小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
b
a ⨯1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有:
)1
1(11b
a a
b b a --=⨯
(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1
)1(121)2()1(1n n n n n n n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1
)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n 二、分数“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） a
b b a b b a a b a b a 1
1+=⨯+⨯=⨯+
（2）
a
b
b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1)
)1()1(3
1
)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n
(2) )1()1)(2(4
1)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n
(3) )
1()1(3
1
)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n
n n n n +=+2)1(
(4) )2)(1()1(4
1
)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n
(5) !)!1(!n n n n -+=⨯
裂项求和部分基本公式 1.求和： 1
)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=
n n n n S n 证：1
111)111()5141()4131()3121()211(+=
+-=+-++-+-+-+-=n n
n n n S n Λ 2.求和：1
2)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=
n n
n n S n Λ 证：1
2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=
+-=+--++-+-+-=n n
n n n S n Λ 3.求和：1
3)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=
n n
n n S n Λ 证：)1
31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-
+-+-=n n S n Λ 1
3)1311(31+=
+-=n n
n 4.求和：)2
1
11211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=
n n n n S n Λ 证：)1
1
11(
21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21
+--++-+-+-+-=n n S n Λ
)2
111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n
5.求和：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
)2)(1(1
2121)2)(1(1543143213211n n n n n S n Λ 证：因为
])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ，
])
2)(1(121[21])
2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=
∴n n n n n n S n Λ
特殊数列求和公式
2
)
1(321+=
++n n n Λ 212311321n n n n =++++-++-++++ΛΛ）（）（ 2127531n n =-++++）（Λ
6
)
12)(1(21222++=
+++n n n n Λ
3
)
14(3)12)(12(1253122
2
2
2
-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（Λ
()()4
121212
22
3
3
3
+=++=+++n n n n ΛΛ 平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-
完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。