2.3.1直线、平面垂直的判定(一)

B
底面四边形 ABCD 对角线相互垂直．
C
A D B
C
CD, EA , EB 例3：已知：
求证： CD AB
E A

D
B

C
1 、如果平面外的一条直线上有 两点到这个平面的距离相等，则 这条直线和平面的位置是（ C ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交
2.如图，圆O所在一平面为 AB是圆O 的直径，C 是圆上 AB,求证： AC, PA 一点,且PA
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1
D
O
C B
A
巩固练习
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1
E
线段B1E
D1 B1 C1
a
α
别是平面 的垂线 和斜线，AO是PO 在平面 的射影, a ,a ⊥PO 求证：a ⊥AO
探究：
在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影 垂直，那么它与这条斜线垂直 已知：PA，PO分 吗？
P
A
O
a
α
别是平面 的垂线 和斜线，AO是PO 在平面 的射影, a ,a ⊥AO 求证：a ⊥PO
通过上边的实验，我们能否 得出如何判断一条直线与平面 垂直呢？ A
l

P
C
D

B
思考: （1）有人说，折痕AD所在直线与桌
面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判 断AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？ （2）如图，由折痕 AD BC ，翻折之后垂 直关系不变，即 AD CD，AD BD 由 此你能得到什么结论？
思想：
空间问题
平面问题
直线与平面垂直
直线与直线垂直
1.能否说如果直线不垂直 于平面，则平面内就没有与之 l 垂直的直线；
A

a
b
2.判断下列推导是否正确？
a // b, a b .
例1 如图，已知 a // b, a a b 求证 b .
证明：在平面 内作 两条相交直线m，n． 因为直线 a ， 根据直线与平面垂直的定义知
2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直。
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?
斜线
P
A
斜足
如图,若一条直线PA和一个平面α 相 交,但不垂直,那么这条直线就叫做这 个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫 做斜足。
归纳小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定 （1）利用定义； 垂直于平面内任意一条直线 （2）利用判定定理． 线面垂直 线线垂直 3．数学思想方法：转化的思想 平面问题 空间问题
复习引入
1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α 的任意一条直线都 垂直，我们就说直线l与平面α 互相垂 直，记作l⊥α .
复习引入：
1.直线和平面的位置关系是什么?
（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）
2.线面平行的判定定理的内容是什么?
王新敞
奎屯 新疆
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一 条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
3.线面平行的性质定理的内容是什么?
一条直线与平面所成的角的取值 0 0 范围是 [0 ,90 ]
探究：
如图，∠BAD为斜线AB与平面α所 成的角，AC为平面α内的任一条不同 于AD的直线，那么∠BAD、 ∠DAC与 ∠BAC满足怎样的关系？
B
最小角定理
o D C
折叠角公式 射影长相等定理
A
α
E
例1如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 （1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。 （2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
例2 如图，AB为平面的一条斜线， B为斜足，AO⊥平面，垂足为O，直 线BC在平面内，已知∠ABC=60°， OBC=45°，求斜线AB和平面α所成 的角.
A
B
D
O
C
α
探究：
在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直， 那么它与这条斜线的射影垂直 已知：PA，PO分 吗？
P
A
O

斜线
如图,过斜线上斜足以外的 斜足 一点向平面引垂线PO,过垂 足O和斜足A的直线AO叫做斜 线在这个平面上的射影.平 垂足 射影 面的一条斜线和它在平面上 垂线 的射影所成的锐角,叫做这 条直线和这个平面所成的角 规定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的 角是直角；一条直线和平面平行,或在 平面内,我们说它所成的角是00的角。 想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?

大桥的桥柱与水面的 位置关系，给人以直 线与平面垂直的形象。
书轴与桌面， 给人以直线与 平面垂直的形 象
在阳光下观察直立于地面的旗 杆及它在地面的影子．你能发现 旗杆所在直线与它的影子所在直 线的关系吗？
A C
B

C
B
直线与平面垂直的定义：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意 一条直线都垂直，我们就说直线l 和平 面α互相垂直.记作：l ⊥α
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D A B
C
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D A B
C
巩固练习
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1
线段C1D
C1 B1
D A B
C
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
解：如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝ PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不 共线 因此A，O，B三点确定平面α ， 因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2， 所以 PO⊥OA，PO⊥OB 又OA∩OB＝O 所以OP⊥α ，因此旗杆与地面垂直。
例3. 已知：正方体中，AC是面对 角线，BD'是与AC 异面的体对角 线.求证：AC⊥BD'
A1
D A B
C
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1
E
C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
（1）PA BC
（2）BC 平面PAC
A O P
B
C
3.点 P 是平行四边形 ABCD 所 在平面外一点， O 是对角线 AC 与 BD 的交点， 且 PA=PC， PB=PD. 求 证 ： PO⊥ 平 面 ABCD
4.已知 PA 平面 ABC，Rt ABC 的斜边 为 AB，AD PB 于 D， AE PC 于 E 求证： （1）BC 平面 PAC （2）PB 平面 AED
三点说明:
①“任何”表示所有（提问：若直线与平面 内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？ 如不是,直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种 特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫 做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.
利用定义，我们得到了判定线面 垂直的最基本方法，同时也得到 了线面垂直的最基本的性质.
A
C
A
D
B
D
C

B
定理：一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
符号语言：
la
图形语言：
l l b b a l a A b a b A 简称：线线垂直则线面垂直
线面垂直的判定定理分析：
作用： 判定直线与平面垂直．
巩固练习
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1
D1
C1
B1
D A B
C
巩固练习
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： A
A
C
D
B
D
C

B
过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 （BD，DC于桌面接触）． （1）折痕AD与桌面垂直吗？
如何翻折才能使折痕 AD 与 桌面所在平面 垂直?
A
C
A
D
B
D
C

B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上 的高时，AD所在直线与桌面所在 平面 垂直．