福建省莆田一中2011期中考试高三数学理科

莆田一中2011-2012上学期期中考试题高三数学(理科)第Ⅰ卷 (选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在题后的括号内．1.“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的（ ） A.充分不必要条件. B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.2．为了得到函数x y 2cos =的图象，可以将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 的图象（ ）A. 向右平移6πB. 向右平移3πC. 向左平移6πD.向左平移3π3．积分2112()e xdx x+⎰的值是（ ） A. 1 B. e C. e +1 D. e 2 4．定义运算()(){,12112x aa b a b b a b ≤*=*=*>例如：，则的取值范围是（ ）A ．(0, 1)B ．(-∞, 1)C ．(0, 1]D ．[1, +∞)5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )A.y=x 1B.y=2-xC.y=lg xx +-11 D.y=-|x|6． 函数()1f x Inx x=-的零点所在的区间是（ ）A ()0,1B ()1,eC (),3eD ()3,+∞7．若2,3A B +=π则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）3131.1.,.1.,12222A B C D 8．点()0,02x M a b y x y ≥⎧⎪≥⎨+≤⎪⎩在由不等式组确定的平面区域内，则点()N a b a b +-，所在平面区域的面积是 （ ）A ． 1B ． 2C ． 4D ．89. 设命题P ：函数f(x)=ax x+(a>0)在区间(1, 2)上单调递增；命题Q ：不等式|x －1|－|x+2|<4a 对任意x ∈R 都成立。

若“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．43<a ≤1 B.43≤a<1 C ．0<a ≤43或a>1 D.0<a<43或a ≥110.若关于x 的不等式x 2＜2﹣∣x ﹣a ∣至少有一个负解，则参数a 的取值范围为（ ）A （-45 ，2 ）B （-49 ，2 ）C （-47 ，2 ） D.（-47，3 ）第Ⅱ卷（填空题和解答题，11小题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填写在题中横线上.．11．给出下面的3个命题：（1）函数|)3x 2sin(|y π+=的最小正周期是2π；（2）函数)23x sin(y π-=在区间)23,[ππ上单调递增； （3）45x π=是函数)25x 2sin(y π+=的图象的一条对称轴. 其中正确命题的序号是 ．12．平面向量,a b 的夹角为060，(2,0),||1,|2|a b a b ==+= 则13、若函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ω= ， ϕ= 。

14．已知函数3()3,f x x x x R =--∈，若0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+-<恒成立，则实数m 的取值范围是15.已知函数()f x 对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，函数1()2f x +是奇函数，当01x ≤≤时，()21f x x =-，则方程1()3f x =-在区间[3,4]-内的所有根的和等于_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R). (1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值;(2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值.17．（本小题满分13分）已知m R ∈，设P ：不等式2560m m --≥；Q ：函数6)34()(23++++=x m mx x x f 在(,)-∞+∞上有极值,求使P Q ∧为真命题的m 的取值范围。

19.(本题满分13分)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

B莆田一中2011-2012上学期期中考试题高三数学(理科)答案一选择题二填空题：11、①②12. 13.ω=12ϕ=6π14.4m >- 15. 113 三解答题：16．小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+ sin 2cos 2x x =+…… 1分22x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,其值为…6分(2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 7分∴1cos 23θ=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==…… 9分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==∴22tan 1tan θθ=-. 10分2tan 0θθ+=.∴)(1tan 0θθ-+=.∴tan θ=或tan θ=不合题意,舍去) …… 12分2解法2: ∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴1cos 23θ=. ∴212cos 13θ-=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴cos θ=. ……10分∴sin θ==…… 11分∴sin tan cos θθθ==…… 13分 17、由已知不等式得1m ≤-或6m ≥………………………………2分 ∴对1m ≤-或6m ≥时，P 是正确的…4分对函数6)34()(23++++=x m mx x x f 求导3423)('2+++=m mx x x f ……6分令0)('=x f ，即034232=+++m mx x当且仅当∆>0时，函数f (x )在(－∞,+∞)上有极值…………8分 由0161242>--=∆m m 得1m <-或4m >，………………9分 因为，当1m <-或4m >时，Q 是正确的……………………11分综上，使P Q ∧为真命题时，实数m 的取值范围为(-∞,-1)⋃[)6,+∞……13分19．（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭………………………4分②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+≤≤………………8分（Ⅱ）选择函数模型①，'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边3km 处。

…………………………………13分21.又0,2x π∃=2sin x x >成立．故存在最小的正整数2k =，使()f x 是为[0,]2π上的“２阶收缩函数”．………6分（2）()2()3632g x x x x x '=-+=--,令'()0g x =得0x =或2x =. 函数()g x ,'()g x 的变化情况如下：……………………7分ⅰ）2b ≤时，()g x 在[0,]b 上单调递增，因此，()322()3g x g x x x ==-+，()1()00g x g ==. 因为32()3g x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数， 所以，①()()21()20g x g x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；②存在[]0,x b ∈，使得()()21()0g x g x x ->-成立. …………8分①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，由3232x x x -+≤，解得：01x ≤≤或2x ≥，要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤. ……………10分综合ⅰ）ⅱ1b <≤. ……………14分注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用32只是因为简单而已.。