．三角形内角和等于180度。
3．一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。
4. 三角形具有稳定性。
作用
三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。
三角形结构的在工程上有广泛的应用。
许多建筑都是三角形的结构，如：埃菲尔铁塔。
金字塔等等。
.特殊三角形
1.等腰三角形
等腰三角形的性质：
（1）两底角相等；
（2）两条腰相等；
等腰三角形的判定：
（1）等角对等边；
（2）两底角相等；
2.等边三角形
等边三角形的性质：
（1）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 ∠BAC. 2
B D C
做一做:
任意画一个三角形,然后利用量角器画出
这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
A 三角形的三条角平分线 交于一点
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别与联系？ ∵BE是△ABC的角平分线, ∠CBE 1 ∠ABC ∠ABE =_____= _____. ∴____ 2 ∵CF是△ABC的角平分线,
中线的交点都在三角形 的内部吗?
试一试
如果现在你手上有一张三角形的纸，你能 想几种办法画出它的一个内角的平分线.
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个 角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. ∵AD是△ABC的角平分线, A
∠
BAD = ∠ CAD =
将你的结果与同伴进行交流. 直角三角形的三条高交于 直角顶点.
D B C
AB 直角边BC 边上的高是____; CB 直角边AB 边上的高是____;
斜边AC 边上的高是 BD .
A
钝角三角形的三条高 钝角三角形的三条高交于一 点吗？ 它们所在的直线交于一点 吗？将你的结果与同伴进 行交流. 钝角三角形的三条高不相交 O 于一点. 钝角三角形的三条高所在直 线交于一点.
F D C E A
B
F D B E C
三角形的中线的定义：
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线 段叫做这个三角形的中线. ∵AD是△ABC的中线，
A B
1 BD =CD = 2 BC.
D
C
做一做:
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出
这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
三角形的三条中线交于一点
三角形的高线、中线、角平分线
想一想
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
0 1
0 1
0 1
画法
0 42 5 3 4 5 1 2
34Βιβλιοθήκη 5601
2 0 3 1 4 205 31
2 3 4 5
2 3 4 5 7
2 3 4 5 8 9 10
试一试
过三角形的一个顶点，你能画出它的对 边的垂线吗?
A
B
C
三角形的高
A
CF 其中,AB边上的中线是______,
AD BC边上的中线是______, F O E
BE AC边上的中线是______.
∵BE是中线,
1 AE CE AC ∴____=_____= _____. 2
∵CF是中线, BF AF ∴AB=2______=2_______.
B
D
C
思考:任意三角形的三条
(2)你能用折纸的办法得到它们吗?
(3)这三条高之间有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流. 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
O
直角三角形的三条高 在纸上画出一个直角三角形. 画出直角三角形的三条高,
A
它们有怎样的位置关系？
C
E D F
B
小结
这节课你有哪些收获? 又有哪些困惑?
AF
DC
A F B D 图1 E C
B
A F 1 2 3 D 图2 E 4 C
3.如图，在Δ ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空：
（1）BE=
CE
=
1 2
BC =
；
（2）∠BAD= （3）∠AFB=
∠CAD ∠AFC
1 2 BC•AF
1 ∠BAC 2 =90°；
.
；
A
（4）SΔ ABC=
∠BCF ∠ACF ∴∠ACB=2______=2______.
F
O
E
B
D
C
巩固训练
1.下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC 的高( D )
C
A
B
D (A)
D C A (B)
B
C
B A D (C)
B C D
(D)
A
2.填空：
（1）如图1，AD，BE，CF是Δ ABC的三条中线，则
1 AC . AB=2 =2 BF ，BD= ，AE= 2 （2）如图2， AD，BE，CF是Δ ABC的三条角平分线，则 1 ∠2 ， ∠3= ∠ABC ,∠ACB=2 ∠4 =2∠ACF . ∠1= 2
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线，
A
顶点 和垂足 之间的线段
叫做三角形的高线， 简称三角形的高.
B
D
C
如图, 线段AD 是BC 边上的高.
任意画一个锐角△ABC,
请你画出BC 边上的高.
A
B 注意
!
D
C
标明
垂直的记号 和垂足的字母.
锐角三角形的三条高
每人准备一个锐角三角形纸片.
(1)你能画出这个三角形的三条高吗?